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Tableaukalkul fur Aussagenlogik
Tableau:
• Test einer Formel auf Widerspruchlichkeit• Fallunterscheidung baumformig organisiert• Keine Normalisierung, d.h. alle Formeln sind erlaubt• Struktur der Formel wird beachtet• Verallgemeinerbar fur Modallogik, Pradikatenlogik
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Tableaukalkul: Grundbegriffe
• α-Formeln (konjunktive Formeln)• β-Formeln (disjunktive Formeln)
Zerlegungen:
α α1 α2X ∧ Y X Y¬(X ∨ Y ) ¬X ¬Y¬(X ⇒ Y ) X ¬Y(X ⇔ Y ) X ⇒ Y Y ⇒ X
β β1 β2X ∨ Y X Y¬(X ∧ Y ) ¬X ¬YX ⇒ Y ) ¬X Y¬(X ⇔ Y ) ¬(X ⇒ Y ) ¬(Y ⇒ X)
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Tableau: Definition
Idee beim Tableau-Kalkul:Zeige, dass die eingegebene Aussage inkonsistent ist.
Definition
Ein aussagenlogisches Tableau ist ein markierter Baumdie Knoten sind mit Formeln markiert.Die Eingabeformel ist an der Wurzel
Ein Pfad ist geschlossen, wenn 0 oder ¬1 vorkommt,oder gleichzeitig F und ¬F auf dem Pfad
Ein Pfad ist (atomar) geschlossen, wenn 0 oder ¬1 vorkommt,oder Atom A und ¬A auf diesem Pfad ist
Ein Tableau ist (atomar) geschlossen, wenn alle Pfade (atomar) ge-schlossen
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Tableau-Aufbau-Regeln
• Eingabe ist eine Formel F• Initial: nur Knoten F• Danach Expansionsregeln:
¬¬X
X
α
α1α2
β
β1 | β2
¬0
1
¬1
0
Beachte: Die expandierte Formel muss kein Blatt sein.Einschrankung: Formel pro Pfad nur einmal expandieren
Ein Formel F ist bewiesen, wenn aus dem Tableau mit einem Knoten
und der Formel ¬F ein geschlossenes Tableau erzeugt worden ist.
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Strategien
Aufbau-Regeln sind nicht-deterministisch
D.h. Reihenfolge ist nicht vorgeschrieben.
Effizient: moglichst wenig verzweigen
d.h. bevorzuge α-Regeln
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Beispiel
Tableau fur X ∧ ¬X:
X ∧ ¬X|X|
¬X
geschlossen
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Beispiel
Tableau fur ¬(X ∧ Y ⇒ X):
¬(X ∧ Y ⇒ X)|
X ∧ Y|
¬X|X|Y
geschlossen
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Optimierung fur Aquivalenzen
Neue Tableau-Expansionsregeln
A ⇔ B
A ¬AB ¬B
¬(A ⇔ B)
A ¬A¬B B
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Beispiel: Aquivalenzen
¬((P ⇔ Q) ⇔ (Q ⇔ P ))
ggggggggggggggggggggg
WWWWWWWWWWWWWWWWWWWW
(P ⇔ Q) ¬(P ⇔ Q)
¬(Q ⇔ P )
ooooooooooooooQ ⇔ P
gggggggggggggggggggggggggggggg
P ¬P ¬Q Q
Q
xxxxxxxxx¬Q P ¬P
¬Q Q . . . . . . . . .
P ¬P
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Beispiel
Zeige, dass P ⇒ (Q ⇒ P ) eine Tautologie ist:
¬(P ⇒ (Q ⇒ P ))
P
¬(Q ⇒ P )
Q
¬P
geschlossen, da P und ¬P auf dem Pfad liegen.
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Beispiel
Zeige ((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R)) ⇒ (P ⇒ R):
Dazu starte mit ¬(((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R)) ⇒ (P ⇒ R)):
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(P ⇒ Q)
(Q ⇒ R)
¬(P ⇒ R)
P
¬R
iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
PPPPPPPPPPPPPPP
¬P Q
oooooooooooooooo
OOOOOOOOOOOOOOOOO
geschlossen ¬Q R
geschlossen geschlossen
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Algorithmische Korrektheit des Tableaukalkuls
Nachweis von:
1. Korrektheit (Soundness): Der Kalkul erzeugt geschlossene Table-
aus nur fur unerfullbare Formeln.
2. Vollstandigkeit (Completeness): Fur jede unerfullbare Formel kann
der Tableaukalkul ein geschlossenes Tableau erzeugen.
Zusatzliche gute Eigenschaften:
• Tableaukalkul fur Aussagenlogik terminiert immer• Liefert Information auch wenn er fehlschlagt.
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Korrektheit des Tableaukalkuls (2)
Definition
• Ein Pfad eines Tableaus ist erfullbar, wenn die Kon-
junktion aller Formeln auf dem Pfad erfullbar ist.• Ein Tableau ist erfullbar, wenn es einen Pfad gibt,
der erfullbar ist.
Beachte: Wenn eine Menge von Formeln 0 oder ¬1 enthalt, dann ist
sie nicht erfullbar.
Es gilt: Ein geschlossenes Tableau ist nicht erfullbar.
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Korrektheit des Tableaukalkuls (3)
Satz Wenn T → T ′ mit einer Transformationsregel, dann gilt:
T ist erfullbar gdw. T ′ ist erfullbar
Mittels Fallunterscheidung uber mogliche Expansionen:
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Fundierte Ordnungen
Ziel: Terminierung
fundierte (well-founded) Ordnung:
ist eine partielle Ordnung ≥ auf einer Menge M ,
ohne unendlich absteigende Ketten a1 > a2 > . . .
zB. Naturliche Zahlen: 5 > 4 > 2 > 1.
Es gilt: Die lexikographische Kombination von fundierten Ordnungen
ist wieder eine fundierte Ordnung.
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Fundierte Ordnungen: Multimengenordnung
(M, >) Menge mit fundierter Ordnung
Mult(M) endliche Multimengen uber M
Z.B. Multimengen uber IN:
{3,3,2,1}, ∅, {1,1,1,1,1,100}
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Fundierte Ordnungen: Multimengenordnung
Seien A und B Multimengen uber M
A >> B, gdw ∃X, Y mit X 6= ∅, B = (A \X) ∪ Y undzu jedem Element von Y existiertein echt großeres Element in X
Z. B in Mult(IN):
{3,3,2,1} >> {3,2,2,2},denn {3,2,2,2} = {3,3,2,1} \ {3,1} ∪ {2,2,2}.
Es gilt: Die Multimengenordnung >> ist eine partielle Ordnung.>> ist fundiert, gdw. > fundiert ist.
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Terminierung des Tableaukalkuls
Lemma Der Tableaukalkul fur Aussagenlogik terminiert, wenn man jede
Formel auf jedem Pfad hochstens einmal expandiert.
Beweis:
Benutze Multimengenordnung . . .
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Korrektheit des Tableaukalkuls
Zusammen ergibt sich bis jetzt:
• Wenn F erfullbar:Der Tableaukalkul terminiert,Das Endtableau ist nicht geschlossen
• Wenn F unerfullbar:Der Tableaukalkul terminiert,Das Endtableau ist nicht erfullbarFrage? ist es auch geschlossen?
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Korrektheit des Tableaukalkuls
Betrachte: Endtableau, das nicht geschlossen istDarin einen nicht geschlossenen Pfad.
Es gilt: Die Formelmenge H auf dem Pfad ist abgeschlossen und hat
folgende Eigenschaften:
• A ∈ H und ¬A ∈ H geht nicht.• 0 6∈ H,¬1 6∈ H• ¬¬X ∈ H ⇒ X ∈ H• α ∈ H ⇒ α1 ∈ H und α2 ∈ H• β ∈ H impliziert β1 ∈ H oder β2 ∈ H
D.h.: H ist eine (aussagenlogische) Hintikka-Menge
Es gilt: Hintikka-Mengen sind erfullbar
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Korrektheit des Tableaukalkuls
Zusammenfassend ergibt sich jetzt:
• Wenn F erfullbar:Der Tableaukalkul terminiert,Das Endtableau ist nicht geschlossen
• Wenn F unerfullbar:Der Tableaukalkul terminiert,Das Endtableau ist geschlossen
D.h. der Tableaukalkul fur Aussagenlogik terminiert und ist korrekt.
Deduktion, SS 04, Folien Ded−Aussagen, Seite 22 27. April2004
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Quantifizierte Boolesche Formeln
Quantifizierte Boolesche Formeln (QBF) sind
Boolesche Formeln mit Quantoren.
Syntax:
Q := 0 | 1| P ( Boolesche Variable)| (Q1 ∧Q2) | (Q1 ∨Q2) | (Q1 op Q2)| (¬ Q)| ∀P.Q | ∃P.Q
Die Quantifizierung ist nur uber die zwei Wahrheitswerte.
Die Gultigkeit ist nur fur geschlossene QBFs definiert.
Deduktion, SS 04, Folien Ded−Aussagen, Seite 23 27. April2004
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QBF: Komplexitat
Gultigkeit von QBF ist PSPACE-vollstandig.
D.h. alle bekannten Algorithmen sind EXPTIME.
Ziel: Untersuchung und Optimierung der Entscheidungsalgorithmen
Hoffnung: großer Anteil praktisch relevanten Probleme effizient ent-
scheidbar
Deduktion, SS 04, Folien Ded−Aussagen, Seite 24 27. April2004
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Aussagenlogik in QBFs:
• Erfullbarkeit einer aussagenlogischen Formel F= Gultigkeit der QBF ∃p1, . . . , pn.F ,wobei pi die Variablen in F sind.
• aussagenlogischen Formel F ist Tautologie= Gultigkeit der QBF ∀p1, . . . , pn.F ,wobei pi die Variablen in F sind.
Deduktion, SS 04, Folien Ded−Aussagen, Seite 25 27. April2004
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Normalformen fur QBFs:
• Pranex-FormAlle Quantoren im Prafix der Formel,der Rumpf ist eine aussagenlogischen Formel.
• Pranexe KlauselformQuantorenprafix und KlauselmengeDas ist effizient durchfuhrbar: P.F [G] → P.∃X.(X ⇔ G ∧ F [X])
• Annahme: Tautologie-Klauseln sind entferntSimplifikationen ¬0 → 1 und ¬1 → 0 sind durchgefuhrt
Deduktion, SS 04, Folien Ded−Aussagen, Seite 26 27. April2004
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Nochmal: CNF-Herstellung in der Aussagenlogik
Zur Frage: Warum wird Aquivalenz von schneller CNF-Herstellung
nicht erhalten:
• Erhaltung der Erfullbarkeit: ok, da man nur eine existenzquantifi-
zierte Variable hinzufugt.
• Erhaltung der Tautologie-Eigenschaft: nicht klar,
da man zu einer allquantifizierten Formel existenzquantifizierte Va-
riable hinzufugt.
Danach hat aber die Formel einen gemischten Prefix.
Deduktion, SS 04, Folien Ded−Aussagen, Seite 27 27. April2004
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Gultigkeit von QBF-Formeln
Naiver Algorithmus und gleichzeitig Def der Gultigkeit von F
Transformiere F durch Quantorenelimination:
1. ∀P.F → F [1/P ] ∧ F [0/P ]
2. ∃P.F → F [1/P ] ∨ F [0/P ]
Resultat nach Simplifikation: 0 oder 1
Nachteil: Zwischenergebnisse konnen exponentiell groß sein
Deduktion, SS 04, Folien Ded−Aussagen, Seite 28 27. April2004
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Beispiel
F = ∀x∃y.x ⇔ y.
Quantorenelimination ergibt:
1. (∃y.1 ⇔ y) ∧ (∃y.0 ⇔ y).
2. ((1 ⇔ 1) ∨ (1 ⇔ 0)) ∧ ((0 ⇔ 1) ∨ (0 ⇔ 0))
3. Resultat: 1
Deduktion, SS 04, Folien Ded−Aussagen, Seite 29 27. April2004
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Klassifizierung von Klauseln
Gegeben: QBF in pranexer Klauselform.
Klassifikation von Klauseln:
1. Eine Klausel ist wahr, wenn sie ein Literal 1 enthalt, oder eine
Variable sowohl positiv als auch negativ (Tautologie).
2. Eine Klausel ist falsch, wenn 1. nicht gilt und wenn die Klausel
keine existenziell quantifizierte Variable enthalt.
Z.B. eine Klausel mit nur allquantifizierten Variablen ist falsch,
wenn sie keine Tautologie ist.
3. Andere Klauseln nennt man offen.
Deduktion, SS 04, Folien Ded−Aussagen, Seite 30 27. April2004
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Ein Beispiel
∃x1∀x2∃x3∃x4.((¬x1 ∨ x2 ∨ ¬x3)︸ ︷︷ ︸c1
∧ (x3 ∨ ¬x4)︸ ︷︷ ︸c2
∧ (x3 ∨ x4)︸ ︷︷ ︸c3
∧ (x1 ∨ ¬x2 ∨ ¬x3)︸ ︷︷ ︸c4
)
Diese Formel ist nicht gultig:
·x1xxxxxxxxxx ¬x1
BBBB
BBBB
B
·¬x2||
||||
|||
||||
||||
|
x2
·x2
¬x2BB
BBBB
BBB
BBBB
BBBB
B
·x3
}}}}
}}}} ¬x3
· ·x3
}}}}
}}}} ¬x3
·
c1 ·x4��
����
�� ¬x4??
????
??c4 ·
x4����
���� ¬x4
????
????
c2 c3 c2 c3
Deduktion, SS 04, Folien Ded−Aussagen, Seite 31 27. April2004
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Entscheidungsprozedur semantischer Baum
Eingabe: Pranexe KlauselformDatenstruktur: UND-ODER-Baum,
ALL ↔ UNDEX ↔ ODERKnoten sind Formeln
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Semantischer Baum: Erzeugung
• Wurzel = Input-Formel in pranexer Klauselform• Am Knoten K erste Variable des Quantorenprafix von FK analysieren:
1. ∀x, dann UND-Knoten.Die beiden Tochterknoten sind:FK[1/x] und FK[0/x]
2. ∃x, dann ODER-Knoten.Die beiden Tochterknoten sind:FK[1/x] und FK[0/x]
• Knoten ist Blatt, wenn FK aussagenlogisch zu 1 oder 0 auswertbarunter Benutzung der Def. wahre / falsche Klauseln
• Auswertung des Ausgabe-Baums:Auswertung entsprechend der UND, bzw ODER-Strukturund Werten an den Blattern.
• Ergebnis: 0 oder 1.
Optimierungsmoglichkeit: Vertauschen von gleichartig quantifizierten
benachbarten Variablen
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Quellen des Nichtdeterminismus
• Welche Variable wird zur Fallunterscheidung verwendet?
• Welcher Fall wird zuerst untersucht pro Variable?
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Beispiel
∀x, ∃y.x ⇔ y:
∀x∃y.x ⇔ y
ffffffffffffffffffffffff
ffffffffffffffffffffffff
SSSSSSSSSSSSSS
SSSSSSSSSSSSSS
∃y.1 ⇔ y
mmmmmmmmmmmm
QQQQQQQQQQQQ∃y.0 ⇔ y
jjjjjjjjjjjjjjj
QQQQQQQQQQQQ
1 ⇔ 0 1 ⇔ 1 0 ⇔ 1 0 ⇔ 0
Der Wert an der Wurzel ist 1.
> dpll "ALL x EX y: (x <=> y)"
"Formel ist Tautologie"
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Optimierungen:
Vermeiden von Fallunterscheidungen:
• Wenn aktuelle Variablen nicht in der Klauselmenge enthalten ist,
dann streiche die aus dem Prafix.
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Optimierungen: Unit-Propagation
Situation: Formel am Knoten
Eine Klausel c ist eine Unit, gdw. c hat genau ein existenzielles Literal
(x oder ¬x) und
fur alle anderen (universellen) Literale y oder ¬y,
y ist rechts von x im Quantorenprafix
Aktion :
Nur ein Tochterknoten:
F [1/x], wenn x das Literal ist und
F [0/x], wenn ¬x das Literal ist.
Beachte: x muss nicht die Top-Variable sein
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Optimierungen: Isoliertes Literal
Definition Ein Literal in einer Klauselmenge ist isoliert (pur),
wenn das Komplement nicht in der Klauselmenge vorkommt.
Aktion:
Sei x die Variable im isolierten Literal.
1. Wenn x Ex-quantifiziert ist,
Tochterknoten: F [1/x], wenn x das Literal ist und
Tochterknoten: F [0/x], wenn ¬x das Literal ist.
2. Wenn x All-quantifiziert ist,
Tochterknoten mit F [0/x], wenn x das Literal ist und
F [1/x], wenn ¬x das Literal ist.
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