UNIVERZITET U NOVOM SADU

PRIRODNO MATEMATIKI FAKULTET

DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I

INFORMATIKU

Anita Pustai

TEITE FIGURA I SISTEMA MATERIJALNIH

TAAKA MOGUNOST IZLAGANJA NEKIH

DELOVA OVOG SADRAJA U NASTAVI

MATEMATIKE U OSNOVNOJ KOLI

Master rad

Novi Sad, 2016.

1

Predgovor

Ovaj master rad je posveen jednoj nestandardnoj temi u kolskoj matematici -

temi: Teite figura i sistema materijalnih taaka. Iako ova tema nije u sadraju

programa nastave matematike u koli, mada ima dodirnih taaka, korist izlaganja ovog

komplikovanog sadraja deci jo u osnovnoj koli je od ireg interesa, kako zbog

lakeg usvajanja gradiva iz drugih predmeta (npr. fizike), tako i radi boljeg poimanja

sveta koji ih okruuje.

Metodiki deo rada je posveen tzv. Kooperativnom uenju, tj. uenju u manjim

grupama (cooperative learning groups). U prvoj glavi ovog rada dat je prikaz ovog

pristupa poduavanju matematike, kao i pregled dosadanjih iskustava u svetu u ovoj

oblasti metodike matematike. Iznete su prednosti i mane takvog pristupa. Navedimo

samo neke od razloga za rad u manjim grupama: mogunost interaktivnog rada,

generisanje irokog spektra moguih alternativnih gledita i reenja, davanje prilike da

aci rade na projektu koji je suvie velik ili kompleksan za pojedinca, mogunost

uea u diskusiji uenika koji imaju tekoe da iznesu javno svoja miljenja,

prevazilaenje anonimnosti i pasivnosti karakteristine za vee grupe... Takoe,

poznato je da oseaj neuspeha grupe pojedinac ne doivljava tako traumatino kao

lini neuspeh, a uspeh grupe esto pojedinac pripisuje svom doprinosu.

Druga glava ovog rada se bavi obradom osnovne teme - Teite figura i sistema

materijalnih taaka. Ovde su pored osnovnih pojmova kao to su materijana taka i

centar mase (teite) izloene i osnovne teoreme geometrije masa. Takoe, dati su i

dokazi nekih poznatih teorema korienjem centra mase kao to su Simpsonova,

evina i Menelajeva teorema. Tema teite sistema materijalnih taaka je pogodna za

obradu kod uenika srednjokolskog uzrasta koji pokazuju vee interesovanje za

matematiku. Stoga i ne udi to to se ovaj sadraj moe nai u popularnoj literaturi

koja je upravo namenjena ovim acima, kao to je to srednjokolski matematiki list

Tangenta [21]. Ipak, tokom obrade ovog materijala uoeni su izvesni propusti u

dokazima (netanosti u II sluaju Menelajeve teoreme u [21]) te su ovom prilikom ti

propusti otklonjeni. Pored ovoga, definisano je teite krivih linija, dvodimenzionih

ogranienih figura i trodimenzionih tela i utvrivanje osnovnih osobina. Napomenimo

samo da srednjokolci mainske struke koriste prirunike [13] u kojima su samo

navedeni poloaji teita kod konkretnih krivih, figura i tela. Za konkretne krive, figure

i tela kandidat je samostalno izveo dokaze koji se odnose na utvrivanje teita

istih i time proverio ispravnost formula koje se koriste u pomenutoj praksi.

Trea glava je posveena jednom eksperimentu koji je izveden u Osnovnoj

koli Adi Endre u Malom Iou, gde je kandidat bio zaposlen kao nastavnik

Matematike za dva odeljenja 6. razreda (odnosno, 7. razreda) u periodu 31.03.

do 17.04.2014. godine i 02.09.2014. godine. Zadatak koji je postavljen pred

kandidata je bio da se ispitaju koji delovi ovog sadraja se mogu izloiti uenicima

estog (sedmog) razreda osnovne kole MTE-modelom nastave kao i mogunost da

se to izloi putem kooperativnog uenja. Osnovna ideja eksperimenta je bila da se u

2

prvom delu uenici eksperimentalne grupe pripreme za rad u manjim grupama

korienjem tzv. Modifikovanog MTE-modela nastave, tj. da se u jednom duem

periodu, kroz obradu veeg broja nastavnih jedinica iz obaveznog programa, najpre

naviknu na ovaj nain rada. Modifikacija MTE-modela nastave, kojeg karakteriu dva

testa: motivacioni (M-test) i test provere znanja (E-test), se sastoji u tome da se na

asu izvede samo jedan test koji predstavlja ujedno i test provere usvojenog znanja sa

prethodnog asa i motivacioni test za aktuelni as, a to je izvodljivo upravo zbog

povezanosti gradiva koje se izlae u nizu asova. U drugom delu eksperimenta, trebalo

je ispitati koji sadraj nae osnovne teme (Teite figure) bi se mogao izloiti ovim

putem uenicima. U pripremnoj fazi eksperimenta, kroz 6 asova ovim putem su

obraene nastavne jedinice: Pojam etvorougla, Uglovi etvorougla, Paralelogram,

Vrste paralelograma, Paralelogram i simetrije i Trapez, na kraju kolske 2013/14.

godine . Tema Teite Figura je obraena u istim odeljenjima na poetku sledee

kolske godine (u sedmom razredu). Efikasnost opisanog modela nastave kako za ceo

period u kome je vren eksperiment, tako i za obradu nae osnovne, nestandardne teme

je ispitana. Rezultati eksperimenta i anketiranja su statistiki obraeni a zakljuci

izvedeni u etvrtoj glavi.

Testovi iz pripremne faze, ankete i kontrolni zadaci sa rezultatima se mogu

nai u Dodatku. Slike je autor teksta samostalno nacrtao pomou matematikog

softvera GeoGebra.

Postoji veliki broj istraivanja koji su se bavili temom kooperativnog uenja.

Tokom mnogih godina istraivanja ovaj nain uenja je sada postavljen na zavidan

nivo, dok se i dan danas jo uvek postiu neki novi rezultati u nastavi i uenju. Ovaj

master rad je voen idejom da se da jedan skromni doprinos u ovome pravcu i nadamo

se da smo u tome uspeli.

elim da sa zahvalim svom mentoru, prof. Dr Olgi Bodroa-Panti na svim

savetima, sugestijama, pomoi, razumevanju i strpljenju. Takoe, elim da izrazim

zahvalnost svojim roditeljima i svom suprugu na punoj podrci.

Novi Sad, januar 2016. Anita Pustai

3

Sadraj

Predgovor ................................................................................................................................ 1

Uvod ......................................................................................................................................... 5

1. Kooperativno uenje - uenje u malim grupama ............................................................. 6

1.1. Definicija i ciljevi .................................................................................................... 6

1.2. Istraivanja vezana za kooperativno uenje ............................................................. 8

1.3. Tipovi kooperativnog uenja ................................................................................... 9

1.4. Formiranje i voenje grupa ...................................................................................... 9

1.5. Prednosti i nedostaci kooperativnog uenja ........................................................... 10

1.6. MTE-model nastave ............................................................................................... 11

2. Teite figura i sistema materijalnih taaka ................................................................... 13

2.1. Teite sistema materijalnih taaka ........................................................................ 13

2.2. Poznate teoreme povezane sa centrom masa ......................................................... 15

2.3. Centar mase ili centar gravitacije ........................................................................... 22

2.3.1. Odreivanje teita tela homogene mase zapremine V .................................... 25

2.3.2. Odreivanje teita figure u ravni povrine A .................................................. 26

2.3.3. Odreivanje teita homogene linije ................................................................ 27

2.4. Odreivanje teita tela, figura i linija ..................................................................... 27

2.4.1. Teite simetrinih tela (figura) ....................................................................... 27

2.4.2. Papus Guldinova pravila ............................................................................... 28

2.4.3. Arhimedova teorema ........................................................................................ 30

2.4.4. Odreivanje teita kupe .................................................................................. 32

2.4.5. Odreivanje teita lopte .................................................................................. 33

2.4.6. Odreivanje teita polulopte ........................................................................... 33

2.4.7. Odreivanje teita loptinog odseka (kalota) ................................................. 34

2.4.8. Odreivanje teita loptinog iseka .................................................................. 35

2.4.9. Odreivanje teita loptine zone ...................................................................... 36

2.4.10. Odreivanje teita trougla ............................................................................... 38

2.4.11. Odreivanje teita paralelograma ................................................................... 40

2.4.12. Odreivanje teita trapeza .............................................................................. 41

2.4.13. Odreivanje teita krunog iseka .................................................................. 42

2.4.14. Odreivanje teita krunog odseka ............................................................... 43

2.4.15. Odreivanje teita