1

KIẾN THỨC BỔ SUNG TÀI LIỆU RÈN LUYỆN VÀ NÂNG CAO DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Đình An

Một số kĩ thuật (Hướng giải) Phân tích đa thức nhân tử

Phương pháp 1: Đặt nhân tử chungHướng giải: - Đối với phần đặt hệ số ta chọn ước chung lớn nhất của các hạng tử.

- Đối với phần biến ta chọn nhân tử chung (thừa số chung), mỗi thừa số lấy vớisố mũ nhỏ nhất của nó.

- Mỗi hạng tử nằm trong dấu ngoặc sẽ bằng thương của từng hạng tử của đathức chia cho nhân tử chung đó.

- Đôi khi ta phải đổi dấu để làm xuất hiện nhân tử chung.

Ví dụ 1: Phân tích thành nhân tử: 3x2y-6xy2z+15x3y3 Hướng suy nghĩ để giải: - Ta tìm ƯCLN của (3,6,15) là 3.

- Nhân tử chung ta chọn là xy.Vậy ta giải như sau 3 − 6 + 15 = 3 ( − 2 + 5 )Ví dụ 2 : Phân tích thành nhân tử : a(x-y) + (y-x)Hướng suy nghĩ để giải : - Ta đổi dấu x-y = - (y-x) hoặc y-x = - (x-y)

- Nhân tử chung nếu chọn (x-y)Vậy ta giải như sau : a(x-y) + (y-x) = a(x-y) – (x-y) = (x-y) (a-1)

Phương pháp 2: Dùng hằng đẳng thứcHướng giải : Vận dụng công thức của 7 hằng đẳng thức đáng nhớVí dụ 1 : Phân tích thành nhân tử : − 2√ + 1Hướng suy nghĩ để giải : Ta đưa về dạng bình phương của 1 hiệu

Vậy ta giải như sau : − 2√ + 1 = √ − 2 √ 1 + 1 = √ − 1Ví dụ 2 : Phân tích thành nhân tử: 5 − 16Hướng suy nghĩ để giải: Ta đưa về dạng hiệu của 2 bình phương

Vậy ta giải như sau: 5 − 16 = √5 − (4 ) = (√5 + 4 )(√5 − 4 ) Phương pháp 3: Nhóm các hạng tửHướng giải : - Trong khi nhóm (gộp) các hạng tử của 1 đa thức không nhất thiết ta phải

nhóm 2 hạng tử đầu hoặc 2 hạng tử cuối... mà ta làm sao khi nhóm xong bước1 vẫn còn có thể làm tiếp bước 2…được kết quả cuối cùng

- Đôi khi ta phải khai triển (bỏ ngoặc) rồi chọn (sắp xếp) các hạng tử để nhómhợp lí.

Ví dụ 1 : Phân tích thành nhân tử − 3 + − 3Hướng suy nghĩ để giải : Ta có thể nhóm 2 hạng tử đầu lại với nhau và nhóm 2 hạng tử cuốivới nhau hoặc ta nhóm hạng tử đầu với hạng tử thứ 3, hạng tử thứ 2 với hạng tử cuối.Vậy ta giải như sau : − 3 + − 3 hoặc − 3 + − 3= ( − 3 ) + ( − 3 ) = ( + ) − (3 + 3 )= ( − 3 ) + ( − 3 ) = ( + 1) − 3 ( + 1)= ( + 1)( − 3 ) = ( + 1)( − 3 )

2

Ví dụ 2 : Phân tích thành nhân tử − − 2 −Hướng suy nghĩ để giải : Nếu ta nhóm theo các cách sau là sai :Cách 1 : ( − ) − ( + 2 ) = ( − )( + ) − ( + 2 )Cách 2 : ( − ) − ( + 2 ) = ( − )( + ) − ( + 2 )Vì không thực hiện được bước tiếp theo nữa để đi đến kêt quảVậy ta giải như sau : − − 2 − = − ( + 2 + ) = − ( + )= [ − ( + )][ + ( + )] = ( + + )( − − )Chú ý : Đôi khi ta phải khai triển (bỏ dấu ngoặc) đề bài đã cho rồi lựa chọn hạng tử thích hợpđể nhóm.

Phương pháp 4 : Phối hợp các phương phápHướng giải : Thông thường ta xét các phương pháp đã học để phân tích thành nhân tử. Nếuđề bài cho thuộc phương pháp nào ta giải bằng phương pháp đó và cứ thế giải cho đến kếtquả.Ví dụ 1 : Phân tích thành nhân tử 5 − 45Hướng suy nghĩ để giải : Ta thấy 5 và 45 có nhân tử chung là 5 . Vậy bước đầu tiên tagiải như sau : 5 − 45 = 5 ( − 9)Ta nhận thấy − 9 còn có thể dùng phương pháp dùng hằng đẳng thức để phân tích tiếpnên 5 − 45 = 5 ( − 9) = 5 ( + 3)( − 3)Ví dụ 2: Phân tích thành nhân tử + 4 + 4 − 4Hướng suy nghĩ để giải: Ta dùng phương pháp nhóm rồi đến phương pháp dùng hằng đẳngthức để đến với kết quảTa giải như sau: + 4 + 4 − 4 = ( + 2) − (2 ) = ( + 2 + 2 )( + 2 − 2 ) Phương pháp 5: Tách 1 hạng tử thành nhiều hạng tửHướng giải: Ta tách 1 hạng tử của đa thức đã cho thành tổng hai hay nhiều hạng tử thích hợpđể đưa về dạng sử dụng được các phương pháp đã họcVí dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử − 8 + 12*Cách 1: Nếu thấy rằng −8 = −2 − 6 ta có thể dễ dàng giải− 8 + 12 = − 2 − 6 + 12 = ( − 2) − 6( − 2) = ( − 2)( − 6)*Cách 2: Nếu thấy rằng 12 = 16 − 4 ta có thể dễ dàng giải− 8 + 12 = ( − 8 + 16) − 4 = ( − 4) − 2= ( − 4 + 2)( − 4 − 2) = ( − 2)( − 6)*Cách 3 : Nếu thấy được 12 = 48 − 36 , ta có thể dễ dàng giải như sau− 8 + 12 = − 36 − 8 + 48 = ( + 6)( − 6) − 8( − 6)= ( − 6)( + 6 − 8) = ( − 2)( − 6)*Cách 4 : Nếu thấy rằng 12 = 16 − 4 , có thể dễ dàng giải được như sau :− 8 + 12 = − 4 − 8 + 16 = ( − 2)( + 2) − 8( − 2)= ( − 2)( + 2 − 8) = ( − 2)( − 6)*Cách 5 : Nếu thấy −8 = −4 − 4 và 12 = 8 + 4 , có thể giải như sau− 8 + 12 = − 4 + 4 − 4 + 8 = ( − 2) − 4( − 2)= ( − 2)( − 2 − 4) = ( − 2)( − 6)

3

*Cách 6 : Nếu thấy = 4 − 3 ta có thể giải như sau− 8 + 12 = 4 − 8 − 3 + 12 = 4 ( − 2) − 3( − 4)= ( − 2)[4 − 3( + 2)] = ( − 2)(4 − 3 − 6) = ( − 2)( − 6)*Cách 7 : Nếu thấy −8 = −12 + 4 và 12 = 36 − 24 , ta có thể giải như sau− 8 + 12 = − 12 + 36 + 4 − 24 = ( − 6) + 4( − 6)= ( − 6)( − 6 + 4) = ( − 2)( − 6) Phương pháp 6 : Thêm bớt cùng 1 hạng tửHướng giải : Thêm và bớt cùng 1 hạng tử thích hợp vào đa thức đã cho để đưa về dạng sửdụng các phương pháp đã học/Ví dụ : Phân tích thành nhân tử + 64Hướng suy nghĩ để giải : Ta thấy = ( ) và 64 = 8Vậy + 64 = ( ) + 8 nếu ta nghĩ ngay đến hạng tử 2. . 8 để xuất hiện hằng đẳngthức. Khi đó ta thêm và bớt cùng 1 hạng tử 16 thì ta đến với kết quả bài toán dễ dàng.Vậy ta giải như sau : + 64 = ( ) + 64 + 16 − 16 = ( + 8) − (4 )= ( + 8 + 4 )( + 8 − 4 ) Phương pháp 7 : Đặt biến phụ (đổi biến)Hướng giải : Khi ta gặp biểu thức trong đề bài xuất hiện nhiều lần ta đặt biểu thức ấy làmbiến phụ từ đó đưa về dạng đơn giản hơn ta phân tích dạng đơn giản này thành nhân tử rồithay biến cũ vào và tiếp tục giải cho đến kết quảVí dụ : Phân tích thành nhân tử : = ( + 3 + 1)( + 3 − 3) − 5Hướng suy nghĩ để giải : Ta dễ dàng thấy được + 3 được lặp nhiều lần. Vậy ta đổi biến(đặt biến phụ) + 3 = , Ta có = ( + 1)( − 3) − 5 = − 2 − 8Ta giải như sau : = − 2 − 8 = − 4 + 2 − 8 = ( − 4) + 2( − 4)= ( + 2)( − 4)= ( + 3 + 2)( + 3 − 4)= ( + + 2 + 2)( + 4 − − 4)= [ ( + 1) + 2( + 1)][( − 1)( + 4)]= ( + 1)( + 2)( − 1)( + 4)Ta có thể đặt = + 3 + 1, ta được = ( − 4) − 5 = − 4 − 5 = ( + 1)( − 5)= ( + 1)( + 2)( − 1)( + 4)Chú ý : Phân tích đa thức dạng ( + )( + )( + )( + ) + trong đó + = +thành nhân tử. Ta có thể tiến hành như sau :( + )( + )( + )( + ) + = [( + )( + )][( + )( + )] += ( + + + )( + + + ) += [ + ( + ) + ][ + ( + ) + ] +Tiếp tục biến đổi nhờ vận dụng hăng đẳng thức − = ( + )( − ) đến kết quả

Ta cũng có thể đặt = + ( + ) +-Phân tích đa thức dạng + + .Đặt = ≥ 0-Phân tích đa thức dạng + + + + . Đặt = + 1x

4

-Phân tích thành nhân tử dạng + + + + = 0,trong đó cóea = db .

Đặt = + dbx-Phân tích đa thức dạng ( + ) + ( + ) = . Đặt = +

2

ba +

-Phân tích đa thức dạng( + )( + )( + )( + ) + ,trong đó ad=bc

Đặt = + adx Phương pháp 8 : Dùng định lý Bezout (Bơdu)Cho đa thức ( ) = + + + . Nếu ( ) có nghiệm nguyên thì nghiệmđó phải là ước số của hạng tử độc lập . Khi đã tìm được nghiệm = , ta chỉ việc chia( ) cho ( − ) để tìm thương ( ) và việc phân tích đa thức lại tiếp tục nếu có thể.Ví dụ: Phân tích thành nhân tử = ( ) = + 9 + 26 + 24Giải: Ta nhân thấy đây là đa thức có hệ số nguyên = 24. Ta thấy (−2) = 0. Vậy ( )chia hết cho + 2. Thực hiện phép chia ta được = ( + 2)( + 7 + 12)

Lại tiếp tục phân tích tam thức ( + 7 + 12) có hệ số nguyên = 12. Thay = −3thì tam thức bằng 0 nên tam thức chia hết cho + 3. Thực hiện phép chia ta được+ 7 + 12 = ( + 3)( + 4). Vậy = + 9 + 26 + 24 = ( + 2)( + 3)( + 4) Phương pháp 9 : Phương pháp giảm dần số mũ của lũy thừaPhương pháp này chỉ sử dụng được cho các đa thức có dạng như a + a + 1, a + a + 1, …là những đa thức có dạng + + 1. Tuy nhiên khi tìm cách giảm dần số số mũ củalũy thừa, ta cần chú ý đến các biểu thức dạng − 1, − 1 là những biểu thức chia hết cho+ + 1.Ví dụ: Phân tích thành nhân tử = + + 1Giải : Ta có= + + − + − + − + 1= ( − ) + ( − ) + ( − ) + ( + + 1)Mà − = ( − 1) = ( − 1)( + 1) = ( + 1)( − 1)( + + 1)Và = ( + + 1)[( + 1)( − 1)( + 1) + ( − 1) + 1]= ( + + 1)( − + − + − + 1) Phương pháp 10: Dùng tính đối xứng của biểu thức đối với các chữVí dụ: Phân tích thành nhân tử:= ( + )( − ) + ( + ) + ( + )( − ) + ( + )( − )Đây là 1 biểu thức đối xứng đối với a,b,c. Ta nhận thấy khi thay = thì ta được= ( + )( − ) + ( + )( − ) = 0. Coi A là 1 biểu thức bậc ba của a thì nhưvậy khi = , ta có = 0, tức là đa thức chia hết cho − .

5

Vì tính đối xứng của biểu thức đối với a,b,c nên ta thấy A cũng chia hết(b − c) và(c − a),tức là = ( − )( − )( − ). ( )(1) trong đó ( ) là đa thức bậc nhất của a. Vì vaitrò tương tự giữa a,b,c nên f(x) cũng là bậc nhất đối với b và c tức là ( ) = + +Nhưng vì đa thức đối xứng đối với a,b,c nên m=n=p .Do đó= ( − )( − )( − )( + + ) (2)Để tính m, ta chỉ việc lấy 3 giá trị khác nhau bất kì của a,b,c rồi thay vào (2).Chọn = 0, = 1, = 2, ta có = 2.4 + 2. (−1) = (−1)(−1).2.3 ⇔ 6 = 6 ⇔ = 1Vậy = ( − )( − )( − )( + + ) Phương pháp 11: Xét giá trị riêngVí dụ : Phân tích thành nhân tử = ( − ) + ( − ) + ( − )Giải: Nếu thay a bởi b thì = 0 + ( − ) + ( − ) = 0 ê ế − .Do vai trò của a,b,c như nhau trong đa thức nên P chia hết chia ( − )( − )( − ).Trong phép chia đó, đa thức bị chia P có bậc ba đối vơi tập hợp các biến nên thương là hằngsố K. Trong đẳng thức ( − ) + ( − ) + ( − ) = ( − )( − )( − ) tacho các biến nhân giá trị riêng = 2, = 1, = 0 ta được 2.1.1 + 0 + 0 = . 1.1. (−2) dođó: 2 = −2 , suy ra = −1Vậy = −( − )( − )( − ) = ( − )( − )( − ) Phương pháp 12 : Hệ số bất định (đồng nhất thức)Ví dụ: Phân tích − 15 − 18 thành nhân tửGiải : Giả sử (nếu) đa thức trên phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng− 15 − 18 = ( + )( + + ) ⇔ − 15 − 18= + ( + ) + ( + ) ++ = 0Đồng nhất ở 2 vế ta có: + = −15 từ = −18 ta có thể chọn a=3; c= -6; b= -3= −18Thỏa mãn điều kiện trên. Vậy − 15 − 18 = ( + 3)( − 3 − 6)