tailieu.vncty.com day-hoc-gioi-han-phat-huy-tinh-tcnt

më ®Çu

1. lý do chän ®Ò tµi

1.1. §æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc nh»m ph¸t huy tÝnh tÝch cùc

nhËn thøc cña häc sinh lµ yªu cÇu tÊt yÕu vµ cÊp b¸ch cña Gi¸o dôc . §Ó

®¸p øng ®îc nh÷ng yªu cÇu míi cña sù nghiÖp c«ng nghiÖp hãa, hiÖn

®¹i hãa ®Êt níc, sù th¸ch thøc tríc nguy c¬ tôt hËu trªn con ®êng tiÕn

vµo thÕ kû XXI b»ng c¹nh tranh trÝ tuÖ ®ang ®ßi hái ph¶i ®æi míi

Gi¸o dôc, trong ®ã cã viÖc ®æi míi c¨n b¶n vÒ ph¬ng ph¸p d¹y vµ häc,

sím tiÕp cËn tr×nh ®é gi¸o dôc Phæ th«ng ë çc níc ph¸t triÓn trong

khu vùc vµ trªn ThÕ giíi (®©y kh«ng ph¶i vÊn ®Ò riªng cña níc ta, mµ lµ

vÊn ®Ò ®ang ®îc quan t©m ë mäi quèc gia) nh»m n©ng cao chÊt lîng

gi¸o dôc toµn diÖn thÕ hÖ trÎ, ph¸t triÓn nguån nh©n lùc trong giai

®o¹n míi, phôc vô çc yÒu cÇu ®a d¹ng cña nÒn Kinh tÕ – X· héi.

Sù ph¸t triÓn víi tèc ®é mang tÝnh bïng næ cña khoa häc c«ng

nghÖ thÓ hiÖn qua sù ra ®êi nhiÒu thµnh tùu míi còng nh kh¶ n¨ng

øng dông chóng vµo thùc tÕ cao, réng vµ nhanh còng ®ßi hái ph¶i

®æi míi Gi¸o dôc. Trong bèi c¶nh héi nhËp giao lu, häc sinh ®îc tiÕp

nhËn nhiÒu nguån th«ng tin ®a d¹ng, phong phó, tõ nhiÒu mÆt cña

cuéc sèng, nªn hiÓu biÕt linh ho¹t vµ thùc tÕ h¬n nhiÒu, so víi çc thÕ

hÖ cïng løa tríc ®©y mÊy chôc n¨m (®Æc biÖt lµ häc sinh THPT). V×

vËy, ®ßi hái Gi¸o dôc - §µo t¹o ph¶i x¸c ®Þnh l¹i môc tiªu, néi dung, ph-

¬ng ph¸p, ph¬ng tiÖn, tæ chøc, çch ®¸nh gi¸, theo ®Þnh híng ®æi míi

ph¬ng ph¸p d¹y häc ®· ®îc x¸c ®Þnh trong çc tµi liÖu sau:

+ NghÞ quyÕt Trung ¬ng 4 khãa VII (1- 1993) ®· ®Ò ra nhiÖm vô

''®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc ë tÊt c¶ çc cÊp häc, bËc häc".

+ NghÞ quyÕt Trung ¬ng 2 khãa VIII (12- 1996) ®· chØ râ: "ph¬ng

ph¸p Gi o dôc - §µo t¹o chËm ®îc ®æi míi, cha ph¸t huy ®îc tÝnh tÝch cùc,

www.vnmath.com

1

chñ ®éng s¸ng t¹o cña ngêi häc".

+ LuËt Gi¸o dôc (12- 1998), cô thÓ hãa trong c¸c chØ thÞ cña Bé

Gi¸o dôc - §µo t¹o, ®Æc biÖt chØ thÞ sè 14 (4-1999).

+ LuËt Gi¸o dôc, ®iÒu 28.2, ®· ghi: ''Ph¬ng ph¸p Gi o dôc - Phæ

th«ng ph¶i ph¸t huy tÝnh tÝch cùc, tù gi c, chñ ®éng, s¸ng t¹o cña häc sinh;

phï hîp víi ®Æc ®iÓm tõng líp häc, m«n häc; båi dìng ph¬ng ph¸p tù häc, rÌn

luyÖn kü n¨ng, vËn dông kiÕn thøc vµo thùc tiÔn; t¸c ®éng ®Õn t×nh c¶m,

®em l¹i niÒm vui høng thó cho häc sinh’'.

Nh vËy, quan ®iÓm chung vÒ híng ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc

hiÖn nay (vµ còng lµ mét trong nh÷ng xu thÕ d¹y häc hiÖn ®¹i trªn ThÕ

giíi), trong ®ã cã ph¬ng ph¸p d¹y häc m«n To¸n ®· ®îc kh¼ng ®Þnh,

kh«ng cßn lµ vÊn ®Ò ®Ó tranh luËn n÷a: Cèt lâi cña ph¬ng ph¸p d¹y

häc lµ ph¸t huy TTCNT trong häc tËp cña häc sinh, kh¬i dËy vµ ph¸t triÓn

kh¶ n¨ng tù häc, nh»m h×nh thµnh cho häc sinh t duy tÝch cùc, ®éc lËp,

s¸ng t¹o, ®Ó t¹o cho häc sinh häc tËp mét c¸ch tÝch cùc, chñ ®éng, chèng

l¹i thãi quen häc tËp thô ®éng. §ã lµ híng tíi häc tËp trong ho¹t ®éng vµ

b»ng ho¹t ®éng, tøc lµ cho häc sinh ®îc suy nghÜ nhiÒu h¬n, th¶o luËn

nhiÒu h¬n, ho¹t ®éng nhiÒu h¬n, khi ®øng tríc mét vÊn ®Ò cña néi dung

bµi häc hay mét yªu cÇu thùc tiÔn cña cuéc sèng. §©y chÝnh lµ tiªu chÝ,

thíc ®o, ®¸nh gi¸ sù ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc.

Trªn tinh thÇn ®ã, viÖc d¹y häc kh«ng chØ ph¶i thùc hiÖn nhiÖm

vô trang bÞ cho häc sinh, nh÷ng kiÕn thøc cÇn thiÕt vÒ m«n d¹y, mµ

®iÒu cã ý nghÜa to lín cßn ë chæ dÇn dÇn h×nh thµnh vµ rÌn luyÖn

cho häc sinh tÝnh tÝch cùc, ®éc lËp s¸ng t¹o trong qu¸ tr×nh häc tËp,

®Ó häc sinh cã thÓ chñ ®éng, tù lùc, tù ®µo t¹o, tù hoµn thiÖn tri thøc

trong ho¹t ®éng thùc tiÔn sau nµy. Do ®ã, viÖc thiÕt kÕ nh÷ng néi

dung d¹y häc cô thÓ, nh»m t¹o m«i trêng ®Ó t duy nhËn thøc cña häc

sinh ®îc ho¹t ®éng tÝch cùc, lµ rÊt cÇn thiÕt. Ch¼ng h¹n, d¹y häc kh¸i

www.vnmath.com

2

niÖm vÒ chñ ®Ò Giíi h¹n cã thÓ lµ minh chøng râ nÐt cho viÖc d¹y häc

theo híng ph¸t huy TTCNT cña häc sinh.

1.2. Chñ ®Ò ''Giíi h¹n'' lµ mét trong nh÷ng ch¬ng quan träng, c¬

b¶n, nÒn t¶ng vµ khã cña Gi¶i tÝch To¸n häc ë THPT. Kh¸i niÖm Giíi

h¹n kh«ng chØ lµ kiÕn thøc c¬ b¶n nÒn t¶ng cña Gi¶i tÝch v×: ''kh«ng

cã Giíi h¹n th× kh«ng cã Gi¶i tÝch. HÇu hÕt çc kh¸i niÖm cña Gi¶i

tÝch ®Òu liªn quan ®Õn Giíi h¹n'' [37, tr. 147] mµ cßn lµ kh¸i niÖm

To¸n häc khã ®èi víi häc sinh. Cã thÓ nãi khi häc vÒ chñ ®Ò Giíi h¹n

lµ qu¸ tr×nh biÕn ®æi vÒ chÊt trong nhËn thøc cña häc sinh, ë ®©y

häc sinh ®îc xem xÐt çc sù kiÖn trong mèi liªn hÖ qua l¹i cña thÕ giíi

kh¸ch quan râ rµng nhÊt. V× ta ®· biÕt §¹i sè ®Æc trng bëi kiÓu t duy

“h÷u h¹n”, “rêi r¹c”, “tÜnh t¹i”, cßn khi häc vÒ Gi¶i tÝch kiÓu t duy chñ

yÕu ®îc vËn dông liªn quan ®Õn “v« h¹n”, “liªn tôc”, “biÕn thiªn”. Kh¸i

niÖm Giíi h¹n chÝnh lµ c¬ së cho phÐp nghiªn cøu çc vÊn ®Ò g¾n

liÒn víi “v« h¹n’’, ‘’liªn tôc’’, ‘’biÕn thiªn’’. Do vËy, n¾m v÷ng ®îc néi

dung kh¸i niÖm Giíi h¹n lµ kh©u ®Çu tiªn, lµ tiÒn ®Ò quan träng ®Ó

x©y dùng cho häc sinh kh¶ n¨ng vËn dông v÷ng ch¾c, cã hiÖu qu¶

çc kiÕn thøc Gi¶i tÝch To¸n häc ë phæ th«ng. Chñ ®Ò Giíi h¹n cã vai

trß hÕt søc quan träng trong to¸n häc phæ th«ng cßn lÏ v× : "kh¸i niÖm

Giíi h¹n lµ c¬ së, hµm sè liªn tôc lµ vËt liÖu ®Ó x©y dùng çc kh¸i

niÖm ®¹o hµm vµ tÝch ph©n. §©y lµ néi dung bao trïm ch¬ng tr×nh

Gi¶i tÝch THPT’’ [4, tr. 12]. §Ó hiÓu ®îc chøng minh, n¾m v÷ng néi

dung cña nh÷ng kh¸i niÖm Giíi h¹n cÇn thiÕt ph¶i cã nh÷ng ph¬ng

thøc s ph¹m tèt, ®ã lµ çc çch thøc vµ ph¬ng tiÖn thÝch hîp, nh÷ng lêi

nãi sinh ®éng, nh÷ng h×nh ¶nh trùc quan, nh÷ng vÝ dô cô thÓ, rÌn

luyÖn vµ ph¸t triÓn kh¶ n¨ng chuyÓn ®æi tõ ng«n ng÷ th«ng thêng

sang ng«n ng÷ To¸n häc, kh¶ n¨ng thùc hiÖn çc thao t¸c t duy c¬ b¶n,

nh÷ng s¬ ®å, b¶ng biÓu, nh÷ng bµi tËp thÝch hîp vµ nh÷ng t×nh

www.vnmath.com

3

huèng s ph¹m...). Trong qu¸ tr×nh d¹y häc, gi¸o viªn phèi hîp sö dông

víi tõng néi dung bµi häc hîp lý ®Ó gãp phÇn t¹o nªn nh÷ng ho¹t ®éng

vµ giao lu cña gi¸o viªn víi häc sinh vµ häc sinh víi häc sinh, nh»m ®¹t

®îc çc môc tiªu d¹y häc chñ ®Ò quan träng nµy.

1.3. Thùc tiÔn cña ®æi míi ch¬ng tr×nh, c¶i çch ph¬ng ph¸p d¹y häc

hiÖn nay cho thÊy viÖc sö dông çc ph¬ng thøc s ph¹m thÝch hîp theo h-

íng ph¸t huy TTCNT cña häc sinh th× sÏ n©ng cao chÊt lîng d¹y häc. Häc

vÊn nhµ trêng trang bÞ kh«ng thÓ th©u tãm ®îc mäi tri thøc mong

muèn. V× vËy gi¸o viªn ph¶i coi träng viÖc d¹y chiÕm lÜnh vµ kiÕn t¹o

kiÕn thøc cña loµi ngêi. §èi víi tõng néi dung kiÕn thøc, gi¸o viªn ph¶i

biÕt khai th¸c sö dông nh÷ng ph¬ng thøc s ph¹m víi qui tr×nh d¹y häc

thÝch hîp ®Ó ph¸t huy TTCNT cña häc sinh, trªn c¬ së ®ã ngêi häc cã

n¨ng lùc vµ thãi quen tiÕp tôc häc tËp suèt ®êi. X· héi ®ßi hái ngêi cã

häc vÊn hiÖn ®¹i, kh«ng chØ cã kh¶ n¨ng lÊy ra tõ trÝ nhí çc tri thøc

cã s½n ®· lÜnh héi ë nhµ trêng phæ th«ng, mµ cßn ph¶i cã kh¶ n¨ng

chiÕm lÜnh vµ biÕt çch thøc sö dông tri thøc mét çch ®éc lËp, cã

kh¶ n¨ng ®¸nh gi¸ çc sù kiÖn, hiÖn tîng míi çc t tëng mét çch th«ng

minh s¸ng suèt, khi gÆp trong cuéc sèng trong lao ®éng vµ trong

quan hÖ víi mäi ngêi.

Do cã nh÷ng thay ®æi trong ®èi tîng gi¸o dôc, häc sinh ®îc tiÕp

nhËn nhiÒu nguån th«ng tin ®a d¹ng, phong phó, tõ nhiÒu mÆt cña

cuéc sèng, hiÓu biÕt ®îc nhiÒu h¬n, linh ho¹t vµ thùc tÕ h¬n so víi çc

thÕ hÖ cïng løa tuæi tríc ®©y. MÆt kh¸c, trong häc tËp häc sinh

kh«ng tháa m·n víi vai trß ngêi tiÕp thu thô ®éng, kh«ng chØ chÊp

nhËn çc gi¶i ph¸p ®· cã s½n ®îc ®a ra, ë løa tuæi nµy n¶y sinh mét

yªu cÇu vµ còng lµ mét qu¸ tr×nh: sù lÜnh héi ®éc lËp çc tri thøc vµ

ph¸t triÓn çc kÜ n¨ng. §Ó h×nh thµnh ph¬ng thøc häc tËp mét çch

www.vnmath.com

4

®éc lËp, ph¸t huy ®îc vai trß tÝch cùc häc tËp cña häc sinh mét çch

chñ ®Þnh th× cÇn ph¶i cã sù híng dÉn cña gi¸o viªn, çc biÖn ph¸p,

ph¬ng thøc s ph¹m thÝch hîp ®èi víi tõng néi dung bµi häc cô thÓ,

gióp häc sinh häc tËp høng thó, vËn dông tèt tiÒm lùc s½n cã ®Ó ph¸t

huy cao TTCNT.

V× nh÷ng lý do trªn ®©y, chóng t«i chän ®Ò tµi nghiªn cøu cña luËn

v¨n:

“Quan ®iÓm Gi¶i tÝch vÒ çc çch tiÕp cËn kh¸i niÖm Giíi h¹n vµ viÖc

ph¸t huy TTCNT cña häc sinh trong d¹y häc chñ ®Ò Giíi h¹n ë bËc THPT''.

2. Môc ®Ých nghiªn cøu

2.1. X¸c ®Þnh c¬ së lý luËn c¬ b¶n vÒ ph¸t huy TTCNT cña häc

sinh qua häc m«n To¸n .

2.2. ThiÕt kÕ x©y dùng nh÷ng ph¬ng thøc s ph¹m thÝch hîp cho

viÖc d¹y häc chñ ®Ò Giíi h¹n theo híng ph¸t huy TTCNT cña häc sinh.

3. NhiÖm vô nghiªn cøu

3.1. T×m hiÓu d¹y häc chñ ®Ò Giíi h¹n ë líp 11-THPT.

3.2. X¸c ®Þnh lµm râ c¬ së lý luËn, s¸ng tá vai trß vµ vÞ trÝ cña

Gi¶i tÝch nãi chung vµ chñ ®Ò Giíi h¹n nãi riªng ë THPT vµ viÖc ph¸t

huy TTCNT cña häc sinh.

3.3. V¹ch râ b¶n chÊt, ®Ò xuÊt çc ®Þnh híng tõ ®ã x©y dùng çc

ph¬ng thøc s ph¹m thÝch hîp theo híng ph¸t huy TTCNT cña häc sinh

th«ng qua d¹y häc chñ ®Ò Giíi h¹n ®Æc biÖt lµ çc kh¸i niÖm "Giíi h¹n

vÒ d·y sè vµ hµm sè, hµm sè liªn tôc " cho häc sinh líp 11-THPT.

3.4. Thùc nghiÖm s ph¹m nh»m kiÓm tra, ®¸nh gi¸ tÝnh kh¶ thi vµ

hiÖu qu¶ cña néi dung çc ph¬ng thøc ®· ®Ò xuÊt.

4. Gi¶ thUYÕt khoa häc

Trªn c¬ së t«n träng néi dung ch¬ng tr×nh vµ SGK hiÖn hµnh nÕu

®Þnh híng ®îc viÖc x©y dùng çc ph¬ng thøc s ph¹m thÝch hîp vµo d¹y

www.vnmath.com

5

häc chñ ®Ò Giíi h¹n theo híng ph¸t huy TTCNT th× sÏ kÝch thÝch tÝnh

tÝch cùc, tù gi¸c, chñ ®éng, ®éc lËp, s¸ng t¹o cña häc sinh, tõ ®ã n©ng

cao ®îc hiÖu qu¶ d¹y häc chñ ®Ò Giíi h¹n nãi riªng, chÊt lîng d¹y häc

To¸n nãi chung.

5. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu

5.1. Nghiªn cøu lý luËn: Nghiªn cøu çc v¨n kiÖn cña §¶ng, çc v¨n

b¶n, tµi liÖu cña nghµnh Gi¸o dôc- §µo t¹o cã liªn quan ®Õn viÖc d¹y

häc m«n To¸n ë trêng THPT, çc tµi liÖu t©m lý gi¸o dôc vÒ ph¸t huy

TTCNT cña häc sinh ®Ó phôc vô cho ®Ò tµi luËn v¨n.

- T×m hiÓu ph©n tÝch ch¬ng tr×nh, SGK, lý luËn d¹y häc vÒ Gi¶i

tÝch chñ ®Ò Giíi h¹n vµ çc tµi liÖu tham kh¶o kh¸c cã liªn quan.

5.2. T×m hiÓu, ®iÒu tra thùc tiÔn: Quan s¸t dù giê thùc d¹y häc

sinh, tæng kÕt kinh nghiÖm d¹y häc chñ ®Ò Giíi h¹n.

5.3. Thùc nghiÖm s ph¹m: TiÕn hµnh d¹y thùc nghiÖm mét sè tiÕt

ë trêng THPT ®Ó x¸c ®Þnh tÝnh kh¶ thi vµ hiÖu qu¶ cña ®Ò tµi

luËn v¨n.

6. §ãng gãp cña luËn v¨n

6.1. VÒ mÆt lý luËn:

- HÖ thèng hãa mét sè vÊn ®Ò lý luËn c¬ b¶n vÒ ph¸t huy TTCNT cña

häc sinh.

- X©y dùng vµ thùc nghiÖm çc ph¬ng thøc s ph¹m thÝch hîp trong

d¹y häc vÒ Gi¶i tÝch chñ ®Ò Giíi h¹n, nh»m ph¸t huy TTCNT cña häc

sinh.

6.2. VÒ mÆt thùc tiÔn:

- Qua LuËn v¨n nµy gióp gi¸o viªn hiÓu râ vµ n¾m v÷ng hÖ thèng

çc ph¬ng thøc s ph¹m thÝch hîp trong d¹y häc nh»m ph¸t huy TTCNT

cña häc sinh th«ng qua d¹y häc chñ ®Ò Giíi h¹n.

- Cã thÓ sö dông LuËn v¨n ®Ó lµm tµi liÖu tham kh¶o cho gi¸o viªn

www.vnmath.com

6

To¸n ®Ó gãp phÇn n©ng cao hiÖu qu¶ d¹y häc ë trêng THPT.

7. CÊu tróc cña luËn v¨n

LuËn v¨n, ngoµi phÇn më ®Çu, kÕt luËn vµ tµi liÖu tham kh¶o, cã 3 ch¬ng

sau ®©y:

Ch¬ng 1: C¬ së lý luËn vµ thùc tiÔn

1.1. Ph¸t huy tÝnh tÝch cùc nhËn thøc cña häc sinh trong d¹y häc.

1.1.1. Quan niÖm vÒ tÝnh tÝch cùc nhËn thøc (TTCNT) cña häc

sinh.

1.1.2. V× sao ph¶i ph¸t huy TTCNT cña häc sinh?

1.1.3. Çc cÊp ®é cña TTCNT.

1.1.4. Mét sè biÓu hiÖn TTCNT cña häc sinh trong häc tËp m«n

To¸n.

1.1.5. Çc ph¬ng thøc s ph¹m thÝch hîp nh»m ph¸t huy TTCNT

cña häc sinh trong d¹y häc néi

dung chñ ®Ò Giíi h¹n.

1.2. Quan ®iÓm vÒ Gi¶i tÝch vµ vÞ trÝ ®Æc ®iÓm cña Giíi h¹n ë

THPT.

1.2.1. VÞ trÝ ®Æc ®iÓm Giíi h¹n cña Gi¶i tÝch ë THPT.

1.2.2. Quan ®iÓm thø nhÊt: Gi¶i tÝch mµ §¹i sè hãa t¨ng cêng ë

THPT.

1.2.3. Quan ®iÓm thø hai: Gi¶i tÝch xÊp xØ ë THPT.

1.2.4. Quan ®iÓm thø ba: Gi¶i tÝch hçn hîp ë THPT.

1.3. Thùc tiÔn d¹y häc chñ ®Ò kh¸i niÖm Giíi h¹n cña Gi¶i tÝch ë

THPT .

1.4. KÕt luËn ch¬ng 1.

Ch¬ng 2: çc çch tiÕp cËn kh¸I niÖm GIíI H¹N Vµ VIÖC

PH¸T HUY TÝNH tÝCH cùc NHËN THøc cña HäC SINH

www.vnmath.com

7

TRONG D¹Y HäC chñ ®Ò GiíI H¹N ë bËc THPT

2.1. Çc çch tiÕp cËn kh¸i niÖm Giíi h¹n ë THPT.

2.1.1. Çc çch tiÕp cËn ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm “ Giíi h¹n d·y sè”.

2.1.2. Çc çch tiÕp cËn ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm “ Giíi h¹n hµm sè”.

2.1.3. Çc çch ®Þnh nghÜa sù liªn tôc - gi¸n ®o¹n hµm sè t¹i mét

®iÓm.

2.1.4. VÒ viÖc më réng kh¸i niÖm giíi h¹n cña d·y sè vµ hµm sè.

2.2.VÝ dô minh häa d¹y häc chñ ®Ò Giíi h¹n theo híng ph¸t huy

TTCNT.

2.2.1. Thùc hiÖn kÕ ho¹ch bµi häc theo ph¬ng ph¸p d¹y häc tÝch

cùc víi

kh¸i niÖm ®Ò giíi h¹n

2.2.2. Minh häa d¹y häc kh¸i niÖm Giíi h¹n.

2.2.3. Minh häa d¹y häc bµi tËp vÒ Giíi h¹n víi chøc n¨ng ph t huy TTCNT.

2.2.4. Dù ®o¸n ph¸t hiÖn nguyªn nh©n vµ híng kh¾c phôc nh÷ng

khã

kh¨n sai lÇm cña häc sinh khi häc chñ ®Ò Giíi h¹n.

2.3. KÕt luËn ch¬ng 2.

ch¬ng 3: thùc nghiÖm s ph¹m

3.1. Môc ®Ých thùc nghiÖm.

3.2. Tæ chøc vµ néi dung thùc nghiÖm

3.3. §¸nh gi¸ kÕt qu¶ thùc nghiÖm.

3.4. KÕt luËn ch¬ng 3 thùc nghiÖm s ph¹m.

Ch¬ng 1C¥ Së Lý LUËN Vµ THùC TIÔN

1.1. PH¸T HUY TTCNT CñA HäC SINH TRONG D¹y HäC

www.vnmath.com

8

Theo Rubinstein X. L : ''Ngêi ta b¾t ®Çu t duy khi cã nhu cÇu hiÓu

biÕt mét çi g×. T duy thêng xuÊt ph¸t tõ mét vÊn ®Ò hay mét c©u hái,

tõ mét sù ng¹c nhiªn hay mét ®iÒu tr¨n trë'', mµ h¹t nh©n c¬ b¶n cña

TTCNT lµ ho¹t ®éng t duy, nªn ph¸t huy tÝnh tÝch cùc nhËn thøc

(TTCNT) chÝnh lµ nh»m ph¸t triÓn t duy, ®Æc biÖt lµ t duy to¸n häc

cho häc sinh, vËy thÕ nµo lµ TTCNT cña häc sinh trong häc tËp ?

1.1.1. Quan niÖm vÒ TTCNT cña häc sinh

Theo Kharlamop: ''TÝnh tÝch cùc lµ tr¹ng th¸i ho¹t ®éng cña chñ thÓ,

TTCNT lµ tr¹ng th¸i ho¹t ®éng cña häc sinh, ®îc ®Æc trng bëi kh¸t

väng häc tËp, cè g¾ng trÝ tuÖ vµ nghÞ lùc cao trong qu¸ tr×nh n¾m

v÷ng kiÕn thøc''. NhiÒu nhµ khoa häc trong vµ

ngoµi níc nhËn ®Þnh vÒ TTCNT cña häc sinh trong qu¸ tr×nh häc tËp

theo nh÷ng gãc ®é, nh÷ng dÊu hiÖu kh¸c nhau cña chñ thÓ ®èi víi

kh¸ch thÓ, ®ã lµ:

- Sù c¨ng th¼ng chó ý, sù tëng tîng, ph©n tÝch tæng hîp,...( R«®ac

I.I.).

- Lßng mong muèn kh«ng chñ ®Þnh vµ g©y nªn biÓu hiÖn bªn ngoµi

hoÆc bªn trong cña sù ho¹t ®éng (¤k«n V.).

- Cêng ®é, ®é s©u, nhÞp ®iÖu cña nh÷ng ho¹t ®éng, quan s¸t, chó ý, t

duy ghi nhí trong mét thêi gian nhÊt ®Þnh ( TS. Ph¹m ThÞ DiÖu V©n).

- Huy ®éng møc ®é cao çc chøc n¨ng t©m lý, ®Æc biÖt lµ chøc

n¨ng t duy ( TS. §Æng Vò Ho¹t).

- Hµnh ®éng ý chÝ, tr¹ng th¸i ho¹t ®éng vÒ vÎ bÒ ngoµi cã vÎ gièng nhau

nhng kh¸c nhau vÒ b¶n chÊt khi xÐt ®Õn ho¹t ®éng c¶i t¹o trong ý thøc cña

chñ thÓ (Aristova L.).

- Th¸i ®é c¶i t¹o cña chñ thÓ ®èi víi kh¸ch thÓ th«ng qua sù ho¹t ®éng ë

møc ®é cao çc chøc n¨ng t©m lý nh»m gi¶i quyÕt nh÷ng vÊn ®Ò häc tËp -

nhËn thøc ( TS . NguyÔn Ngäc B¶o).

www.vnmath.com

9

- TTCNT ph¶i thÓ hiÖn tríc hÕt ë ®éng c¬ häc To¸n ®óng ®¾n, tõ ®ã

tù gi c häc tËp mét çch høng thó, tõ chç cha biÕt ®Õn biÕt, tõ chç biÕt

®Õn biÕt s©u s¾c, kh«ng nh÷ng tiÕp thu ®îc chuÈn x¸c kiÕn thøc To¸n

häc, mµ cßn ®óc kÕt ®îc ph¬ng ph¸p suy nghÜ gi¶i quyÕt vÊn ®Ò (TS.

Lª Thèng NhÊt).

Trªn ®©y lµ çch nhËn ®Þnh vÒ TTCNT cña çc nhµ t©m lý häc,

gi¸o dôc häc. Kh¸c víi qu¸ tr×nh nhËn thøc trong nghiªn cøu khoa häc,

qu¸ tr×nh nhËn thøc trong häc tËp, kh«ng nh»m ph¸t huy nh÷ng ®iÒu

loµi ngêi cha biÕt mµ nh»m lÜnh héi nh÷ng tri thøc loµi ngêi ®· tÝch

lòy ®îc. Tuy nhiªn trong häc tËp häc sinh còng ph¶i ''kh¸m ph¸'' ra

nh÷ng hiÓu biÕt míi ®èi víi b¶n th©n. Häc sinh sÏ ghi nhí th«ng tin qua

hiÓu nh÷ng g× ®· n¾m ®îc qua ho¹t ®éng chñ ®éng, næ lùc cña

chÝnh m×nh. §ã lµ cha nãi ®Õn, khi tíi mét tr×nh ®é nhÊt ®Þnh, sù

häc tËp tÝch cùc vÒ nhËn thøc sÏ mang tÝnh nghiªn cøu khoa häc vµ

ngêi häc còng lµm ra ®îc nh÷ng tri thøc míi cho khoa häc.

TTCNT trong ho¹t ®éng häc tËp liªn quan tríc hÕt víi ®éng c¬ häc

tËp. §éng c¬ ®óng t¹o ra høng thó. Høng thó lµ tiÒn ®Ò cña tù gi¸c

(høng thó vµ tù gi¸c lµ hai yÕu tè t©m lý t¹o nªn TTCNT). TTCNT s¶n

sinh nÕp t duy ®éc lËp. Suy nghÜ ®éc lËp lµ mÇm mèng cña s¸ng

t¹o. TÝch cùc g¾n liÒn víi ®éng c¬, víi sù kÝch thÝch høng thó, víi ý

thøc høng thó, cã ý thøc vÒ sù tù gi¸c häc tËp, ý thøc vÒ sù gi¸o dôc

cña chÝnh m×nh, v× vËy cã thÓ hiÓu tiªu chÝ nh»m ph¸t huy TTCNT

lµ tÝnh tÝch cùc t duy (t duy bªn trong), tÊt nhiªn ph¶i ®îc thÓ hiÖn qua

ng«n ng÷ vµ hµnh ®éng tÝch cùc (biÓu hiÖn c¶ bªn ngoµi).

Ngîc l¹i, phong çch häc tËp ph¸t huy TTCNT, ®éc lËp, s¸ng t¹o sÏ

ph¸t triÓn tù gi¸c, høng thó, båi dìng ®éng c¬ häc tËp. Ta cã thÓ minh

häa mèi liªn hÖ t¸c ®éng qua l¹i ®ã nh sau:

www.vnmath.com

10

§éng c¬

HøNG THó

Tù GI¸C ↔ ↔ S¸NG T¹O

TtC ↔ ↔ §éC LËP

TTCNT vµ tÝnh tÝch cùc häc tËp cã liªn quan chÆt chÏ víi nhau, nhng

kh«ng ph¶i ®ång nhÊt. Cã mét sè trêng hîp, tÝnh tÝch cùc häc tËp thÓ

hiÖn ë sù tÝch cùc bªn ngoµi, mµ kh«ng ph¶i tÝch cùc trong t duy. §ã lµ

®iÒu cÇn lu ý khi nhËn xÐt ®¸nh gi¸ TTCNT cña häc sinh.

RÌn luyÖn kü n¨ng häc tËp mét çch tÝch cùc ®éc lËp cho häc

sinh, ®Ó häc sinh chñ ®éng tù lùc chiÕm lÜnh kiÕn thøc lµ çch hiÖu

qu¶ nhÊt, lµm cho häc sinh hiÓu kiÕn thøc mét çch s©u s¾c vµ cã ý

thøc. Vèn kiÕn thøc, mµ häc sinh n¾m ®îc tõ nç lùc cña b¶n th©n

chØ sèng vµ sinh s«i n¶y në nÕu häc sinh biÕt sö dông nã mét çch

chñ ®éng ®éc lËp s¸ng t¹o. TÝnh ®éc lËp thùc sù cña häc sinh biÓu

hiÖn ë sù ®éc lËp suy nghÜ, ë chç biÕt häc tËp mét çch hîp lý khoa

häc trªn c¬ së qu¸ tr×nh gi¸o viªn híng dÉn, cã ph¶i ®©y lµ mét trong

nh÷ng lý do ph¸t huy TTCNT cña häc sinh ?

1.1.2. V× sao ph¶i ph¸t huy TTCNT cña häc sinh ?

Trong qu¸ tr×nh d¹y häc, TTCNT cña häc sinh kh«ng chØ tån t¹i

nh mét tr¹ng th¸i, mét ®iÒu kiÖn, mµ nã cßn lµ kÕt qu¶ cña qu¸ tr×nh

ho¹t ®éng nhËn thøc, lµ môc ®Ých cña qu¸ tr×nh d¹y häc, chØ cã qu¸

tr×nh nhËn thøc tÝch cùc míi t¹o cho häc sinh cã tri thøc, kü n¨ng, kü

x¶o, h×nh thµnh ë häc sinh tÝnh ®éc lËp s¸ng t¹o vµ nh¹y bÐn khi gi¶i

quyÕt çc vÊn ®Ò trong häc tËp còng nh thùc tiÔn.

www.vnmath.com

11

TtCnT

HiÖn nay vµ trong t¬ng lai x· héi loµi ngêi ®ang vµ sÏ ph¸t triÓn tíi

mét h×nh mÉu ''X· héi cã sù thèng trÞ cña kiÕn thøc'' díi t¸c ®éng cña

sù bïng næ vÒ khoa häc vµ c«ng nghÖ cïng nhiÒu yÕu tè kh¸c. §Ó cã

thÓ tån t¹i vµ ph¸t triÓn trong mét x· héi nh vËy, con ngêi ph¶i cã kh¶

n¨ng chiÕm lÜnh sö dông tri thøc mét çch ®éc lËp s¸ng t¹o. HiÖu qu¶

lÜnh héi tri thøc kh«ng ph¶i chØ lµ ë chç tri gi¸c vµ gi÷ l¹i th«ng tin mµ

cßn ë chç c¶i biÕn çc kÕt qu¶ th«ng tin Êy. §iÒu nµy ®ßi hái häc sinh

ph¶i ho¹t ®éng tÝch cùc, t×m tßi kh¸m ph¸ nh÷ng kh©u cßn thiÕu trong

th«ng tin ®· tiÕp thu ®îc, c¶i biÕn nã thµnh çi cã nghÜa ®èi víi m×nh.

Ph¸t huy TTCNT cña häc sinh vµ t¨ng cêng ho¹t ®éng trÝ tuÖ ®éc

lËp cña häc sinh trong qu¸ tr×nh thu nhËn tri thøc rÌn luyÖn kü n¨ng kü

x¶o. TÝch cùc hãa viÖc d¹y häc kh«ng ph¶i chØ cã gi¸ trÞ vÒ mÆt

kÕt qu¶ trÝ dôc mµ cßn ®Æc biÖt quan träng vÒ mÆt gi¸o dôc, nã

¶nh hëng ®Õn viÖc h×nh thµnh nh©n çch cña häc sinh. Ph¸t huy

TTCNT trong häc tËp cña häc sinh cã t¸c dông ph¸t triÓn nh÷ng ®øc

tÝnh quý gi¸ nh tÝnh môc ®Ých, lßng ham hiÓu biÕt, tÝnh kiªn tr×, ãc

phª ph¸n... Nh÷ng phÈm chÊt ç nh©n nµy trë thµnh nh÷ng yÕu tè

kÝch thÝch bªn trong ®iÒu chØnh ho¹t ®éng nhËn thøc cña häc sinh

®ã lµ nh÷ng ®iÒu kiÖn hÕt søc quan träng gióp cho viÖc häc tËp ®¹t

kÕt qu¶ tèt.

Qu¸n triÖt tinh thÇn ®ã viÖc vËn dông ph¬ng ph¸p d¹y häc hiÖn

®¹i vµo d¹y häc m«n To¸n ®ßi hái ph¶i tÝch cùc hãa ho¹t ®éng nhËn

thøc cña häc sinh nh»m h×nh thµnh cho häc sinh t duy tÝch cùc ®éc

lËp vµ s¸ng t¹o, n©ng cao n¨ng lùc ph¸t hiÖn vµ gi¶i quyÕt vÊn ®Ò trªn

c¬ së nh÷ng kiÕn thøc to¸n häc ®îc tÝch lòy cã hÖ thèng. §Ó khai th¸c

hÕt n¨ng lùc häc tËp cña häc sinh, viÖc tæ chøc qu¸ tr×nh d¹y häc

ph¶i theo ®óng con ®êng nhËn thøc kh¸ch quan ''tõ trùc quan sinh

®éng ®Õn t duy trõu tîng vµ tõ t duy trõu tîng ®Õn thùc tiÔn'' mµ ®iÒu

www.vnmath.com

12

quan träng nhÊt lµ häc sinh høng thó tù gi¸c tham gia vµo qu¸ tr×nh

häc tËp vµ chØ cã thÕ míi ®¶m b¶o cho qu¸ tr×nh häc tËp ®¹t kÕt qu¶

cao. VËy trong häc tËp TTCNT cã çc cÊp ®é nµo ?

1.1.3. Çc cÊp ®é cña TTCNT

Trong t¸c phÈm ''Gi¸o dôc häc trêng phæ th«ng'' G.L.Sukina, ®·

chia trong häc tËp TTCNT cã ba cÊp ®é tõ thÊp ®Õn cao:

a) TÝnh tÝch cùc b¾t chíc, chÊp nhËn vµ t¸i hiÖn:

Häc sinh b¾t chíc vµ t¸i hiÖn ®îc çc kiÕn thøc ®· häc, thùc hiÖn

®îc çc thao t¸c kü n¨ng mµ gi¸o viªn ®· nªu ra. TTCNT ë ®©y xuÊt

hiÖn do t¸c ®éng bªn ngoµi nh yªu cÇu b¾t buéc cña gi¸o viªn, thêng

thÊy ë häc sinh cã n¨ng lùc nhËn thøc ë møc ®é díi trung b×nh vµ

trung b×nh.

b) TÝnh tÝch cùc t×m tßi ¸p dông:

Häc sinh ®éc lËp gi¶i quyÕt çc t×nh huèng häc tËp nh qu¸ tr×nh

lÜnh héi kh¸i niÖm, ®Þnh lý, bµi to¸n ... víi sù tham gia cña ®éng c¬

nhu cÇu høng thó vµ ý chÝ cña häc sinh. TÝnh tÝch cùc ë ®©y kh«ng

bÞ h¹n chÕ trong khu«n khæ nh÷ng yªu cÇu cña gi¸o viªn trong giê

häc mµ hoµn toµn tù ph¸t trong qu¸ tr×nh nhËn thøc, thÊy ë häc sinh

cã n¨ng lùc nhËn thøc trªn trung b×nh vµ kh¸.

c) TÝnh tÝch cùc s¸ng t¹o :

ThÓ hiÖn ë chç trong häc tËp häc sinh tù m×nh còng cã thÓ t×m

ra ®îc nh÷ng çch gi¶i quyÕt míi, ®éc ®¸o h÷u hiÖu hay thùc hiÖn tèt

çc yªu cÇu hµnh ®éng do gi¸o viªn ®a ra mµ kh«ng cÇn sù gióp ®ì

cña gi¸o viªn. Lo¹i nµy thêng thÊy ë häc sinh cã n¨ng lùc nhËn thøc ë

møc ®é giái, häc sinh n¨ng khiÕu.

Çc ph©n lo¹i trªn, gióp gi¸o viªn ®¸nh gi¸ ®îc møc ®é TTCNT cña

häc sinh theo mÆt b»ng chung cña c¶ líp. Tuy nhiªn nã cßn rÊt kh¸i

www.vnmath.com

13

qu¸t, muèn ®¸nh gi¸ ®óng møc ®é TTCNT cña häc sinh, gi¸o viªn cßn

ph¶i c¨n cø vµo çc mÆt biÓu hiÖn TTCNT cña häc sinh.

1.1.3.1. Çc mÆt biÓu hiÖn TTCNT cña häc sinh

a) BiÓu hiÖn vÒ mÆt ho¹t ®éng nhËn thøc:

TTCNT cña häc sinh thÓ hiÖn ë mÆt thao t¸c t duy, ng«n ng÷, sù

quan s¸t, ghi nhí, t duy h×nh thµnh kh¸i niÖm, ph¬ng thøc hµnh ®éng,

h×nh thµnh kü n¨ng, kü x¶o, çc c©u hái nhËn thøc cña häc sinh, gi¶i

®¸p çc c©u hái do gi¸o viªn ®a ra nhanh chãng chÝnh x¸c, sù kh¸t

khao häc hái, biÕt nhËn râ ®óng sai khi b¹n ®a ra ý kiÕn, hoµi nghi,

phª ph¸n vµ x¸c lËp çc quan hÖ gióp Ých cho ho¹t ®éng nhËn thøc.

b) BiÓu hiÖn vÒ mÆt c¶m xóc, t×nh c¶m:

Hay nªu th¾c m¾c, ®ßi hái gi¶i thÝch cÆn kÏ, nh÷ng vÊn ®Ò cha

®ñ râ, thÓ hiÖn sù ®am mª, sù sèt s¾ng, h¨ng h¸i thùc hiÖn yªu cÇu

mµ gi¸o viªn ®Æt ra, bæ sung çc c©u tr¶ lêi cña b¹n, thÝch ph¸t biÓu

ý kiÕn cña m×nh tríc vÊn ®Ò nªu ra.

c) BiÓu hiÖn vÒ mÆt ®éng c¬ ý chÝ:

TËp trung chó ý vµo vÊn ®Ò ®ang häc, cã nhu cÇu høng thó häc

tËp cã ý chÝ vµ quyÕt t©m kiªn tr×, hoµn thµnh çc bµi tËp, kh«ng n¶n

tríc nh÷ng t×nh huèng khã kh¨n.

d) BiÓu hiÖn vÒ kÕt qu¶ nhËn thøc:

LÜnh héi kiÕn thøc mét çch nhanh chãng chÝnh x¸c, chñ ®éng

vËn dông kiÕn thøc, kü n¨ng ®· häc ®Ó nhËn thøc vÊn ®Ò míi, kÕt

qu¶ häc tËp sau mét tiÕt häc, mét ch¬ng…

§Ó cã ®îc phong çch häc tËp tÝch cùc trong nhËn thøc, häc sinh

ph¶i thËt sù tù gi¸c, chñ ®éng häc tËp. TÝch cùc hãa g¾n liÒn ®éng

c¬ hãa, víi sù kÝch thÝch høng thó, víi ý thøc tr¸ch nhiÖm häc tËp, ý

thøc vÒ sù gi¸o dôc cña chÝnh m×nh.

1.1.3.2. §Æc trng c¬ b¶n cña t tëng TTCNT cña häc sinh

www.vnmath.com

14

T tëng nµy lµ mét trong nh÷ng biÓu hiÖn cña sù ph¸t triÓn lý luËn

vµ thùc tiÔn gi¸o dôc hiÖn nay. NhÊn m¹nh vai trß trung t©m cña häc

sinh vµ ®ång thêi chØ râ vai trß cña ngêi gi¸o viªn trong toµn bé qu¸

tr×nh d¹y häc. LÊy häc sinh lµm trung t©m lµ mét thÓ hiÖn c¬ b¶n cña

tÝnh nh©n v¨n, còng nh mét kh¼ng ®Þnh døt kho¸t vÒ vÞ trÝ trung

t©m ho¹t ®éng cña häc sinh. V× vËy, cã thÓ nãi ®Æc trng c¬ b¶n cña

t tëng TTCNT cña häc sinh lµ:

a) TÝnh nh©n v¨n:

§îc thÓ hiÖn ë sù thõa nhËn vµ t«n träng nhu cÇu, lîi Ých, môc

®Ých vµ nh÷ng kinh nghiÖm cña ç nh©n häc sinh, cè g¾ng t¹o ®iÒu

kiÖn ®Ó häc sinh tù ''h×nh thµnh vµ ph¸t triÓn'' theo tiÒm lùc vµ kh¶

n¨ng cña b¶n th©n.

b) TÝnh ho¹t ®éng:

ThÓ hiÖn sù tèi ®a hãa çc ho¹t ®éng cña häc sinh víi ph¬ng thøc

chØ ®¹o lµ: tù ph¸t triÓn, tù thùc hiÖn, tù kiÓm tra vµ ®¸nh gi¸ qu¸

tr×nh ho¹t ®éng nhËn thøc cña b¶n th©n. Qua ®ã, h×nh thµnh vµ ph¸t

triÓn t duy ®éc lËp s¸ng t¹o cña mçi ç nh©n häc sinh.

c) Vai trß cña gi o viªn:

Phong phó mÒm m¹i, s¸ng t¹o vµ cã tr¸ch nhiÖm, cã nghÜa lµ gi¸o

viªn kh«ng nh÷ng truyÒn thô tri thøc, nh÷ng s¶n phÈm s½n cã mµ cÇn

ph¶i thiÕt kÕ, tæ chøc ®iÒu khiÓn, ñy th¸c, thÓ chÕ hãa, ®¸nh gi¸ ho¹t

®éng tù lùc nhËn thøc cña ngêi häc sinh, nh»m h×nh thµnh cho häc

sinh th¸i ®é n¨ng lùc ph¬ng ph¸p häc tËp vµ ý chÝ häc tËp tõ ®ã tù

kh¸m ph¸ ra nh÷ng tri thøc míi, ®îc cô thÓ hãa ë çc vai trß:

*) Vai trß thiÕt kÕ:

Mét giê d¹y muèn thµnh c«ng ph¶i cã sù thiÕt kÕ chÆt chÏ vÒ çc

biÖn ph¸p ph¬ng thøc cÊu tróc l«gic giê häc, lËp kÕ ho¹ch chuÈn bÞ

qu¸ tr×nh d¹y häc c¶ vÒ çc mÆt: môc ®Ých, néi dung, ph¬ng ph¸p, ph-

www.vnmath.com

15

¬ng tiÖn, tæ chøc, ®¸nh gi¸. ViÖc thiÕt kÕ tèt, phï hîp sÏ lµm cho bµi

gi¶ng lu«n diÔn ra trong sù kÝch thÝch tëng tîng, tß mß vµ say mª t×m

tßi çi míi ®¶m b¶o cho giê d¹y cã kÕt qu¶ .

*) Vai trß tæ chøc:

Tæ chøc mét m«i trêng häc tËp cho mçi häc sinh cã c¬ héi béc lé

tèi ®a kh¶ n¨ng t¹o ®iÒu kiÖn thuËn lîi cho ph¸t huy tÝnh tÝch cùc häc

tËp nh»m h×nh thµnh n¨ng lùc ý chÝ ph¬ng ph¸p häc tËp, tõ ®ã tù

kh¸m ph¸ nh÷ng tri thøc míi, ý thøc ®îc nhiÖm vô cña m×nh trong giê

häc, th«ng qua çc tranh luËn t×m tßi tæng hîp tù m×nh ph¸t huy ®îc

n¨ng lùc trÝ tuÖ ®i ®Õn ch©n lý, b»ng con ®êng nµy sÏ lµm çc em

nhí l©u h¬n, hiÓu kü h¬n vÒ çc kiÕn thøc ®ã.

*) Vai trß ñy th¸c:

§©y kh«ng ph¶i lµ b¾t trß häc tËp theo ý cña gi¸o viªn mµ ph¶i lµm

sao cho häc sinh tù gi¸c biÕn ý ®å d¹y cña gi¸o viªn thµnh nhiÖm vô

cña b¶n th©n, ®¶m nhËn qu¸ tr×nh häat ®éng ®Ó kiÕn t¹o tri thøc, tøc

lµ ho¹t ®éng cña thÇy nh»m chuyÓn giao ý ®å s ph¹m, ý ®å d¹y häc

sang ý ®å nhËn thøc cña häc sinh. Häc sinh nhËn thÊy ®îc mong

muèn gi¶i quyÕt vÊn ®Ò thÇy dÆt ra nhê çc ho¹t ®éng t duy, tÝch

cùc, ®éc lËp, s¸ng t¹o. ë kh©u nµy gi¸o viªn lµm c«ng viÖc ngîc l¹i víi

nhµ nghiªn cøu: hoµn c¶nh l¹i, thêi gian hãa l¹i vµ ç nh©n hãa l¹i tri

thøc, häc sinh tù m×nh ®¶m nhËn l¹i qu¸ tr×nh gi¶i quyÕt vÊn ®Ò sao

cho ho¹t ®éng cña häc sinh gÇn gièng víi ho¹t ®éng cña nhµ nghiªn

cøu, nhê nh÷ng lý do nµy mµ häc sinh ph¸t huy cao ®é TTCNT cña

th©n.

*) Vai trß thÓ chÕ hãa:

Lµ xem xÐt nh÷ng vÊn ®Ò häc sinh t×m ®îc lµ ®óng hay sai, nÕu

sai th× ph©n tÝch s÷a ch÷a sai lÇm, nÕu ®óng th× ghi nhËn cho häc

www.vnmath.com

16

sinh ®· chiÕm lÜnh ®îc tri thøc vµ gi¸o viªn ph¶i tr¶ l¹i vÞ trÝ cña tri

thøc ®ã trong ch¬ng tr×nh, mèi liªn hÖ cña nã ®èi víi çc tri thøc kh¸c.

*) Vai trß ®¸nh gi¸:

Th¸i ®é tr©n träng cña gi¸o viªn ®èi víi mçi sù t×m tßi míi mÎ cña

häc sinh cã mét t¸c ®éng m¹nh mÏ ®Õn høng thó cña çc em viÖc

®¸nh gi¸ cao sù s¸ng t¹o sÏ thóc ®Èy n¨ng lùc häc tËp tÝnh tÝch cùc

häc tËp cña häc sinh. Muèn vËy gi¸o viªn cÇn t¹o cho m×nh vèn kiÕn

thøc ®ñ ®Ó nhËn ra nÐt ®éc ®¸o trong suy nghÜ cña häc sinh ®Ó cã

thÓ ®¸nh gi¸ ®óng gi¸ trÞ cña sù t×m tßi häc sinh, häc sinh sÏ cã ph¶n

øng tiªu cùc nÕu b¶n th©n sù ®¸nh gi¸ cña gi¸o viªn cha thùc lµm häc

sinh tháa ®¸ng, sù nh×n nhËn kh¸ch quan chÝnh x¸c cña gi¸o viªn t¹o

®îc lßng tin cña häc sinh, tõ ®ã ph¸t huy tÝnh s¸ng t¹o cña häc sinh

qua sù tÝch cùc hãa ho¹t ®éng häc tËp.

VËy çc vai trß cña gi¸o viªn lµ lµm sao gióp häc sinh häc tËp mét

çch hiÖu qu¶, thóc ®Èy häc sinh tù gi¸c häc tËp ph¸t huy cao ®é

TTCNT cña b¶n th©n, qua ®ã häc sinh hiÓu ®îc kiÕn thøc t×m ra lµ

mét tri thøc chung cña nh©n lo¹i vµ gi¸o viªn chÝnh thøc chÊp nhËn

kÕt qu¶ ®¹t ®îc cña häc sinh.

Nhng thùc tÕ d¹y häc ë trêng phæ th«ng cho thÊy, ®©u ®ã trong

çch d¹y häc vÉn cha ph¸t huy ®Çy ®ñ ®îc TTCNT cña häc sinh. Do

vËy, cÇn thiÕt dùa trªn mét sè biÓu hiÖn vÒ TTCNT trong häc tËp

m«n To¸n tõ ®ã h×nh thµnh vµ ph¸t triÓn TTCNT cña häc sinh lµ mét

trong nh÷ng nhiÖm vô quan träng cña ngêi gi¸o viªn.

1.1.4. Mét sè biÓu hiÖn TTCNT cña häc sinh trong häc tËp m«n

To¸n

1.1.4.1. VÒ ý thøc, th¸i ®é häc tËp

- TTCNT cña HS ®îc thÓ hiÖn ë nhu cÇu hiÓu biÕt kiÕn thøc, kh¸t

väng vµ mong muèn ®îc gi¶i quyÕt çc t×nh huèng häc tËp mµ gi¸o

www.vnmath.com

17

viªn ®a ra ®Ó chiÕm lÜnh ®îc kiÕn thøc míi, gi¶i quyÕt ®îc bµi to¸n

míi.

- TTCNT cña häc sinh cßn ®îc thÓ hiÖn ë sù høng thó, niÒm say

mª lao ®éng trÝ tuÖ, sù sèt s¾ng thùc hiÖn, cã tinh thÇn tr¸ch nhiÖm

®èi víi çc yªu cÇu mµ gi¸o viªn ®a ra khi lÜnh héi kiÕn thøc míi.

1.1.4.2. VÒ ho¹t ®éng trÝ tuÖ cao

-TTCNT cña häc sinh thÓ hiÖn trong qu¸ tr×nh lÜnh héi tµi liÖu

häc tËp: §ã lµ viÖc thùc hiÖn ®Çy ®ñ çc yªu cÇu cña gi¸o viªn ®a ra,

tÝch cùc häat ®éng trÝ tuÖ, thùc hiÖn çc thao t¸c t duy ( ph©n tÝch,

tæng hîp so s¸nh, trõu tîng hãa, kh¸i qu¸t hãa,…), nhanh chãng ph¸t

hiÖn dÊu hiÖu b¶n chÊt cña çc kiÕn thøc vµ t×m ra ®îc nhiÒu con ®-

êng gi¶i quyÕt çc t×nh huèng do gi¸o viªn ®a ra trong qu¸ tr×nh d¹y

häc.

-TTCNT cña häc sinh thÓ hiÖn ë sù ghi nhí vËn dông kiÕn thøc:

§ã lµ sù t¸i hiÖn nhanh chãng çc kiÕn thøc míi trong çc trêng hîp cô

thÓ, biÕt kh¸i qu¸t hãa, hÖ thèng hãa çc kiÕn thøc ®· häc, biÕt vËn

dông çc kiÕn thøc ®· häc trong çc trêng hîp cô thÓ.

-TTCNT cña häc sinh thÓ hiÖn ë sù kiÓm tra ®¸nh gi¸: §ã lµ sù

®¸nh gi¸ ®óng møc c«ng viÖc mµ b¶n th©n ®· lµm, nhanh chãng ph¸t

hiÖn vµ söa ch÷a sai lÇm m¾c ph¶i trong qu¸ tr×nh h×nh thµnh kh¸i

niÖm còng nh vËn dông kh¸i niÖm.

Trªn ®©y lµ nh÷ng biÓu hiÖn TTCNT cña häc sinh trong qu¸ tr×nh

chiÕm lÜnh kiÕn thøc, gi¸o viªn khi dùa vµo nh÷ng biÓu hiÖn nµy cã

thÓ ®Þnh híng cho viÖc ph¸t huy TTCNT cña häc sinh nh»m n©ng

cao hiÖu qu¶ d¹y häc m«n To¸n nãi chung, chñ ®Ò Giíi h¹n nãi riªng.

1.1.4.3. §iÒu kiÖn ph¸t huy TTCNT cña häc sinh trong d¹y häc

www.vnmath.com

18

Muèn ph¸t huy TTCNT cña häc sinh, gi¸o viªn cÇn ph¶i tæ chøc

m«i trêng häc tËp ®¶m b¶o : TÝnh s½n sµng häc tËp vµ tÝnh ho¹t

®«ng cao.

a) TÝnh s½n sµng häc tËp: Gåm cã hai thµnh tè c¬ b¶n:

+ Kh¶ n¨ng häc tËp khi ®øng tríc mét kiÕn thøc nµo ®ã (h×nh

thµnh vµ vËn dông kiÕn thøc…);

+ Chñ ®Þnh ®èi víi kiÕn thøc vµ m«i trêng häc tËp (cã ®éng c¬,

høng thó, ý chÝ häc tËp…).

ThiÕu mét mÆt nµo trong hai yÕu tè trªn ®©y còng ®Òu ¶nh hëng

®Õn tÝnh s½n sµng häc tËp:

+ Cã kh¶ n¨ng mµ thiÕu chñ ®Þnh th× häc sinh kh«ng s½n sµng

häc tËp, v× kh«ng muèn ho¹t ®éng;

+ Cã chñ ®Þnh mµ thiÕu kh¶ n¨ng th× häc sinh còng kh«ng s½n

sµng häc tËp, v× kh«ng biÕt ho¹t ®éng.

V× vËy, gi¸o viªn cÇn ph¶i tæ chøc m«i trêng häc tËp, x©y dùng

nh÷ng biÖn ph¸p s ph¹m thÝch hîp lµm cho viÖc d¹y häc phï hîp víi

kh¶ n¨ng häc tËp cña häc sinh, ®ång thêi t¹o ®îc ®éng c¬, g©y høng

thó, ý chÝ häc tËp cña häc sinh,…th× míi ph¸t huy ®îc TTCNT cña häc

sinh.

b) TÝnh ho¹t ®éng cao: ThÓ hiÖn ë néi dung d¹y häc vµ ph¶i dùa

trªn nh÷ng tiªu chuÈn sau:

+ Mçi ho¹t ®éng cña gi¸o viªn vµ häc sinh ®îc x¸c ®Þnh cô thÓ, râ

rµng, cã thÓ nhËn thøc ®îc, c¶m nhËn ®îc, h×nh dung ®îc.

+ Néi dung d¹y häc chøa ®ùng nh÷ng liªn hÖ phï hîp ®Ó ®¶m b¶o

c¸c quan hÖ vµ ho¹t ®éng cña thÇy vµ trß ®Òu híng vµo tæ chøc vµ

kÝch thÝch hµnh ®éng häc sinh, tøc lµ néi dung d¹y häc ph¶i x©y

dùng ®îc díi d¹ng nh÷ng t×nh huèng cã vÊn ®Ò.

www.vnmath.com

19

VËy ®Ó b¶m b¶o ®îc tÝnh ho¹t ®éng cao trong d¹y häc, ngêi gi¸o

viªn cÇn ph¶i lùa chän néi dung d¹y häc ®¸p øng ®îc hai tiªu chuÈn

trªn vµ tæ chøc m«i trêng häc tËp, x©y dùng nh÷ng biÖn ph¸p thÝch

hîp tõ ®ã x¸c ®Þnh thiÕt kÕ x©y dùng ph¬ng thøc d¹y häc sao cho

kÝch thÝch tÝnh chñ ®éng, tù quyÕt, kh¶ n¨ng tù thÓ hiÖn, ®¸nh gi¸,

…trong häc tËp, ph¸t triÓn nh÷ng c¬ héi häc tËp, ®éng c¬ häc tËp,

x©y dùng mèi quan hÖ t¬ng t¸c gi÷a gi¸o viªn vµ häc sinh, häc sinh vµ

häc sinh.

1.1.5. Çc ph¬ng thøc s ph¹m nh»m ph¸t huy TTCNT cña häc sinh

trong d¹y häc néi dung chñ ®Ò Giíi h¹n

1.1.5.1. Nh÷ng ph¬ng híng ph¸t huy TTCNT cña häc sinh trong d¹y

häc

§Ó ph¸t huy TTCNT cña häc sinh lµ mét trong nh÷ng nhiÖm vô chñ

yÕu cña ngêi gi¸o viªn trong qu¸ tr×nh d¹y häc. V× vËy, nã lu«n lµ

trung t©m chó ý cña lý luËn vµ thùc tiÔn d¹y häc. Tõ thêi cæ ®¹i çc

nhµ s ph¹m tiÒn bèi nh Khæng tö, Aristot…®· tõng nãi ®Õn tÇm quan

träng to lín cña viÖc ph¸t huy TTCNT cña häc sinh vµ ®· cã nh÷ng

®Þnh híng vµ biÖn ph¸p ®Ó ph¸t huy TTCNT cña häc sinh.

J. A. Komenxki nhµ s ph¹m lçi l¹c cña thÕ kû XVII ®· ®a ra nh÷ng

®Þnh híng, biÖn ph¸p d¹y häc lµ b¾t häc sinh ph¶i t×m tßi, suy nghÜ

®Ó tù n¾m ®îc b¶n chÊt cña sù vËt hiÖn tîng.

J. J. Rux« còng cho r»ng, ph¶i híng häc sinh tÝch cùc tù giµnh lÊy

kiÕn thøc b»ng çch t×m kiÕm, kh¸m ph¸ vµ s¸ng t¹o.

A. Distecvec th× cho r»ng, ngêi gi¸o viªn tåi lµ ngêi cung cÊp cho

häc sinh ch©n lý, ngêi gi¸o viªn giái lµ ngêi d¹y cho häc sinh tù t×m ra

ch©n lý.

K. D. Usinxki nhÊn m¹nh tÇm quan träng cña viÖc ®iÒu khiÓn, dÉn

d¾t häc sinh cña çc gi¸o viªn.

www.vnmath.com

20

Trong thÕ kû IX, çc nhµ gi¸o dôc Cæ, Kim, §«ng, T©y, ®· trao

®æi bµn luËn ®Ó t×m kiÕm con ®êng nh»m ph¸t huy TTCNT cña häc

sinh trong d¹y häc. Chóng ta thêng kÓ ®Õn t tëng çc nhµ gi¸o dôc næi

tiÕng nh: B.P.£xip«p, M.A.Danil«p, M.N.Xcatkin, I.F.Kharlam«p,

I.I.Xam«va (Liªn X«), Okon (Ba Lan), Skinner (MÜ)…

ë ViÖt Nam çc nhµ lý luËn d¹y häc còng ®· viÕt nhiÒu vÒ ph¸t

huy TTCNT cña häc sinh nh: GS. Hµ ThÕ Ng÷, GS. NguyÔn Quang

Ngäc, GS. §Æng Vò Ho¹t …, mµ cô thÓ GS. §Æng Vò Ho¹t ®· nªu

lªn 6 ®Þnh híng lµ:

i) Gi o dôc ®éng c¬, th¸i ®é häc tËp, trªn c¬ së thÊm nhuÇn môc ®Ých

häc tËp, ®éng viªn khuyÕn khÝch kÞp thêi dùa vµo tÝnh tù nguyÖn cña

häc sinh;

ii) Thùc hiÖn d¹y häc nªu vÊn ®Ò lµ ®Þnh híng, ph¬ng ph¸p c¬ b¶n

nhÊt;

iii) TiÕn hµnh so s¸nh çc sù vËt, hiÖn tîng, tiÕn hµnh hÖ thèng hãa,

kh¸i qu¸t hãa tri thøc;

iv) VËn dông tri thøc vµo nhiÒu hoµn c¶nh kh¸c nhau, gi¶i quyÕt çc

vÊn ®Ò b»ng nhiÒu çch kh¸c nhau;

v) G¾n liÒn lý luËn víi thùc tiÔn, khai th¸c vèn sèng cña häc sinh;

vi) Ph¸t triÓn ý thøc tù kiÓm tra, tù ®¸nh gi cña häc sinh.

Tõ nh÷ng ph¬ng híng chung ®ã, cÇn ph¶i cã nh÷ng ®Þnh híng ph-

¬ng thøc s ph¹m thÝch hîp ®Ó ph¸t huy TTCNT cña häc sinh trong d¹y

häc ®Æc thï m«n to¸n.

1.1.5.2. Mét sè ®Þnh híng vµ ph¬ng ph¸p ®Ó ph¸t huy TTCNT cña häc

sinh trong d¹y häc m«n To¸n

Trong qu¸ tr×nh d¹y häc ph¶i t¹o ®îc ®éng c¬ høng thó ®Ó häc

sinh cã c¬ héi ph¸t huy tÝnh chñ ®éng ®éc lËp tù gi¸c chiÕm lÜnh

kiÕn thøc, ta cã thÓ tæng quan vÒ mét sè ®Þnh híng biÖn ph¸p s

www.vnmath.com

21

ph¹m thÝch hîp nh»m ph¸t huy TTCNT cña häc sinh trong qu¸ tr×nh

d¹y häc theo ®Æc thï m«n To¸n:

i) KiÕn thøc bµi d¹y lµm sao cã ®îc tÝnh kÕ thõa ph¸t triÓn trªn kiÕn

thøc ®· häc, sù liªn hÖ víi thùc tiÔn, gÇn gòi víi cuéc sèng, víi suy nghÜ

h»ng ngµy, tháa m·n nhu cÇu nhËn thøc cña häc sinh;

ii) Sö dông çc ph¬ng tiÖn d¹y häc, dông cô trùc quan cã t¸c dông tèt

trong viÖc kÝch thÝch høng thó ph¸t huy TTCNT cña häc sinh;

iii) X©y dùng, s¾p xÕp, bæ sung vµ khai th¸c çc vÝ dô vµ ph¶n vÝ dô

trong qu¸ tr×nh d¹y häc;

iv) Ph¸t triÓn kh¶ n¨ng chuyÓn ®æi ng«n ng÷ thêng sang ng«n ng÷

To¸n häc, kh¶ n¨ng thùc hiÖn çc thao t¸c t duy c¬ b¶n;

v) LËp vµ sö dông çc b¶ng tæng kÕt, biÓu ®å, s¬ ®å thÝch hîp ®Ó

lµm râ nguån gèc vµ mèi liªn kÕt logic cña çc kiÕn thøc trong qu¸ tr×nh d¹y

häc;

vi) Lùa chän vµ sö dông mét çch hîp lý hÖ thèng çc bµi tËp vµ sö

dông khai th¸c çc t×nh huèng dÔ m¾c sai lÇm. §Ó häc sinh tù kiÓm tra,

kh¾c phôc çc khã kh¨n vµ söa ch÷a nh÷ng sai lÇm thêng gÆp trong qu¸

tr×nh lÜnh héi kiÕn thøc.

1.1.5.3. Çc ph¬ng thøc s ph¹m nh»m ph¸t huy TTCNT cña häc sinh

trong d¹y häc vÒ kh¸i niÖm Giíi h¹n

Ta ®· biÕt n¾m v÷ng ®îc hÖ thèng kh¸i niÖm Giíi h¹n th× häc sinh

cã kh¶ n¨ng vËn dông v÷ng ch¾c cã hiÖu qu¶ çc kiÕn thøc vÒ Giíi

h¹n, ®ã lµ c¬ së ®Ó häc tèt vÒ chñ ®Ò Giíi h¹n nãi chung, qua ®ã rÌn

luyÖn n¨ng lùc gi¶i bµi tËp to¸n cña néi dung Giíi h¹n nãi riªng.

Tríc hÕt ta cÇn x¸c ®Þnh râ mèi liªn hÖ trong ho¹t ®éng nhËn thøc

cña häc sinh lµ: gi¸o viªn híng dÉn vµ kÝch thÝch TTCNT cña trß råi

huy ®éng çc ph¬ng ph¸p ph¬ng thøc s ph¹m t¸c ®éng vµo (chñ thÓ) häc

sinh, tõ ®ã häc sinh cã nhu cÇu hiÓu biÕt vµ huy ®éng cao ®é kh¶ n¨ng

www.vnmath.com

22

híng tíi tri gi c tiÕp ®Õn biÓu tîng sau cïng (kh¸ch thÓ) kh¸i niÖm Giíi

h¹n , cô thÓ ®îc minh häa theo s¬ ®å sau :

(H×nh 1)

Nh vËy, qu¸ tr×nh ph¸t huy tÝnh tÝch cùc ho¹t ®éng nhËn thøc

cña häc sinh kh«ng ph¶i lµ qu¸ tr×nh ®a th«ng tin vµo häc sinh theo

®Þnh híng mét chiÒu xem häc sinh nh lµ çi m¸y thu th«ng tin thô

®éng, cô thÓ ë ®©y bµn ®Õn d¹y häc vÒ kh¸i niÖm Giíi h¹n qua thùc

hiÖn çc ph¬ng thøc sau:

Ph ¬ng thøc 1 : X¸c ®Þnh râ çc çch x©y dùng kh¸i niÖm Giíi h¹n.

Tríc hÕt hiÓu râ, x¸c ®Þnh ®óng ®îc çch x©y dùng kh¸i niÖm To¸n

häc lµ:

+ M« t¶ kh«ng ®Þnh nghÜa: Ch¼ng h¹n nh viÖc ®Þnh nghÜa giíi

h¹n 0 cña d·y sè lµ: ''d·y sè ( nU ; n = 1,2,3,…) gäi lµ dÇn ®Õn 0 hay cã giíi

h¹n 0 khi n → + ∞ , nÕu nu cµng nhá khi n cµng lín, tøc lµ nÕu nu cã

thÓ nhá bao nhiªu tïy ý miÔn lµ chän n ®ñ lín''.

+ Hay ®Þnh nghÜa díi d¹ng kiÕn thiÕt – qui n¹p nh : Con ®êng ®i tíi

®Þnh nghÜa giíi h¹n d·y theo ng«n ng÷ " ε ,δ " nµy lµ kiÕn thiÕt- qui

n¹p, tõ viÖc m« t¶: ''Khi n cµng lín th× nU cµng bÐ vµ bÐ bao nhiªu

còng ®îc'', ®îc chuyÓn qua ng«n ng÷ "ε ,δ " b»ng çch chän miÒn gi¸

trÞ ε cô thÓ ®Ó tiÕn tíi kh¸i qu¸t hãa cho mäi ε , (®Æc biÖt cÇn sù

gióp ®ì trùc quan cña trôc sè) lµ: ''ta nãi r»ng d·y sè thùc nU cã giíi

www.vnmath.com

Gi o viªn

Ph¸t huyTTCNT

Híng dÉn

Sö dông çc ph

¬ng thøc s ph¹m

(Chñ thÓ)Häc sinh

Cã nhu cÇu hiÓu biÕt

Huy ®éng

cao ®é kh¶ n¨ng(Kh ch thÓ)

Kh i niÖm Giíi h¹n BiÓu tîng Tri gi¸c

23

h¹n lµ L (L∈ R), khi n → + ∞ nÕu víi mäi sè d¬ng ε cho tríc( nhá tuú ý)

tån t¹i mét sè tù nhiªn )(εN , sao cho víi mäi n > )(εN th× LUn − <ε

''.

+ HoÆc ®îc ®Þnh nghÜa díi d¹ng suy diÔn nh : Kh¸i niÖm giíi h¹n L

≠ 0 ®îc ®Þnh nghÜa theo con ®êng suy diÔn (nghÜa lµ tr×nh bµy ph¸t

biÓu ngay ®Þnh nghÜa, sau ®ã tr×nh bµy vÝ dô cñng cè ), trªn c¬ së giíi

h¹n 0 ®· ®îc ®Þnh nghÜa nh : +∞→nlim un = L, (L ∈ R ) ⇔ +∞→n

lim ( un – L) =

0.

+ §Æc biÖt chó ý tíi cÊu tróc cña ®Þnh nghÜa mµ mÖnh ®Ò nªu

lªn cã tÝnh chÊt ®Æc trng cña kh¸i niÖm lµ cÊu tróc tuyÓn hay cÊu tróc

héi:

*) §èi víi ®Þnh nghÜa cã cÊu tróc héi: A(x) ⇔ P1(x) ∧ P2(x) ∧ …

Pn(x), ®îc x©y dùng sao cho ®èi tîng : x ∈ A(x) ⇔ x ∈ P1(x) ∧ P2(x) ∧

… Pn(x).

*) §èi víi ®Þnh nghÜa cã cÊu tróc tuyÓn: A(x) ⇔ P1(x) ∨ P2(x) ∨ …

Pn(x), còng ®îc x©y dùng sao cho ®èi tîng: x∈ A(x) ⇔ x∈ P1(x) ∨ P2(x)

∨ … Pn(x). Lo¹i cÊu tróc tuyÓn hay héi thêng ®îc dïng ®Þnh nghÜa

tÝnh liªn tôc hoÆc gi¸n ®o¹n cña hµm sè.

Ph ¬ng thøc 2 : T×m hiÓu çc ®Þnh nghÜa kh¸c nhau cña cïng mét kh¸i

niÖm Giíi h¹n .

Tõ çch t×m hiÓu çc ®Þnh nghÜa kh¸c nhau cña cïng mét kh¸i

niÖm sÏ thÊy ®îc tÝnh s ph¹m cña mçi çch ®Þnh nghÜa, khi ®ã cã

biÖn ph¸p thÝch hîp víi mçi lo¹i ®èi tîng, lµm sao cho häc sinh hiÓu çc

tÝnh chÊt ®Æc trng, nhËn d¹ng kh¸i niÖm, ®ång thêi biÕt thÓ hiÖn

chÝnh x¸c, biÕt vËn dông kh¸i niÖm trong nh÷ng t×nh huèng cô thÓ vµo

gi¶i to¸n còng nh øng dông thùc tiÔn.

www.vnmath.com

24

Víi néi dung chñ ®Ò Giíi h¹n khi häc vÒ çc kh¸i niÖm cã nhiÒu

®Þnh nghÜa ®îc ph¸t biÓu díi çc d¹ng kh¸c nhau cña cïng mét kh¸i

niÖm, ch¼ng h¹n :

+ §Þnh nghÜa Giíi h¹n cña d·y sè cã thÓ tr×nh bµy theo çch ’’m«

t¶’’ hoÆc dïng ng«n ng÷ “ )(, εε N ’’.

+ §Þnh nghÜa Giíi h¹n cña hµm sè cã thÓ th«ng qua “d·y’’hoÆc lµ

“ δε, ’’.

Ph ¬ng thøc 3 : Lµm n¶y sinh nhu cÇu nhËn thøc vÒ kh¸i niÖm Giíi h¹n

cña häc sinh.

§Ó lµm n¶y sinh nhu cÇu nhËn thøc kh i niÖm Giíi h¹n cña häc sinh ta cÇn liªn

hÖ víi thùc tiÔn vÝ dô nh chiÒu cao cña con ngêi cã giíi h¹n dï tuæi cã nhiÒu ®i bao

nhiªu n÷a. HoÆc trong d¹y häc x©y dùng ph¬ng tiÖn trùc quan tîng trng (m« h×nh,

h×nh vÏ, s¬ ®å, ®å thÞ, biÓu b¶ng,…) lµm chç dùa trùc gi c. X©y dùng hÖ thèng

ph¶n vÝ dô vµ vÝ dô g¾n liÒn víi øng dông thùc tiÔn, kÕt hîp víi çc ph¬ng tiÖn trùc

quan tæ chøc cho häc sinh h×nh dung ®îc néi dung kh i niÖm, ph t hiÖn dÊu hiÖu

b¶n chÊt cña kh i niÖm tõ ®ã kh i qu t h×nh thµnh kh i niÖm, ch¼ng h¹n ta xÐt bµi

to¸n cña thùc tiÔn ®Æt ra, nh sau:

Bµi to¸n 1: Theo dù ®o¸n tØ lÖ tuæi thä con ngêi cña mét níc ®ang

ph¸t triÓn, sau x n¨m kÓ tõ b©y giê lµ : T(x) = 52236138

++xx

n¨m . Hái tuæi

thä cña con ngêi sÏ ®¹t ®îc tíi møc giíi h¹n lµ bao nhiªu ? .

Bµi to¸n 2: Nhu cÇu mçi th¸ng ®èi víi mét s¶n phÈm míi hiÖn nay lµ

195 tÊn. Nhµ qu¶n lÝ cña xÝ nghiÖp ®a ra mét dù ®o¸n r»ng sau x n¨m

kÓ tõ b©y giêi nhu cÇu hµng th¸ng cho s¶n phÈm sÏ lµ : S(x) =

9

952592

2

++

x

x tÊn . Hái nhu cÇu ®èi víi s¶n phÈm nµy hµng th¸ng sÏ ®¹t tíi

møc giíi h¹n nµo sau mét kho¶ng thêi gian thËt dµi ?.

Bµi to¸n 3 : Mét bÖnh truyÒn nhiÔm l©y lan qua ®êng h« hÊp nÕu

kh«ng cã thuèc tiªm phßng . MÆc dï kh«ng qu¸ nguy hiÓm, nÕu ai bÞ

www.vnmath.com

25

nhiÔm bÖnh sÏ trë thµnh ngêi mang mÇm bÖnh. Çc nh©n viªn dù

phßng y tÕ cho r»ng sau x th¸ng kÓ tõ b©y giêi sè phÇn tr¨m ngêi mang

bÖnh sÏ lµ : B(x) = 186

27952

2

++

x

x Hái cuèi cïng sè ngêi mang mÇm bÖnh sÏ

lµ bao nhiªu ? .

Tõ ®ã t¹o ®iÒu kiÖn tèt nhÊt, hiÖu qu¶ nhÊt ®Ó häc sinh tù kh¸m

ph¸ kiÕn thøc, tù gi¶i quyÕt çc vÊn ®Ò cña thùc tiÔn ®Æt ra.

Ph ¬ng thøc 4 : T×m hiÓu sù ph©n chia kh¸i niÖm, s¬ ®å hãa çc kh¸i

niÖm Giíi h¹n cã liªn hÖ víi nhau, gióp häc sinh tiÕp thu ®îc b¶n chÊt kiÕn

thøc.

Do çc tri thøc trong chñ ®Ò giíi h¹n cã mèi quan hÖ t¬ng quan hç trî lÉn nhau

nªn viÖc hÖ thèng, ph©n chia kh i niÖm liªn hÖ víi nhau lµ viÖc lµm rÊt cÇn thiÕt

®Ó d¹y häc ®¹t hiÖu qu¶. Khi hÖ thèng hãa kiÕn thøc cÇn chØ cho häc sinh

nh÷ng mèi liªn hÖ chÝnh yÕu cña çc tri thøc to¸n, ®Æc biÖt chó ý dïng s¬ ®å

biÓu diÔn çc mèi liªn hÖ gi÷a c c kiÕn thøc. Qua t×m hiÓu sù ph©n chia s¬ ®å

hãa c c kh i niÖm tËp cho häc sinh thãi quen t×m hiÓu s©u s¾c, tiÕp thu ®îc b¶n

chÊt cña kiÕn thøcgióp häc sinh hiÓu b¶n chÊt mèi quan hÖ, h×nh dung ra bøc

tranh tæng thÓ cña kh i niÖm cã liªn hÖ víi nhau nh sau:

( H×nh 2 )

H×nh (2) lµ s¬ ®å biÓu thÞ mèi liªn hÖ vÒ giíi h¹n d·y sè vµ giíi h¹n hµm sè,

çc giíi h¹n më réng cña hµm sè.

www.vnmath.com

Giíi h¹n cñad·y sè

Giíi h¹n cñahµm sè

Giíih¹n-

Giíi h¹ntr¸i t¹i ®iÓm

Giíi h¹nph¶i t¹i

®iÓm

Giíih¹n+

26

(H×nh 3 )h×nh (3) lµ s¬ ®å biÓu thÞ c¸c mèi liªn hÖ gi÷a gi trÞ cña hµm sè, kh¸i niÖm giíi h¹n cña hµm sè, hµm sè liªn tôc.

H×nh (4)

H×nh (4) lµ s¬ ®å so s¸nh kh¸i niÖm giíi h¹n cña hµm sè vµ hµm sè liªn tôc

www.vnmath.com

XÐt hµm sè f(x)T¹i x = a

Kh«ng tån t¹i giíi h¹n: Tån t¹i giíi h¹n:

f(x) kh«ng x¸c ®Þnh t¹i af(x) x¸c ®Þnh t¹i x = a

L = f(a) L ≠ f(a)

f(x) liªn tôc t¹i x= a

f (x) kh«ng liªn tôc t¹i x = a( f ( x) gi¸n ®o¹n t¹i x = a)

f(x) cã lim f(x) = Lxx

0

f(x) kh«ng x¸c ®Þnht¹i x

0

f(x) x¸c ®Þnh t¹i x0

L ≠ f(x0) L = f(x

0)

f(x) liªn tôc t¹i x

0

27

Ph ¬ng thøc 5 : T×m hiÓu sù tiÕp cËn lÞch sö ph¸t triÓn To¸n häc vÒ

kh¸i niÖm Giíi h¹n

§Ó kÝch thÝch häc sinh høng thó häc tËp, cã thÓ nªu thªm lÞch sö

cña çc kh¸i niÖm To¸n häc vÒ Giíi h¹n ra ®êi khi nµo, do ai nªu ra vµ ý

nghÜa sau nµy cña kh¸i niÖm Giíi h¹n trong To¸n häc còng nh trong

®êi sèng, trong viÖc rÌn luyÖn t duy To¸n häc. Víi viÖc d¹y häc nh vËy

häc sinh sÏ tiÕp cËn kiÕn thøc vÒ kh¸i niÖm Giíi h¹n, xÐt vÒ mÆt nµo

®ã, gÇn gièng víi viÖc nghiªn cøu cña çc nhµ To¸n häc. Khi ®ã häc

sinh sÏ biÕt ®îc tõ ®©u xuÊt hiÖn çc kiÕn thøc Giíi h¹n, t¹o cho häc

sinh kh«ng khÝ häc tËp nh tËp dît nghiªn cøu khoa häc, tõ ®ã lÜnh héi

®îc kinh nghiÖm lÞch sö cña Giíi h¹n kh«ng nh÷ng gióp häc sinh n¾m

v÷ng ch¾c kiÕn thøc mµ cßn båi dìng nh©n çch cho häc sinh, ®ã lµ

sù gi¸o dôc chø kh«ng chØ ®¬n thuÇn lµ viÖc d¹y häc.

Ngoµi ra, nÕu cã ®iÒu kiÖn ta cã thÓ sö dông t liÖu lÞch sö To¸n

vÒ kh¸i niÖm giíi h¹n ®Ó gîi ®éng c¬, h×nh thµnh, cñng cè, kh¾c s©u

kh¸i niÖm qua ®ã kh¬i dËy ph¸t huy TTCNT cña häc sinh trong çc tiÕt

d¹y tù chän, «n luyÖn hay ngo¹i khãa, ch¼ng h¹n ®a ra çc bµi to¸n thó

vÞ sau:

Bµi to¸n : A-sin (Achilis) ®uæi rïa

C©u chuyÖn nghÞch lý næi tiÕng cña D ’Elec ZÐnon (496 – 429)

mét triÕt gia ngêi Hi l¹p cæ ®¹i vµo thÕ kû thø V tríc C«ng nguyªn, ®·

®a ra bµi to¸n A-sin (Achilis) ®uæi rïa vµ lËp luËn nh sau :

“A-sin (Achilis) lµ mét lùc sÜ trong thÇn tho¹i Hi l¹p, ngêi ®îc

mÖnh danh lµ “ cã ®«i ch©n nhanh nh giã “ ®uæi theo m«t con rïa trªn

mét ®êng th¼ng. NÕu lóc xuÊt ph¸t, rïa ë ®iÓm R1 çch A-sin ë ®iÓm

A mét kho¶ng a ≠ 0, th× mÆc dï ch¹y nhanh h¬n, nhng A-sin

kh«ng bao giê cã thÓ ®uæi kÞp ®îc rïa (!).

ThËt vËy, ®Ó ®uæi kÞp rïa, tríc hÕt A-sin cÇn ®i ®Õn ®iÓm xuÊt

www.vnmath.com

28

ph¸t R1 cña rïa. Nhng trong kho¶ng thêi gian ®ã rïa ®· ®i ®Õn ®iÓm

R2. §Ó ®uæi tiÕp, A-sin l¹i ph¶i ®Õn ®îc ®iÓm R2 nµy. Trong thêi

gian A-sin ®i ®Õn ®iÓm thø hai lµ R2 th× rïa l¹i tiÕn lªn ®iÓm thø ba lµ

R3 … . Cø nh thÕ, A-sin kh«ng bao giêi ®uæi kÞp rïa (!)”. Nhng thùc

tÕ nhê nghÞch lý cña «ng ®· gãp phÇn thóc ®Èy sù xuÊt hiÖn cña

Giíi h¹n vµ còng tõ kh¸i niÖm Giíi h¹n, con ngêi cã thÓ nghiªn cøu c¸c

vÊn ®Ò liªn quan tíi sù v« h¹n trong Gi¶i tÝch.

(?) : Sau khi häc vÒ Giíi h¹n cña d·y sè, ta cã thÓ cã thÓ lËp luËn nh

thÕ nµo vÒ nghÞch lý “A-sin kh«ng ®uæi kÞp rïa “ ?

(!) : §Ó ®¬n gi¶n ë ®©y ta chØ xÐt mét trêng hîp ®Æc biÖt (cßn trêng

hîp tæng qu¸t ®îc gi¶i t¬ng tù, cô thÓ minh häa ë h×nh vÏ : A R1 R2 R3R4

→

(!) : Ban ®Çu A-sin ë vÞ trÝ A, rïa ë vÞ trÝ R1. Khi ®ã kho¶ng c¸ch

gi÷a A-sin vµ rïa minh häa ®o¹n AR1 cã ®é dµi: U1=100(km) .

(?) : Khi A-sin ch¹y ®îc 100(km) (tøc lµ ch¹y ®Õn vÞ trÝ R1 ) th× rïa ®·

ch¹y ®Õn R2, minh häa ®o¹n R1R2 cã ®é dµi: U2= ? ( U2= 1km).

(?) : Khi A-sin ch¹y ®Õn vÞ trÝ R2 th× rïa ®· ch¹y ®Õn R3, minh häa

®o¹n R2R3 cã ®é dµi: U3= ? ( U3= 100

1km).

(?) : Khi A-sin ch¹y ®Õn vÞ trÝ R3 th× rïa ®· ch¹y ®Õn R4, minh häa

®o¹n R3R4 cã ®é dµi: U4= ? ( U4= 2100

1km).

(!) :T¬ng tù nh vËy ta x©y dùng ®îc : ;...100

1;

100

1;

100

1574635 === UUU

(?) : D·y (Un ) cã ®Æc ®iÓm nh thÕ nµo?

(!) : D·y (Un ) lµ mét cÊp sè nh©n, cã c«ng béi q = 100

1, sè h¹ng tæng

qu¸t Un = 2100

1−n khi n cµng t¨ng th× Un cµng nhá, tøc A-sin ngµy

cµng gÇn rïa h¬n Un nhá bao nhiªu còng ®îc, miÔn lµ n ®ñ ®ñ lín. Khi

n +∞→ th× Un 0→ . VËy ch¾c ch¾n ®Õn mét lóc nµo ®ã A-sin cã thÓ

www.vnmath.com

29

®uæi kÞp ®îc rïa.

Nh vËy, viÖc sö dông chÊt liÖu cô thÓ nh»m t¹o m«i trêng cho t

duy nhËn thøc cña trß ®îc ho¹t ®éng tÝch cùc ®Ó ph¸t huy cao

TTCNT cña häc sinh trong häc tËp m«n To¸n nãi chung vµ khi häc vÒ

chñ ®Ò Giíi h¹n nãi riªng lµ rÊt cÇn thiÕt. Tõ ®ã g©y høng thó, t¹o ®îc

®éng c¬, ý chÝ häc tËp cña häc sinh vµ n©ng cao ®îc chÊt lîng còng

nh kÕt qu¶ d¹y häc.

1.2. Quan ®iÓm vÒ Gi¶i tÝch vµ vÞ trÝ ®Æc ®iÓm Giíi h¹n ë THPT

Gi¶i tÝch To¸n häc, cïng víi §¹i sè lµ mét trong hai néi dung chÝnh

cña ch¬ng tr×nh To¸n ë Phæ th«ng. Gi¶i tÝch lµ tªn gäi chung cña

mét sè bé m«n To¸n häc dùa trªn kh¸i niÖm hµm vµ Giíi h¹n, riªng Gi¶i

tÝch líp 11 ë Phæ th«ng chØ bao gåm: Giíi h¹n vÒ d·y sè, hµm sè,

hµm sè liªn tôc.

Quan niÖm phæ biÕn cho r»ng, häc sinh b¾t ®Çu häc Gi¶i tÝch

tõ khi häc kh¸i niÖm Giíi h¹n (thêng ë líp 11) vµ Giíi h¹n còng lµ ranh giíi

ph©n chia gi÷a §¹i sè vµ Gi¶i tÝch.

1.2.1. VÞ trÝ ®Æc ®iÓm cña Giíi h¹n ë THPT

Chñ ®Ò Giíi h¹n lµ mét chñ ®Ò c¬ b¶n, cã vÞ trÝ ®Æc biÖt quan

träng trong Gi¶i tÝch To¸n häc nãi chung vµ Gi¶i tÝch To¸n häc cña

phæ th«ng nãi riªng, kh«ng nh÷ng nh lµ mét ®èi tîng nghiªn cøu träng

t©m cña ®èi tîng hµm sè mµ cßn lµ mét c«ng cô ®¾c lùc cña Gi¶i

tÝch trong lý thuyÕt vi ph©n hµm, lý thuyÕt xÊp xØ, lÝ thuyÕt biÓu

diÔn,…ngoµi ra chñ ®Ò nµy cã nhiÒu øng dông vÒ mÆt lý thuyÕt

còng nh thùc tiÔn. Trªn c¬ së néi dung cña chñ ®Ò nµy, ta cã thÓ gi¶i

quyÕt nhiÒu vÊn ®Ò thuéc ph¹m vi §¹i sè, Sè häc, H×nh häc, VËt

lý, ... V× vËy, d¹y häc chñ ®Ò Giíi h¹n ë trêng THPT cã ý nghÜa rÊt

quan träng.

www.vnmath.com

30

Cã thÓ nãi Giíi h¹n lµ kiÕn thøc më ®Çu cho bé m«n Gi¶i tÝch ë

trêng phæ th«ng, nã lµ c¬ së ®èi víi hai phÐp tÝnh c¬ b¶n cña Gi¶i

tÝch to¸n häc lµ phÐp tÝnh ®¹o hµm vµ phÐp tÝnh vi ph©n. Giíi h¹n

cßn ®îc ¸p dông nh mét ph¬ng ph¸p ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n nh: tÝnh

®¹o hµm cña hµm sè t¹i mét ®iÓm, t×m tiÖm cËn cña ®å thÞ, chøng

minh çc ®¼ng thøc vµ bÊt ®¼ng thøc, xÐt sù tån t¹i nghiÖm cña ph-

¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh ... D·y sè, hµm sè cïng víi kh¸i niÖm Giíi

h¹n x©y dùng kh¸i niÖm ®¹o hµm, vi ph©n, tÝch ph©n. Çc bµi to¸n vÒ

tÝnh Giíi h¹n, çc ph¬ng ph¸p th«ng dông vµ vÊn ®Ò chuyÓn qua Giíi

h¹n trong çc phÐp to¸n vÒ Giíi h¹n lµ nÒn t¶ng c¬ b¶n cña Gi¶i tÝch

to¸n häc vµ lµ mét trong nh÷ng phÐp to¸n cèt lâi nhÊt cña Gi¶i tÝch

hiÖn ®¹i ®©y lµ c¬ së ®Ó häc sinh cã kh¶ n¨ng tiÕp tôc häc lªn .

VËy §¹i sè ®Æc trng bëi kiÓu t duy “h÷u h¹n “ , “ rêi r¹c” , “ tÜnh t¹i “

, cßn khi häc vÒ Gi¶i tÝch vËn dông kiÓu t duy “ v« h¹n “ , “ liªn tôc “ , “

biÕn thiªn“ mµ kh¸i niÖm Giíi h¹n chÝnh lµ c¬ së cho phÐp nghiªn cøu

çc vÊn ®Ò g¾n liÒn víi sù “ v« h¹n “ , “ liªn tôc “ , “ biÕn thiªn “ ®ã,

ch¼ng h¹n:

§èi víi phÐp to¸n ®Æc trng bëi §¹i sè ®· häc cho t¬ng øng mét tËp

h÷u h¹n phÇn tö víi mét phÇn tö, nh phÐp to¸n céng :

( x1; x2 ) x = x1+ x2

Cßn Giíi h¹n lµ phÐp to¸n cho t¬ng øng mét t¹p v« h¹n phÇn tö víi mét

phÇn tö, nh phÐp to¸n:

( ) ( )nn

n

n

n 1lim0

1 −=−+∞→

§Ó thÊy râ sù kh¸c biÖt nhau gi÷a çc xu híng trong d¹y häc Gi¶i

tÝch ë trêng Phæ th«ng cã thÓ nhê viÖc so s¸nh dùa chñ yÕu vµo

viÖc ph©n tÝch mèi quan hÖ gi÷a mÆt §¹i sè vµ mÆt xÊp xØ cña Gi¶i

tÝch, cô thÓ lµ:

www.vnmath.com

31

1.2.2. Quan ®iÓm thø nhÊt: Gi¶i tÝch mµ §¹i sè hãa t¨ng cêng ë

THPT

Quan ®iÓm nµy gióp ta ý thøc vÒ nh÷ng khã kh¨n lín mµ häc sinh

sÏ gÆp ph¶i lóc míi lµm quen víi kiÓu t duy biÕn thiªn, liªn tôc, v« h¹n

vµ khi häc vÒ sö dông çc ph¬ng ph¸p, kü thuËt xÊp xØ.

NhiÒu c«ng tr×nh nghiªn cøu cña çc t¸c gi¶ trong vµ ngoµi níc ®·

lµm râ nh÷ng khã kh¨n cña häc sinh khi tiÕp thu kh¸i niÖm Giíi h¹n,

còng nh nh÷ng chøng ng¹i khoa häc luËn liªn quan tíi kh¸i niÖm nµy,

nh÷ng khã kh¨n thao t¸c víi çc kü thuËt ®¸nh gi¸ xÊp xØ, víi çc bÊt

®¼ng thøc vµ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi. H¬n n÷a, hiÓu ®îc r»ng tõ mét hÖ

thèng chÆn trªn, chÆn díi hay tõ mét d·y nh÷ng xÊp xØ cã thÓ ®¹t

nh÷ng kÕt qu¶ chÝnh x¸c, r»ng mét kh¸i niÖm cã thÓ ®îc ®Þnh nghÜa

b»ng çc ph¬ng ph¸p ®¸nh gi¸ xÊp xØ vµ thõa nhËn ®îc tÝnh triÕt häc

trong nh÷ng kiÓu nh khi thùc hiÖn chÆn trªn, chÆn díi mét hµm sè

hay d·y sè ta thêng dïng çc kü thuËt: Chän sè h¹ng trçi nhÊt trong mét

biÓu thøc; thªm bít mÉu sè, tö sè cña mét ph©n thøc,... Nh vËy khi

gi¶i quyÕt çc bµi to¸n Gi¶i tÝch ®iÒu nµy còng t¹o nªn mét chíng ng¹i

khoa häc luËn mÊu chèt, ngay c¶ ®èi víi çc nhµ To¸n häc trong çc

thÕ kû tríc. §Ó tr¸nh nh÷ng khã kh¨n nh vËy, quan ®iÓm phæ biÕn lµ

"§¹i sè hãa t¨ng cêng Gi¶i tÝch". Theo quan niÖm nµy, ngêi ta cè

g¾ng thu hÑp sù ng¾t qu·ng gi÷a §¹i sè vµ Gi¶i tÝch, x©y dùng çi míi

trong sù liªn tôc chÆt chÏ víi çi cò vµ hy väng r»ng häc sinh sÏ dÇn

dÇn tiÕp thu ®îc kiÕn thøc míi. V× vËy, ngêi ta t×m çch tr¸nh ®Õn

møc tíi ®a çc ph¬ng ph¸p vµ kü thuËt xÊp xØ, thay vµo ®ã lµ çc phÐp

to¸n vµ quy tr×nh kiÓu §¹i sè. Nh÷ng vÊn ®Ò lín nh : xÊp xØ çc sè,

xÊp xØ çc hµm ®Òu kh«ng ®Ò cËp ®Õn n÷a.

www.vnmath.com

32

VÝ dô 1: Chøng minh: Hµm sè f(x) =1+xx

cã giíi h¹n lµ 0 khi x →

0.

Ta nhËn thÊy :

- KÜ thuËt §¹i sè cho ngay kÕt qu¶ : 0lim

→x 10

0

1 +=

+xx

= 0.

- B»ng kü thuËt ®¸ng gi¸, xÊp xØ cña Gi¶i tÝch, lêi gi¶i cã thÓ lµ:

Víi ∀ x ∈ ( -2

1; 2

1), ta cã

2

1< 1+x <

2

3 ⇔3

2<

x+11

< 2

⇒3

2x ≤ x

x

+1 ≤2 x ⇒ )(xf ≤2 x .

Theo ®Þnh lý so s¸nh ®· biÕt, suy ra: 0lim

→x f(x) = 0lim

→x 1+xx

= 0.

Nghiªn cøu Giíi h¹n trong ''Gi¶i tÝch §¹i sè hãa'' thêng ®îc thùc

hiÖn theo çc bíc sau ®©y :

a) Bíc 1:

§a vµo kh¸i niÖm Giíi h¹n, bíc nµy l¹i cã hai xu thÕ chñ yÕu:

+) Xu thÕ thø nhÊt: T×m çch ®Þnh nghÜa chÆt chÏ çc kh¸i niÖm

Giíi h¹n theo ng«n ng÷ ''ε ,δ '' , ''ε , N ''.

+) Xu thÕ thø hai: Th× ngîc l¹i t×m çch tr¸nh ng«n ng÷ h×nh thøc.

Ngêi ta chØ yªu cÇu häc sinh “h×nh dung” çc kh¸i niÖm nµy b»ng

çch tr×nh bµy kh¸i niÖm Giíi h¹n theo con ®êng thùc nghiÖm, nghÜa

lµ tõ nh÷ng con sè hoÆc ®å thÞ ®Ó cho mét t tëng tæng qu¸t vµ nÕu

cÇn cã thÓ ®i ®Õn çc ®Þnh nghÜa kiÓu ''m« t¶'', ch¼ng h¹n:

§èi víi ®Þnh nghÜa trong SGK §¹i sè vµ Gi¶i tÝch líp 11 cña Phan

§øc ChÝnh (1999): ''d·y sè ( nU ; n = 1,2,3,…) gäi lµ dÇn ®Õn 0 hay cã giíi

h¹n 0 khi n → + ∞ , nÕu nu cµng nhá khi n cµng lín, tøc lµ nÕu nu

cã thÓ nhá bao nhiªu tïy ý miÔn lµ chän n ®ñ lín''. Th«ng thêng, tríc hÕt ta

®a ra kh¸i niÖm giíi h¹n 0, sau ®ã ®Þnh nghÜa giíi h¹n L ≠ 0.

b) Bíc 2:

www.vnmath.com

33

Nghiªn cøu Giíi h¹n cña mét d·y sè hay hµm sè c¬ b¶n vµ ®¬n

gi¶n, nhê vµo ®Þnh nghÜa hay quan s¸t thùc nghiÖm, thËm chÝ c«ng

nhËn.

c) Bíc 3:

§a vµo çc ®Þnh lý b¶n chÊt §¹i sè vÒ Giíi h¹n cña tæng, hiÖu,

tÝch, th¬ng (th«ng thêng ®îc c«ng nhËn, kh«ng chøng minh).

Trªn c¬ së çc d·y sè hay hµm sè c¬ b¶n, çc ®Þnh lý nµy cho

phÐp thu gän nghiªn cøu Giíi h¹n vµo viÖc sö dông çc phÐp to¸n vµ

nh÷ng qui tr×nh kiÓu §¹i sè. Chóng cho phÐp ®a ra çc quy t¾c kiÓu

thuËt to¸n nh ®Ó khö çc d¹ng v« ®Þnh vÒ Giíi h¹n, mµ kh«ng cÇn

®Õn kü thuËt kiÓu xÊp xØ. TiÕn tr×nh nªu trªn còng ®îc ¸p dông t¬ng

tù trong viÖc nghiªn cøu tÝnh liªn tôc, ®¹o hµm, nguyªn hµm tÝch

ph©n.

Nh vËy, çc ph¬ng ph¸p vµ kü thuËt ®¸nh gi¸ xÊp xØ ®îc tr¸nh gÇn

nh hoµn toµn. Ngay c¶ víi çc kh¸i niÖm, dï ®îc ®Þnh nghÜa chÆt chÏ

b»ng ng«n ng÷ h×nh thøc, th× häc sinh còng rÊt Ýt cã dÞp thao t¸c

trªn chóng mµ thêng chØ lµm viÖc vÒ tÝnh giíi h¹n, tÝnh liªn tôc...

theo kiÓu §¹i sè, theo nh÷ng qui t¾c cã tÝnh thuËt to¸n: ph©n tÝch

hµm sè ®· cho thµnh tæng, thµnh tÝch cña çc hµm sè s¬ cÊp c¬ b¶n

cã giíi h¹n hay liªn tôc.

Tãm l¹i, gi¶ng d¹y Gi¶i tÝch chñ yÕu chØ xoay quanh çc phÐp

tÝnh: giíi h¹n, ®¹o hµm, nguyªn hµm tÝch ph©n, cña mét líp çc hµm

sè kh¸ ®¬n gi¶n. Cßn çc vÊn ®Ò liªn quan ®Õn xÊp xØ gÇn nh bÞ

lo¹i bá.

1.2.3. Quan ®iÓm thø hai : Gi¶i tÝch xÊp xØ ë THPT

Quan ®iÓm nµy nhÊn m¹nh sù kh¸c biÖt vÒ b¶n chÊt gi÷a §¹i sè

vµ Gi¶i tÝch, nhÊn m¹nh sù ng¾t qu·ng c¬ b¶n trong kiÓu t duy, ph-

¬ng ph¸p vµ kü thuËt sö dông.

www.vnmath.com

34

Theo quan ®iÓm nµy, Gi¶i tÝch xem nh thuéc ph¹m vi cña xÊp

xØ. V× thÕ vÊn ®Ò mÊu chèt lµ ph¶i biÕt sö dông vµ thao t¸c çc quy

tr×nh, ph¬ng ph¸p vµ kü thuËt chÆn trªn, chÆn díi, ®ãng khung, so

s¸nh, ®¸nh gi¸ xÊp xØ.

MÆc dï ý thøc râ vÒ mÆt khã kh¨n chíng ng¹i khi ®i vµo ph¹m vi

®¸nh gi¸ xÊp xØ, nhng theo quan ®iÓm nµy: Kh«ng vît qua nh÷ng khã

kh¨n vµ chíng ng¹i nµy cã nghÜa lµ kh«ng hiÓu ®îc “®óng nghÜa” cña

Gi¶i tÝch ngêi ta chØ cßn hiÓu ®îc nghÜa vÒ mÆt §¹i sè cña nã.

Mét ''Gi¶i tÝch §¹i sè hãa'' nh vËy, tõ mét quan ®iÓm nµo ®ã, cã thÓ

cho phÐp thµnh c«ng mét sè c«ng viÖc gi¶ng d¹y ë trêng häc, nhng

kh«ng thÝch øng víi viÖc gi¶i quyÕt çc vÊn ®Ò lín cña cuéc sèng,

cña çc ngµnh khoa häc kh¸c, ®Æc biÖt trong viÖc gi¶i quyÕt nh÷ng

vÊn ®Ò c¬ b¶n cña VËt lý. Qu¶ thùc ''Gi¶i tÝch §¹i sè hãa'' chØ cho

phÐp nghiªn cøu mét líp h÷u h¹n çc hµm sè, d·y sè c¬ b¶n, ®¬n gi¶n.

Ch¼ng h¹n ngêi ta kh«ng cã c«ng cô nghiªn cøu giíi h¹n cña çc d·y

lÆp d¹ng nh: un+1 = f(un), hay tÝch ph©n cña çc hµm sè mµ nguyªn

hµm cña chóng kh«ng thÓ tÝnh ®îc. Do ®ã, quan ®iÓm Gi¶i tÝch xÊp

xØ chñ tr¬ng h¹n chÕ tèi ®a mÆt §¹i sè hãa.

MÆt kh¸c, quan ®iÓm nµy còng nhÊn m¹nh ¶nh hëng cña c«ng

nghÖ th«ng tin, cña viÖc sö dông m¸y tÝnh trong nhµ trêng. Nh÷ng

c«ng cô míi nµy, t¹o ®iÒu kiÖn thuËn lîi cho viÖc ®a vµo gi¶ng d¹y çc

ph¬ng ph¸p vµ kü thuËt xÊp xØ, qua néi dung ''ph¬ng ph¸p sè''. Trong

quan ®iÓm nµy l¹i ph©n biÖt hai xu híng chñ yÕu :

a) Xu híng thø nhÊt: §a vµo kh¸i niÖm c¬ b¶n ®îc ®Þnh nghÜa mét

çch chÆt chÏ lý thuyÕt; sö dông ng«n ng÷ '' ε ,δ '', ''ε , N '' víi ph¬ng

ph¸p vµ kü thuËt xÊp xØ cña çc sè, d·y sè vµ hµm sè. NghÜa lµ xö lý

®ång thêi c¶ hai mÆt: quan niÖm vµ kü thuËt ®¸nh gi¸ xÊp xØ.

www.vnmath.com

35

b) Xu híng thø hai: Tr¸nh nh÷ng mÆt ®Þnh nghÜa h×nh thøc, nhng

nhÊn m¹nh vai trß cña ph¬ng ph¸p vµ kû thuËt ®¸nh gi¸ xÊp xØ. Do ®ã

thay v× lµm viÖc víi ''ε ,δ '', ''ε , N '' ngêi ta l¹i lµm viÖc víi çc hµm sè,

d·y sè s¬ cÊp c¬ b¶n nhê vµo ph¬ng ph¸p vµ kü thuËt xÊp xØ nµy.

1.2.5. Quan ®iÓm thø ba : Gi¶i tÝch hçn hîp ë THPT

Quan ®iÓm nµy nhÊn m¹nh r»ng Gi¶i tÝch lµ mét ph¹m vi trong ®ã

tån t¹i vµ ho¹t ®éng xen kÏ nhiÒu h×nh thøc t duy vµ kÜ thuËt b¶n chÊt

kh¸c nhau, mµ chñ yÕu lµ t duy vµ kü thuËt mang ®Æc trng §¹i sè vµ

mang ®Æc trng xÊp xØ cña Gi¶i tÝch.

Tuy ''Gi¶i tÝch §¹i sè hãa'' cã nh÷ng mÆt h¹n chÕ nhng còng nhÊn

m¹nh r»ng kiÓu t duy'' h÷u h¹n '', ''rêi r¹c'' vµ çc ph¬ng ph¸p kü thuËt

cña §aÞ sè vÉn cã mét vai trß quan träng trong Gi¶i tÝch.

Cßn quan niÖm b¶n chÊt Gi¶i tÝch lµ xÊp xØ, thÊy râ sù cÇn thiÕt

cho häc sinh häc thao t¸c, sö dông çc kü thuËt vµ ph¬ng ph¸p xÊp xØ,

nhng quan niÖm nµy còng ý thøc vÒ nh÷ng h¹n chÕ cña quan ®iÓm

''Gi¶i tÝch xÊp xØ'', quan ®iÓm trong ®ã khi thùc hiÖn sù gi¶ng d¹y

Gi¶i tÝch tháa m·n mÆt khoa häc luËn cña néi dung, nhng l¹i cha

quan t©m ®óng møc quy tr×nh nhËn thøc, kh¶ n¨ng tiÕp thu cña häc

sinh, Ýt tÝnh ®Õn nh÷ng khã kh¨n lín mµ häc sinh ph¶i gÆp khi thao

t¸c çc ph¬ng ph¸p vµ kü thuËt ®¸nh gi¸ xÊp xØ.

VÝ dô 2 : Chøng minh: Hµm sè f( x ) = x3 +x2+1 cã giíi h¹n lµ 1, khi x

→ 0.

Ta thÊy : - §Þnh lý §¹i sè ''vÒ giíi h¹n cña tæng'', cho ngay kÕt qu¶:

0lim

→x (x3 +x2+1) = 0lim

→x (x3)+ 0lim

→x ( x2)+ 0lim

→x (1) = 1.

- Th× kÜ thuËt ®¸nh gi¸, xÊp xØ cña Gi¶i tÝch cã lêi gi¶i, sau ®©y:

'' 1)( −xf = | )1(2 +xx | = | x2 | . | x+1| .

§Ó ®¹t ®îc bÊt ®¼ng thøc: | f(x) – 1 | < 2 | x2 |, ta cÇn chän sè

thùc λ vµ mét kho¶ng I t©m 0 sao cho: | ( x+ 1) | < λ , víi ∀x∈ I .

www.vnmath.com

36

ch¼ng h¹n ta lÊy I = (-1;1), th× (x+1)∈ (-1;1), do ®ã | x+1| < 2.

Khi ®ã, víi ∀x∈ I, ta cã: | f(x) - 1 | = | x2 | . | x+1| < 2 | x2 |.

Theo ®Þnh lÝ so s¸nh ®· häc, ta suy ra : 0lim

→x f(x) = 1''.

- MÆt kh¸c, viÖc l¹m dông kÜ thuËt xÊp xØ l¹i gÆp ph¶i h¹n chÕ

cña kÜ thuËt nµy, ch¼ng h¹n nh:

VÝ dô 3: TÝnh +∞→nlim

1

22 +−

n

n.

Ta nhËn thÊy:kü thuËt §¹i sè cho lêi gi¶i : +∞→nlim

1

22 +−

n

n= +∞→nlim

2

2

11

21

n

nn

+

−=

0.

- Víi kü thuËt, ®¸nh gi¸ xÊp xØ cña Gi¶i tÝch, : 1

22 +−

n

n ≤12 +n

n <

2n

n=n

1.

Theo ®Þnh lý so s¸nh, ta suy ra: +∞→nlim

1

22 +−

n

n = 0.

Tuy nhiªn, kü thuËt nµy kh«ng cßn ®¬n gi¶n nh vËy, dï chØ thay

®æi vµi chi tiÕt rÊt nhá trong bµi to¸n, ch¼ng h¹n:

VÝ dô 4 : T×m +∞→nlim

1

22 −+

n

n .

Ta biÕn ®æi: 1

22 −+

n

n ≤2

22

2 nn

nn

−

+=n

6, víi ∀n > 1.

Ch¾c ch¾n, nh÷ng kü x¶o ''thªm, bít'' nh vËy rÊt khã kh¨n ®èi víi

häc sinh. Qua ®ã ta thÊy, quan ®iÓm "Gi¶i tÝch hçn hîp" nhÊn m¹nh

mèi quan hÖ biÖn chøng gi÷a hai thµnh phÇn: §¹i sè hãa /xÊp xØ, nh»m

®¹t tíi x¸c ®Þnh mét tØ lÖ thÝch hîp gi÷a chóng. Chó ý tíi c¸c biÖn

ph¸p, ph¬ng thøc s ph¹m thÝch hîp nh»m ph¸t huy TTCNT cña häc

sinh.

www.vnmath.com

37

§Ó thÊy râ sù kh¸c biÖt gi÷a çc xu híng trong d¹y häc Gi¶i tÝch ë

çc trêng THPT, cÇn ph¶i so s¸nh chóng trªn cë së ph©n tÝch nhiÒu

yÕu tè kh¸c nhau. Tuy nhiªn ë ®©y chØ dùa chñ yÕu viÖc ph©n tÝch

so s¸nh mèi quan hÖ gi÷a mÆt §¹i sè vµ mÆt xÊp xØ cña Gi¶i tÝch.

1.3. Thùc tiÔn d¹y häc chñ ®Ò kh¸i niÖm giíi h¹n

Qua thùc tiÔn vµ dù giê gi¶ng d¹y m«n To¸n ë trêng THPT , cho

thÊy:

Chñ ®Ò Giíi h¹n lµ mét trong nh÷ng ch¬ng khã cña Gi¶i tÝch THPT.

Ngay c¶ ®èi víi häc sinh kh¸ khi tiÕp cËn víi víi ng«n ng÷ Gi¶i tÝch nh” ε

®ñ bÐ”, “ x dÇn vÒ a” , “d·y sè dÇn ra v« cùc “ ...mµ nÕu kh«ng cã tr×nh

®é t duy, kh¶ n¨ng nhËn thøc nh÷ng vÊn ®Ò trõu tîng th× khã cã thÓ

lÜnh héi ®îc chñ ®Ò nµy, nªn çch d¹y chñ yÕu lµ cung cÊp tri thøc, tiÕn

hµnh çc bµi tËp mÉu vËn dông, mµ nguyªn nh©n cã thÓ lµ b¾t nguån

tõ nh÷ng vÊn ®Ò sau ®©y:

- Mét lµ, phÇn lín gi¸o viªn chØ nghÜ ®Õn viÖc d¹y ®óng, d¹y ®ñ,

d¹y kh¸i niÖm, ®Þnh lý, kiÕn thøc chñ ®Ò Giíi h¹n chø cha nghÜ ®Õn

viÖc d¹y thÕ nµo;

- Hai lµ, tÝnh chÊt vÒ kh¸i niÖm Giíi h¹n qu¸ trõu tîng v× : nã kh«ng

t¹o ®îc mèi liªn hÖ gi÷a h×nh häc víi ®¹i sè, tõ ®ã dÔ cã c¶m tëng r»ng

nã kh«ng thùc sù to¸n häc. Häc sinh rÊt khã n¾m ®îc kh¸i niÖm v« cïng

lín, v« cïng bÐ , v« cùc, nhÊt lµ giíi h¹n kh«ng thÓ tÝnh trùc tiÕp b»ng

çch dïng ph¬ng ph¸p ®¹i sè vµ sè häc quen thuéc. MÆt kh¸c, khã kh¨n

n÷a trong nhËn thøc kh¸i niÖm giíi h¹n lµ nh÷ng khã kh¨n liªn quan ®Õn

ng«n ng÷: "giíi h¹n", "dÇn vÒ", "nhá tïy ý" cã ý nghÜa th«ng thêng kh«ng

t¬ng hîp víi kh¸i niÖm giíi h¹n d¹ng h×nh thøc khiÕn cho ®a sè häc sinh

khi häc vÒ vÊn ®Ò nµy võa gÆp khã kh¨n vÒ mÆt nhËn thøc nªn dÔ r¬i

vµo bÞ ®éng bëi hµng lo¹t çc ®Þnh lý ®îc thõa nhËn kh«ng chøng

www.vnmath.com

38

minh, võa lµm cho viÖc ¸p dông trë nªn m¸y mãc dÉn ®Õn viÖc lÜnh héi

kiÕn thøc mét çch cha thÓ trän vÑn.

- Ba lµ, çc ho¹t ®éng chØ ®¹o, nghiªn cøu, båi dìng gi¶ng d¹y cßn

nÆng vÒ t×m hiÓu, lµm quen vµ khai th¸c néi dung ch¬ng tr×nh vµ S¸ch

gi¸o khoa. ThiÕu sù chuÈn bÞ ®ång bé ®èi víi çc m¾t xÝch trong mèi

quan hÖ rÊt chÆt chÏ lµ môc tiªu, néi dung, ph¬ng ph¸p, ph¬ng tiÖn

gi¶ng d¹y … ViÖc cô thÓ hãa, quy tr×nh hãa nh÷ng ph¬ng ph¸p d¹y häc

vÒ chñ ®Ò kh¸i niÖm Giíi h¹n ®Ó gióp gi¸o viªn sö dông trong gi¶ng d¹y

cha lµm ®îc bao nhiªu. Ngoµi ra còng thiÕu çc th«ng tin cÇn thiÕt vÒ

®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc nãi riªng vµ ®æi míi gi¸o dôc nãi chung trªn

thÕ giíi;

- Bèn lµ, çc kiÓu ®¸nh gi¸ vµ thi cö còng ¶nh hëng râ rÖt tíi ph¬ng

ph¸p gi¶ng d¹y; ®¸nh gi¸ vµ thi cö nh thÕ nµo th× sÏ cã lèi d¹y t¬ng øng

®èi phã nh thÕ Êy.

Tãm l¹i, víi kiÓu d¹y häc thÇy truyÒn thô kiÕn thøc nãi chung, chñ

®Ò Giíi h¹n nãi riªng theo çch thô ®éng trß ngåi nghe, nh÷ng g× thÇy

gi¶ng thêng kh«ng cã sù tranh luËn gi÷a thÇy vµ trß, ®iÒu thÇy nãi cã

thÓ coi lµ tuyÖt ®èi ®óng … Mét ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y vµo kinh

nghiÖm, kh«ng xuÊt ph¸t tõ môc tiªu ®µo t¹o, kh«ng cã c¬ së kiÕn thøc

vÒ nh÷ng quy luËt vµ nguyªn t¾c cña lý luËn d¹y häc sÏ lµm cho qu¸

tr×nh häc tËp trë nªn nghÌo nµn, lµm gi¶m ý nghÜa gi¸o dôc còng nh

hiÖu qu¶ bµi gi¶ng.

V× vËy cÇn t¨ng cêng çc ho¹t ®éng ph¸t hiÖn, tù kh¸m ph¸, ý thøc

häc tËp cña mçi häc sinh:

+ Gi¶m nhÑ lÝ thuyÕt trõu tîng, coi träng vai trß trùc gi¸c, rÌn luyÖn

kh¶ n¨ng dù ®o¸n vµ suy luËn cã lÝ ;

www.vnmath.com

39

+ Ph¸t huy TTCNT cña häc sinh trong tiÕn tr×nh x©y dùng kiÕn thøc

theo qui n¹p trong viÖc h×nh thµnh çc kh¸i niÖm Giíi h¹n. Mét mÆt nã

phï hîp víi qui luËt nhËn thøc " tõ trùc quan sinh ®éng ®Õn t duy trõu t-

îng ... " nªn dÔ dµng h¬n cho viÖc lÜnh héi kiÕn thøc cña häc sinh. MÆt

kh¸c, khi tham gia ph¬ng thøc nµy lµ c¬ héi ®Ó häc sinh tham gia tÝch

cùc vµo viÖc x©y dùng kiÕn thøc míi, rÌn luyÖn çc thao t¸c t duy nh

Ph©n tÝch, Tæng hîp, Kh¸i qu¸t hãa,... tõ ®ã ph¸t huy TTCNT .

1.4. KÕt luËn ch¬ng 1

Tõ sù ph©n tÝch c¬ së lý luËn vµ thùc tiÔn viÖc ph¸t huy tÝnh tÝch

cùc nhËn thøc cña häc sinh trong d¹y häc m«n To¸n víi çc quan ®iÓm

Gi¶i tÝch vÒ ®Æc ®iÓm chñ ®Ò Giíi h¹n ë trêng THPT cho thÊy:

+ §æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc nh»m ph¸t huy TTCNT cña häc sinh lµ

ph¬ng ph¸p d¹y häc hiÖu qu¶ nhÊt, ®Ó ®¹t ®îc yªu cÇu vÒ sù c¹nh tranh

trÝ tuÖ trªn con ®êng héi nhËp vµ ph¸t triÓn toµn cÇu, ®ång thêi ®¸p

øng ®îc môc tiªu mµ x· héi ®ang ®Æt ra.

+ §a ra mét sè quan ®iÓm Gi¶i tÝch vÒ ®Æc ®iÓm chñ ®Ò Giíi h¹n, ®©y

®îc coi lµ néi dung quan träng, c¬ b¶n nÒn t¶ng vµ khã cña Gi¶i tÝch

To¸n häc ë THPT , v× vËy khi häc vÒ néi dung nµy chÝnh lµ qu¸ tr×nh

biÕn ®æi vÒ chÊt trong nhËn thøc ®èi víi häc sinh.

Nh÷ng kÕt luËn trªn ®©y, lµ c¬ së cho viÖc ®Þnh híng, thiÕt kÕ

x©y dùng 5 ph¬ng thøc s ph¹m thÝch hîp, ®Ó d¹y häc kh¸i niÖm vÒ chñ

®Ò Giíi h¹n theo híng ph¸t huy TTCNT cña häc sinh nh»m n©ng cao hiÖu

qu¶ d¹y häc To¸n nãi chung vµ chñ ®Ò Giíi h¹n nãi riªng ë trêng THPT.

ch¬ng 2çch tiÕp cËn kh¸i niÖm GIíI H¹N Vµ VIÖC PH¸T HUY TÝNH

www.vnmath.com

40

tÝCH cùc NHËN THøc Cña HäC SINH

TRONG D¹Y HäC chñ ®Ò GiíI H¹N ë THPT

2.1. çch tiÕp cËn kh¸i niÖm GIíI H¹N ë THPT

Thùc tÕ trong ch¬ng tr×nh m«n To¸n ë THPT çc kh¸i niÖm ''Giíi

h¹n vÒ d·y sè vµ hµm sè, hµm sè liªn tôc'' ®îc tr×nh bµy theo çc çch

tiÕp cËn kh«ng gièng nhau cña mçi tµi liÖu riªng biÖt. XÐt trong çc

bé SGK Gi¶i tÝch - §¹i sè líp 11 cña çc nhãm t¸c gi¶ ta sÏ thÊy râ h¬n

®iÒu ®ã.

2.1.1. Çc çch tiÕp cËn kh¸i niÖm “giíi h¹n d·y sè”

2.1.1.1. Çch 1: Cña nhãm t¸c gi¶ Ng« Thóc Lanh chñ biªn, 1995 theo

ng«n ng÷ ''ε , )(εN ''

Con ®êng ®i tíi ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm Giíi h¹n d·y sè lµ qui n¹p,

tõ viÖc m« t¶: ''Khi n cµng lín th× nU cµng bÐ vµ bÐ bao nhiªu còng ®îc'',

®îc chuyÓn qua ng«n ng÷ "ε , )(εN " b»ng çch chän miÒn gi¸ trÞ ε

cô thÓ ®Ó tiÕn tíi kh¸i qu¸t hãa cho mäi ε : ''ta nãi r»ng d·y sè thùc ( nU ;

n = 1,2,3,…) cã giíi h¹n lµ L (L∈ R), khi n → + ∞ nÕu víi mäi sè d¬ng ε cho

tríc (nhá tuú ý) tån t¹i mét sè tù nhiªn )(εN sao cho víi mäi n > )(εN th×

LUn − <ε .

KÝ hiÖu +∞→nlim

nU = L''.

§Þnh nghÜa nµy kh¸ r¾c rèi, cÊu tróc c©u th× phøc t¹p, h¬n n÷a

®©y lµ lÇn ®Çu tiªn häc sinh tiÕp cËn víi ký hiÖu cña Hy L¹p lµ ε .

Häc sinh kh¸ th× th¾c m¾c t¹i sao nãi lµ ''víi mäi sè d¬ng ε cho tríc''

cßn sö dông côm tõ ''nhá bao nhiªu tïy ý '' ®Ó lµm g× ? Thùc ra, nÕu

kh«ng cã lêi gi¶i thÝch ®ã çc em sÏ Ýt chó träng ®Õn tÝnh chÊt '' v«

cïng bÐ '', ( ®©y lµ ®Æc trng cña Gi¶i tÝch) mµ çc em chØ nghÜ ®Õn

gi¸ trÞ cè ®Þnh ε , th× t duy l¹i theo kiÓu ''tÜnh t¹i'', ''rêi r¹c’', ''h÷u h¹n''

www.vnmath.com

41

cña §¹i sè. Lêi gi¶i thÝch nµy híng vµo kiÓu t duy ''biÕn thiªn'', ''liªn

tôc'', ''v« h¹n'' cña lÜnh vùc Gi¶i tÝch.

2.1.1.2. Çch 2: Cña nhãm t¸c gi¶ Phan §øc ChÝnh chñ biªn, 1999

theo ng«n ng÷ ”m« t¶”

Kh¸i niÖm giíi h¹n d·y sè ®îc ®Þnh nghÜa díi d¹ng “m« t¶” b»ng

ng«n ng÷ th«ng thêng, ®a vµo tõng bíc ®Ó gi¶m nhÑ møc ®é trõu tîng

cña nã.

+) B íc1 : §Þnh nghÜa ''Giíi h¹n 0 cña d·y sè” lµ: ''d·y sè ( nU ; n = 1,2,3,

…) gäi lµ dÇn vÒ 0 hay cã giíi h¹n 0 khi n → + ∞ , (nÕu nU cµng nhá khi n

cµng lín) tøc lµ cã thÓ nhá bao nhiªu tïy ý, miÔn lµ chän ®îc n ®ñ lín. KÝ

hiÖu +∞→nlim nU = 0 hoÆc nU → 0 khi n → + ∞ ''.

§Þnh nghÜa nµy cha ®¶m b¶o tÝnh chÝnh x¸c cña mét ®Þnh

nghÜa kh¸i niÖm, nhng v× tÝnh chÊt “m« t¶” nªn häc sinh kh«ng bÞ

cho¸ng, v× vËy gióp häc sinh bíc ®Çu h×nh thµnh kh¸i niÖm Giíi h¹n 0

cña d·y sè. Tuy nhiªn víi çch ®Þnh nghÜa nµy, häc sinh kh«ng thÓ dïng

®Þnh nghÜa ®Ó chøng minh mét d·y cã Giíi h¹n 0 vµ lµm çc bµi to¸n vÒ

chøng minh Giíi h¹n b»ng ®Þnh nghÜa, mµ häc sinh chØ cã mçi mét con ®-

êng lµ c«ng nhËn tÊt c¶ çc Giíi h¹n c¬ b¶n, còng nh çc ®Þnh lý vÒ Giíi h¹n.

+) B íc 2 : §Þnh nghÜa “ Giíi h¹n L ≠ 0 cña d·y sè nU ” lµ

''ta nãi r»ng d·y sè thùc ( nU ; n = 1,2,3,…) cã giíi h¹n lµ L (L∈ R), khi

n → + ∞ nÕu víi mäi sè d¬ng ε cho tríc (nhá tuú ý) tån t¹i mét sè tù

nhiªn )(εN , sao cho víi mäi n > )(εN th× LUn − <ε . KÝ hiÖu +∞→nlim

nU

= L''.

Qua sù ph©n tÝch trªn ta thÊy cÇn cã sù thèng nhÊt gi÷a çc quan

®iÓm ®Ó häc sinh lÜnh héi ®îc çc kh¸i niÖm, ngoµi ra ®¶m b¶o tÝnh

võa søc, tÝnh l«gic ®óng ®¾n, tõ ®ã gióp häc sinh cã sù nhËn thøc râ

rµng vµ s©u s¾c h¬n. ChÝnh v× vËy, mµ ch¬ng tr×nh c¶i çch SGK

www.vnmath.com

42

lÇn nµy ®· qu¸n triÖt tinh thÇn ®ã, cña nhãm t¸c gi¶ Phan §øc ChÝnh,

®ã lµ çch 3:

2.1.1.3. Çch 3 : Cña nhãm t¸c gi¶ §oµn Quúnh chñ biªn, 2004

Tríc hÕt, th«ng qua vÝ dô cô thÓ ®iÓn h×nh, b»ng viÖc tæ chøc

cho häc sinh biÓu diÔn d·y sè vµ nhËn xÐt kho¶ng çch tõ ®iÓm nU

®Õn täa ®é 0. Qua thao t¸c s ph¹m, gi¸o viªn híng dÉn häc sinh lµm

sao nªu bËt lªn ®îc mÆt logic cña kh¸i niÖm Giíi h¹n 0, mét çch trùc

quan nhÊt, lóc nµy c¶ ba mÆt ''trùc gi¸c sè '' , ''trùc gi¸c h×nh häc'' vµ

''suy luËn'' ®Òu ®îc ®Ò cËp nh»m h×nh thµnh ë häc sinh biÓu tîng

ban ®Çu vÒ kh¸i niÖm Giíi h¹n 0 cña d·y sè. Tuy nhiªn, mÆt ''suy

luËn'' chØ ®îc ®Ò cËp cã møc ®é. VËy muèn ®i ®Õn kh¸i niÖm Giíi

h¹n 0, häc sinh l¹i cÇn hiÓu ®îc mÖnh ®Ò tæng qu¸t '' nU nhá h¬n mét

sè d¬ng bÊt kú, kÓ tõ mét sè h¹ng nµo ®ã trë ®i''. Sau ®ã th«ng b¸o

r»ng víi ®Æc trng nµy d·y ( nU ) ®îc gäi lµ cã giíi h¹n 0 khi n → + ∞ .

MÖnh ®Ò nªu trªn chØ dõng ë møc ®é '' nU nhá h¬n ...'', chø cha

ph¶i lµ '' nU nhá h¬n ...''. Tuy nhiªn, víi d·y sè nµy, häc sinh cã thÓ cã

quan niÖm sai lÖch r»ng: ''nÕu d·y ( nU ) cã giíi h¹n lµ 0, th× nU ph¶i lµ

d·y ®¬n ®iÖu vµ dÇn tíi 0 chØ tõ mét phÝa, thËm chÝ ( nU ) ph¶i d¬ng''.

Nhng d·y ( nU ) cã thÓ lµ d·y kh«ng ®¬n ®iÖu vµ cã thÓ dÇn vÒ 0 tõ

bªn tr¸i hay tõ bªn ph¶i, hoÆc tõ c¶ hai phÝa. Môc ®Ých chñ yÕu vÉn

lµ gióp häc sinh hiÓu mét çch trùc gi¸c kh¸i niÖm Giíi h¹n 0, do ®ã m«

t¶ ®Æc trng cña d·y sè nµy trªn c¶ hai ph¬ng diÖn ''trùc gi¸c sè'' vµ

''trùc gi¸c h×nh häc''. §Ó kh¾c phôc khuyÕt ®iÓm nµy vµ còng cè

biÓu tîng ban ®Çu vÒ Giíi h¹n 0, nªn xÐt vÝ dô d·y ®an dÊu:

VÝ dô 5: Chøng minh d·y sè ( )n

un

n

1−= cã giíi h¹n 0

www.vnmath.com

43

XÐt : +∞→nlim

nu

n

nn

)1(lim

−=+∞→

= 0 nn

un1)1(

0 =−=−⇔ <ε (nhng ë ®©y

kh«ng dïng kÝ hiÖu ε nµy mµ gäi lµ “ nhá h¬n mét sè d¬ng bÊt kú", kÓ tõ

mét sè h¹ng nµo ®ã trë ®i).

§ång thêi hîp thøc hãa tÝnh chÊt c¬ b¶n cña d·y sè ®· cho lµ:

''H¬n n÷a ngêi ta chøng minh ®îc r»ng nU cã thÓ nhá h¬n mét sè d-

¬ng bÊt kú, kÓ tõ mét sè h¹ng nµo ®ã trë ®i''. Côm tõ ''nhá h¬n mét sè

d¬ng bÊt kú, kÓ tõ mét sè h¹ng nµo ®ã trë ®i'' cã thÓ cßn m¬ hå ®èi

víi häc sinh, v× thÕ ta ph¶i cho cô thÓ hai gi¸ trÞ sè d¬ng lµ:

nÕu sè d¬ng lµ 0,1 tøc 1001,01 >⇒<= nn

un th× tõ sè h¹ng thø 101 trë ®i;

víi sè d¬ng lµ 0, tøc 1000001,01 >⇒<= nn

un th× tõ sè h¹ng thø 1 001 trë ®i.

ViÖc tr×nh bµy hçn hîp ''trùc gi¸c - suy luËn'' nh vËy cho phÐp

®¶m b¶o ®îc c¶ tÝnh s ph¹m vµ tÝnh chÆt chÏ To¸n häc trong viÖc

kh¼ng ®Þnh tÝnh chÊt c¬ b¶n cña d·y sè ®· cho. Giíi h¹n L ≠ 0 ®îc

®Þnh nghÜa qua kh¸i niÖm Giíi h¹n 0 vµ theo con ®êng suy diÔn

(nghÜa lµ ph¸t biÓu ngay ®Þnh nghÜa, sau ®ã tr×nh bµy vÝ dô cñng cè ).

VÊn ®Ò lµ ®a vµo kh¸i niÖm Giíi h¹n qua “m« t¶” mµ kh«ng tr×nh

bµy ®Þnh nghÜa chÝnh x¸c, nªn khã cã thÓ lét t¶ ®îc b¶n chÊt kh¸i

niÖm, trªn tinh thÇn ®ã trong SGK míi, kh¸i niÖm Giíi h¹n 0 vµ Giíi h¹n

+ ∞ ®îc ®a vµo theo con ®êng qui n¹p. Cô thÓ qua çc ho¹t ®éng vµ

vÝ dô, kh¸i niÖm ®îc “m« t¶” nhê vµo çc ghi nhËn "trùc gi¸c sè" vµ

''trùc gi¸c h×nh häc" víi “ suy luËn”. Cßn çc kh¸i niÖm Giíi h¹n L ≠ 0 vµ

Giíi h¹n - ∞ ®îc ®Þnh nghÜa qua çc Giíi h¹n 0 vµ Giíi h¹n + ∞ .

Ngoµi ra, SGK cßn cho mét sè kÕt qu¶ cña giíi h¹n c¬ b¶n ®Æc

biÖt, ®Ó häc sinh sö dông kÕt qu¶ ®ã lµm c¬ së chøng minh nh÷ng

bµi to¸n vÒ giíi h¹n (mµ theo nh çch 2, cña bíc 1 lµ ®èi víi lo¹i to¸n nµy

ta kh«ng cã çch gi¶i, mµ chØ cã çch lµ c«ng nhËn çc kÕt qu¶ vµ

®Þnh lý vÒ giíi h¹n).

www.vnmath.com

44

2.1.2. Çc çch tiÕp cËn ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm ” giíi h¹n hµm

sè”

ë Phæ th«ng trong çc bé SGK Gi¶i tÝch - §¹i sè líp 11 kh¸i niÖm

Giíi h¹n hµm sè ®îc çc t¸c gi¶ tr×nh bµy theo hai ng«n ng÷ kh¸c nhau

lµ: ''d·y'' vµ ''ε ,δ ''.

2.1.2.1. Çch 1: Cña nhãm t¸c gi¶ Ng« Thóc Lanh chñ biªn, 1996

theo ng«n ng÷ ''ε ,δ ''

§Þnh nghÜa kh¸i niÖm Giíi h¹n cña hµm sè theo ng«n ng÷ '' ε ,δ ''

lµ: '' Ta nãi r»ng hµm sè y = f(x) dÇn tíi L khi x dÇn tíi a (hoÆc cã giíi h¹n L

khi x → a) nÕu mäi sè d¬ng cho trícε (nhá bao nhiªu tïy ý), ta cã thÓ t×m

®îc mét sè d¬ng δ sao cho khi 0 < ax− <δ th× Lxf −)( <. KÝ hiÖu ax→lim

( )xf = L".

Çch ph¸t biÓu nµy ®¶m b¶o vÒ tÝnh chÝnh x¸c vµ tæng qu¸t, tuy

nhiªn l¹i kh«ng ®¶m b¶o vÒ tÝnh võa søc ®èi víi häc sinh v× ng«n ng÷

kh¸ trõu tîng vµ khã tiÕp thu. NhÊt lµ ®èi víi lo¹i bµi tËp dïng ®Þnh

nghÜa ®Ó chøng minh giíi h¹n cña hµm sè häc sinh ph¶i cã bíc dù

®o¸n kÕt qu¶ råi ¸p dông ®Þnh nghÜa ®Ó chøng minh vµ viÖc t×m sè

δ theo ε qu¶ lµ kh«ng hÒ ®¬n gi¶n.

2.1.2.2. Çch 2: Cña nhãm t¸c gi¶ Phan §øc ChÝnh chñ biªn vµ mét

sè SGK cña çc nhãm t¸c gi¶ kh¸c theo ng«n ng÷ ''d·y''

Tr×nh bµy theo ng«n ng÷ ''d·y'' çc çch ph¸t biÓu cã thÓ kh¸c nhau

nhng nh×n chung ®Òu c¬ b¶n ®¶m b¶o tÝnh chÝnh x¸c vÒ khoa häc

vµ còng kh«ng kÐm phÇn trõu tîng h¬n so víi ng«n ng÷ ''ε ,δ ''. Tuy

nhiªn nã dùa trªn kh¸i niÖm d·y sè ®· ®îc ®Þnh nghÜa tríc ®ã cïng víi

sù “m« t¶” ®· lµm cho häc sinh dÔ tiÕp nhËn h¬n, bëi tÝnh kÕ thõa

cña nhËn thøc. Tøc tõ kh¸i niÖm Giíi h¹n d·y sè cã thÓ chuyÓn qua

Giíi h¹n hµm sè b»ng çch chän ®Þnh nghÜa qua Giíi h¹n d·y sè. Cô

www.vnmath.com

45

thÓ ®Þnh nghÜa ''Giíi h¹n hµm sè'' trong SGK cã thÓ ph¸t biÓu ë çc

d¹ng sau:

a) D¹ng 1: f(x) x¸c ®Þnh trªn tËp hîp sè thùc D bÊt kú, trong qu¸

tr×nh x→ a chØ yªu cÇu x → a, víi x∈ D mµ kh«ng yªu cÇu x ≠ a

(nghÜa lµ cã thÓ ax→lim x = a hoÆc x ≠ a). D¹ng nµy ®îc tr×nh bµy SGK

§¹i sè & Gi¶i tÝch líp 11 (1996) cña nhãm t¸c gi¶ Phan §øc ChÝnh chñ

biªn, cã thÓ ph¸t biÓu nh sau: ” Ta nãi r»ng hµm sè y = f(x) dÇn tíi L khi x

dÇn tíi a (hoÆc f(x) cã giíi h¹n b»ng L khi x dÇn ®Õn a) nÕu víi mäi d·y sè

(xn) ∈ D vµ (xn) → a th× d·y çc gi trÞ t¬ng øng (f(xn))→ L. Ta viÕt ax→lim f(x)

= L hay f(xn) → L khi x→ a”.

b) D¹ng 2: f(x) x¸c ®Þnh trªn tËp hîp sè thùc D bÊt kú, trong qu¸

tr×nh

x→ a chØ yªu cÇu víi x ∈ D vµ yªu cÇu x ≠ a. D¹ng nµy ®îc tr×nh bµy

trong SGK chØnh hîp nhÊt n¨m 2000 cña nhãm t¸c gi¶ TrÇn V¨n H¹o &

Ng« Thóc Lanh chñ biªn, cã thÓ ph¸t biÓu nh sau: ''Ta nãi r»ng hµm sè y =

f(x) dÇn tíi L khi x dÇn tíi a (hoÆc f(x) cã giíi h¹n b»ng L khi x dÇn tíi a) nÕu

mäi d·y sè (xn) ∈ D víi (xn) ≠ a vµ (xn) → a th× d·y çc gi trÞ t¬ng øng (f(xn ))

→ L. Ta viÕt ax→lim f(x) = L hay f(xn) → L khi x→ a”.

c) D¹ng 3: f(x) x¸c ®Þnh trong mét l©n cËn nµo ®ã cña ®iÓm a trõ

®iÓm a vµ trong qu¸ tr×nh x → a yªu cÇu x ≠ a. D¹ng nµy ®Þnh nghÜa

b»ng ng«n ng÷ d·y ®îc tr×nh bµy trong SGK Gi¶i tÝch 12 ban khoa

häc kü thuËt (1995) cña nhãm t¸c gi¶ Phan §øc ChÝnh chñ biªn, cã thÓ

ph¸t biÓu nh sau: "Gi¶ sö a ∈ ( c ; b ), (- ∞ < c≤b <+ ∞ ) vµ hµm sè

f(x) x¸c ®Þnh trªn tËp hîp (c;b)\{a}. Ta nãi r»ng hµm sè cã giíi h¹n lµ L khi x

dÇn ®Õn a vµ viÕt:

www.vnmath.com

46

ax→lim f(x) = L hay f(x) → L khi x → a, nÕu víi mäi d·y sè thùc bÊt kú (xn)∈

(c;b) \ {a} sao cho +∞→nlim x n = a ta ®Òu cã +∞→n

lim f(xn) = L”.

*) VËy cã thÓ chØ ra sù kh¸c nhau vÒ ®Þnh nghÜa cña giíi h¹n hµm

sè cña c¸c d¹ng nªu trªn nh sau:

+ Thø nhÊt: Trong vÊn ®Ò chän d·y (xn) → a. Ta thÊy, ë d¹ng 1

kh«ng yªu cÇu d·y (xn) ≠ a nhng ë d¹ng 2 vµ d¹ng 3 yªu cÇu d·y (xn) ≠

a, ta thÊy ®©y lµ ®iÒu kiÖn cÇn thiÕt bëi v× ta cã thÓ minh chøng râ

nÐt qua ph¶n vÝ dô sau:

VÝ dô 6: XÐt

=≠

=0;1

0;sin)(

x

xxxf

NÕu xn → 0 vµ kh«ng yªu cÇu xn ≠ 0, ta chän d·y )( nxf :

=2;1

2;1

n

nnxn

th× 0lim =+∞→ n

nx .

Nhng víi n lÎ th× )( nxf → 1 vµ víi n ch½n th× )( nxf → 0 , do ®ã )(lim

0xf

x→ kh«ng tån t¹i. Nhng nÕu ta yªu cÇu: xn → 0 vµ xn ≠ 0, th× dÔ

thÊy tån t¹i: 0lim

→x f(x).

VÝ dô 7 : Cho hµm sè

<≥+=0;2

0;1)(

xx

xxxf

Ta chän d·y (xn) cã d¹ng :

−=

=

−2;

1

2;1

nn

v

nn

u

n

n

Do n

un1= > 0 nªn 1

1)( +=

nuf n ⇒

+∞→nlim =)( nuf +∞→n

limn

1 +1= 1.

Vµ 01 <−=n

vn nªn n

vf n

2)(

−= ⇒+∞→n

lim =)( nvf +∞→nlim

n2−

= 0

V× un → 0 ; vn → 0 mµ +∞→nlim )( nuf ≠ +∞→n

lim )( nvf nªn kh«ng tån t¹i:

0lim

→x f(x)

www.vnmath.com

47

Nhng nÕu ta yªu cÇu: xn → 0 vµ xn ≠ 0, th× dÔ thÊy tån t¹i: 0lim

→x f(x).

Khi häc sinh lµm viÖc víi vÝ dô nµy, c¸c em dÔ ph©n biÖt ®îc sù

kh¸c nhau gi÷a hai kh¸i niÖm: 0lim

→x f(x) vµ gi¸ trÞ f(0) cña hµm sè.

MÆt kh¸c, ®a sè bµi to¸n t×m giíi h¹n lim f(x) khi x dÇn tíi a b»ng ®Þnh

nghÜa ®Òu r¬i vµo trêng hîp f(x) kh«ng x¸c ®Þnh t¹i x =a khi ®ã víi mäi d·y

(xn) tho¶ m·n: (xn) ∈ D, (xn) ≠ a lµ ®Ó f(xn) x¸c ®Þnh trªn D.

+ Thø hai: Cã sù kh¸c nhau ®èi víi møc ®é yªu cÇu cña hµm y =

f(x) cã giíi h¹n khi x → a. §ã lµ, vÒ tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè f(x),

(SGK chØnh lÝ hîp nhÊt n¨m 2000) ë d¹ng 2, ®· tr×nh bµy lµ kh«ng chØ

râ yªu cÇu cña f(x) x¸c ®Þnh trong mét l©n cËn nµo ®ã cña ®iÓm a.

Nhng ë d¹ng 3, l¹i yªu cÇu f(x) x¸c ®Þnh trong mét l©n cËn nµo ®ã cña

a vµ cã thÓ kh«ng x¸c ®Þnh t¹i ®iÓm a, ta minh chøng qua vÝ dô sau:

VÝ dô 8: TÝnh : 2lim

−→x 2+x

T×m giíi h¹n cña hµm sè f(x) = 2+x khi x → -2 .Ta thÊy tËp x¸c

®Þnh cña hµm sè nµy lµ D = [ )+∞− ;2 . Theo d¹ng ba th× cÇn mét l©n

cËn cña -2, nhng ë ®©y f(x) l¹i kh«ng x¸c ®Þnh trong mét l©n cËn

cña -2. Do ®ã kh«ng thÓ tån t¹i giíi h¹n cña f(x) khi x → -2.

Ngîc l¹i, theo nh ë d¹ng hai kh«ng yªu cÇu l©n cËn cho nªn ta chän

d·y bÊt kú (xn) → -2+ vµ (xn) ≠ -2 th× ta cã ngay giíi h¹n 2lim

−→x f(x) = 0.

Víi ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm nh ë d¹ng ba, häc sinh chØ cã c©u tr¶

lêi lµ ®óng trong trêng hîp hµm sè x¸c ®Þnh trong kho¶ng chøa ®iÓm

a, cßn trêng hîp hµm sè x¸c ®Þnh trong ®o¹n cã ®Çu mót ®iÓm a th×

kh«ng gi¶i ®îc. Tuy nhiªn trong ®Þnh nghÜa ë d¹ng 2, khiÕn cho häc

sinh ®ång nhÊt ngo¹i diªn cña kh¸i niÖm t¹i mét ®iÓm cña hµm sè víi

ngo¹i diªn kh¸i niÖm mét phÝa cña hµm sè t¹i a. Thùc tÕ th× giíi h¹n

mét phÝa chØ lµ mét phÇn trong kh¸i niÖm giíi h¹n hµm sè, cã nghÜa

lµ cã ngo¹i diªn nhá h¬n. Do ®ã ®Ó ph©n biÖt ngäai diªn cña hai kh¸i

www.vnmath.com

48

niÖm giíi h¹n hµm sè vµ giíi h¹n mét phÝa, cÇn cho häc sinh xÐt çc

vÝ dô cô thÓ díi d¹ng bµi tËp .

VÝ dô 9: XÐt: f(x) =

≥−

<+

1;1

1;12

xx

xx

Lóc ®ã, th× 1lim

→x f(x) kh«ng tån t¹i, nhng f(x) cã giíi h¹n ph¶i vµ giíi

h¹n tr¸i tøc lµ: +→1limx f(x) vµ −→1

limx f(x) ®Òu tån t¹i.

§iÒu quan träng lu ý, khi d¹y häc chñ ®Ò Giíi h¹n lµ lµm sao cho

häc sinh hiÓu râ b¶n chÊt, lÜnh héi ®îc néi dung vµ ý nghÜa cña kh¸i

niÖm, n¾m ®îc tinh thÇn c¬ b¶n ®Ó tõ ®ã cã kü n¨ng vËn dông vµo

gi¶i to¸n. NÕu d¹y phÇn lý thuyÕt qu¸ trõu tîng th× häc sinh kh«ng

nh÷ng kh«ng n¾m ®îc kiÕn thøc mµ cßn khã cã thÓ häc tèt ®îc

nh÷ng néi dung cßn l¹i cña Gi¶i tÝch.

2.1.3. Çc çch ®Þnh nghÜa sù liªn tôc - gi¸n ®o¹n hµm sè t¹i mét

®iÓm

Cã nhiÒu ®iÓm kh¸c nhau vÒ ®Þnh nghÜa ''hµm sè liªn tôc t¹i mét

®iÓm'' ë trong çc bé SGK Gi¶i tÝch - §¹i sè líp 11 cña çc nhãm t¸c

gi¶ trªn, tõ ®ã cã nhiÒu quan ®iÓm vÒ ''®iÓm gi n ®o¹n''. Ta nh×n

nhËn ®iÓm kh¸c nhau ®ã:

2.1.3.1 . Çch1 : Cña nhãm t¸c gi¶ Ng« Thóc Lanh chñ biªn, 1995

§èi víi SGK §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11 (chØnh lý hîp nhÊt 2000) l¹i ®a ra

®Þnh nghÜa hµm sè liªn tôc t¹i mét ®iÓm nh sau:

''Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trªn kho¶ng (c; b). Hµm sè f(x) ®îc gäi lµ

liªn tôc t¹i ®iÓm a ∈ ( c ; b ) nÕu ax→lim f(x) = f(a)''.

NÕu t¹i ®iÓm x = a, hµm sè kh«ng liªn tôc th× nã ®îc gäi lµ gi¸n

®o¹n t¹i ®iÓm x = a. Theo s¸ch nµy, hµm sè f(x) gi¸n ®o¹n t¹i ®iÓm x =

a nÕu x¶y ra mét trong hai ®iÒu kiÖn:

i) Kh«ng tån t¹i ax→lim f(x); ii) Tån t¹i ax→

lim f(x) nhng ax→lim (x) ≠ f(a).

www.vnmath.com

49

Nh vËy, nÕu t¹i ®iÓm x = a hµm sè kh«ng x¸c ®Þnh th× ta kh«ng

xÐt tÝnh liªn tôc còng nh tÝnh gi¸n ®o¹n t¹i ®iÓm ®ã. §iÒu nµy còng

®îc kh¼ng ®Þnh trong híng dÉn gi¶ng d¹y to¸n 11 lµ: " Ta kh«ng ®Æt

vÊn ®Ò xÐt tÝnh liªn tôc hay gi n ®o¹n cña çc ®iÓm kh«ng thuéc tËp x¸c

®Þnh cña hµm sè ".

Nhng ®Õn phÇn bµi tËp, ngay tõ bµi tËp 1 ®· ®a ra yªu cÇu: xÐt

xem çc hµm sè sau ®©y cã liªn tôc t¹i mäi ®iÓm cña x kh«ng ? nÕu chóng

kh«ng liªn tôc th× chØ ra çc ®iÓm kh«ng liªn tôc ®ã ? trong ®ã cã xÐt

hµm sè y=xx

xx

2

652

2

−+−

; c©u tr¶ lêi ®îc cho trong s¸ch bµi tËp §¹i sè- Gi¶i

tÝch 11 lµ: Hµm nµy kh«ng liªn tôc t¹i x=0; x=2. Râ rµng hai gi¸ trÞ 0 vµ 2,

kh«ng thuéc tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho. Nh vËy, theo híng dÉn

trªn th× ta kh«ng xÐt tÝnh liªn tôc hay gi¸n ®o¹n cña hµm sè t¹i 2 ®iÓm

nµy. C©u tr¶ lêi nh vËy lµ cã m©u thuÉn gi÷a phÇn lý thuyÕt vµ phÇn

bµi tËp.

2.1.3.2 . Çch 2 : Cña nhãm t¸c gi¶ Phan §øc ChÝnh chñ biªn, 1996

§èi víi SGK §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11, Ban khoa häc tù nhiªn (1996) vµ

SGK §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11 (1996), ®a ra ®Þnh nghÜa hµm sè liªn tôc t¹i

mét ®iÓm :

'' Hµm sè y = f (x) gäi lµ liªn tôc t¹i ®iÓm x = a nÕu :

i) f(x) x¸c ®Þnh t¹i x = a ; ii) ax→lim f(x) = f(a)''.

Çch ph¸t biÓu nµy cã u ®iÓm lµ lµm râ çc thuéc tÝnh b¶n chÊt

cña kh¸i niÖm hµm sè liÖn tôc t¹i mét ®iÓm, nhng qu¸ dµi dßng.

Hµm sè kh«ng liªn tôc t¹i ®iÓm x = a th× gäi lµ gi¸n ®o¹n t¹i ®iÓm x

= a. Nh vËy theo s¸ch nµy, hµm sè f(x) gi¸n ®o¹n t¹i ®iÓm x = a nÕu

x¶y ra Ýt nhÊt mét trong ba ®iÒu kiÖn sau : i) f(x) kh«ng x¸c ®Þnh t¹i

x=a;

ii) Kh«ng tån t¹i ax→lim f(x) ; iii) Tån t¹i ax→

lim f(x) nhng ax→lim f(x) ≠ f(a).

www.vnmath.com

50

2.1.3.3. Çch 3 : Cña nhãm t¸c gi¶ TrÇn V¨n H¹o & Ng« Thóc

Lanh chñ biªn 2000

§èi víi SGK §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11, ®Þnh nghÜa hµm sè liªn tôc t¹i

mét ®iÓm t¬ng tù nh SGK chØnh lý hîp nhÊt n¨m 2000.

''Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trªn kho¶ng (c;b). Hµm sè f(x) ®îc gäi lµ

liªn tôc t¹i ®iÓm a∈ (c;b) nÕu ax→lim f(x) = f(a)''.

Hµm sè f(x) kh«ng liªn tôc t¹i ®iÓm x = a th× gäi lµ gi¸n ®o¹n t¹i

®iÓm x = a, tuy nhiªn sau ®ã s¸ch ®· ®a ra chó ý:

" Nh vËy mét hµm sè f(x) lµ liªn tôc t¹i ®iÓm x = a nÕu vµ chØ nÕu 3

®iÒu kiÖn sau ®îc tháa m·n ®ång thêi:

i) f(x) x¸c ®Þnh t¹i x=a; ii) ax→lim f(x) tån t¹i; iii) ax→

lim f(x) = f(a).

Mét hµm sè lµ gi n ®o¹n t¹i x = a khi vµ chØ khi mét trong ba ®iÒu kiÖn

kh«ng ®îc tháa m·n ".

VËy l¹i cã sù kh«ng thèng nhÊt trong ®Þnh nghÜa vÒ çc kh¸i niÖm

liªn tôc - gi¸n ®o¹n cña hµm sè t¹i mét ®iÓm.

Qua ph©n tÝch trªn ta thÊy, cã nh÷ng quan ®iÓm vµ sù kh«ng

thèng nhÊt vÒ çc kh¸i niÖm chñ ®Ò Giíi h¹n, do ®ã sÏ khã kh¨n cho häc

sinh trong hiÓu vµ n¾m v÷ng kiÕn thøc, dÉn tíi khã kh¨n vµ sai lÇm

trong øng dông vµo bµi tËp.

2.1.4. VÒ viÖc më réng kh¸i niÖm giíi h¹n cña d·y sè vµ hµm sè

2.1.4.1. Mét sè vÊn ®Ò vÒ giíi h¹n v« cùc cña d·y sè

Ta biÕt: Kh«ng cã kh¸i niÖm ''sè d¬ng v« cùc: + ∞ '', ''sè ©m v«

cùc: - ∞ '',''sè v« cùc: ∞ '', mµ chØ lµ qui íc ký hiÖu: + ∞ , - ∞ , ∞

®îc sö dông trong lý thuyÕt Giíi h¹n.

+ Nh SGK bËc Phæ th«ng ë nhiÒu níc trªn thÕ giíi vµ trong khu

vùc, ngêi ta dïng hai kÝ hiÖu + ∞ vµ - ∞ . NÕu vËy, cã sù kh¸c biÖt víi

SGK ë PTTH cña níc ta lµ chØ sö dông cã kÝ hiÖu lµ ∞ ®Ó viÕt Giíi

h¹n v« cùc cña d·y sè.

www.vnmath.com

51

+Thùc tÕ, trong viÖc kh¶o s¸t hµm sè ë líp 12 ta chØ xÐt tÝnh

chÊt hµm sè lµ + ∞ hay - ∞ kh«ng xÐt chung chung ë v« cùc ∞ .

+ H¬n n÷a, ngay c¶ bËc §¹i häc khi xÐt tËp hîp sè thùc R më réng

còng chØ bæ sung hai phÇn tö lµ + ∞ vµ - ∞ mµ kh«ng sö dông kÝ

hiÖu ∞ , tøc lµ: R = R ∪ }{ +∞∞− ; .

V× vËy, nªn khi xÐt giíi h¹n v« cùc cña d·y sè nãi riªng, chñ ®Ò Giíi h¹n

nãi chung ph¶i xÐt cô thÓ chØ râ rµng, giíi h¹n + ∞ hay giíi h¹n - ∞ tøc lµ

+∞→nlim un = + ∞ hoÆc +∞→n

lim un = - ∞ . Do R lµ mét tËp hîp s¾p thø tù nªn

kh«ng thÓ kÕt luËn chung chung giíi h¹n lµ ∞ hay viÕt +∞→nlim un= ∞ . Cho

nªn, víi çch nh×n nhËn nµy th× ph¶n ¸nh ®óng b¶n chÊt tÝnh giíi h¹n v« cùc

cña d·y sè, khi xÐt trªn tËp hîp s¾p thø tù cña sè thùc R, nÕu nh vËy th×:

VÝ dô 10: XÐt +∞=+∞→

2lim nn vµ +∞=

+∞→

n

nqlim víi q > 1.

Nhng cßn çc giíi h¹n d·y sè ( )( )21 nu nn −= vµ n

n qv = víi q < - 1 kh«ng

cã giíi h¹n, tøc :

VÝ dô 11 : XÐt ( )( )21lim nnn

−+∞→ vµ

n

nq

+∞←lim víi q < 1 ®Òu kh«ng tån

t¹i.

Còng cã mét sè quan ®iÓm coi r»ng t¬ng tù nh nh sè tù nhiªn +7

vµ +9 ®îc viÕt cho gän lµ 7 vµ 9 nªn còng cã thÓ xem kÝ hiÖu ∞ ®îc

dïng ®Ó chØ + ∞ , nh vËy viÖc dïng kÝ hiÖu ∞ ®Ó chØ ®¹i lîng v«

cïng lín nh vËy cã thÓ g©y nhÇm lÉn.

2.1.4.2. Më réng kh¸i niÖm giíi h¹n cña hµm sè

+ Më réng kh¸i niÖm giíi h¹n cña hµm sè ra v« cùc ( f(x) → ∞± );

giíi h¹n t¹i v« cùc (x→ ∞± ) ®Ó øng dông kh¶o s¸t nh t×m tiÖm cËn cña

hµm sè. Nh SGK §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11 ( cña §oµn Quúnh ) ®· ph©n

biÖt çc giíi h¹n t¹i ∞+ vµ t¹i ∞− , còng nh çc giíi h¹n ∞+ vµ ∞− . §iÒu

®ã dÉn ®Õn nh÷ng kh¸c biÖt ë Gi¶i tÝch 12 (SGK chØnh lý hîp nhÊt

n¨m 2000) khi xÐt tiÖm cËn.

www.vnmath.com

52

Ch¼ng h¹n, khi xÐt tiÖm cËn ngang (SGK chØnh lý hîp nhÊt n¨m

2000) thêng chØ ph¶i t×m mét giíi h¹n ∞→xlim ( )xf , nay ta ph¶i xÐt c¶ hai

giíi h¹n +→ 0

limxx

( )xf vµ −→ 0

limxx

( )xf . §å thÞ hµm sè cã tiÖm cËn ngang nÕu

chØ cÇn mét trong hai giíi h¹n ®ã lµ tån t¹i vµ h÷u h¹n. Cô thÓ, gi¶ sö hai

giíi h¹n ®ã lÇn lît lµ y1 vµ y2 th× khi y1 ≠ y2, th× ®å thÞ hµm sè sÏ cã hai

tiÖm cËn ngang lµ y = y1 vµ y =y2; cßn khi y1 = y2 ®å thÞ cã mét tiÖm

cËn ngang y = y1. §iÒu nµy còng x¶y ra t¬ng tù ®èi víi tiÖm cËn xiªn.

Còng nh vËy, khi xÐt tiÖm cËn ®øng, ph¶i xÐt tÊt c¶ çc ®iÓm x0 sao

cho mét trong çc giíi h¹n +→ 0

limxx

( )xf vµ −→ 0

limxx

( )xf lµ + ∞ hoÆc - ∞ .

+ Më réng kh¸i niÖm giíi h¹n mét phÝa lµ giíi h¹n tr¸i (x → a- ) vµ giíi

h¹n ph¶i (x → a+ ) lµ c¬ së ®Ó xÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè. V× vËy,

cÇn ph¶i xÐt ®Õn kh¸i niÖm giíi h¹n tr¸i vµ ph¶i cña hµm sè t¹i mét

®iÓm

VÝ dô 12: TÝnh: 1lim1

−→

xx

Ta cã tËp x¸c ®Þnh D = [ 1; + ∞ ). Nªn x ph¶i lÊy çc gi¸ trÞ lín h¬n

hoÆc b»ng 1, râ rµng x kh«ng thÓ dÇn ®Õn 1 tõ phÝa bªn tr¸i, tøc 1lim

1−

−→x

x kh«ng cã, mµ chØ cã 1lim

1−

+→x

x = 0.

a) Mèi quan hÖ gi÷a giíi h¹n mét phÝa vµ giíi h¹n t¹i mét ®iÓm cña hµm

sè:

( )xfax→

lim = L ⇔ ( )xfax +→

lim = ( )xfax −→

lim = L

VÝ dô 13 : TÝnh: xx

1lim

0→

Lóc nµy ta ph¶i ph©n biÖt ra: xx

1lim0−→

= - ∞ vµ xx

1lim0+→

= + ∞ , vËy:

xx

1lim

0→ giíi h¹n nµy kh«ng tån t¹i. ë vÝ dô nµy th× ta thÊy:

+ §iÓm a = 0 lµ ®iÓm “gi p ranh” cho nªn khi x → −0 , tøc lµ çc d·y

xn mang gi¸ trÞ ©m; cßn khi x → +0 tøc lµ çc d·y xn mang gi¸ trÞ d¬ng;

+ §iÓm a ≠ 0 çc d·y xn → a, (a ≠ 0) th× ta thÊy r»ng dï cho x → a+

hay x → a- th× çc d·y xn kh«ng ®æi dÊu.

www.vnmath.com

53

Tãm l¹i, trong nhiÒu trêng hîp cÇn ph©n biÖt: giíi h¹n hµm sè khi x

→ a hoÆc c¶ hai phÝa cña x → a+ hay x→ a-.

b) Mèi quan hÖ gi÷a giíi h¹n mét phÝa vµ giíi h¹n t¹i v« cùc cña hµm sè

f(x):

( )xfax→

lim = L ⇔ ( )xfax +→

lim = ( )xfax −→

lim = L

Çi gèc: x → a vµ f(x) → L lµ h÷u h¹n nhng sau ®ã më réng ra x→ ∞± vµ f(x) → ∞± , ch¼ng h¹n: ( )xf

x ∞→lim = L ⇔ ( )xf

x −∞→lim =

( )xfx +∞→lim = L

Më réng nh vËy lµ cha hîp lý ®iÒu nµy kh«ng ph¶n ¸nh ®óng b¶n

chÊt v×: - ∞ ; + ∞ n»m ë hai cùc cã kho¶ng çch rÊt xa nhau, nhng mµ

trong khi ®ã a+; a- chØ lµ mét sù gÇn gòi gi÷a hai phÝa t¹i mét ®iÓm

cña x → a, thÕ th× ch¼ng lÏ l¹i xem r»ng lóc nµy - ∞ ; + ∞ l¹i lµ gÇn

gòi nhau, kh«ng lÏ xem x → ±a còng nh lµ x→ ±a.

VÝ dô14: 1

1lim

2

++

∞→ x

xx

Ta cã: 1

1lim

2

++

∞→ x

xx

=

−=−−

+

=+

+

=

+

+

− ∞→

+ ∞→

∞→

11

1

11

lim

11

1

11

lim

1

11

lim2

x

x

x

x

xx

xx

xx

x

x

x nhng kh«mg thÓ nãi giíi h¹n mét

çch chung chung r»ng: 1

1lim

2

++

∞→ x

xx

kh«ng tån t¹i (!).

Hay nãi tãm l¹i, kh«ng chÊp nhËn ( )xfx ∞→lim = L mµ ph¶i ph©n biÖt ra

râ rµng ( )xfx −∞→lim = L hoÆc ( )xf

x +∞→lim = L .

2.1.4.3. Mét sè vÊn ®Ò khi d¹y häc vÒ kh¸i niÖm Giíi h¹n v« cùc cña d·y

www.vnmath.com

54

sè

§Þnh nghÜa kh¸i niÖm Giíi h¹n cña hµm sè t¹i mét ®iÓm, t¹i v« cùc

vµ giíi h¹n v« cùc cña hµm sè ®Òu ®îc ®Þnh nghÜa th«ng qua Giíi h¹n

cña d·y sè, nªn kh¸i niÖm Giíi h¹n v« cùc cña d·y sè (ë ®©y coi vai trß

cña n lµ x tøc: )(lim xfx +∞→ ) ®îc xem nh lµ mét trong nh÷ng trêng hîp më

réng kh¸i niÖm Giíi h¹n cña hµm sè, cßn çc trêng hîp më réng cßn l¹i

nh x → (- ∞ , a+, a-) hoµn toµn t¬ng tù, nªn khi ®· n¾m v÷ng b¶n

chÊt vÒ Giíi h¹n v« cùc cña d·y sè, th× sÏ lµ bíc ®Öm ®Ó häc tèt vÒ Giíi

h¹n v« cùc cña hµm sè. ChÝnh v× vËy, khi d¹y häc vÒ çc kh¸i niÖm

Giíi h¹n nãi chung, kh¸i niÖm Giíi h¹n v« cùc cña d·y sè nãi riªng, ta quan

t©m ®Õn çc vÊn ®Ò:

a) Khi d¹y häc vÒ kh¸i niÖm Giíi h¹n cña d·y sè

Ta ph¶i ®Þnh nghÜa ph©n biÖt râ rµng giíi h¹n d¬ng v« cùc(+ ∞ )

vµ ©m v« cùc (- ∞ ) chø kh«ng ®Þnh nghÜa giíi h¹n v« cùc ( ∞ ) ë d¹ng

chung chung, :

+) ''D·y sè un ®îc gäi lµ cã giíi h¹n + ∞ khi n dÇn tíi d¬ng v« cùc

nÕu víi mçi sè d¬ng M tån t¹i sè nguyªn d¬ng n0 sao cho : un > M , ∀

n > n0 .

KÝ hiÖu : +∞→nlim un = + ∞ ''.

+) ''D·y sè un ®îc gäi lµ cã giíi h¹n - ∞ khi n dÇn tíi d¬ng v« cùc

nÕu víi mçi sè d¬ng M tån t¹i sè nguyªn d¬ng n0 sao cho: un < - M , ∀

n > n0 ,

KÝ hiÖu : +∞→nlim (un ) = - ∞ ''.

+) HoÆc ®Ó ®¬n gi¶n vµ lµm râ mèi quan hÖ gi÷a hai kh¸i niÖm (

± ∞ ) ta xem ®Þnh nghÜa d·y sè un cã giíi h¹n - ∞ th«ng qua + ∞

nh sau: ''D·y sè un ®îc gäi lµ cã giíi h¹n - ∞ nÕu +∞→nlim (-un ) = + ∞ ”.

b) VÒ kÝ hiÖu: + ∞ , - ∞ cã thÓ xem nh lµ Giíi h¹n cña d·y sè

www.vnmath.com

55

XÐt vÝ dô 15: +∞→nlim

n

10001000 = 0; +∞→nlim ( )10001000−n = + ∞ ; +∞→n

lim

( )10001000

n− = - ∞ .

Qua vÝ dô 15 nµy ta thÊy, víi ''mét sè thùc rÊt lín'' lµ nãi ®Õn mét

sè cô thÓ ë “tr¹ng th¸i tÜnh t¹i, cè ®Þnh''. Cßn b¶n chÊt cña + ∞ vµ -

∞ kh«ng ph¶i lµ nh÷ng sè thùc cô thÓ rÊt lín nµo ®ã, mµ ®óng ra nãi

®Õn l©n cËn cña + ∞ tøc lµ kho¶ng (a, + ∞ ) vµ l©n cËn cña - ∞ lµ

kho¶ng (- ∞ ; a ) víi ∈∀a R, do ®ã kh«ng thÓ thùc hiÖn çc qui t¾c

hay phÐp to¸n ®¹i sè trªn chóng, nhng kÕt qu¶ giíi h¹n (nÕu cã) cña d·y

sè un cã thÓ lµ: Giíi h¹n h÷u h¹n (0, h»ng sè L ≠ 0 ) hoÆc Giíi h¹n v«

cùc ( ∞± ), nªn ta cã thÓ xem kÝ hiÖu + ∞ vµ - ∞ nh lµ giíi h¹n cña d·y

sè. Thùc ra, cã thÓ ®Þnh nghÜa ®îc çc giíi h¹n v« cùc + ∞ vµ - ∞ , nh-

ng ®Þnh nghÜa nµy kh¸c h¼n vÒ b¶n chÊt so víi ®Þnh nghÜa cña

giíi h¹n h÷u h¹n. Nh vËy, khi thùc hµnh trong gi¶i to¸n häc sinh dÔ bÞ

lÉn lén, gi÷a hai kh¸i niÖm ''giíi h¹n h÷u h¹n'' vµ ''giíi h¹n v« h¹n v« cùc'',

trong viÖc biÕn ®æi çc phÐp to¸n vÒ giíi h¹n vµ dÉn ®Õn sai lÇm

trong kÝ hiÖu nh:

0

1 = ∞ ? ; (+ ∞ ) - (+ ∞ ) = 0 ? ; 0 . ∞ = 0 ?...

c) Kh«ng ph¶i mäi d·y sè ®Òu cã giíi h¹n h÷u h¹n hoÆc v« cùc ( ∞± )

VÝ dô 16: D·y sè un = (-1)n kh«ng cã giíi h¹n h÷u h¹n vµ giíi h¹n v«

cùc.

VÝ dô 17 : XÐt ( )( )21lim nnn

−+∞→ vµ

n

nq

+∞→lim víi q < 1 ®Òu kh«ng tån t¹i

giíi h¹n

d) Khi t×m giíi h¹n cña d·y sè

Ta sÏ gÆp mét sè trêng hîp ®Æc biÖt, mµ khi ®ã çc qui t¾c th«ng th-

êng vµ çc ®Þnh lý vÒ giíi h¹n h÷u h¹n kh«ng cho phÐp x¸c ®Þnh ®îc giíi h¹n

cña çc d·y sè lµ cã hay kh«ng vµ nÕu cã th× b»ng bao nhiªu ®Êy chÝnh lµ

www.vnmath.com

56

c¸c d¹ng v« ®Þnh cña d·y sè .

VÝ dô 18: XÐt d¹ng v« ®Þnh 0

0: +∞→nlim

n

n

v

u, víi +∞→n

lim ( )nu = +∞→nlim ( )nv =

0 , cô thÓ:

+)Víi:un= 2

1

n,vn = n

1mµ +∞→n

lim ( 2

1

n)= 0, +∞→n

lim (n

1) =0,nhng: +∞→n

lim

n

n

v

u= +∞→xlim (

n

1)= 0.

+)Víi:un= n1

,vn = n1

, mµ +∞→nlim un = +∞>−n

lim vn = 0 , nhng +∞→nlim

n

n

v

u = +∞→nlim 1

= 1 .

+)Víi:un = n1

,vn = 2

1

n, mµ +∞→n

lim un= 0, +∞→nlim vn=0 nhng +∞→n

lim

n

n

v

u= +∞→nlim n = +

∞ . +)Víi: un= n1

,vn = - 2

1

n, mµ +∞→n

lim un= +∞→nlim vn=0, nhng +∞→n

lim

n

n

v

u= +∞→nlim (-

n) =- ∞ . +)Víi:un=n

n)1(−,vn = n

1; +∞→nlim un = +∞→n

lim vn=0,th× +∞→nlim

n

n

v

u= +∞→nlim (-

1)n kh«ng tån t¹i.

Qua vÝ dô 18 nµy, th× kÕt qu¶ cña d¹ng v« ®Þnh 0

0 cã thÓ b»ng:

0, h»ng sè L ≠ 0, hay ( ± ∞ ), hoÆc kh«ng tån t¹i.

VËy c¸c trêng hîp tæng qu¸t vÒ d¹ng v« ®Þnh (0

0; ∞∞; ∞ - ∞ ; .0 ∞ )

cô thÓ :

*)D¹ng v« ®Þnh (0

0) lµ : +∞→n

lim

n

n

v

u, víi +∞→n

lim ( )nu = +∞→nlim ( )nv = 0. *)D¹ng(

∞∞)lµ: +∞→n

lim

n

n

v

u,víi +∞→n

lim ( )nu = +∞→nlim ( )nv =+ ∞ hoÆc +∞→n

lim ( )nu = +∞→nlim ( )nv =-

∞

*)Víi( ∞ - ∞ )lµ: +∞→nlim ( )nn vu − ; +∞→n

lim ( )nu = +∞→nlim ( )nv =+ ∞ hoÆc +∞→n

lim ( )nu =

+∞→nlim ( )nv =- ∞

*)D¹ng(0. ∞ ) lµ: +∞→nlim ( )nn vu . , víi +∞→n

lim ( )nu = 0 vµ +∞→nlim ( )nv = + ∞ hoÆc

+∞→nlim ( )nv = - ∞

T¬ng øng víi tõng d¹ng v« ®Þnh nµy th× ®· cã tõng lo¹i ph¬ng

www.vnmath.com

57

ph¸p ®Ó gi¶i, ®îc tr×nh bµy râ ë vÝ dô vµ bµi tËp cã trong SGK vµ çc

s¸ch tham kh¶o .

e) Khi thùc hiÖn çc phÐp to¸n vÒ giíi h¹n v« cùc cña d·y sè

Lóc nµy kh«ng ¸p dông ®îc çc ®Þnh vÒ giíi h¹n h÷u h¹n cña d·y sè ®Ó

t×m giíi h¹n çc d·y sè nµy, nhng SGK th× kh«ng híng dÉn çch thùc

hiÖn çc phÐp to¸n vÒ giíi h¹n v« cùc, mµ chØ cã ®Þnh lý:

” nÕu ( )*,0,0lim Nnuu nnn

∈∀≠=+∞→ th× ∞=

+∞→n

n u

1lim . Ngîc l¹i, nÕu ∞=

+∞→ nn

ulim th×

01

lim =+∞→

nn u ”

VÝ dô19 : TÝnh ( )?!,313

729

lim33

729lim

32

3

2

3

∞=+−

+−−=

+−+−−

+∞→+∞→

nnn

nnnn

nnnn

(?) Cã ph¶i tö sè dÇn tíi 9 vµ mÉu sè dÇn vÒ 0, nªn ph©n thøc dÇn

vÒ ∞ ?

(?) Dùa vµo ®©u mµ cã kÕt luËn nh trªn ?

Víi çch tr×nh bµy nh trªn ch¾c ch¾n häc sinh sÏ gÆp khã kh¨n vµ

lóng tïng khi gi¶i çc bµi to¸n liªn quan ®Õn t×m giíi h¹n v« cùc cña d·y

sè ?!

V× vËy, nªn ta ph¶i xÐt ®Õn çc ®Þnh lý vÒ mèi liªn hÖ gi÷a: Giíi

h¹n h÷u h¹n ( 0; L ≠ 0 ) víi giíi h¹n v« cùc ( ± ∞ ). Chóng lµ c¬ së cho

viÖc t×m giíi h¹n: '' tæng, hiÖu, tÝch, th¬ng '' cña çc d·y sè d¹ng nµy,

*) C ô thÓ çc ®Þnh lý ®ã lµ:

§Þnh lý 1: NÕu

( )

∈>∀≤≥

− ∞+ ∞=+ ∞→

)(,;,

)(,lim

00 Nnnnuuv

u

nnn

nn th× +∞→n

lim vn = + ∞ , (- ∞

).

www.vnmath.com

58

§Þnh lý 2: NÕu

∈≤≥

− ∞+ ∞=+ ∞→

NLLLv

u

n

nn

);(,)(

)(,lim th× +∞→n

lim (un+vn) = + ∞ , (- ∞

).

§Þnh lý 3 : NÕu

− ∞∞+

<>=

+ ∞=

+ ∞→

+ ∞→

)(,

)0(,0lim

lim

vvv

u

nn

nn

th× +∞→nlim (un.vn) = + ∞ , (- ∞

).

§Þnh lý 4 : NÕu

− ∞∞+

<>=

− ∞=

+ ∞→

+ ∞→

)(,

)0(,0lim

lim

vvv

u

nn

nn

th× +∞→nlim (un.vn) = - ∞ , (+ ∞ ).

§Þnh lý 5 : +∞→nlim un = ∞± ⇔ +∞→n

limnu

1 = ±0 .

§Þnhlý 6 : NÕu

∈∀<

∈∀>=

<>

=

−

+

+∞→

+∞→

Nnv

Nnvv

u

uu

n

nn

n

nn

,0;0

,0;0lim

0

0lim

th× +∞→nlim

n

n

v

u= ∞± .

§Þnh lý 7: NÕu

± ∞=

±=

+ ∞→

+ ∞→

nn

nn

v

uu

lim

limth× +∞→n

lim

n

n

v

u=0 ± (theo qui t¾c tÝch dÊu

®Þnh lý 6).

*) Trªn c¬ së ®ã, ta x©y dùng qui t¾c vÒ c¸c phÐp to¸n giíi h¹n v« cùc

d·y sè.

*) Qui t¾c 1- Sö dông víi phÐp to¸n : +∞→nlim ( )nn vu + = +∞→n

lim ( )nu + +∞→nlim

( )nv .

KÕt qu¶ ®îc thÓ hiÖn ë b¶ng 1 nh sau :

www.vnmath.com

59

( )nu

+∞→nlim ( )nu

- ∞ 0 L ≠ 0 + ∞

- ∞ - ∞ - ∞ - ∞ ( ∞ - ∞ )

(v« ®Þnh)

0 - ∞ 0 L ≠ 0 + ∞

L' ≠ 0 - ∞ L' ≠ 0 L + L' + ∞

+ ∞ ( ∞ - ∞ )

(v« ®Þnh)

+ ∞ + ∞ + ∞

*)Qui t¾c 2- Sö dông víi phÐp to¸n : +∞→nlim ( )nn vu − = +∞→n

lim ( )nu - +∞→nlim

( )nv .


+∞→nlim

( )nu

+∞→nlim ( )nv

- ∞ 0 L ≠

0

+ ∞

- ∞ ( ∞ - ∞ )

(v« ®Þnh)

+ ∞ +

∞ + ∞

0 - ∞ 0 L ≠ 0 + ∞

L' ≠ 0 - ∞ -L' ≠ 0 L - L' + ∞

+ ∞ - ∞ - ∞ - ∞ ( ∞ - ∞ )

(v« ®Þnh )

*)Qui t¾c3-Sö dông víi phÐp to¸n: +∞→nlim ( )nn vu . = +∞→n

lim ( )nu . +∞→nlim ( )nv .


+∞→nlim

( )nu

+∞→nlim ( )nv

- ∞ 0 L ≠ 0 + ∞

L<0 L >0

www.vnmath.com

60

- ∞ + ∞ (0. ∞ )

(v« ®Þnh)

+

∞

- ∞ - ∞

0 (0. ∞ )

(v« ®Þnh)

0 0 (0. ∞ )

(v« ®Þnh)

L' ≠

0

L'<

0

+ ∞ 0

L . L' - ∞

L'>

0

- ∞ +

∞+ ∞ - ∞ (0. ∞ )

(v« ®Þnh)

- ∞ +

∞ + ∞

*)Qui t¾c 4 - Sö dông víi phÐp to¸n: +∞→nlim

n

n

v

u =

+∞→

+∞→

nn

nn

v

u

lim

lim


+∞→nlim

( )nu

+∞→nlim ( )nv

- ∞

0

L ≠ 0

+ ∞L<0 L>

0

- ∞ ∞∞

(v«

®Þnh)

0 0 ∞∞

(v«

®Þnh)

0 0 - + ∞ 0

0

(v«

®Þnh)

+

∞-

∞ - ∞

0+ - ∞ - ∞ +

∞ + ∞

L' ≠

0

L'< 0 + ∞ 0 'L

L - ∞

L'> 0 - ∞ + ∞

www.vnmath.com

61

+ ∞ ∞∞

(v«

®Þnh)

0 0 ∞∞

(v«

®Þnh)

Qua lËp 4 b¶ng nµy ta thÊy, nÕu chØ xem giíi h¹n v« cùc kiÓu

chung chung lµ ∞ th× sÏ kh«ng cã kÕt qu¶ ë c¸c dßng vµ cét chia nhá

cña 4 b¶ng trªn ( mçi b¶ng gåm 5 cét vµ 5 dßng chÝnh). Ngoµi ra, ë

b¶ng 4 vµ b¶ng 5 sÏ kh«ng cã kÕt qu¶ - ∞ vµ + ∞ mµ chØ lµ ∞ , ®©y

còng chÝnh lµ nh÷ng khã kh¨n vµ sai lÇm g©y th¾c m¾c cho häc sinh

trong qu¸ tr×nh gi¶i to¸n vÒ t×m giíi h¹n nãi chung, giíi h¹n v« cùc nãi

riªng, nhÊt lµ trong viÖc kh¶o s¸t hµm sè .

2.2. VÝ dô minh häa d¹y häc chñ ®Ò Giíi h¹n theo híng ph¸t huy TTCNT cña

häc sinh

Theo tµi liÖu SGK thÝ ®iÓm n¨m 2004 cña Bé Gi¸o dôc - §µo t¹o,

§¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11, kh¸i niÖm chñ ®Ò Giíi h¹n bao gåm c¸c néi

dung vÒ: d·y sè, hµm sè vµ hµm sè liªn tôc, cô thÓ nh sau:

a) Giíi h¹n d·y sè:

Giíi h¹n 0 giíi h¹n L ≠ 0 D·y sè dÇn ra v« cùc

+∞→nlim un =

0

+∞→nlim un = L ⇔

+∞→nlim (un – L)

=0

+∞→nlim un = - ∞ +∞→n

lim un= +

∞ Khi ®ã ®Þnh nghÜa giíi h¹n d·y sè ®îc ph¸t biÓu nh sau:

.) +∞→nlim un = 0 ⇔ ∀ | un | < m ( m lµ mét sè d¬ng nhá tïy ý cho tríc nhng

kh«ng b»ng 0), kÓ tõ mét sè h¹ng nµo ®ã.

.) +∞→nlim un = + ∞ ⇔ ∀ un > M (M lµ mét sè d¬ng tïy ý cho tríc), kÓ tõ

mét sè h¹ng nµo ®ã.

.) +∞→nlim un = - ∞ ⇔ ∀ un < - M (M lµ mét sè d¬ng tïy ý cho tríc), kÓ tõ

mét sè h¹ng nµo ®ã.

b) Giíi h¹n hµm sè:

www.vnmath.com

62

§Þnh nghÜa giíi h¹n hµm sè ®îc ph¸t biÓu d¹ng nh sau:

‘’ Víi K lµ mét kho¶ng (a;b) chøa ®iÓm x0

f(x) lµ hµm sè x¸c ®Þnh trªn K, hoÆc K\{ }0x)(lim

0

xfxx→ = L ⇔ ∀ xn ∈ K , xn ≠ x0 vµ +∞→n

lim xn = x0 (−0x , +

0x ,- ∞ ,+ ∞ )

th× +∞→nlim f(xn) = K(- ∞ ,+ ∞ )’’.

Qua çch ph¸t biÓu tæng qu¸t vÒ giíi h¹n cña hµm sè nÕu ph¸t

biÓu cô thÓ cã 15 ®Þnh nghÜa riªng biÖt ®ã lµ ®Þnh nghÜa kh¸i

niÖm giíi h¹n cña hµm sè t¹i mét ®iÓm t¹i v« cùc vµ giíi h¹n v« cùc cña

hµm sè ®Òu ®îc ®Þnh nghÜa th«ng qua giíi h¹n cña d·y sè. Çc ®Þnh

nghÜa ®îc x©y dùng hoµn toµn t¬ng tù nªn tõ ®Þnh nghÜa cña mét tr-

êng hîp häc sinh cã thÓ tù x©y dùng vµ ph¸t biÓu çc trêng hîp cßn l¹i.

Víi çch tr×nh bµy nµy kh«ng nh÷ng tiÕt kiÖm ®îc thêi gian, tr¸nh ®îc

sù nhµm ch¸n khi ph¶i nh¾c ®i nh¾c l¹i çc ®Þnh nghÜa ®îc x©y

dùng theo cïng mét çch mµ cßn hîp lý r»ng çc ®Þnh nghÜa kh¸i

niÖm giíi h¹n cña hµm sè ®óng cho c¶ trêng hîp giíi h¹n t¹i mét ®iÓm,

giíi h¹n mét bªn lÉn trêng hîp giíi h¹n v« cùc cña hµm sè, ta minh häa

qua b¶ng díi ®©y.

®èi sè

x

hµm sè

f(x)

Giíi h¹n hµm sè

khi x →

0x

Giíi h¹n hµm sè t¹i mét phÝa cña

®iÓm x0

Giíi h¹n hµm sè t¹i v« cùc

x →−0x

x → +0x x → -

∞

x → ->+

∞

f(x) -> L 0

limxx→

f(x)= L −→ 0

limxx

f(x) = L +→ 0

limxx

f(x) = L−∞→xlim f(x) = L

+∞→xlim f(x) = L

f(x) ->+

∞0

limxx→

f(x)= +

∞

−→ 0

limxx

f(x) = +

∞

+→ 0

limxx

f(x) =+ ∞ +→ 0

limxx

f(x) = +

∞

+∞→xlim f(x) =+ ∞

f(x) -> -

∞0

limxx→

f(x)= - ∞ −→ 0

limxx

f(x) = - ∞ +→ 0

limxx

f(x) = - ∞−∞→xlim f(x) = -

∞+∞→x

lim f(x) = - ∞

www.vnmath.com

63

TËpx¸c®Þ

nK

hoÆc K\

{ }0x

( a ; b ) ( a ; x0 ) ( x0 ; b ) ( - ∞ ; b ) ( a ; + ∞ )

c) Hµm sè liªn tôc:

§Þnh nghÜa hµm sè liªn tôc ®îc ph¸t biÓu d¹ng nh sau:

“ Hµm sè f(x) x¸c ®Þnh trªn kho¶ng K, ®îc gäi lµ liªn tôc t¹i ®iÓm x0 ∈ K,

nÕu ( )0)(lim0

xfxfxx

=→ “.

2.2.1. Thùc hiÖn kÕ ho¹ch bµi häc theo ph¬ng ph¸p d¹y häc tÝch

cùc víi kh¸i niÖm chñ ®Ò giíi h¹n

2.2.1.1. X©y dùng kÕ ho¹ch bµi häc

X©y dùng kÕ ho¹ch bµi häc cô thÓ, thÓ hiÖn mèi quan hÖ t¬ng t¸c

gi÷a gi¸o viªn víi häc sinh, gi÷a häc sinh víi häc sinh nh»m gióp häc sinh

®¹t ®îc môc tiªu bµi häc.

a) C¸c bíc x©y dùng kÕ ho¹ch bµi häc chñ ®Ò giíi h¹n

a1. X¸c ®Þnh môc tiªu cña bµi häc chñ ®Ò giíi h¹n, c¨n cø vµo

chuÈn kiÕn thøc, kÜ n¨ng vµ yªu cÇu vÒ th¸i ®é trong ch¬ng tr×nh ë tr-

êng THPT

a2. Nghiªn cøu SGK vµ c¸c tµi liÖu liªn quan chñ ®Ò giíi h¹n ®Ó :

- HiÓu chÝnh x¸c, ®Çy ®ñ nh÷ng néi dung bµi häc vÒ chñ ®Ò giíi

h¹n .

- X¸c ®Þnh nh÷ng kiÕn thøc, kÜ n¨ng, th¸i ®é c¬ b¶n cÇn h×nh

thµnh vµ ph¸t triÓn ë häc sinh khi häc chñ ®Ò nµy.

- X¸c ®Þnh tr×nh tù l«gic cña bµi häc chñ ®Ò giíi h¹n .

a3 . X¸c ®Þnh nh÷ng kh¶ n¨ng ®¸p øng nhiÖm vô nhËn thøc cña häc

sinh :

www.vnmath.com

64

- X¸c ®Þnh nh÷ng kiÕn thøc kÜ n¨ng mµ häc sinh ®· cã vµ cÇn cã

khi häc chñ ®Ò giíi h¹n .

- Dù kiÕn nh÷ng khã kh¨n t×nh huèng cã thÓ n¶y sinh vµ çc ph¬ng

¸n gi¶i quyÕt trong bíc ®Çu tiÕp cËn chñ ®Ò vÒ giíi h¹n.

a4 . Lùa chän ph¬ng ph¸p d¹y häc; ph¬ng tiÖn thiÕt bÞ d¹y häc ; h×nh

thøc tæ chøc d¹y häc vµ çch thøc ®¸nh gi¸ thÝch hîp nh»m gióp häc sinh

häc tËp tÝch cùc, chñ ®éng, s¸ng t¹o, ph¸t triÓn n¨ng lùc tù häc qua häc chñ

®Ò giíi h¹n .

a5 . X©y dùng kÕ ho¹ch bµi häc chñ ®Ò giíi h¹n : X¸c ®Þnh môc tiªu,

thiÕt kÕ néi dung, nhiÖm vô, çch thøc ho¹t ®éng, thêi gian vµ yªu cÇu

cÇn ®¹t cho tõng ho¹t ®éng d¹y cña gi¸o viªn vµ ho¹t ®éng häc tËp cña

häc sinh.

b ) CÊu tróc cña mét kÕ ho¹ch bµi häc chñ ®Ò giíi h¹n ®îc thÓ hiÖn ë çc néi

dung sau .

b1. Môc tiªu bµi häc :

- Nªu râ yªu cÇu häc sinh cÇn ®¹t vÒ kiÕn thøc, kÜ n¨ng, th¸i ®é khi

häc chñ ®Ò giíi h¹n .

- Çc môc tiªu ®îc biÓu ®¹t b»ng ®éng tõ cô thÓ, cã thÓ lîng ho¸ ®-

îc.

Môc tiªu kiÕn thøc : gåm 6 møc ®é nhËn thøc:

+ NhËn biÕt : NhËn biÕt th«ng tin ghi nhí t¸i hiÖn th«ng tin .

+ Th«ng hiÓu : Gi¶i thÝch ®îc, chøng minh ®îc.

+ VËn dông : VËn dông nhËn biÕt th«ng tin ®Ó gi¶i quyÕt vÊn ®Ò

®Æt ra.

+ Ph©n tÝch : chia th«ng tin ra thµnh çc phÇn th«ng tin nhá vµ thiÕt

lËp mèi liªn hÖ phô thuéc lÉn nhau gi÷a chóng.

+ Tæng hîp : ThiÕt kÕ l¹i th«ng tin tõ çc nguån tµi liÖu kh¸c nhau vµ

trªn c¬ së ®ã t¹o lËp nªn mét mÉu h×nh.

www.vnmath.com

65

+ §¸nh gi : Th¶o luËn vÒ gi¸ trÞ cña mét t tëng, mét ph¬ng ph¸p, mét

néi dung kiÕn thøc. §©y lµ mét bíc míi trong viÖc lÜnh héi kiÕn thøc ®-

îc ®Æc trng bëi viÖc ®i s©u vµo b¶n chÊt cña ®èi tîng, hiÖn tîng.

Môc tiªu kÜ n¨ng: Gåm hai møc ®é lµm ®îc vµ th«ng th¹o vÒ d¹ng

to¸n chñ ®Ò giíi h¹n .

Môc tiªu th¸i ®é : T¹o sù h×nh thµnh thãi quen, tÝnh çch nh»m ph¸t

triÓn con ngêi toµn diÖn theo môc tiªu gi¸o dôc.

b2. ChuÈn bÞ cña gi¸o viªn vµ häc sinh :

- Gi¸o viªn chuÈn bÞ çc thiÕt bÞ d¹y häc ( tranh ¶nh, m« h×nh,

hiÖn vËt ...), çc ph¬ng tiÖn vµ tµi liÖu d¹y häc cÇn thiÕt liªn quan ®Õn

kh¸i niÖm giíi h¹n.

- Gi¸o viªn híng dÉn häc sinh chuÈn bÞ bµi häc, lµm bµi tËp, chuÈn

bÞ tµi liÖu ®å dïng cÇn thiÕt phôc vô cho viÖc häc chñ ®Ò giíi h¹n .

b3 . Tæ chøc çc ho¹t ®éng d¹y häc :

Tr×nh bµy râ çch thøc triÓn khai çc ho¹t ®éng d¹y - häc cô thÓ tõng

bµi vÒ chñ ®Ò giíi h¹n .

b4 . Híng dÉn çc ho¹t ®éng nèi tiÕp :

X¸c ®Þnh nh÷ng viÖc häc sinh cÇn ph¶i tiÕp tôc thùc hiÖn sau giê häc

®Ó còng cè, kh¾c s©u, më réng bµi cò hoÆc ®Ó chuÈn bÞ cho viÖc

häc bµi míi qua häc kh¸i niÖm giíi h¹n .

2.2.1.2. Mét sè h×nh thøc tr×nh bµy kÕ ho¹ch bµi häc cña chñ ®Ò giíi

h¹n

a ) ViÕt thø tù hÖ thèng çc ho¹t ®éng, c©u hái theo thø tù trªn

xuèng díi.

b ) ViÕt hÖ thèng çc ho¹t ®éng theo 2 cét :

+ Ho¹t ®éng cña gi¸o viªn; + Ho¹t ®éng cña häc sinh .

c ) ViÕt hÖ thèng çc ho¹t ®éng theo 3 cét :

+ Ho¹t ®éng cña gi¸o viªn; + Ho¹t ®éng cña häc sinh ;

www.vnmath.com

66

+ Néi dung ghi b¶ng , hoÆc tiªu ®Ò néi dung chÝnh vµ thêi gian

thùc hiÖn.

d ) ViÕt hÖ thèng çc ho¹t ®éng theo 4 cét :

+ Ho¹t ®éng cña gi¸o viªn; + Ho¹t ®éng cña häc sinh ;

+ Néi dung ghi b¶ng ; + Tiªu ®Ò néi dung chÝnh vµ thêi gian thùc

hiÖn .

2.2.1.3. Ph©n chia hÖ thèng çc nhãm ho¹t ®éng theo tr×nh tù kÕ

ho¹ch bµi häc vÒ chñ ®Ò giíi h¹n

Nhãm 1: KiÓm tra, hÖ thèng, «n l¹i bµi cò çc kiÕn thøc liªn quan

®Õn kh¸i niÖm giíi h¹n vµ chuyÓn tiÕp sang bµi míi;

Nhãm 2: Híng dÉn, diÔn gi¶i, kh¸m ph¸, ph¸t hiÖn t×nh huèng, ®Æt

vµ nªu vÊn ®Ò liªn quan ®Õn kh¸i niÖm giíi h¹n ;

Nhãm 3 : §Ó häc sinh tù t×m kiÕm, kh¸m ph¸, ph¸t hiÖn thö

nghiÖm, qui n¹p suy diÔn, ®Ó t×m ra kÕt qu¶, gi¶i quyÕt vÊn ®Ò kh¸i

niÖm giíi h¹n ;

Nhãm 4 : Rót ra kÕt luËn, tæng kÕt, hÖ thèng kÕt qu¶, hÖ thèng

ho¹t ®éng vµ ®a ra kÕt luËn gi¶i quyÕt vÊn ®Ò vÒ giíi h¹n;

Nhãm 5 : TiÕp tôc còng cè, kh¾c s©u kiÕn thøc, rÌn luyÖn kü n¨ng

®Ó vËn dông vµo gi¶i bµi tËp vÒ giíi h¹n vµ ¸p dông vµo cuéc sèng .

2.2.1.4. Tr×nh tù cña lËp kÕ ho¹ch bµi häc chñ ®Ò giíi h¹n

- §äc kÜ bµi häc trong SGK, s¸ch gi¸o viªn, s¸ch tham kh¶o cã liªn

quan ®Õn kh¸i niÖm chñ ®Ò Giíi h¹n;

- Tr¶ lêi çc c©u hái, gi¶i bµi tËp vÒ kh¸i niÖm chñ ®Ò giíi h¹n ;

- H×nh dung ph¬ng ph¸p d¹y häc, ph¬ng tiÖn d¹y häc, thiÕt bÞ d¹y

häc hÖ thèng çc c©u hái tr¾c nghiÖm kh¸ch quan vµ ph¬ng ph¸p ®¸ng

gi¸ khi d¹y häc chñ ®Ò giíi h¹n ;

- ChuÈn bÞ hÖ thèng çc nhãm ho¹t ®éng theo tr×nh tù trªn ®Ó viÕt

kÕ ho¹ch bµi d¹y cô thÓ cho tõng bµi vÒ chñ ®Ò giíi h¹n ;

www.vnmath.com

67

- H×nh thµnh çch d¹y bµi häc, çch tæ chøc giê häc vÒ chñ ®Ò giíi

h¹n ( chó ý sö dông ph¬ng tiÖn d¹y häc, thiÕt bÞ d¹y häc , ®¸nh gi¸

kÕt qu¶ trong d¹y häc).

- ViÕt kÕ ho¹ch bµi d¹y chñ ®Ò giíi h¹n theo cÊu tróc trªn .

2.2.1.5. Thùc hiÖn kÕ ho¹ch bµi häc vÒ chñ ®Ò giíi h¹n

a ) KiÓm tra sù chuÈn bÞ ( cã thÓ thùc hiÖn ®Çu giê häc hoÆc cã

thÓ ®an xen trong qu¸ tr×nh d¹y häc kiÕn thøc giíi h¹n )

- KiÓm tra viÖc n¾m v÷ng bµi häc cò cã liªn quan ®Õn kiÕn thøc

giíi h¹n .

- KiÓm tra t×nh h×nh chuÈn bÞ bµi häc (lµm bµi tËp, chuÈn bÞ tµi

liÖu vµ ®å dïng häc tËp cÇn thiÕt ).

b ) Tæ chøc d¹y vµ häc bµi míi

- Gi¸o viªn giíi thiÖu bµi häc míi : nªu nhiÖm vô häc tËp vµ çch thøc

thùc hiÖn ®Ó ®¹t ®îc môc tiªu bµi häc ; t¹o ®éng c¬ häc tËp cho sinh ;

- Gi¸o viªn tæ chøc, híng dÉn häc sinh suy nghÜ, t×m hiÓu kh¸m ph¸

vµ lÜnh héi néi dung bµi häc, nh»m ®¹t ®îc môc tiªu bµi häc víi sù vËn

dông phng ph¸p d¹y häc phï hîp .

c ) LuyÖn tËp còng cè

Gi¸o viªn híng dÉn häc sinh cñng cè kh¾c s©u nh÷ng kiÕn thøc kÜ

n¨ng th¸i ®é ®· cã th«ng qua ho¹t ®éng thùc hµnh luyÖn tËp cã tÝnh

tæng hîp n©ng cao theo nh÷ng h×nh thøc kh¸c nhau vÒ kiÕn thøc giíi

h¹n .

d) §¸nh gi

- Trªn c¬ së ®èi chiÕu víi môc tiªu bµi häc, gi¸o viªn dù kiÕn mét sè

c©u hái bµi tËp kh¸i niÖm giíi h¹n vµ tæ chøc cho häc sinh tù ®¸nh gi¸

vÒ kÕt qu¶ häc tËp cña b¶n th©n vµ cña b¹n .

Gi¸o viªn ®¸nh gi¸ tæng kÕt vÒ kÕt qu¶ giê häc .

e) Híng dÉn häc sinh häc bµi vµ lµm viÖc ë nhµ

www.vnmath.com

68

- Gi¸o viªn híng dÉn häc sinh luyÖn tËp, cñng cè bµi cñ th«ng qua

lµm bµi tËp thùc hµnh, tù «n luyÖn, hÖ thèng l¹i çc kiÕn thøc giíi h¹n ®·

häc.

- Gi¸o viªn híng dÉn häc sinh chuÈn bÞ bµi häc míi.

2.2.2. Minh häa d¹y häc vÒ kh¸i niÖm Giíi h¹n theo híng ph¸t huy

TTCNT cña häc sinh

§Ó ph¸t huy TTCNT cña häc sinh cÇn x©y dùng ph¬ng tiÖn trùc

quan tîng trng (m« h×nh, h×nh vÏ, s¬ ®å, ®å thÞ, biÓu b¶ng,…) lµm

chæ dùa trùc gi¸c. X©y dùng hÖ thèng vÝ dô vµ ph¶n vÝ dô kÕt hîp víi

çc ph¬ng tiÖn trùc quan tæ chøc cho häc sinh h×nh dung ®îc néi dung

kh¸i niÖm, ph¸t hiÖn dÊu hiÖu b¶n chÊt cña kh¸i niÖm vµ kh¸i qu¸t h×nh

thµnh kh¸i niÖm.

Theo nh ®Þnh híng nhãm t¸c gi¶ §oµn Quúnh chñ biªn lµ kh«ng

dïng ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm Giíi h¹n th«ng qua ®Þnh nghÜa ng«n ng÷ ''

ε ,δ '', ''ε , ( )εN '' chñ yÕu do häc sinh khã cã thÓ lÜnh héi ®îc çc ®Þnh

nghÜa qua h×nh thøc ®ã.

Nhng ngay c¶ khi kh«ng cßn sö dông ®Þnh nghÜa nh vËy n÷a vµ

theo ®Þnh nghÜa kiÓu m« t¶ th× ngêi ta thõa nhËn r»ng kh«ng thÓ

®ßi hái häc sinh hiÓu mét çch s©u s¾c b¶n chÊt s©u s¾c vÒ kh¸i

niÖm Giíi h¹n, chÝnh v× vËy chØ yªu cÇu häc sinh hiÓu kh¸i niÖm mét

çch trùc quan vµ bíc ®Çu h×nh dung ®îc thÕ nµo lµ giíi h¹n d·y sè,

hµm sè tõ ®ã biÕt lÜnh héi, vËn dông çc ®Þnh nghÜa, ®Þnh lý, ph¬ng

ph¸p gi¶i bµi to¸n vÒ giíi h¹n. Thùc tÕ ®©u ®ã trong çch d¹y häc gi¸o

viªn thêng lít qua ®¹i kh¸i çc ®Þnh nghÜa vµ chØ tËp trung luyÖn tËp

cho häc sinh çc thñ thuËt tÝnh giíi h¹n, khö çc d¹ng v« ®Þnh hay xÐt

tÝnh liªn tôc. KÕt qu¶ cuèi cïng kh«ng Ýt häc sinh kh«ng nh÷ng biÕt

gi¶i çc bµi tËp liªn quan mµ cßn gi¶i thµnh th¹o nhng rèt côc l¹i kh«ng

hiÓu b¶n chÊt kh¸i niÖm vÒ giíi h¹n vµ liªn tôc.

www.vnmath.com

69

2.2.2.1. VÝ dô minh häa d¹y häc kh¸i niÖm Giíi h¹n d·y sè

a) Môc tiªu

+) VÒ kiÕn thøc: HiÓu ®îc mét çch trùc quan, vµ n¾m ®îc b¶n chÊt

kh¸i niÖm giíi h¹n cña d·y sè cã thÓ lµ: 0 ; L ≠ 0; ∞± , th«ng qua xÐt

çc vÝ dô.

+) VÒ kÜ n¨ng: Gióp häc sinh biÕt vËn dông ®Þnh nghÜa vµ çc kÕt

qu¶ c¬ b¶n ®Æc biÖt ®Ó nhËn biÕt chøng minh d·y sè cã giíi h¹n vµ

tÝnh giíi h¹n d·y sè.

+) VÒ t duy: Bíc ®Çu h×nh thµnh kiÓu t duy logÝc, linh ho¹t, ph¸t triÓn

suy luËn to¸n häc g¾n liÒn víi sù v« h¹n, liªn tôc, biÕn thiªn

+) VÒ th¸i ®é: Cã th¸i ®é häc tËp tÝch cùc, ®éc lËp, ph¸t huy tÝnh s¸nh

t¹o.

b) ChuÈn bÞ ph¬ng tiÖn trùc quan d¹y häc

+) Thùc tiÔn: Häc sinh biÕt biÓu diÔn s¾p xÕp thø tù çc sè thùc trªn

trôc sè.

+) Ph¬ng tiÖn: ChuÈn bÞ b¶ng biÓu, ®Ó minh häa giíi h¹n d·y sè trªn

trôc sè.

c) Gîi ý vÒ ph¬ng ph¸p d¹y häc

Sö dông çc ph¬ng ph¸p d¹y häc c¬ b¶n sau mét çch linh ho¹t nh»m

ph¸t huy TTCNT gióp häc sinh tù t×m tßi, ph¸t hiÖn chiÕm lÜh tri thøc

chñ ®éng:

+ Gîi më, vÊn ®¸p ;

+ Ph¸t hiÖn vµ gi¶i quyÕt vÊn ®Ò;

+ Tæ chøc ®an xen ho¹t ®éng häc tËp ç nh©n vµ nhãm

d) VÝ dô minh häa d¹y häc kh¸i niÖm Giíi h¹n d·y sè theo híng ph¸t

huy TTCNT cña häc sinh.

*) X©y dùng ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm Giíi h¹n d·y sè:

www.vnmath.com

70

§Ó gîi nhu cÇu cho häc sinh nhËn thøc, h×nh dung ®îc néi dung

kh¸i niÖm, ph¸t hiÖn dÊu hiÖu b¶n chÊt vµ kh¸i qu¸t h×nh thµnh, cñng

cè, kh¾c s©u kh¸i niÖm vÒ Giíi h¹n cña d·y sè ®iÒu quan träng lµ häc

sinh hiÓu ®îc b¶n chÊt kh¸i niÖm mÖnh ®Ò, kh«ng nªn coi träng lËp

luËn chÆt chÏ chÝnh x¸c to¸n häc, ®a ra xÐt vÝ dô gióp häc sinh h×nh

dung giíi h¹n cña d·y sè:

B íc 1 : Tæ chøc cho häc sinh ph¸t hiÖn b¶n chÊt kh¸i niÖm giíi h¹n d·y

sè

VÝ dô 20: XÐt d·y sè un = ( )n

n1− ; n = 1,2,3,…

(?1): ViÕt mét sè çc sè h¹ng d¹ng khai triÓn cña d·y sè ®ã ?

(!) : Lµ -1, ,...241,

231

,...,111

,101

,...,41,31

,21 −−− .

(?2) :Th«ng qua biÓu diÔn çc sè h¹ng cña d·y un = ( )n

n1− trªn trôc sè

nhËn xÐt vÞ trÝ t¬ng ®èi cña çc ®iÓm ®ã víi ®iÓm 0 ?

(!) : Khi n t¨ng ®iÓm biÓu diÔn “chôm l¹i “ quanh ®iÓm 0 (ë h×nh vÏ).

un un+2 → 0 ← un+1 ( D·y cã giíi h¹n 0)

(?3): Khi n → + ∞ th× kho¶ng çch tõ ®iÓm un víi ®iÓm 0 tøc |un- 0| = |un|

= ? nhËn xÐt ?

(!) : Kho¶ng çch tõ ®iÓm un ®Õn ®iÓm 0, tøc | un| = n1

trë nªn nhá bao

nhiªu còng ®îc (nhng kh«ng thÓ b»ng 0), khi n cµng lín.

(?4) : H·y minh häa râ qua lËp b¶ng ?

(!) : Cô thÓ

n 1 2 … 10 11 … 76 77 …1000000 1000001 1000002 …

+∞→

www.vnmath.com

71

nu 1 2

1… 10

1 11

1…

76

1 77

1…1000000

1

1000001

1

1000002

1

... 0→

(?5) : Mäi sè h¹ng ®· cho, kÓ tõ sè h¹ng thø mÊy trë ®i, th× ®Òu cã gi¸

trÞ tuyÖt ®èi nhá h¬n sè d¬ng (ε ) lµ ?1000000

1 V× sao ?

( !) : Víi sè d¬ng 10000001

tøc lµ |un| = n1

< 10000001

⇔ n > 1000000,

nghÜa lµ b¾t ®Çu tõ sè h¹ng thø 1000001 trë ®i;

(!) : V× khi ®ã th× |un| < 10000001

⇔ -10000001

< un < 10000001

tøc lµ

kho¶ng (-10000001

;10000001

) trªn trôc sè thùc, chøa tÊt c¶ c¸c sè h¹ng

cña d·y un = ( )n

n1− vµ bªn ngoµi kho¶ng ®ã chØ chøa h÷u h¹n c c sè h¹ng thø tù

tõ 1 ®Õn 1000000 cña d·y sè ®· cho

Nh vËy mäi sè h¹ng cña d·y sè ®· cho ®Òu cã gi trÞ tuyÖt ®èi nhá h¬n

mét sè thùc d¬ng (ε ) nhá tïy ý cho tríc (nhng kh«ng thÓ b»ng 0), kÓ tõ mét

sè h¹ng nµo ®ã trë ®i, ta nãi r»ng d·y sè un = ( )n

n1− cã giíi h¹n lµ 0.

B íc 2 : Kh¸i qu¸t hãa vµ nªu ra ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm giíi h¹n cña d·y sè

(?6): §ã lµ néi dung ®Þnh nghÜa d·y sè cã giíi h¹n 0, h·y ph t biÓu ®Þnh nghÜa ? cho vÝ

dô minh häa ?

(!) : §Þnh nghÜa1:" +∞→nlim un = 0 ⇔ ∀ | un | < m lµ mét sè thùc d¬ng nhá tïy

ý cho tríc (nhng kh«ng b»ng 0), kÓ tõ mét sè h¹ng nµo ®ã trë ®i".

(?7) : ¸p dông tÝnh +∞→nlim C = ? Tõ ®ã h·y ph¸t biÓu ®Þnh nghÜa d·y cã

giíi h¹n L ≠ 0 ( L ∈ R) qua ®Þnh nghÜa d·y sè cã giíi h¹n 0 ? cho vÝ

dô minh häa?

(!) : §Þnh nghÜa 2: +∞→nlim un = L ⇔

+∞→nlim (un – L) = 0 .

(?*8) : Trong ®Þnh nghÜa sö dông côm tõ ''nhá tïy ý '' cã ý nghÜa g× ?

(!*) : Thùc ra, nÕu kh«ng cã lêi gi¶i thÝch ®ã häc sinh sÏ Ýt chó träng

®Õn tÝnh chÊt ''v« cïng bÐ '' vµ tÝnh “biÕn thiªn’’, ®©y lµ ®Æc trng

www.vnmath.com

72

cña Gi¶i tÝch mµ häc sinh chØ nghÜ ®Õn gi¸ trÞ cè ®Þnh cña sè d¬ng,

th× t duy l¹i theo kiÓu ''tÜnh t¹i'', ''rêi r¹c’', ''h÷u h¹n'' cña §¹i sè. Lêi gi¶i

thÝch nµy híng vµo kiÓu t duy ''biÕn thiªn'', ''liªn tôc'', ''v« h¹n'' cña Gi¶i

tÝch.

(?9) : Trë l¹i ®Þnh nghÜa 1: nÕu + Thay dÊu “ < “ , bëi dÊu ” >”;

+ Thay ε bëi - M ( hoÆc M );

+ Bá dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña Un miÒn gi¸ trÞ cña Un = ? ;

+ Thay côm tõ “nhá tïy ý “ , bëi côm tõ “lín tïy ý “ ;

th× ®ã lµ néi dung hai ®Þnh nghÜa vÒ kh¸i niÖm giíi h¹n ©m v« cùc

( d¬ng v« cùc), h·y ph¸t biÓu ?

(!) : §Þnh nghÜa 3: " +∞→nlim un = + ∞ ⇔ ∀ un > M , víi M lµ mét sè thùc d-

¬ng lín tïy ý cho tríc, kÓ tõ mét sè h¹ng nµo ®ã trë ®i".

(!): §Þnh nghÜa 4: " +∞→nlim un = - ∞ ⇔ ∀ un > - M, víi M lµ mét sè thùc d-

¬ng lín tïy ý cho tríc, kÓ tõ mét sè h¹ng nµo ®ã trë ®i ".

(? 10): Mèi liªn hÖ gi÷a hai ®Þnh nghÜa 3 vµ ®Þnh nghÜa 4 ?

(!) : Xem ®Þnh nghÜa d·y sè un cã giíi h¹n - ∞ th«ng qua + ∞ nh sau:

''D·y sè un ®îc gäi lµ cã giíi h¹n - ∞ nÕu +∞→nlim (- un ) = + ∞ ”.

B íc 3 : NhËn d¹ng cñng cè, kh¾c s©u kh¸i niÖm vÒ Giíi h¹n cña d·y

sè

(?11): Ph©n biÖt râ ''giíi h¹n h÷u h¹n '' vµ ''giíi h¹n v« h¹n”minh häa trôc sè ?

+ Khi n t¨ng çc ®iÓm biÓu diÔn çc sè h¹ng cña d·y sè un cã giíi

h¹n h÷u h¹n lµ L (víi L∈ R) th× chôm l¹i quanh ®iÓm L.

+Víi n t¨ng çc ®iÓm biÓu diÔn çc sè h¹ng cña d·y sè un cã giíi

h¹n v« cùc: + ∞ (hoÆc - ∞ ) lµ mét ''qu¸ tr×nh biÕn thiªn'' ®i xa m·i

theo chiÒu d¬ng (hoÆc chiÒu ©m) cña trôc sè vît qua mäi ®iÓm M

( hoÆc - M ) cho tríc dï sè thùc d¬ng M lín tïy ý ®Õn ®©u th× ®iÓm

biÓu diÔn cña d·y sè un ®Òu n»m bªn ph¶i ®iÓm M ( hoÆc ®Òu

n»m bªn tr¸i ®iÓm M ) cã thÓ kÓ tõ mét sè h¹ng nµo ®ã trë ®i, ®îc

www.vnmath.com

73

minh häa râ ë h×nh vÏ :

un un+2 → L ← un+1 ( D·y cã giíi h¹n L) 2+nu 1+nu nu ← -M (D·y cã giíi h¹n - ∞)

M → un un+1 un+2 (D·y cã giíi h¹n + ∞ )

§©y lµ bíc kh«ng thÓ thiÕu ®îc khi häc vÒ kh¸i niÖm míi, ®Ó còng

cè cho häc sinh ta dïng çc bµi to¸n mµ trong ®ã ph¶i tr¶ lêi çc c©u hái

nh: “ kÓ tõ sè h¹ng nµo trë ®i th× nu nhá h¬n mét sè d¬ng (cho tríc nhá tïy

ý nhng kh«ng thÓ b»ng 0) ?”, b»ng çch cho :

a) Lµm bµi kiÓm tra (15 phót) sau ®©y:

C©u 1 : Cho d·y sè un = ( )92

1

+−n

n

. Çc kho¶ng nµo cho sau ®©y chøa

tÊt c¶ çc sè h¹ng cña d·y (cã thÓ trõ ra mét sè h÷u h¹n sè h¹ng cña d·y)

?

A.

209

100;

209

99 B.

9

8;9

7 C.

−

2009

2;

2009

2 D.

( )3;2

C©u 2 : Cho d·y sè un = 99

89

++n

n Çc kho¶ng nµo cho sau ®©y chøa

tÊt c¶ çc sè h¹ng cña d·y (cã thÓ trõ ra mét sè h÷u h¹n sè h¹ng cña d·y)

?

A.

19

9;

19

8 B.

−

1000

1;

1000

1 C. (2;3) D.

10009

2;

10009

1

C©u 3 : H·y cho biÕt d·y nµo cã giíi h¹n ?

A. un = nq víi q < 1 B. un = ( )( )21 nn− C. un =(-1)n D. un = ( )n

n1− .

* Dông ý s ph¹m cña ®Ò kiÓm tra (15 phót ) :

C©u 1: Nh»m kiÓm tra xem häc sinh cã n¾m ®îc b¶n chÊt kh¸i

www.vnmath.com

74

niÖm d·y sè cã giíi h¹n lµ 0 qua vËn dông ®Þnh nghÜa, chØ yªu cÇu

nhËn biÕt;

C©u 2: Còng nh»m kiÓm tra häc sinh cã n¾m ®îc b¶n chÊt kh¸i

niÖm d·y sè cã giíi h¹n L ≠ 0 qua vËn dông ®Þnh nghÜa, chØ yªu cÇu

nhËn biÕt;

C©u 3: KiÓm tra häc sinh n¾m v÷ng kh¸i niÖm ®Þnh nghÜa d·y cã

giíi h¹n, kh«ng ph¶i mäi d·y sè ®Òu lµ hoÆc cã giíi h¹n h÷u h¹n ( L ≠ 0 )

hoÆc cã giíi h¹n v« cùc ( ∞± ), chØ yªu cÇu nhËn biÕt.

b) Cho çc bµi tËp vÒ nhµ luyÖn tËp sau ®©y:

Bµi 1: T×m çc sè h¹ng cña d·y un = n2

1 sao cho kho¶ng çch gi÷a

chóng ®Õn sè 0 lµ : a) nhá h¬n 2000

1; b ) nhá h¬n 2 .

Bµi 2 : T×m çc sè h¹ng cña d·y un = 9+nn

sao cho kho¶ng çch cña

chóng ®Õn sè 1 lµ : a) nhá h¬n 910

1 ; b) nhá h¬n 1.

Bµi 3 : H·y cho biÕt d·y nµo cã giíi h¹n ? NÕu d·y sè cã giíi h¹n

chØ ra giíi h¹n cña d·y sè ? KÓ tõ sè h¹ng thø mÊy trë ®i th× nz nhá

h¬n 0,00001 ?

a ) un = (-1)nn ; b) vn = (-1)n ; c) wn = n ; d) zn = ( )n

n1− .

Tãm l¹i khi häc vÒ Giíi h¹n cña d·y sè ta cÇn lµm cho häc sinh n¾m

v÷ng hiÓu râ b¶n chÊt qua xÐt çc vÝ dô vµ ph©n biÖt ®îc ''giíi h¹n h÷u

h¹n '' víi ''giíi h¹n v« h¹n” cña d·y sè b»ng ” trùc gi¸c h×nh häc'' trªn trôc sè

kÕt hîp víi lËp luËn ''trùc gi¸c sè”.

2.2.2.2. Sö dông t liÖu kiÕn thøc lÞch sö To¸n häc d¹y kh¸i niÖm giíi h¹n

Ngoµi ra, nÕu cã ®iÒu kiÖn ta cã thÓ sö dông t liÖu lÞch sö To¸n

vÒ kh¸i niÖm giíi h¹n ®Ó gîi ®éng c¬, h×nh thµnh, cñng cè, kh¾c s©u

kh¸i niÖm qua ®ã kh¬i dËy ph¸t huy TTCNT cña häc sinh trong çc tiÕt

d¹y tù chän, «n luyÖn hay ngo¹i khãa, tïy theo tõng ®èi tîng häc sinh mµ

www.vnmath.com

75

gi¸o viªn cã thÓ khai th¸c thªm mét sè nghÞch lý thÓ hiÖn qua çc vÝ dô

sau :

VÝ dô 22: NghÞch lÝ “ 0 = 1 “.

XÐt S = 1 – 1 + 1 – 1 +…+ 1 - 1 +…

Ta cã, S = ( 1 – 1 ) + ( 1 – 1 ) +…+( 1 – 1) +…= 0 + 0 +…+ 0 + …= 0.

(*)

MÆt kh¸c,

S =1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) +…+ (-1 + 1) +…= 1 + 0 + 0 + …+ 0 +…= 1.

(**)

Tõ (*) vµ (**) suy ra : 1 = 0 (!?).

VÝ dô 23: NghÞch lý “ -2 lµ sè d¬ng “.

Cho x = 1 + ....2

3...

2

3

2

3

2

3132

+

++

+

+

−n

(***)

Suy ra : 23

x = ....2

3...

2

3

2

3

2

3132

+

++

+

+

−n

(****)

Tõ (***) ta thÊy x lµ tæng cña çc sè d¬ng nªn x > 0.

Nhng lÊy (***) trõ ®i (****) ta cã : x - 23

x = 1 hay x = -2 . VËy tõ ®ã ta

dÉn ®Õn -2 lµ mét sè d¬ng.

Çc nghÞch lý trªn cho thÊy çc phÐp to¸n vµ qui t¾c ®¹i sè kh«ng

gi¶i thÝch ®îc çc phÐp to¸n liªn quan ®Õn quy tr×nh v« h¹n. Nh vËy,

nhu cÇu tÊt yÕu lµ kh¸m ph¸ phÐp to¸n míi ®Ó gi¶i quyÕt çc vÊn ®Ò

liªn quan ®Õn nghÞch lÝ trªn. §èi víi çch d¹y d¹ng nµy phï hîp víi tiÕt

d¹y tù chän, ngo¹i khãa. Qua ®©y cho häc sinh thÊy ®îc sù h¹n chÕ

cña phÐp to¸n vµ qui t¾c ®¹i sè trong viÖc gi¶i quyÕt çc vÊn ®Ò liªn

quan tíi sù v« h¹n. MÆt kh¸c t¹o ®éng c¬ tiÕp thu kh¸i niÖm míi, còng

nh cho häc sinh ý thøc ®ù¬c tÇm quan träng cña kh¸i niÖm giíi h¹n vµ

cã nhu cÇu høng thó häc vÒ kh¸i niÖm giíi h¹n.

Thùc tÕ, trong d¹y häc tïy vµo tõng ®èi tîng häc sinh ®Ó cã ph¬ng ph¸p

d¹y häc phï hîp, kh«ng ph¶i nh÷ng c©u hái ®Æt ra ®Òu ®îc häc sÞnh tr¶ lêi

www.vnmath.com

76

®óng nh mong ®îi, v× vËy trªn ®©y lµ nh÷ng c©u hái vµ tr¶ lêi ®Þnh híng m¾t

xÝch cña vÊn ®Ò, ®Ó ph t huy ®îc TTCNT cña häc sinh khi x©y dùng vÒ kh i

niÖm Giíi h¹n d·y sè, ®ßi hái b¶n th©n mçi gi o viªn, ph¶i tinh tÕ, lùa chän sö lý

çc t×nh huèng, vËn dông nh÷ng biÖn ph¸p, ph¬ng thøc s ph¹m thÝch hîp sao

cho ®¹t ®îc kÕt qu¶ trong qu tr×nh d¹y häc .

2.2.3. D¹y häc bµi tËp vÒ Giíi h¹n víi chøc n¨ng ph¸t huy TTCNT

cña häc sinh.

Trong d¹y häc, bµi tËp to¸n ®îc sö dông víi nh÷ng chøc n¨ng kh¸c

nhau nh: d¹y häc, ph¸t triÓn, gi¸o dôc, kiÓm tra. Mçi bµi tËp to¸n cô

thÓ cã dông ý vµ nh÷ng chøc n¨ng kh¸c nhau, nh ë ®©y víi chøc n¨ng

d¹y häc bµi tËp ®îc x©y dùng nh»m h×nh thµnh ý thøc tù còng cè ®µo

s©u, hÖ thèng hãa kh¸i niÖm vµ rÌn luyÖn kü n¨ng kü x¶o cho häc sinh

®èi víi çc kiÕn thøc vÒ kh¸i niÖm chñ ®Ò giíi h¹n ®· häc, bµi tËp nh

thÕ nµy lµ h×nh thøc tèt nhÊt ®Ó ph¸t huy TTCNT cña häc sinh.

2.2.3.1. Bµi tËp vÒ Giíi h¹n lµ ph¬ng tiÖn ph t huy TTCNT cña häc sinh

Trong d¹y häc To¸n ë trêng phæ th«ng, cã thÓ xem viÖc gi¶i to¸n

lµ h×nh thøc chñ yÕu cña ho¹t ®éng to¸n häc ®èi víi häc sinh. HÖ

thèng bµi tËp to¸n lµ cÇu nèi g¾n liÒn lÝ thuyÕt víi thùc tiÔn, ®ång thêi bµi

tËp lµ h×nh thøc tèt nhÊt ®Ó rÌn luyÖn tÝnh tÝch cùc trong ho¹t ®éng nhËn

thøc ë häc sinh, ®©y lµ mét ph¬ng tiÖn rÊt cã hiÖu qu¶ vµ kh«ng thÓ thay

thÕ ®îc trong viÖc gióp häc sinh n¾m v÷ng tri thøc, ph¸t triÓn t duy, h×nh

thµnh kü n¨ng, kü x¶o vËn dông to¸n häc vµo thùc tiÔn.

V× vËy, lµm bµi tËp to¸n nãi chung vµ gi¶i bµi tËp vÒ chñ ®Ò Giíi

h¹n nãi riªng lµ mét ph¬ng tiÖn tèt ®Ó ph¸t huy TTCNT cña häc sinh.

2.2.3.2. VÝ dô minh häa d¹y häc luyÖn tËp vÒ çc bµi to¸n tÝnh Giíi

h¹n vµ xÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè theo híng ph¸t huy TTCNT cña häc

sinh.

www.vnmath.com

77

i) VÝ dô d¹ng bµi tËp vÒ Giíi h¹n v« cùc vµ dÇn vÒ v« cùc cña hµm

sè

Thùc tÕ cho thÊy çc d¹ng bµi tËp vÒ giíi h¹n cña hµm sè nh: khö

çc d¹ng v« ®Þnh,…nãi chung häc sinh còng ®· ®îc lµm quen vµ thùc

hµnh t¬ng ®èi nhiÒu ë çc lo¹i s¸ch tham kh¶o, nhng ®èi víi d¹ng bµi tËp

nµy häc sinh thêng gÆp khã kh¨n bëi v× c¨n b¶n ë SGK cha ph©n biÖt

v« cùc râ rµng ra + ∞ vµ - ∞ mµ thêng dïng chung chung lµ ∞ , nªn khi

tÝnh giíi h¹n cña hµm sè cïng lµ mét çch tiÕn cña x tíi ®iÓm gi p ranh x

= a nµo ®ã, mµ vÒ hai phÝa kh¸c nhau cña ®iÓm x = a ®ã lµ −+ →→ axax ; , nhng kÕt qu¶ dÉn ®Õn hai gi¸ trÞ hoµn toµn kh¸c nhau,

ch¼ng h¹n lµ: + ∞ vµ - ∞ . HoÆc khi −∞→+∞→ xx ; , hoµn toµn xa nhau

nhng hµm sè dÇn vÒ hai phÝa cña mét gi¸ trÞ lµ L+; L − ®èi víi d¹ng bµi

tËp nµy sö dông ph¬ng tiÖn biÓu ®å, ®å thÞ lµm chæ dùa trùc quan b¶n chÊt cña

vÊn ®Ò, cô thÓ ®îc minh häa râ qua c c d¹ng bµi tËp sau:

Bµi tËp 1: Cho hµm sè ( )x

xxf

12 += vµ ®êng th¼ng y = x (cã ®å thÞ

h×nh 5).

a) Quan s¸t vµ nªu nhËn xÐt vÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®å thÞ trªn hÖ trôc

täa ®é, dù ®o¸n giíi h¹n cña hµm sè ( )x

xxf

12 += khi x→ 0+, x→ 0 - , x

→ - ∞ , x → + ∞ ?

b) KiÓm tra l¹i çc nhËn xÐt dù ®o¸n giíi h¹n nªu trªn b»ng çch t×m :

)(lim0

xfx +→ , )(lim

0xf

x −→ , )(lim xfx −∞→ , )(lim xf

x +∞→ ,

( )[ ]xxfx

−+∞→

lim = 0 ?, ( )[ ]xxfx

−−∞→

lim = 0 ?

Gi¶i: a) Quan s¸t ®å thÞ vµ nªu nhËn xÐt vÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®å thÞ

trªn hÖ trôc täa ®é, dù ®o¸n giíi h¹n cña hµm sè ( )x

xxf

12 +=

+ Khi x→ 0+, th× ( )xf → + ∞ vµ ®å thÞ cña hµm sè ( )xf cµng ®i lªn

cµng s¸t dÇn bªn ph¶i víi trôc tung y0 tøc : )(lim0

xfx +→ = + ∞ .

www.vnmath.com

78

+ Khi x→ 0- , th× ( )xf → - ∞ vµ ®å thÞ cña hµm sè ( )xf cµng ®i

xuèng cµng s¸t dÇn bªn tr¸i víi trôc tung y0 tøc lµ : )(lim0

xfx −→ = - ∞ .

+ Khi x → - ∞ , th× ( )xf → - ∞ nghÜa : −∞→xlim ( )xf = - ∞ vµ ®å thÞ cña

hµm sè ( )xf cµng ®i xuèng cµng s t dÇn phÝa díi víi ®êng th¼ng y = x tøc lµ : ( )[ ]xxf

x−

−∞→lim = 0 .

+ Khi x→ + ∞ , th× ( )xf → + ∞ nghÜa : +∞→xlim ( )xf = + ∞ vµ ®å thÞ

cña hµm sè ( )xf cµng ®i lªn cµng s t dÇn phÝa trªn víi ®êng th¼ng y = x tøc lµ

: ( )[ ]xxfx

−+∞→

lim = 0 .

b) KÕt hîp sö dông kÕt qu¶ cña qui t¾c vÒ xÐt dÊu phÐp to¸n chia

v« cùc, ta cã: +→0limx x

x 12 + = +→0limx

)1

(x

x + = + ∞ ; −→0limx x

x 12 + = −→0limx

)1

(x

x + = - ∞ ;

−∞→xlim

x

x 12 + = −∞→xlim

x

x1

11

2+

= - ∞ ; +∞→xlim

x

x 12 + = +∞→xlim

x

x1

11

2+

=

+ ∞ ;

−∞→xlim

−+x

x

x 12

= −∞→xlim

x1

= −0 ; +∞→xlim

−+x

x

x 12

= +∞→xlim

x1

= +0 .

www.vnmath.com

x

y

ο→ − +←

2

y

4

79

(h×nh 5- cña bµi tËp 1 ) (h×nh 6- cña bµi tËp 2)

Bµi tËp 2 : Cho hµm sè ( )xf = 45

121522

2

+−+−

xx

xx (cã ®å thÞ nh h×nh 6)

a) Dùa vµo ®å thÞ vµ nªu nhËn xÐt dù ®o¸n giíi h¹n cña hµm sè

( )xf = 45

121522

2

+−+−

xx

xx khi −→1x , +→1x , −→ 4x , +→ 4x , −∞→x , +∞→x

?

b ) KiÓm tra l¹i çc nhËn xÐt dù ®o¸n giíi h¹n nªu trªn b»ng çch t×m :

−→1limx

( )xf , +→1limx

( )xf , −→4limx

( )xf , +→4limx

( )xf , −∞→xlim ( )xf , +∞→x

lim

( )xf ?

Gi¶i :a) Dùa vµo ®å thÞ vµ dù ®o¸n giíi h¹n cña: ( )xf = 45

121522

2

+−+−

xx

xx

−→1limx

( )xf = - ∞ , +→1limx

( )xf = + ∞ , −→4limx

( )xf = + ∞ ,

+→4limx

( )xf = - ∞ , −∞→xlim ( )xf = 2 +, −∞→x

lim ( )xf = 2 + .

a) KiÓm tra l¹i çc nhËn xÐt dù ®o¸n giíi h¹n nªu trªn b»ng çch t×m :

−→1limx

( )xf , +→1limx

( )xf , −→4limx

( )xf , +→4limx

( )xf , −∞→xlim ( )xf , +∞→x

lim

( )xf

KÕt hîp sö dông kÕt qu¶ cña b¶ng 4 qui t¾c phÐp to¸n chia v« cùc, ta

cã:

www.vnmath.com

1 4

2

0 x

y

4

80

*) V× −→1limx (2x2-15x+12) = -1< 0, −→1

limx (x2-5x+4) = 0+ nªn −→1

limx 45

121522

2

+−+−

xx

xx

= - ∞*)V× +→1

limx (2x2-15x+12)= -1< 0, +→1

limx (x2-5x+4) = −0 nªn +→1

limx 45

121522

2

+−+−

xx

xx

= + ∞*)V× −→4

limx (2x2-15x+12)= -16 < 0, −→4

limx (x2-5x+4)= −0 nªn −→4

limx 45

121522

2

+−+−

xx

xx

= + ∞*)V× +→4

limx (2x2-15x+12)= -16 < 0, +→4

limx (x2-5x+4)= 0+ nªn +→4

limx 45

121522

2

+−+−

xx

xx

= - ∞

*) −∞→xlim

45

121522

2

+−+−

xx

xx = −∞→x

lim

2

2

451

12152

xx

xx

+−

+− = 2+.

*) −∞→xlim

45

121522

2

+−+−

xx

xx = −∞→x

lim

2

2

451

12152

xx

xx

+−

+− = 2-.

Bµi tËp 3: Cho ba hµm sè: ( )xf = 2

23 1

x

xx −+ ; ( )xg = x

xx 12 −− ; ( )xh =

x

x 12 −−

C¸c ®êng cong C7, C8, C9( h.7, 8, 9) lµ ®å thÞ cña ba hµm sè nµy,

xÐt trªn tËp R\{ }0 , (kh«ng xÕp theo thø tù).

a) Quan s¸t ®å thÞ vµ nªu nhËn xÐt dù ®o¸n giíi h¹n cña c¸c hµm sè

khi :

x → 0+, x → 0 - , x→ - ∞ , x → + ∞ ?

b) ChØ dïng kÕt qu¶ tÝnh giíi h¹n cña hµm sè ( )xf , ( )xg , ( )xh khi:

x→ 0 - , x → 0+, x→ - ∞ , x→ + ∞ tõ ®ã h·y x¸c ®Þnh ®êng cong

nµo lµ ®å thÞ cña hµm sè ®· cho ?

www.vnmath.com

81

(H×nh 7 ) ( H×nh 8) ( H×nh 9 )

Gi¶i: a) NhËn xÐt dù ®o¸n giíi h¹n cña hµm sè:

*) §èi víi ®å thÞ h×nh 7 (®êng cong C7)

Khi x→ 0-, th× (nh¸nh ®êng cong C7) → + ∞ vµ cµng s¸t dÇn bªn tr¸i víi

y0 .

Khi x→ 0+ , th× (nh¸nh ®êng cong C7) → - ∞ vµ cµng s¸t dÇn bªn ph¶i

víi y0 .

Khi x → - ∞ , th× (nh¸nh ®êng cong C7) → + ∞ cµng s¸t dÇn phÝa trªn víi

®êng th¼ng y = -x.

Khi x→ + ∞ , th× (nh¸nh ®êng cong C7) → - ∞ vµ ®å thÞ cµng s¸t dÇn

phÝa díi víi ®êng th¼ng y = - x.

*) §èi víi ®å thÞ h×nh 8 cña (®êng cong C8)

www.vnmath.com

y yy

xx x0 00

82

Khi x→ 0+, th× (nh¸nh ®êng cong C8)→ - ∞ vµ cµng s¸t dÇn bªn ph¶i víi

y0 .

Khi x→ 0- , th× (nh¸nh ®êng cong C8) → - ∞ vµ cµng s¸t dÇn bªn tr¸i víi

y0 .

Khi x → - ∞ , th× (nh¸nh ®êng cong C8) → - ∞ vµ cµng s¸t dÇn phÝa díi víi

®êng th¼ng y = x.

Khi x→ + ∞ , th× (nh¸nh ®êng cong C8) → + ∞ vµ cµng s¸t dÇn phÝa díi

víi ®êng th¼ng y = x.

*) §èi víi ®å thÞ h×nh 9 cña (®êng cong C9)

Khi x→ 0+, th× (nh¸nh ®êng cong C9) → + ∞ vµ cµng s¸t dÇn bªn ph¶i víi

y0 .

Khi x→ 0- , th× (nh¸nh ®êng cong C9) → - ∞ vµ cµng s¸t dÇn bªn tr¸i víi

y0 .

Khi x → - ∞ , th× (nh¸nh ®êng cong C9) → - ∞ vµ ®å thÞ cµng s¸t dÇn

phÝa díi víi ®êng th¼ng y = x.

Khi x→ + ∞ , th× (nh¸nh ®êng cong C9)→ + ∞ vµ ®å thÞ cµng s¸t dÇn

phÝa trªn víi ®êng th¼ng y = x.

b) KÕt qu¶ tÝnh giíi h¹n cña hµm sè ( )xf , ( )xg , ( )xh khi:

x→ 0 - , x→ 0+, x→ - ∞ , x→ + ∞

*) Ta cã : +→0limx 2

23 1

x

xx −+ = + ∞ ; −→0limx 2

23 1

x

xx −+ = - ∞ .

Tõ kÕt qu¶ nµy vµ ®å thÞ ®· cho suy ra ®êng cong C8 lµ ®å thÞ

cña hµm sè ( )xf v× chØ C8 lµ cã hai nh¸nh ®å thÞ dÇn ra - ∞ khi x

→ 0 - , x→ 0+.

*) XÐt : +∞→xlim

x

xx 12 −− = +∞→xlim

x

xx1

111

2−−

=+ ∞

KÕt hîp víi ®å thÞ suy ra ®êng cong C9 lµ ®å thÞ cña hµm sè ( )xg .

V× trong hai ®êng cong cßn l¹i chØ cã C9 lµ cã nh¸nh ®å thÞ dÇn tíi +

www.vnmath.com

83

∞ khi x→ + ∞ .

*) Tõ hai kÕt qu¶ trªn, suy ra ( )xh cã ®å thÞ lµ ®êng cong C7.

ii) VÝ dô minh häa d¹y hoc vÒ lo¹i bµi tËp xÐt tÝnh liªn tôc cña

hµm sè

TËp cho häc sinh thãi quen t×m hiÓu s©u s¾c b¶n chÊt cña kh¸i

niÖm vÒ tÝnh liªn tôc hµm sè, ch¼ng h¹n tõ néi dung cña ®Þnh lÝ :

“ f(x) liªn tôc trªn [ a ; b] vµ f(a).f(b) < 0 ( ) ( )cfbac :;∈∃⇒ = 0 “.

Cho häc sinh khai th¸c c¸c gi¶ thiÕt cña ®Þnh lÝ lµ:

f(x) liªn tôc trªn [ a ; b] vµ f(a).f(b) < 0 , qua d¹ng bµi tËp sau:

Bµi tËp 4 : Cho hµm sè f(x) liªn tôc trªn [a;b]. NÕu f(a).f(b) > 0 th× ph¬ng

tr×nh f(x) = 0 cã nghiÖm hay kh«ng trong kho¶ng (a;b) ? Cho vÝ dô minh

häa ?

Gi¶i : Víi hµm sè f(x) liªn tôc trªn [a;b]. NÕu f(a).f(b) > 0 th× ph¬ng

tr×nh f(x) = 0 cã thÓ cã nghiÖm hoÆc v« nghiÖm trong kho¶ng (a;b),

ch¼ng h¹n:

XÐt hµm sè f(x) = x2 – 1 liªn tôc trªn [-2;2] vµ f(-2). f(2) = 9 > 0. Ph-

¬ng tr×nh x2 – 1 = 0 cã nghiÖm x = ± 1 trong kho¶ng (-2;2).

XÐt hµm sè (x) = x2 + 1 liªn tôc trªn [-1;1] vµ f(-1). f(1) = 4 > 0. Ph-

¬ng tr×nh x2 + 1 = 0 v« nghiÖm trong kho¶ng (-1;1) mµ cßn v«

nghiÖn trªn R.

Bµi tËp 5 : Cho hµm sè f(x) kh«ng lªn tôc trªn ®o¹n [a;b], nhng

f(a).f(b)< 0. ph¬ng tr×nh f(x) = 0 cã nghiÖm hay kh«ng trong kho¶ng

(a;b) ? H·y minh häa c©u tr¶ lêi b»ng ®å thÞ ?

Gi¶i : NÕu hµm sè f(x) kh«ng liªn tôc trªn ®o¹n [a;b] vµ f(a). f(b) < 0

th× ph¬ng tr×nh f(x) = 0 cã thÓ nhiÖm hoÆc v« nghiÖm trong kho¶ng

(a;b).

Ch¼ng h¹n minh häa h×nh häc :

www.vnmath.com

84

(h×nh 10), f(x) = 0 cã nghiÖm (a;b) (h×nh 11), f(x) = 0 v«

nghiÖm (a;b)

Bµi tËp 6 : Cho hµm sè x

xf1

)( = . H·y ®¸nh dÊu ®óng (sai) t¬ng øng

víi kh¼ng ®Þnh ®óng (sai).

a) Th× 0)1().1( <− ff ; (§óng).

b) Ph¬ng tr×nh 01

0)( =⇔=x

xf cã Ýt nhÊt mét nghiÖm )1;1(−∈x ;

(Sai).V× sao?

c) Ph¬ng tr×nh 11 2 −= xx

cã Ýt nhÊt mét nghiÖm ( )2;1∈x . (§óng).

Qua lµm c¸c d¹ng bµi tËp nµy, häc sinh sÏ thÊy r»ng ba ®iÒu kiÖn

®Ó hµm sè f(x) liªn tôc t¹i ®iÓm x = a , cÇn tho¶ m·n ®ång thêi lµ:

i) f(x) x¸c ®Þnh t¹i x = a ; ii) Tån t¹i ax→lim f(x) ; iii) ax→

lim f(x) = f(a).

Trong khi d¹y häc th× ph¶n vÝ dô cã vai trß rÊt quan träng trong

viÖc tr¸nh sai lÇm cña häc sinh khi lÜnh héi kh¸i niÖm, ch¼ng h¹n ®a ra

ph¶n vÝ dô sau ®Ó nhËn d¹ng kh¸i niÖm hµm sè f(x) liªn tôc t¹i mét

®iÓm:

(?) VËy nh thÕ nµo th× hµm sè kh«ng liªn tôc t¹i mét ®iÓm ? Cho vÝ dô

minh häa ?

VÝ dô24:

+) Hµm sè f(x) = 93

−+xx

, kh«ng liªn tôc t¹i x= 9 (kh«ng thâa m·n ®iÒu kiÖn

i);

www.vnmath.com

a b

x

y

0 ab

x

y

0

85

+) Hµm sè g(x) =

≠

=

0;1

0;1

xx

x, kh«ng liªn tôc t¹i x= 0 ( kh«ng thâa m¹n ii);

+) Hµm sè h(x) =

=

≠−−

1;0

1;1

12

x

xx

x , kh«ng liªn tôc t¹i x = 1 (kh«ng thâa m¹n iii).

Qua c¸c d¹ng bµi tËp vÒ xÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè mµ b¶n chÊt

chÝnh lµ xÐt tÝnh liªn tôc t¹i mét ®iÓm cña hµm sè ta cã thÓ tãm t¾t s¬

®å vÒ qui tr×nh c¸c bíc ®ã nh sau: (S¬ ®å 4)

www.vnmath.com

f(x0) f(x) f(x) = f(x

0) f(x) liªn tôc t¹i x

0

f (x) gi¸n ®o¹n t¹i x0

B¾t ®Çu

+

+ +

− −−

KÕt thóc

LÊy bÊt kú x

0(a;b)

f(x0)

f(x) liªn tôc t¹i x0

f(x) liªn tôc trªn (a;b)

f(x) kh«ng liªn tôc trªn (a;b)

KÕt thóc

+ +

−−

Hµm sè liªn tôc trªn (a;b)

Hµm sè liªn tôc t¹i

86

2−x

y2

0

2

Ngoµi ra khi xÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè nãi chung, xÐt tÝnh liªn tôc

cña hµm sè t¹i mét ®iÓm nãi riªng ta cÇn xÐt ®Õn tËp x¸c ®Þnh cña

hµm sè ®ã, ch¼ng h¹n ta xÐt hai hµm sè f(x) vµ g(x) qua hai vÝ dô

sau:

VÝ dô 25: Cho f(x)=

>≤≤−−

2;1

22;4 2

x

xx

Gi¶i: f(x) tËp x¸c ®Þnh D1 = [-2 ; + ∞ )

Hµm sè liªn tôc trªn tËp [-2 ; + ∞ )\{2}

Lµ gi¸n ®o¹n t¹i ®iÓm x = 2

(minh häa râ ë h×nh vÏ 12 ).

VÝ dô 26 : Cho hµm sè g(x) = 24 x−

Gi¶i : Hµm sè g(x) = cã tËp x¸c ®Þnh D2 = [-2 ;2 ]

Nhng so víi vÝ dô 25 dÔ dµng thÊy r»ng hµm sè nµy liªn tôc trªn tËp [

-2; 2].

www.vnmath.com

87

V× vËy khi d¹y häc cÇn chó ý tËn dông khai th¸c çc t×nh huèng

dÔ m¾c sai lÇm, gióp häc sinh ph¸t hiÖn, kh¾c phôc çc khã kh¨n vµ

s÷a ch÷a çc sai lÇm thêng gÆp.

2.2.4. Dù ®o¸n ph¸t hiÖn nguyªn nh©n vµ híng kh¾c phôc nh÷ng

khã kh¨n sai lÇm cña häc sinh khi häc chñ ®Ò Giíi h¹n.

Khi häc chñ ®Ò Giíi h¹n häc sinh sÏ lµm quen víi ®èi tîng míi, kiÓu

t duy mang tÝnh biÖn chøng h¬n. Do ®ã häc sinh gÆp ph¶i rÊt nhiÒu

khã kh¨n sai lÇm kh«ng thÓ tr¸nh khái. Bëi v×, sai lÇm cã t¸c dông

tÝch cùc, sai lÇm còng cã Ých trong viÖc x©y dùng tri thøc, ®Æc biÖt

khi t¹o nªn sù xem xÐt l¹i çc tri thøc ®· biÕt tríc ®©y. V× vËy trong qu¸

tr×nh d¹y vµ häc To¸n ë trêng THPT, viÖc t×m hiÓu nh÷ng khã kh¨n,

sai lÇm vµ chíng ng¹i mµ häc sinh ph¶i vît qua ®Ó chiÕm lÜnh mét tri

thøc to¸n häc ®îc ®a ra gi¶ng d¹y lµ bíc ®Çu kh«ng thÓ bá qua trong

qu¸ tr×nh t×m kiÕm nh÷ng ph¬ng ph¸p d¹y häc hiÖu qu¶ nh»m gióp

häc sinh n¾m v÷ng tri thøc ®ã. H¬n n÷a, viÖc ph¸t triÓn vµ biÕt khai

th¸c çc t×nh huèng sai lÇm lµm häc sinh hay m¾c ph¶i trong häc tËp

còng chÝnh lµ qu¸ tr×nh ph¸t huy TTCNT cña häc sinh.

+ ë møc ®é tri thøc khoa häc, gi¸o viªn cÇn hiÓu ®îc lý do ph¸t

sinh vµ b¶n chÊt cña tri thøc cÇn d¹y, mÆt kh¸c lµ nh÷ng trë ng¹i mµ

çc nhµ khoa häc ®· gÆp ph¶i trong qu¸ tr×nh x©y dùng vµ ph¸t triÓn

tri thøc nµy. §©y lµ c¬ së cho viÖc x¸c ®Þnh nguån gèc khoa häc luËn

cña nh÷ng khã kh¨n mµ häc sinh ph¶i vît qua ®Ó n¾m v÷ng tri thøc

®ã.

+ ë møc ®é tri thøc cÇn d¹y, th«ng qua viÖc ph©n tÝch ch¬ng

tr×nh vµ SGK sÏ lµm s¸ng tá nh÷ng ®Æc trng cña viÖc d¹y mét tri thøc

trong qu¸ tr×nh chuyÓn hãa s ph¹m. Nghiªn cøu nµy sÏ gióp gi¸o viªn

x¸c ®Þnh nguån gèc s ph¹m cña nh÷ng khã kh¨n mµ häc sinh thêng

gÆp.

www.vnmath.com

88

Tõ viÖc ph¸t hiÖn nh÷ng khã kh¨n vµ chíng ng¹i cña tõng tri thøc

To¸n häc, gi¸o viªn cã thÓ dù ®o¸n ®îc nh÷ng sai lÇm thêng gÆp ë

häc sinh khi lÜnh héi tri thøc nµy.

+ Ta nãi r»ng cã mét chíng ng¹i nÕu vÊn ®Ò chØ ®îc gi¶i quyÕt

sau khi ta ®· cÊu tróc l¹i nh÷ng quan niÖm hay thay ®æi quan ®iÓm lý

thuyÕt.

+ Ta nãi r»ng cã mét khã kh¨n nÕu vÊn ®Ò ®îc gi¶i quyÕt mµ

kh«ng cÇn ph¶i xem xÐt l¹i nh÷ng quan ®iÓm cña lý thuyÕt ®ang xÐt

hay thay ®æi quan niÖm hiÖn hµnh.

Nh ta ®· biÕt, sai lÇm kh«ng ph¶i lµ hËu qu¶ cña sù kh«ng biÕt,

kh«ng ch¾c ch¾n, ngÉu nhiªn, theo çch nghÜ cña nh÷ng ngêi theo

chñ nghÜa kinh nghiÖm vµ chñ nghÜa hµnh vi, mµ cßn cã thÓ lµ hËu

qu¶ cña nh÷ng kiÕn thøc ®· cã tõ tríc, nh÷ng kiÕn thøc ®· tõng cã Ých

®èi víi viÖc häc tËp tríc kia nhng l¹i lµ sai lÇm hoÆc ®¬n gi¶n lµ

kh«ng cßn phï hîp n÷a ®èi víi viÖc lÜnh héi kiÕn thøc míi. Nh÷ng sai

lÇm kiÓu nµy kh«ng ph¶i lµ kh«ng dù kiÕn tríc ®îc, chóng sÏ ®îc t¹o

nªn tõ nh÷ng chíng ng¹i.

Nh÷ng sai lÇm sinh ra tõ mét chíng ng¹i thêng tån t¹i rÊt dai d¼ng

vµ cã thÓ t¸i xuÊt hiÖn ngay c¶ sau khi chñ thÓ ®· cã ý thøc lo¹i bá

quan niÖm sai lÇm ra khái hÖ thèng nhËn thøc cña m×nh. V× vËy

gióp häc sinh t×m ra çc sai lÇm, ph©n tÝch nguyªn nh©n dÉn ®Õn

çc sai lÇm vµ t×m çch kh¾c phôc nh÷ng khã kh¨n sai lÇm ®ã trong

qu¸ tr×nh lÜnh héi kh¸i niÖm lµ viÖc lµm mang nhiÒu ý nghÜa quan

träng trong qu¸ tr×nh d¹y häc theo híng ph¸t huy tÝnh tÝch cùc ho¹t

®éng nhËn thøc cña häc sinh gãp phÇn n©ng cao hiÖu qu¶ d¹y häc.

Thùc tiÔn cho thÊy trong qu¸ tr×nh häc tËp häc sinh thêng gÆp

ph¶i çc khã kh¨n sai lÇm:

2.2.4.1) Khã kh¨n sai lÇm vÒ kiÕn thøc, bao gåm:

www.vnmath.com

89

a) Çc khã kh¨n sai lÇm liªn quan viÖc n¾m b¶n chÊt cña kh i niÖm, ®Þnh lý

NÕu xÐt Gi¶i tÝch ë trêng THPT nãi chung kh¸i niÖm Giíi h¹n nãi

riªng rÊt khã h×nh thµnh cho häc sinh v× häc sinh cha nhËn thøc hÕt

tÇm quan träng còng nh çc khÝa c¹nh tinh vi trong lËp luËn xung

quanh vÊn ®Ò nµy, nÕu nh muèn n¾m v÷ng ®îc b¶n chÊt ®Ých thùc

vÊn ®Ò nµy. Cßn mÊy l©u nay khi t×m Giíi h¹n hay xÐt tÝnh liªn tôc,

häc sinh vÉn ®ang cßn nÆng vÒ thuËt to¸n, nãi çch kh¸c lµ thiªn vÒ

có ph¸p mµ cßn coi nhÑ ng÷ nghÜa, ch¼ng h¹n ngay sau khi häc xong

kh¸i niÖm giíi h¹n hµm sè ( mµ cha häc ®Õn çc ®Þnh lý vÒ giíi h¹n vµ

hµm sè f(x) liªn tôc) th× häc sinh cho r»ng viÖc t×m giíi h¹n cña f(x) khi x

→ a rÊt ®¬n gi¶n: chØ viÖc thay x = a vµ tÝnh f(a). Khi ®ã ax→lim f(x)

=f(a) ®iÒu nµy ph¶n ¸nh r»ng häc sinh cha hiÓu b¶n chÊt kÝ hiÖu:

lim.

VÝ dô27: TÝnh 9lim

→x 9

81182

−+−

x

xx víi çch nghÜ nh vËy nªn viÖc

t×m giíi h¹n chØ lµ thay x = 9 vµo 9

81182

−+−

x

xx ®Ó cho kÕt qu¶, suy

nghÜ kiÓu nh vËy dÉn ®Õn cho r»ng 9lim

→x 9

81182

−+−

x

xx kh«ng tån t¹i.

§Ó cho häc sinh xem xÐt ®ång thêi nh÷ng ®èi tîng thâa m·n çc

®Þnh nghÜa kh¸i niÖm vµ ®Þnh lÝ (qua çc vÝ dô) vµ çc ®èi t¬ng

kh«ng thâa m·n mét trong çc kh¸i niÖm ®Þnh nghÜa, ®Þnh lÝ (xÐt

ph¶n vÝ dô ) qua ®ã lµm s¸ng tá cho häc sinh hiÓu vµ n¾m v÷ng b¶n

chÊt cña mét kh¸i niÖm hay ®Þnh lÝ, ch¼ng h¹n:

VÝ dô28: TÝnh 9lim

→x ( )981 2 −+− xx

(?) : Häc sinh cho r»ng : 9lim

→x ( )981 2 −+− xx = f(9) = ( )99981 2 −+− =

0

vËy 9lim

→x ( )981 2 −+− xx = 0

(!) : Thùc ra th× hµm sè f(x) = ( )981 2 −+− xx kh«ng cã giíi h¹n t¹i x =

9

www.vnmath.com

90

v× tËp x¸c cña hµm sè f(x) : 909

081 2

=⇔

≥−

≥−x

x

x, tøc tËp x¸c ®Þnh lµ K = { }9 .

Do ®ã kh«ng thÓ ¸p dông ®Þnh nghÜa 9lim

→x f(x) ®îc v× kh«ng thÓ lÊy

bÊt kú d·y { }nx nµo c¶ ®Ó thâa m·n ®iÒu kiÖn cña ®Þnh nghÜa ®ã

lµ: ∀ xn ∈ K , xn ≠ 9 mµ { }nx → 9 , nªn hµm sè ®· cho kh«ng cã giíi

h¹n t¹i x = 9.

b) Khã kh¨n sai lÇm vÒ h×nh thøc (nh hiÓu sai c«ng thøc, kÝ

hiÖu…)

Víi SGK ë phæ th«ng cña níc ta lµ chØ sö dông cã kÝ hiÖu lµ ∞

®Ó viÕt Giíi h¹n v« cùc cña d·y sè. Nªn tïy vµo tõng trêng hîp mµ kÝ

hiÖu ∞ nµy, cã thÓ ®îc hiÓu theo c¸c c¸ch kh¸c nhau nh + ∞ hoÆc -

∞ hay hçn hîp c¶ hai + ∞ vµ - ∞ , ch¼ng h¹n xÐt:

VÝ dô 29: Víi lim n2 = ∞ , kÝ hiÖu ∞ ®îc hiÓu lµ + ∞ .

Víi lim (-n) = ∞ , kÝ hiÖu ∞ nµy ®îc hiÓu lµ - ∞ .

Víi lim (-1)nn = ∞ , kÝ hiÖu ∞ ë ®©y ®îc hiÓu lµ c¶ - ∞

vµ + ∞ .

V× vËy, nªn khi xÐt giíi h¹n v« cùc cña d·y sè ph¶i xÐt cô thÓ chØ

râ rµng, giíi h¹n + ∞ hay giíi h¹n - ∞ tøc lµ +∞→nlim un = + ∞ hoÆc +∞→n

lim un

= - ∞ . Do R lµ mét tËp hîp s¾p thø tù nªn kh«ng thÓ kÕt luËn chung

chung giíi h¹n lµ ∞ hay viÕt +∞→nlim un= ∞ . Cô thÓ, (trë l¹i vÝ dô 21) xÐt

giíi h¹n v« cùc cña d·y un = (-1)n theo nh ph©n tÝch nµy th×: +∞→nlim (-

1)nn kh«ng tån t¹i.

B¶n chÊt cña + ∞ vµ - ∞ kh«ng ph¶i lµ nh÷ng sè thùc cô thÓ rÊt

lín nµo ®ã, mµ ®óng ra nãi ®Õn l©n cËn cña + ∞ tøc lµ kho¶ng ( a , +

www.vnmath.com

91

∞ ) vµ l©n cËn cña - ∞ lµ kho¶ng (- ∞ ; a) víi ∈∀a R, do ®ã kh«ng

thÓ thùc hiÖn çc qui t¾c hay phÐp to¸n ®¹i sè trªn chóng.

Ch¼ng h¹n: ( )( ) 0lim =

→ xg

xfax

nÕu ax→lim ( )xf = L vµ ax→

lim ( )xg = + ∞

nhng kh«ng thÓ viÕt ( )( )

( )( ) 0

lim

limlim =

∞+==

→

→→

L

xg

xf

xg

xf

ax

ax

ax.

Nhng kÕt qu¶ giíi h¹n ( nÕu cã) cña d·y sè un cã thÓ lµ: Giíi h¹n

h÷u h¹n ( 0, h»ng sè L ≠ 0 ) hoÆc Giíi h¹n v« cùc ( ∞± ), nªn ta cã

thÓ xem kÝ hiÖu + ∞ vµ - ∞ nh lµ giíi h¹n cña d·y sè. Nh vËy, khi thùc

hµnh trong gi¶i to¸n häc sinh dÔ bÞ lÉn lén, gi÷a hai kh i niÖm ''giíi h¹n h÷u h¹n'' vµ

''giíi h¹n v« h¹n v« cùc'', trong viÖc biÕn ®æi çc phÐp to¸n vÒ giíi h¹n vµ dÉn ®Õn

sai lÇm trong kÝ hiÖu nh :

( + ∞ ) - ( + ∞ ) = 0 ? ; 0 . ∞ = 0 ?...

VÝ dô 30: TÝnh ( )nnn

−++∞→

1lim 2

Häc sinh A: ( )nnn

−++∞→

1lim 2 = ( ) 0)()(lim1lim 2 =+∞−+∞=−++∞→+∞→nn

nn;

Häc sinh B: ( )nnn

−++∞→

1lim 2 = 0011

1lim =⋅∞=

−+

+∞→ nn

n;

Häc sinh C :( )nn

n−+

+∞→1lim 2 = ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0lim1lim1lim 22 =∞−+∞+=−++=−++

+∞→+∞→+∞→nnnn

nnn.

c) Khã kh¨n sai lÇm liªn quan ®Õn thao t¸c t duy

Häc sinh hay sai lÇm khi nghiÔm nhiªn p dông mét c«ng thøc, mét kh i niÖm

cho trêng hîp suy biÕn. Trong lÞch sö ®iÓn h×nh vÒ sai lÇm khi vËn dông phÐp

t¬ng tù:

VÝ dô 31: TÝnh tæng: S = 1- 1 + 1 – 1 + ...

Çch 1: S = (1 - 1) + (1 - 1) + … = 0

Çch 2: S = 1 – (-1 + 1) – (1 - 1) + … = 1

www.vnmath.com

92

Çch 3 : S = - 1 + 1 – 1 + 1 - 1... = -1 + (1 -1) + (1 -1) + ... = -1

Çch 4: Nhµ To¸n häc G¬vi®¬ - G¬zan®i ngêi Italia nªu ra çch tÝnh tæng

nh sau : S = 1 - 1 + 1 – 1 + ... ⇒ S – 1 = -1 + 1 – 1 + ... ⇒ - S = S -

1⇒ S = 1

2.

Víi ba çch gi¶i ®Çu ®· ¸p dông tÝnh chÊt kÕt hîp cña tæng h÷u

h¹n çc sè h¹ng cho tæng v« h¹n cña çc sè h¹ng. Mét tæng h÷u h¹n

çc sè h¹ng kh«ng phô thuéc vµo thø tù çc sè h¹ng.

Víi ba çch gi¶i ®Çu ®· ¸p dông tÝnh chÊt kÕt hîp cña tæng h÷u

h¹n çc sè h¹ng cho tæng v« h¹n cña çc sè h¹ng. Mét tæng h÷u h¹n

çc sè h¹ng kh«ng phô thuéc vµo thø tù çc sè h¹ng.

2.2.4.2. Khã kh¨n sai lÇm vÒ kÜ n¨ng, bao gåm:

HiÖn nay ë trêng THPT, nh×n chung tÝnh tÝch cùc, s¸nh t¹o, cña

häc sinh cßn yÕu. Häc sinh ë çc trêng chuyªn líp chän cßn cã ý thøc

tù häc tù ®éc lËp suy nghÜ ®Ó s¸ng t¹o tù t×m tßi lêi gi¶i cho çc bµi

to¸n, tù m×nh gi¶i quyÕt çc nhiÖm vô häc tËp, cßn ®¹i ®a sè häc sinh

th× û l¹i thÇy c«, s¸ch gi¶i bµi tËp, thiÕu tÝnh xem xÐt, ph©n tÝch ®µo

s©u hay më réng viÖc khai th¸c çc ®Þnh lý d¹ng bµi tËp c¬ b¶n, dÉn

®Õn häc tËp mét çch m¸y mãc, rËp khu«n, kh«ng ph¸t huy kü n¨ng

s¸ng t¹o vµ kh«ng rÌn ®îc kü n¨ng kü x¶o gi¶i bµi to¸n cho nªn khi gi¶i

to¸n thõ¬ng gÆp çc khã kh¨n sai lÇm .

a) Khã kh¨n sai lÇm khi vËn dông: ®Þnh nghÜa, ®Þnh lý, c«ng

thøc VÝ dô 32: TÝnh

1

1lim

1 −→ xx

(?) : Häc sinh cho ngay kÕt qu¶ : 1

1lim

1 −→ xx = ∞

www.vnmath.com

93

(!) : Nhng ®óng ra kÕt qu¶ nµy kh«ng tån t¹i mµ lóc nµy ta ph¶i

ph©n biÖt ra: 1

1lim1 −−→ xx

= - ∞ vµ 1

1lim1 −+→ xx

= + ∞ , vËy 1

1lim

1 −→ xx kh«ng

tån t¹i. ë vÝ dô nµy th× ta thÊy:

+ §iÓm a = 1 lµ ®iÓm “gi p ranh’’ cho nªn khi x → −1 tøc lµ çc d·y

(xn – 1) mang gi¸ trÞ ©m; cßn khi x → +1 tøc lµ çc d·y ( xn -1) mang gi

trÞ d¬ng

+ §iÓm a ≠ 1 çc d·y xn → a, (a ≠ 1) th× ta thÊy r»ng dï cho x → a+

hay x→ a- th× çc d·y (xn -1) kh«ng ®æi dÊu.

VÝ dô 33 : TÝnh +∞→nlim

2

...212 +

+++n

n

(?) : +∞→nlim

2

...212 +

+++n

n =

2lim...

2

2lim

2

1lim

222 +++

++

+ +∞→+∞→+∞→ n

n

nn nnn = 0+0+... +0 =

0

(!) : Çc ®Þnh lý vÒ phÐp to¸n Giíi h¹n chØ ph¸t biÓu cho h÷u h¹n sè

h¹ng. Trong lêi gi¶i trªn ®· ¸p dông cho giíi h¹n cña tæng v« h¹n çc sè

h¹ng nªn ®· dÉn ®Õn sai lÇm. Lêi gi¶i ®óng lµ:

Ta cã: 1+2+….+n = ( )2

1+nn do ®ã :

+∞→nlim

2

...212 +

+++n

n = +∞→nlim ( )

( )22

12 ++

n

nn = +∞→nlim

42 2

2

++

n

nn = +∞→nlim

2

42

11

n

n

+

+ = 2

1

(!) : NhËn xÐt: Tæng v« h¹n çc ®¹i lîng cã giíi h¹n 0 cha ch¾c ®· cã

giíi h¹n 0 (tøc lµ çc phÐp to¸n giíi h¹n tæng, hiÖu, tÝch , th¬ng chØ

ph¸t biÓu vµ ®îc sö dông cho h÷u h¹n çc sè h¹ng ).

V× vËy thêng sö dông phÐp ®¸nh gi¸ kÑp gi÷a vµ phÐp biÕn ®æi

ph©n tÝch ®Ó tÝnh to¸n çc tæng v« h¹n çc ®¹i lîng cã giíi h¹n 0.

VÝ dô 34 : TÝnh +∞→nlim ( )

n

n12 −+

(?) : Kh«ng tån t¹i Giíi h¹n v× d·y sè ®ang xÐt cã: u1 = 1 , u2 = 2

3 , u3 =

3

1, …

kh«ng t¨ng còng kh«ng gi¶m.

www.vnmath.com

94

(!) : Lêi gi¶i ®a ra kh«ng ®óng, v× ®Þnh lý vÒ d·y ®¬n ®iÖu bÞ chÆn

th× cã giíi h¹n chØ lµ nªu lªn ®iÒu kiÖn ®ñ mµ kh«ng ph¶i lµ ®iÒu

kiÖn cÇn ®Ó d·y sè cã giíi h¹n.

MÆt kh¸c còng cÇn lu ý r»ng: Nh÷ng sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y sè

kh«ng ¶nh hëng tíi sù tån t¹i giíi h¹n cña d·y sè. Ch¼ng h¹n, kÓ tõ sè

h¹ng thø 200710 d·y sè b¾t ®Çu tiÕn vµ bÞ chÆn trªn th× d·y sè vÉn

cã giíi h¹n, cßn c¸c sè h¹ng tõ ( 200710 -1) trë vÒ tríc kh«ng cÇn quan

t©m. Sù quan t©m tíi nh÷ng sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y chØ gióp cho sù ph¸n

®o¸n mµ th«i, lêi gi¶i ®óng nh sau:

V× ( ) ( )*312

0 Nnnn

n

∈∀≤−+≤ vµ nn

3lim

+∞→ = 0 nªn +∞→n

lim ( )n

n12 −+ = 0.

VÝ dô 35: TÝnh ( )

1

1lim

2 +−

+∞→ n

n

n

(?): Häc sinh ®· ¸p dông sai, nhÇm lÉn tÝnh chÊt:

NÕu +∞→nlim un= L vµ +∞→n

lim vn= ∞± th× 0lim =+∞→

n

n

n v

u

Tøc: Víi un = (-1)n , vn = 12 +n th× ( )

01

1lim

2=

+−

+∞→ n

n

n.

(!) : KÕt qu¶ th× vÉn ®óng nhng nhÇm lÉn ë ®©y lµ +∞→nlim (-1)n kh«ng

cã giíi h¹n, do un = (-1)n lµ d·y bÞ chÆn nhng kh«ng cã giíi h¹n.

VËy thêng sö dông phÐp ®¸nh gi¸ kÑp gi÷a hai ®ai lîng cã cïng giíi h¹n

®ã lµ:

( )

nnnnnnn

n 1

1

1

1

1

1

11

2

122222

≤+

≤+

−≤+

−≤+

−≤−

do nn 2

1lim

−+∞→

= nn

1lim

+∞→ = 0 nªn

( )1

1lim

2 +−

+∞→ n

n

n = 0.

Kh¸i niÖm giíi h¹n cña hµm sè lµ mét kh¸i niÖm khã hiÓu ®èi víi häc sinh

(thËm chÝ ®èi víi c¶ gi o viªn), khi d¹y kh¸i niÖm giíi h¹n gi o viªn kh«ng quan

t©m tíi gi¶i thÝch tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè cã vai trß trong tÝnh giíi h¹n nh thÕ

nµo?

www.vnmath.com

95

VÝ dô 36: TÝnh ( )2

x 1lim 1 x x 1

→− + −

Cã häc sinh lËp luËn: Ta cã 2

x 1lim 1 x 0

→− = vµ

x 1lim x 1 0

→− = .

VËy theo ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n cña tæng hai hµm sè th×:

( )→− + −2

x 1lim 1 x x 1 = 0.

Thùc ra nhng hµm sè f(x) = 21 x x 1− + − kh«ng cã giíi h¹n t¹i x =

1 bëi lÏ biÓu thøc 21 x x 1− + − chØ cã nghÜa duy nhÊt t¹i ®iÓm x = 1

nªn tËp x¸c ®Þnh cña f(x) lµ K={ }1 . Do ®ã kh«ng thÓ ®Þnh nghÜa

x 1limf (x)

→ ®îc, v× kh«ng thÓ lÊy bÊt k× d·y { }nx nµo víi nx K∈ , nx 1≠ mµ

{ }nx dÇn tíi 1 ®îc.

Häc sinh ¸p dông ®Þnh lÝ nhng kh«ng hiÓu râ ph¹m vi ¸p dông cña

®Þnh lÝ.

VÝ dô 37: T×m giíi h¹n

I =( )

n

n 11 2lim sin sin ... sin

n n n n→∞

− ΠΠ Π+ + +

(?): Ta cã n

sinnlim 0

n→∞

Π

= , ...,n

2sin

nlim 0, ...,n→∞

Π

=

( )

n

n 1sin

nlim 0n→∞

− Π

= .

Nªn I = 0 + 0 + ...+ 0 = 0

(!): §Þnh lÝ vÒ giíi h¹n cña tæng, hiÖu, tÝch, th¬ng çc d·y chØ

ph¸t biÓu cho mét sè h÷u h¹n çc d·y, çc d·y nµy ph¶i cã giíi h¹n, nhng

häc sinh ®· ¸p dông cho tæng v« h¹n.

Lêi gi¶i ®óng lµ: §Æt ( )

n

n 11 2A sin sin ... sin

n n n n

− ΠΠ Π= + + +

,

ta cã:

www.vnmath.com

96

2nAnsin2n

Π =( )n 12

2sin sin 2sin .sin ... 2sin .sin2n n 2n n 2n n

− ΠΠ Π Π Π Π+ + +

=

( ) ( )2n 3 2n 13 3 5cos cos cos cos ... cos cos

2n 2n 2n 2n 2n 2n

− Π − ΠΠ Π Π Π − + − + + −

= 2sin( )− Πn 1

2n

Nªn

( )( )

n nn n

n 12sin n 12 2 22n 2nA limA lim . .sin .1.sin

2n 22n.sin sin2n 2n

→∞ →∞

− Π Π− Π Π= ⇒ = = =Π ΠΠ Π Π

,

chø kh«ng ph¶i lµ 0 nh lêi gi¶i sai trªn ®©y cña häc sinh.

NhiÒu vÝ dô kh¸c xung quanh chñ ®Ò giíi h¹n, xÐt tÝnh liªn tôc, kh¶ vi

cña hµm sè cho bëi nhiÒu c«ng thøc, tËp x¸c ®Þnh chia thµnh nhiÒu

kho¶ng,

VÝ dô 38 : T×m giíi cña hµm sè f(x) =

g(x) khi x a

h(x) khi a x b

(x) khi x b

≤ < <ϕ ≥

RÊt nhiÒu häc sinh suy nghÜ r»ng do ( ]∈ −∞x ; a do ®ã

x alimg(x) g(a)

→= . Thùc ra lêi gi¶i ®óng ph¶i xÐt giíi h¹n bªn ph¶i, bªn tr¸i

t¹i x = a.

b) Khã kh¨n sai lÇm vÒ kÜ n¨ng biÕn ®æi

VÝ dô 39 : T×m 1

1lim

2

1 −−

→ x

xx

(?) : Häc sinh gi¶i :

1

12

−−

x

x = x+1⇒

1

1lim

2

1 −−

→ x

xx

= ( )1lim1

+→x

x = 2,

kÕt qu¶ trªn lµ ®óng nhng thËt sai lÇm khi biÕn ®æi ®ång nhÊt 1

12

−−

x

x

= x+1 dÊu b»ng kh«ng thÓ x¶y ra, v× chóng cã tËp x¸c ®Þnh hoµn

www.vnmath.com

97

toµn kh¸c nhau

(!) : Ta hiÓu b¶n chÊt lµ chän d·y xn → 1, xn ≠ 1 ( )*, Nn∈∀ ⇒112

−−

n

n

xx

=

xn+1

Khi ®ã 1

1lim

2

1 −−

→ x

xx

= ( )1lim1

+→x

x = 2.

VÝ dô 40 : T×m 1116

32lim

2

2

++++++

∞→ xx

xxxx

(?) : Häc sinh biÕn ®æi lµ:

1116

32lim

2

2

++++++

∞→ xx

xxxx

=

+++

+++

∞→

xxx

xxx

x 11

116

321

1

lim

2

2

=

xx

xxx 1

11

16

321

1lim

2

2

+++

+++

∞→ = 54

(!) : Thùc ra ë ®©y häc sinh thêng hay nhÇm lÉn khi ®a biÓu thøc ra

khái dÊu c¨n d¹ng xx =2 , kÕt qu¶ trªn chØ ®óng khi x → + ∞ nªn

ph¶i biÕn ®æi,

Ta cã : 22 21

12xx

xxx ++=++ vµ 22 1

16116x

xx +=+

khi ®ã 1116

32lim

2

2

++++++

∞→ xx

xxxx

=

+++

+++

∞→

xx

x

xx

x

x

xxx

x 1116

3211

lim

2

2

=

−=−−+

−++

=+++

+++

− ∞→

+ ∞→

3

2

11

116

321

1lim

5

4

11

116

321

1lim

2

2

2

2

xx

xx

xx

xx

x

x

Mét sai lÇm mµ häc sinh hay m¾c ph¶i lµ khi ®· ®Þnh híng ph©n

www.vnmath.com

98

chia ra hai trêng hîp x +∞→ vµ x −∞→ råi nhng khi biÕn ®æi chØ xÐt

cã mét trong hai trêng hîp thêng lµ víi x +∞→ ra ®Õn kÕt qu¶, lÊy kÕt

qu¶ nµy thay ®æi dÊu vµ kÕt luËn lµ cña trêng hîp x −∞→ , nhng qua

vÝ dô nµy kÕt qu¶ l¹i kh«ng nh vËy. MÆt kh¸c nÕu kh«ng dïng kÝ hiÖu

d¹ng chung chung ∞ mµ ph©n ra hai lo¹i râ rµng x +∞→ hoÆc x −∞→

th× ch¾c ch¾n häc sinh sÏ ®ì gÆp nh÷ng khã khn sai lÇm nh trªn.

c) Khã kh¨n sai lÇm vÒ ®Þnh h íng kÜ n¨ng tÝnh to¸n

VÝ dô 41: TÝnh nnn

nnn −−+

−−++∞→ 14

1214lim

2

2

(?): Thùc hiÖn:nnn

nnn −−+

−−++∞→ 14

1214lim

2

2

=

−−+

−−+

+∞→

114

1

12

14

lim

2

2

nnn

nnn

n=

−−+

−−+

+∞→

114

1

12

14

lim

2

2

nn

nnn

®Õn ®©y gÆp d¹ng v« ®Þnh 00

vµ häc sinh tÝnh to¸n tiÕp ®Ó khö

d¹ng v« ®Þnh nµy b»ng c¸ch cïng nh©n vµ chia c¶ tö vµ mÉu víi cÆp

biÓu thøc liªn hîp cã d¹ng ph©n thøc vµ sÏ rÊt phøc t¹p, khã kh¨n trong

tÝnh to¸n, khi ®ã dÔ g× ®i ®Õn kÕt qu¶ ®óng.

(!) : Khi t×m giíi h¹n, mét sè häc sinh kh«ng cã thãi quen ®Þnh híng vµ

x¸c ®Þnh d¹ng, tríc khi biÕn ®æi tÝnh to¸n ®¹i sè, nÕu ngay tõ ®Çu x¸c

®Þnh ®îc khi n → ∞+ th× tö sè vµ mÉu sè ®Òu cã d¹ng v« ®Þnh ( ∞ -

∞ ) th× ta ph¶i khö d¹ng v« ®Þnh nµy tríc, cô thÓ:

TÝnh :nnn

nnn −−+

−−++∞→ 14

1214lim

2

2

=

( )[ ]( )[ ]

[ ][ ]

( )2

1

12

14

114

1

14

4lim

1214

14

14

1214lim

2

2

2

2

2

2

22

22

−=

+++

+++

×

+

−=+++

+++×−+++−+

+∞→+∞→

nn

nn

nn

n

nn

nnn

nnn

nnnn

Khi t×m giíi h¹n, mét sè häc sinh kh«ng cã thãi quen x¸c ®Þnh

www.vnmath.com

99

®óng d¹ng thuéc läai v« ®Þnh nµo tríc khi ®Þnh híng biÕn ®æi tÝnh

to¸n ®¹i sè, do ®ã xem çc d¹ng: (- ∞ ) + (- ∞ ), (+ ∞ ) + (+ ∞ ), (+ ∞ ) - (-

∞ ), (- ∞ ) - (+ ∞ ) ®Òu thuéc d¹ng v« ®Þnh lµ ( ∞ ) - ( ∞ ), nªn hay ¸p

dông çc kû thuËt tÝnh to¸n khö d¹ng v« ®Þnh nµy ®Ó gi¶i. §«i khi

viÖc ¸p dông cho phÐp tÝnh ®îc kÕt qu¶ giíi h¹n, nhng ®a sè çc trêng

hîp kh¸c chØ dÉn tíi çc d¹ng v« ®Þnh lo¹i kh¸c n÷a, ch¼ng h¹n:

VÝ dô 42: T×m −∞→xlim (x2 – x) = −∞→x

limxx

xx

+−2

24

= −∞→xlim

32

2

11

11

xx

x

+

− = +

∞ ;

VÝ dô 43 : T×m ( )xxx

−+−∞→

1lim 2 nÕu cø thùc hiÖn biÕn ®æi

( )1

11

1

lim

11

1

1lim

1

1lim1

22

2

2

++−=

−+−

=++

=−+−∞→−∞→−∞→

x

x

xx

xxxx

xxx (d¹ng00

)

Nªn ®èi víi nh÷ng d¹ng ®ã nÕu hiÓu ®îc b¶n chÊt vµ kÕt hîp víi

çc b¶ng kÕt qu¶ phÐp to¸n v« cùc ®· lËp (ë môc 2.1.4.3.e ) th× sÏ cã

ngay ®¸p sè:

VÝ dô 42 : −∞→xlim (x2 – x) = −∞→x

lim x2 - −∞→xlim x = + ∞

VÝ dô 43 : ( )xxx

−+−∞→

1lim 2 = −∞→xlim ( ) −+12x −∞→x

lim x = + ∞

HoÆc cã thÓ xÐt nh sau, cô thÓ:

VÝ dô 42 : −∞→xlim (x2 – x) = −∞→x

lim +∞=

−

xx

112

VÝ dô 43 : ( )xxx

−+−∞→

1lim 2 = −∞→xlim

+∞=

++−=

−+

−∞→1

11lim

11

2 xx

x

x

xx

x

www.vnmath.com

100

2.3. KÕt luËn ch¬ng 2

Ch¬ng 2 cña luËn v¨n lµm s¸ng tá thùc tr¹ng vÒ d¹y häc chñ ®Ò çc

kh¸i niÖm giíi h¹n b»ng viÖc m« t¶ nh÷ng khã kh¨n, sai lÇm cña häc sinh khi

gi¶i To¸n vÒ chñ ®Ò nµy mµ nguyªn nh©n chñ yÕu cña nh÷ng khã kh¨n,

sai lÇm lµ nh÷ng chíng ng¹i vÒ nhËn thøc khi häc çc kh¸i niÖm giíi h¹n. §Æc

biÖt trong viÖc më réng kh¸i niÖm giíi h¹n cña d·y vµ hµm sè sÏ kÐo theo mét

sè vÊn ®Ò khi d¹y häc vÒ çc kh¸i niÖm nµy .

Ch¬ng 2 nµy còng phÇn nµo lµm s¸ng tá nhËn ®Þnh çc quan

®iÓm gi¶i tÝch tõ ®ã ®· hÖ thèng hãa, ph©n tÝch, diÔn gi¶i ®îc nh÷ng

çch tiÕp cËn kh¸i niÖm chñ ®Ò giíi h¹n ®Ó thiÕt kÕ çch thøc, vÝ dô minh

ho¹ d¹y häc kh¸i niÖm vµ bµi tËp vÒ chñ ®Ò giíi h¹n theo híng ph¸t huy TTCNT

cña häc sinh. §iÒu nµy cho thÊy ph¬ng ph¸p d¹y häc nµy huy ®éng ®îc

häc sinh tham gia vµo qu¸ tr×nh nhËn thøc. NÕu ®îc rÌn luyÖn bëi ph¬ng

ph¸p d¹y häc ph¸t huy TTCNT cña häc sinh th× b¶n th©n çc em dÇn

dÇn cã nh÷ng phÈm chÊt vµ n¨ng lùc thÝch øng víi thêi ®¹i. ý thøc ®îc

môc ®Ých viÖc häc, tù nguyÖn tù gi¸c häc tËp cã ý thøc vµ tr¸ch nhiÖm

cao trong häc tËp, biÕt häc mäi lóc, mäi n¬i, tiÕn tíi biÕt tù häc, tù ®¸nh

gi¸.

www.vnmath.com

101

Ph¬ng ph¸p d¹y häc ph¸t huy TTCNT häc sinh kh«ng ph¶i lµ mét

ph¬ng ph¸p riªng lÏ mµ lµ mét hÖ thèng c¸c ph¬ng ph¸p t¸c ®éng liªn

tôc cña gi¸o viªn nh»m ph¸t huy TTCNT cña häc sinh, t duy ®éc lËp,

bao gåm c¶ trong ®ã nh÷ng pha ®Çu tiªn cña ph¬ng ph¸p d¹y häc s¸ng

t¹o, ®Ó cã ®îc phong c¸ch häc tËp cã hiÖu qu¶ ®ßi hái häc sinh ph¶i

thùc sù tù gi¸c, chñ ®éng cã ý thøc häc tËp cao .

Ch¬ng 3Thùc nghiÖm s ph¹m

3.1. Môc ®Ých thùc nghiÖm

Thùc nghiÖm s ph¹m ®îc tiÕn hµnh nh»m môc ®Ých kiÓm tra

tÝnh kh¶ thi vµ tÝnh hiÖu qu¶ cña viÖc d¹y häc chñ ®Ò kh¸i niÖm Giíi

h¹n líp 11- THPT theo híng ph¸t huy TTCNT cña häc sinh ; kiÓm

nghiÖm tÝnh ®óng ®¾n cña Gi¶ thuyÕt khoa häc.

3.2. Tæ chøc vµ néi dung thùc nghiÖm

3.2.1. Tæ chøc thùc nghiÖm

Thùc nghiÖm s ph¹m ®îc tiÕn hµnh t¹i trêng THPT NguyÔn C«ng

Trø, Nghi xu©n, Hµ tÜnh.

Líp thùc nghiÖm: 11A cã 51 häc sinh, gi¸o viªn d¹y §µo ThÞ Thu

Hµ ;

Líp ®èi chøng : 11B cã 57 häc sinh , gi¸o viªn d¹y Phan ThÞ

H»ng.

Víi chÊt lîng kh¶o s¸t ®Çu n¨m cña hai líp lµ t¬ng ®èi ®Òu nhau.

www.vnmath.com

102

Thêi gian thùc nghiÖm s ph¹m ®îc tiÕn hµnh trong 3 th¸ng theo

ph©n phèi ch¬ng tr×nh cña Bé Gi¸o dôc vµ §µo t¹o ë bé s¸ch Gi¶i

tÝch- §¹i sè líp 11, víi néi dung chñ ®Ò Giíi h¹n.

T¸c gi¶ chän mét sè chñ ®Ò d¹y thùc nhiÖm :

+ Giíi h¹n d·y sè ;

+ LuyÖn tËp vÒ bµi tËp Giíi h¹n cña hµm sè.

Víi sù phong phó cña bµi tËp néi dung chñ ®Ò nµy nªn mét sè bµi

tËp d¹ng cñng cè, n©ng cao, kh¾c s©u ®îc gi¶ng d¹y cho häc sinh

trong çc tiÕt häc tù chän ngo¹i khãa, phô ®¹o båi dìng.

3.2.2 . Néi dung thùc nghiÖm

Tæ chøc thùc hiÖn d¹y häc Ch¬ng Giíi h¹n

*) T¹i líp thùc nghiÖm

+ ) Gi¸o viªn thùc hµnh theo tiÕn tr×nh d¹y häc theo híng ph¸t huy

TTTNT cña häc sinh.

+) Quan s¸t ho¹t ®éng häc tËp cña häc sinh, ®¸nh gi¸ trªn hai mÆt

®Þnh tÝnh vµ ®Þnh lîng ®Ó nhËn ®Þnh kÕt qu¶ vÒ TTCNT cña häc

sinh.

*) T¹i líp ®èi chøng

+) Gi¸o viªn vÉn d¹y häc b×nh thêng kh«ng tiÕn hµnh nh ®èi víi líp

thùc nghiÖm vµ quan s¸t ®iÒu tra kÕt qu¶ häc tËp cña häc sinh ë líp

®èi chøng.

Thùc nghiÖm ®îc tiÕn hµnh trong 19 tiÕt Ch¬ng Giíi h¹n . Sau khi

d¹y thùc nghiÖm, chóng t«i cho häc sinh lµm cïng mét ®Ò ®èi víi bµi

kiÓm tra 1 tiÕt. Cô thÓ néi dung bµi kiÓm tra lµ:

§Ò kiÓm tra (45 phót ) :

C©u 1: T×m çc sè h¹ng cña d·y un = 9+nn

sao cho kho¶ng çch

cña chóng ®Õn sè 1 lµ : a) nhá h¬n 1 ; b) nhá h¬n 910

1

www.vnmath.com

103

C©u 2: H·y cho biÕt d·y sè nµo cã giíi h¹n ? NÕu d·y sè cã giíi h¹n

chØ ra giíi h¹n cña d·y sè ? KÓ tõ sè h¹ng thø mÊy trë ®i th× nz nhá

h¬n 0,00001 ?

a ) un = (-1)nn ; b) vn = (-1)n ; c) wn = n ; d) zn = ( )n

n1− .

C©u 3 : Cho ba hµm sè: ( )xf = 2

23 1

x

xx −+ ; ( )xg = x

xx 12 −− ; ( )xh =

x

x 12 −−

C¸c ®êng cong C1, C2, C3( h.1,2,3) lµ ®å thÞ cña ba hµm sè nµy,

xÐt trªn tËp R\{ }0 , (kh«ng xÕp theo thø tù).

a) Quan s¸t ®å thÞ vµ nªu nhËn xÐt dù ®o¸n giíi h¹n cña c¸c hµm sè

khi

x → 0+, x → 0 - , x→ - ∞ , x → + ∞ ?

b) ChØ dïng kÕt qu¶ tÝnh giíi h¹n cña hµm sè ( )xf , ( )xg , ( )xh khi:

x→ 0 - , x→ 0+, x→ - ∞ , x→ + ∞ tõ ®ã h·y x¸c ®Þnh ®êng

cong nµo lµ ®å thÞ cña hµm sè ®· cho ?

www.vnmath.com

xx x0 00

y yy

104

(H×nh 1 ) ( H×nh 2) ( H×nh 3 )

* Dông ý s ph¹m cña ®Ò kiÓm tra (45 phót) :

C©u 1: Còng nh»m kiÓm tra häc sinh cã n¾m ®îc b¶n chÊt kh¸i

niÖm d·y sè cã giíi h¹n L ≠ 0 qua vËn dông ®Þnh nghÜa, b»ng çch chØ

ra cô thÓ t¬ng øng víi tõng sè d¬ng (ë ®©y ngÇm hiÓu lµ sè ε ) t¬ng

øng cô thÓ;

C©u 2: KiÓm tra häc sinh n¾m v÷ng kh¸i niÖm ®Þnh nghÜa d·y cã

giíi h¹n, kh«ng ph¶i mäi d·y sè ®Òu lµ hoÆc cã giíi h¹n h÷u h¹n ( L ≠ 0 )

hoÆc cã giíi h¹n v« cùc ( ∞± ), nÕu d·y sè nµo cã giíi h¹n h·y chØ ra giíi

h¹n cña d·y sè b»ng çch vËn dông ®Þnh nghÜa vµ ¸p dông víi d·y sè

nz nhá h¬n 0,00001;

C©u 3 : Nh»m kiÓm tra häc sinh b»ng nhËn ®Þnh trùc quan dùa

vµo ®å thÞ nªu nhËn xÐt dù ®o¸n giíi h¹n cña çc hµm sè, råi tõ ®ã x¸c

www.vnmath.com

xx x0 00

y yy

105

®Þnh ®îc ®å thÞ nµo lµ cña hµm sè t¬ng øng .3.3. §¸nh gi¸ kÕt qu¶ thùc nghiÖm

3.3.1. §¸nh gi¸ ®Þnh tÝnh

Chñ ®Ò kh¸i niÖm giíi h¹n cña hµm sè lµ mét néi dung khã trong ch-

¬ng tr×nh to¸n THPT. Th«ng qua qu¸ tr×nh thùc nghiÖm, kiÓm tra chÊt l-

îng tr¶ lêi c©u hái, còng nh, bµi kiÓm tra cña häc sinh, cã thÓ rót ra mét sè

nhËn xÐt sau:

a) §èi víi líp d¹y thùc nghiÖm

Nh×n chung trong líp çc em tÝch cùc ho¹t ®éng, líp häc s«i næi

kh«ng khÝ tho·i m¸i giê häc ®· ph¸t huy ®îc TTCNT , tÝnh ®éc lËp s¸ng

t¹o v× ph¬ng ph¸p d¹y häc nµy huy ®éng ®îc häc sinh tham gia vµo qu¸

tr×nh nhËn thøc phï hîp víi tr×nh ®é tiÕp thu cña häc sinh. Nhng còng

cã mÆt h¹n chÕ lµ mét sè häc sinh trong líp cßn qu¸ bë ngì , qua t×m

hiÓu thùc tr¹ng häc tËp cña çc em cßn yÕu vµ thùc tÕ çc em cha thùc

sù ý thøc tham gia vµo ho¹t ®éng häc tËp mét çch tÝch cùc. Nh vËy víi

h×nh thøc d¹y häc nµy sÏ phï hîp h¬n víi tÊt c¶ çc ®èi t îng häc sinh nÕu

nh trong líp häc sinh chÊt lîng t¬ng ®¬ng nhau.

b) §èi víi líp häc ®èi chøng

Ho¹t ®éng häc tËp cña häc sinh cßn Ýt, chñ yÕu tiÕp thu kiÕn thøc

mét çch thô ®éng nªn khi më réng hay lµm bµi tËp tæng hîp hay n©ng

cao ®ßi hái ph¶i t duy th× çc em cha tù m×nh ph¸t hiÖn, ph¸t huy tÝnh

®éc lËp s¸ng t¹o mÆc dï çc kiÕn thøc c¬ b¶n ®ã çc em n¾m ®îc ®©y

lµ ®IÓm kh¸c biÖt cña líp ®èi chøng so víi líp ®îc d¹y thùc nghiÖm .

VËy thùc tÕ cho thÊy häc sinh ë líp ®îc d¹y thùc nghiÖm ®· ph¸t huy

®îc tÝnh tÝch cùc ®éc lËp s¸ng t¹o cã kh¶ n¨ng tiÕp thu kiÕn thøc míi

mét çch chñ ®éng h¬n nhiÒu so víi líp ®èi chøng .

3.3.2. §¸nh gi¸ ®Þnh lîng

www.vnmath.com

106

KÕt qu¶ lµm bµi kiÓm tra cña häc sinh 11A líp thùc nghiÖm (TN) vµ

häc sinh 11B líp ®èi chøng (§C) ®îc thÓ hiÖn th«ng qua 2 B¶ng thèng

kª sau ®©y;

B¶ng 1

LípTN: Sè häc sinh vµ (tû lÖ%)

§C: Sè häc sinh vµ (tû lÖ%)§iÓm

0 0 (0%) 0 (0%)

1 0 (0%) 0 (0%)

2 2 (3,9%) 0 (0%)

3 0 (0%) 3 (5,3%)

4 6 (11,8%) 13(22,8% )

5 7 (13,7%) 7 (12,3%)

6 7 (13,7%) 17 (29,8%)

7 10 (19,6%) 9 (15,8%)

8 9 (17,6%) 4(7%)

9 9 (17,6%) 4 (7%)

10 1 (2%) 0 (0%)

Líp TN §C

Trung b×nh 6,6 ®iÓm 5,8 ®iÓm

Tû lÖ ®¹t yªu cÇu 84,3% 71,9%

Tû lÖ ®iÓm kÐm 15,7% 28,1%

Tû lÖ ®iÓm trung b×nh

27,4% 42,1%

Tû lÖ ®iÓm kh¸ 37,2% 28,8%

Tû lÖ ®iÓm giái 19,6% 7%

B¶ng 1 cho thÊy: ®iÓm trung b×nh céng; tû lÖ ®¹t yªu cÇu; tû lÖ

®¹t ®iÓm kh¸, giái ë líp thùc nghiÖm cao h¬n so víi líp ®èi chøng.

www.vnmath.com

107

C©u hái ®Æt ra lµ: Cã ph¶i ph¬ng ph¸p d¹y ë líp thùc nghiÖm tèt

h¬n ph¬ng ph¸p d¹y ë líp ®èi chøng kh«ng, hay chØ do ngÉu nhiªn mµ

cã ?

Chóng ta ®Ò ra Gi¶ thuyÕt thèng kª H0: “Kh«ng cã sù kh¸c nhau

gi÷a hai ph¬ng ph¸p” vµ sö dông Ph¬ng ph¸p U[23, tr. 58] nh»m b¸c bá

H0 (xem b¶ng)

B¶ng 2

§iÓm sè XÕp h¹ngTN §C TN §C2 2 1,5 1,5

3 3 3 4 4 44 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

44 4 4 4 4 4

15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 1515 15 15 15 15 15

5 5 55 5 5 5

5 5 55 5 5 5

36,5 36,5 36,536,5 36,5 36,5 36,5

36,5 36,5 36,536,5 36,5 36,5 36,5

6 6 66 6 6 6

6 6 6 6 66 6 6 6 6 66 6 6 6 6 6

55,5 55,5 55,555,5 55,5 55,5 55,5

55,5 55,5 55,5 55,5 55,555,5 55,5 55,5 55,5 55,5

55,555,5 55,5 55,5 55,5 55,5

55,57 7 7 7 77 7 7 7 7

7 7 7 7 7 77 7 7

77 77 77 77 7777 77 77 77 77

77 77 77 77 77 7777 77 77

8 8 8 8 88 8 8 8

8 8 8 8 93 93 93 93 9393 93 93 93

93 93 93 93

9 9 9 9 99 9 9 9

9 9 9 9 106 106 106 106 106 106

106 106 106 106

106 106 106 106

10 113

n1 = 51 n2 = 57 R1 = 3411 R2 = 2696

2

)1n(nRU 1111

+−= = 3411 - 25251×

= 3411 – 1326 = 2085

2

)1n(nRU 22

22

+−= = 2696 - 25857×

= 2696 – 1653 = 1043

2

nn 21 ×=µ =

25751×

= 1453,5 ; 12

)1nn(nn 2121 ++=σ = 161

u = σµ−1U =

2318 1350

153,7

− = 3,92

Víi møc ý nghÜa α = 0,05 th× gi¸ trÞ tíi h¹n αU = 1,64.

www.vnmath.com

108

V× u = 3,92 > 1,64 = αU nªn Gi¶ thuyÕt H0 bÞ b¸c bá. VËy ph¬ng ph¸p d¹y ë líp thùc nghiÖm tèt h¬n so víi ph¬ng ph¸p

d¹y ë líp ®èi chøng.

3.4. KÕt luËn chung vÒ thùc nghiÖm

Qu¸ tr×nh thùc nghiÖm cïng nh÷ng kÕt qu¶ rót ra sau thùc nghiÖm

cho thÊy: môc ®Ých thùc nghiÖm ®· ®îc hoµn thµnh, tÝnh kh¶ thi vµ

hiÖu qu¶ cña çc quan ®iÓm ®· ®îc kh¼ng ®Þnh. Thùc hiÖn çc ph¬ng

thøc ®ã sÏ gãp phÇn ph¸t huy TTCNT cña häc sinh, ®ång thêi gãp phÇn

quan träng vµo viÖc n©ng cao hiÖu qu¶ d¹y häc m«n To¸n ë trêng

THPT.

KÕt luËn

LuËn v¨n ®· thu ®îc nh÷ng kÕt qu¶ chÝnh sau ®©y:

1. §· hÖ thèng hãa çc quan ®iÓm cña nhiÒu nhµ khoa häc vÒ çch

ph¸t huy TTTCN cña häc sinh trong d¹y häc nãi chung, còng nh trong d¹y

häc ®Æc thï cña bé m«n To¸n nãi riªng ;

www.vnmath.com

109

2. LuËn v¨n lµm s¸ng tá nhËn ®Þnh çc quan ®iÓm gi¶i tÝch tõ ®ã

®· hÖ thèng hãa, ph©n tÝch, diÔn gi¶i ®îc nh÷ng çch tiÕp cËn chñ ®Ò

kh¸i niÖm giíi h¹n ;

3. §· ®Ò xuÊt ®îc xu híng d¹y häc phï hîp víi viÖc tËp luyÖn cho häc

sinh ph¸t huy ®îc TTCNT cô thÓ lµ x©y dùng ®îc n¨m ph¬ng thøc s ph¹m

th«ng qua d¹y häc chñ ®Ò çc kh¸i niÖm giíi h¹n cña gi¶i tÝch ë bËc THPT;

4. §· phÇn nµo lµm s¸ng tá thùc tr¹ng vÒ d¹y häc chñ ®Ò çc kh¸i

niÖm giíi h¹n b»ng viÖc m« t¶ nh÷ng khã kh¨n, sai lÇm cña häc sinh khi

gi¶i To¸n vÒ chñ ®Ò nµy mµ nguyªn nh©n chñ yÕu cña nh÷ng khã kh¨n,

sai lÇm nµy lµ sù chíng ng¹i vÒ nhËn thøc khi häc çc kh¸i niÖm giíi h¹n.

§Æc biÖt trong viÖc më réng kh¸i niÖm giíi h¹n cña d·y vµ hµm sè sÏ kÐo

theo mét sè vÊn ®Ò cÇn quan t©m khi d¹y häc vÒ çc kh¸i niÖm nµy ;

5. ThiÕt kÕ çch thøc, vÝ dô minh ho¹ d¹y häc theo híng nh»m ph¸t

huy TTCNT cña häc sinh th«ng qua d¹y häc kh¸i niÖm vµ d¹y häc bµi tËp

vÒ chñ ®Ò giíi h¹n;

6. §· tæ chøc thùc nghiÖm s ph¹m ®Ó minh häa tÝnh kh¶ thi vµ hiÖu

qu¶ cña nh÷ng gi¶i ph¸p ph¬ng thøc ®· ®Ò xuÊt x©y dùng;

Nh vËy, cã thÓ kh¼ng ®Þnh r»ng: Môc ®Ých nghiªn cøu ®· ®îc thùc

hiÖn, NhiÖm vô nghiªn cøu ®· hoµn thµnh vµ Gi¶ thuyÕt khoa häc lµ chÊp

nhËn ®îc.

Tµi LiÖu Tham Kh¶o

[1] Lª Quang Anh, (1995)

Giíi h¹n d·y sè, Nxb §ång Nai.

www.vnmath.com

110

[2] NguyÔn Ngäc B¶o, (1995)

Ph¸t triÓn tÝnh tÝch cùc, tÝnh tù lùc cña häc sinh trong qu¸

tr×nh d¹y

häc, Nxb Gi¸o dôc.

[3] NguyÔn VÜnh CËn, Lª Thèng NhÊt, Phan Thµnh Quang, (1996)

Sai lÇm phæ biÕn khi gi¶i to¸n, Nxb Gi¸o dôc.

[4] Phan §øc ChÝnh, Ng« H÷u Dòng, (1996)

Bé s¸ch §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11, Nxb Gi¸o dôc.

[5] Phan §øc ChÝnh, Ng« H÷u Dòng, Hµn Liªn H¶i, TrÇn V¨n H¹o,

(1995)

Bé s¸ch §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11 Ban TN, Nxb Gi¸o dôc.

[6] Phan §øc ChÝnh, TrÇn V¨n H¹o, Ng« Xu©n S¬n, (1996)

Bé s¸ch §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11 Ban KHTN, Nxb Gi¸o dôc.

[7] Vò Cao §µm, (2005)

Ph¬ng ph¸p luËn nghiªn cøu khoa häc, Nxb- KHKT.

[8] Vâ Giang Giai, NguyÔn Ngäc Thu, (2006)

Mét sè bµi to¸n vÒ d·y sè c¸c ®Ò thi OLYMPIC 30-4, Nxb §HQG

HN.

[9] TrÇn V¨n H¹o (Chñ biªn phÇn I), Cam Duy LÔ Ng« Thóc Lanh

(Chñ

biªn phÇn II) Ng« Xu©n S¬n, Vò TuÊn, (2000)

Bé s¸ch §¹i sè vµ Gi¶i tÝch11 (S¸ch chØnh lý hîp nhÊt 2000), Nxb Gi o dôc.

[10] TrÇn V¨n H¹o, cïng céng sù, (2004)

Bé 2, bé s¸ch §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11, Nxb Gi¸o dôc.

[11] Ph¹m V¨n Hoµn, NguyÔn Gia Cèc, TrÇn Thóc Tr×nh, (1981)

Gi¸o dôc häc m«n to¸n , Nxb Gi¸o dôc, Hµ Néi.

[12] TrÇn B¸ Hoµnh cïng, céng sù, (2002)

¸p dông d¹y vµ häc tÝch cùc trong m«n to¸n, Nxb §HSP.

www.vnmath.com

111

[13] NguyÔn Th¸i Hße, (1989)

T×m tßi lêi gi¶i c¸c bµi to¸n vµ øng dông vµo viÖc d¹y to¸n, häc to¸n, Nxb

Gi o dôc.

[14] NguyÔn Phô Hy, (2003)

øng dông giíi h¹n ®Ó gi¶i to¸n THPT, Nxb Gi¸o dôc.

[15] Phan Huy Kh¶i, (1998)

To¸n n©ng cao §¹i sè vµ Gi¶i tÝch líp 11, Nxb §H QG Hµ Néi.

[16] Phan Huy Kh¶i, (2001)

Giíi thiÖu c¸c d¹ng to¸n luyÖn thi ®¹i häc (tËp III), Nxb Hµ Néi.

[17] Phan Huy Kh¶i, (2000)

To¸n båi dìng häc sinh THPT, Nxb Hµ néi.

[18] Kharlamop I. F, (1987)

Ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cña häc sinh nh thÕ nµo? (tËp I), Nxb

Gi¸o dôc.

[19] Kharlamop I. F, (1987)

Ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cña häc sinh nh thÕ nµo? (tËp II), Nxb Gi¸o

dôc.

[20] NguyÔn B¸ Kim, (1999)

Häc tËp trong ho¹t ®éng vµ b»ng ho¹t ®éng, Nxb Gi¸o dôc.

[21] NguyÔn B¸ Kim, (2006)

Ph¬ng ph¸p d¹y häc m«n To¸n, Nxb Gi¸o dôc.

[22] NguyÔn B¸ Kim, Vò D¬ng Thôy, (1997)

Ph¬ng ph¸p d¹y häc M«n To¸n, Nxb Gi¸o dôc.

[23] NguyÔn B¸ Kim,Vò D¬ng Thôy, Ph¹m V¨n KiÒu, (1997)

Ph¸t triÓn lý luËn d¹y häc m«n To¸n ( tËp 1)-NCKHGD, Nxb Gi¸o

dôc.

[24] Ng« Thóc Lanh, cïng céng sù, (1992)

www.vnmath.com

112

Bé s¸ch §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11 , Nxb Gi¸o dôc.

[25] Ng« Thóc Lanh, (1997)

T×m hiÓu gi¶i tÝch phæ th«ng, Nxb Gi¸o dôc.

[26] Lª Quang Long, (1999)

Thö ®i t×m nh÷ng PPDH hiÖu qu¶, Nxb Gi¸o dôc.

[27] NguyÔn V¨n MËu, (2001)

Giíi h¹n d·y sè vµ hµm sè, Nxb Gi¸o dôc.

[28] TrÇn Thµnh Minh, (2000)

Gi¶i to¸n §¹i sè vµ Gi¶i tÝch líp 11, Nxb Gi¸o dôc.

[29] Bïi V¨n NghÞ, cïng céng sù, (2005)

Tµi liÖu BD TX cho gi o viªn THPT chu kú III, ViÖn nghiªn cøu

SP.

[30] Lª ViÕt Ng, Phan V¨n Danh, NguyÔn §Þnh, Lª V¨n H¹p, NguyÔn

Hoµng, (1998)

To¸n cao cÊp Gi¶i tÝch-hµm mét biÕn(tËp hai), Nxb Gi¸o dôc, Hµ

Néi.

[31] Ph¹m Quèc Phong, (2004)

Chuyªn ®Ò n©ng cao to¸n THPT §¹i sè vµ Gi¶i tÝch, Nxb §H QG.

[32] NguyÔn Lan Ph¬ng, (2000)

C¶i tiÕn ph¬ng ph¸p d¹y häc to¸n víi yªu cÇu tÝch cùc hãa ho¹t ®éng häc

tËp theo

híng gióp häc sinh ph t hiÖn vµ gi¶i quyÕt vÊn ®Ò qua phÇn gi¶ng d¹y

''quan hÖ

vu«ng gãc trong kh«ng gian'' líp 11 THPT. LuËn n tiÕn sÜ .

[33] TrÇn Ph¬ng, NguyÔn §øc TÊn, (2004)

Sai lÇm thêng gÆp vµ c¸c s¸ng t¹o khi gi¶i to¸n, Nxb Hµ Néi .

[34] Polia.G, (1997)

Gi¶i bµi to¸n nh thÕ nµo?, Nxb Gi¸o dôc.

www.vnmath.com

113

[35] Polia.G, (1995)

S¸ng t¹o to¸n häc, Nxb Gi¸o dôc.

[36] Polia.G, (1995)

To¸n häc vµ nh÷ng suy luËn cã lý, Nxb Gi¸o dôc.

[37] §oµn Quúnh, cïng céng sù, (2004)

Bé 1, bé s¸ch §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11, Nxb Gi¸o dôc.

[38] §oµn Quúnh, cïng céng sù, (2006)

Tµi liÖu båi dìng –gi o viªn- m«n To¸n, Nxb Gi¸o dôc.

[39] TrÇn QuyÕt Th¾ng, cïng céng sù, (1995)

Kû yÕu héi nghÞ chuyªn ®Ò ®æi míi ph¬ng ph¸p DH m«n to¸n ë

PT,Vinh.

[40] TrÇn V¨n Th¬ng, Ph¹m §×nh, Lª V¨n §ç, (1995)

Ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n §¹i sè vµ Gi¶i tÝch líp 11, Nxb Gi¸o dôc.

[41] §Æng ThÞ D¹ Thñy, (1999)

Ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cña häc sinh trong lµm viÖc víi SGK - NC

GD.

[42] Lª V¨n TiÕn, (2000)

Mét sè quan ®iÓm kh¸c nhau vÒ gi¶ng d¹y gi¶i tÝch ë trêng phæ

th«ng,

T¹p chÝ Nghiªn cøu Gi¸o dôc, sè 338 vµ sè 339.

[43] NguyÔn C¶nh Toµn, (2006)

Nªn häc to¸n thÕ nµo cho tèt? , Nxb Gi¸o dôc.

[44] TrÇn Thóc Tr×nh, (1998)

C¬ së lý luËn d¹y häc n©ng cao, Nxb Hµ Néi.

[45] Th¸i Duy Tuyªn, ( 2001)

Gi¸o dôc häc hiÖn ®¹i, Nxb §H QG.

www.vnmath.com

114

www.vnmath.com

115

www.vnmath.com

116

tailieu.vncty.com day-hoc-gioi-han-phat-huy-tinh-tcnt

Documents