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8/17/2019 talle algebra

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SOLUCION AL TALLER DE ALGEBRA LINEAL

1. Utilice le método de eliminación de Gauss-Jordán, para encontrar todas las

soluciones (si existen) de los siguiente sistemas lineales:

1.1.

Solución:

Reescribimos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvamos por el

método de eliminación de Gauss-Jordán:

|

+Multiplicamos la fila 1 por -5 y se la sumamos a la fila 2.

Multiplicamos la fila 1 por 4 y se la sumamos a la fila 3.

|+

Dividimos la fila por 13:

⁄ | +Multiplicamos la fila 2 por 4 y se la sumamos a la fila 1.


⁄ ⁄ ⁄

|

+Dividimos a fila 3 por ⁄ :

⁄ ⁄ |+


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Multiplicamos la fila 3 por ⁄ y se la sumamos a la fila 1.Multiplicamos la fila 3 por ⁄ y se la sumamos a la fila 2.

|

+Finalmente:

1.2. Solución:

El sistema de ecuaciones no tiene solución debido a que el sistema solo posee dosecuaciones con 3 variables desconocidas (incógnitas).

1.3. Solución:

Reescribimos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvamos por elmétodo de eliminación de Gauss-Jordán:

(

)

Multiplicamos la fila 1 por -5 y se la sumamos a la fila 2.



)


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Dividamos la fila 2 por 13:

(

⁄

⁄

⁄ )




(

⁄ ⁄ ⁄ ⁄

⁄ ⁄ ⁄ ⁄

⁄ ⁄ ⁄ ⁄ )

Dividimos la fila 3 por ⁄ :

(

⁄ ⁄ ⁄

⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ )

Multiplicamos la fila 3 por ⁄ y se la sumamos a la fila 1.Multiplicamos la fila 3 por

⁄ y se la sumamos a la fila 3.

Multiplicamos la fila 3 por ⁄ y se la sumamos a la fila 4.

⁄ ⁄ ⁄ ⁄

⁄ ⁄ ⁄ ⁄ )

Dividimos la fila 3 por ⁄ :

( ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄⁄ )

Multiplicamos la fila 4 por ⁄ y se la sumamos a la fila 1.Multiplicamos la fila 4 por ⁄ y se la sumamos a la fila 2.Multiplicamos la fila 4 por ⁄ y se la sumamos a la fila 3.


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(

⁄ ⁄ ⁄⁄ )

Finalmente:

⁄ ⁄ ⁄ ⁄ 1.4.

Solución:

Reescribimos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvamos por el

método de eliminación de Gauss-Jordán:

|+



| +Dividimos la fila 2 por 13:

|+


| +Finalmente, el sistema de ecuación no tiene solución, debido a que: 0 ≠ -16


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2. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la factorización LU .

Solución:

Armamos la matriz:

⃗ ⁄ ⁄ ⃗

⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ,

⁄ ⃗

⁄

⁄ ⁄ ,

Luego, la matriz U será:

⁄ ⁄ ⁄ ,

Ahora armaremos la matriz L:

⁄ ⁄ ⁄ , Luego, usando la matriz L, el nuevo conjunto de ecuaciones quedara de la siguiente

manera:


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{ ⁄ ⁄ ⁄ Resolviendo el sistema de ecuaciones anteriores, obtenemos:

⁄ ⁄ ⁄

*

Ahora armaremos nuestro nuevo sistema de ecuaciones: {

⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ Resolvemos el sistema de ecuaciones que está en rojo: ⁄ ⁄ ⁄ ⁄

⁄ ⁄ ⁄ ⁄


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* ⁄

* * ⁄

* * * ⁄ 3. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la inversa (utilice el

método que prefiera para hallar ).

Solución:

Primero que toda, armaremos la matriz a utilizar:

+ Ahora, calculamos el determinante:

Luego, hallamos la matriz transpuesta de :

+


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Calculamos los determinantes de los cofactores de la matriz transpuesta:

Armamos la matriz Adjunta, con los determinantes de los cofactores hallados

anteriormente:

+ Finalmente, tenemos que:

Del mismo modo, tenemos que:

Donde: Es la matriz de las incógnitas a encontrar Es la matriz de los términos independientes+

+

+

+

+

+


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Finalmente: 4.

Encuentre las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta que:

4.1. Contiene a los puntos y Solución:

Si , y , entonces:

De la igualdad anterior se tiene que: Si de las anteriores ecuaciones despejamos , tenemos que:

Por consiguiente: Primero que todo, debemos encontrar en vector de la recta, que contiene a los puntos y:

[] [ ] [ ]

Luego de haber calculado el vector , y teniendo un punto (), calculamos la ecuación de larecta:


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Armamos las ecuaciones paramétricas:

Luego, armamos las ecuaciones simétricas:

4.2. Contiene a y es paralela a la recta Solución:

Como el vector de dirección de la recta pedida es paralelo al vector de dirección de la recta

antes descrita, podemos armar las ecuaciones simétricas y paramétricas que rigen el

sistema: Armamos las ecuaciones paramétricas:

Luego, armamos las ecuaciones simétricas: 5. Encuentre la ecuación general del plano que:

5.1. Contiene a los puntos

,

y

Solución:

Recordemos que el producto cruz de los dos vectores directores del plano es un vector

perpendicular a estos dos y por lo tanto este vector es perpendicular a cualquier vector del

plano. Sea ⃗ , el vector obtenido del producto vectorial de los dos vectoresformados con los tres puntos dados del plano, y . Si es un puntocualquiera del plano, ⃗ ⃗ o ⃗ , son vectores que están en el plano y por tanto


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⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ , Cualquiera de estas igualdades conduce a laecuación del plano. Donde ⃗ es el vector normal del plano.

[ ] ⃗

Hallamos el vector normal:⃗ ⃗ ⃗

⃗ [] [ ] [ ] ⃗ [] [ ] [ ]

⃗

⃗ | | ⃗ [ ] [ ] [ ] ⃗ ⃗

De la , tenemos que: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

5.2. Contiene al punto y tiene como vector normal a⃗ ̂̂ Solución:

Como ya sabemos:


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⃗ ⃗ ⃗ ⃗

⃗

6. Encuentre todos los puntos de intersección de los planos:

Solución:

Recordemos que la intersección de dos planos es una línea recta común a ambos planos.

Para hallar la intersección de los planos dados, debemos hallar el vector director de larecta intersección. El vector se halla mediante el producto vectorial de los vectoresnormales de los planos dados, entonces tenemos que:

⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗ | | ⃗ [ ] [ ] [ ] ⃗

Luego de haber hallado el vector director , nos hace falta un punto común a ambos planos. Para ello, escogemos un valor arbitrario a una variable y obtenemos las otras dos.Tomemos el valor , entonces hallaremos el valor de y de :• Para el plano :


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• Para el plano :

Tenemos entonces un sistema de ecuaciones de 2x2:

Multiplicamos la por -1 y se la sumamos a la :

Sustituimos el valor de en la : *


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Luego, el punto común a ambos planos es:

* Luego de hallar el vector director y un punto de la recta buscada, hallamos la ecuaciónrecordando que si

es una recta que pasa por los puntos

, entonces, la

ecuación vectorial de es: *

7.

Demuestre que el conjunto formado por los vectores de , constituyen un espaciovectorial.

NOTA: muestre que cada uno de los axiomas se satisface

Solución:

Sea un conjunto no vacío en el cual se han definido dos operaciones, llamadas suma ymultiplicación por escalar (dados los elementos y de y un escalar de , la suma de y la denotamos y la multiplicación por escalar de por la denotamos ). Silas siguientes propiedades o axiomas se satisfacen para todo , y de y para todo parde escalares y de , entonces se dice que es un espacio vectorial real y sus elementosson llamados vectores.

Para la Suma:


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Para la Multiplicación:

Comprobación de los Axiomas.

Sean los vectores

:


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