taller 3_15

UTN-FRSRANALISIS MATEMTICO II

Unidad Temtica I - Campos Escalares y VectorialesTALLER N 3 Derivadas Parciales

Dada una funcin f , y fijado un punto (condiciones iniciales), para saber cunto incide sobre f unpequeo cambio en una de las variables dejando constantes las dems (sensibilidad al cambio) se

calcula la derivada parcial de f con respecto a la variable cuyo efecto se quiere determinar.Mide la tasa de variacin (instantnea) de la variable dependiente cuando permanecen constantes

todas las variables independientes excepto una, la que vara una cantidad " pequea "Dada una z = f (x, y) , fijar un punto Po (xo, yo) significa considerar una condicin inicial;"la derivada parcial de f con respecto a x en Po mide la tasa de variacin (instantnea)de la variabledependiente cuando permanecen constantes todas las variables independientes excepto una, en estecaso y=yo, mientras x vara una cantidad " pequea"-para las aplicaciones, infinitesimal en formaestricta matemtica- " CONCEPTOSDefinicin- Interpretacin geomtrica - Interpretacin como tasa de variacin instantnea - Ecuacionesrectas tangentes- Derivadas Parciales sucesivas- Derivadas de funciones implcitas- Aplicaciones- OBJETIVOS interpretar el concepto de derivacin parcial en problemas de distintas disciplinas. calcular las derivadas parciales de un campo escalar por definicin (funcin derivada parcial); aplicar dicha definicin para calcular las derivadas parciales de una funcin en un punto (un escalar, siel lmite existe) calcular derivadas parciales empleando reglas de derivacin; interpretar geomtricamente el concepto de derivada parcial y aplicarlo; encontrar las ecuaciones de la recta tangente y la curva involucradas en cada caso, y graficarlas enR3, tanto en papel como en el Mathematica; calcular derivadas parciales sucesivas por definicin y por regla; calcular derivadas parciales de funciones implcitas;Nota: los items con sealados con * son optativos.

Para comenzarQu producir un cambio ms rpido en el volumen de un cilindro de radio 5 cm y altura 10 cm : unincremento de 1 cm en el radio o un incremento de un cm en la altura?

V[r_, h_] = Pi r2 h;rV[r, h] /. {r 5, h 10}100 hV[r, h] /. {r 5, h 10}25

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Conclusin : ........................................................

Vr[r_, h_] = rV[r, h]Vh[r_, h_] = hV[r, h]2 h r r2

Interpretacin geomtrica. Grafiquemos en el Math la funcin, y las curvas y las rectas tangentesinvolucradas en cada caso:g1 = Plot3D[V[r, h], {r, 0, 5.5}, {h, 0, 11}, Mesh False];g2 = ParametricPlot3D[{r, 10, V[r, 10]},{r, 0, 6}, AspectRatio 3, PlotStyle Red];(*ec curva interseccin superficie y el plano h=10*)g3 = ParametricPlot3D[{r, 10, V[5, 10] + Vr[5, 10] (r - 5)},{r, 0, 6}, AspectRatio 3, PlotStyle Green];(*ec recta tang a la curva interseccin superficie y el plano h=10*)g4 = ParametricPlot3D[{5, h, V[5, h]},{h, 0, 11}, AspectRatio 3, PlotStyle Magenta];(*ec curva interseccin superficie y el plano r=5*)g5 = ParametricPlot3D[{5, h, V[5, 10] + Vh[5, 10] (h - 10)},{h, 0, 11}, AspectRatio 3, PlotStyle Blue];(*ec recta tang a la curva interseccin superficie y el plano r=5*)GraphicsRow[{g1, g2, g3, g4, g5}]

g6 = ParametricPlot3D[{5, h, V}, {h, 0, 11}, {V, 0, 1500}, AspectRatio 3,PlotStyle {Cyan, Opacity[0.3]}, Mesh False]; (*ec del plano r=5*)

g7 = ParametricPlot3D[{r, 10, V}, {r, 0, 6}, {V, 0, 1500}, AspectRatio 3,PlotStyle {Yellow, Opacity[0.3]}, Mesh False];(*ec del plano h=10*)

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Show[g1, g2, g3, g5, g4, g6, g7]

Vamos por una sola celda interactiva (si quieres djalo para un rato libre) 1- Clculo de derivadas parciales por definicinNota: Salva la indeterminacin aplicando la Regla de L'Hopital.

1.1) Calcula por definicin las derivadas parciales de primer orden para la funcin:z = f [x,y] = 3 x2 y - 2 y + 3 x2 . Verifica mediante derivacin directa.

1.2) Calcula por definicin las derivadas parciales de primer orden para la funcin: z = f [x,y] = 4 + 2 x88 - 3 x - x y2 en el punto (-2,1) . Verifica mediante derivacin directa.

1.3) Sea w = f (x,y,z) una funcin de tres variables independientes a) Escribe la definicin formal de la derivada parcial de la funcin respecto a z en el punto

P(x0, y0, z0), fz en (x0, y0, z0) ; b) Emplea la definicin anterior para calcular fz (1,2,3) de f (x,y,z) = x2y z2

2- Derivacin por reglasCalcula las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones:f1[x, y] = 5 x - 7 x2 + 3 x - y2 - 6 y + y + 2f2[x, y] = x3 - 1 (y + 5);f1[x_, y_] = 5 x - 7 x2 + 3 x - y2 - 6 y + y + 2;f2[x_, y_] = x3 - 1 (y + 5);

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xf1[x, y], yf1[x, y]{8 - 14 x, -5 - 2 y}xf2[x, y], yf2[x, y] // Expand15 x2 + 3 x2 y, -1 + x3

f3[x, y] = xy2 - 3 x;f3[x_, y_] = xy2 - 3 x;xf3[x, y], yf3[x, y] // Together 1 - 3 y2

y2, - 2 x

y3

f4[x, y] = 3 x - yx + 2 yf4[x_, y_] = 3 x - yx + 2 y ;xf4[x, y], yf4[x, y] // Together 7 y(x + 2 y)2 , - 7 x(x + 2 y)2

f5[x,y]= Sin [2 x] *Cos2 y3 f6[x,y]= 4 xy 2-1f5[x_, y_] = Sin [2 x] * Cos2 y3 ; f6[x_, y_] = 4 xy 2 - 1 ;xf5[x, y], yf5[x, y]xf6[x, y], yf6[x, y]2 Cos2 Cos[2 x] y3 , 13 Cos2 Sin[2 x] y3 2

x -1 + y2 , - 8 x y-1 + y22


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f7[x,y]= x3 + y2 23 f8[x,y]= e-x Sin [x + y]f7[x, y] = x3 + y2

23 ; f8[x, y] = -x Sin [x + y];

xf7[x, y], yf7[x, y]xf8[x, y], yf8[x, y] 2 x2x3 + y2 1/3 ,

13 x3 + y2 1/3

{-x Cos[x + y] - -x Sin[x + y], -x Cos[x + y]} f9[x,y]= Log [ x2- 3 x y] (Log=ln) f10[x,y]= Tan yx f9[x_, y_] = Log x2 - 3 x y (*Log=ln*) ; f10[x_, y_] = Tan yx ;xf9[x, y], yf9[x, y]xf10[x, y], yf10[x, y] 2 x - 3 yx2 - 3 x y , - 3 xx2 - 3 x y

- y Sec yx 2x2

,Sec yx 2

x g[x,y,z]= x y z f[x,y,z] = ln [x+2 y+3 z]

g[x_, y_, z_] = x y z ; f[x_, y_, z_] = Log[x + 2 y + 3 z];xg[x, y, z], yg[x, y, z], zg[x, y, z]xf[x, y, z], yf[x, y, z], zf[x, y, z]x-1+y z y z, xy z z Log[x], xy z y Log[x] 1x + 2 y + 3 z , 2x + 2 y + 3 z , 3x + 2 y + 3 z

3- Aplicaciones geomtricas3.1) Halla las pendientes de las curvas que se obtienen, al intersectar la superficie Z = x2+ 4 y2 con losplanos que pasan por el punto P(2,1,8) y son paralelos a los planos coordenados XZ e YZ. Da laecuacin de la recta tangente a cada una de las curvas anteriores, en P. Grafica sin, y con PC.3.2) Encuentra la pendiente de la recta tangente en (1,2,-10) a la curva que resulta de la interseccin dela superficieZ = - 2 x2- 2y2 con: a) el plano x=1 ; b) el plano y=2.En cada caso da la ecuacin de la recta tangente y de la curva involucradas, y grafica en papel y en elMath.


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3.1) Halla las pendientes de las curvas que se obtienen, al intersectar la superficie Z = x2+ 4 y2 con losplanos que pasan por el punto P(2,1,8) y son paralelos a los planos coordenados XZ e YZ. Da laecuacin de la recta tangente a cada una de las curvas anteriores, en P. Grafica sin, y con PC.3.2) Encuentra la pendiente de la recta tangente en (1,2,-10) a la curva que resulta de la interseccin dela superficieZ = - 2 x2- 2y2 con: a) el plano x=1 ; b) el plano y=2.En cada caso da la ecuacin de la recta tangente y de la curva involucradas, y grafica en papel y en elMath.

4- Relacin entre continuidad de una funcin en un punto y la existencia de las derivadas parciales en l.En los problemas 4.1, 4.2 y 4.3 analiza la continuidad de la funcin en el punto indicado, investiga la existencia de lasderivadas parciales en l, grafica en el Mathematica, interpreta los resultados obtenidos y extrae conclusiones.

4.1) Calcula por definicin las derivadas parciales en el origen , si existen para Z = y2 + x234.2) Idem anterior para la funcin definida por dos condiciones :

F[x,y] = 3 x3x2+y2 si (x, y) (0, 0)0 en (0, 0)

4.3) Dada la funcin definida por dos condiciones: f(x,y) = 0, x y 01, x y = 0 investiga las derivadas parciales en elorigen. Grafica. Extrae conclusin.

5- Las aplicaciones ms importantes: como tasa de variacin5.1) El potencial electrosttico en un punto P[x,y] del plano debido a una carga puntual unitaria en el origen estdado por: U= 1

x2+y2 . Determina en (3,4) la razn de cambio de U en la direccin: a) del eje x; b) del eje y .5.2) La funcin S [w, h] = 2 w0.4 h0.7 relaciona el rea de superficie de una persona (en m2) en funcin delpeso w (en kg) y de la estatura h(en m). Si w=70 y h=1.8 determina Sw y Sh e interpreta los resultados (ser tilexpresar el resultado en unidades ms significativas para este problema).5.3) De acuerdo con la ley del gas ideal para un gas encerrado se cumple : P V = k T siendo k una constantede proporcionalidad, P Ncm2 la presin , Vcm3) es el volumen y T (K) es la temperatura,Supone un estado inicial en el que el volumen de un gas en un recipiente es 100 cm3, P= 7.2 Ncm2 , T= 90K y k=8 .

a) Determina la intensidad de cambio instantnea de P por unidad de cambio en T, si V se mantiene fijo en 100.b) Determina aproximadamente la variacin (incremento) en la presin si la temperatura se eleva a 92 . Ten presentelos datos de a).c) Obtiene la razn de cambio instantnea de V por unidad de cambio de P si T se mantiene fija en 90 (tasa devariacin del Volumen si T=cte=90 y la presin aumenta 1 unidad (infinitesimal para la matemtica, 1 Ncm2 para laaplicacin, entendindose que ahora si ser una tasa aproximada, media, pero es til.d) Supone que la temperatura se mantiene constante. Emplea c) para determinar la variacin aproximada en elvolumen que se necesita para producir el mismo cambio en la presin que se obtuvo en b)0.16 Ncm3 .

5.4) Productividad Marginal: Consideremos la funcin de produccin de Cobb Douglas f(x,y)= 100 x0.6 y0.4

Cuando x=1000, e y=500, halla: a) la productividad marginal del trabajo xf b) la productividad marginal del capital yf

5.5) El rea de un paralelogramo de lados adyacentes a y b, con ngulo entre ellos, viene dada por: A= a b sen( ) a) calcula el ritmo de cambio de A respecto de a para: a = 10, b = 20 y = 6 b) calcula el ritmo de cambio de A respecto de para: a = 10, b = 20 y = 6

5.6) Temperatura aparenteUna medida de cmo siente una persona el calor lo da el ndice de temperatura aparente, que admite como modelo:A= 0.885 t - 22.4 h + 1.2 t h- 0.544 dondeA es la temperatura aparente en C, t la temperatura del aire, y h la humedad relativa en forma decimal (fuente: TheUMAP Journal, 1984)a) Hallar: A t y la A h , cuando t= 30 y h=0.80;b) Qu influye ms sobre A la temperatura del aire o la humedad?. Explica la respuesta.


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Una medida de cmo siente una persona el calor lo da el ndice de temperatura aparente, que admite como modelo:A= 0.885 t - 22.4 h + 1.2 t h- 0.544 dondeA es la temperatura aparente en C, t la temperatura del aire, y h la humedad relativa en forma decimal (fuente: TheUMAP Journal, 1984)a) Hallar: A t y la A h , cuando t= 30 y h=0.80;b) Qu influye ms sobre A la temperatura del aire o la humedad?. Explica la respuesta.5.7) Costes MarginalesUna empresa produce dos modelos de un mismo producto. El coste de produccin de x unidades del 1e y unidades del 2 viene dado por: C(x,y)= 32 x y +175 x + 205 y + 1050a) Calcular los costes marginales Cx , Cy cuando x=80 e y=20b) Cuando se requiere aumentar la produccin qu modelo har que incrementar ms el coste deproduccin?

6- Derivadas sucesivas6.1) Calcula por definicin fyy(1,1) siendo f(x,y)= x ey+x +26.2) Si z= x2y2- y3+3x4+5 verifica el Teorema de Schwarz (Euler), o de la derivada mixta, para las derivadas desegundo orden.6.3)Encuentra la 2fx y con el menor trabajo - de la forma ms simple- para: f(x,y)= x y + yy2+1 7- Derivacin de funciones implcitas7.1) La ecuacin : y z - ln(z) = x + y define a "z" como funcin de las variables independientes "x" e" y". Tal relacinfuncional se encuentra dada en forma implcita. Encuentra las derivadas parciales de primer orden.

7.2 ) Encuentra el valor de la z x en el punto (1,1,1) si la ecuacin x y+ z3 x - 2 y z = 0 , define z como una funcin de las dosvariables independientes x e y , y las derivadas parciales existen.7.3) Resistores elctricos en paraleloSi resistores de R1, R2 y R3 ohms estn conectados en paralelo para formar un resistor de R ohms, el valor de R puede encontrarsecon la ecuacin

1R =

1R1 +

1R2 +

1R3

a) Considerando como condiciones iniciales : R1=15 ohms, R2= 30 ohms y R3 = 45 ohms , calcula la tasa de variacinde la resistencia total del circuito (R) al producirse un incremento en R2 ( RR2 ) .b) Idem anterior , pero mantenindose constantes R1 y R2, e incrementando R3 .c) Si se aumenta en 1 ohm cada una de las resistencias (de a una por vez, mientras las otras dos permanecenconstantes), cul produce mayor variacin sobre la resistencia total?.


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8- Ejemplos de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales 8.1) Ecuaciones de Laplace

El siguiente modelo matemtico es una ecuacin diferencial en derivadas parciales .La ecuacin tridimensional de Laplace :

2f x2 + 2f y2 +

2f z2 = 0 se satisface por :

- distribuciones de temperatura en el espacio en estado estacionario T= f (x,y,z), - por potenciales gravitatorios y - por potenciales electrostticos.

La ecuacin bidimensional de Laplace 2f x2 + 2f y2= 0 describe potenciales y distribuciones de temperaturas enestado estacionario en un plano.8.1.1) Comprueba cules de las siguientes funciones satisfacen una ecuacin de Laplace :a) f(x,y,z) = x2 + y2 - 2 z2 b) f(x,y,z)= x2 + y2 + z2- 12 *c) f(x,y,z) = e 3 x+4 y Cos(5 z) * d) f(x,y)= ln x2 + y2

8.2) La ecuacin de ondaSi estamos en la playa de un ocano y tomamos una fotografa de las olas, sta mostrar un patrn regular de cimas yvalles en un instante de tiempo. Vemos movimiento vertical peridico en el espacio, respecto a la distancia. Si nosmetemos al agua, podemos sentir el subir y bajar del agua conforme pasan las olas. Vemos movimiento verticalperidico en el tiempo. En fsica esta hermosa simetra se expresa por la ecuacin de onda unidimensional

2w t 2 = c 2 2w x 2

en donde w es la altura de la ola, x es la variable distancia, t es la variable tiempo y c es la velocidad con que sepropagan las olas. En nuestro ejemplo x es la distancia a travs de la superficie del ocano, pero en otras plicacionesx podra ser la distancia a lo largo de una cuerda vibrante, la distancia a travs del aire (ondas acsticas). El nmeroc vara con el medio y tipo de onda.Demuestra (a) y (d) , pero observa las funciones dadas a continuacin, que son todas soluciones de la ecuacin de onda:a) w= sen (x + c t)b) w= cos(2 x + 2 c t)c) w= ln (2 x + 2 c t) *d) w= 5 cos(3x+3 c t) + ex+c t *e) w= f(u) , donde f es una funcin diferenciable de u , y u = a (x+c t), donde a es una constante. *

TRABAJO DE TALLER EN MATHEMATICA

PROBLEMA 1.1f[x_, y_] = 3 x2 y - 2 y + 3 x2;zx = f[x + h, y] - f[x, y] // Expand3 h2 + 6 h x + 3 h2 y + 6 h x y


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zy = f[x, y + k] - f[x, y] // Expand-2 k + 3 k x2fx[x_, y_] = Limit zxh , h -> 0 // Expand6 x + 6 x yfy[x_, y_] = Limit zyk , k -> 0-2 + 3 x2

Verifiquemos pidindolas directamente:

xf[x, y]6 x + 6 x yyf[x, y]-2 + 3 x2

Si necesitamos evaluarla en un punto:

fx[1, 5]36

xf[x, y] /. {x 1, y 5}36

PROBLEMA 1.2f[x_, y_] = 4 + 2 x - 3 x - x y2;fx[a, b] = Limitf[a + h, b] - f[a, b]h , h 0;fy[a, b] = Limitf[a, b + k] - f[a, b]k , k 0;fx[a, b] /. {a -2, b 1}-2


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fy[a, b] /. {a -2, b 1}4

Podramos haber pedido directamente de las siguientes formas:

xf[x, y] /. {x -2, y 1}yf[x, y] /. {x -2, y 1}-24

Podramos haber empleado la definicin de derivada parcial en el punto dado:

fx[-2, 1] = Limitf[-2 + h, 1] - f[-2, 1]h , h 0-2fy[-2, 1] = Limitf[-2, 1 + k] - f[-2, 1]k , k 04

Ms rpido y sencillo es utilizar el comando que nos ofrece el Math:

xf[x, y] /. {x -2, y 1}-2 PROBLEMA 3.2

f[x_, y_] = -2 x2 - 2 y2;xf[x, y] /. {x 1, y 2}-4yf[x, y] /. {x 1, y 2}-8Si definimos a las funciones derivadas parciales de primer orden:


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fy[x_, y_] = yf[x, y];fx[x_, y_] = xf[x, y];g = Plot3D[f[x, y], {x, -3, 3}, {y, -3, 3}, Mesh False]

La Lnea de contorno -10 tiene por ecuacin en coordenadas cartesianas : z= -10 -2 x2 - 2 y2== -10,es una circunferencia de radio 5 en el plano z = -10.

lc = ParametricPlot3D 5 Cos[t], 5 Sin[t], -10, {t, 0, 2 Pi};Show[g, lc]

Para a) Ec. recta tangente a la curva que se obtiene de intersecar la superficie que es grfica del paraboloide de revolucin con elz= zo+ fy(1,2) (y-2) x=1, en el Math la definimos en coordenadas paramtricas:

x = 1 y = t z= -10 -8 (t-2) , : {1, t , -10-8 (t-2)}g1 = Plot3D[f[x, y], {x, -3, 3}, {y, -3, 3},

Mesh False, ViewPoint -> {-3.220, -4.000, 0.770}];rt1 = ParametricPlot3D[{1, t, -10 - 8 (t - 2)}, {t, -3, 3}];


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C1=ParametricPlot3D[{1,t,f[1,t]},{t,-3,3}];g2 = Show[g1, rt1, C1, AxesLabel {x, y, z}]

item bPara b) Ec recta tangente a la curva que se obtiene de interceptar la superficie que es grfica del paraboloide de revolucin con elz= zo + fx(1,2) (x-1) y=2 , en el Math la definimos en coordenadas paramtricas:

x=t y=2 z= -10 -4 (t-1) , : { t, 2, -10 - 4 (t-1)}rt2 = ParametricPlot3D[{t, 2, -10 - 4 (t - 1)}, {t, -3, 3}];C2=ParametricPlot3D[{t,2,f[t,2]},{t,-3,3}];g3 = Show[g1, rt2, C2]


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Show[g2, g3]

Show[g2, g3, lc]

PROBLEMA 3.3f[x_, y_] = 9 - x2 - y29 - x2 - y2xf[x, y] /. {x 2, y 1}-4yf[x, y] /. {x 2, y 1}-2Si definimos a las funciones derivadas parciales de primer orden:

fy[x_, y_] = yf[x, y];fx[x_, y_] = xf[x, y];


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g = Plot3D[f[x, y], {x, -2, 4}, {y, -2, 4}, PlotPoints 25]

Para a) la interseccin del plano x==2 y el plano XY es la lnea x==2, cuya parametrizacin es:{x = 2, y = t, z = 0}La interseccin del plano x==2 y el grfico de f[x,y] es el conjunto de puntos cuya parametrizacin es{x = 2, y = t, z = f [2, t]}p1 = ParametricPlot3D[{2, t, 0}, {t, -2, 4}]

01

23

4 -20

2

4

-1.0-0.50.00.51.0


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p2=ParametricPlot3D[{2,t,f[2,t]},{t,-2,4}]0 1 2 3 4

-2 02

4

-10

-5

0

5

p3 = ParametricPlot3D[{t, 1, 0}, {t, -2, 4}]

-20

2

4 0.00.5

1.01.5

2.0-1.0-0.50.00.51.0


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p4 = ParametricPlot3D[{t, 1, f[t, 1]}, {t, -2, 4}]-2

02

40.00.51.0

1.52.0

-5

0

5

Show[p1, p2, p3, p4, ViewPoint -> {0.750, 2.201, 0.200}]

01

23

4

-20

24

-1.0-0.50.0

0.5

1.0

Las ecuaciones de las rectas tangentes pedidas son: (ecuacin de una recta en el espacio como interseccin de dos planos noparalelos)

rt1 = {x == 2, z - 4 == Dy[2, 1] (y - 1)}


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{x 2, -4 + z (-1 + y) Dy[2, 1]}Solve[rt1[[2]], z]{{z -> -2 (-3 + y)}}

Las ecuaciones paramtricas de r1 son: { x = 2 , y = t , z = 6 - 3 t }

rt2 = {y == 1, z - 4 == Dx[2, 1] (x - 2)}{y == 1, -4 + z == -4 (-2 + x)}Solve[rt2[[2]], z]{{z -> -4 (-3 + x)}}

Las ecuaciones paramtricas de r2 son: { x = t , y = 1 , z = 12 - 4 t }

pp5 = ParametricPlot3D[{2, t, 6 - 3 t}, {t, -2, 4}]pp6 = ParametricPlot3D[{t, 1, 12 - 4 t}, {t, -2, 4}]Show[pp1, pp2, pp3, pp4, pp5, pp6, ViewPoint -> {2.260, -3.810, 0.270}]Show[g, pp5, pp6]

PROBLEMA 4.1f[x_, y_] = y2 + x23 ;fx[a, b] = Limitf[a + h, b] - f[a, b]h , h 02 a21/3

3 a

fx[a, b] /. {a 0, b 0}Power::infy : Infinite expression 10 encountered. Infinity::indet : Indeterminate expression 0 ComplexInfinity encountered. Indeterminate


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fy[a, b] = Limitf[a, b + k] - f[a, b]k , k 0b2b

fy[a, b] /. {a 0, b 0}Power::infy : Infinite expression 10 encountered. Infinity::indet : Indeterminate expression 0 ComplexInfinity encountered. Indeterminate

Plot3D[f[x, y], {x, -10, 10}, {y, -10, 10}, AxesLabel {x, y, z}, BoxRatios {1, 1, 1}]

Esta vista (desde abajo) muestra las trazas con los planos x=0 e y=0, marca cada una de ellas y escribela ecuacin correspondiente, interpretando en cada caso porqu no existe la derivada parcial correspondi-ente en el punto (0,0)


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Plot3D[f[x, y], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}, AxesLabel {x, y, z},Boxed False, AxesEdge {Automatic, Automatic, None}]

PROBLEMA 4.2 ( Analiza qu tipo de discontinuidad se observa en el grfico en (0,0), y justificaconceptualmente la existencia de lmite)

Plot3D[3 x^3 / (x^2 + y^2), {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]


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Plot3D[3 x^3 / (x^2 + y^2), {x, 0, 5}, {y, -5, 5}]

Plot3D[3 x^3 / (x^2 + y^2), {x, -5, 5}, {y, 0, 5}, AxesLabel {x, y, z}]

PROBLEMA 4.3g1 = Plot3D[0, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}, Mesh False];g21 = ParametricPlot3D[{x, 0, 1}, {x, -5, 5}];g22 = ParametricPlot3D[{x, 0, 0}, {x, -5, 5},

PlotStyle {Dashing[{0.03}]}];g31 = ParametricPlot3D[{0, y, 1}, {y, -5, 5}];g32 = ParametricPlot3D[{0, y, 0}, {y, -5, 5},

PlotStyle {Dashing[{0.03}]}];


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Show[g1, g21, g22, g31, g32,ViewPoint -> {3.260, 1.130, 1.910}, AxesLabel {x, y, z}]

Analiza continuidad en (0, 0), si fuera discontinua clasifcala. Obtiene las derivadas parciales en (0, 0)empleando el concepto de interpretacin geomtrica para cada una de ellas. Extrae concepto importante. PROBLEMA 5.2S[w_, h_] = 2 w0.4 h0.7;S[70, 1.8]wS[w, h]wS[w, h] /. {w 70, h 1.8}16.5105

0.8 h0.7w0.6

0.0943457

tvw = 0.09434565774073624`(*en m2kg*)0.0943457

tvw * 10 000 (*en cm2kg*)943.457

hS[w, h] /. {w 70, h 1.8}6.42075

tvh = 6.420746151800104`(*en m2m*)6.42075


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tvh * 100 (*en cm2cm*)642.075

Interpreta los resultados obtenidos con cuidado para cada una de las derivadas parciales, en cada casoemplear unidades de incremento de variables que tengan sentido .El aumento de la superficie corporal de una persona de 1.8 m de altura y 70 kg de peso es ms sensibleal aumento de 1 kg (aproximadamente 943.457 cm2/kg), que de 1 cm en la altura (aproximadamente642.075 cm2/cm). Item 6- Derivadas sucesivasEjemplo para calcular derivadas sucesivas con Mathematica :

f[x, y] = x7 y3 - 5 x y + 6;x,xf[x, y]42 x5 y3

D[f[x, y], x, x] 5 342 x y

Verificacin del teorema de igualdad de las derivadas sucesivas cruzadasx,yf[x, y]y,xf[x, y]-5 + 21 x6 y2-5 + 21 x6 y2x,yf[x, y] == y,xf[x, y]True

x,y,xf[x, y]y,x,xf[x, y]x,x,yf[x, y]126 x5 y2

126 x5 y2

126 x5 y2


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PROBLEMA 6.1f[x_, y_] = y x + y + 2; yf[x, y]1 + y xDy[x_, y_] = yf[x, y]1 + y xDyy[1, 1] = LimitDy[1, 1 + k] - Dy[1, 1]k , k 0Comprobamos directamente:

y,yf[x, y] /. {x 1, y 1} DERIVADA DE FUNCIONES IMPLCITAS

ec = x y + z^3 x - 2 y z 0x y - 2 y z + x z3 0d1 = Dt[ec, x, Constants {y}]y + z3 - 2 y Dt[z, x, Constants {y}] + 3 x z2 Dt[z, x, Constants {y}] 0Solve[d1, Dt[z, x, Constants {y}]]Dt[z, x, Constants {y}] y + z3

2 y - 3 x z2 PROBLEMA 8.1

f1[x_, y_, z_] = x2 + y2 - 2 z;f2[x_, y_, z_] = x2 + y2 + z2- 12;f3[x_, y_, z_] = E 3 x+4 y Cos[5 z];


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x,x f1[x, y, z] + y,y f1[x, y, z] + z,z f1[x, y, z] 0False

x,x f2[x, y, z] + y,y f2[x, y, z] + z,z f2[x, y, z] 0 // SimplifyTrue

x,x f3[x, y, z] + y,y f3[x, y, z] + z,z f3[x, y, z] 0 // SimplifyTrue

PROBLEMA 8.2a)w = f[x_, t_] = Sin[x + c t];t,tw == c2 x,xwTrue


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taller 3_15

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