ESCUELA DE INGENIERIAS Y ADMINISTRACIONDEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS

Introducción al Cálculo DiferencialPRIMER SEMESTRE 2015

Taller 5PROFESOR

Oscar M Serrano AESPECIALISTA EN EDUCACION MATEMATICA

FUNCIONES

En el mundo en que vivimos muchas cosas suelen presentarse en cantidades variables: kilos de manzanas, $ boletos de metrolinea, mm de agua caída, etc.

Además podemos también observar que muchas veces una cantidad depende de otra, hay relaciones de interdependencia entre ellas. Por ejemplo:

La cantidad de combustible que consume un vehículo depende de la distancia recorrida. La temperatura ambiente depende del instante que la midamos. La cuenta de luz a fin de mes depende de la cantidad de electricidad que se ha consumido.

También podríamos interpretar dependencia como fusionado. Es decir, la cantidad de combustible que se consume está fusionado con la distancia recorrida.

Como la cantidad de combustible a consumir depende de la distancia a recorrer y además se puede determinar cuántos litros se necesitan para viajar una determinada distancia (conociendo previamente el rendimiento que tiene el vehículo).

Se puede afirmar entonces que la cantidad de combustible está en función de la distancia a recorrer (o viceversa). La variable cantidad de combustible depende de la variable distancia a recorrer. Imaginémonos que se tiene un auto que da 14 km por litro de gasolina (con 1 litro de gasolina puedo recorrer 14 km) . Con esta información te invito a llenar la siguiente tabla:

Y ( litros de gasolina ) X ( distancia en km)0 0

0,5 71 14

1,5 212

2,5 353

3,5 494

4,5 635

La tabla que has completado corresponde a una forma de mostrar los datos que corresponden a esa función. Este método recibe el nombre de Tabla de valores y corresponde a un registro de la función.

Otro registro para la misma función corresponde al conocido Diagrama de Flechas estudiado años anteriores y los datos se mostrarían de la siguiente manera:

00,51

1,52

2,53

0714212835

42

XY

Otro registro es la representación de la función en un conjunto como sigue:F = { (0,0); (0.5;7); (1,14); (1,5;21); (2,28); (2,5;35); (3,42); (3,5;49); (4,56); (4,5;63); (5,70) }

Se entiende por el punto (1,14) que para 1 litro de bencina se puede recorrer con el vehículo 14 km.

Nota: Para los distintos registros es conveniente definir los conjuntos de referencia. (más adelante se dará cuenta por qué? ).

Y por último, uno de los registros más importante sería la representación gráfica, donde lo que se hace es ubicar los puntos mencionados antes en el plano cartesiano, donde el eje X representa al conjunto de litros de gasolina y el eje Y el conjunto de distancias recorridas. Observe:

Nota: Ha visto que se han unido los puntos del gráfico y eso se ha dado porque tiene sentido pensar por ejemplo: con 1,8 litros de gasolina puedo recorrer 25,2 km, no se mencionó como dato pero se dá.

Si mirá este registro, el gráfico es una línea recta que nace en el origen del sistema. Si observamos: A más litros de gasolina más km a recorrer o viceversa. ese análisis corresponde a una Proporción directa. Por lo tanto se puede concluir que a nivel de estudio las primeras funciones que han estudiado han sido las proporciones.

DEFINICIÓN

Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los e lementos de A t ienen a lo sumo una imagen en B , es decir una imagen o ninguna. Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales , l lamado dominio, otro número real .f : D x f (x) = y

EJERCICIOS

1) Una función se puede representar en distintos registros. Ellos son: _______________________________________________________________________________________________

________________________

Ahora ya empezaremos a definir los conjuntos que se están considerando para que de a poco te des cuenta de la importancia de conocerlos. Los conjuntos a considerar son A = {1, 2, 3} y B = {4, 5, 6}.Visualiza distintos ejemplos en este registro:

Se afirma que sólo 1), 2) y 4) son diagramas que corresponden a funciones. ¿Por qué será?. ¿Por qué la 3) y la 5) se dice que no son funciones, que sólo representan una relación?.

Anota tus conclusiones: ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

B.- Analiza distintos ejemplos en este registro, donde X = {1, 2, 3} e Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6}:

Tabla 1 Tabla 2 Tabla 3 Tabla 4 Tabla 5X Y1 42 43 23 1

Se dice que la tabla1, la 1 y la 3 son funciones. ¿A qué se deberá que la tabla 4 y la 5 no son funciones?. Anota tus conclusiones: ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

C.- Analiza las siguientes situaciones:a) Sombra de un árbol ( altura del árbol y su sombra)b) El volumen de una caja (medida de la arista y su respectivo volumen)c) Restricción vehicular (día y el término de las patentes de los vehículos)

Se dice que a) y b) corresponden a funciones. ¿Por qué c) no lo es?. Anota tus conclusiones:_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

D.- Analiza ejemplos siguientes en el registro gráfico:

1) 2) 3)

4) 5)

X Y1 22 43 6

X Y1 42 43 4

X Y1 12 23 3

X Y1 11 2

1) 2)

3) 4)

5)

Se dice que 1) y 2) son sólo funciones. ¿Qué ocurre con las gráficas de aquellas que no son funciones?. Anota tus conclusiones:_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

CLASES DE FUNCIONES

Las funciones reales se pueden clasificar de acuerdo a su estructura en tres grupos:

FUNCIONES POLINOMICAS

FUNCIÓN LINEALEs una función de la forma f(x) = mx + b, donde m es la pendiente y b es la abscisa donde la recta intercepta al eje. La grafica que se origina es una línea recta, si m es positiva la recta se inclina hacia la derecha y si m es negativa la recta se inclina hacia la izquierda.

EJEMPLO:

FUNCIÓN CONSTANTE

Es una función de la forma f(x) = k, donde k es una constante. La grafica que se origina es una línea recta paralela al eje x.El dominio de la función constante son todos los números reales y el rango es un conjunto unitario formado por el elemento imagen de todos los elementos del dominio.

EJEMPLO:

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Es una función de la forma f(x) = ax2+ bx +c, donde a,b,c y son números reales. La grafica de la función cuadrática es una curva llamada parábola; si a es positiva, la grafica abre hacia arriba y si a es negativa la grafica abre hacia abajo.La ecuación algebraica tiene el 2 como máximo exponente de la variable.

EJEMPLO:

FUNCIÓN POLINOMICA

Una función Polinómica es de la forma f(x) = anxn+an-1xn-1+…+a donde an,an-1,…,a son constantes reales y n es numero entero no negativo que indica el grado de p(x), siempre que an≠0.

Ejemplo:

FUNCIONES ESPECIALES

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

Es de la forma f(x) = IxI, cuyo dominio son los reales y el rango son los reales mayores o iguales a cero. La grafica que se obtiene es una curva en forma de v.

EJEMPLO:

FUNCIÒN RAIZ CUADRADA

Es una función que asigna a un argumento su raíz cuadrada positiva. Es de la forma f(x) = √x , donde el dominio de la función son los valores de x que hacen que el radicando sea positivo y el rango son los reales mayores o iguales a cero. La grafica que se obtiene es una curva ascendente que está por encima del eje x

Ejemplo:

FUNCIÓN RACIONAL

Es una función de la forma f(x) = p(x)/q(x) , donde p(x) y q(x) son polinomios y q(x)≠0. La función racional no está definida para valores de x en el cual q(x) se hace diferente de cero, este valor al representarlo gráficamente es una asíntota. La grafica que se obtiene son curvas interrumpidas por la asíntota.

Ejemplo:

FUNCIONES TRASCENDENTALES

FUNCIÓN EXPONENCIAL

Es una función de la forma f(x) = ax, donde a>o y a≠1 .cuyo dominio son los números reales y el rango son los reales mayores que cero. La grafica que se obtiene es una curva ascendente si a>1 y descendente si o<a<1.

Ejemplos:

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Es una función inversa a la función exponencial, es de la forma f(x) = logax, donde a>o y a≠1. La grafica que se obtiene es una curva simétrica a la función exponencial.

Ejemplos:

FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA

Las funciones trigonométricas surgen de estudiar el triangulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos lados cualesquiera dependen del valor de los ángulos del triangulo. Se distinguen seis tipos de funciones trigonométricas, Las cuales cada una de ellas tiene su dominio, rango, periodo y su gráfica es distinta, como son:

Ejemplos: f(x) = sen x

f(x) = cos x

f(x) = tan x

f(x) = cot x

f(x) = sec x

f(x) = cscx

EJERCICIO

Haga un bosquejo cada una de las ecuaciones que a continuación se dan y diga a que tipo de función corresponde :

a) y = x b) y = x2 c) y = -3x+2 d) y = x3 e) y = 2x

f) y = log x g) y = 2 h) x = 3 i) y = sin x j) y = x2+2x+1

k) x2 + y2 = 4 l) y = [|x + 1| = abs(x+1)] m) x = y2 –2y +31) Reconocer funciones en:

Tabla 1 Tabla 2 Tabla 3 Tabla 4X Ya 4a 4a 4a 4

2) Reconocer funciones en:

X Ya 1b 2c 3

X Ya 1a 2b 3c 3

X Ya 3b 3c 3

1) Relaciona los siguientes gráficos de funciones con sus respectivas ecuaciones: 1) 2)

3) 4)

5) 6)

y = 2x le corresponde la gráfica __________________________________y = x2 + 2 le corresponde la gráfica __________________________________y = -x le corresponde la gráfica __________________________________y = le corresponde la gráfica __________________________________y = log x le corresponde la gráfica __________________________________

y = le corresponde la gráfica __________________________________

Ya has visto que una función es una serie de operaciones que se hacen en una variable y de las que se obtienen un valor (por ejemplo recuerda la tabla de valores y la ecuación asociada a esa situación).

Podemos imaginarnos la función como una maquina a la que se le suministra unos datos y que obtiene un valor. A veces esta “maquina” no funciona con determinados valores. Al conjunto de valores de la variable para los que la función existe (para los que la maquina funciona) se llama DOMINIO de la función. El conjunto de valores que se obtienen a partir del conjunto de valores del dominio se llama RECORRIDO de la función.

Ejemplo 1: La función raíz cuadrada de un número negativo no está definida para números negativos. Eso significa que en el dominio no pueden estar números negativos.

Ejemplo 2: La función y = x2, para cualquier valor que le coloque a la x, nunca va a dar negativo. Eso significa que el recorrido nunca va a tener valores negativos.

ACTIVIDAD:Determine el dominio de las funciones en distintos registros que han aparecido en su guía de

aprendizaje.

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA1) Determine dominio y recorrido de:a) y = x b) y = x2 c) y = x3 d) y = 3x + 5e) y = f) y = 3x

2) Para sacar dominio y recorrido de las siguientes funciones guíate por:

Dominio de y =

Para determinar dominio nos interesa que esté despejada la y para analizar los posibles valores que puede tomar x. En este caso la x no puede ser cero pues quedaría una división por cero y no está definida. Se dice entonces que: Dom y = .

Recorrido de y =

Cuando hablamos de recorrido debe estar despejada la x para analizar que valores puede tomar la y.

Se tiene y = 3xy = 2 x =

Se puede decir entonces que la y no puede tomar el valor 0, pues ocurriría lo mismo que se mencionó antes.

Entonces Rec y = Ahora te corresponde hacerlo:

a) y = b) y = c) y = d) 4x + y =

3) ¿Qué podrías decir del dominio de y = ? ¿y de y = ?

DEFINICIÓN COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Si tenemos dos funciones: f (x) y g(x) , de modo que el dominio de la 2ª es té incluido en el recorr ido de la 1ª , se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) e l valor de g[f(x)] .Veamos un ejemplo con las funciones f(x) = 2x y g(x) = 3x + 1.

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1(g o f) (1) = 6 · 1 + 1 = 7

Ejemplos

Sean las funciones:

1 Calcular ( f o g) (x)

2 Calcular (g o f) (x)

ACTIVIDAD:

1. Sean las funciones:

Calcular:

a.

b.

2. Dadas las funciones:

Calcular:

a.

b.

c.

d.

e.

f. Probar que:

g. Probar que:

3. Dadas las funciones:

Calcular:

a.

b.

c.

d. Probar que:

4. Dadas las funciones:

Calcular:

a.

b.

DEFINICIÓN

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f − 1 que cumple que:Si f(a) = b, entonces f − 1 (b) = a.Veamos un ejemplo a partir de la función f(x) = x + 4

Podemos observar que:El dominio de f−1 es el recorrido de f .El recorrido de f−1 es el dominio de f .Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad .( f o f − 1 ) (x) = ( f − 1 o f ) (x ) = xLas gráficas de f y f - 1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Hay que distinguir entre la función inversa , f−1(x), y la inversa de una función , .Cálculo de la función inversa1.Se escribe la ecuación de la función con x e y.2.Se despeja la variable x en función de la variable y.3.Se intercambian las variables.EjemplosCalcular la función inversa de:

1.

Vamos a comprobar el resultado para x = 2

ACTIVIDAD:Hallar la función inversa

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

DEFINICIÓN

FUNCIÓN ESTRICTAMENTE CRECIENTE

f es est r ic tamente creciente en a s i sólo s i exis te un entorno de a , ta l que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

FUNCIÓN ESTRICTAMENTE DECRECIENTE

f es est r ic tamente decreciente en a s i sólo s i exis te un entorno de a , ta l que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

ACTIVIDAD:Determine en que intervalos las funciones de la actividad anterior son crecientes o decrecientes .

DEFINICIÓN

Una función f es tá acotada superiormente s i exis te un número real k ta l que para toda x es f (x) ≤ k. El número k se l lama cota superior .

Ejemplo

k=0.135Función acotada inferiormenteUna función f está acotada inferiormente si existe un número real k′ tal que para toda x es f(x) ≥ k′. El número k ′ se l lama cota infer ior .

k ′ = 2Función acotadaUna función está acotada si lo está a superior e inferiormente.k ′ ≤ f(x) ≤ k

k = ½ k′ = -½

DEFINICIÓN

MÁXIMO ABSOLUTOUna función t iene su máximo absoluto en el x = a s i la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.MÍNIMO ABSOLUTOUna función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

a = 0

b = 0Máximo y mínimo relativoUna función f tiene un máximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a. Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.

a = 3.08 b = -3.08

DEFINICIÓN

Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas cuando para todo x del dominio se verifica:f(−x) = f(x) Las funciones s imétr icas respecto del e je de ordenadas reciben el nombre de FUNCIONES PARES.EjemploComprobar que la s iguiente función es par :

Simetría respecto al origen. Función imparUna función f es simétrica respecto al origen cuando para todo x del dominio se verifica:f(−x) = −f(x) Las funciones s imétr icas respecto al or igen reciben el nombre deFUNCIONES IMPARES.EjemploComprobar que la siguiente función es impar: