taller capacitación a docentes - uai fractales: sistemas dinámicos y teoría del caos
TRANSCRIPT
Taller Capacitación a docentes - UAI Taller Capacitación a docentes - UAI
Fractales:Fractales:
Sistemas Dinámicos y Teoría del CaosSistemas Dinámicos y Teoría del Caos
Primera PartePrimera Parte
Aspectos Teóricos de la Aspectos Teóricos de la Geometría FractalGeometría Fractal
Definición de Fractal
Autosimilitud
Dimensión Fractal
Diferentes Tipos de Fractales
¿Qué es un Fractal?¿Qué es un Fractal?
Son objetos geométricos que poseen dos características fundamentales:
1) Autosimilitud
2) Dimensión Fraccionaria
¿Cuántos tipos de Fractales existen?¿Cuántos tipos de Fractales existen?
Los objetos Fractales se pueden clasificar de la siguiente manera:
Lineales
Complejos
Caóticos
AutosimilitudAutosimilitud
1) Perfecta1) Perfecta: Cada porción de un objeto tiene exactamente las mismas características del objeto compelto.
2) Estadística: 2) Estadística: cada región de un objeto conserva, de manera estadísticamente similar, sus características globales.
AutosimilitudAutosimilitud
¿Cómo se genera un Fractal?¿Cómo se genera un Fractal?
Paso 1, se elige una imagen generadora (puede ser cualquiera, desde una recta hasta la cara de Mickey Mouse).
Paso 2, se elige un algoritmo de transformación de la imagen generadora.
Paso 3, se itera el algoritmo infinitas veces, o con un límite determinado como variable en un software.
Ejemplos:
Curva de Von Koch Curva de Peano Modelo Neuronal
Los Fractales complejos se generan con la misma lógica, solo que en lugar de iterar una imagen, se itera una ecuación en el plano de los números complejos. Por ejemplo, el Conjunto de Mandelbrot se genera mediante la iteración de: Zn+1 = Zn^2 + C
Los Fractales Caóticos, son los elementos geométricos de la Teoría del Cáos. Se los denomina Atractores. Se generan a través de mediciones provenientes del mundo real, como Ecuaciones Direnciales o Series de tiempo. Cuando uno modela un sistema natural caótico, tiene como finalidad encontrar un Atractor.
Definición informal de Geometría FractalDefinición informal de Geometría Fractal
La Geometría Fractal, llamada también "Geometría de la Naturaleza", es un conjunto de estructuras irregulares y complejas descriptas a través de algoritmos matemáticos y
computacionales; los cuales reemplazan a los puntos, rectas, circunferencias y demás figuras provenientes de la matemática tradicional. Estos objetos tienen como características fundamental las propiedades de Autosimilitud y la de convivir en extraños paisajes formados
por dimensiones fraccionarias.
Diferentes Tipos de FractalesDiferentes Tipos de Fractales
FractalesFractales
LinealesLineales
Autosimilitud Perfecta
Dimensión Fractal fácil decalcular con: S = S = LLDD
Se crean a partir de:-Un generador -Un algoritmo de repetición
Ejemplo: Triángulo de Cantor y
Triágulo de Sierpinski
ComplejosComplejos
Autosimilitud Estadística
Dimensión Fractal difícil de calcular. Se requiere software. Método: Box Couting
Se crean a partir de:-Un Z0 -Iteraciones en el Plano Complejo
Ejemplo: Conjunto de Mandelbrot, Conjunto de Julia
CaóticosCaóticos
Poseen estructura Fractal.Autosimilitud Estadística
Se requieren métodos de medición más complejos que la Dimensión Fractal.
Se generan a partir de sistemas de Ecuaciones Diferenciales
Ejemplo: Atractor de LorentzModela el Clima Meteorológico
Son los objetos geométricosde la Teoría del Caos
Fractales Caóticos - Atractores Extraños Fractales Caóticos - Atractores Extraños
Segunda ParteSegunda Parte
Sistemas DinámicosSistemas Dinámicos
Teoría del CaosTeoría del Caos
Arte
Concepto de Dinámica:Concepto de Dinámica:
La dinámica de cualquier situación se refiere a como el estado de la mencionada situación planteada, evoluciona a lo largo del tiempo.
Definición de Sistema:Definición de Sistema:
Grupo interrelacionado de elementos independientes que forman un “todo” más complejo y persigue un determinado fin.
Por ejemplo, el cuerpo humano o una red de computadores.
Definición Informal de Sistemas Dinámicos:Definición Informal de Sistemas Dinámicos:
Llamamos Sistemas Dinámicos a aquellos que, mediante una regla, pueden serdefinidos por un conjunto de variables cuyos valores cambian a lo largo del tiempo.
- Dichas variables se denominan “variables de estado” - Ellas determinan el “estado” del sistema en un momento dado- Ellas trazan una trayectoria determinando el “espacio de estado”
Nota: No confundir la evolución en el tiempo de las variables de una ecuación con la evolución de los parámetros de la misma.
Conceptos básicosConceptos básicos
Caos de todos los díasCaos de todos los días
Por un clavo se perdió una herradura,Por la herradura se perdió el caballo,Por el caballo se perdió al jinete,Por el jinete ser perdió la batalla,Por la batalla se perdió el reino
-------------------------------------------------------------------------------------
Efecto Mariposa
Este concepto hace referencia a la sensibilidad de un sistemas a las condiciones iniciales:
El aleteo de una mariposa en Tokio puede generar un torbellino en el Caribe
Caos de todos los díasCaos de todos los días
Al repetir este experimentoen reiteradas ocasiones, por másque las condiciones iniciales seanprácticamente las mismas, los resultadosson significativamente diferentes.
“ Cambios minúsculos conducen a resultados totalmente divergentes”
Caos en la NaturalezaCaos en la Naturaleza
Dualidad entre Orden y Caos.Ejemplos:
Solitones
Turbulencias
Leyes del CaosLeyes del Caos
Leyes “Informales” del Caos
Todo sistema presenta una dualidad Orden – Caos
Todo sistema presuntamente Ordenado tiende al Caos.
Todo sistema Caótico presenta islas de Orden intrínsecas
Ej: Cuerpo Humano Corazón – Cerebro
Taller de Fractales y Sistemas Dinámicos - UAITaller de Fractales y Sistemas Dinámicos - UAI
Juan Pablo Braña : [email protected]
Marisa Rollieri: [email protected]
Fractales:Fractales:
Sistemas Dinámicos y Teoría del CaosSistemas Dinámicos y Teoría del Caos