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TALLER DE APLICACIN CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPS DE POLGONOS REGULARES

1. Polgono regular de 3 lados: Tringulo equilteroEs el polgono regular con menor nmero de lados que podemos tener. Su construccin es muy sencilla:Trazamos una circunferencia con centro eny radioy otra con centro eny mismo radio. Esas dos circunferencias se cortan en dos puntos. Tomamos uno de ellos, digamos. Trazando los segmentosyobtenemos el tringulo equiltero.

2. Polgono regular de 4 lados: CuadradoTrazamos una circunferencia con centro eny radio. Esa circunferencia corta al ejeen dos puntos. Tomamos uno de ellos, digamos. Trazamos la recta paralela al ejeque pasa pory la recta paralela al ejeque pasa por. El punto de corte de las mismas, digamos, es el vrtice que nos faltaba. Trazando los segmentos,yobtenemos nuestro cuadrado.

3. Polgono regular de 5 lados: Pentgono regular

Trazamos la paralela al ejeque pasa por, digamos. Se traza la mediatriz del segmentoobteniendo el puntocomo corte con el eje. Trazamos la circunferencia de centroy radio, digamos. Obtenemos el puntocomo corte decon la recta. Con centro entrazamos la circunferencia de radio,, obteniendo el puntode corte con el eje. Trazamos ahora la circunferencia de centroy radio,. Obtenemos el puntoal cortar cony el puntocomo corte con la mediatriz del segmento. Para obtener el vrtice que nos falta,, simplemente construimos el punto simtrico arespecto de la mediatriz del segmento. Uniendo los vrtices obtenemos el pentgono regular buscado.

4. Polgono regular de 6 lados: Hexgono regular

Con radiotrazamos circunferencias con centroy. Tomamos uno de los puntos de corte, digamos. Ese es el centro del hexgono. Trazamos ahora la circunferencia de centroy radio. Obtenemos los puntosycomo cortes con las circunferencias anteriores ycomo corte con el eje. Trazando la paralela al ejeque pasa porobtenemos el ltimo vrtice,, como corte de esta recta y la circunferencia trazada justo antes. Uniendo los vrtices obtenemos el hexgono regular buscado.

5. Polgono regular de 7 lados: Heptgono regularEl heptgono regularno es construible con regla y comps. Vamos a ver por qu:Viendo las construcciones anteriores de otra forma, mediante la relacin de los puntos del plano con los nmeros complejos, para construir un polgono regular delados debe ser construible el nmero complejo. En el caso del heptgono debera ser construible el punto. Tenemos que el polinomiotiene acomo raz. La descomposicin en polinomios irreducibles enqueda as:. Comono es raz dedebe serlo del otro factor. Pero el grado del mismo es, y ya vimos que para que un punto fuera construible el grado de su polinomio mnimo irreducible endeba ser una potencia de. Por tanto no podemos construir el nmero complejoy en consecuencia tampoco el heptgono regular.6. Tres circunferencias tangentes entre s y a los lados de un tringulo equiltero. Los centros de la circunferencia deben estar en las bisectrices de los ngulos A, B, C Se determinan los puntos 1 y 2 y se levantan perpendiculares a los lados del tringulo. Se trazan las bisectrices de los ngulos que dichas perpendiculares forman con los lados. Las intersecciones de las bisectrices son los centros de las circunferencias buscadas.

7. EJERCICIO DE APLICACIN