15.1Si en una recta sealas un punto en cuntas partes queda dividida la recta? cmo se llaman cada una de las partes?Respuesta: a) En dos partes b) semirrectas.15.2En el ejercicio anterior tienen algn punto en comn las semirrectas?Respuesta: S, el punto que hemos fijado.15.3 El punto comn de dos semirrectas es principio de una y final de otra?Respuesta: No. Es principio de ambas.

15.4Si en una recta fijas dos puntos en cuntas partes has dividido a la recta?Respuesta: En tres partes.15.5Cuntas semirrectas y cuntos segmentos creamos al fijar dos puntos en una recta?Respuesta: 2 semirrectas y un segmento.Solucin:En la figura que tienes a continuacin puedes ver:1) Los puntosAyB.2) Las semirrectasmyn3) El segmentoAB

Las semirrectasmyn tienen principio u origen pero no tienen fin.La porcin de recta (en color rojo) comprendida entre los puntosAyBes un segmento.15.6Si decimos que una semirrecta tiene un origen, el final dnde se encuentra?Respuesta: En el infinito, no tiene lmite.15.7Dos semirrectas pueden tener un punto comn?Respuesta: S, el punto origen de ambas.15.8Cuntos puntos necesito para trazar una recta que los incluya?Respuesta: Dos puntos.15.9Existe alguna diferencia entre recta y semirrecta?Respuesta: S, la recta no tiene ni principio ni fin, la semirrecta aunque tampoco tiene fin, s tiene un origen.15.10Si unimos dos semirrectas opuestas qu resultado obtenemos?Respuesta: La recta.15.11Haciendo uso de una regla realiza el producto:sabiendo que el segmento es igual a 2 cm.Respuesta: 10 cm

15.12Una recta y un punto fuera de ella pueden definir un plano? Por qu?Respuesta: S. Porque dos puntos de la recta y un tercer punto no contenido en ella, determinan 1 plano(tres puntos no situados en lnea recta determinan un plano).15.13Un punto situado en un plano ocupar siempre alguna de las dos regiones o semiplanos?Respuesta: No, el punto puede estar situado en la recta que divide al plano.15.14Dos puntos situados en dos semiplanos qu determinan?Dibuja.Respuesta: Un segmento(tiene principio y fin).15.15Puedes asegurar que cualquier segmento que une dos puntos situados en distintas regiones de un plano cortarn a la recta frontera o la recta de divisin?Respuesta: S.15.16Si dos puntos estuviesen en el mismo semiplano, el segmento que los une puede llegar a cortar a la recta de frontera?Comprueba dibujando.Respuesta: No.Dibujo:

15.17Si tienes una recta y un punto no perteneciente a esta recta cuntas rectas paralelas a la recta anterior pueden pasar por dicho punto? Contesta despus de haberlo comprobado con un dibujo.Respuesta: Solamente una recta que sea paralela a la dada.

15.18Si trazas varias rectas perpendiculares a otra dada cmo son entre s las rectas que has dibujado? Dibjalas.Respuesta: Paralelas.Dibujo:

Las rectasm, n, rysson paralelas entre s y perpendiculares a la rectat. 15.19Dos rectas convergentes pueden llegar a cortarse?Respuesta:S, siempre que se las alarguen convenientemente.15.20Dos o ms rectas secantes podemos decir que son convergentes?Respuesta:S, porque las rectas secantes se cortan y por ello han convergir, dirigirse a un punto.15.23Cuntos planos se pueden trazar por un punto?Respuesta: Ninguno. Necesitamos una recta.15.24Cuntos planos se pueden trazar por dos puntos?Respuesta: Infinitos porque dos puntos definen una recta y por una recta puedo trazar infinitos planos.15.25Cuntas rectas puedo trazar por dos puntos?Respuesta: Una recta. Dos puntos definen una recta.15.26Puede una recta pertenecer a dos planos que se cortan?Respuesta: S. La recta de interseccin de dos planos que se cortan pertenece a ambos.15.27Cunto vale el complemento de un ngulo de 64?Respuesta:26Solucin:Cuando la suma de dos ngulos da 90 decimos que son complementarios.Si uno de ellos vale 64 el otro ser igual a: 90-64 = 2615.28Cul es el suplemento de un ngulo de 150?Respuesta:30Solucin:Sabemos que la suma de los ngulos suplementarios vale 180. Si uno de ellos vale 150, el otro valdr: 180-150 = 3015.29 Si un ngulo vale 50 Cunto vale su suplementario?Respuesta:13015.30Cul es el suplemento de 150 40?Respuesta:29 20Solucin:180 puedo escribir como: 179 60 porque 60 equivale a un grado y de este modo puedo restar los minutos de los minutos y los grados de los grados: 179 60-150 40 = 29 2015.31Cul es el complemento de 29 32?Respuesta:60 28Solucin:90 puedo escribirlo: 89 60 y de este modo resto minutos con minutos y grados con grados: 89 60-29 32 = 60 2815.32Cul es el complemento de 29 32 55?Respuesta:60 27 5Solucin:90 puedo escribirlo: 89 59 60 ya que un minuto tiene 60 segundos y de este modo resto segundos con segundos, minutos con minutos y grados con grados: 89 59 60-29 32 55 =60 27 0515.33Cul es el suplemento de 114 12 30?Respuesta:65 47 30Solucin:180 puedo escribir como: 179 59 60 porque 60 equivale a un minuto y de este modo puedo restar los segundos con los segundos, los minutos con los minutos y los grados de los grados: 179 59 60-114 12 30 = 65 47 3015.34 Un ngulo vale 129 cunto vale su adyacente?. Dibjalo.Respuesta:51Solucin:Los ngulos adyacentes (que estn seguidos, contiguos y que sumados nos dan 180):

15.35 Un ngulo vale 129 cunto le falta para convertirse en un ngulo llano?Respuesta:51Solucin:Llamamos ngulo llano al que vale 180, luego le falta 180-129 = 51.15.36Son opuestos por el vrtice los ngulos de la figura siguiente? Por qu?

Respuestas: No son ngulos opuestos por el vrtice; porque los lados de uno de los ngulos, no son semirrectas de los lados del otro.15.37Calcula la suma:

Respuesta: 1055049Solucin:Sumamos la columna de los segundos: 58+12+44+55 = 169.Calculo cuntos minutos hay en 169 dividiendo entre 60:Obtengo 2 como cociente y 49 como resto, es decir, que tengo 2 y 49.Sumamos los minutos: 34+45+34+55 = 168A estos 168 tengo que sumar los 2 que proceden de la suma de los segundos: 168+2 = 170170 divido entre 60 para ver cuntos grados hay, el resto de la divisin sern los minutos que quedan, 50 y el cociente, 2 los grados que debo aadir a la suma de los grados de los 4 ngulos:Sumamos los grados: 12+23+35+33 = 103 a los que debo aadir los 2 procedentes de la suma de la columna de los minutos, es decir, 103+2 = 10515.38Calcula la suma:

Respuesta: 149592115.39Calcula la suma:

Respuesta: 10015.40Calcula la diferencia:

Respuesta: 15049

Solucin:Comienzo a restar a partir de los segundos y veo que en el sustraendo (55) tengo ms segundos que en el minuendo (44). Para poder restar, de los 24 del minuendo quito 1, o 60 y se los paso a los 44 con lo que me quedan: 60+44 = 104 y a esta cantidad ya puedo restarle 55 quedndome 49.Ahora resto la columna de los minutosteniendo en cuenta que en el minuendo no tengo 24 sino 23.Como en el sustraendo tengo 33, es decir, una cantidad superior a los 23 del minuendo debo quitar 1 de la columna de los grados del minuendo (13). Ahora me quedan, en el minuendo, 12 y 60+23 = 83. A esta cantidad le resto 33 y me quedan: 83 33 = 50.Solo me quedan restar los grados,teniendo en cuenta que en el minuendo no tengo 13 sino 12:13-12 = 1.15.41Calcula la diferencia:Respuesta: 3501915.42Calcula la diferencia: 953455 505050=Respuesta: 44440515.43Multiplica:Respuesta: 945848

Solucin:Si multiplico 4x42 obtengo: 168. En 168 tengo 2 y me quedan 48 como resto al dividir 168 entre 60.Multiplico 4x44 y obtengo: 176 a los que debo aadir los 2 que obtuve del producto de los segundos: 176+2 = 178.Esta cantidad la divido entre 60 para saber los grados que contiene:

Por fin, multiplico 4x23 obteniendo: 92 a los que debo aadir los 2 procedentes del producto de los minutos:92+2=9415.44Multiplica:Respuesta: 169594015.45Multiplica:Respuesta: 113033615.46Calcula el cociente de:

Respuesta: 92125 y el resto 115.47 Calcula el cociente y el resto de la divisin:

Respuesta: 132459 y el resto 415.48El ngulo convexo y el ngulo obtuso tienen algn parecido?Respuesta: S, los dos valen ms 90.15.49En qu se diferencia un ngulo obtuso de un ngulo convexo?Respuesta: Un ngulo obtuso vale ms de 90 y menos 180 y el ngulo convexo est comprendido entre 0 y 180.15.50Puede decirse que todos los ngulos agudos son tambin convexos?Respuesta: S porque los agudos estn comprendidos entre 0 y 90 y los convexos entre 0 y 180.15.51Puede decirse que todos los ngulos convexos son tambin ngulos agudos?Respuesta: No porque los agudos valen menos de 90 y son convexos los que estn comprendidos entre 0 y 180.15.52Todos los ngulos obtusos son convexos?Respuesta: No(comprueba el ejercicio15.49)15.53Un ngulo llano es igual a dos rectos?Respuesta: S porque un ngulo llano equivale a 180 o dos ngulos rectos.15.54Realiza una tabla en la que podamos comprobar el valor del ngulo y el nombre que recibe.Respuesta: Representando porel ngulo que forman las semirrectasAyBcon vrtice enOpodemos hacer la tabla siguiente:

15.55Observa la figura siguiente y despus, contesta a las preguntas siguientes:

1. Cmo son los ngulos 1 y 2?2. Cmo podemos llamar a los ngulos 1 y 4?3. Son suplementarios los ngulos 2 y 4?4. Son iguales los ngulos 2 y 3? Por qu?5. Son correspondientes los ngulos 3 y 7?6. Cmo son los ngulos 4 y 6?7. Es el ngulo 6 correspondiente al ngulo 3?8. Son iguales los ngulos 5 y 8? Por qu?9. Cmo puedes llamarles a los ngulos 1 y 8?10. Son alternos internos los ngulos 5 y 6?Respuestas:1. Adyacentes y suplementarios.2. Opuestos por el vrtice. Uno es externo y el otro interno.3. S, juntos valen 180.4. S, por ser opuestos por el vrtice.5. S por encontrarse en el mismo lado de la secante, siendo uno un ngulo interior y el otro un ngulo exterior.6. No porque aunque se encuentren en el mismo lado de la secante los dos son ngulos interiores.7. No porque no estn situados al mismo lado de la secante y adems, los dos son interiores.8. S por estar opuestos por el vrtice.9. Son ngulos alternos externos ya que se encuentran a distinto lado de la secante y en la parte exterior de las paralelas.10. No porque no son alternos y adems, los alternos internos son iguales entre s.

15.56 Uno de los ngulos adyacentes mide 1005050 Cunto mide el otro?Respuesta: 79091015.57 Cunto vale el ngulo que forman las bisectrices de dos ngulos adyacentes?Respuesta: 90Solucin:En la figura tenemos dos ngulos adyacentes uno de 135 (en color rojo) y el otro (en color azul claro) de 45.

Trazamos las bisectrices de cada uno de los ngulos y el ngulo obtuso de 135 se ha dividido en dos ngulos que miden 6730 cada uno y el ngulo agudo de 45 ha quedado dividido por su bisectriz en dos ngulos de 2230 cada uno.Midiendo el ngulo que forman las dos bisectrices comprobamos que su medida angular equivale a 90.No importa la medida de los ngulos adyacentes, la medida angular de sus bisectrices ser de 90 15.58 Cunto valen cada uno de los ngulos que forman dos rectas perpendiculares?Respuesta: 9015.59 Tenemos dos rectas paralelas cortadas por una recta secante. Uno de los ngulos vale 119. Cunto valen los otros siete?Respuesta: a) 119; b) 61; c) 119; d) 61; e) 119; f) 61; g) 119; h) 61Solucin:Grficamente tenemos:

15.60 En la figura:

Demuestra que la suma de los ngulos a y c son iguales al ngulo Solucin:

En (1) trazo una paralela a la recta AEn (2) prolongo uno de los lados del ngulo aEn (3) prolongo uno de los lados del ngulo c

Los nuevos ngulos que se han formado con las prolongaciones de los lados corresponden a a y c que son iguales a los ngulosa y c por correspondientes (al mismo lado de la secante y ambos internos). En este caso, las paralelas las forman las rectas A y K.Lo dicho anteriormente puedes comprobarlo en la figura siguiente:

Vers que la suma de los ngulos a y c son iguales al ngulo b por opuestos por el vrtice. Haciendo las mediciones de los ngulos en la ltima figura obtenemos:

CUNTO VALE LA SUMA DE LOS NGULOS INTERIORES DE UN POLGONO REGULAR?

Si observas las figuras que tienes a continuacin:

ves que en el caso del tringulo vale 180.En el caso del cuadrado el total de grados es de 360.En el caso del pentgono la suma de los ngulos interiores es de 540Hay que aprenderse de memoria el valor de la suma de los ngulos interiores de CADA polgono regular?. NOTe basta con hacer un clculo muy sencillo:1 cuenta el nmero de lados2 al nmero obtenido de contar los lados rstale 23 al valor de la diferencia anterior multiplcale por 180El producto obtenido es la suma de los grados de un polgono regular.15.61 Cuntos grados suman los ngulos interiores de un polgono de 5 lados o pentgono?Respuesta: 540 Solucin:Hallo la diferencia: Este valor lo multiplico por 180: Dara lo mismo que multiplicar 108 que vale cada ngulo del pentgono regular por los 5 que tiene:

15.62 Cuntos grados suman los ngulos interiores de un tetradecgono o polgono de 14 lados?Respuesta: 2160Dara lo mismo que multiplicar el valor de un ngulo de un tetradecgono regular que es de 154179 por los 14 ngulos interiores iguales que tiene:

POR QU LA SUMA DE LOS NGULOS INTERIORES DE UN POLGONO REGULAR VALE: nmero de lados menos 2 por 180?Vamos a fijarnos en la suma de los ngulos interiores de cualquier tringulo:

Cualquiera que sea la forma de un tringulo, la suma de sus ngulos interiores vale 180. Si sumas los valores de los ngulos interiores de cualquiera de los tringulos anteriores comprobars que siempre suman 180.A continuacin tienes dos polgonos, uno de 9 lados (ENEGONO) y el otro de 14 (TETRADECGONO).

En el primer polgono hemos dibujado 7 tringulos y como cada tringulo tiene 180, los ngulos interiores de un enegono valdrn:

En el segundo polgono hemos dibujado 12 tringulos y como cada uno tiene 180, los ngulos interiores de un tetradecgono valdrn:

En cualquier polgono (de ms de tres lados) puedes dibujar tringulos. Para dibujar un tringulo necesitas tres lados. Con un cuadrado puedes dibujar 2 tringulos; con un pentgono 3; en un hexgono 4; en un heptgono 5, etc.

Vemos que el nmero de tringulos obtenidos en cada polgono es igual al nmero de lados menos 2. Como los grados de un tringulo valen 180, basta con multiplicar este nmero por el de lados menos dos.

CUNTO VALE LA SUMA DE LOS NGULOS EXTERIORES DE UN POLGONO REGULAR?Si observas el pentgono que tienes a continuacin comprobars que, adems de fijar los valores de los ngulos interiores en color azul, hemos dibujado los valores de los ngulos exteriores en verde:

Puedes comprobar que la suma de un ngulo interior de un polgono con su exterior vale un NGULO LLANO lo que es lo mismo que 180. Podemos decir tambin, que el valor de un ngulo interior de un polgono con el valor de su correspondiente ngulo exterior forman NGULOS ADYACENTES.La suma de todos los ngulos exteriores de un polgono es de 360. En el ejemplo de la figura ltima 15.63 Si el ngulo exterior de un polgono vale 701430Cunto vale su correspondiente ngulo interior?Respuesta: 109453015.64 Si te dicen que el ngulo exterior de un polgono regular vale 36 cuntos lados tiene dicho polgono?Respuesta: 10 ladosSolucin:Si te dicen que cada ngulo vale 36 y todos valen 360 basta que dividas:

Grficamente tienes la solucin:

Se trata de un decgono regular.15.65 La suma de los ngulos interiores de un polgono regular asciende a 1620 cuntos lados tiene este polgono?Respuesta: 11 lados, endecgono regular Solucin:La suma de los ngulos interiores de un polgono regular se obtiene restando dos al nmero de lados y a esa diferencia la multiplicamos por 180.Lo que acabas de leer podemos escribir:La suma de los ng. int. de un polgono regular = Como nos dicen que la suma de los ngulos interiores es de 1620, escribiremos:

15.66 En la figura siguiente tienes un tringulo en el que conoces el valor del ngulo exterior. Cul es el valor del ngulo indicado con una X?

Respuesta:

15.67 Sera correcto decir que en un tringulo equiltero cada ngulo mide 593856?Respuesta: Incorrecto. Cada ngulo debe medir 60 porque la suma de todos es 180 y como son iguales basta que dividas 15.68 En un tringulo issceles, cada uno de los ngulos iguales mide 3016 Cunto vale el ngulo desigual?Respuesta: 11928

15.69 El tringulo que tienes en la figura siguiente qu tipo de tringulo es, segn sus lados y cunto mide el ngulo X?

Respuestas: Escaleno y el ngulo X vale 5606 15.70 Puede existir un tringulo cuyos ngulos miden 665644, 431233 y 695043?Por qu? Respuesta: S, porque la suma de sus ngulos es 180 15.71 Qu clase de tringulo es el que tiene por ngulos 654358, 553755 y 631213? Respuesta: No existe. La suma de sus ngulos superan 180 15.72 En un tringulo issceles el ngulo desigual vale 661434 Cunto vale cada uno de los ngulos iguales? Respuesta: 565243 15.73 Cuntas diagonales tiene un tringulo? Razona la respuesta. Respuesta: No tiene ninguna.Explicacin: Recuerda que diagonal es una recta que uno dos vrtices no consecutivos de un polgono o de un poliedro (estudiaremos ms adelante) . En un tringulo es imposible dibujar una diagonal que una dos vrtices no consecutivos. Porque si parto de un vrtice y voy al 2 no consecutivo me encuentro con un lado del tringulo.

Debes tener en cuenta de que cada vrtice salen tantas diagonales como lados tiene el polgono menos 3 pero las contamos dos veces. Del cuadrado saldran: 4 (vrtices)x(4 3) = 4, pero se repetiran la mitad de las diagonales, luego, el nmero de diagonales del cuadrado sern 2. El pentgono tendr: 5 (vrtices)x(5 3) =5x2 = 10 pero repetiramos la mitad, 5 diagonales (las tendramos trazadas con anterioridad). Nos quedan 10 5 = 5 diagonales. El hexgono tendr: 6 (vrtices)x(6 3) =6x3 = 18 pero repetiramos 9 diagonales (las tendramos trazadas con anterioridad). Nos quedan 18 9 =9 diagonales. El heptgono tiene: 7 (vrtices)x(7 3) =7x4 = 28 pero repetiramos, las mitades, 14 diagonales (las tendramos trazadas con anterioridad). Nos quedan 28 14 =14 diagonales.Para hacer el clculo ms sencillo aplicas la frmula

representando por n el nmero de lados del polgono: 15.74 Cuntas diagonales tiene un polgono de 28 lados?Respuesta: 350 diagonales15.75 En un tringulo, puede uno de sus ngulos ser cncavo?Respuesta: No, porque un ngulo cncavo vale ms de 180

Los dos lados a y b de la figura forman un ngulo cncavo de 225 y para trazar el tercer lado del tringulo vemos que nos es imposible.

RECTAS PERPENDICULARES

Rectas perpendiculares son las que al cortarse forman cuatro ngulos iguales.Las rectasmynson perpendiculares porque al cortarse forman 4 ngulos de 90.

COMO DIBUJAR CON REGLA Y COMPS DOS RECTAS PERPENDICULARES:Antes de comenzar a desarrollar lo propuesto en este apartado vamos a recordarte qu entendemos porarco?Arco:Es una parte, una porcin, un trozo comprendido entre dos puntos de una circunferencia:

La curva comprendida entre los puntosAyB(en color rojo) de la circunferencia, es la parte o porcin de la misma que llamamosarco.Veamos como lo hacemos en 4 pasos:En la figura siguiente tenemos el segmentoy con un radio un poco mayor que la mitad del segmento y haciendo centro enAtrazamos dos arcos como los tienes dibujados a continuacin:

Con el mismo radio y haciendo centro enBtrazas otros dos arcos que se cortan enCyDquedndote:

Ahora unes los puntos de interseccin de los arcos, puntosCyD, con una recta y sta, ser perpendicular al segmento

En el caso que te dijeran que trazaras una perpendicular a un segmento desde un punto concreto, por ejemplo:

Como ves, se trata de trazar una perpendicular al segmentodesde el puntoP.Tomas el comps y con un radio capaz de cortar al segmentoen dos puntosCyDtrazas el arco correspondiente:

Volvemos a hacer uso del comps, hacemos centro enCyDcon un radio algo mayor de la mitad del segmentoy trazamos los dos arcos que tienes a continuacin cuyo punto de interseccin es el puntoE:

Ahora slo nos falta unir los puntosEyP. La recta que une ambos puntos es perpendicular a:

Ahora vamos a estudiar como trazar sirvindonos con regla y comps una perpendicular a un segmento, pero poruno de sus extremos.En primer dibujamos el segmento

Con un comps y haciendo centro enA, que ser el punto de interseccin con la perpendicular que trazaremos despus, con un radio cualquiera (este radio lo usars varias veces) trazamos un arco:

Ahora, con centro enC, y con el mismo radio trazamos otro arco:

Los arcos que hemos dibujado se han cortado enD.Con el mismo radio, y con centro enD, trazamos el arco siguiente:

Con el mismo radio y centro enEdibujamos el arco que ves en la figura siguiente:

Por ltimo, no tienes ms que unir los puntosAyFpara obtener la perpendicular al segmentoen el origenA: