TALLER DE GEOMETRIA ANALITICA.

La circunferencia. Es el conjunto de puntos en un plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. Esta distancia se llama radio.

Ecuación general 2 2

0Ax By Cx Dy E+ + + + =

Donde A B= y la y y la x están al cuadrado.

Ecuación Simétrica ( ) ( )2 2 2x h y k r− + − =

Ejercicios.

1. Hallar el centro ( ),C h k y el valor del radio de las siguientes circunferencias.

2 23 5 14 0x y x y+ − + − =

2 2

4 6 3 0x y x y+ + − − =

2 23 3 4 7 0x y y+ + − =

2 2

2 2 8 20 22 0x y x y+ − − + =

2 24 4 9 0x y x y+ + + − =

2 2

5 5 32 8 34 0x y x y+ − − − =

2. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es (7,-6) y pasa por el punto (2.2).

3. Demostrar que las circunferencias 2 24 4 16 12 13 0x y x y+ − + + = y

2 212 12 48 36 55 0x y x y+ − + + = son concéntricas.

Radio C (h,k)

La parábola. Es el conjunto de todos los puntos en un plano equidistante de un punto fijo F (el foco) y una recta fija L (La directriz) que están en el plano.

F

p

V

p Directriz.

Ecuación general 2

0Ax Cx Dy E+ + + = despejando a

2y ax bx c= + +

La ecuación simétrica es ( ) ( )24x h p y k− = −

Donde:

( ) ( )1, , :

4p Vertice h k Foco h k p Directriz y k p

a= + = −

Si p>0 si p<0

Ecuación general 2

0Ay Cy Dx E+ + + = despejando a

2x ay by c= + +

La ecuación simétrica es ( ) ( )24y k p x h− = −

Donde

( ) ( )1, , :

4p Vertice h k Foco h p k Directriz x h p eje y k

a= + = − =

Si p>0 si p<0

Ejercicios.

Encontrar el vértice, el foco, la directriz y el eje de las siguientes parábolas.

24y x=

2 4

3y x= −

2

16x y= −

228x y=

( )21 16y x− =

( ) ( )2

5 4 1x y+ = − +

28 2 10 0y y x− + + =

2 15 6 0

4x x y+ − + =

2

6 12 24 42 0y y x− + − =

Encuentre la ecuación general de la parábola que satisface las siguientes condiciones.

( )0,7 7F directriz y = −

( )1,4 5F directriz x− =

( )5,0 0,02

F V

( ) ( )1,5 1, 3F V −

La elipse. Es el conjunto de puntos de un plano para los que es constante la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados foco

A2

P(x,y)

V2 V1

A2

F2 C (h,k)

F1

Elementos de la elipse. A1

V2 V1

A2

Donde: 1 22VV a=

llamado eje mayor, a es la distancia ente el centro y cada

uno de los vértices

1 22A A b=

Llamado eje menor, b es la distancia ente el centro y cada uno de

los puntos 1 2A A

La distancia entre el centro y cada uno de los focos es c.

La ecuación2 2 2a b c= + siempre se cumple en la elipse.

Ecuaciones.

La ecuación general de la elipse es: 2 20Ax By Cx Dy E+ + + + = donde

A y B son diferente y tienen el mismo signo.

Las ecuaciones estándar es de la elipse son:

( ) ( )2 2

2 21

x h y ka b

a b

− −+ = >

Donde: Centro ( ),C h k

, Vértices ( ) ( )1 2

, , ,V h a k V h a k+ −

Focos ( ) ( )1 2, , ,F h c k F h c k+ −

, eje mayor paralelo al eje x.

( ) ( )1 2, , ,A h k b A h k b+ −

La elipse es

Las ecuación es estándar es de la elipse son:

( ) ( )2 2

2 21

y k x ha b

a b

− −+ = >

F2 c b C(hk) a

Donde: Centro ( ),C h k

, Vértices ( ) ( )1 2, , ,V h k a V h k a+ −

Focos ( ) ( )1 2, , ,F h k c F h k c+ −

, eje mayor paralelo al eje y.

( ) ( )1 2, , ,A h b k A h b k+ −

La elipse es de la forma

Excentricidad. 0 1c

e ea

= < <

Si 1e ≅ La elipse se aproxima a una circunferencia de radio a

Si 0e ≅ La elipse se aplana

Ejercicios.

1. En los siguientes ejercicios Hallar: El centro, focos, vértices y excentricidad de las elipses.

2 2

125 9

x y+ =

2

21

16

yx + =

2 2

9 16 144x y+ =

2

2 14 4

2x y

+ + =

( ) ( )2 25 1 3 2 45x y− + + =

2 225 9 100 18 116 0x y x y+ − + − =

2. Encuentre la ecuación general de la elipse que cumple con las siguientes condiciones.

( ) ( )5,0 , 3,0V F± ±

( ) ( )0, 3 , 0, 1V F± ±

( ) ( )0, 3 , 1,0V A± ±

( )2,0 6F longitud del eje menor±

R=a

b

( ) ( )0, 3 1,2 2F pasa por el punto± −

( ) ( ) ( )1.3 , 1, 1 , 1,0C V F−

La hipérbola . Es el conjunto de todos los puntos en un plano para los que es constante la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos.

y

P(x,y)

F1 F2 x

Elementos de la hipérbola:

A1

F1 V1 c C a V2 F2

A2

Donde: 1 22VV a=

llamado eje transverso, a es la distancia ente el centro C y

cada uno de los vértices, sobre el eje transverso están el centro, los vértices y los focos

1 22A A b=

Llamado eje conjugado, b es la distancia ente el centro y cada uno

de los puntos 1 2A A

La distancia entre el centro y cada uno de los focos es c.

Las rectas punteadas son las asíntotas con pendientes:

Para la asíntota b

ma

= +

Para la asíntota b

ma

= −

La ecuación2 2 2c a b= + siempre se cumple en la hipérbola.

Ecuaciones.

La ecuación general de la hipérbola es: 2 20Ax By Cx Dy E+ + + + = donde

A y B tienen diferente signo.

Las ecuaciones estándares de la hipérbola son:

( ) ( )2 2

2 21

x h y k

a b

− −− =

Donde: Centro ( ),C h k

, Vértices ( ) ( )1 2

, , ,V h a k V h a k+ −

Focos ( ) ( )1 2, , ,F h c k F h c k+ −

, eje transverso paralelo al eje x (es la parte positiva).

( ) ( )1 2, , ,A h k b A h k b+ −

Las ecuaciones de las asíntotas es ( )by k x h

a− = ± −

Las ecuaciones estándares de la hipérbola son:

( ) ( )2 2

2 21

y k x h

a b

− −− =

Donde: Centro ( ),C h k

, Vértices ( ) ( )1 2, , ,V h k a V h k a+ −

Focos ( ) ( )1 2, , ,F h k c F h k c+ −

, eje transverso paralelo al eje y (es la parte positiva)

( ) ( )1 2, , ,A h b k A h b k+ −

Las ecuaciones de las asíntotas son ( )ay k x h

b− = ± −

Ejercicios.

1. En los siguientes ejercicios Hallar; el centro, los focos, los vértices y asíntotas de la hipérbola.

a. 2 2

116 25

x y− =

b. 2 2

164 9

y x− =

c. 2 24 16 64x y− =

d. ( ) ( )2 225 5 5 1 125x y− − − =

e. ( ) ( )2 28 4 5 1 40 0x y+ − − + =

f. 2 24 8 6 4 0x y x y− − + − =

g. 2 29 4 54 16 29 0x y x y− − − + =

h. 2 225 9 100 54 10 0x y x y− + − + =

2. Encuentre en cada ejercicio la ecuación de la hipérbola que satisface las

condiciones dadas.

a. ( )5,0 , 3F a± =

b. ( ) ( )0, 4 , 0, 2F un verticeV± −

c. ( )4,0 , 6F longitud del eje transverso±

d. ( )0, 8 , sin 2V a totas y x± = ±

e. ( ) ( ) ( )1, 3 , 1,6 , 1, 5C un foco F un verticeV− −