TALLER DE MATEMTICAS BSICAS LAS FUNCIONES COMO MODELOS MATEMTICOS

Docente: Augusto Gmez Palacio

1) Un cultivo de bacterias crece en forma exponencial, si inicialmente haba 1500 bacterias y al cabo de 90 minutos se detect un incremento del 30% en la poblacin, se pregunta: a) Hallar la cantidad de bacterias que hay en dicho en un tiempo t (t en minutos). b) Cuntas bacterias habr al cabo de dos horas? c) Cunto tiempo en horas se requiere para que la poblacin inicial se incremente en un 80%? 2) El Gerente de Servicios Pblicos de una ciudad sabe que su poblacin se est incrementando en un 8% anualmente. Si el primero de enero del 2012 la poblacin es de 80000 habitantes, cuntos metros cbicos de agua debern ser tratados durante cada mes en la planta surtidora a partir del primero de enero del 2022, cuando se supone que el nmero de la poblacin permanecer estable? (asuma que una persona consume, en promedio, de agua mensualmente). 3) Se compra una mquina por 350000000 de pesos. Si dicha mquina se deprecia en forma exponencial, se pregunta: a) Al cabo de cuntos aos valdr 220000000 de pesos, sabiendo que a los 9 meses de haber salido de la Agencia su valor era de 330000000 de pesos? b) Si se sabe que la vida til para esta mquina es de 15 aos, dndole los manejos adecuados y trabajndola 8 horas diarias y durante todos los das, cul ser su valor al momento de terminar su vida til? 4) La vida media del paladio 100, istopo radiactivo del paladio, un elemento qumico, es de cuatro das (la vida media es el tiempo que tarda una sustancia en reducir su masa a la mitad). La masa inicial de una muestra es de 1.0 g. Se pide: a) Encontrar la cantidad que queda despus de 16 das. b) Indicar la masa que queda despus de t das. c) Dibujar la grfica de esta funcin. d) Al cabo de cunto tiempo la masa se reducir a 0.01 g? 5) Un ganadero dispone de un terreno rectangular para hacer potreros en l; razn por la cual, decide dividirlo en cuatro lotes, cercndolos con cuatro hiladas de

alambre de pas en forma paralela al largo del terreno (X). Si adems va a cercar el permetro del terreno con cuatro hiladas de alambre, se pide: a) Hallar el rea total del terreno que se va a cercar, en funcin de X, sabiendo que se dispone de 40 rollos de alambre de 500 m. cada uno (Suponga que el terreno es muy grande y que no necesariamente hay que cercarlo todo con el alambre disponible). b) Encuentre el dominio de la funcin resultante que permite que el problema tenga sentido. c) Graficar la funcin resultante. d) Hallar las dimensiones del terreno que permitan un rea mxima cercada con el alambre disponible. Cul es esa rea? 6) Dos nmeros suman 6. Si uno de los nmeros lo nombramos con X, se pide: a) Escribir una expresin, en funcin de X, que permita calcular el producto de uno de los nmeros por el cuadrado del otro. b) Para qu valores de X el producto es positivo? 7) Dos nmeros positivos suman 32. Si uno de los nmeros lo nombramos con X, se pide: a) Escribir una expresin, en funcin de X, que permita calcular la suma de los cuadrados de ambos nmeros. b) Para qu valores de X la suma es mnima? 8) En el proyecto de una heladera se calcula que si se instalan sillas para ubicar entre 40 y 80 personas, la ganancia diaria ser de $8000 por silla, pero si la capacidad de las sillas sobrepasa las 80, entonces la ganancia diaria por silla disminuye $40 por el nmero de sillas excedentes. Si X es el nmero de sillas y G es la ganancia diaria, se pide: a) Expresar G en funcin de X. b) Dibujar la grfica de G y hallar su dominio donde el problema tenga sentido. c) Hallar el nmero de sillas que deben instalarse para obtener la mayor ganancia.

9) Una empresa de ebanistera ofrece fabricar cada mueble a un costo de $300000 si el pedido es de 40 unidades o menos. Para conseguir mejores contratos reduce en $50000 el costo por cada mueble que pase de 40. a) Si X es el nmero de muebles que va a fabricar la empresa, escribir una expresin para determinar el costo total de la fabricacin. b) Cul es el dominio de la funcin resultante donde el problema tiene sentido? c) Cuntos muebles deben fabricarse de tal manera que la empresa obtenga las mayores ganancias?

d) Hacer una grfica de la funcin resultante.

10) Se bombea agua en un tanque cnico con el vrtice hacia abajo, cuya altura es de 1.2 m y cuyo radio es de 40 cm. Expresar, en , el volumen del agua como una funcin de su profundidad. 11) Se debe construir una pista de atletismo con dos segmentos rectos y dos semicirculares. El radio de cada segmento semicircular es R. La longitud de la pista debe ser de 1000 m. Expresar el rea limitada por la pista como una funcin de R. 12) Un fabricante de envases de cartn desea construir cajas, sin la tapa superior, usando lminas cuadradas de cartn de 12 dm de lado, recortando cuadrados iguales de las cuatro esquinas y doblando los lados hacia arriba. a) Si X decmetros es la longitud del lado del cuadrado que debe recortarse, exprese en el volumen de la caja a fabricar, como funcin de X. b) Hallar el dominio de la funcin resultante. 13) La nmina diaria correspondiente a un grupo de trabajadores es directamente proporcional al nmero de obreros. Si 12 de stos perciben un pago total de $540000, se pide: a) Expresar el costo de la nmina diaria como una funcin del nmero de obreros. b) Cul es el costo de la nmina diaria para un grupo de 15 trabajadores? 14) Una ventana rectangular est rematada por un semicrculo. El permetro de la ventana es 200 cm y la cantidad de luz que ingresa por ella es directamente proporcional al rea de la ventana. a) Si X cm es el radio del semicrculo, expresar la cantidad de luz que ingresa por la ventana como funcin de X. b) Cul es el dominio de la funcin resultante? c) Cul es el radio del semicrculo de la ventana que admite el paso de la mayor cantidad de luz? 15) Una isla est ubicada en el punto A, 6 km mar adentro del punto ms cercano B, en una playa recta. Un pescador que se encuentra en la isla desea ir hacia un punto C, situado a 9 km de B, sobre la misma playa. El pescador puede alquilar una lancha por $15000 el km, desembarcar en un punto P, ubicado entre B y C, y alquilar all un carro con chofer, a un costo de $12000 por kilmetro, para llegar hasta C. Se pide: a) Hacer un dibujo para este problema. b) Si X es la distancia entre B y P, escribir una expresin que permita calcular el costo de viajar desde el punto A hasta el punto C. c) Cul es el dominio de la funcin resultante?

16) Un alambre de 36 cm de largo se va a partir en dos trozos. Una de las partes se doblar en forma de tringulo equiltero y la otra en forma de rectngulo cuya base es el doble de su ancho. Si llamamos X la longitud de la parte que se utiliz para construir el tringulo equiltero, se pide: a) Dibujar el problema. b) Hallar una ecuacin en funcin de X para la suma de las dos reas. c) Hallar el valor que debe tomar X para que la suma de las reas sea mnima. (No se le olvide que este punto normalmente se trabaja con elementos de clculo diferencial: primera y segunda derivada, pero como en este caso la funcin resultante, al igual que en muchos otros ejercicios que se han trabajado, es cuadrtica, se puede encontrar el punto mximo o mnimo con el vrtice de la parbola, que es la representacin grfica de dicha funcin). 17) Un paquete puede enviarse por correo ordinario slo si la suma de la altura y el permetro de la base es menor o igual que 2.5 metros. Si la base del paquete es un rectngulo de doble largo que ancho y el ancho lo llamamos X, se pide: a) Dibujar el problema. b) Escribir una ecuacin, en funcin de X, para calcular el volumen del paquete. c) Hallar el dominio de la funcin resultante donde el problema tenga sentido. 18) Un cilindro circular recto se inscribe en una esfera de radio 4 cm. Si llamamos X la altura del cilindro, se pide: a) Dibujar el problema. b) Escribir una ecuacin, en funcin de X, para calcular el volumen del cilindro. 19) Una pgina rectangular debe contener 96 cm2 de texto impreso. Las mrgenes superior e inferior tienen 3 cm de ancho y las laterales 2 cm, se pide: a) Hacer un dibujo del problema. b) Hallar el rea total de la pgina en funcin de X. c) Hallar el dominio de la funcin resultante donde el problema tenga sentido. 20) Los naranjos que crecen en una finca producen 600 naranjas al ao cada uno, si no se plantan ms de 20 rboles por cuadra de terreno. Por cada rbol que se plante de ms, el rendimiento de cada rbol disminuye en 15 naranjas. Se pide: a) Si X es el nmero de rboles plantados por cada cuadra de terreno, escribir una expresin para determinar la cantidad de naranjas producidas en cada cuadra de terreno. b) Hallar el dominio de la funcin resultante, donde el problema tiene sentido.