taller de matemáticas para economistas
TRANSCRIPT
![Page 1: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/1.jpg)
Taller de Matemáticas paraEconomistas
M. en C. Juliho Castillo3 de marzo de 2017
Escuela de Gobierno y Economía, Universidad Panamericana
1
![Page 2: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/2.jpg)
1 Revisión de Álgebra Básica
Exponentes
Polinomios
Factorización
Fracciones
Radicales
Jerarquía de operaciones2 Logaritmos
Logaritmo natural3 Trigonometría analítica
Identidades Trigonométricas Básicas
Fórmulas para suma y diferencia4 Diferenciación Logarítmica
Ejemplos5 Derivadas Parciales
Cálculo de derivadas parciales6 Derivación implícita
Diferencial de una función
Diferenciación implícita con derivadas parciales7 Integración por Partes8 Técnicas de integación trigonométrica
Integrados trigonométricos9 Fracciones parciales
Método de Fracciones Parciales
2
![Page 3: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/3.jpg)
Acerca de mí
![Page 4: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/4.jpg)
¡Bienvenidos al Taller de Matemáticas!
Mi nombre es Juliho...(sí, con “h” entre la “i” y la “o”.)
3
![Page 5: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/5.jpg)
¡Bienvenidos al Taller de Matemáticas!
Mi nombre es Juliho...(sí, con “h” entre la “i” y la “o”.)
3
![Page 6: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/6.jpg)
Educación
1 Candidato a Doctor: Instituto de Matemáticas, UNAM,posgrado en Ciencias Matemáticas. Proyecto de Tesis:“Técnicas simplécticas aplicadas a las solucionesgeneralizadas de la ecuación de Hamilton- Jacobi”, bajola dirección del Dr. Héctor Sanchez Morgado.
2 Maestro en Ciencias: Departamento de Matemáticas,CINVESTAV, especialidad en Matemáticas, fecha detitulación: 5 de febrero de 2013. Tesis: “Clasificación deCapacidades Simplécticas en Superficies”, bajo ladirección del Dr. Rustam Sadykov.
3 Licenciado en Ciencias: Escuela de Ciencias, UABJO,especialidad en Matemáticas, fecha de titulación: 14 deenero de 2011. Tesis: “Análisis Semiclásico de Operadoresde Schrödinger”, bajo la dirección del Dr. Héctor SanchezMorgado.
4
![Page 7: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/7.jpg)
Educación
1 Candidato a Doctor: Instituto de Matemáticas, UNAM,posgrado en Ciencias Matemáticas. Proyecto de Tesis:“Técnicas simplécticas aplicadas a las solucionesgeneralizadas de la ecuación de Hamilton- Jacobi”, bajola dirección del Dr. Héctor Sanchez Morgado.
2 Maestro en Ciencias: Departamento de Matemáticas,CINVESTAV, especialidad en Matemáticas, fecha detitulación: 5 de febrero de 2013. Tesis: “Clasificación deCapacidades Simplécticas en Superficies”, bajo ladirección del Dr. Rustam Sadykov.
3 Licenciado en Ciencias: Escuela de Ciencias, UABJO,especialidad en Matemáticas, fecha de titulación: 14 deenero de 2011. Tesis: “Análisis Semiclásico de Operadoresde Schrödinger”, bajo la dirección del Dr. Héctor SanchezMorgado.
4
![Page 8: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/8.jpg)
Educación
1 Candidato a Doctor: Instituto de Matemáticas, UNAM,posgrado en Ciencias Matemáticas. Proyecto de Tesis:“Técnicas simplécticas aplicadas a las solucionesgeneralizadas de la ecuación de Hamilton- Jacobi”, bajola dirección del Dr. Héctor Sanchez Morgado.
2 Maestro en Ciencias: Departamento de Matemáticas,CINVESTAV, especialidad en Matemáticas, fecha detitulación: 5 de febrero de 2013. Tesis: “Clasificación deCapacidades Simplécticas en Superficies”, bajo ladirección del Dr. Rustam Sadykov.
3 Licenciado en Ciencias: Escuela de Ciencias, UABJO,especialidad en Matemáticas, fecha de titulación: 14 deenero de 2011. Tesis: “Análisis Semiclásico de Operadoresde Schrödinger”, bajo la dirección del Dr. Héctor SanchezMorgado.
4
![Page 9: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/9.jpg)
Publicaciones
2014 Symplectic capacities on surfaces: ManuscriptaMathematica, Vol. 229, artículo 701, Artículo deInvestigación.En colaboración con Dr. Rystam Sadykov
2012 Aplicaciones del Control Estocástico al AnálisisSemiclásico: Aportaciones Matemáticas, Memorias 45,69-96, Artículo de exposición.
5
![Page 10: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/10.jpg)
Reconocimientos
2011 Premio Nacional “Mixbaal” a las Mejores Tesis deLicenciatura en Matemáticas Aplicadas, MenciónHonorífica
2011 Conferencista invitado, Sesión del Premio Mixbaal,ENOAN XXI
2001 Seleccionado Estatal, XV Olimpiada Mexicana deMatemáticas, Delegación Oaxaca
6
![Page 11: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/11.jpg)
Experiencia docente
Actual Profesor de Asignatura, Universidad Panamericana,ESDAI, Ciudad de México.
2014-2015 Coordinador Académico, Club de Matemáticas“Teorema”, Centro de Formación en Ciencias yMatemáticas, Oaxaca.
2014 Codelegado, Olimpiada Mexicana de Matemáticas,Delegación Oaxaca.
2013 Profesor de Asignatura, Instituto Blaise Pascal, Académiade Matemáticas, Oaxaca de Juárez.
2013 Profesor de Asignatura, Universidad Anáhuac México Sur,Facultad de Ingeniería, Ciudad de México.
2012-2013 Profesor de Asignatura, Universidad Panamericana,Facultad de Ingeniería, Ciudad de México.
2005-2010 Entrenador, Olimpiada Mexicana de Matemáticas,Delegación Oaxaca.
7
![Page 12: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/12.jpg)
Revisión de Álgebra Básica
![Page 13: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/13.jpg)
Ejemplo 2.1.
Simplifique, usando leyes de los exponentes
1 x2x5 =
2x8
x2
3 (x3)2
4 (xy)3
5
(x
y
)5
6x2
x3
7√
x
84√
x3
9x3
x3 8
![Page 14: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/14.jpg)
Ejemplo 2.2.
Simplifique, sumando términos semejantes:
1 6x3 + 15x3
2 18xy − 7xy
3 (4x3 + 13x2 − 7x) + (11x3 − 8x2 − 9x)4 (22x − 19y) + (7x + 6z)
9
![Page 15: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/15.jpg)
Ejemplo 2.3.
Realice las siguientes multiplicaciones y divisiones:
1 20x4 · 7y6
2 6x2y3 · 8x4y6
3 12x3y2 · 5y4z5
4 3x3y2z5 · 15x4y3z4
524x5y3z7
6x3y2z4
635x2y7z5
5x6y4z8
10
![Page 16: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/16.jpg)
Ejemplo 2.4.
Realice las siguientes multiplicaciones:
1 (5x + 8y) (3x + 7y)2 (4x + 5y) (2x − 7y − 3z)
11
![Page 17: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/17.jpg)
Ejemplo 2.5.
Factorice
1 x2 + 11x + 242 6x2 + 13x − 5
12
![Page 18: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/18.jpg)
Ejemplo 2.6.
Realice las siguientes operaciones usando las reglas comunespara fracciones
15
2x − 18x − 9x − 4
216y
÷ 7y2 − 3
36z
z + 5 − 4z + 9z + 5
4x
5 − 37x
13
![Page 19: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/19.jpg)
Ejemplo 2.7.
1(
3√
27)3
2√
3√
643
√8√
18
44√
17824√
22
14
![Page 20: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/20.jpg)
Ejemplo 2.8.
(52 · 6)10 − 8
15
![Page 21: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/21.jpg)
Logaritmos
![Page 22: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/22.jpg)
Definición 3.1.Sea b > 0, b 6= 0 una base y expb(x) = bx la funciónexponencial en base b; su función inversa es el logaritmo enbase b y se denota por logb(x).
Esto quiere decirlogb (expb(x)) = x x ∈ (−∞, ∞)expb (logb(x)) = x x > 0
En otras palabras: Si y > 0, entonces
expb(x) = y ⇐⇒ x = logb(y). (3.1)
16
![Page 23: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/23.jpg)
Definición 3.1.Sea b > 0, b 6= 0 una base y expb(x) = bx la funciónexponencial en base b; su función inversa es el logaritmo enbase b y se denota por logb(x).
Esto quiere decirlogb (expb(x)) = x x ∈ (−∞, ∞)expb (logb(x)) = x x > 0
En otras palabras: Si y > 0, entonces
expb(x) = y ⇐⇒ x = logb(y). (3.1)
16
![Page 24: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/24.jpg)
Definición 3.1.Sea b > 0, b 6= 0 una base y expb(x) = bx la funciónexponencial en base b; su función inversa es el logaritmo enbase b y se denota por logb(x).
Esto quiere decirlogb (expb(x)) = x x ∈ (−∞, ∞)expb (logb(x)) = x x > 0
En otras palabras: Si y > 0, entonces
expb(x) = y ⇐⇒ x = logb(y). (3.1)
16
![Page 25: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/25.jpg)
Figura 3.1: expb(x) vs logb(x)
17
![Page 26: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/26.jpg)
Leyes de los exponentes y funciones exponenciales
Las leyes de los exponentes se pueden traducir en propiedadesde las funciones exponenciales. La idea fundamental es queexpb(x) tranforma R, los números reales, con la operaciónsuma en R+, los reales positivos, con la operaciónmultiplicación.
Leyes de los exponentes Funciones exponencialesb0 = 1 expb (0) = 1b1 = b expb (1) = b
bx+y = bxby expb (x + y) = expb (x) expb (y)
bx−y = bx
byexpb (x − y) = expb (x)
expb (y)bnx = [bx]n expb (nx) = [expb (x)]n
18
![Page 27: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/27.jpg)
Leyes de los exponentes y funciones exponenciales
Las leyes de los exponentes se pueden traducir en propiedadesde las funciones exponenciales. La idea fundamental es queexpb(x) tranforma R, los números reales, con la operaciónsuma en R+, los reales positivos, con la operaciónmultiplicación.
Leyes de los exponentes Funciones exponencialesb0 = 1 expb (0) = 1b1 = b expb (1) = b
bx+y = bxby expb (x + y) = expb (x) expb (y)
bx−y = bx
byexpb (x − y) = expb (x)
expb (y)bnx = [bx]n expb (nx) = [expb (x)]n
18
![Page 28: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/28.jpg)
Propiedades de logaritmos
Las funciones logarítmicas revierten las operaciones realizadascon las exponenciales: Si x, y > 0, entonces
Las funciones logarítmicas... convierten... en...logb (1) = 0 1 0.
logb (b) = 1 la base b 1.
logb (xy) = logb (x) + logb (y) la multiplicación suma.
logb
(x
y
)= logb (x) − logb (y) la división resta.
logb (xn) = n logb (x) exponentes coeficientes.
19
![Page 29: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/29.jpg)
Ejemplo 3.1.Simplificar log10 (1000) .
Solución.
log10 (1000) = log10
(103
)= 3 (log10 (10))= 3(1) = 1.
20
![Page 30: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/30.jpg)
Ejemplo 3.2.Simplificar log2 (32) .
Solución.
log2 (32) = log2
(25)
= 5 (log2 (2))= 5(1) = 5.
21
![Page 31: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/31.jpg)
Ejemplo 3.2.Simplificar log2 (32) .
Solución.
log2 (32) = log2
(25)
= 5 (log2 (2))= 5(1) = 5.
21
![Page 32: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/32.jpg)
Ejemplo 3.3.
Simplificar log5
(1
125
).
Solución.
log5
( 1125
)= log5
( 153
)= log5 (1) − log5
(53)
= 0 − 3 (log5 (5))= −3(1) = −3.
22
![Page 33: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/33.jpg)
Ejemplo 3.4.Solucionar log4 (x) = 1
2 .
Solución.
log4 (x) = 12 → x = exp4
(12
)→ x = 4 1
2
→ x =√
4 = 2.
23
![Page 34: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/34.jpg)
Ejemplo 3.4.Solucionar log4 (x) = 1
2 .
Solución.
log4 (x) = 12 → x = exp4
(12
)→ x = 4 1
2
→ x =√
4 = 2.
23
![Page 35: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/35.jpg)
Observación 3.1.La función exponencial es 1 : 1, es decir
bx = bx′ → x = x′.
24
![Page 36: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/36.jpg)
Ejemplo 3.5.Solucionar log64 (16) = x.
Solución.
log64 (16) = x → 16 = exp64 (x)→ 24 = 64x
→ 24 =(26)x
→ 24 = 26x → 4 = 6x
→ x = 23 .
25
![Page 37: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/37.jpg)
Ejemplo 3.6.Solucionar logx (27) = 3.
Solución.
logx (27) = 3 → 27 = expx (3)→ 27 = x3
→ x = 3√
27 = 3.
26
![Page 38: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/38.jpg)
Ejemplo 3.6.Solucionar logx (27) = 3.
Solución.
logx (27) = 3 → 27 = expx (3)→ 27 = x3
→ x = 3√
27 = 3.
26
![Page 39: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/39.jpg)
Ejemplo 3.7.Reescriba las siguientes expresiones en términos de log5 (2) ylog5 (3) :
1 log5
(53
);
2 log5 (8) ;3 log5 (36) .
27
![Page 40: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/40.jpg)
Solución.
1
log5
(53
)= log5 (5) − log5 (3) = 1 − log5 (3) .
2
log5 (8) = log5
(23)
= 3 log5 (5) = 3.
3
log5 (36) = log5
(2232
)= 2 log5 (2) + 2 log5 (3) .
28
![Page 41: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/41.jpg)
Consideremos una inversión inicial de $1, a una tasa de interésanual de r = 1, a un plazo de T = 1, es decir, de un año. Sivariamos el número de periodos M, en el que se compone lainversión al año, obtenemos los siguientes resultados:
M (1 + 1/M)M
1 2.010 2.5937424601100 2.704813829421000 2.7169239322410000 2.71814592683
29
![Page 42: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/42.jpg)
Como se puede observar,(
1 + 1M
)M
→ 2.71828182846
si M → ∞.
Observación 3.2.e ≈ 2.71828182846 se llama constante de Euler y al logaritmobase e se le llama logaritmo natura y se denota por ln(x).
30
![Page 43: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/43.jpg)
Como se puede observar,(
1 + 1M
)M
→ 2.71828182846
si M → ∞.
Observación 3.2.e ≈ 2.71828182846 se llama constante de Euler y al logaritmobase e se le llama logaritmo natura y se denota por ln(x).
30
![Page 44: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/44.jpg)
En general, realizando el cambio de variable M = N
r, tenemos
que
A(1 + r
N)NT = A(1 + 1
M)rMT
= A
((1 + 1
M
)M)rT
→ AerT
cuando N, M → ∞.
Observación 3.3.Esta es la motivacación de la fórmula de interés compuestocontinuamente.
31
![Page 45: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/45.jpg)
Ejemplo 3.8.Resuelva 3 = e20x.
Solución.
3 = e20x → ln(3) = ln(e20x)→ ln(3) = 20x
→ x = ln(3)20 ≈ 0.0549
32
![Page 46: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/46.jpg)
Ejemplo 3.8.Resuelva 3 = e20x.
Solución.
3 = e20x → ln(3) = ln(e20x)→ ln(3) = 20x
→ x = ln(3)20 ≈ 0.0549
32
![Page 47: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/47.jpg)
Ejemplo 3.9.Resuelva 2 ln(x) = 1
Solución.
2 ln(x) = 1 → ln(x) = 12
→ x = exp(12)
→ x = e12 =
√e ≈ 1.648
33
![Page 48: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/48.jpg)
Ejemplo 3.9.Resuelva 2 ln(x) = 1
Solución.
2 ln(x) = 1 → ln(x) = 12
→ x = exp(12)
→ x = e12 =
√e ≈ 1.648
33
![Page 49: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/49.jpg)
Ejemplo 3.10.Considere una inversión inicial C0 = $1, 000, a una tasa anualr = 8 % compuesta continuamente, ¿a que plazo de T añosdebe hacerse la inversión, para que esta se duplique?
Solución.Planteamos la ecuación 1000e0.08T = 2000. Despejamos T dela siguiente manera:
1000e0.08T = 2000 → e0.08T = 2→ 0.08T = ln(2)
→ T = ln(2)0.08 ≈ 8.66.
El plazo debe ser aprox. 8.66 años.
34
![Page 50: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/50.jpg)
Ejemplo 3.10.Considere una inversión inicial C0 = $1, 000, a una tasa anualr = 8 % compuesta continuamente, ¿a que plazo de T añosdebe hacerse la inversión, para que esta se duplique?
Solución.Planteamos la ecuación 1000e0.08T = 2000. Despejamos T dela siguiente manera:
1000e0.08T = 2000 → e0.08T = 2→ 0.08T = ln(2)
→ T = ln(2)0.08 ≈ 8.66.
El plazo debe ser aprox. 8.66 años.
34
![Page 51: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/51.jpg)
Observación 3.4.Observe que el tiempo que se tarda en duplicar el monto, esindependiente de la cantidad inicial C0. Trate de verificar estehecho, con diferentes montón y de justificarlo algebraicamente.
35
![Page 52: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/52.jpg)
Evaluación Continua 3.1.En los siguientes ejericios, evalué la expresión dada utilizandolas propiedades de los logaritmos:
1 ln e3
2 ln√
e
3 eln 5
4 e2 ln 3
5 e3 ln 2−2 ln 5
6 ln e3√e
e13
36
![Page 53: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/53.jpg)
Evaluación Continua 3.2.Resuelva las siguientes ecuaciones:
1 4x = 532 log3 (2x − 1) = 23 2 = e0.06x
4 3 = 2 + 5e−4x
5 ln(x) = 13 (ln 16 + 2 ln 2)
6 3x = e2
37
![Page 54: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/54.jpg)
Evaluación Continua 3.3.
1 ¿Cuán rápido se duplica el dinero si se invierte a una tasade interés anual de 6 %, capitalizado continuamente?
2 El dinero depositado en cierto banco se duplica cada 13años. El banco capitaliza el interés continuamente. ¿Quétasa de interés anual ofrece el banco?
3 Si una cantidad que gana interés capitalizandocontinuamente tarda 12 años en duplicar su valor,¿cuánto tardará en tripicarlo?
38
![Page 55: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/55.jpg)
Trigonometría analítica
![Page 56: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/56.jpg)
Identidades cociente
tan(t) = sin(t)cos(t)
ctg(t) = cos(t)sin(t)
39
![Page 57: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/57.jpg)
Identidades reciprocas
csc(t) = 1sin(t)
sec(t) = 1cos(t)
ctg(t) = 1tan(t)
40
![Page 58: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/58.jpg)
Identidades reciprocas
csc(t) = 1sin(t)
sec(t) = 1cos(t)
ctg(t) = 1tan(t)
40
![Page 59: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/59.jpg)
Identidades pitagóricas
sin2(t) + cos2(t) = 1tan2(t) + 1 = sec2(t)1 + tan2(t) = csc2(t)
41
![Page 60: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/60.jpg)
Identidades pitagóricas
sin2(t) + cos2(t) = 1tan2(t) + 1 = sec2(t)1 + tan2(t) = csc2(t)
41
![Page 61: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/61.jpg)
Identidades pitagóricas
sin2(t) + cos2(t) = 1tan2(t) + 1 = sec2(t)1 + tan2(t) = csc2(t)
41
![Page 62: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/62.jpg)
Identidades pitagóricas
sin2(t) + cos2(t) = 1tan2(t) + 1 = sec2(t)1 + tan2(t) = csc2(t)
41
![Page 63: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/63.jpg)
Identidades pitagóricas
sin2(t) + cos2(t) = 1tan2(t) + 1 = sec2(t)1 + tan2(t) = csc2(t)
41
![Page 64: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/64.jpg)
Identidades de paridad
sin(−t) = − sin(t)cos(−t) = cos(t)
42
![Page 65: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/65.jpg)
Identidades de paridad
sin(−t) = − sin(t)cos(−t) = cos(t)
42
![Page 66: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/66.jpg)
Identidades de paridad
sin(−t) = − sin(t)cos(−t) = cos(t)
42
![Page 67: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/67.jpg)
Identidades de paridad
sin(−t) = − sin(t)cos(−t) = cos(t)
42
![Page 68: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/68.jpg)
Ejemplo 4.1.Simplifique
ctg(t)csc(t)
43
![Page 69: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/69.jpg)
Ejemplo 4.2.Muestre que
cos(t)1 + sin(t) = 1 − sin(t)
cos(t)
44
![Page 70: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/70.jpg)
Ejemplo 4.3.Simplifique
1 + sin(u)sin(u) + ctg(u) − cos(u)
cos(u)
45
![Page 71: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/71.jpg)
Ejemplo 4.4.Simplifique
sin2(v) − 1tan(v)sin(v) − tan(v)
46
![Page 72: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/72.jpg)
Ejemplo 4.5.Establezca la identidad
csc(t)tan(t) = sec(t)
47
![Page 73: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/73.jpg)
Ejemplo 4.6.Establezca la identidad
1 + tan(u)1 + ctg(u) = tan(u)
48
![Page 74: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/74.jpg)
cos(t + u) = cos(t)cos(u) − sin(t)sin(u)sin(t + u) = sin(t)cos(u) + cos(t)sin(u)
49
![Page 75: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/75.jpg)
Ejemplo 4.7.Demuestre las siguientes identidades
cos(t − u) = cos(t)cos(u) + sin(t)sin(u)sin(t − u) = sin(t)cos(u) − cos(t)sin(u)
50
![Page 76: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/76.jpg)
Ejemplo 4.8.Demuestre las siguientes identidades
cos(
π
2 − t)
= sin(t)
sin(
π
2 − t)
= cos(t)
51
![Page 77: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/77.jpg)
Ejemplo 4.9.Demuestre que
tan(t + u) = tan(t) + tan(u)1 − tan(t)tan(u) ;
y encuentre una expresión para tan(t − u)
52
![Page 78: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/78.jpg)
Ejemplo 4.10.Demuestre que
sin(2t) = 2sin(t)cos(t)cos(2t) = cos2(t) − sin2(t)cos(2t) = 1 − 2sin2(t)cos(2t) = 2cos2 − 1
53
![Page 79: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/79.jpg)
Ejemplo 4.11.Demuestre que
tan(2t) = 2tan(t)1 − tan2(t)
54
![Page 80: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/80.jpg)
Ejemplo 4.12.Demuestre que
sin2(t) = 1 − cos(2t)2
55
![Page 81: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/81.jpg)
Ejemplo 4.13.Demuestre que
cos2(t) = 1 + cos(2t)2
56
![Page 82: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/82.jpg)
Ejemplo 4.14.Demuestre que
tan2(t) = 1 − cos(2t)1 − cos(2t)
57
![Page 83: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/83.jpg)
Diferenciación Logarítmica
![Page 84: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/84.jpg)
Propiedades Básicas de la Derivada
Proposición 5.1 (Linealidad).
Dx (c1f1(x) + c2f2(x)) = c1Dxf1(x) + c2Dxf2(x)
58
![Page 85: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/85.jpg)
Observación 5.1.No es cierto que
Dx (f(x)g(x)) = (Dxf(x)) (Dxg(x))
59
![Page 86: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/86.jpg)
Proposición 5.2 (Regla del producto).
Dx (f(x)g(x)) = (Dxf(x)) g(x) + f(x) (Dxg(x))
60
![Page 87: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/87.jpg)
La regla del cociente
Dx
(f(x)g(x)
)= f ′(x)g(x) − f(x)g′(x)
(g(x))2
es solamente una consecuencia de la regla del producto.
61
![Page 88: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/88.jpg)
Proposición 5.3 (Regla de la cadena).
Dx (f (g(x))) = f ′ (g(x)) g′(x)
62
![Page 89: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/89.jpg)
Proposición 5.4.
Dx
(eu(x)
)= eu(x)u′(x)
63
![Page 90: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/90.jpg)
Proposición 5.5.
Dx (ln (u(x))) = u′(x)u(x)
64
![Page 91: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/91.jpg)
Diferenciación Logaritmica
u′(x) = u(x) (Dx ln(u(x)))
65
![Page 92: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/92.jpg)
Ejemplo 5.1.Derive
f(x) =3√
x + 1(1 − 3x)4
66
![Page 93: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/93.jpg)
Ejemplo 5.2.Derive
y = xx
67
![Page 94: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/94.jpg)
Derivey = x(ex)
68
![Page 95: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/95.jpg)
Derivadas Parciales
![Page 96: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/96.jpg)
Objetivos del aprendizaje
1 Calcular e interpretar derivadas parciales.2 Aplicar derivadas parciales para estudiar problemas de
análisis marginal en economía.3 Calcular derivadas parciales de segundo orden.4 Usar la regla de la cadena de derivadas parciales para
encontrar tasas de cambio y hacer aproximacionesincrementales.
69
![Page 97: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/97.jpg)
Derivadas parciales de primer orden
La derivada parcial de f(x, y) respecto de x se denota por
∂xf(x, y) ó fx(x, y)
y es la función obtenida al derivar f respecto de x tratando ay como una constante.
70
![Page 98: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/98.jpg)
Derivadas parciales de primer orden
De manera similar, la derivada parcial de f(x, y) respecto de y
se denota por∂yf(x, y) ó fy(x, y)
y es la función obtenida al derivar f respecto de y tratando ax como una constante.
71
![Page 99: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/99.jpg)
Algunas propiedades y fórmulas
Proposición 6.1.Sean u(x, y), v(x, y) funciones de dos variables y h(y) unafunción que no depende de x.
1 ∂xh(y) = 0;2 ∂x (h(y)u) = h(y)∂xu;3 ∂x (u + v) = ∂xu + ∂xv;4 ∂x (uv) = u∂xv + v∂xu;5 ∂xun = nun−1∂xu;6 ∂xeu = eu∂xu;7 ∂x ln(u) = ∂xu
u.
72
![Page 100: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/100.jpg)
Observación 6.1.Las reglas siguen valiendo si: cambiamos ∂x por ∂y y h nodepende de y.
73
![Page 101: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/101.jpg)
Ejemplo 6.1.Encuentre las derivadas parciales de f(x, y) = x2 + 2xy2 + 2y
3x
El desarrollo completo del ejercicio lo puede encontrar en miCanal de YouTube. La comprobación de la solución la puedeencontrar en SageMathCell.
74
![Page 102: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/102.jpg)
Ejemplo 6.2.Encuentre las derivadas parciales de
f(x, y) = (x2 + x ∗ y + y)5.
El desarrollo completo del ejercicio lo puedes encontrar en miCanal de YouTube. La comprobación se puede encontrar enhttp://sagecell.sagemath.org/?q=vrfhpv
75
![Page 103: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/103.jpg)
Ejemplo 6.3.Encuentre las derivadas parciales de
f(x, y) = xe−2xy.
El desarrollo completo del ejercicio lo puedes encontrar en miCanal de YouTube. La comprobación se puede encontrar enhttp://sagecell.sagemath.org/?q=onrgkx
76
![Page 104: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/104.jpg)
Evaluación Continua 6.1.Evalue las derivadas parciales ∂xf(x, y) y ∂yf(x, y) en elpunto (x0, y0) dado:
1 f(x, y) = x3y − 2(x + y), x0 = 1, y0 = 0;2 f(x, y) = x + x
y − 3x, x0 = 1, y0 = 1;
3 f(x, y) = (x − 2y)2 + (y − 3x)2 + 5, x0 = 0, y0 = −1;
4 f(x, y) = xy ln(
y
x
)+ ln (2x − 3y)2, x0 = 1, y0 = 1;
Puede verificar sus resultados con este este script.
77
![Page 105: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/105.jpg)
Derivación implícita
![Page 106: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/106.jpg)
Si f es una función de x, y y, a su vez, tanto x como y sonfunciones de una tercera variable t, entonces podemos usar lasiguiente versión de la regla de la cadena:
d
dt[f(x(t), y(t)] = ∂f
∂x
dx
dt+ ∂f
∂y
dy
dt. (RC)
Abusando de la notación, escribimos f(t) = f(x(t), y(t) ypodemos reescribir la regla de la cadena como
f ′(t) = ∂xf(x, y)x′(t) + ∂yf(x, y)y′(t).
78
![Page 107: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/107.jpg)
Si f es una función de x, y y, a su vez, tanto x como y sonfunciones de una tercera variable t, entonces podemos usar lasiguiente versión de la regla de la cadena:
d
dt[f(x(t), y(t)] = ∂f
∂x
dx
dt+ ∂f
∂y
dy
dt. (RC)
Abusando de la notación, escribimos f(t) = f(x(t), y(t) ypodemos reescribir la regla de la cadena como
f ′(t) = ∂xf(x, y)x′(t) + ∂yf(x, y)y′(t).
78
![Page 108: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/108.jpg)
En la ecuación anterior, podemos omitir la dependencia dt dela variable t
df
dt= ∂f
∂x
dx
dt+ ∂f
∂y
dy
dt
y obtenemos la siguiente
Definición 7.1 (Diferencial de f(x, y)).
df(x, y) = ∂xf(x, y)dx + ∂yf(x, y)dy. (df)
79
![Page 109: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/109.jpg)
En la ecuación anterior, podemos omitir la dependencia dt dela variable t
df
dt= ∂f
∂x
dx
dt+ ∂f
∂y
dy
dt
y obtenemos la siguiente
Definición 7.1 (Diferencial de f(x, y)).
df(x, y) = ∂xf(x, y)dx + ∂yf(x, y)dy. (df)
79
![Page 110: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/110.jpg)
Podemos interpretar la fórmula (df), en términos deaproximaciones por incrementos. Si tanto ∆x ≈ 0 como∆y ≈ 0, entonces
∆f ≈ ∂xf(x, y)∆x + ∂yf(x, y)∆y.
80
![Page 111: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/111.jpg)
Podemos interpretar la fórmula (df), en términos deaproximaciones por incrementos. Si tanto ∆x ≈ 0 como∆y ≈ 0, entonces
∆f ≈ ∂xf(x, y)∆x + ∂yf(x, y)∆y.
80
![Page 112: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/112.jpg)
Un caso especial de (RC) es cuando x = t, de manera que
dx
dx= 1,
dy
dx= y′.
Entonces obtenemos el caso especial
df
dx= ∂xf(x, y) + ∂yf(x, y)y′(x).
Si fijamos una curva de nivel, f(x, y) al derivar respecto de x
de ambos lados tenemos que dfdx
= 0, y sustituyendo la fórmulaanterior, obtenemos
∂xf(x, y) + ∂yf(x, y)y′(x) = 0.
81
![Page 113: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/113.jpg)
Un caso especial de (RC) es cuando x = t, de manera que
dx
dx= 1,
dy
dx= y′.
Entonces obtenemos el caso especial
df
dx= ∂xf(x, y) + ∂yf(x, y)y′(x).
Si fijamos una curva de nivel, f(x, y) al derivar respecto de x
de ambos lados tenemos que dfdx
= 0, y sustituyendo la fórmulaanterior, obtenemos
∂xf(x, y) + ∂yf(x, y)y′(x) = 0.
81
![Page 114: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/114.jpg)
Diferenciación implícita con derivadas parciales
Finalmente, al despejar y′(x), obtenemos la siguiente fórmulapara derivación implícita con derivadas parciales
dy
dx= −∂xf(x, y)
∂yf(x, y) (DIDP)
82
![Page 115: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/115.jpg)
Ejemplo 7.1.Encuentre dy
dxa partir de x2 − 6 xy + 9 y2 = 9 con la fórmula
(DIDP).
En este caso f(x, y) = x2 − 6 xy + 9 y2. Calculamos lasparciales ∂xf(x, y) = 2 x − 6 y
∂yf(x, y) = −6 x + 18 y
y sustituyento y simplificando en (DIDP), obtenemos
dy
dx= − (2 x − 6 y)
(−6 x + 18 y) = 13 .
83
![Page 116: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/116.jpg)
Ejemplo 7.2.Encuentre dy
dxa partir de 4 x2 − 4 xy + y2 = 4 con la fórmula
(DIDP).
En este caso f(x, y) = f(x, y) = 4 x2 − 4 xy + y2. Calculamoslas parciales ∂xf(x, y) = 8 x − 4 y
∂yf(x, y) = −4 x + 2 y
y sustituyento y simplificando en (DIDP), obtenemos
dy
dx= − (8 x − 4 y)
(−4 x + 2 y) = 2.
84
![Page 117: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/117.jpg)
Evaluación Continua 7.1.Encuentre dy
dxpor usando la fórmula (DIDP):
1 x2y = 1.
2 (2x + 3y)5 = x + 1.
3 x2 + 2y3 = 3xy
.
4 4x2 + y2 = 1.
5 3x2 − 2y2 = 6.
Observación 7.1.Recuerde que antes debe reescribir la ecuación de modo que ellado derecho sea constante.
85
![Page 118: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/118.jpg)
Integración por Partes
![Page 119: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/119.jpg)
Integración por partes
A partir de la regla del producto
Dx (uv) = uv′ + vu′,
se duduce la fórmula de integración por partes:∫udv = uv −
∫vdu (8.1)
86
![Page 120: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/120.jpg)
Ejemplo 8.1.Encuentre ∫
x ln(x)dx.
87
![Page 121: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/121.jpg)
Ejemplo 8.2.Encuentre ∫
xexdx.
88
![Page 122: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/122.jpg)
Ejemplo 8.3.Encuentre ∫
ex cos(x)dx.
89
![Page 123: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/123.jpg)
Técnicas de integacióntrigonométrica
![Page 124: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/124.jpg)
Caso 1
Considérense las integrales de la forma∫sink(x)cosn(x)dx,
con k, n enteros no negativos.
90
![Page 125: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/125.jpg)
Tipo 1.1
Al menos uno de los números k, n es impar. Podemos escogeru = cos(x) o u = sin(x)
91
![Page 126: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/126.jpg)
Ejemplo 9.1.
∫sin3(x) cos2(x)dx.
92
![Page 127: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/127.jpg)
Ejemplo 9.2.
∫sin4(x)cos7(x)dx
93
![Page 128: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/128.jpg)
Ejemplo 9.3.
∫sin5(x)dx
94
![Page 129: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/129.jpg)
Tipo 1.2
Ambas potencias k, n son pares. Esto siempre supone uncálculo más tedioso mediante las identidades
cos2(x) = 1 + cos(2x)2
sin2(x) = 1 − cos(2x)2
95
![Page 130: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/130.jpg)
Ejemplo 9.4.
∫cos2(x)sin4(x)dx
96
![Page 131: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/131.jpg)
Caso 2
Considérense las integrales de la forma∫tank(x)secn(x)dx.
Recuerde quesec2(x) = 1 + tan2(x).
97
![Page 132: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/132.jpg)
Caso 2
Considérense las integrales de la forma∫tank(x)secn(x)dx.
Recuerde quesec2(x) = 1 + tan2(x).
97
![Page 133: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/133.jpg)
Tipo 2.1
Si n es impar, entonces se sustituye u = tan(x).
98
![Page 134: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/134.jpg)
Ejemplo 9.5.
∫tan2(x)sec4(x)dx
99
![Page 135: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/135.jpg)
Tipo 2.2
Si n, k son impares, se sustituye u = sec(x).
100
![Page 136: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/136.jpg)
Ejemplo 9.6.
∫tan3(x)sec(x)dx.
101
![Page 137: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/137.jpg)
Caso 3
Considérense integralesde la forma∫
f(Ax)g(Bx)dx, dondef, g pueden ser o bien sin o bien cos.
102
![Page 138: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/138.jpg)
Necesitaremos las identidades
sin(Ax)cos(Bx) = 12 (sin ((A + B)x) + sin ((A − B)x))
(9.1)
sin(Ax)sin(Bx) = 12 (cos ((A − B)x) − cos ((A + B)x))
(9.2)
cos(Ax)cos(Bx) = 12 (cos ((A − B)x) + cos ((A + B)x))
(9.3)
103
![Page 139: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/139.jpg)
Ejemplo 9.7.
∫sin(7x)cos(3x)
104
![Page 140: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/140.jpg)
Ejemplo 9.8.
∫sin(7x)cos(3x)
105
![Page 141: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/141.jpg)
Ejemplo 9.9.
∫sin(7x)sin(3x)
106
![Page 142: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/142.jpg)
Ejemplo 9.10.
∫cos(7x)cos(3x)
107
![Page 143: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/143.jpg)
Fracciones parciales
![Page 144: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/144.jpg)
La técnica de fracciones parciales se utiliza para integrarfunciones racionales, es decir, aquellas de la forma
N(x)D(x) ,
donde N, D son polinomios.
108
![Page 145: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/145.jpg)
Por simplicidad, supondremos que
1 El coeficiente líder de D(x) es igual a 1.
2 El grado de D(x) es mayor que el de N(x).
Sin embargo, ninguna de estas dos condiciones son esenciales.
109
![Page 146: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/146.jpg)
Por simplicidad, supondremos que
1 El coeficiente líder de D(x) es igual a 1.
2 El grado de D(x) es mayor que el de N(x).
Sin embargo, ninguna de estas dos condiciones son esenciales.
109
![Page 147: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/147.jpg)
Ejemplo 10.1.
∫ 2x3
5x8 + 3x − 4dx = 15
∫ 2x3
x8 + 35x − 4
5
110
![Page 148: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/148.jpg)
Ejemplo 10.2.2x5 + 7x2 + 3 = 2x3 − 6x + 18x + 7
x2 + 3
111
![Page 149: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/149.jpg)
Definición 10.1.Un polinomio es irreducible si no se puede expresar como elproducto de dos polinomios de grado menor.
112
![Page 150: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/150.jpg)
Todo polinomio lineal es irreducible
113
![Page 151: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/151.jpg)
g(x) = ax2 + bx + c, a 6= 0
es irreducible si y solo b4 − 4ac < 0.
114
![Page 152: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/152.jpg)
Ejemplo 10.3.
Verifique que
1 x2 + 4 es irreducible;2 x2 + x − 4 es reducible.
115
![Page 153: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/153.jpg)
Teorema 10.1.
Todo polinomio cuyo coeficiente líder sea igual a 1 se puedeexpresar como producto de factores lineales, o factorescuadráticos irreducibles.
116
![Page 154: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/154.jpg)
Ejemplo 10.4.
1 x3 − 4x =2 x3 + 4x =3 x4 − 9 =4 x3 − 3x2 − x + 3 =
117
![Page 155: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/155.jpg)
Caso I. D(x) es producto de factores lineales distin-tos
Ejemplo 10.5.
Resuelva ∫ dx
x2 − 4
118
![Page 156: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/156.jpg)
Ejemplo 10.6.
Resuelva ∫ (x + 1)dx
x3+x2−6x
119
![Page 157: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/157.jpg)
Regla General para Caso 1
El integrando se representa como una suma de términos de laform A
x − a, para cada factor x − a, y A una constante por
determinar.
120
![Page 158: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/158.jpg)
Caso 2. D(x) es producto de factores lineales repe-tidos.
Ejemplo 10.7.
Encuentre ∫ (3x + 5)dx
x3 − x2 − x + 1
121
![Page 159: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/159.jpg)
122
![Page 160: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/160.jpg)
Ejemplo 10.8.
∫ (x + 1)dx
x3(x − 2)2
123
![Page 161: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/161.jpg)
Regla General para el Caso 2.
Para cada factor x − c de multiplicidad k, se utiliza la expresión
A1
x − r+ A2
(x − r)2 + ... + Ak
(x − r)k.
124
![Page 162: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/162.jpg)
Caso 3. Factores cuadráticos irreducibles distintos, ylineales repetidos
A cada factor irreducible x2 + bx + c de D(x) le correspondeel integrando
Ax + B
x2 + bx + c.
125
![Page 163: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/163.jpg)
Ejemplo 10.9.Encuentre ∫ (x − 1)dx
x(x2 + 1)(x2 + 2)
126
![Page 164: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/164.jpg)
Caso IV. Factores cuadráticos irreusibles repetidos
A cada factor cuadráticos irreducible x2 + bx + c demutiplicidad k le corresponde el integrando
k∑i=1
Aix + Bi
(x2 + bx + c)i
127
![Page 165: Taller de Matemáticas para Economistas](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051101/58ce7b521a28ab210a8b459b/html5/thumbnails/165.jpg)
Encuentre ∫ 2x2 + 3(x2 + 1)2 dx.
128