UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA – FACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE ESTADISTICAEJERCICIOS DE FUNCIONES DE PROBABILIDAD

Integrantes: Paula Stefani León CardozoVivian Alicia Hernández CastrillónFabián Andrés Cufiño Novoa José Gregorio Ojeda

6. La demanda diaria de autos (D) en una concesionaria es una v.a. ,con la siguiente f. de p.:

Especificando el valor de K, calcule la demanda esperada.

E ( x )=∑i=1

∞

x i f (x )i=∑i=1

∞

x iP( xi)

En este caso el valor esperado es de la forma

E ( x )= k 21

1!+2k 22

2!+3k 23

3 !+4k24

4 !

E ( x )=38k3

En la siguiente tabla se muestra la demanda esperada para diferentes valores de k.

k Demanda esperada k Demanda esperada1 12,66666667 0,1 1,2666666672 25,33333333 0,2 2,5333333333 38 0,3 3,84 50,66666667 0,4 5,0666666675 63,33333333 0,5 6,3333333336 76 0,6 7,67 88,66666667 0,7 8,8666666678 101,3333333 0,8 10,133333339 114 0,9 11,410 126,6666667 1 12,66666667

f ( x )= k 2d

d ! para d = 1, 2, 3, 4 = 0 para cualquier otro valor

16. Supongamos que se debe establecer un reglamento respecto al número máximo de personas que pueden ocupar al tiempo un ascensor. Un estudio indica que si 8 personas ocupan el ascensor, la distribución de probabilidad del peso total de las 8 personas es normal y tiene una media de 1200 libras y una varianza de 9.800 libras2.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso total de 8 personas exceda las 1300 libras?

Es una variable continua, por tanto usaremos la distribución normal o Campana de Gauss

Z= 1300Lb−1200 Lb

√9800 Lb2 = 1,010152

Ahora, revisamos el valor de Z en la tabla de áreas de la distribución normal, que nos dice que la P(x>1300) = 0.8438

b. Que exceda de 1500 libras

Z= 1500Lb−1200 Lb

√9800 Lb2 = 3.03046

Ahora, revisamos el valor de Z en la tabla de áreas de la distribución normal, que nos dice que la P(x>1500) = 0.9988

c. ¿En el 92% de los casos el peso total de las 8 personas excede a cuantas libras?

P=0.92Según la tabla Z= 1,41Entonces

1,41= X−1200 Lb

√9800 Lb2

Despejando X, llegamos a queX=1.41(98.995)+1200= 1339.6 LbEs decir, que en el 92% de los casos en los que se suben 8 personas al ascensor se exceden las 1339,6 Lb.

18. Se sabe que el 30% de los duraznos de una producción son atacados por la mosca del Mediterráneo. Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 6 duraznos de cierta producción:

a. Máximo dos hayan sido atacados:

Usamos distribución Binomial, donde:n=6, es el número de pruebasp=0.3, probabilidad de éxitoq=0.7, probabilidad de fracasok=0, 1, 2, probabilidad de éxitos.P(x<=2)=P(0) U P(1) U P(2).

P(x<=2)= 0.1176+0.3025+0.3241=0,7442 o 74.4%

b. Más de dos hayan sido atacados.

P(x>2)=1- P(x<=2)=1-0.7442=0.2558 ó 25.5%

c. ¿Cuál es el número esperado de duraznos atacados, en una muestra de seis?

La fórmula de valor esperado es:

E ( x )=∑i=1

∞

x i f (x )i=∑i=1

∞

x iP( xi)

E ( x )=[ (0∗0.1176 )+(1∗0.3025 )+(2∗0.3241 )+ (3∗0.1852 )+( 4∗0.0595 )+(5∗0.0102 )+(6∗0.0007 ) ]=1.7995

24. El número promedio de sucursales en auditaje durante una semana (cinco días) en una empresa es de 6.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día determinado haya mínimo una sucursal en auditaje?

Es una variable discreta, por lo cual usaremos la Distribución de Poisson. Así,

λ=6P(X ≥ 1) = 1- P(X<1)

Entonces 1- P(x=0)1−e−6 60

0 ! = 0.9975

P(X ≥ 1) =0.9975

b. Si el costo de auditaje de una sucursal es de $45678, ¿cuál será el coeficiente de variación de los costos de auditaje a la semana?

27. En cierta ciudad el 80% de las empresas son del sector terciario de la producción. En un grupo de 13 de las empresas de tal ciudad, seleccionadas aleatoriamente de las incontables empresas de la misma:

a. Cuál es la probabilidad de que solamente 3 sean terciarias.

Usamos distribución binomial donde:n=13, es el número de pruebasp=0.8, probabilidad de éxitoq=0.2, probabilidad de fracasok=3 probabilidad de éxitos.

P(x=3) = (133 ) (0.8 )3 (0.2 )10

=0.00001494

b. Cuál es la probabilidad de que no más de dos sean terciarias.

P (X ≤2 )=P (0 )UP (1 )UP (2)P (X ≤2 )=0.0000000008192+0.0000000425984+0.0000010223616=0.0000010657792

c. Si a cada una de las empresas terciarias que salgan seleccionadas se les concede un subsidio de $309876, ¿cuál será el subsidio esperado a conceder en la muestra de trece empresas?

Vamos que el valor esperado del producto de una constante por una función de distribución es igual a la constante por el valor esperado de la función variable, es decir:

c E ( x )=∑i=1

∞

c x i P(x)i=c∑i=1

∞

x iP (x i)

E ( x )=10.4

Por lo tanto el subsidio será de: 10.4∗$309876=¿$3´222.710,4