8

TALLER

INSTITUCION EUCATIVA JUAN DE AMPUDIA

GRADO AREA ASIGNATURA PAGINA 9º MATEMÁTICAS ALGEBRA 02 1 DE 16

MOTIVACION

RETO MATEMATICO

GUIA # 3 PARA EL GRADO NOVENO (9-01 , 9-02 Y 9-03)

8

TALLER

INSTITUCION EUCATIVA JUAN DE AMPUDIA

GRADO AREA ASIGNATURA PAGINA 9º MATEMÁTICAS ALGEBRA 02 2 DE 16

FUNCIÓN LINEAL Y SISTEMAS DE ECUACIONES

concepto de función lineal y sus elementos con su ecuación

Función lineal

Introducción: Recordemos que una función es una correspondencia entre los

elementos de un conjunto de partida, llamado Dominio, y los elementos de un conjunto de llegada, llamado Codominio, de forma tal que a cada elemento del dominio le corresponde uno, y solo uno, en el codominio. Definición: Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio son también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado. Definición f: R —> R / f(x) = a.x+b donde a y b son números reales, es una función lineal. Este último renglón se lee: f de R en R tal que f de equis es igual a a.x+b

Por ejemplo, son funciones lineales f: f(x) = 2x+5 , g: g(x) = -3x+7, h: h(x) = 4

Definición: Las funciones lineales son polinomios de primer

grado. ver grafica ejes

Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada al exponente 1. Es habitual no escribir el exponente cuando este es 1. Ejemplos de funciones lineales: a(x) = 2x+7 b(x) = -4x+3 f(x) = 2x + 5 +

7x - 3

De estas funciones, vemos que la f no está reducida y ordenada como las

demás. Podemos reducir términos semejantes para que la expresión quede de

una forma más sencilla, f(x) = 9x + 2

8

TALLER

INSTITUCION EUCATIVA JUAN DE AMPUDIA

GRADO AREA ASIGNATURA PAGINA 9º MATEMÁTICAS ALGEBRA 02 3 DE 16

También recordemos que hemos convenido que cuando no establecemos en forma explícita el dominio y el codominio de una función, supondremos que es el mayor conjunto posible en cada caso. Por ejemplo, si hablamos de la función f, de dominio real y codominio real, tal que f(x)= 2x-6, anotaremos f: R ——-> R / f(x) = 2x-6 Siendo el dominio todos los números reales, R, y el codominio también, todos los números reales, R. Esto se lee " f de R en R tal que f de x es igual a 2x-6" Vamos a graficar esta función, que tal cual lo vimos en la definición, es una función lineal por ser de primer grado. Para graficarla haremos una tabla de valores.

f: R ——> R / f(x) = 2x-6

Le vamos dando valores a "x". ¿Qué valores le podemos dar? Cualquiera que esté dentro del dominio. Por ejemplo, si x = 5 , entonces f(x) pasa a ser f(5), que es f(5) = 2.(5)-6 f(5) = 4

Entonces al 5 le corresponde el 4. Nuestro punto es el (5,4).

¿Cómo se coloca en un par de ejes coordenados? ¿Qué tal si repasamos esto?

Y ahora que ya sabemos colocar los puntos, podemos hacer la gráfica de una función lineal. Con el botón "paso a paso" iremos construyendo juntos la gráfica de una recta. Cuando termines, con el botón "de nuevo" podrás hacer otra gráfica.

8

TALLER

INSTITUCION EUCATIVA JUAN DE AMPUDIA

GRADO AREA ASIGNATURA PAGINA 9º MATEMÁTICAS ALGEBRA 02 4 DE 16

f: R —> R / f(x) = a.x+b

Una función lineal cumple además, que el incremento de los valores de los elementos del dominio es proporcional al incremento de los valores en el

codominio, siempre que a no sea cero.

Este número a se llama pendiente o coeficiente angular de la recta.

Volvamos a esto ejemplos de funciones lineales f: f(x) = 2x+5 , g: g(x) = -3x+7, h: h(x) = 4

f: f(x) = 2x+5 si x es 3, entonces f(3) = 2.3+5 = 11

si x es 4, entonces f(4) = 2.4+5 = 13

si x es 5, entonces f(5) = 2.5+5 = 15 Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa

en 2 unidades.

Preste atención en que los valores de x y de f(x) NO SON PROPORCIONALES.

Lo que son proporcionales son los incrementos.

g: g(x) = -3x+7 si x= 0, entonces g(0) = -3.(0) +7 = 0+7 = 7

si x= 1, entonces g(1) = -3.(1) +7 = -3+7 = 4

si x= 2, entonces g(2) = -3.(2) +7 = -6+7 = 1

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), disminuye

en 3 unidades.

h: h(x) = 4 si x= 0 , entonces h(0) = 4

si x= 98 , entonces h(98) = 4

8

TALLER

INSTITUCION EUCATIVA JUAN DE AMPUDIA

GRADO AREA ASIGNATURA PAGINA 9º MATEMÁTICAS ALGEBRA 02 5 DE 16

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x), NO aumenta. Es la

función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje OX.

¿Qué diferencia fundamental y muy importante hay entre las funciones h y j?

Parecería, a primera vista, que son muy parecidas. Las "fórmulas" de ambas son

iguales. h(x)=3 y j(x)=3

Sin embargo, son muy distintas porque mientras la función h tiene como dominio

todos los números reales, la función j tiene como dominio los números naturales.

Y como entre dos números naturales consecutivos no hay ningún otro número

natural, no existen gráfica ni puntos entre ellos.

Esto es, entre el 17 y el 18 no hay ningún número natural. Entre el 17 y el 18 hay

infinitos número reales. He ahí la diferencia.

La representación gráfica de h es una línea recta, pero la de j son puntos

aislados, aunque son infinitos.

Esto, por supuesto, ocurre no solo si son funciones constantes. Es para cualquier

función. El dominio es muy importante.

Cuando no se especifica el dominio y codominio, se supone que son los mayores

posibles. En el caso de las funciones lineales, es de R en R.

8

TALLER

INSTITUCION EUCATIVA JUAN DE AMPUDIA

GRADO AREA ASIGNATURA PAGINA 9º MATEMÁTICAS ALGEBRA 02 6 DE 16

Veamos otro ejemplo:

Esta función, llamada q, ¿será lineal? Supongamos, además, que es una función

de R en R. Para determinar esto tenemos que ver si las diferencias entre los valores en el dominio y codominio son proporcionales. Esto es, si cambian en la misma razón.

Dominio

x

Codominio

y

4 1

7 2

13 4

16 9

Dominio: de 4 a 7 aumenta en 3 Codominio: de 1 a 2 aumenta en 1 Dominio: de 7 a 13 aumenta en 6 Codominio: de 2 a 4 aumenta en 2. Por ahora, parece que si Dominio: de 13 a 16 aumenta en 3 Codominio: de 4 a 9 aumenta en 5 Se rompió la relación

Cada 3 unidades de aumento en x, aumentaría en 1 en el codominio, pero el "9" no está de acuerdo con esto. ¿Qué número tendría que estar, en lugar del "9", para que sea una función lineal?

8

TALLER

INSTITUCION EUCATIVA JUAN DE AMPUDIA

GRADO AREA ASIGNATURA PAGINA 9º MATEMÁTICAS ALGEBRA 02 7 DE 16

Primero lo piensas y luego toca el botón "lineal".

RESUMEN: Las funciones lineales son funciones de dominio real y

codominio real, cuya expresión analítica es f: R —> R / f(x) = a.x+b

con a y b números reales.

La representación gráfica de dichas funciones es una recta, en un sistema de ejes

perpendiculares. La inclinación de dicha recta está dada por la pendiente a y la

ordenada en el origen es b.

¿Cómo puedo hallar el punto de corte de la recta con el eje x?

¿Cómo puedo hallar el punto de corte de la recta con el eje x con gráficas?

FUNCIÓN LINEAL Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

La función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx + b llamada ecuación canónica, en donde m es

la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y.

Por ejemplo, son funciones lineales f(x) = 3x + 2 g(x) = - x + 7 h(x) = 4 (en esta m = 0 por lo que 0x no se pone en la

ecuación).

8

TALLER

INSTITUCION EUCATIVA JUAN DE AMPUDIA

GRADO AREA ASIGNATURA PAGINA 9º MATEMÁTICAS ALGEBRA 02 8 DE 16

Esta es la gráfica de la función lineal y = 3x + 2 Vemos que m = 3 y b = 2 (de la forma y = mx + b) Este número m se llama pendiente de la recta y es la relación entre la altura y la base, aquí vemos que por cada unidad recorrida en x la recta sube 3 unidades en y por lo que la pendiente es m = 3. & b es el intercepto de la recta con el eje Y (donde la recta se cruza con el eje Y) Volvamos al ejemplo de las funciones lineales f(x) = 3x+2 Si x es 3, entonces f (3) = 3*3+2 = 11

Si x es 4, entonces f (4) = 3*4+2 = 14 Si x es 5, entonces f (5) = 3*5+2 = 17

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es positivo la función es Creciente. Preste atención en que los valores de x y de f(x) NO SON PROPORCIONALES. Lo que son proporcionales son los incrementos. g(x) = -3x+7 Si x= 0, entonces g (0) = -3*(0) +7 = 0+7 = 7

Si x= 1, entonces g (1) = -3*(1) +7 = -3+7 = 4 Si x= 2, entonces g (2) = -3*(2) +7 = -6+7 = 1

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), disminuye en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es negativo la función es Decreciente. h(x) = 4 Si x= 0 , entonces h(0) = 4

Si x= 98 entonces h(98) = 4

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x), NO aumenta. Es la función constante. Su

gráfica es una recta paralela al eje X.

Esta es la representación grafica de los tres tipos de funciones descritas.

8

TALLER

INSTITUCION EUCATIVA JUAN DE AMPUDIA

GRADO AREA ASIGNATURA PAGINA 9º MATEMÁTICAS ALGEBRA 02 9 DE 16

Ahora veamos como graficar una función.

Ejemplos

Representa gráficamente las siguientes funciones lineales y = 2x y y = - 3x + 4

Sugerencia: Primero elabora una tabla de valores, luego ubica los pares de puntos de la

tabla en el plano cartesiano y finalmente únelos con una línea recta.

Los valores de x son asignados arbitrariamente o a tu gusto "te aconsejo usar valores pequeños para facilitar las

operaciones" luego en la ecuación remplazamos la x por cada valor de la tabla.

1. y = 2x

Vamos a hacerlo con dos valores de x para que sepas de donde salen los valores.

Para x = - 2, y = 2(-2) = -4 quedando la pareja (-2 , -4)

Para x = 1, y = 2(1) = 2 quedando la pareja (1 , 2)

X y = 2x

-2 -4

-1 -2

0 0

1 2

2 4

8

TALLER

INSTITUCION EUCATIVA JUAN DE AMPUDIA

GRADO AREA ASIGNATURA PAGINA 9º MATEMÁTICAS ALGEBRA 02 10 DE 16

y y= - 3x + 4 Vamos a hacerlo con dos valores de x para que sepas de donde salen los valores.

Para x = - 1, y = -3(-1)+ 4 = 7 quedando la pareja (-1 , 7)

Para x = 2, y = -3(2) + 4 = -2 quedando la pareja (2 , -2)

X y = - 3x +

4

-1 7

0 4

1 1

2 -2

3 -5

8

TALLER

INSTITUCION EUCATIVA JUAN DE AMPUDIA

GRADO AREA ASIGNATURA PAGINA 9º MATEMÁTICAS ALGEBRA 02 11 DE 16

Función lineal

La función lineal es del tipo:

y = mx + n m es la pendiente de la recta. La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas. n es la

ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas.

Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.

8

TALLER

INSTITUCION EUCATIVA JUAN DE AMPUDIA

GRADO AREA ASIGNATURA PAGINA 9º MATEMÁTICAS ALGEBRA 02 12 DE 16

Ejemplos de funciones afines

Representa las funciones:

1 y = 2x - 1

x y = 2x-1

0 -1

1 1

8

TALLER

INSTITUCION EUCATIVA JUAN DE AMPUDIA

GRADO AREA ASIGNATURA PAGINA 9º MATEMÁTICAS ALGEBRA 02 13 DE 16

2y = -¾x - 1

x y = -¾x-1

0 -1

4 -4

Si n = 0 la función lineal es del tipo:

y = mx

Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.

y = 2x

x 0 1 2 3 4

y = 2x 0 2 4 6 8

8

TALLER

INSTITUCION EUCATIVA JUAN DE AMPUDIA

GRADO AREA ASIGNATURA PAGINA 9º MATEMÁTICAS ALGEBRA 02 14 DE 16

Función identidad

f(x) = x Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

8

TALLER

INSTITUCION EUCATIVA JUAN DE AMPUDIA

GRADO AREA ASIGNATURA PAGINA 9º MATEMÁTICAS ALGEBRA 02 15 DE 16

Función constante

y = n El criterio viene dado por un número real. La pendiente es 0. La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas .

3.- La recta que pasa por los puntos A= (-2;-3) y B= (4; -6) es: a) horizontal b) vertical c) ascendente d) descendente 4.- La recta que pasa por los puntos A= (1/2;-3) y B= (-4; -6) tiene pendiente: a.-) positiva b.-) negativa c.-) cero d.-) ninguna 5. El triángulo formado por los puntos: A (-2;-3); B (-5; 9) y C (4,-6) es: a) rectángulo b) acutángulo c) obtusángulo d) equiángulo

8

TALLER

INSTITUCION EUCATIVA JUAN DE AMPUDIA

GRADO AREA ASIGNATURA PAGINA 9º MATEMÁTICAS ALGEBRA 02 16 DE 16

TABLA DE RESPUESTAS

NOMBRE DEL ESTUDIANTE ÁREA/ ASIGNATURA GRADO

Algebra 2 9°

CUADRO DE RESPUESTAS

1 2 3 4 5

a

b

c

d

¡ÉXITO! ¡FRACASO!