taller tema 3

7/26/2019 Taller Tema 3

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3.

Teorema de Pitgoras


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Taller de Matemticas 3 ESO

1. Propiedades de lostringulos rectngulos

2. Rompecabezas sobre elteorema de Pitgoras

3. Aplicaciones del teorema dePitgoras: clculo dedistancias

4. Decimales y medidas4. Decimales y medidas

5. Nmeros irracionales5. Nmeros irracionales


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1. Propiedades de lostringulos rectngulos

2. Rompecabezas sobre elteorema de Pitgoras

3. Aplicaciones del teorema dePitgoras: clculo dedistancias

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Teorema de Pitgorasr

1. Propiedades de los tringulos rectngulos

TRINGULOS

1) Indica si es posible que los ngulos de un tringulo midan: a) 35, 83 y 54; b) 30, 80 y 75;c) 32, 77 y 71.

2) Indica si es posible que los lados de un tringulo midan: a) 4 cm, 7 cm y 5 cm; b) 2 cm, 5 cm y 8cm; c) 5 cm, 5 cm y 1 cm; d) 1 cm, 1cm y 5 cm.

3) Determina la medida del ngulo x en los tringulos de la siguiente figura:

Recuerda: 1) La suma de los tres ngulos de un tringulo es igual a 180

2) Un lado de un tringulo debe ser menor que la suma de losotros dos y mayor que su diferencia.

TRINGULOS RECTNGULOS

1) Halla los ngulos desconocidos de los tringulos rectngulos de la siguiente figura:

2) Con ayuda de material apropiado (regla, comps, escuadra, cartabn), dibuja los siguientestringulos y, midiendo con una regla graduada, halla los lados desconocidos:

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3) Dibuja los siguientes tringulos con regla y comps. Cules de ellos son tringulos rectngulos?.

a) a = 5, b = 4, c = 6 b) a = 05, b = 12, c = 13 c) a = 1, b = 2, c = 3.

Un tringulo rectngulo es aqul que tiene un ngulo recto (es decir, de 90).

Los ngulos agudos de un tringulo rectngulo son complementarios, es decir, susuma vale 90.

Los lados menores de un tringulo rectngulo son perpendiculares entre s y sellaman catetos. El lado mayor de un t ringulo rectngulo, que se opone al ngulorecto, se llama hipotenusa.

TRAMAS DE PUNTOS

En cada una de las figuras que siguen haya el rea de los cuadrados construidos sobre los lados deltringulo. Compara dichas reas. Observas algo interesante?.

El tringulo ABC es rectngulo y en l se cumple que:

Es decir: La suma de las reas de los cuadrados construidos sobre los lados menores esigual al rea del cuadrado construido sobre el lado mayor.

Esto no ocurre en los tringulos que no son rectngulos.

Este otro tringulo es obtusngulo.

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La suma de las reas de los cuadrados construidos sobre los lados pequeos es menor queel rea del cuadrado construido sobre el lado mayor.

Este tringulo es acutngulo.

La suma de las reas de los cuadrados construidos sobre los lados pequeos es mayor queel rea del cuadrado construido sobre el lado mayor.

1) Para averiguar si el tringulo de lados 7 cm, 8 cm y 10 cm es rectngulo, acutngulo uobtusngulo sin necesidad de construirlo, procede del siguiente modo:

7 8 49 64 113

10 100

2 2

2

+ = + =

=

Compara y decide. Despus, constryelo y comprueba.

2) Averigua si el tringulo de lados 5, 12 y 13 es rectngulo, acutngulo u obtusngulo.

3) Haz lo mismo con el tringulo de lados 6, 8 y 11.

2. Rompecabezas sobre el Teorema de Pitgoras

PUZZLES SOBRE PITGORAS

En un tringulo rectngulo, los lados menores son los que forman el ngulo recto. Se llamancatetos. El lado mayor se llama hipotenusa y se opone al ngulo recto. En la figura, b y cson los catetos, a es la hipotenusa. El teorema de Pitgoras dice:

a2= b

2+ c

2

El rea del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las reasde los cuadrados construidos sobre los catetos. Y esto es verdad solamente si el

tringulo es rectngulo.

Para ver que es cierto que ocurre esto siempre que el tringulo sea rectngulo, observa elsiguiente puzzle:

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Observa que los dos cuadrados grandes son iguales. Si a cada uno de ellos le suprimimos

cuatro tringulos iguales, de lados a, b y c, queda: en el primero ya 2 b c2 + 2 en elsegundo. Por lo tanto, debe cumplirse que: a b c2 2 2= + .

a) En la siguiente figura se encierra, a modo de tangram, una demostracin del teorema dePitgoras. Se trata de que construyas el cuadrado grande utilizando para ello las cinco piezasmarcadas con 1, 2, 3, 4 y 5 de forma que puedas comprobar el teorema de Pitgoras.

b) Dibuja en una cartulina y recorta despus, las siguientes piezas: 1) Cuatro tringulos rectngulosiguales y cuyos catetos midan 6 y 8 cm. 2) Un cuadrado de 2 cm de lado. Cuando tengas lascinco piezas, demuestra el teorema de Pitgoras.

c) Partimos de un tringulo rectngulo y los cuadrados construidos sobre sus lados. Recorta trespiezas iguales que los cuadrados de la figura y colocalos como indica la fgura de la derecha.

Del cuadrado mayor recorta dos tringulos iguales que el de partida, como muestra la figura de laizquierda. Coloca los dos tringulos recortados haciendo coincidir la hipotenusa de stos con loslados del cuadrado que quedan intactos.

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Compara la figura obtenida con la figura (2). Observa que son iguales, luego podemos concluirque el cuadrado sobre la hipotenusa de un tringulo rectngulo coincide con la suma de loscuadrados sobre los catetos. Has demostrado as el teorema de Pitgoras.

d) Dibuja los tres cuadrados sobre los lados de un tringulo rectngulo y une los vrtices de dichoscuadrados. Se forman tres nuevos tringulos. Calcula las reas de cada uno de ellos ycompralas con la del tringulo rectngulo de partida. Cmo son?

3. Aplicaciones del Teorema de Pitgoras: clculo de distancias.

APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITGORAS

1) De un tringulo sabemos que es rectngulo y conocemos los dos catetos. Entoncespodemos calcular la hipotenusa:

a b c2 2 2= + Conociendo a , se puede calcular a, a que2 a = b c2 2+

2) De un tringulo sabemos que es rectngulo y conocemos lahipotenusa y un cateto. Entonces, podemos calcular el otrocateto:

a b c2 2= + 2 2 c a c2 2=

Conociendo c se puede hallar c, ya que2 c = a b2 2

3) Si de un tringulo conocemos los lados, pero ignoramos si es o no rectngulo, podemosaveriguarlo. Para ello, comprobaremos si el cuadrado del lado mayor es o no igual a lasuma de los cuadrados de los dos menores.

a) Para sostener un poste de 2 m de alto lo sujetamos con una cuerda situada a 35 m de la base

del poste. Cul es la longitud, l, de la cuerda?.

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b) La cuerda de una cometa mide 85 m. sta se encuentra volando sobre una caseta que est a 63m de Luca. A qu altura sobre el suelo se encuentra la cometa?.

c) Son rectngulos los tringulos de lados: a) 17, 11, 20; b) 10, 24, 26?.

SEGMENTOS EN UNA TRAMA

Halla la longitud de cada uno de los segmentos dibujados en esta trama cuadrada de puntos:

PERMETROS

Calcula el permetro de los polgonos dibujados en la siguiente trama cuadrada de puntos:

UN GLOBO

Un globo cautivo est sujeto al suelo con una cuerda. Ayer, que no haba viento, el globo estaba a 50m de altura. Hoy hace viento, y la vertical del globo se ha alejado 30 m del punto de amarre. A qualtura est hoy el globo?.

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ANTENA DE TV

Una comunidad de propietarios ha observado que uno de los dos cables que fijan su antena colectivade TV se ha roto. Haciendo uso de los puntos de amarre ya existentes, se les plantea el problema deaveriguar la longitud del cable que se ha de reponer; conociendo los datos restantes segn aparecen

ene l esquema adjunto, podras resolverles su problema?

TETRAEDRO Y OCTAEDRO

a) Calcula la altura de un tetraedro de 10 cm de arista.

b) Calcula la distancia entre los vrtices A y B del octaedro de la figura adjunta. Calcula tambin ladistancia entre los vrtices M y N.

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4. Decimales y medidas

UNIDADES DE LONGITUD

Expresa las siguientes medidas en las unidades que se indican:

a) Dimetro de la Tierra = 12756776 km, en dam.

b) Estatura de una persona = 1750 mm, en m.

c) Longitud de un DIN A4 = 0297 m, en cm.

d) Longitud de una bacteria = 0000005 m, en m.

UNIDADES DE MASA

Expresa las siguientes medidas de masa en las unidades que se indican:

a) Un vagn de mercancas = 25 toneladas, en g.

b) Un tomate = 150000000000 ng, en kg.

UNIDADES DE SUPERFICIE

Expresa las siguientes medidas de superficie en las unidades que se indican:

a) Superficie de una habitacin = 00012 hm2, en m2.

b) Superficie de la provincia de Soria = 1028700 ha, en km2.

c) Superficie de un DIN A4 = 62370 mm2, en dm2.

UNIDADES DE VOLUMEN Y DE CAPACIDAD

Expresa las siguientes medidas en las unidades que se indican:

a) Volumen de sangre de un hombre = 5000 cm3 y de una mujer = 4500 cm3, en l.

b) Volumen del depsito de gasolina de un coche = 05 hl, en dm3.

c) Volumen de aire en los pulmones = 4760000 mm3, en l.

d) Volumen de un barril de petrleo = 0000163654 dam3, en dm3.

e) Volumen de la pirmide de Keops = 00025 Km3, en m3.

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SISTEMA ANGLOSAJN

1) En el manual tcnico de un coche de importacin se indica que el consumo del motor es

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2galones cada 100 millas. Expresa dicho consumo en litros cada 100 km. (1 galn=3,78 litros;

1 milla= 1,61 km)

2) La densidad de la piedra caliza es 168 libras por pie cbico. Expresa dicha densidad en gramospor centmetro cbico. Ten en cuenta que DENSIDAD = MASA / VOLUMEN. (1 libra=453,6gramos; 1 pie=30,48 cm)

3) El manmetro indica la presin de 20 libras por pulgada cuadrada. Traduce esa expresin akilogramos por centmetro cuadrado. Tradcela tambin a milmetros de mercurio y atmsferas.(1 pulgada=2,54 cm; 760 mm de mercurio = 1 atmsfera = 103323 g/cm2).

1) La velocidad del sonido en el aire es de 340 m/s. Cul es la velocidad del sonido en km/h ?.

2) El sonido recorre 340 metros por segundo. Durante una tormenta se ha visto un rayo y 13

segundos despus se escucha el trueno. A cuntas millas cay el rayo?. (1 milla = 161 km).

5. Nmeros irracionales

NMEROS IRRACIONALES

Existen otros nmeros que no proceden de una fraccin: por ejemplo, el nmero , del que sehan dado diferentes aproximaciones en forma de fraccin:

Arqumedes (siglo III a. C.):22

7Ptolomeo (siglo II d. C.):

377

120 Liu-Hui (siglo III d. C.):

355

113

Otro nmero de este mismo tipo es 2 , que surge al comparar la diagonal de un cuadrado con

su lado.

Asimismo, aparece 5 , al comparar la diagonal de un pentgono regular con el lado. Ms

concretamente aparece el nmero de oro:1 5

2

+.

Todos los nmeros que no tienen una fraccin que los represente de forma exacta son losllamados nmeros irracionales, en oposicin a los otros nmeros decimales que puedenexpresarse en forma de fraccin, a los que tambin se les llama nmeros racionales. Laexpresin decimal de un nmero racional es un decimal exacto o peridico, mientras que larepresentacin decimal de un nmero irracional tiene infinitas cifras decimales que no se

repiten formando perodo.

La mayora de nmeros irracionales aparece en problemas geomtricos, pero para trabajar conellos slo tomaremos algunas cifras, segn las necesidades.

Ejemplo.- Vamos a buscar valores cada vez ms aproximados del nmero 2 . Se trata de

hallar un nmero que al elevarlo al cuadrado nos d 2.

Para empezar, sabemos que 1< 2 2< . Probamos con la calculadora cunto vale 112, 122,

132, 14

2, 15

2y comprobamos que: 14

2= 196 < 2 y que 15

2= 225 > 2. Por tanto, la 2

est comprendida entre los valores 14 y 15. Si queremos conseguir otra cifra decimal, ahoraprobamos con la calculadora los valores 141, 142, 143, etc.

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Como 1412= 19881 < 2 y 142

2=20164 > 2, sabemos ya que 2 est comprendido entre

141 y 142 y no hay que seguir probando con otras centsimas. Para conseguir ms cifrasdecimales, ahora habra que probar con 1411, 1412, etc. Y as sucesivamente.

A los nmeros 1, 14, 141, etc, se les llama aproximaciones por defecto de 2 , y a los

nmeros 2, 15, 142, etc, aproximaciones por excesode 2 .

a) Utiliza la calculadora y procede de forma anloga para calcular aproximaciones de 3 y 5 pordefecto y por exceso hasta las milsimas. A partir del valor aproximado obtenido para

5 aproxima hasta las milsimas el valor del nmero de oro1 5

2

+.

b) Calcula y compara los resultados de las siguientes sumas: 2 + 3 y 5 ; 3 4+ y 7 .Prueba con otros nmeros y trata de sacar conclusiones.

APROXIMACIONES DE PI

El nmero se ha expresado clsicamente por las fracciones22

7(Arqumedes) y

355

113(Liu Hui).

Compara estos valores con el valor verdadero de y di cul es el orden del error cometido.

RAIZ DE QUINCE

Expresa 15 por una sucesin de nmeros decimales:

a) Por defecto. Qu error mximo se comete en cada trmino?.

b) Por exceso. Qu error mximo se comete en cada trmino?.

ECUADOR TERRESTRE

Si para calcular el permetro de una circunferencia del tamao del ecuador terrestre se utiliza el valorde aproximado como 314, estima el error que se cometera al no tomar el valor exacto. (El radio dela Tierra es 6378 km. La longitud de la circunferencia es L=2 r. La diferencia entre y 314 es menorque 0005).

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