METODOS NUMERICOS 3006907 TALLER 2, SEMESTRE 012015

ERRORES Y MTODO DE BISECCIN 1. Ejercicios 1, 2, 3 y 4 de la seccin 1.2. 2. Ejercicios 1,5-11,18-20 de la seccin 2.1. 3. Considere la ecuacin

tan0123 5

5 2= 0

0a3 Demuestre que la ecuacin tiene una nica raz real en [1.5, 0]. 0b3 Justifique que se puede aplicar el mtodo de biseccin en [1.5, 0] para aproximar la raz de la ecuacin y obtenga las 5 primeras aproximaciones a la raz dadas por el mtodo. 0c3 Cuntas iteraciones son necesarias, con el mtodo de biseccin, para que el error absoluto cometido al aproximar la raz partiendo del intervalo [1.5,0], sea menor que 106? 4. Hay ocasiones en que no es fcil aplicar el mtodo de biseccin por la dificultad para aislar races en intervalos. Considere J 053 = KLM053 KLM03.153, la cual tiene varios cambios de signo en el intervalo [1,8] . Realice 4 iteraciones del mtodo de biseccin para aproximar el menor cero positivo de esta funcin. Ayuda: grafique la funcin usando Matlab en el intervalo [-1, 8] y el comando grid on. 5. La funcin J 053 = 5O 35 + 1 tiene cambios de signo en [0,1] y [1,3]. En cada intervalo ejecute 4 iteraciones del mtodo de biseccin. Encuentre las races exactas de la ecuacin J 053 = 0 y calcule los errores absoluto y relativo que hay en cada una de las aproximaciones obtenidas. 6. Considere los intervalos cerrados R[ST , UT]V W Y obtenidos con el mtodo de biseccin, de forma que ZT = 0ST + UT3 2 y lim

T]ZT = ^, donde ^ es una raz de la ecuacin J 053 = 0. De los siguientes

enunciados, determine cules son verdaderos y cules son falsos. 0a3 [ST_`, UT_`] [ST, UT], W 1. 0b3 ^ 0ST_` + U T_`3/2 ^ 0ST + UT3/2, W 1. 0c3 ST ^ ZT , W 1. 0d3 ZT ^ UT , W 1.

7. Considere la siguiente funcin para aproximar la funcin M1WL053 usando la serie de potencias: function [sen, n] = senPot0x, tol3 % Aproxima el valor de M1WL053 usando el polinomio de Taylor de grado W. El valor de W se escoge tal % que el trmino general de la serie hT satisface |hT| > hLk y |hT_`| < hLk ; 5n = 0. sen = 0; t = x; n = 0; k = 1; while abs0t3 > tol sen = sen + t; n = k; t = -t* x^2/00k+13*0k+233; k = k+2; end end

0a3 Modifique esta funcin para incluir nmax, un nmero mximo de iteraciones, como parmetro de entrada. Use el comando for en combinacin con el comando break.

0b3 Modifique la funcin anterior para obtener una funcin cosPot que evale el coseno. 0c3 Evale senPot para 5 = 04s + 13t/2 con s = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; observe los resultados. Comente y explique que sucede. 0d3 Modifique senPot para que desplace la entrada de tal manera que la serie se evale siempre para un argumento entre [0 t/2]. 8. Escriba una funcin en Matlab que use el mtodo de la biseccin. Especifique claramente los datos de Entrada el programa debe verificar que los datos satisfacen las condiciones del teorema que garantizan que el algoritmo termina.