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7/25/2019 tallerecuacionesnotas (1)

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Apuntes y ejercicios de ecuaciones diferenciales y

ecuaciones en diferencias

Universidad Autonoma Benito Juarezde

Oaxaca

Leodegario Fabian Medinilla

5 de mayo de 2016


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3/36

Je me detourne avec effroi et horreur de cette plaie lamentable des fonctions

qur nont pas de derivees

Charles Hermite

i


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Agradecimientos

Version preliminar, se agradecen comentarios sugerencias, colaboraciones,observaciones y quejas.

Estos apuntes se construyen con base en el taller de ecuaciones diferenciales

ii


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Indice general

Agradecimientos II

Indice general III

Lista de figuras IV

I Ecuaciones diferenciales 1

1. Ecuaciones de primer orden en una variable 2

1.1. Transformacion de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Ecuaciones autonomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5. Resultados generales sobre ecuaciones autonomas . . . . . . . . . 9

1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7. Existencia y unicidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.7.1. Metodo de aproximaciones sucesivas de Picard . . . . . . 101.7.2. Existencia global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Ecuaciones de segundo orden y sistemas 12

2.1. Estabilidad para ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2. Ecuaciones simultaneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3. Puntos de equilibrio para sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . 172.4. Analisis de diagramas de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5. Estabilidad para sistemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 212.6. Puntos silla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

II Optimizacion dinamica 24

3. Teora del control optimo 25

3.1. Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Bibliografa 29

Indice alfabetico 30

iii


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Indice de figuras

1.1. Ejemplo de diagrama de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Movimiento de los puntos (x, x) en el diagrama de fase. . . . . . 8

1.3. Estado de equilibrio asintoticamente estable (global). . . . . . . . 8

2.1. Diagrama de fase de (a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2. Diagrama de fase de (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3. Diagrama de fase de (c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4. Diagrama de fase.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

iv


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Parte I

Ecuaciones diferenciales

1


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Captulo 1

Ecuaciones de primer orden

en una variable

x (t) + a (t) x (t) =b (t) x (t) =et

0a(s)ds

t0

es

0 a(v)dvb (s) ds+K

(1.1)

1.1. Transformacion de variables

Solo tipos muy especiales de ecuaciones diferenciales tienen soluciones dadaspor formulas especficas. As, a veces, la transformacion de variables convierte

una ecuacion diferencial aparentemente sin solucion en una de un tipo familiarque ya sabemos como resolver.

Ejemplo 1.1.1. La ecuacion de Bernoulli tiene la forma

x (t) +a (t) x (t) =b (t) xr (t) (1.2)

donde el exponenter Res fijo y a (t) yb (t) son funciones continuas dadas.Cuandor = 0 la ecuacion se convierte en

x (t) +a (t) x (t) =b (t) ,

es decir, una ecuacion lineal. Cuando r = 1 la ecuacion se convierte en una

ecuacion separable, pues toma la forma

x (t) +a (t) x (t) =b (t) x (t)

y puede escribirse como

x (t) = (b (t) a (t)) x (t) .

Supongase que r= 1 y que x (t) > 0t, de modo que xr (t) esta siemprebien definida. Dividiendo (1.2) por xr (t) se obtiene

xr (t) x (t) +a (t) x1r (t) =b (t) . (1.3)

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1.1. TRANSFORMACION DE VARIABLES

Introduciendo la transformacion

z (t) =x1r (t) (1.4)

de la variable. De modo que

z (t) = (1 r) xr (t) x (t) .

Sustituyendo en (1.3) se tiene

z (t)

1 r +a (t) z (t) =b (t) (1.5)

que es una ecuacion diferencial lineal para z (t). Una vez que se ha encontradola solucion z (t), se puede utilizar (1.4) para determinar x (t), basta notar que

x (t) =z (t)1

1r , lo cual a su vez se convierte en una solucion de (1.2).

Notacion 1. En los ejemplos y ejercicios que siguen se omite escribir la depen-dencia del tiempo de modo que, por ejemplo, x = x (t), etc.

Ejemplo 1.1.2. Resuelva la ecuacion diferencial x= tx+t3x3.Solucion. Esta es una ecuacion de Bernoulli con r = 3, a (t) = t y b (t) = t3.De modo que la transformacion correspondiente es z =x13 =x2. Despues dehacer arreglos, la ecuacion (1.5) se convierte en

z 2tz = 2t3.

Esta es una ecuacion diferencial lineal, y podemos utilizar (1.1) cona (t) =

2t

para obtenert0

a (s) ds=t02sds= 2 t

0sds = t2, de modo que

z = C et2 2et2

t3et

2

dt. (1.6)

La ultima integral se puede resolver haciendo el cambio de variable u=t2 yutilizando integracion por partes.

t3et

2

dt= 1

2

ueudu=

1

2ue 1

2eu = 1

2t2et

2 12

et2

.

Entonces

z = C et2 2et2 12

t2et2 12

et2

= C et2 +t2 + 1.

De donde la ecuacion original tiene las soluciones

x= z 12 = 1Cet2 +t2 + 1

.

Ejemplo 1.1.3. En este ejemplo x es una variable independiente y y es lafuncion desconocida, ademas y = dy

dx. La ecuacion diferencial

y 1 + 2x (y x)2 = 0 (1.7)

3


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1.1. TRANSFORMACION DE VARIABLES

evidentemente tieney = x como solucion. Defnase

y = x+1

z,

dondez es una funcion dex, y muestre que esta sustitucion conduce a una ecua-cion separable para z. Resuelva esta ecuacion y entonces encuentre la solucionde(1.7) que pasa por el punto (x, y) =

0, 1

2

.

Solucion. Siz= 0, diferenciandoy = x +1z

con respecto ax se tieney = 1 zz2

.Cuando se sustituye en (1.7) y rearreglando, se obtiene una ecuacion que sereduce a z = 2x, cuya solucion general es z = x2 +C. Se busca una solucioncony = 12 cuandox = 0. Esto daz = 2 cuandox = 0, de modo que C= 2.Por tanto la solucion requerida es y = x+ 1

x22 , definida para|x| 0 y x >0:

(a) tx+ 2x= tx2,

(b) x= 4x+ 2et

x,

(c) tx+x= x2 ln t.

Ejercicio 1.2.2. Resuelva la ecuacion diferencial (1 +tx) x= x2.Hint. Intente el cambio de variable w = tx.

Ejercicio 1.2.3. Un modelo de crecimiento economico conduce a la ecuacionde Bernoulli

K=A (n0)a e(av+)tKb K,donde A, n0,a,b,v,, y son constantes positivas. Encuentre la solucion ge-neral de la ecuacion cuandoav++(1 b) = 0 y b = 1.Ejercicio 1.2.4. Un modelo de crecimiento economico conduce a la ecuaciondiferencial

K=1bK +2K

donde1, 2, by son constantes positivas, = 1 y K=K(t) es la funcion des-conocida. La ecuacion es separable, sin embargo resuelvala como una ecuacionde Bernoulli.

Ejercicio 1.2.5. (a) Considere la ecuacion

tx= x f(t) x2, t >0 (1.9)dondefes una funcion continua dada, y x = (t) es la funcion desconocida.Muestra que el cambio de variable x = tz la transforma en una ecuacionseparable en z = z (t).

(b) Sea f(t) = t3

t4+2 y encuentre la curva solucion que pasa a traves del punto(1, 1).

Ejercicio 1.2.6. Las ecuaciones diferenciales de la forma x = gxt

, donde el

lado derecho solo depende de la tasa xt

, se llaman proyectivas. Pruebe que si sesustituyez = x

t, una ecuacion proyectiva se convierte en una ecuacion separable

conz como la funcion desconocida. Utilice este metodo para resolver la ecuacion

3tx2

x= x3

+t3

.Ejercicio 1.2.7. Encuentre la solucion general de la ecuacion proyectiva x =

1 + xt x

t

2.

Ejercicio 1.2.8 (Ecuacion de Riccati). En general, las ecuaciones diferencialesde la forma

x= P(t) +Q (t) x+R (t) x2

solo puede resolverse numericamente. Pero si se conoce una solucion particularu = u (t), el cambio de variable x = u+ 1

z transformara la ecuacion en una

ecuacion diferencial lineal paraz como una funcion det. Pruebe esto, y aplqueloa tx= x (x t)2.

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1.3. ECUACIONES AUTONOMAS

Solucion(Esbozo). Puesto que x = u+ 1z

se tiene que

x= u zz2

,

ademas, comoues una solucion particular, debe cumplir la ecuacion, parat >0,de modo que

u= u (u t)2

t

= u u2 2ut+t2

t

= u u2 + 2ut t2

t

= u (1 + 2t) u2

t2

t

=u

1 + 2t

t

u

2

t t,

(1.10)

sustituyendo en

u zz2

=x

1 + 2t

t

x

2

t t

se tiene que

u

1 + 2t

t

u

2

t t z

z2 =

u+

1

z

1 + 2t

t

u+ 1z

2t

t

=u

1 + 2tt

+1z

1 + 2tt u

2 + 2 uz

+ 1z2

t t

=u

1 + 2t

t

+

1

z

1 + 2t

t

u

2

t 2

uz

t

1z2

t t

zz2

=1

z

1 + 2t

t

2

uz

t

1z2

t

z = z

1 + 2t

t

2zu

t 1

t

z = z

2u 1 2tt

+

1

t.

1.3. Ecuaciones autonomas

En economa, muchas ecuaciones pueden expresarse de la siguiente forma

x= F(x) . (1.11)

Es decir, un caso especial de la ecuaci on x = F(t, x), en el que t no apareceexplcitamente en el lado derecho. Esta es la razon de que a las ecuaciones quetengan dicha forma se les llame autonomas.

Para examinar las propiedades de las soluciones a (1.11), es util estudiar sudiagrama de fase. Este se obtiene haciendo y = xy dibujando la curva y = F(x)en el plano xx. En la Figura1.1 se muestra un ejemplo.

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1.4. ESTABILIDAD

x (t)

x (t)

a

x= F(x)

Figura 1.1: Ejemplo de diagrama de fase.

Cualquier solucionx = x (t) tiene una x= x (t) asociada. Para cadat, el par(x (t) , x (t)) es un punto en el diagrama de fase. Lo que ocurre con este puntocuandot aumenta puede verse de la siguiente manera, si se considera un punto

en la curva ubicado por encima del eje x, entonces F[x (t)] > 0 y por tantox (t) = F[x (t)] > 0 de modo que x (t) aumenta con t. De esta observacion sesigue que el punto (x (t) , x (t)) se mueve de izquierda a derecha en el diagramasi uno se encuentra por encima del eje x. Por otra parte, si uno se encuentraen un punto en la grafica debajo del eje x, entonces x (t)< 0, yx (t) disminuyecont, de modo que uno se mueve de derecha a izquierda. Esto puede verse en laFigura1.3. Una vez dibujada la curvay el movimiento se representa con flechas,como en la Figura1.1.

1.4. Estabilidad

Una de las propiedades importantes de una ecuaci on diferencial es la deposeer algun o algunos estados de equilibrio o estacionarios1.

Se dice que un punto a representa un estado de equilibrio o estado estacio-nario para (1.11) si F(a) = 0. En este caso, x (t) a es una solucion de laecuacion. Si x (t0) =a para algun valor t0 de t, entoncesx (t) =a para todo t.

En el ejemplo de la Figura1.3el estado de equilibrio es a, este se conoce comoasintoticamente estable (globalmente), pues si x (t) es una solucion a x= F(x)con x (t0) = x0, entonces x (t) siempre va a converger al punto en el eje x conx= a para cualquier punto de inicio (t0, x0).

1Esto se refiere a aquellas soluciones de la ecuaci on que no cambian en el tiempo.

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1.4. ESTABILIDAD

x (t)

x (t)

Figura 1.2: Movimiento de los puntos (x, x) en el diagrama de fase.

x (t)

x (t)

a

x= F(x)

Figura 1.3: Estado de equilibrio asintoticamente estable (global).

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1.5. RESULTADOS GENERALES SOBRE ECUACIONES AUTONOMAS

Observacion 1. (a) F(a) = 0 yF (a)< 0 aes un equilibrio asintoticamenteestable (localmente).

(b) F(a) = 0 y F (a)> 0 a es un equilibrio inestable.Si F(a) = 0 y F (a) = 0, entonces de lo anterior no se concluye.

1.5. Resultados generales sobre ecuaciones autono-

mas

Teorema 1. Si F es una funcion C1, toda solucion de la ecuacion diferencialautonoma x = F(x) es constante o estrictamente monotona en el intervalodonde esta definida.

Demostracion. Supongase que x es una solucion tal que x (t0) = 0 para algunt0, y sea a = x (t0). Entonces F(a) =F(x (t0)) = x (t0) = 0, de modo que a esuna raz de F. La funcion constantexa(t) aes entonces otra solucion. Puestoquex (t) yxa(t) pasan a traves del mismo punto (t0, a) en el plano tx, se siguequex (t) =xa(t) =a para todo t. Por tanto x es una funcion constante.

Sixno es una solucion constante, entonces x (t) = 0 para todoten el dominiode x. Puesto que x es derivable y Fes continua, la derivada x (t) =F[x (t)] esuna funcion continua de t. Se sigue que x debe tener el mismo signo en todaspartes de su dominio, en otro caso el Teorema del valor intermedio dara unaraz para x. Por tanto x es positiva en todas partes o negativa en todas partes,y x por s misma debe ser estrictamente creciente o estrictamente decrecienteen todas partes.

Teorema 2(Una solucion convergente converge a un equilibrio). Suponga quex= x (t) es una solucion de x= F(x), donde la funcionFes continua. Supongaque x (t) se aproxima a un lmite (finito) a cuando se aproxima a. Entoncesa debe ser un estado de equilibrio para la ecuacion, es decir, F(a) = 0.

1.6. Ejercicios

Ejercicio 1.6.1. Dibuje los diagramas de fase asociados a las ecuaciones dife-renciales y determine la naturaleza de los posibles estados de equilibrio.

a) x= x 1

b) x+ 2x= 24c) x= x2 9Ejercicio 1.6.2. Determine la naturaleza de los posibles estados de equilibriopara:

1. x= x3 +x2 x 12. x= 3x2 + 1

3. x= xex

Ejercicio 1.6.3. Considere la ecuacion diferencial x= 12

x2 1 , x (0) =x0.9


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1.7. EXISTENCIA Y UNICIDAD

a) Encuentre la solucion a esta ecuacion diferencial separable y dibuje alguna

curva solucion en el plano tx. Que le ocurre a la solucion cuando t para diferentes puntos iniciales x0?b) Dibuje el diagrama de fase para la ecuacion. Encuentre los dos estados de

equilibrio. Son estables o inestables? Justifique su respuesta. Compare conlos resultados del inciso anterior.

1.7. Existencia y unicidad

Teorema 3 (Primer teorema de existencia y unicidad). Considere la ecuaciondiferencial de primer orden

x= F(t, x)

y suponga que F(t, x) y Fx(t, x) son continuas en un conjunto abierto A enel planotx. Sea (t0, x0) un punto arbitrario enA. Entonces existe exactamenteuna solucion localde la ecuacion que pasa a traves del punto (t0, x0).

Ejemplo 1.7.1. Si F(t, x) =ax, la ecuacion en el teorema es x= ax. En estecaso, las funciones F(t, x) = ax y Fx(t, x) =a son continuas en todas partes.El Teorema3 implica que existe una unica curva solucion que pasa a traves decada punto (t0, x0). De hecho, la solucion requerida es x (t) =x (t0) e

a(tt0).

Ejemplo 1.7.2. Sea F(t, x) = f(t) g (x). Se sigue del Teorema3que la exis-tencia y unicidad estan aseguradas si f(t) es continua y la derivada de g (x) escontinua.

Teorema 4 (Segundo teorema de existencia y unicidad). Considere el problemade valor inicial

x= F(t, x) , x (t0) =x0. (1.12)

Suponga que F(t, x) y Fx(t, x) son continuas sobre el rectangulo

F= {(t, x) : |t t0| a,|x x0| b}

y sean

M= max(t,x)F

|F(t, x)| , r= mn

a, b

M

. (1.13)

Entonces (1.12)tiene una unica solucionx (t) en (t0 r, t0+r) y |x (t) x0| ben este intervalo.

1.7.1. Metodo de aproximaciones sucesivas de Picard

Defnase la sucesion de funciones{xn(t)}n=0 haciendox0(t) x0 y

xn(t) =x0+

tt0

F(s, xn1(s)) ds, n N (1.14)

Suponiendo queF yFx son continuas, uno puede mostrar que bajo las hipotesisdel Teorema4,la sucesion xn(t) esta bien definida y converge uniformementea una funcionx (t) y satisface que|x (t) x0| bpara todot (t0 r, t0+r).Cuando n , el lado izquierdo de (1.14) converge a x (t) para cada t

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1.8. EJERCICIOS

(t0 r, t0+r), mientras que puede mostrarse que el lado derecho converge ax0 +

tt0 F(s, x (s)) ds. De esta forma x (t) =

tt0 F(s, x (s)) ds para todo t

(t0 r, t0+r). Diferenciando con respecto a t se tiene que x (t) = F(t, x (t)).Ademas x (t0) =x0, asx (t) es una solucion de(1.12).

1.7.2. Existencia global

Teorema 5 (Existencia y unicidad globales). Considere el problema de valorinicial

x= F(t, x) , x (t0) =x0.

Suponga queFyFxson continuas para todo (t, x). Suponga tambien que existenfunciones continuasa (t) y b (t) tales que

|F(t, x)| a (t) |x| +b (t) (t, x) . (1.15)Dado un punto arbitrario (t0, x0), existe una unica solucion x (t) del problemade valor inicial, definida en (, ).Observacion 2. Si (1.15) se reemplaza por la condicion

xF(t, x) a (t) |x|2 +b (t) x, t t0, (1.16)

entonces el problema de valor inicial tiene una unica solucion definida en [t0, ).

1.8. Ejercicios

Ejercicio 1.8.1. Encuentre el intervalo mas grande en el que existe una solucionde x= x2 conx (0) = 1.

Ejercicio 1.8.2. Utilice el metodo de Picard para resolver el problema de valorinicial

x= t+x, x (0) = 0. (1.17)

Ejercicio 1.8.3. Utilice el metodo de Picard para resolver el problema de valorinicial

x= x, x (0) = 1. (1.18)

Ejercicio 1.8.4. Encuentre la unica solucion de x= x (1 x) , x (0) = 12

, defi-nida en (, ). Se cumplen (1.15) o(1.16)? Justifique su respuesta

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Captulo 2

Ecuaciones de segundo

orden y sistemas

2.1. Estabilidad para ecuaciones lineales

Suponga que las variables de un modelo economico cambian en el tiempo deacuerdo con alguna ecuacion diferencial (o sistema de ecuaciones diferenciales).Si se imponen condiciones iniciales apropiadas, existe una unica solucion delsistema. Ademas, si cambia una o mas condiciones iniciales, la solucion tambiencambia. De esto surge la pregunta: pequenos cambios en las condiciones inicialestendran algun efecto en el comportamiento de largo plazo de la soluci on o elefecto desaparecera en la medida en que t tienda a +

? En el ultimo caso el

sistema se llama asintoticamente estable. Por otra parte, si pequenos cambiosen las condiciones iniciales podran conducir a diferencias significativas en elcomportamiento de la solucion en el largo plazo, entonces el sistema es inestable.

Considere la ecuacion diferencial

x+a (t) x+b (t) x= f(t) . (2.1)

Esta ecuacion es asintoticamente estable globalmente si toda solucionAu1(t) +Bu2(t) de la ecuacion homogenea asociada tiende a 0 cuando t + pa-ra todos los valores de A y B. Entonces el efecto de las condiciones inicialesdesaparece cuando t +.

Si Au1(t) +Bu2(t) tiende a 0 cuando t + para todos los valores de Ay B , entonces en particular

lmt+

u1(t) = 0,

eligiendoA= 1, B = 0, ylm

t+u2(t) = 0,

eligiendoA = 0,B = 1. Por otro lado, la condicion de queu1(t) yu2(t) tiendena 0 cuando t tiende a + es suficiente para que Au1(t) + Bu2(t) tienda a 0cuandot +.Ejemplo 2.1.1. Estudie la estabilidad de

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2.1. ESTABILIDAD PARA ECUACIONES LINEALES

(a) t2x+ 3tx+ 34

x= 3,

(b) x+ 2x+ 5x= et,

(c) x+ x 2x= 3t2 + 2.Solucion. (a) Esta es una ecuacion de Euler cuya solucion general es x (t) =

At1

2 +Bt3

2 + 4, pues con s = ln(t) la ecuacion homogenea asociada seconvierte en

d2x

ds2 + 2

dx

ds+

3

4x= 0,

cuya solucion, por el Teorema ?? es

x= Ae1

2s +Be

3

2s.

Entonces la solucion de la ecuacion homogenea asociada se deduce de loanterior

x= Ae1

2s +Be

3

2s

=Ae1

2ln(t) +Be

3

2ln(t)

=Aelnt1

2

+Be

lnt3

2

=At1

2 +Bt3

2 .

Por otra parte el lado derecho de la ecuacion no homogenea es una funcionconstante del tiempo, de modo que la solucion particular a esa ecuacionesta dada por u = 33

4

= 4. Claramente la ecuacion es asintoticamente

estable globalmente ylm

t+x (t) = 4.

(b) La ecuacion caracterstica correspondiente es r2 + 2r+ 5 = 0, con racescomplejas r1 =1 + 2i, r2 =1 2i, de modo que u1 = et cos(2t) yu2 = e

t sin(2t) son soluciones linealmente independientes de la ecuacionhomogenea. Cuando t +, u1 y u2 tienden a 0, pues|cos(2t)| 1 y|sin(2t)| 1 y

lmt+

et = 0.

Entonces la ecuacion es asintoticamente estable globalmente.

(c) En este casou1

= et es una solucion de la ecuacion homogenea. Puesto queu1 no tiende a 0 cuando t +, la ecuacion no es asintoticamente estableglobalmente.

En el caso de las ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes cons-tantes existe una caracterizacion simple de estabilidad asintotica global:

Teorema 6.

x+ax+bx= f(t) (2.2)

es asintoticamente estable globalmente si y solo si a > 0 y b >0.

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2.1. ESTABILIDAD PARA ECUACIONES LINEALES

Demostracion. La ecuacion (2.2) es estable si y solo si dos soluciones linealmente

independientesu1 y u2 de la ecuacion homogenea asociada tienden a 0 cuandot +.Si la ecuacion caracterstica r2 + ar+ b= 0 tiene races reales distintas r1 y

r2, entonces las solucionesu1= er1t yu2= e

r2t son linealmente independientes.Estas funciones tienden a 0 cuando t + si y solo si r1 < 0 y r2 < 0. Porotra parte, si la ecuacion caracterstica tiene races reales, entonces se tiene que

r1=a+ a2 4b

2

r2=a a2 4b

2

de donde

r1+r2= a, r1r2= b.Entonces si r1 y r2 son negativas, entonces a y b tienen que ser positivas. Deforma recproca, si a y b son positivas, r1+ r2= a implica que una de las dosraces es negativa, pero r1r2= b implica que las dos deben ser negativas.

Si la ecuacion caracterstica tiene una raz doble r, entonces u1 = ert y

u2= tert son soluciones linealmente independientes. Estas ecuaciones tienden a

0 cuando t+ si y solo si r 0 y b >0 se tiene que r a2

2implica que b siempre sera positivo. Ademas, por el Teorema ?? dos solucioneslinealmente independientes de la ecuacion homogenea son u

1 = et cos(t) y

u2= et sin(t), donde = a

2 y= 1

24b a2. En este caso u1yu2tienden

a 0 cuando t + si y solo si 0. Ejemplo 2.1.2. Por el Teorema6la penultima ecuacion del ejemplo anteriores estable mientras que la ultima es inestable.

Ejemplo 2.1.3. Considere la siguiente ecuacion

v+

a

v+v =

b (t)

donde , , y a son constantes, y b (t) es una funcion fija. Examine la estabi-lidad.

Solucion. Esta es una ecuacion lineal de segundo orden con coeficientes cons-tantes. De acuerdo con el Teorema6, la ecuacion es estable si y solo si >

a y

>0.

Ejercicio 2.1.1. Determine cuales de las siguientes ecuaciones son asintotica-mente estables globalmente

(a) x 3x= 0,(b) x+ 4x+ 8x= 0,

(c) 3x+ 8x= 0,

14


21/36

2.2. ECUACIONES SIMULTANEAS

(d) 4x+ 4x+x= 0,

(e) x+ x 6x= 8,(f) x+ 3x+ 2x= e5t

Solucion. (a) Puesto que la ecuacion tiene un coeficiente igual a cero y el otroes negativo, por el Teorema6 se sabe que es inestable.

(b) Puesto que los coeficientes son ambos positivos, por el Teorema6se tieneque la ecuacion es asintoticamente estable globalmente.

(c) Ya que la ecuacion tiene un coeficiente positivo y el otro igual a cero, porel Teorema6 se tiene que es inestable.

(d) Puesto que ambos coeficientes son positivos, por el Teorema6 se tiene que

es asintoticamente estable globalmente.

(e) En este caso el coeficiente dex es negativo y por el Teorema6 se tiene quela ecuacion es inestable.

(f) Como los dos coeficientes son positivos, por el Teorema 6 se tiene que laecuacion es asintoticamente estable globalmente.

2.2. Ecuaciones simultaneas

Muchos modelos dinamicos en economa, especialmente en macroeconomay mas precisamente en crecimiento economico, involucran varias funciones des-conocidas que satisfacen un numero de ecuaciones diferenciales simultaneas.

Considere el caso especial donde se tienen dos funciones desconocidas y dosecuaciones:

x= f(t,x,y)

y = g (t,x,y) . (2.3)

Se supone que f , g , f x, fy , gx y gy son funciones continuas.

Ejercicio 2.2.1. Encuentre las soluciones generales de los siguientes sistemas

(a)

x= y

y = x+t

(b)

x= x+y

y= x y

(c)

x= 2x 3yy = x+t

15


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2.2. ECUACIONES SIMULTANEAS

Solucion. (a) Derivando la primer ecuacion con respecto a t se tiene que y= x

y por tanto x = x + t. Entonces las races del polinomio caractersticode la ecuacion homogenea asociada a esta ecuacion diferencial de segundoorden con coeficientes constantes r2 1 = 0 son r1 = 1 y r2 =1, ergodel Teorema ?? se tiene que x = Aet +Bet es la solucion a la ecuacionhomogena asociada. Puesto que el lado derecho de la ecuacion no homogeneaes igual at, entonces la solucion particular esta dada poru (t) =A0+ A1t.Ademas u (t) = 0 de modo que u (t)u (t) = 0 A0A1t= t por lo queA0 = 0 y A1 =1, se sigue entonces que u (t) =t y la solucion generales x = Aet +Bet t. De la primer ecuacion se tiene que y (t) = x (t) =Aet Bet 1.

(b) De la primer ecuacion se tiene que y = x x y derivando con respecto a ty = x x, sustituyendo en la segunda ecuacion del sistema se tiene que

x x= x x+x,x 2x= 0,

de donde r1 =

2 y r2 =

2, la solucion entonces esta dada por x (t) =

Ae2t + Be

2t. En consecuenciay (t) =

2Ae

2t 2Be

2t Ae

2t

Be2t =A

2 1 e2t B 2 + 1 e2t.

(c) De la primera ecuacion se tiene y = 13

x+ 23

x, sustituyendo en la segunday multiplicando por3 se tiene

x 2x 3x= 3t.

Las races del polinomio caracterstico de la ecuacion homogenea asociadaa esta ecuacion diferencial de segundo orden son r1 =1 y r2 = 3, porlo tanto la solucion de la ecuacion homogenea es x (t) = Aet +Be3t. Lasolucion particular esta dada poru= t 23 de modo que la solucion generalesx (t) =Aet+Be3t+t 2

3. Entonces x= Aet+3Be3t+1, sustituyendo

esto en y se tiene

y (t) = 13

Aet + 3Be3t + 1+23

Aet +Be3t +t 2

3

de donde

y (t) =Aet 13

Be3t +2

3t 7

9.

Ejercicio 2.2.2. Encuentre la solucion general de la ecuacion x 2x x= 0.Solucion. En este caso la ecuacion es homogenea y las races del polinomioasociado r2 2r 1 = 0 son r1 = 1 +

2 y r2 = 1

2. Entonces la solucion

general esta dada por x (t) =Ae(1+2)t +Be(1

2)t.

Ejercicio 2.2.3. Encuentre la solucion general del sistema

x= x+e2tp

p= 2e2tx p. (2.4)

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23/36

2.3. PUNTOS DE EQUILIBRIO PARA SISTEMAS LINEALES

Solucion. De la primer ecuacion se tiene que p = e2t (x x) de modo que

p= 2e2t (x x) +e2t (x x) .

Sustituyendo parap y p en la segunda ecuacion se tiene

e2t (x 3x+ 2x) = 2e2tx e2t (x x) =e2t (3x x)

es decirx 2x x= 0.

Cuya solucion esta dada por el ejercicio anterior. De modo que

p (t) =e2t

A

2e(1+2)t B

2e(1

2)t

=A2e(21)t

B2e(21)t

.

(2.5)

Ejercicio 2.2.4. Encuentre la solucion que pasa a traves de (t,x,y) =

1, 1,

2

para el sistema

x= ty2

1 +x2

y= txy

1 +x2,

t >0. (2.6)

Solucion. Haciendo y/x se tiene

dy

dx=

y

x=

txy

1+x2

ty2

1+x2

= x

y,

una ecuacion separable cuya solucion esta dada pory2 =x2+K. De la condicion(t,x,y) =

1, 1,

2

se deduce que si x = 1 e y =

2 entonces K = 1 y por

tanto la curva integral que pasa porx = 1 e y =

2 es y2 =x2+1. Sustituyendoen la primera ecuacion se tiene x= t, cuya solucion esta dada por x = 1

2t2 + C,

pero por la condiciont = 1 yx = 1 se tiene que C= 12 entoncesx = 12

1 +t2

,

lo cual implica que

y=

1 +

1

4(1 + t2)2.

2.3. Puntos de equilibrio para sistemas lineales

Ejercicio 2.3.1. Encuentre la solucion general del siguiente sistema utilizan-do el metodo de los valores propios. Este sistema es asintoticamente estableglobalmente?

x= x+ 2y+ 1

y= y+ 2. (2.7)

Solucion. El sistema anterior se puede escribir como

xy

=

1 20 1

xy

+

12

17


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2.4. ANALISIS DE DIAGRAMAS DE FASE

Para el sistema homogeneo asociado, la matriz asociada es

1 20 1

.

Puesto que la traza de esta matriz es cero, el sistema no es asint oticamenteestable globalmente. Los valores propios son 1= 1 y 2= 1 pues 1 20 1

= (1 ) (1 ) = 0.

los correspondientes vectores propios son

10

y

11

, de modo que la so-

lucion del sistema homogeneo es

xy

= Aet

10

+Bet

11

=

Aet +Bet

Bet

.

El punto de equilibrio del sistema es (x, y) = (5, 2). Seaz = x+5 yw = y2.Entonces el sistema dado es equivalente al sistema

wz

=

1 20 1

w

z

cuya solucion es

w

z

= Aet

10

+Bet

1

1

=

Aet +Bet

Bet

.

Por tanto la solucion del sistema dado es

x= z 5 =Aet +Bet 5y = w+ 2 = Bet + 2.

Es claro que si A= 0, entonces x no converge al valor de equilibrio cuandot , lo que confirma que el sistema no es asintoticamente estable.

2.4. Analisis de diagramas de fase

Ejercicio 2.4.1. Realice un analisis del diagrama de fase de los siguientes sis-

temas y luego encuentre sus soluciones explcitas.(a)

x= y

y= x

(b)

x= x+y

y= x y

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(c)

x= x 4yy = 2x 5y

Solucion. (a) El diagrama de fase queda como en la figura esquematica2.1,elunico punto de equilibrio esta dado por (0, 0) y la solucion explcita esta dadapor

x= Aet +Bet,

y= Aet Bet.

x (t)

y (t)

Figura 2.1: Diagrama de fase de (a).

(b) El diagrama de fase queda como en la figura esquematica2.2,el unico puntode equilibrio es (0, 0) y la solucion del sistema esta dada por

x= Ae2t +Be

2t,

y = A

2 1

e2t B

2 + 1

e2t.

19


26/36


x (t)

y (t)

y = 0

x= 0

Figura 2.2: Diagrama de fase de (b).

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2.5. ESTABILIDAD PARA SISTEMAS NO LINEALES

(c) El diagrama de fase queda como en la figura esquematica2.3,el unico punto

de equilibrio es (0, 0) y la solucion del sistema esta dada por

x= Aet +Be3t,

y = 1

2Aet +Be3t.

x (t)

y (t)

x= 0

y= 0

Figura 2.3: Diagrama de fase de (c).

2.5. Estabilidad para sistemas no lineales

Ejercicio 2.5.1. Determine (si es posible) la estabilidad asintotica local de lossiguientes sistemas en el punto dado

(a) x= x+ 12

y2, y= 2x 2y en (0, 0),(b) x= x 3y+ 2x2 +y2 xy, y= 2x y exy en (1, 1),(c) x= x3 y, y= x y3 en (0, 0),(d) x= 2x+ 8sin (y) , y= 2 ex 3y cos(y) en (0, 0).

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2.6. PUNTOS SILLA

Solucion. (a) La matriz jacobiana esta dada por

A =

1 y2 2

,

de modo que

A (0, 0) =

1 02 2

, tr (A) = 3, |A| = 2.

Por tanto (0, 0) es asintoticamente estable localmente.

(b) La matriz jacobiana esta dada por

A = 1 + 4x y 3 + 2y x2 exy 1 +exy ,

de modo que

A (1, 1) =

4 21 0

, tr (A) = 4, |A| = 2.

De donde (1, 1) no es asintoticamente estable localmente.

(c) La matriz jacobiana esta dada por

A =

3x2 11 3y2

,

de modo que

A (0, 0) =

0 11 0

, tr (A) = 0, |A| = 1.

Por lo que el Teorema ?? no puede aplicarse.

(d) La matriz jacobiana esta dada por

A =

2 8 cos (y)ex 3 + sin (y)

,

de modo que

A (0, 0) =

2 81 3

, tr (A) = 1, |A| = 2.

Por tanto (0, 0) es asintoticamente estable localmente.

2.6. Puntos silla

Ejercicio 2.6.1. Considere el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales

x= x

y x2 2

, y = y

1 y

2x

(2.8)

22


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2.6. PUNTOS SILLA

(a) Encuentre el unico punto de equilibrio (x0, y0) enS= {(x, y) |x >0, y >0}.Es (x0, y0) asintoticamente estable? Es un punto silla?

(b) Dibuje el diagrama de fase del sistema e indique el comportamiento dealgunas curvas solucion en la regionS.

Solucion. (a) El unico punto de equilibrio en la region Sesta dado por

y x2 2 = 0

1 y2x

= 0

de modo que x0, y0=43

, 83

. La matriz jacobiana esta dada por

A =x+y 2 xy2

2x2 1 y

x

.

Por tanto

A (x0, y0) =

23

43

2 1

y|A| = 2, de donde se deduce que se trata de un punto silla (local).(b) El diagrama de fase se presenta esquematicamente en la Figura2.4.

x (t)

y (t)

x= 0

y= 0

Figura 2.4: Diagrama de fase.

23


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Parte II

Optimizacion dinamica

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Captulo 3

Teora del control optimo

Considere un sistema cuyo estado en el tiempo t esta caracterizado por unnumero x (t), la variable de estado. El proceso que hace que x (t) puede contro-larse, al menos de forma parcial, por medio de una funcion de control u (t) Sesupone que la tasa de cambio de x (t) depende det,x (t) yu (t). Frecuentemen-te, el estado en algun puntot0 se conoce, x (t0) =x0. Por tanto la evolucion dex (t) esta descrita por una ecuacion diferencial controlada

x (t) =g [t, x (t) , u (t)] , x (t0) =x0. (3.1)

Suponga que se elige alguna funcion de control u (t) definida para tt0. Sus-tituyendo esta funcion en (3.1) se obtiene una ecuacion diferencial de primerorden para x (t). Puesto que el punto inicial es fijo, la solucion de (3.1) que se

obtiene es unica.Eligiendo diferentes funciones de control u (t), el sistema se puede dirigir alo largo de muchas trayectorias distintas, entre las cuales existen algunas que noson tan deseables como las demas. Supongase que es posible medir los beneficiosasociados a cada trayectoria. Mas especficamente, suponga que los beneficiospueden medirse a traves de la integral

J=

t1t0

f[t, x (t) , u (t)] dt (3.2)

donde fes una funcion dada. Jes conocida como funcion objetivo. Frecuente-mente se imponen ciertas restricciones sobre el estado final x (t1). Ademas, eltiempo t1 en el que el proceso se detiene no necesariamente es fijo. El problemafundamental que se estudiara es el siguiente:

Entre todos los pares (x (t) , u (t)) que obedecen la ecuacion di-ferencial en (3.1) con x (t0) = x0 y que satisfacen las restriccionesimpuestas sobrex (t1), encuentre una que maximice (3.2).

Ejemplo 3.0.1. Considere el problema de control

max

T0

(1 s) f(k) dt, k= sf(k) , k (0) =k0, k (T) kT, 0 s 1.

k = k (t) es el acervo real de capital de un pas y f(k) es su funcion de pro-duccion. Ademas, s = s (t), la variable de control, es la tasa de inversion1. La

1Es natural requerir que s [0, 1].

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3.1. INTRODUCCION

magnitud (1 s) f(k) es el flujo de consumo por unidad de tiempo. Se deseamaximizar la integral de esta cantidad sobre [0, T], i.e., maximizar el consumototal sobre el perodo [0, T]. La constante k0 es el acervo inicial de capital, yla condicion k (T)kT significa que se desea dejar un acervo de capital de almenoskTa aquellos que viviran despues del tiempo T.

Ejemplo 3.0.2. Sea x (t) la cantidad de petroleo en un deposito en el tiempot. Suponga que en t = 0 el deposito contiene Kbarriles de petroleo, de modoquex (0) =K. Si u (t) es la tasa de extraccion, entonces

x (t) = u (t) , x (0) =K. (3.3)

Puesto que integrando cada lado de la ecuacion anterior se tiene que

x (t) x (0) = t

0u () d,

O bien

x (t) =K t0

u () d.

Es decir, la cantidad de petroleo existente en el tiempo t es igual a la cantidadinicialK, menos menos la cantidad total que ha sido extrada durante el tiempo[0, t], llamada

t0

u () d.Suponga que el precio de mercado del petroleo en el tiempo t es q(t), de

modo que las ganancias derivadas de la venta por unidad de tiempo en t esq(t) u (t). Suponga ademas que el costo Cpor unidad de tiempo depende de t,x, y u, por lo que C=C(t,x,u). La tasa instantanea de beneficio en el tiempo

t es entonces

[t, x (t) , u (t)] =q(t) u (t) C[t, x (t) , u (t)] .

Si la tasa de descuento es r, el beneficio total descontado sobre el intervalo [0, T]es T

0

[q(t) u (t) C[t, x (t) , u (t)]] ertdt. (3.4)

Es natural suponer que u (t) 0, y quex (T) 0.1. Encuentre la tasa de extraccionu (t) 0 que maximiza (3.4) sujeta a (3.3)

y x (T) 0 sobre un perodo de extraccion fijo [0, T].

2. Encuentre la tasa de extraccion u (t) 0y tambien el tiempo terminaloptimoTque maximizan (3.4) sujeta a (3.3) yx (T) 0.

Estos dos problemas son problemas de control optimo. El primero tiene untiempo terminal fijo T, mientras que el segundo se conoce como un problemade tiempo terminal libre.

3.1. Introduccion

Se comienza estudiando un problema de control sin restricciones sobre lavariable de control y sin restricciones sobre el estado terminal, es decir, no se

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3.1. INTRODUCCION

imponen restricciones sobre el valor de x (t) en t = t1. Dados los tiempos fijos

t0 y t1, el problema es

max

t1t0

f[t, x (t) , u (t)] dt, u (t) (, +) (3.5)

sujeto a

x (t) =g [t, x (t) , u (t)] , x (t0) =x0, x0fijo, x (t1) libre. (3.6)

Dada cualquier funcion de control u (t) definida en [t0, t1], la solucion asociadaa la ecuacion diferencial en(3.6) con x (t0) =x0 usualmente sera determinadaunicamente en todo el intervalo [t0, t1]. Un par (x (t) , u (t)) que satisface (3.6)se llama par admisible. Entre todos los pares admisibles se busca un par optimo,i.e., un par de funciones que maximicen la integral en (3.5).

Nota1. El problema es maximizar una funcion objetivo (o integral) con respectoa u sujeto a la restriccion (3.6). Puesto que esta restriccion es una ecuaciondiferencial en el intervalo [t0, t1], se puede considerar como un numero infinitode restricciones de igualad, una para cada tiempo t en [t0, t1].

Es frecuente en economa, incorporar restricciones de igualdad en los proble-mas de optimizacion formando una funcion lagrangeana, con un multiplicadorde Lagrange correspondiendo a cada restriccion. En este caso, por analoga, lascondiciones necesarias para el problema asocian un numerop (t) con la restric-cion (3.6) para cada t [t0, t1]. La funcion resultante p= p (t) se conoce comofuncion adjunta o variable de co-estado asociada con la ecuacion diferencial.Correspondiente a la funcion lagrangeana en el presente problema se tiene elhamiltoniano H. Para cada tiempo t [t0, t1] y cada posible terna (x,u,p), delas variables de estado, control y adjunta, el hamiltoniano se define por

H(t,x,u,p) =f(t,x,u) +pg (t,x,u) . (3.7)

Un conjunto de condiciones necesarias para la optimalidad esta dada por elsiguiente Teorema.

Teorema 7 (Principio del maximo). Suponga que (x (t) , u (t)) es un paroptimo para el problema (3.5)-(3.6). Entonces existe una funcion continua p (t)tal que, para todo t [t0, t1],

u= u (t) maximizaH[t, x (t) , u , p (t)] parau (, +) (3.8)p (t) = Hx[t, x (t) , u (t) , p (t)] , p (t1) = 0. (3.9)

Nota 2. El requerimiento de que p (t1

) = 0 e n (3.9) se llama condicion detransversalidad. As, la condicion (3.9) nos dice que en el caso donde x (t1) eslibre, la variable adjunta se desvanece en t1.

Las condiciones en el Teorema anterior son necesarias, pero no son suficientespara la optimalidad. El siguiente Teorema ofrece condiciones suficientes.

Teorema 8 (Mangasarian). Si el requerimiento

H[t,x,u,p (t)] es concava en (x, u) para cadat [t0, t1] (3.10)se agrega a los requerimientos en el Teorema7,entonces se obtienen condicionessuficientes. Por tanto, si se encuentra una terna (x (t) , u (t) , p (t)) que satisface(3.6), (3.8), (3.9) y (3.10), entonces (x (t) , u (t) , p (t)) es optima.

27


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3.1. INTRODUCCION

Nota 3. Cambiar u (t) en un intervalo pequeno hace que f(t,x,u) cambie in-

mediatamente. Ademas, al final de este intervalo x (t) habra cambiado y estecambio es transmitido a traves del intervalo de tiempo restante. Con el fin dedirigir el proceso de forma optima, la eleccion deu (t) en cada instante del tiem-po debe anticipar los futuros cambios en x (t). En pocas palabras, se tiene queplanificar el futuro. En cierto sentido, la funcion adjuntap (t) se encarga de estanecesidad de planificar a futuro. La ecuacion (3.9) implica que

p (t) =

t1t

Hx[s, x (s) , u (s) , p (s)] ds.

Nota 4. Si el problema es minimizar el objetivo en (3.5), entonces se puedereescribir el problema como uno de maximizar el negativo de la funci on objetivooriginal. Alternativamente, se podra reformular el principio del maximo para

el problema de minimizacion: Un control optimo minimizara el hamiltoniano, yla convexidad de H[t,x,u,p (t)] con respecto a (x, u) es la condicion suficienterelevante.

Puesto que la region de control es (, +), una condicion necesaria para(3.8) es que

Hu[t, x (t) , u (t) , p (t)] = 0. (3.11)

Si H[t, x (t) , u , p (t)] es concava en u, la condicion (3.11) es tambien suficientepara que se cumpla la condicion de maximo (3.8), pues un punto estacionariointerior para una funcion concava es optimo (globalmente).

Ejemplo 3.1.1. Resuelva el problema

max T0

1 tx (t) u (t)2 dt, x (t) =u (t) , x (0) =x0, x (T) libre, u R,

dondex0 y T son constantes positivas.

Ejemplo 3.1.2. Considere el siguiente problema de control

mnu(t)

T0

x (t)2 +cu (t)2

dt, x (t) =u (t) , x (0) =x0, x (T) libre

dondeu (t) Ry c >0. Utilice el principio del maximo para resolver el proble-ma.

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Bibliografa

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Indice alfabetico

Condicion de transversalidad,27

Ecuacion de Bernoulli, 2

Funcion adjunta,27Funcion de control,25Funcion objetivo,25

Hamiltoniano,27

Par admisible,27Par optimo,27

Sistema estable,12Sistema inestable,12

Variable de co-estado,27Variable de estado,25

30

tallerecuacionesnotas (1)

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