1 математички практикум

ТАНГЕНТ А И НОРМАЛА КР ИВЕ 1. Задатак: Написати једначину тангенте и нормале графика функције 25 xxf у њеној тачки

yA ,2 . Rješenje: Одредимо координату тачкe А. Биће .1252 2 fy , па је 1,2A . Коефицијент правца тангенте графика дате функције у тачки А је 2'fkt , а како је

22 552

2'x

x

x

xxf

биће , 2

452

tk .

Једначина тангенте у тачки А гласи 221 xy или 52 xy .

Коефицијент правца нормале у тачки А је 211

t

n kk , па је њена једначина 2

211 xy или

xy21

.

2. Задатак: Написати једначину тангенте и нормале графика функције 3ln 2 xxf у њеној тачки yA ,2 .

Rješenje: Одредимо координату тачкe А. Биће ,01ln32ln2 2 fy па је 0,2A .

Коефицијент правца тангенте графика дате функције у тачки А је 2'fkt , а како је 3

2' 2

xxxf

биће 42' fkt . Једначина тангенте у тачки А гласи 240 xy или 84 xy .

Коефицијент правца нормале у тачки А је 411

t

n kk , па је њена једначина 2

410 xy или

21

41

xy .

3. Задатак Дата је парабола 214

y x и тачка 4,A y . Написати једначину њене тангенте и

нормале. Рјешење: Како тачка 4,A y припада графику функције, замјеном координата тачке у једначину функције

добијамо 4y , па су кординате тачке 4, 4A .

Извод дате функције је 12

y x . Знајући да је коефицијент правца тангенте једнак вриједности првог

извода функције у датој тачки добијамо 4 2tk y , а 1 1

2nt

kk

.

Једначине тангенте и нормале су

: 4 2 4 2 41 1: 4 4 62 2

t y x y x

n y x y x

4. Задатак: У тачки 1,M y криве 3 1y x x x написати једначину њене тангенте и нормале.

2 математички практикум Рјешење:

За 1x је 3y , па су кординате тачке 1,3M .

Извод дате функције је 22

13 1y xx

, па добијамо 1 3tk y , а 1 1

3nt

kk

.

Једначине тангенте и нормале су

: 3 3 1 31 1 10: 3 13 3 3

t y x y x

n y x y x

5. Задатак Одредити реалне параметре а и b тако да парабола baxxy 2 додирује праву

xy у тачки 1,1A . Рјешење:

Како тачка 1,1A припада графику функције замјеном координата тачке у једначину функције добијамо везу 0a b .

Дата права xy је тангента функције са коефицијентом правца 1k .

Како је 2y x a , добијамо 1 1k y , тј. 1 2 1a a и 1b

Једначина функције, дакле, гласи 2 1y x x .

6. Задатак У којој тачки параболе 21 3 42

y x x њена тангента има коефицијент правца једнак

броју 1. Рјешење:

Како је 3y x , а коефицијент правца тангенте је 1, добијамо 1 3x , тј 4x . Како је тачка са апсцисом 4 , додирна тачка параболе и тангенте, замјеном ове вриједности у параболу добијамо

ординату додирне тачке 21 4 3 4 4 02

y . Дакле, тражена тачка има координате 4, 0 .

7. Задатак У којим тачкама параболе 2 2y x x њена тангента а) паралелна x оси

б) паралелна симетрали првог и трећег квадранта.

Рјешење:

а) први извод дате функције је 2 1y x . Како је тангента паралелна x оси њен

коефицијент правца је 0 . Из услова де је 2 1 0x , добијамо 12

x , однодно тачка има

координате 1 9,2 4

.

3 математички практикум

8. Задатак Одредити једначину оне тангенте криве 53 23 xxy која је нормална на праву 0162 yx

Рјешење: Извод дате функције је xxy 63 2 . Дату праву ће мо превести у ријешени облик

61

31

xy па је коефицијенат правца праве 31

pk а тражене тангенте је 3tk . Дакле имамо

1 0120363363 222 xxxxxxx . Кад добијену вриједност за x замијенимо у једначини криве добијамо координате додирне тачке су М(-1,-3)

133 : xytM или 063 yx

9. Задатак: Одредити једначине тангенти криве 22 23 xxxy које су паралелне са 02847 yx правом

Рјешење: Извод дате функције је 143 2 xxy . Дату праву ће мо превести у ријешени облик,

имамо 747

xy , па је 47

pk и коефицијент правца тангенте, такође 47

tk .Дакле имамо

03161274161247143 222 xxxxxx , а рјешења ове једначине су

23

1 x и

61

2 x . Кад добијене вријености замијенимо у једначини дате криве, добијамо додирне тачке

313,

23 A ( другу сам израчунај)

23

47

813 : xyt A и послије сређивања, добијамо 01447 yx

10. Задатак: Одредити једначине тангенти криве xxxy 23 42 чији је коефицијент правца 0,5.

Рјешење: Извод дате функције је 186 2 xxy , а коефицијент правца тангенте је 215.0 tk

па имамо 03161212161221186 222 xxxxxx . Рјешења ове једначине су

23

1 x и 61

2 x . Замјеном ових вриједности у једначини дате функције добијамо додирне

тачке тангенте и криве, а то су

415,

23 A и

1085,

61 B па су тангенте у тим тачкама

23

21

415 : xyt A или послије стрђивања 092 yx

61

21

1085 : xytB или послије сређивања 075427 yx

11. Задатак: Одредити додирне тачке тангенти криве 3223 xxxy које су паралелне правој

073 yx Рјешење: Извод дате фукције је 223 2 xxy , а ријешени облик једначине дате праве је

73 xy , 3pk и 3tk па је 3223 2 xx односно 0123 2 xx а рјешења ове

једначине су 11 x и 31

2 x , па замјеном у датој функцији добијамо додирне тачке

4 математички практикум

5,1 A и

2759,

31 B

12. Задатак: Одредити једначину тангенте параболе 742 xxy која је нормелна на праву

одређену координатним почетком и тјеменом дате параболе Рјешење: Извод дате функције је 42 xy , а координате тјемена параболе су

abac

abT

44,

2

2

, па замјеном из дате параболе добијамо 3,2T . Коефицијент правца праве ОТ

је 23

0203

OTk , па је коефицијент правца тангенте 32

tk . Дакле, имамо

35

610 106 2126

3242 xxxx . Замјеном ове вриједности у једначини

параболе добијамо координате додирне тачке

928,

35 A .

Једначина тангенте је

35

32

928 xy и послије сређивања :At 03896 yx

13. Задатак: Дата је функција 4

3xaxxf . Одредити реалан број а тако да график дате функције

сјече Ox- осу под углом од 450

Рјешење: Пресјечне тачке дате криве са x-осом су 03 xax 000 22 xaxxax Рјешење једначине 02 xa зависи од знака броја а, па је сигуран пресјек за 0x .

43 2xaxf

, а посто је коефицијент парвца једнак 1 то је 43143 2

2

xaxa , па за

0x добијамо да је 4a