tanja ben ci c - mathos.unios.hrmdjumic/uploads/diplomski/ben23.pdf · sveu cili ste j.j....
TRANSCRIPT
Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku
Odjel za matematiku
Tanja Bencic
Aleksandrija - znanstveno srediste starog vijeka
Diplomski rad
Osijek, 2011.
Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku
Odjel za matematiku
Diplomski sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike
Tanja Bencic
Aleksandrija - znanstveno srediste starog vijeka
Diplomski rad
Mentor: doc. dr. sc. Tomislav Marosevic
Osijek, 2011.
Sadrzaj
1. Uvod 1
2. Kratka povijest osnutka Aleksandrije 2
3. Staroegipatska matematika 3
4. Aleksandrijska knjiznica 4
5. Neki znanstvenici iz Aleksandrije 7
5.1. Euklid (330. - 275.pr.Kr.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.2. Aristarh sa Samosa (310.-250.pr.Kr.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.3. Arhimed (grc. Arhimedes, oko 287.-212. pr. Kr.) . . . . . . . . . . . . 14
5.4. Eratosten iz Kirene (275.-195.pr.Kr.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.5. Apolonije iz Perge (260.-190.pr.Kr.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.6. Klaudije Ptolomej (87.-168. godine) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.7. Papus (oko 290.- oko 350. godine) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.8. Diofant (III. st. poslije Kr.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.9. Hipatija ( 370.- 415. godine) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6. Sazetak 28
7. Zivotopis 31
1. Uvod
Aleksandrija je bila najvece kulturno i znanstveno srediste tijekom sedam stoljeca,
od 3.st. pr. Kr. do 4. stoljeca n.e., na zapadnom rubu goleme delte Nila. U Alek-
sandriji su se skupljali umjetnost i znanje, sva kulturna dobra onoga doba, da bi se u
njemu oplodena sirila na sve strane tada poznatog svijeta. Samo jedno stoljece nakon
osnivanja, Aleksandrija je bila veca od Kartage i vrlo brzo je postala srediste anticke
kulture, od znanosti do religije.
Aleksandrija, kozmopolitski grad znanosti i kulture od osnutka u IV. st. pr. Kr. do
danas, mjesto je u kojem se ispreplicu orijentalna i zapadna civilizacija. Tijekom vise
od 2000 godina njome su vladali brojni narodi: Grci, Rimljani, Bizantinci, Arapi, Turci,
Francuzi, Englezi i Egipcani. Aleksandrijski Museion je bio vodece sveuciliste svoga
vremena, a iza njegovih zidina naucavali su najbolji filozofi, znanstvenici i ucenjaci
tog doba. Mnogo stoljeca kasnije, kolektivnu misao koja se ovdje stvarala naslijedit ce
zapadna civilizacija.
U anticko doba, grad je bio poznat po svom svjetioniku, koji se ubraja u sedam
svjetskih cuda i po knjiznici koja je bila najveca u to vrijeme. Podvodna arheoloska
istrazivanja u aleksandrijskoj luci, otkrivaju da je prije dolaska Aleksandra ovdje pos-
tojao grad Rhakotis, za vrijeme dinastije Ptolomejevica. Grad je kao sjediste Ptolome-
jevica, koji su tada vladali Egiptom, brzo postao jedan od najvecih gradova u he-
lenistickom svijetu. Za vrijeme Ptolomejeve vladavine vladalo je kulturno blagostanje.
Ptolomej je Aleksandriju ucinio kulturnim sredistem tadasnjeg zapadnog svijeta uteme-
ljivsi Museion, centar obrazovanja, znanosti i umjetnosti s velikom Knjiznicom.
U Museionu se izucavala i predavala matematika, filozofija, zemljopis, filologija, medic-
ina, astronomija i prirodne znanosti, te je on postao uzor za kasnija europska sveucilista.
Razdoblje od 300.g.pr.Kr. do 500.g.poslije Kr. obiljezava razdoblje utjecaja najvecih
matematickih skola antickih vremena medu kojima posebno mjesto ima skola u
Aleksandriji.
1
2. Kratka povijest osnutka Aleksandrije
Najveci vojskovoda i drzavnik helenistickog svijeta Aleksandar III. Makedonski os-
vojio je Egipat u jesen 332. g. pr. Kr. nakon pobjeda nad perzijskim kraljem Darijem
III. Aleksandar je imao samo 25 godina, a vec je bio gospodar citave istocne obale
Sredozemlja od Grcke do Egipta. Za srediste novog svijeta izabrao je podrucje delte
Nila izmedu Sredozemnog mora i Mareotskog jezera (eg. Mariout) u cijem se zaljevu
nalazio otocic Far. Postavivsi temelje grada, Aleksandar je krenuo u nova osvajanja na
istoku. Vise se nikada nije ziv vratio u svoju buducu prijestolnicu. Umro je u Babilonu
323. g. pr. Kr. od groznice. Njegove zamisli i brigu o izgradnju grada preuzeo je jedan
od njegovih vojskovoda i pomocnika, Ptolomej I. Soter, koji je potpuno preuzeo vlast
u Egiptu. Ptolomej I. posvetio se uredenju nove prijestolnice cime zapocinje kulturni
i znanstveni procvat Aleksandrije.
Nakon sto su helenizirani Egipat, Mezopotamija i dio Indije, helenizam je cinio
bit gradske civilizacije. Vladari u razdoblju helenizma su njegovali istocnjacke obicaje,
rjesavali istocnjacke probleme vlasti, ali su poticali grcku umjetnost, literaturu i znanost.
Tako je grcka matematika bila prenesena u novu sredinu. Matematika je sacuvala svoje
ranije osobine ali je ostao i utjecaj onih zahtjeva administracije i astronomije koje je
postavio Istok. Povezanost grcke znanosti sa Istokom bila je izuzetno plodna, narocito u
prvim stoljecima. Aleksandrija je postala intelektualni i privredni centar helenistickog
svijeta, postala je veza istoka i zapada, ne samo kao srediste trgovine, vec i kao glavno
mjesto znanstvenika koji su nasli utociste u aleksandrijskom Museionu, koji je bio
srediste znanosti s velikom knjiznicom.
U antickoj Aleksandriji djelovao je Euklid koji je napisao djela koja su utemeljila
matematiku, zatim Eratosten (izmjerio je opseg Zemlje). Aleksandrija je bila grad
znanosti koja je za vladavine Ptolomejevica izrasla u jedan od najvecih antickih gradova.
Grad su krasili mnogi spomenici od kojih su najglasovitiji bili svjetionik na otoku Faru,
koji je smatran jednim od najvecih ostvarenja u starom vijeku i jedan je od sedam svjet-
skih cuda, velika Knjiznica i Museion, Serapisov hram (Serapeum) i kraljevske palace.
Slika 1: Svjetionik
2
3. Staroegipatska matematika
Staroegipatska matematika je jedna od najranijih razdoblja razvoja te znanosti.
Jedna od prvih grana matematike je geometrija, po postanku to je grcka rijec koja
bi, doslovno prevedena, znacila ”mjerenje zemlje”. A upravo kao mjerenje zemlje ge-
ometrija se siroko razvila vec u starom Egiptu.
O staroegipatskoj matematici doznajemo ponajvise iz dvaju papirusa: Ahmesovog
ili Rhindovog i Moskovskog([3]).
Slika 2: Ahmesov papirus
Slika 3: Moskovski papirus
Ahmesov papirus sadrzi 87 matematickih problema. To je zbirka tablica i vjezbi,
koja je namijenjena uglavnom ucenju matematike. Sadrzi vjezbe iz aritmetike, alge-
bre, geometrije i raznih mjerenja. Moskovski papirus otkrio je 1893. godine V. S.
Golenichev. Sadrzi 25 problema, od kojih mnogi nisu citljivi.
3
Promotrimo li gradevine koje su stari Egipcani ostavili svjetskoj bastini, mozemo
primijetiti koliko su imali dobro razvijenu geometriju, stereometriju i sve ono sto im je
bilo potrebno za izgradnju piramida i hramova. Poznato je da su znali racunati nagib
piramide, obujam krnje piramide te obujam piramide. Racunali su povrsinu trokuta
kao 12
umnoska dviju kracih stranica (sto vrijedi samo za pravokutan trokut); malena
odstupanja nisu im znacila previse. Znali su izracunati i povrsinu pravokutnika kao
umnozak duljina njegovih stranica.
U staroegipatskoj algebri problemi i rjesenja bila su dana rijecima. Znali su
rjesavati jednadzbe prvog stupnja s tim da su obavezno provodili analizu i sintezu pri
rjesavanju, tj. svako rjesenje su uvrstavali u pocetni problem da se uvjere da to uistinu
i jest pravo rjesenje.
Stari Egipcani nisu poznavali oznake za mnozenje, dijeljenje, jednakost, drugi
korijen, decimalnu tocku, nisu cak ni znali za ”obicni” razlomak. Ali su se zato koristili
i sedmeroznamenkastim brojevima,prema legendi je poznato da su imali neku cudnu
mjesavinu jednostavnosti i kompliciranosti u svojim racunima, ali taj se nacin pokazuje
kao potpuno jedinstvena i zatvorena cjelina. Zato se moze reci da je egipatska matem-
atika jedini sacuvani cisti primjerak racunske tehnike koja je bila vrlo razvijena, koja
u citavom svom razvoju nije dozivjela nikakav bitni diskontinuitet, vec se u potpunosti
temelji na osnovi racunanja - na brojenju i pojmu razlomka.
4. Aleksandrijska knjiznica
Aleksandrijska knjiznica je najveca i najznamenitija knjiznica starog vijeka. Bila je
smjestena u Aleksandriji na podrucju Egipta, koji je bio srediste helenisticke kulture i
znanosti.
Veliku aleksandrijsku Knjiznicu dao je podici Ptolomej I. Namjeravao je stvoriti
znanstveno i kulturno srediste koje ce se suprostaviti atenskom utjecaju. Izgradena je
Knjiznica sa znanstvenom ustanovom Museionom. Tako su stvoreni temelji kulturnog
i znanstvenog utjecaja koje ce Aleksandrija zadrzati sve do kraja IV. st. Knjiznica nije
bila otvorena za javnost nego samo za studente i znanstvenike. Za potrebe knjiznice
prikupljani su rukopisi, papirusi i razni natpisi sa svih strana svijeta. Svjedocanstva
brojnih putnika govore da su im u Egiptu oduzimani svi rukopisi koji su potom prepisi-
vani i vracani vlasnicima. Na taj nacin stvorena je golema zbirka znanja antickog svijeta
s oko 200.000 rukopisa. U brojnim svicima dokumenata bili su zastupljeni gotovo svi
poznati jezici: grcki, latinski, aramejski, hebrejski, jezici naroda Mezopotamije, perzi-
jski, arapski, pa i indijski. U Museionu se istrazivala biologija, medicina, matematika,
astronomija, filologija, geografija, povijest, itd.
4
U okviru ustanove djelovala su brojna slavna imena od kojih se posebno isticu ge-
ograf, filolog, matematicar i astronom Eratosten, matematicar Euklid (djelovao oko
300. g. pr. Kr.), fizicar, matematicar i izumitelj Arhimed, fizicar Heron, Apolonije,
Ptolomej, Papus, Teon, Hipatija, Diofant i drugi. Prvi put Knjiznica i Museion unisteni
su 48./47. g. pr. Kr. u gradanskom ratu izmedu Kleopatre VII. i njezina brata Ptole-
meja XIII. (tzv. aleksandrijski rat), ali nisu sacuvani podaci o velicini stete. Godine
391./392. u krscanskom osvajanju unisteni su poganski hramovi i ostatci Knjiznice.
Slika 4: Knjiznica
5
BIBLIOTHECA ALEXANDRINA - SIMBOL MODERNE ALEKSANDRIJE
U najnovije doba, sredinom listopada 2005. navrsila se treca obljetnica otvaranja
nove aleksandrijske knjiznice.
Realizacija projekta izgradnje nove knjiznice odvijala se kroz gotovo trideset godina.
Bibliotheca Alexandrina zamisao je dvojice egipatskih akademika sa Sveucilista u Alek-
sandriji koji su 1974. godine dosli na ideju gradnje nove knjiznice s ciljem revitalizacije
povijesne prijestolnice helenisticke i anticke kulture.
Slika 5: Knjiznica
Bibliotheca Alexandrina predstavlja znacajno kulturno srediste u Egiptu. Danasnja
zgrada knjiznice izgradena je na prostoru na kojem je posljednja egipatska dinastija
Ptolomejevica izgradila svoje palace i nedaleko od mjesta na kojem je nekoc vjerojatno
stajao slavni aleksandrijski Museion i Knjiznica (Bibliotheca). Nova aleksandrijska
Knjiznica izgradena je s namjerom da bude i mjesto povezivanja Egipta sa svijetom.
6
5. Neki znanstvenici iz Aleksandrije
5.1. Euklid (330. - 275.pr.Kr.)
Euklid je poznati grcki matematicar iz Atene. O njegovom zivotu je jako malo poz-
nato. Zivio je i radio u Aleksandriji gdje je stvorio matematicku skolu. Od svih velikih
imena vezanih uz Aleksandriju, Euklidovo ime je najpoznatije. Bio je jedan od najus-
pjesnijih pisaca. Napisao je vise knjiga iz optike, glazbe, astronomije i matematike. U
povijesti cjelokupne matematike Euklid je vrlo istaknut, posebno kao ponajveci ucitelj
matematike ikada.
Euklid je napisao brojna djela, od kojih neka nisu sacuvana i poznata su samo po
naslovu. Sacuvana djela su:
- ”Elementi” (geometrija kao znanost o prostoru) u 13 knjiga,
- ”Data” (o uvjetima zadavanja nekog matematickog objekta),
- ”Optika” ( s teorijom perspektive), i dr.
Najznacajnije matematicko djelo koje je imalo veliki utjecaj na poucavanje i razvoj
matematike su Euklidovi Elementi. Elementi predstavljaju sustavno izlaganje grcke
matematike tog vremena po odjeljcima: elementarna geometrija, teorija brojeva, al-
gebra, teorija mjerenja geometrijskih velicina, elementi teorije granicnih vrijednosti.
Elementarna geometrija, koja se izucava u srednjim skolama mnogih zemalja svijeta,
malo se razlikuje od geometrije izlozene u Euklidovim Elementima. Medutim, mnoge
definicije (tocka, pravac i dr.) u Euklidovoj geometriji su danas zastarjele. Euklid
je pokusao da izlaganje bude strogo deduktivno i upravo zbog te dosljednosti ”Ele-
menti” su stoljecima smatrani najsavrsenijim matematickim djelom. Mnoge generacije
matematicara i drugih znanstvenika su ucili iz ove knjige kako se logicki zakljucuje i
novo povezuje s ranije utvrdenim cinjenicama.
Euklidovi Elementi sadrze osnove gotovo cjelokupne grcke matematike do Euklidova
vremena, a nastali su na temelju ranijih dostignuca drugih matematicara, od kojih su
neki teoremi i dokazi originalno Euklidovi. U knjizi su dokazana 464 teorema na nacin
koji se i danas koristi. Elementi su znacajni i zbog stila pisanja zato sto su teoremi
logicki poredani tako da svaki slijedi iz vec dokazanih ili osnovnih tvrdnji koje su dane
na pocetku, a zakljucci se izvode deduktivno.
7
Mnogi vrijedni sadrzaji iz tog doba nisu uvrsteni u Elemente. Na primjer teorija
cunjosjecnica, matematicka znanja nastala u rjesavanju problema trisekcije kuta, pod-
vostrucenja kocke, Hipokratove kvadrature nekih neravnih likova i drugo. Sve do dvade-
setog stoljeca Euklidovi Elementi ce biti uzor matematickog djela i vecina udzbenika
ce biti radena na temelju Elemenata.
Elementi se sastoje od 13 knjiga, a na pocetku navode 23 definicije, 5 aksioma i
5 postulata. Aksiomi su opcenite polazne tvrdnje koje se ne dokazuju, a postulati se
odnose na polazne geometrijske tvrdnje.
Navedimo te postulate (na nacin na kojem se i danas izlazu ):
1. Dvije tocke odreduju segment pravca (duzinu).
2. Duzinu je moguce produziti u beskonacnost (na njena oba kraja, cime se dobije
pravac).
3. Zadani segment pravca definira kruznicu (jedan kraj segmenta je srediste, a duljina
segmenta je polumjer).
4. Svi pravi kutevi su jednaki.
5. Postulat o paralelama: Ako pravac sijece dva pravca tako da je zbroj unutrasnjih
kuteva s iste strane manji od dva prava kuta, onda se ta dva pravca (ako se dovoljno
produze) sijeku, tj. nisu paralelni.
Navedimo pet aksioma (na nacin na kojem se i danas izlazu ):
1. Jednakost je tranzitivna relacija.
2. Ako je a = b i c = d, onda je a+ c = b+ d.
3. Ako je a = b i c = d, onda je a− c = b− d.
4. Ono sto se podudara je jednako.
5. Cjelina je veca od dijela.
Slika 6: Euklidovi Elementi
Prije nego sto je poceo dokazivati teoreme, Euklid je postavio definicije, od kojih
navodimo nekoliko sljedecih:
Def. 1.1. Tocka je u tome sto nema dijela.
Def. 1.2. Linija je beskonacna duzina.
Def. 1.3. Ekstremiteti linija su tocke.
Def. 1.4. Pravac lezi jednako s obje strane u odnosu na tocke.
8
Promotrimo ukratko sadrzaj pojedinih knjiga u Euklidovim Elementima.
U knjizi Euklidovi Elementi I nalazi se 48 propozicija elementarne geometrije.
Tu se razmatra medu ostalim,
- konstrukcija pravilnog trokuta zadane stranice,
- poucci o sukladnosti trokuta (SKS, SSS, KSK),
- bisekcija kuta (konstrukcija simetrale kuta),
- bisekcija duzine (konstrukcija simetrale duzine),
- konstrukcija trokuta zadanih stranica.
Navedimo neke propozicije koje su iskazane na sljedeci nacin:
1. Dvije stranice trokuta su jednake ako i samo ako su im nasuprotni kutevi jednaki.
2. Vanjski kut trokuta je veci od oba njemu nasuprotna unutrasnja kuta.
3. Vanjski kut u trokutu je suma nasuprotnih unutrasnjih kuteva. Suma unutrasnjih
kuteva trokuta je dva prava kuta.
U knjizi Euklidovi Elementi II nalazi se 14 propozicija geometrijske algebre
medu kojima se razmatraju i
- geometrijski dokaz formule (x+ y)2 = x2 + 2xy + y2,
- geometrijsko rjesenje jednadzbe (b− x)x = c,
- kvadratne jednadzbe koje odgovaraju teoremu o kosinusima bez trigonometrijske for-
mulacije,
- nalazenje kvadrata jednakog (po povrsini) zadanom poligonu.
Knjiga Euklidovi Elementi III sadrzi 37 propozicija o planimetriji kruznice i
kruga. U propozicijama se razmatra:
- odredivanje sredista dane kruznice,
- pravac kroz srediste kruznice koji raspolavlja tetivu okomit je na nju,
- konstrukcija tangente na kruznicu iz tocke izvan kruga,
- Talesov teorem.
Ovako glase neke od propozicija:
1. Obodni kut je pola pripadnog sredisnjeg kuta.
2. Ako se iz tocke izvan kruga povuku sekanta i tangenta, onda je kvadrat udaljenosti
tocke do diralista jednak produktu duzina od tocke do sjecista sekante s kruznicom.
Specijalno su produkti tih duzina za svake dvije sekante jednaki.
U knjizi Euklidovi Elementi IV obradene su konstrukcije pravilnih poligona.
Sastoji se od 16 propozicija, medu kojima se nalaze i
- upisivanje i opisivanje trokuta sa zadanim kutevima zadanoj kruznici te upisivanje i
opisivanje kruznice trokutu,
- upisivanje i opisivanje kvadrata zadanoj kruznici te upisivanje i opisivanje kruznice
kvadratu,
9
- upisivanje i opisivanje pravilnog peterokuta zadanoj kruznici te upisivanje i opisivanje
kruznice pravilnom peterokutu,
- konstrukcija pravilnog sesterokuta.
U knjizi Euklidovi Elementi V obradena je Eudoksova opca teorija omjera i
razmjera. Sastoji se od 25 propozicija, medu kojima su i
- distributivnost mnozenja prema zbrajanju,
- asocijativnost mnozenja za prirodne brojeve,
- komutativnost mnozenja,
- tranzitivnost jednakosti omjera.
U knjizi Euklidovi Elementi VI nalazi se 33 propozicije o primjeni opce teorije
omjera i razmjera na planimetriju. Navedimo neke od njih:
1. Povrsine trokuta i paralelograma iste visine su proporcionalne osnovicama.
2. ”Talesovi” teoremi o proporcionalnosti: paralela s osnovicom trokuta sijece stranice
u jednakim omjerima.
3. Okomica na hipotenuzu dijeli pravokutni trokut na dva njemu (i medusobno) slicna
pravokutna trokuta.
Osim propozicija razmatraju se i sljedece stvari: - nalazenje trece geometrijske propor-
cionale duzina a i b (duzine x tako da je a : b = b : x),
- nalazenje srednje geometrijske proporcionale duzina a i b (duzine x tako da je a : x =
x : b),
- nalazenje cetvrte geometrijske proporcionale duzina a, b i c (duzine x tako da je
a : b = c : x),
- kako podijeliti duzinu u zadanom omjeru.
Knjige Euklidovi Elementi VII, VIII i IX predstavljaju rezultate pitagorejske
aritmetike. Knjiga VII navodi 39 propozicijai teorije brojeva. Tu se razmatraju medu
ostalim i
- provjera jesu li dva broja relativno prosta Euklidovim algoritmom,
- Euklidov algoritam za odredivanje najveceg zajednickog djelitelja dva, odnosno tri
broja,
- odredivanje najmanjeg zajednickog visekratnika.
U knjizi Euklidovi Elementi VIII nalazi se 27 propozicija iz teorije brojeva.
Navedimo neke od njih:
1. a2 | b2 ako i samo ako a | b.2. a3 | b3 ako i samo ako a | b.3. Slicni slozeni brojevi ab i cd imaju omjer kao kvadratni (ab i cd su slicni ako
a : c = b : d).
10
Knjiga Euklidovi Elementi X sadrzi 117 propozicija (meA‘u ostalim dana je
klasifikacija iracionalnosti). Navedimo neke od njih:
1. Eudoksova lema: Ako od neke velicine oduzmemo vise od njene polovine, od ostatka
vise od njegove polovine, itd., onda ce, ako se postupak ponovi dovoljan broj puta, os-
tatak biti manji od bilo koje velicine.
2. Ako dvije velicine nisu sumjerljive, onda u Euklidovom algoritmu nijedan dobiveni
ostatak ne dijeli manju.
U knjizi Euklidovi Elementi XI nalazi se 39 propozicija opce stereometrije.
Navedimo kako glase neke propozicije:
1. Presjek dvije ravnine je pravac.
2. Pravci okomiti na istu ravninu su paralelni.
3. Ravnine okomite na isti pravac su paralelne.
4. Paralelepipedi iste baze i visine su jednaki.
Knjiga Euklidovi Elementi XII bavi se primjenom metode ekshaustije na stere-
ometriju kroz 18 propozicija. Ovako glase neke od njih:
1. Povrsine krugova su proporcionalne kvadratima njihovih promjera.
2. Dva tetraedra su jednaka ako imaju iste baze i visine.
3. Volumen stosca je trecina volumena valjka iste baze i visine.
4. Omjer volumena kugli je trostruki omjer njihovih dijametara.
U knjizi Euklidovi Elementi XIII nalazi se 18 propozicija teorije pravilnih poliedara.
Navedimo neke od propozicija:
1. Ako su u jednakostranicnom peterokutu neka tri kuta jednaka, onda je to pravilni
peterokut.
2. Omjer stranica pravilnog sesterokuta i deseterokuta upisanih u istu kruznicu je om-
jer zlatnog reza.
3. Kvadrat nad stranicom pravilnog trokuta je trostruki kvadrat nad radijusom njemu
opisane kruznice.
4. Konstrukcije kocke upisane u sferu i dokaz da je kvadrat dijametra te sfere trostruki
kvadrat stranice kocke.
5. Usporedba stranica pet pravilnih poliedara i dokaz da su to jedini pravilni poliedri.
11
Slika 7: Prijevod Euklidovih Elemenata
Navedimo posebno neke matematicke tvrdnje koje su dobile ime po Euklidu. Poucci
koji se koriste kod sukladnosti i slicnosti trokuta, te kod dokaza aritmeticko - geometri-
jske (AG) nejednakosti.
Euklidov poucak o kateti pravokutnog trokuta
U svakom je pravokutnom trokutu svaka kateta geometrijska sredina hipotenuze i
odsjecka na hipotenuzi uz tu katetu sto ga odreduje visina na hipotenuzu:
a =√
cp, b =√
cq.
Euklidov poucak o visini pravokutnog trokuta
Neka su sa p i q oznacene ortogonalne projekcije kateta na hipotenuzu, a sa v visina
pravokutnog trokuta. Euklidov poucak tada glasi: v2 = pq.
Slika 8: Euklidov poucak
12
Za odredivanje najveceg zajednickog djelitelja ponekad je tesko odrediti ga (pogo-
tovo u slucaju vrlo velikih brojeva), pa tada koristimo Euklidov algoritam za odredivanje
najveceg zajednickog djelitelja brojeva b i c.
Euklidov algoritam
Neka su b > c > 0 ∈ N. (1)
Pretpostavimo da je uzastopnom primjenom teorema o dijeljenju s ostatkom dobiven
niz jednakosti:
b = cq1 + r1, 0 < r1 < c
c = r1q2 + r2, 0 < r2 < r1
.
.
.
rj−2 = rj−1qj + rj, 0 < rj < rj−1
rj−1 = rjqj+1.
Tada je (b, c) = rj, odnosno najveci zajednicki djelitelj je jednak posljednjem ostatku
razlicitom od nule u Euklidovom algoritmu.
Primjer
Euklidovim algoritmom nadite najveci zajednicki djelitelj brojeva 3102 i 4002.
Rjesenje:
4002= 1· 3102 + 900 3102= 3· 900 + 402 900 = 2· 402 + 96 402 = 4· 96 + 18 96 = 5·18 + 6 18=3· 6 (4102, 3102) = 6.
13
5.2. Aristarh sa Samosa (310.-250.pr.Kr.)
Aristarh je bio grcki gramaticar i knjzevni kriticar, te se bavio primjenom matematike
na astronomiju. Bio je glavni knjiznicar Aleksandrijske knjiznice. Racunao je udal-
jenost Zemlje do Sunca, te je usporedio velicine Zemlje i Mjeseca.
Kako bi izracunao udaljenost Zemlje od Sunca, koristio je cinjenicu da je trokut
Zemlje, Sunca i Mjeseca kad je Mjesec u prvoj cetvrti pravi, s pravim kutem kod
Mjeseca.
Slika 9: Udaljenost Zemlje od Sunca
Aristarh je, po uzoru na Plutarha predlagao hipotezu da se Zemlja krece oko Sunca
po kruznici i istovremeno rotira oko svoje osi.
Aristarh za usporedbu velicine Zemlje i Mjeseca koristi svojstva pomrcine Sunca.
Za vrijeme pomrcine Sunca gledajuci sa Zemlje su prividne velicine Mjeseca i Sunca
jednake. Iz toga slijedi da im je omjer promjera jednak omjeru njihovih udaljenosti od
Zemlje. Dobio je da je omjer promjera Zemlje i Mjeseca priblizno 7 (no tocniji rezultat
je priblizno omjer 4).
5.3. Arhimed (grc. Arhimedes, oko 287.-212. pr. Kr.)
Arhimed iz Sirakuze ([2]) je bio grcki fizicar i jedan od najvecih matematicara starog
vijeka. Arhimed je bio vrhunac helenisticke matematike i najveci fizicar starog vijeka.
Njegov je otac bio Fidija, astronom i matematicar, koji je bio blizi astrologiji nego
matematici, dok ga filozofija uopce nije zanimala. U vrijeme Arhimedova rodenja
Fidija je bio relativno siromasan gradanin, kakvih je u Sirakuzi bilo mnogo. Medutim
njegovo siromastvo nije bilo dugog vijeka jer je uskoro njihov rodak Hijeron zavladao
gradom. Fidija je svog sina naucio svemu sto je sam znao. Fidija se drzao nacela:
sinu treba dati znanje u ruke i neka on s njim cini sto mu volja. Arhimed je brzo
usvojio oceva znanja koja su za njega bila tek pocetak ucenja. Njegov duh trazio je
jos znanja i ucenja. Stoga je otisao u Aleksandriju (danasnji Egipat) gdje su mocni
Ptolemejevici osnovali cuvenu Aleksandrijsku knjiznicu. U to vrijeme Aleksandrija
je bila srediste prirodnih znanosti, sto je tada obuhvacalo astronomiju, matematiku,
medicinu i filologiju. Arhimeda je ponajvise zanimala matematika. U Aleksandrijskoj
knjiznici gdje se njegovala filozofska svestranost radilo je mnogo mladih i sposobnih
matematicara.
14
Najsvestraniji je bio sjajni Eratosten, buduci Arhimedov prijatelj. Nepisano prav-
ilo je nalagalo da svako otkrice prije objavljivanja mora biti poslano nekom drugom
matematicaru na provjeru.
Tako su vrsnjaci Arhimed i Eratosten sve do Arhimedove smrti izmjenjivali brojna
pisma u kojima su se nalazila gotovo sva otkrica i jednog i drugog. Vrativsi se u Sir-
akuzu, Arhimed se u pocetku bavio astronomijom. Gradio je do tada nevidene strojeve
troseci na tom poslu svoju veliku darovitost.
Arhimed se bavio obicnim, prakticnim problemima, koji su bili primjenjivani na mnogim
mjestima, od polja do rudnika. Najvecu slavu stekao je svojim raspravama o za-
obljenim geometrijskim tijelima, ciju je povrsinu i zapreminu izracunavao slozenom
metodom bliskom danasnjem infinitezimalnom racunu. Takoder je pronasao zakone
poluge, polozio osnove hidrostatici i odredio pribliznu vrijednost broja π. Pored toga
izumio je tzv. Arhimedov vijak (crpka). Pronasao je i tzv. Arhimedov zakon, o sili
uzgona na tijelo u vodi.
Glavna Arhimedova djela su:
O kvadraturi parabole;
O lopti i valjku;
O mjerenju kruga;
O plivanju tijela;
Racun s pjescanim zrncima;
O ravnotezi ravnih figura.
Arhimedov vijak je naprava koja se cesto tijekom povijesti upotrebljavala za pre-
mjestanje vode u kanale za natapanje. To je jedan od izuma koji se pripisuje Arhimedu,
iako postoji i druga teorija po kojoj su za ovaj izum zasluzni stanovnici Babilona prije
Arhimeda, a postoji i pretpostavka da su se cuveni vrtovi Babilona natapali uz pomoc
ovog tipa crpke. Osim toga, Arhimedov vijak je jedna od prvih poznatih crpki koje se
spominju (skica Arhimedovog vijka).
15
Skica Arhimedovog vijka
d = unutarnji promjer cijevi
H1 = najmanja visina dobave
D = vanjski promjer vijka
H2 = najveca visina dobave
β = kut nagiba uredaja
H3 = srednja visina dobave
H0 = najveca moguca visina dizanja
J = broj neovisnih navoja
L = duljina navoja
S = uspon vijka
16
Arhimedov zakon To je zakon o sili uzgona na tijelo u tekucini i moze se ovako
izreci:
Tijelo uronjeno u tekucinu lakse je za masu istisnute tekucine.
Slika 10: Slika 1
Hidrostatski tlak koji djeluje sa gornje strane tijela (sl.1a)) je manji od hidrostatskog
tlaka sa donje strane (sl.1b)). Razlika tih dvaju tlakova rezultira silom koja tjera tijelo
prema gore tj. cini ga laksim (sl.1c)). Tu silu koja djeluje na tijelo uronjeno u tekucinu
zovemo uzgon. Postoji anegdota (prema Vitruviusu) koja govori kako je Arhimed
otkrio da zlatna kruna, napravljena za kralja Hierona ll., nije od cistog zlata. Kada
je zlatna kruna u obliku lovorovog vijenca napravljena, od Arhimeda se zatrazilo da
utvrdi je li kruna od cistog zlata ili je necasni zlatar umijesao i srebro. Pri tom nije
smio ostetiti krunu. Problem je bio kako odrediti volumen krune pomocu kojeg bi se
uz poznatu masu, odredila gustoca zlata.Po legendi, rjesenje mu je doslo za vrijeme
kupanja. Primijetio je da se ulaskom u kadu podigao nivo vode. Shvatio je da je to
nacin kojim bi se mogao izracunati obujam krune. Dijeljenjem mase krune sa njenim
obujmom izracunala bi se gustoca metala u kruni. Manja gustoca od gustoce zlata
znacila bi da je zlatu dodano srebro.
Nasavsi rjesenje problema, prema legendi bio je toliko uzbuden da je, zaboravivsi
se obuci, istrcao iz kade na ulicu, vicuci Eureka! - ”Nasao sam!”.
17
Arhimedove druge matematicke aktivnosti
Jedno od njegovih brojnih otkrica je suma kvadrata prvih n znamenki:∑ni=1 i
2 = n(n+1)(2n+1)6
. U svome radu predlozio je razraditi i sheme numeracija, zatim
rasporedivanje brojeva u potencije: aman = am+n, sto je osnovno pravilo za operacije
s logaritmima. Takoder je bio u stanju rijesiti i kubnu jednaz.bu koju mi sada pisemo
u ovom obliku: x3 − ax2 + b2c = 0.
Arhimed je predlozio izracunavanje ispod povrsine parabole, te je koristio sumu
geometrijskog reda kako bi izracunao povrsinu koju zatvaraju parabola i jedna prava
linija. Njegova metoda je bila da podijeli povsinu u beskonacan broj trokuta, kao sto
je prikazano na slici. Prema tome Arhimed je postavio sljedeci teorem:
Arhimedov teorem
Ukupna povrsina ispod parabole je 4/3 povrsine (plavog) trokuta.
Slika 11: Arhimedov teorem
Takoder je poznata sljedeca tvrdnja - aksiom koji je Arhimed obradio u svom djelu
O kugli i valjku, a moze se naci i u knjizi Euklidovi Elementi, te u Aritostelovoj Fizici.
Arhimedov aksiom
Za svake dvije povrsine P i S postoji prirodan broj m takav da je mP > S.
18
5.4. Eratosten iz Kirene (275.-195.pr.Kr.)
Eratosten je grcki matematicar, geograf, putopisac i astronom. Poznat je kao otac
geografije. Takoder se bavio i poezijom, povijesti, te filologijom. Obrazovao se u
Aleksandriji, gdje ga je Ptolomej III imenovao predstojnikom aleksandrijske knjiznice.
Smatra se da je Eratosten izumio armilarnu sferu (mehanicki model nebeske sfere,
mjerni instrument) te izracunao opseg Zemlje koristeci se geometrijom i poznavanjem
visine Sunca u podne u Aleksandriji i Syeni. Racun je izveo pod pretpostavkom da
je Zemlja okrugla i da je Sunce toliko udaljeno da se njegove zrake mogu uzeti kao
paralelni pravci.
Slika 12: Prikaz udaljenosti Zemlje od Sunca
Obozavatelji njegovih postignuca zovu ga drugi Platon, a neki misle da je njegov
nadimak Beta znaci da je bio drugi od antickih mudraca. Njegov doprinos aritmetici
bilo je sito, tzv. Eratostenovo sito sto je metoda za nalazenje prostih brojeva, odnosno
nacin prosijavanja slozenih brojeva u prirodnom nizu, ostavljajuci samo primarne. Uko-
liko zelimo naci sve proste brojeve izmedu 2 i n sluzimo se postupkom kojeg je prvi
opisao Eratosten. Navedimo to u sljedecem primjeru.
19
Primjer :
Treba pronaci sve proste brojeve izmedu 2 i 29. Najprije napisemo sve te brojeve jedan
iza drugoga:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27,
28, 29
Zatim u gornjem nizu uklonimo sve visekratnike broja 2 (ali ne i sam broj 2):
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27,
28, 29
Sada se s prvog elementa polja (element 2) pomaknemo na sljedeci neoznaceni element.
To je broj 3. Oznacimo sada sve visekratnike broja 3 (ali ne i sam broj 3). Dobijemo
ovo:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27,
28, 29
Sada se s elementa 3 pomicemo na sljedeci neoznaceni element. To je broj 5.
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27,
28, 29
Sljedeci neoznaceni element bio bi broj 7. Medutim njegove visekratnike ne moramo
oznacavati. Dovoljno je oznaciti visekratnike samo onih prirodnih brojeva koji su manji
od drugog korijena najveceg elementa u nizu. Kako je√
29 ≈ 5.3851, oznaceni su svi
potrebni visekratnici. Nakon zavrsenog postupka, u nizu ce neoznaceni ostati jedino
prosti brojevi.
Eratosten se takoder bavio problemom udvostrucenja kocke, te je izumio mehanicki
uredaj da bi se pronasla linija segmenata x i y s obzirom na segmente a i b, a:x=x :y=y :b.
U problemu dupliciranja kocke se radi o mehanizmu za odredivanje srednjih ge-
ometrijskih proporcionala: ako su dana dva paralelna pravca AB i CD i na njih
pricvrscena tri sukladna pravokutna trokuta tako da im po jedna kateta lezi na AB.
Prema slici je K poloviste od BD, tocke A, N , L i K su kolinearne, tada je |DK| :
|ML| = |ML| : |NO| = |NO| : 2|DK|, stoga ako je |DK| = a, stranica kocke
dvostrukog volumena je |ML|.
Eratosten je dosta pridonio razvoju znanosti. Radio je na julijanskom kalendaru
20
koji ukljucuje prijestupne godine, te je postavio sustavnu kronologiju svijeta kada je
pokusao dati datume knjizevnih i politickih dogadanja iz vremena opsade Troje.
5.5. Apolonije iz Perge (260.-190.pr.Kr.)
Apolonije je anticki helenisticki matematicar i astronom, znanstvenik aleksandrijskog
Museiona. Poznat je po razvoju teorije konika (koje je otkrio Menehmo), te je napisao
i djelo u kojem obraduje konike u 8 knjiga s oko 400 propozicija. Apolonije je u
tim knjigama starije, Menehmove, Aristejeve i Euklidove rezultate nadopunio svojima.
Ono sto se prvi put pojavljuje kod Apolonija su pojmovi elipsa, parabola i hiperbola.
Apolonije je promatrao presjeke uspravnog i kosog stosca proizvoljnom ravninom, dok
je Menehmo promatrao samo normalne presjeke uspravnih stosaca.
U prvoj od navedenih osam knjiga Apolonije obraduje opca svojstva konika, u
drugoj asimptote hiperbole te dijametre i tangente konika. U trecoj knjizi obraduje
sekante i fokuse, u cetvrtoj presjeke i dodire dvije konike, u petoj povlacenje normala
na koniku. U sestoj knjizi Apolonije obraduje jednake i slicne konike, a u sedmoj kon-
jugirane promjere i komplementarne tetive.
Matematicka djela koja je napisao Apolonije su:
1. Odnosi presjeka u dvije knjige sa 180 teorema.
2. Presjeci povrsina u dvije knjige sa 124 teorema .
3. Odredeni odsjeci u dvije knjige sa 80 teorema.
4. Prijelazne konstrukcije u dvije knjige sa 125 teorema.
5. Tangente u dvije knjige sa 60 teorema.
6. Ravne geometrijske slike u dvije knjige sa 147 teorema.
21
5.6. Klaudije Ptolomej (87.-168. godine)
Klaudije Ptolomej je bio jedan od najutjecajnijih grckih astronoma, matematicara i
geografa svog vremena. Astronomska istrazivanja je vrsio u Aleksandriji. O njegovom
zivotu znamo vrlo malo, ali je njegovo glavno djelo Veliki zbornik astronomije, ili Velika
Sintaksa, koje je kasnije nazvano Almagest ostalo potpuno sacuvano, i u tom pogledu
Ptolemej se istice medu svim astronomima starog vijeka. Almagest je sustavni skup
cjelokupnog astronomskog znanja zavrsnog aleksandrijskog perioda, zbornik u punom
smislu rijeci. Djelo se sastoji od dvije biljeznice i trinaest knjiga. Prva knjiga je uvodna
sa trigonometrijskim tablicama, druga je posvecena matematickoj geografiji i mjerenju
vremena, treca se bavi kretanjem Sunca, cetvrta i peta kretanjem Mjeseca, u petoj
knjizi opisana je i konstrukcija astronomskih instrumenata koja se od Herona na dalje
vrlo usavrsavala, a sesta pomracenjima Sunca i Mjeseca.
U sedmoj knjizi opisana je temeljno pojava precesije, i sadrzi katalog zvijezda
nekretnica. Ostali dio zbornika posvecen je teoriji kretanja planeta, gdje se koristi
Apolonijevom teorijom epicikala. Ptolomej je, izmedu ostaloga i utemeljitelj geocen-
tricne teorije prema kojoj se sva nebeska tijela okrecu oko Zemlje. To je pogled na
svijet temeljen na fiksnoj Zemlji oko koje sfera fiksnih zvijezda rotira svaki dan, noseci
sa sobom sfere Sunca, Mjeseca i planeta. Ptolomej je koristio geometrijske modele kako
bi predvidio polozaje Sunca, Mjeseca i planeta, koristeci kombinacije kruznim pokre-
tima nazvanim putanja unutrasnjeg kruga. Ovaj model je Ptolomej opisao matematicki
(Slika 9).
Ptolomej je nacinio aproksimaciju broja π = 317120 ≈ 3.14166, koristeci upisani 360-
terokut. Takoder je dao aproksimaciju za√
3 ≈ 1.73205.
Koristio je formule koje su analogne danasnjim formulama za sin(a + b), sin(a − b)
i sin a2. Ptolomejeva geocentricna teorija gibanja planeta bila je vazeca vise od 1400
godina sve do usvajanja Kopernikove heliocentricne teorije.
Slika 13: Prikaz Ptolomejove geocentricne teorije
22
Navedimo jos jednu matematicku tvrdnju koja je dobila ime po Ptolomeju.
Ptolomejev teorem
Umnozak dijagonala tetivnog cetverokuta (oko kojeg se moze opisati kruznica) jednak
je zbroju umnoska nasuprotnih strana, odnosno mn = ac+ bd.
Slika 14: Ptolomejev teorem
5.7. Papus (oko 290.- oko 350. godine)
Papus iz Aleksandrije posljednji je veliki matematicar aleksandrijske skole i uopce
antickog svijeta. Zasluzan je za projektivnu geometriju. Poznat je njegov teorem
kao osnovni teorem o euklidskoj geometriji, ali i u projektivnoj geometriji.
Teorem projektivne geometrije Postoji tocno jedan projektivitet koji tri po volji
odabrane razlicite tocke A1 , B1 i C1 pravca p1 preslikava redom u tri po volji odabrane
razlicite tocke A2, B2 i C2 pravca p2.
Papusov teorem Ako vrhovi P1 , P3 i P5 obicnog sesterokuta P1, P2, P3,P4, P5,
P6 leze na nekom pravcu a i ako vrhovi P2, P4 i P6 tog sesterokuta leze na nekom
prvcu b, onda sjecista K, L i M parova suprotnih stranica tog obicnog sesterokuta su
kolinearne tocke.
Ovako definiran obicni sesterokut zovemo Papusov sesterokut, a cijela figura se naziva
Papusova figura. Pravac p na kojemu leze sjecista K, L i M parova suprotnih stranica
zovemo Papusov pravac.
23
Slika 15: Papusov teorem
5.8. Diofant (III. st. poslije Kr.)
Diofant je djelovao u Aleksandriji,a poznat je kao ”otac” algebre ([2]). Malo je poznato
o njegovom zivotu, a te spoznaje dolaze iz Grcke Antologije Metrodorusa iz 500. godine.
Njegovo glavno djelo Aritmetika sastojalo se iz 13 knjiga i u tom djelu Diofant se bavi
raznim algebarskim problemima. Rjesava algebarske jednadzbe prvog, drugog pa i
treceg stupnja sto se koristi i u danasnjoj algebri. Samo 6 od originalnih 13 knjiga je
sacuvano i pretpostavlja se da su ostale izgubljene ubrzo nakon sto su i napisane.
Svi postojeci rukopisi, prvih 6 knjiga, dolaze iz jednog izvora tj. Hipatijinih komen-
tara, a pretpostavlja se da su knjige 7-13 izgubljene jer Hipatijini komentari njih ne
ukljucuju. Pisci su cesto dodavali objasnjenja radi lakseg razumijevanja, pa se smatra
da su dvije studentske vjezbe na pocetku 2. knjige Hipatijin rad, koje navodimo kao
primjer.
Primjer:
U ovim vjezbama trazi se:
1) rjesenje sustava jednadzbi
x− y = a, x2 − y2 = (x− y) + b, gdje su a i b poznati.
Rjesenje tog sustava dobiva se zamjenom nepoznanica x i y preko jedne varijable
pri cemu se pretpostavlja da je jedna x veca, a y manja od polovine razlike x i y:
x = z + 12a
y = z − 12a
(z + 12a)2 − (z − 1
2a)2 = a+ b
24
z = a+b2a
Iz toga slijedi rjesenje tog sustava
x = a+b2a
+ 12a
y = a+b2a− 1
2a;
2) Drugi problem koji se razmatra je naci rjesenja sustava jednadzbi
x− y = a, x2 − y2 = m(x− y) + b, gdje su a,b,m poznati.
Diofant je dao najveci doprinos u rjesavanju problema kod linearnih i kvadratnih
jednadzbi, gdje se uzimaju u obzir samo pozitivna racionalna rjesenja za te probleme.
Nije poznato je li Diofant shvatio da kvadratna jednadzba moze imati dva rjesenja.
Medutim, cinjenica je da je on uvijek bio zadovoljan racionalnim rjesenjem.
Diofant je postavio tri vrste kvadratne jednadzbe: ax2+bx=c, ax2=bx+c, ax2+c=bx.
Razlog zasto su tri slucaja kod Diofanta, a danas imamo samo jedan slucaj, je taj da
on nije imao bilo koji pojam za nula i izbjegavao je negativne koeficijente s obzirom
na dane brojeve a, b, c koji su bili pozitivni u sva tri slucaja.
Postoje i druge vrste problema kojima se bavio Diofant. Rijesio je probleme kao sto su
sustavi kvadratnih jednadzbi. Imamo sustav y + z = 10, yz = 9. Diofant je to rjesavao
stvaranjem jedinstvene kvadratne jednadzbe u nepoznanici.
Uzmemo da je 2x = y− z,
dodamo y + z = 10 i y− z = 2x,
imamo y = 5 + x
z = 5− x.
Iz toga proizlazi da je 9 = yz = (5 + x)(5− x) = 25− x2, b2 = 16,
x = 4 y = 9, z = 1.
U Knjizi III, Diofant rjesava probleme pronalazenja vrijednosti koje cine dva lin-
earna izraza kvadratima. Na primjer, pokazuje kako pronaci x da bi izraz 10x + 9 i
5x + 4 oba bila kvadrati (on dobije x = 28). U ostalim problemima traze se vrijednost
za x, tako da pojedine vrste polinoma u x do sestog stupnja budu kvadrati.
Drugi tip problema koji Diofant proucava, ovaj put u knjizi IV, je pronaci vezu
izmedu danih granica. Na primjer, ako treba pronaci kvadrat izmedu 54
i 2, on mnozi
oba broja sa 64, pronalazi vezu kvadrata 100 koji se nalazi izmedu 80 i 128, tako da za
rjesenje dobije 2516
.
25
U knjizi V. on rjesava probleme kao sto je pisanje broja 13 kao zbroja dva kvadrata
da je svaki veci od 6 (i on daje rjesenje 6604910201
i 6656410201
). Diofant takoder pise 10 kao zbroj
tri kvadrata svaki veci od 3, pronalazeci tri kvadrata 1745041505521
, 1651225505521
, 1658944505521
. Cini se da
je Diofant dokazao tvrdnju da se svaki broj moze napisati kao zbroj cetiri kvadrata, ali
to je tek Lagrange pokazao koristeci Eulerove rezultate.
Pod pojmom diofantske jednadzbe danas se smatraju one jednadzbe kod kojih se
traze racionalna rjesenja. Navedimo jednu takvu tvrdnju.
Diofantske jednadzbe
Neka su a, b, c cijeli brojevi i d = nzd(a, b). Ako d - c, onda jednadzba ax + by = c
nema cjelobrojnih rjesenja.
Ako d | c onda jednadzba ima beskonacno mnogo cjelobrojnih rjesenja. Ako je (x1, y1)
jedno rjesenje, onda su sva rjesenja dana sa
x = x1 + bd· t,
y = y1 − ad· t, gdje je t ∈ Z.
26
5.9. Hipatija ( 370.- 415. godine)
Hipatija iz Aleksandrije prva je po imenu poznata zena matematicarka. Oko 400. go-
dine poslije Krista dolazi na celo Platonove akademije u Aleksandriji, gdje drzi preda-
vanja iz matematike i filozofije. Pomaze svom ocu Teonu u pisanju komentara Ptolome-
jevog Almagesta, a vjeruje se da mu je pomagala u stvaranju novog izdanja Euklidovih
Elemenata, koje je kasnije postalo osnova svih sljedecih izdanja. Ureduje Apolonijeve
Konike te pise komentare Diofantove Aritmetike.
Bavila se matematikom, astronomijom i filozofijom. U njezine pronalaske ubrajaju
se hidromjer (instrument za odredivanje gustoce tekucine), astrolab (instrument za
odredivanje geografske sirine i polozaja nebeskih tijela). U pregledima povijesti filo-
zofije i dalje je cesto neopravdano zaobilaze, ali neosporno je njeno mjesto u povijesti
matematike kao prve zene koja je imala znacajnu ulogu u razvoju ove znanosti. Za-
jedno sa ocem Teonom pomagala je da se ocuvaju neka blaga starih Grka iz podrucja
matematike i astronomije.
Veliki utjecaj na njeno obrazovanje imao je upravo njen otac Teon Aleksandrijski,
jedan od posljednjih matematicara koji je radio u Museionu, tako da je Hipatija rasla
u atmosferi ucenja i istrazivanja. Teon je ohrabrivao svoju kcer da razvija svoj um
i pomogao joj je da postigne akademsko znanje koje niti jedna zena prije nje nije
imala. Teon je nadzirao njeno obrazovanje i kao njen ucitelj prenio je na nju svu
svoju ljubav prema matematickoj ljepoti i logici. Uz matematicku obuku Hipatija
je imala i formalno obrazovanje iz umjetnosti, literature, nauke i filozofije. Prema
legendi, studenti iz cijelog svijeta dolazili su u Aleksandriju da slusaju njena predavanja.
Ubijena je tijekom jedne pobune krscana protiv pogana.
27
6. Sazetak
Sazetak.
Aleksandrija je bila znanstveno srediste starog vijeka, u razdoblju od oko 3. stoljeca
pr. Kr. pa sve do 4. stoljeca n.e.
Obrazovni rad u Aleksandriji potpuno je drugaciji od atenskog. Moze se reci da
se u Aleksandriji manje radilo na poucavanju, a jos vise na istrazivanju. Poucavanje
je bilo podredeno radu erudita - istrazivacima koji su radili u knjiznicama i Museionu
(ustanova koja je obuhvacala sveuciliste i knjiznicu u Aleksandriji).
Ideja da su knjiznice neizostavno orude razvoja znanosti lezala je u temelju aleksan-
drijskog sustava. Znanstvenici u Aleksandriji imali su vrijednih rezultata. Najveci dio
rada ondasnjih ucenih ljudi sastojao se iz prijevoda povijesnih kompilacija i komentara
djela poznatih matematicara. Kroz ovaj rad vidjeli smo kako se znanost razvijala u
Aleksandriji, te tko su najveci zasluzenici za razvoj znanosti na podrucju Aleksandrije,
s naglaskom na podrucju matematike.
U Aleksandriji su djelovali brojni poznati znanstvenici, primjerice Euklid, Arhimed,
Heron, Apolonije, Papus, Diofant, te mnogi drugi. U radu su kratko opisani neki
matematicki doprinosi tih poznatih znanstvenika koji su djelovali i bili povezani s alek-
sandrijskim Museionom - sveucilistem i knjiznicom.
28
Summary.
Alexandria was a scientific center in the ancient age, in the period from the 3rd
century BC to the 4th century AD.
Education in Alexandria is different in comparison with that in Athens. One can
say that in Alexandria work was done in education, but primarily in research. The
teaching has been subordinated to the work of erudite - researchers who have worked
in museums, libraries.
The idea that libraries are without fail the tool of scientific development lay at
the foundation of Alexandria. Scientists in Alexandria had valuable results. The
largest part of the work of scientists in Alexandria consisted of translations of historical
compilations and comments of the work of well known scientists. Through this work
we can see how the science was developed in Alexandria and who are the greatest
scientists in Alexandria, with an emphasis in mathematics.
Many famous scientists had been lived and worked in Alexandria, for example
Euclid, Archimedes, Heron, Apolonius, Pappus, Diofantus, and others. In this work
some mathematical contributions of these famous scientists are shortly described, since
they had been in connection with Museion (i.e. university and library) in Alexandria.
29
Literatura
[1] J. Gow: A Short History of Greek Mathematics, Boston 1968.
[2] D. E. Smith, History of mathematics, Dover Publications, INC. New York (1958.)
[3] F.M.Brueckler, Povijest matematike I, Odjel za matematiku Sveucilista u Osijeku,
2007.
[4] J. Fauvel, J. Gray: The History of Mathematics, London: The Open University
1987.
[5] http://bs.wikipedia.org/wiki/Geometrijski
[6] http://docs.google.com/viewer
[7] http://e.math.hr/old/zene/index.html
[8] http://en.wikipedia.org
[9] http://hr.wikipedia.org/wiki/Aleksandrijska
[10] http://infoz.ffzg.hr/cae/egipat/gradovi/01.htm
[11] http://sadaovdje.com/portal/razno/hipatija/
[12] http://www.biografije.org/arhimed.htm
[13] https://www.ffri.hr
[14] http://www.historyworld.net/wrldhis/PlainTextHistories.asp
[15] http://www.patrologija.com/index.php
30
7. Zivotopis
Moje ime je Tanja Bencic, stanujem u Belom Manastiru na adresi Petra Preradovica
29. Rodena sam 03.12.1986.godine u Osijeku.
Osnovnu skolu sam zavrsila u Belom Manastiru. U razdoblju od 2001.-2005.godine
pohadala sam ”Gimnaziju Beli Manastir” u
Belom Manastiru, opci smjer. Nastavila sam skolovanje na Sveucilistu Josipa Jurja
Strossmayera u Osijeku na Odjelu za matematiku.
Kao osobna znanja i vjestine mogu istaknuti znanje engleskog jezika, sposobnost do-
brog pristupa djeci, kao osoba sam odgovorna, komunikativna i savjesna, te se odlicno
snalazim u timskom radu. Profesionalni cilj mi je daljnja edukacija i usavrsavanje te
nauciti djecu ispravnom razmisljanju i promisljanju.
31