tarea 1

5/9/2018 Tarea 1 - slidepdf.com

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Ricardo Alejos

Cálculo Tensorial

1

Tarea 01

Ejercicio 1Evalúe la expresión .

Esta expresión se puede contraer por la propiedad de sustitución de la delta de Kronecker

( ) en los pares con índices repetidos. Así entonces, podemos reacomodar los términos para

explicitar la aplicación de la propiedad mencionada.

⏟

⏟

Note que nuevamente podemos hacer una reducción por la propiedad de sustitución de la

delta de Kronecker para dejar una sola delta con sus índices repetidos.

Dado que tiene sus índices repetidos, por el convenio de suma de Einstein, ésta representa

una suma.

Ejercicio 2

Evalúe la expresión .

Primero note que la expresión tiene el índice repetido, de modo que se trata de una suma

de tres términos que contienen el símbolo de Levi-Civitá.

El símbolo de Levi-Civitá (), se define de tal forma que para cualquier permutación par de

es igual a . Para cualquier permutación impar del mismo conjunto hará que valga . Y en



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el resto de los casos será igual a cero. Nótese que el resto de los casos son prácticamente aquellos

que repiten algún número del conjunto . De modo que las sumas darán como resultado:

Ejercicio 3


Lo primero que aplicaremos será la sustitución de la delta de Kronecker para reducir la expre-

sión a solo un símbolo de Levi-Civitá:

Ahora tenemos un caso muy similar al ejercicio anterior:

Ejercicio 4


Dado que la expresión tiene el índice repetido, indica una suma de tres términos por el con-

venio de suma de Einstein:

Recordando la definición del símbolo de Levi-Civitá, podemos sustituir esta suma de términos

por sus respectivos valores dados por la definición:



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Ejercicio 5

Utilizando la propiedad de antisimetría total de , demuestre que éste satisface la“propiedad cíclica” ( ).

Note que la propiedad cíclica menciona la igualdad ante cualquier rotación de índices de de-

recha a izquierda. Esto mismo implica la obtención de una permutación par de cualesquiera índices

que contenga la expresión, pudiéndose presentar entonces tres casos:

1. Si los índices son una permutación par de , al aplicar una rotación de índices se

obtendrá otra permutación par y por lo tanto, en ambos casos, el símbolo de Levi-Civitá

tendrá valor de

.

2. Si los índices son una permutación impar de , al aplicar una rotación de índices se

obtendrá otra permutación impar y por lo tanto, en ambos casos, el símbolo de Levi-

Civitá tendrá valor de .

3. Si los índices no caen en ninguno de los dos casos anteriores, al aplicar una rotación de

derecha a izquierda tampoco obtendremos permutaciones pares ni impares de y

por lo tanto, en ambos casos, el símbolo de Levi-Civitá tendrá valor de .

Así bien, queda demostrada la propiedad cíclica de .

Ejercicio 6

Evalúe la expresión :

Utilizando la propiedad cíclica podemos hacer que ambos factores de la expresión queden

idénticos:

Ahora es posible utilizar el resultado del ejercicio visto en clase ():



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Ejercicio 7

Exprese en términos de la delta de Kronecker.

Podemos primero aplicar la propiedad de antisimetría de haciendo un cambio en los ín-

dices de uno de los factores:

Ahora aplicamos la propiedad cíclica con el segundo factor y obtenemos:

Aplicando nuevamente el ejercicio visto en clase (el cual comprueba que ), en-

contramos que:

Ejercicio 8

Si las componentes (cartesianas) del vector son las ¿qué significa la expresión

?

Por el convenio de la suma de Einstein, sabemos que . Que es lomismo que la suma de los cuadrados de las componentes del vector .

Ejercicio 9

Si las componentes (cartesianas) del vector son las y las del vector son las ,¿qué significado tiene la expresión ?

√ √

La expresión puede también escribirse en notación vectorial de la siguiente manera:

‖‖‖‖

Ya que, respectivamente y ‖‖ √ √ . El resultado de

dicha operación siempre es 1 para cualesquiera vectores y ya que esta operación es equivalente



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a hacer el producto punto de los vectores unitarios en las direcciones y . También, recurriendo a

la definición del producto punto, puede ser visto como el coseno del ángulo formado por los dos

vectores :

‖‖‖‖

Ejercicio 10

Encuentre la traza de la matriz .[]

La traza de una matriz se puede escribir como , que por el convenio de suma de Einsteines lo mismo que . En este caso en específico:

Ejercicio 11

Haciendo referencia a la matriz , evalúe la expresión .

Por el convenio de suma de Einstein, la expresión puede escribirse como una suma de

nueve términos:

Que es lo mismo que la suma de los cuadrados de todos los elementos de la matriz, es decir:



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Ejercicio 12

Haciendo referencia a la matriz , evalúe la expresión .

Expandamos primero la suma:

Y sustituimos con los valores de la matriz:

Ejercicio 13

Si y , calcule .

Primero expandimos la suma de nueve términos que sale a razón del convenio de Einstein.

Ahora aplicamos la propiedad para eliminar varios términos de esta suma.

Intercalamos los índices y del lado derecho de la igualdad, y aplicando las propiedades de

y encontramos que

Al sumar las ecuaciones y obtenemos



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Ejercicio 14Si demuestre que es simétrico.

La demostración será más rápida en notación matricial.

[] [] [] []

Ejecutamos la suma y encontramos la matriz correspondiente a

.

[] Note ahora que y por lo tanto es simétrico.

Ejercicio 15

Si demuestre que es simétrico.

Siguiendo una estrategia similar a la del ejercicio anterior, representamos la igualdad pro-

puesta como una suma resta de matrices.

[] [] [] []

Y ahora ejecutamos la resta, encontramos que

[] []

Note que como podemos decir entonces que es antisimétrico.



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Ejercicio 16

Demuestre que si es un objeto antisimétrico, entonces .

La expresión es una suma de nueve términos de los cuales tres son cero y tres positi-

vos y otros tres negativos. Los últimos seis términos se eliminan entre sí al ejecutar la suma y por lotanto .

Ejercicio 17

Usando la expresión en notación tensorial para el producto vista en clase, de-

muestre que .

El producto cruz puede expresarse en notación tensorial . Sabemos que

es antisimétrico, y utilizando el resultado del ejercicio anterior podemos afirmar claramente que

.

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