tarea 2 de diseño de experimentos - mauricio huerta a

Facultad de CienciasInstituto de EstadsticaIngeniera en Estadstica

Tarea 2 de Dise~no de ExperimentosDise~no en Cuadrado Latinoy Cuadrado Greco-Latino

Trabajo para la asignatura de:\Dise~no de Experimentos"

Presentado por:Mauricio Huerta Aguiar

Profesora:Claudia Navarro

Valparaso, Chile, 8 de julio de 2014

Indice general

1. Resumen Ejecutivo 1

2. Marco Teorico 5

3. Presentacion, Objetivos, Materiales y Metodos 73.1. Presentacion del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2. Caso sin montajes de prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3. Caso con montajes de prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.3.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.4. Materiales y Metodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.4.1. Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.4.2. Metodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4. Resultados 104.1. Caso sin montajes de prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.1.1. Analisis exploratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.1.2. Analisis de varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.1.3. Comparaciones multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.1.4. Validacion de supuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.2. Caso con montajes de prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2.1. Analisis exploratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2.2. Analisis de varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2.3. Comparaciones multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2.4. Validacion de supuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5. Conclusion 27

6. Bibliografa 28

7. Anexo 29

0

Captulo 1

Resumen Ejecutivo

Se desean estudiar los efectos que tienen cinco formulaciones diferentes de la cargapropulsora utilizada en los sistemas de expulsion de la tripulacion de un avion basadoen la rapidez de combustion. Cada formulacion se hace con un lote de materia prima quesolo alcanza para probar cinco formulaciones. Ademas, las formulaciones son preparadas porvarios operadores, y puede haber diferencias sustanciales en las habilidades y experiencia delos operadores. Por lo tanto, al parecer hay dos factores perturbadores que seran \calculadosen promedio" en el dise~no: los lotes de materia prima y los operadores. El dise~no apropiadopara este problema consiste en probar cada formulacion exactamente una vez con cadauno de los cinco operadores. Ademas, se desea estudiar de manera aparte el problema,suponiendo que el experimento tiene un factor adicional, los montajes de prueba.

Para el caso en donde no se tomaron en cuenta los montajes de prueba, se dise~no uncuadrado latino donde las letras latinas representan el tratamiento de las distintas formu-laciones. El dise~no quedo de la siguiente manera:

Cuadro 1.1: Cuadrado LatinoLotes de Operadores

materia prima 1 2 3 4 5

1 A = -1 B = -5 C = -6 D = -1 E = -12 B = -8 C = -1 D = 5 E = 2 A = 113 C = -7 D = 13 E = 1 A = 2 B = -44 D = 1 E = 6 A = 1 B = -2 C = -35 E = -3 A = 5 B = -1 C = 5 D = 6

Para determinar si se presentan diferencias signicativas entre las formulaciones, serealizo un analisis de varianza, cuyo resultado fue el siguiente:

1

Cuadro 1.2: Analisis de varianzaFV gl Sum Sq Mean Sq F value Valor-p

Formulaciones 4 330.00 82.50 7.73 0.0025Lotes 4 68.00 17.00 1.59 0.2391

Operadores 4 150.00 37.50 3.52 0.0404Residuals 12 128.00 10.67

Al observar el valor-p de las formulaciones con un resultado de 0.0025, se concluyo queexiste evidencia estadstica suciente para decir que al menos una formulacion diere signi-cativamente del resto. Luego, se realizaron comparaciones multiples mediante el metodode Tukey para las formulaciones, cuyos resultados fueron:

Cuadro 1.3: Comparaciones multiplescontraste estimado SE df t.ratio p.value

A - B 8.40 2.07 12.00 4.07 0.01A - C 6.20 2.07 12.00 3.00 0.07A - D -1.20 2.07 12.00 -0.58 0.98A - E 2.60 2.07 12.00 1.26 0.72B - C -2.20 2.07 12.00 -1.07 0.82B - D -9.60 2.07 12.00 -4.65 0.00B - E -5.80 2.07 12.00 -2.81 0.09C - D -7.40 2.07 12.00 -3.58 0.03C - E -3.60 2.07 12.00 -1.74 0.45D - E 3.80 2.07 12.00 1.84 0.40

Un valor-p inferior al nivel de signicacion =0.05, indica que hay una diferenciasignicativa entre ambos tratamientos. De la tabla anterior se concluye que la formulacionA es signicativamente mayor que la formulacion B con un valor-p de 0.01, la formulacionD es signicativamente mayor que la formulacion B con un valor-p de practicamente 0, y laformulacion D es signicativamente mayor que la formulacion C con un valor-p de 0.03. Elresto de las diferencias no presento diferencias signicativas. Por ultimo, se analizaron losresiduos para comprobar los supuestos del dise~no, validando los resultados. En primer lugarse contrasto un test de rachas para determinar si los residuos son independientes, donde elresultado del test arrojo un valor-p de 0.06432, por lo tanto, no existe evidencia estadsticasuciente para probar que los residuos no son aleatorios, por ende, se concluyo que s sonindependientes. Posteriormente se analizo si los residuos tienen varianza homogenea y serealizo el test de Breusch-Pagan, el cual indica como hipotesis nula para este caso que \losresiduos son homocedasticos"versus la hipotesis alternativa \los residuos son heterocedasti-cos". Se rechaza la hipotesis nula si el valor-p calculado es menor al nivel de signicacion=0.05. El resultado del test arrojo un valor-p de 0.3272, por lo tanto no existe eviden-cia estadstica para probar que los residuos no son homocedasticos, es decir, se probo quelos residuos poseen varianza constante. Para probar la normalidad de los residuos, se lesaplico un test de Shapiro-Wilk cuyo valor-p arrojo un valor de 0.05811, por ende, segunlas hipotesis de este contraste se concluyo que no hay evidencia estadstica suciente para

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probar que los residuos no se distribuyen normales, probando este supuesto. Finalmente,se realizo un test t bilateral con el n de comprobar que la media de los residuos es 0. Elvalor-p obtenido fue de 1, por lo tanto, no se rechaza la hipotesis de que la media es 0,validando este ultimo supuesto.

Para el caso en donde s se tomaron en cuenta los montajes de prueba, se dise~no uncuadrado grecolatino donde las letras latinas representan el tratamiento de las distintasformulaciones y las letras griegas el tratamiento de los distintos montajes de prueba. Eldise~no quedo de la siguiente manera:

Cuadro 1.4: Cuadrado Greco-LatinoLotes de Operadores



Para determinar si se presentan diferencias signicativas entre las formulaciones y/omontajes, se realizo un analisis de varianza cuyo resultado fue el siguiente:

Cuadro 1.5: Analisis de VarianzaFV gl Sum Sq Mean Sq F value Valor-p

Formulaciones 4 330.00 82.50 6.91 0.0104Montaje 4 32.50 8.13 0.68 0.6246

Lotes 4 68.00 17.00 1.42 0.3100Operadores 4 150.00 37.50 3.14 0.0789Residuals 8 95.50 11.94

Al observar el valor-p de las formulaciones con un resultado de 0.0104, se concluyo queexiste evidencia estadstica suciente para decir que al menos una formulacion diere signi-cativamente del resto, no as para el caso de los montajes, donde con un valor-p de 0.6246se concluyo que no hay diferencias signicativas entre los tratamientos de montaje. Luego,se realizaron comparaciones multiples mediante el metodo de Tukey para las formulaciones,cuyos resultados fueron:

3

contraste estimado SE df t.ratio p.valueA - B 9.00 2.44 8.00 3.68 0.04A - C 5.75 2.44 8.00 2.35 0.22A - D -1.75 2.44 8.00 -0.72 0.95A - E 3.50 2.44 8.00 1.43 0.63B - C -3.25 2.44 8.00 -1.33 0.68B - D -10.75 2.44 8.00 -4.40 0.01B - E -5.50 2.44 8.00 -2.25 0.25C - D -7.50 2.44 8.00 -3.07 0.08C - E -2.25 2.44 8.00 -0.92 0.88D - E 5.25 2.44 8.00 2.15 0.29

Un valor-p inferior al nivel de signicacion =0.05, indica que hay una diferenciasignicativa entre ambos tratamientos. De la tabla anterior se concluye que la formulacionA es signicativamente mayor que la formulacion B con un valor-p de 0.04, la formula-cion D es signicativamente mayor que la formulacion B con un valor-p de 0.01. El restode las diferencias no presento diferencias signicativas. Por ultimo, se analizaron los resi-duos para comprobar los supuestos del dise~no, validando los resultados. En primer lugarse contrasto un test de rachas para determinar si los residuos son independientes, donde elresultado del test arrojo un valor-p de 0.06671, por lo tanto, no existe evidencia estadsticasuciente para probar que los residuos no son aleatorios, por ende, se concluyo que s sonindependientes. Posteriormente se analizo si los residuos tienen varianza homogenea y serealizo el test de Breusch-Pagan, el cual indica como hipotesis nula para este caso que \losresiduos son homocedasticos"versus la hipotesis alternativa \los residuos son heterocedasti-cos". Se rechaza la hipotesis nula si el valor-p calculado es menor al nivel de signicacion=0.05. El resultado del test arrojo un valor-p de 0.1033, por lo tanto no existe eviden-cia estadstica para probar que los residuos no son homocedasticos, es decir, se probo quelos residuos poseen varianza constante. Para probar la normalidad de los residuos, se lesaplico un test de Shapiro-Wilk cuyo valor-p arrojo un valor de 0.3852, por ende, segunlas hipotesis de este contraste se concluyo que no hay evidencia estadstica suciente paraprobar que los residuos no se distribuyen normales, probando este supuesto. Finalmente,se realizo un test t bilateral con el n de comprobar que la media de los residuos es 0. Elvalor-p obtenido fue de 1, por lo tanto, no se rechaza la hipotesis de que la media es 0,validando este ultimo supuesto.

4

Captulo 2

Marco Teorico

Los dise~nos en cuadrados latinos son apropiados cuando es necesario controlar dosfuentes de variabilidad. En dichos dise~nos el numero de nive les del factor principal tieneque coincidir con el numero de niveles de las dos variables de bloque o factores secundariosy ademas hay que suponer que no existe interaccion entre ninguna pareja de factores.Supongamos que el numero de niveles de cada uno de los factores es p. El dise~no encuadrado latino utiliza p2 bloques, cada uno de estos bloques corresponde a una de lasposibles combinaciones de niveles de los dos factores de control. En cada bloque se aplicaun solo tratamiento de manera que cada tratamiento debe aparecer con cada uno de losniveles de los dos factores de control. Si consideramos una tabla de doble entrada dondelas las y las columnas representan cada uno de los dos factores de bloque y las celdillaslos niveles del factor principal o tratamientos, el requerimiento anterior supone que cadatratamiento debe aparecer una vez y solo una en cada la y en cada columna. Recibe elnombre de cuadrado latino de orden p a una disposicion en las y columnas de p letraslatinas, de tal forma que cada letra aparece una sola vez en cada la y en cada columna.En un dise~no en cuadrado latino intervienen los siguientes factores: un factor principal ydos factores secundarios o variables de bloque. Se supone que no existe interaccion entreesos tres factores. As el modelo empleado es un modelo adtivo. Si consideramos que lostres factores son de efectos jos, el modelo estadstico para este dise~no es:

yijh = + i + j + h + ijh

donde

yijh representa la observacion correspondiente al i-esimo tratamiento, j-esima la yh-esima columna.

es la media global.

i es el efecto producido por el i-esimo tratamiento de letra latina.

j es el efecto producido por el j-esimo nivel del factor la.

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h es el efecto producido por el h-esimo nivel del factor columna.

ij(h) son residuos aleatorios independientes con distribucion N(0; ).

Los supuestos de este dise~no son que los residuos son independientes de media cero convarianza constante distribudos N(0; ).

Considere un cuadrado latino pxp al cual se le superpone otro cuadrado latino pxpen el que los tratamientos se denotan con las letras griegas. Si cuando se hace la superpo-sicion los dos cuadrados latinos tienen la propiedad de que cada letra griega aparece unay solo una vez con cada letra latina, al dise~no obtenido se llama cuadrado grecolatino. Eldise~no de cuadrado grecolatino puede usarse para controlar sistematicamente tres fuentesde variabilidad extra~na, es decir, para hacer la formacion de bloques en tres direcciones.El dise~no permite la investigacion de cuatro factores (renglones, columnas, letras latinas yletras griegas). El modelo estadstico para el dise~no de cuadrado grecolatino es:

yijhl = + i + j + h + !l + ijhl

donde

yijhl representa la observacion correspondiente al i-esimo tratamiento de letra latina,j-esima la, h-esima columna y l-esimo tratamiento de letra griega.

es la media global.

i es el efecto producido por el i-esimo tratamiento de letra latina.

j es el efecto producido por el j-esimo nivel del factor la.

h es el efecto producido por el h-esimo nivel del factor columna.

!l es el efecto producido por el i-esimo tratamiento de letra griega.

ijhl son residuos aleatorios independientes con distribucion N(0; ).

Los supuestos de este dise~no son que los residuos son independientes de media cero convarianza constante distribudos N(0; ).

El test de rachas es un contraste estadstico que permite vericar la hipotesis nulade que la muestra es aleatoria, es decir, si las sucesivas observaciones son independientes.

El test de Breusch-Pagan es un contraste estadstico que se utiliza para determinarla heterocedasticidad en un modelo de regresion lineal. Analiza si la varianza estimada delos residuos de una regresion dependen de los valores de las variables independientes.

El test de Shapiro{Wilk es un contraste estadstico que se usa para contrastar lanormalidad de un conjunto de datos. Se plantea como hipotesis nula que una muestraaleatoria proviene de una poblacion normalmente distribuida.

El test t es un contraste estadstico que puede ser utilizado para determinar si lamedia de una poblacion corresponde a un determinado valor.

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Captulo 3

Presentacion, Objetivos,Materiales y Metodos

3.1 Presentacion del problema

Se desean estudiar los efectos que tienen cinco formulaciones diferentes de la cargapropulsora utilizada en los sistemas de expulsion de la tripulacion de un avion basadoen la rapidez de combustion. Cada formulacion se hace con un lote de materia prima quesolo alcanza para probar cinco formulaciones. Ademas, las formulaciones son preparadas porvarios operadores, y puede haber diferencias sustanciales en las habilidades y experiencia delos operadores. Por lo tanto, al parecer hay dos factores perturbadores que seran \calculadosen promedio" en el dise~no: los lotes de materia prima y los operadores. El dise~no apropiadopara este problema consiste en probar cada formulacion exactamente una vez con cadauno de los cinco operadores. Ademas, se desea estudiar de manera aparte el problema,suponiendo que el experimento tiene un factor adicional, los montajes de prueba.

3.2 Caso sin montajes de prueba

3.2.1 Objetivos

3.2.1.1 Objetivo general

Determinar si hay diferencias signicativas entre las formulaciones diferentes de lacarga propulsora utilizada en los sistemas de expulsion de la tripulacion.

3.2.1.2 Objetivos especcos

Determinar si hay diferencias signicativas entre los operadores y/o lotes de la cargapropulsora utilizada en los sistemas de expulsion de la tripulacion.

Dise~nar un experimento para efectuar las comparaciones.

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Validar los supuestos del dise~no

En caso de presentarse diferencias entre las formulaciones diferentes de la carga pro-pulsora utilizada en los sistemas de expulsion de la tripulacion, determinar cual/esdieren del resto.

3.3 Caso con montajes de prueba

3.3.1 Objetivos

3.3.1.1 Objetivo general

Determinar si hay diferencias signicativas entre las formulaciones y/o montajes deprueba diferentes de la carga propulsora utilizada en los sistemas de expulsion de latripulacion.

3.3.1.2 Objetivos especcos

Determinar si hay diferencias signicativas entre los operadores y/o lotes de la cargapropulsora utilizada en los sistemas de expulsion de la tripulacion.

Dise~nar un experimento para efectuar las comparaciones.

Validar los supuestos del dise~no

En caso de presentarse diferencias entre las formulaciones y/o montajes de prueba di-ferentes de la carga propulsora utilizada en los sistemas de expulsion de la tripulacion,determinar cual/es dieren del resto.

3.4 Materiales y Metodos

3.4.1 Materiales

Software R-Project, con la ayuda de los paquetes lmtest, lsmeans, faraway ytseries.

3.4.2 Metodos

Para el caso donde no se toma en cuenta el montaje de prueba, se dise~no un cuadradolatino donde las letras latinas representan los distintos tratamientos correspondientes a lasdiferentes formulaciones, las las representan los distintos lotes, las columnas representanlos diferentes operadores, y el valor numerico que acompa~na a la letra latina dentro delcuadro representa la variable de respuesta carga propulsora utilizada. El dise~no para estecaso esta representado en el cuadro 3.1.Para el caso donde se toman en cuenta los montajes de prueba, se dise~no un cuadradogreco-latino, donde las las, columnas y letras latinas representan las mismas variables que

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Cuadro 3.1: Cuadrado LatinoLotes de Operadores



las descritas en el cuadro 3.1, adicionando a este dise~no las letras griegas las cuales hacenreferencia a los tratamientos \montajes de prueba". El dise~no se muestra en el cuadro 3.2.

Cuadro 3.2: Cuadrado Greco-LatinoLotes de Operadores



Posterior al dise~no de ambos experimentos, se ingresaron los datos al software R-projectdonde fueron analizados realizando un analisis de varianza. Luego, realizo un analisis ex-ploratorio de los datos con estadsticas descriptivas, boxplots y gracos de dispersion. Pos-teriormente, se genero un analisis de varianza para obtener los resultados sobre las diferen-cias de los tratamientos determinando la existencia o no de diferencias signicativas en larespuesta de la carga propulsora, donde en el caso de resultar positivas se probo que tra-tamientos dieren del resto.y se validaron los supuestos del cuadrado latino y greco-latino.Para todos los calculos, se utilizo un nivel de signicacion de 0,05.

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Captulo 4

Resultados

4.1 Caso sin montajes de prueba

4.1.1 Analisis exploratorio

Para comenzar, se realizo un analisis descriptivo de los datos. Las estadsticas deresumen para la variable de respuesta \carga propulsora utilizada" se presentan en lasiguiente tabla.

Cuadro 4.1: Carga propulsora utilizadaMin. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.-8.00 -3.00 -1.00 0.40 4.00 13.00

Se puede apreciar que el valor mnimo fue de -8, el primer cuartil de -3, me medianade -1, la media de 0.4, el tercer cuartil de 4, y el valor maximo de 13. En la siguiente tabla,se muestran las estadsticas de resumen para la variable de respuesta \carga propulsora"segun los distintos tratamientos \formulaciones".

Cuadro 4.2: Carga propulsora utilizada segun formulacionesFormulacion Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.

A -1.0 1.0 2.0 3.6 5.0 11.0B -8.0 -5.0 -5.0 -4.8 -4.0 -2.0C -7.0 -6.0 -3.0 -2.6 -1.0 4.0D -1.0 1.0 5.0 4.8 6.0 13.0E -3.0 -1.0 1.0 1.0 2.0 6.0

10

Los resultados anteriores se reejan en los siguientes gracos.

A B C D E

5

05

10

Carga segn formulacin

Formulaciones

Carg

a

A B C D E

5

05

10

Carga segn formulacin

FormulacionesCa

rga

La lnea roja que cruza ambos gracos, representa la media general de la carga depropulsores con un valor de 0.4. Ambas guras anteriores son una representacion gracade los resultados del cuadro 4.2, a la izquierda un boxplot y a la derecha un graco dedispersion, donde se puede apreciar que los valores mnimos de la carga fueron -1 para laformulacion A, -8 para la formulacion B, -7 para la formulacion C, -1 para la formulacion Dy -3 para la formulacion E. Los primeros cuantiles fueron 1 para la formulacion A, -5 parala formulacion B, -6 para la formulacion C, 1 para la formulacion D y -1 para la formulacionE. Las medianas arrojaron los valores de 2 para la formulacion A, -5 para la formulacionB, -3 para la formulacion C, 4 para la formulacion D y 1 para la formulacion E. Las mediasfueron 3.6 para la formulacion A, -4.8 para la formulacion B, -2.6 para la formulacion C,4.8 para la formulacion D y 1 para la formulacion E. Los terceros cuartiles fueron 5 para laformulacion A, -4 para la formulacion B, -1 para la formulacion C, 6 para la formulacionD y 1 para la formulacion E. Por ultimo, los valores maximos arrojaron los resultados de11 para la formulacion A, -2 para la formulacion B, 4 para la formulacion C, 13 para laformulacion D, y 6 para la formulacion E. Se observo el tratamiento correspondiente a laformulacion B se concentro en valores menores que la formulacion A y apenas comparte unainterseccion peque~na con la formulacion E. Esto puede indicar una diferencia signicativaentre estos tratamientos.

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En la siguiente tabla, se muestran las estadsticas de resumen para la variable derespuesta \carga propulsora" segun los distintos Lotes.

Cuadro 4.3: Carga propulsora utilizada segun LotesLote Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.

1 -6.0 -5.0 -1.0 -2.8 -1.0 -1.02 -8.0 -1.0 2.0 1.8 5.0 11.03 -7.0 -4.0 1.0 1.0 2.0 13.04 -3.0 -2.0 1.0 0.6 1.0 6.05 -5.0 -3.0 4.0 1.4 5.0 6.0


1 2 3 4 5

5

05

10

Carga utilizada segn lotes

Lotes

Carg

a

1 2 3 4 5

5

05

10

Carga utilizada segn lotes

Lotes

Carg

a

La lnea roja que cruza ambos gracos, representa la media general de la carga depropulsores con un valor de 0.4. Ambas guras anteriores son una representacion gracade los resultados del cuadro 4.3, a la izquierda un boxplot y a la derecha un graco dedispersion, donde se puede apreciar que los valores mnimos de la carga fueron -6 para ellote 1, -8 para el lote 2, -7 para el lote 3, -3 para el lote 4 y -5 para el lote 5. Los primeroscuantiles fueron -5 para el lote 1, -1 para el lote 2, -4 para el lote 3, -2 para el lote 4 y -3para el lote 5. Las medianas arrojaron los valores de -1 para el lote 1, 2 para el lote 2, 1para el lote 3, 1 para el lote 4 y 4 para el lote 5. Las medias fueron -2.8 para el lote 1, 1.8para el lote 2, 1 para el lote 3, 0.6 para el lote 4 y 1.4 para el lote 5. Los terceros cuartilesfueron -1 para el lote 1, 5 para el lote 2, 2 para el lote 3, 1 para el lote 4 y 5 para el lote 5.Por ultimo, los valores maximos arrojaron los resultados de -1 para el lote 1, 11 para el lote2, 13 para el lote 3, 6 para el lote 4, y 6 para el lote 5. Se observo el lote 1 se concentro envalores menores a la media general, concentrandose mas abajo que el resto de los lotes, sinembargo, debido a la variabilidad de los demas, aparentemente no se presentan diferencias

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signicativas capaz de concluir que el lote 1 genera menores respuesta en la carga que losdemas.

En la siguiente tabla, se muestran las estadsticas de resumen para la variable derespuesta \carga propulsora" segun los distintos operadores.

Cuadro 4.4: Carga propulsora utilizada segun operadoresOperador Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.

1 -8.0 -7.0 -3.0 -3.6 -1.0 1.02 -5.0 -1.0 5.0 3.6 6.0 13.03 -6.0 -5.0 1.0 -0.8 1.0 5.04 -2.0 -1.0 2.0 1.0 2.0 4.05 -4.0 -3.0 -1.0 1.8 6.0 11.0


1 2 3 4 5

5

05

10

Carga utilizada segn operadores

Operadores

Carg

a

1 2 3 4 5

5

05

10

Carga utilizada segn operadores

Operadores

Carg

a

La lnea roja que cruza ambos gracos, representa la media general de la carga depropulsores con un valor de 0.4. Ambas guras anteriores son una representacion gracade los resultados del cuadro 4.4, a la izquierda un boxplot y a la derecha un graco dedispersion, donde se puede apreciar que los valores mnimos de la carga fueron -8 para eloperador 1, -5 para el operador 2, -6 para el operador 3, -2 para el operador 4 y -4 para eloperador 5. Los primeros cuantiles fueron -7 para el operador 1, -1 para el operador 2, -5para el operador 3, -1 para el operador 4 y -3 para el operador 5. Las medianas arrojaronlos valores de -3 para el operador 1, 5 para el operador 2, 1 para el operador 3, 2 para eloperador 4 y -1 para el operador 5. Las medias fueron -3.6 para el operador 1, 3.6 parael operador 2, -0.8 para el operador 3, 1 para el operador 4 y 1.8 para el operador 5. Losterceros cuartiles fueron -1 para el operador 1, 6 para el operador 2, 1 para el operador 3,2 para el operador 4 y 6 para el operador 5. Por ultimo, los valores maximos arrojaron los

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resultados de 1 para el operador 1, 13 para el operador 2, 5 para el operador 3, 4 para eloperador 4 , y 11 para el operador 5. Se observa que la respuesta a la carga propulsora deloperador 1 tiende a concentrarse en menores valores que el resto, sin embargo, a simplevista no se aprecian diferencias signicativas entre los operadores.

4.1.2 Analisis de varianza

Bajo los supuestos del dise~no de cuadrado latino presentados en el marco teorico,esto es, residuos independientes igualmente distribudos normal con media 0 y varianzaconstante, se genero un analisis de varianza cuyos resultados fueron.

Cuadro 4.5: Analisis de varianzaFV gl Sum Sq Mean Sq F value Valor-p

Formulaciones 4 330.00 82.50 7.73 0.0025Lotes 4 68.00 17.00 1.59 0.2391

Operadores 4 150.00 37.50 3.52 0.0404Residuals 12 128.00 10.67

De izquierda a derecha, los encabezados de la tabla de resultados del analisis de va-rianza anterior son: FV (fuente de variacion), gl (grados de libertad), Sum Sq (suma decuadrados), Mean Sq (cuadrados medios), F value (valor F), y Valor-p (probabilidad deequivocarse al rechazar la igualdad de la fuente de variacion, cuando es cierto). Se deter-mino un nivel de signicacion de =0.05 (95% de conanza) para el analisis, donde unvalor-p de la fuente de variacion menor al nivel de signicacion indica que existe diferenciasentre la variable de interes, por el contrario, valor-p de la fuente de variacion mayor al nivelde signicacion indica que no existen diferencias. As, con un valor-p de los tratamientos\formulaciones" de 0.0025, se concluyo que existe evidencia estadstica suciente para re-chazar la hipotesis nula \las formulaciones no causan efecto en la respuesta de la carga depropulsion utilizada" a favor de la hipotesis alternativa \al menos una formulacion causaefecto sobre los demas", o equivalentemente, se probo que los tratamientos relativos al usode las distintas formulaciones s causo efecto en la respuesta de la carga de propulsionutilizada. Como comentario, se concluyo ademas que al menos un operador causo una dife-rencia signicativa en la respuesta de la carga de propulsion utilizada, puesto que arrojo unvalor-p de 0.0404.

4.1.3 Comparaciones multiples

Ya que se presento que existe al menos un tipo de formulacion que causa un efectosignicativo en la carga de propulsion utilizada, se realizaron comparaciones multiplesmediante el metodo de Tukey para determinar cual/es tipos de formulacion son los quecausan diferencias signicativas. Los resultados fueron.

14

Cuadro 4.6: Comparaciones multiplescontraste estimado SE df t.ratio p.value

A - B 8.40 2.07 12.00 4.07 0.01A - C 6.20 2.07 12.00 3.00 0.07A - D -1.20 2.07 12.00 -0.58 0.98A - E 2.60 2.07 12.00 1.26 0.72B - C -2.20 2.07 12.00 -1.07 0.82B - D -9.60 2.07 12.00 -4.65 0.00B - E -5.80 2.07 12.00 -2.81 0.09C - D -7.40 2.07 12.00 -3.58 0.03C - E -3.60 2.07 12.00 -1.74 0.45D - E 3.80 2.07 12.00 1.84 0.40

Un valor-p inferior al nivel de signicacion =0.05, indica que hay una diferenciasignicativa entre ambos tratamientos. De la tabla anterior se concluye que la formulacionA es signicativamente mayor que la formulacion B con un valor-p de 0.01, la formulacionD es signicativamente mayor que la formulacion B con un valor-p de practicamente 0, yla formulacion D es signicativamente mayor que la formulacion C con un valor-p de 0.03.El resto de las diferencias no presento diferencias signicativas.

4.1.4 Validacion de supuestos

Los resultados anteriores solo tienen validez si se cumplen los supuestos del dise~nopropuesto. En primer lugar se realizo el siguiente graco de los residuos.

5 10 15 20 25

2

02

4

Residuos

Observacin

Res

iduo

s

A simple vista se pudo apreciar que los residuos se comportan de manera aleatoriacon homocedasticidad (varianza constante). La lnea roja que cruza la gura representa la

15

media de los residuos, la cual es 0. Aparentemente se estaran cumpliendo los supuestos deindependencia, varianza constante y esperanza igual a cero.

Para comprobar estadsticamente si los residuos son aleatorios, se realizo un test derachas, donde su hipotesis nula para este caso es \los residuos son aleatorios", y la hipotesisalternativa es \los residuos no son aleatorios". La hipotesis nula es rechazada con un valor-pmayor al nivel de signicacion =0.05. El resultado del test arrojo un valor-p de 0.06432,por lo tanto, no existe evidencia estadstica suciente para probar que los residuos no sonaleatorios, por ende, se concluyo que s lo son. De esta manera, se ha probado el supuestode independencia de los residuos.

Para el supuesto de homocedasticidad, es decir, varianza constante, se genero elsiguiente graco de residuos versus valores ajustados.

5 0 5

2

02

4

Residuos v/s valores ajustados

Valores ajustados

Res

iduo

s

Se pudo apreciar que presenta cierta homocedasticidad, a excepcion de los primerosvalores ajustados. Para mayores detalles, se gracaron los residuos versus las formulaciones,lotes, y operadores por separado, para determinar donde se presenta la mayor heterocedas-ticidad inuyente. Las siguientes guras muestran lo obtenido.

16

A B C D E

2

02

4

Residuos v/s Formulaciones

Formulaciones

Res

iduo

s

1 2 3 4 5

2

02

4

Residuos v/s Lotes

Lotes

Res

iduo

s

17

1 2 3 4 5

2

02

4

Residuos v/s Operadores

Operadores

Res

iduo

s

Las formulaciones y los operadores presentaron menor homocedasticidad, pero no pa-rece ser inuyente. Para comprobar si los residuos presentan varianza constante, se realizo eltest de Breusch-Pagan, el cual indica como hipotesis nula para este caso que \los residuosson homocedasticos" versus la hipotesis alternativa \los residuos son heterocedasticos". Serechaza la hipotesis nula si el valor-p calculado es menor al nivel de signicacion =0.05. Elresultado del test arrojo un valor-p de 0.3272, por lo tanto no existe evidencia estadsticapara probar que los residuos no son homocedasticos, es decir, se probo que los residuosposeen varianza constante.

Para el supuesto de normalidad, se realizo en primer lugar un graco qq-plot y unhistograma, donde la lnea y curva de las guras representan la distribucion normal, el cualse presenta a continuacion.

3 1 1 3

4

02

4

Normal QQ Plot

Theoretical Quantiles

Sam

ple

Quan

tiles

Residuos

Residuos

Den

sida

d

6 2 2 6

0.00

0.15

0.30

18

Se aprecio que si bien los residuos siguen la tendencia normal, no se ajustan demasia-do, sobretodo en los datos superiores correspondiente a la cola superior de la distribucionnormal. Para comprobar lo anterior, se realizo el test de Shapiro-Wilk, donde la hipotesisnula en este caso es \Los residuos se distribuyen normal" versus la hipotesis alternativa\los residuos no se distribuyen normal". La normalidad es rechazada si el valor-p calculadoes menor al nivel de signicacion =0.05. Como el resultado del test arrojo un valor-p de0.05811, entonces no existe evidencia estadstica suciente para rechazar que los residuos sedistribuyen normal, pese a que se estubo muy cerca del rechazo. As, se probo el supuestode normalidad.

Por ultimo, se aplico un test t bilateral para determinar si la media de los residuoses 0. La hipotesis nula en este caso fue \los residuos tienen media 0" versus la hipotesisalternativa \los residuos no tienen media 0". La hipotesis nula es rechazada si el valor-pes menor al nivel de signicacion =0.05. El resultado de este test arrojo un valor-p de 1,por lo cual se concluye que no hay evidencia estadstica suciente para rechazar que losresiduos tienen media 0.

Por lo tanto, se validaron los resultados del analisis de varianza, puesto que se cum-plieron todos los supuestos.

4.2 Caso con montajes de prueba

4.2.1 Analisis exploratorio

El analisis exploratorio para las variables carga de propulsion, formulaciones, lotesy operadores fueron exactamente los mismos que los que se describieron para el caso sinmontajes. Para el caso de los montajes de prueba, las estadstica descriptivas arrojaron lossiguientes resultados

Cuadro 4.7: Carga propulsora utilizada segun montajesMontaje Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.

-4.0 -2.0 -1.0 0.6 5.0 5.0 -8.0 -5.0 -3.0 -2.2 1.0 4.0

-7.0 -1.0 -1.0 -0.4 1.0 6.0 -5.0 -1.0 1.0 2.0 2.0 13.0 -6.0 -3.0 2.0 2.0 6.0 11.0

Los resultados anteriores se representaron en los siguientes gracos.

19

a b c d e

5

05

10

Carga utilizada segn montajes

Montajess

Carg

a

a b c d e

5

05

10

Carga utilizada segn montajes

Montajes

Carg

aLas letras minusculas representan las siguientes letras griegas: \a" representa , \b"

representa , \c" representa , \d" representa y \e" representa . La lnea roja que cruzaambos gracos, representa la media general de la carga de propulsores con un valor de 0.4.Ambas guras anteriores son una representacion graca de los resultados del cuadro 4.7, ala izquierda un boxplot y a la derecha un graco de dispersion, donde se puede apreciar quelos valores mnimos de la carga fueron -4 para el montaje , -8 para el montaje , -7 parael montaje , -5 para el montaje y -6 para el montaje . Los primeros cuantiles fueron-2 para el montaje , -5 para el montaje , -1 para el montaje , -1 para el montaje y-3 para el montaje . Las medianas arrojaron los valores de -1 para el montaje , -3 parael montaje , -1 para el montaje , 1 para el montaje y 2 para el montaje . Las mediasfueron -1 para el montaje , -3 para el montaje , -1 para el montaje , 1 para el montaje y 2 para el montaje . Los terceros cuartiles fueron 5 para el montaje , 1 para el montaje, 1 para el montaje , 6 para el montaje y 2 para el montaje . Por ultimo, los valoresmaximos arrojaron los resultados de 5 para el montaje , 4 para el montaje , 6 para elmontaje , 13 para el montaje y 11 para el montaje . Se observo que el comportamientode los distintos tipos de montajes de pruebas presentaron un comportamiento parecido, loque pudo indicar que gracamente no existen diferencias signicativas.

4.2.2 Analisis de varianza

Bajo los supuestos del dise~no de cuadrado graco-latino presentados en el marco teori-co, esto es, residuos independientes igualmente distribudos normal con media 0 y varianzaconstante, se genero un analisis de varianza cuyos resultados fueron.

20

Cuadro 4.8: Analisis de VarianzaFV gl Sum Sq Mean Sq F value Valor-p

Formulaciones 4 330.00 82.50 6.91 0.0104Montaje 4 32.50 8.13 0.68 0.6246

Lotes 4 68.00 17.00 1.42 0.3100Operadores 4 150.00 37.50 3.14 0.0789Residuals 8 95.50 11.94

De izquierda a derecha, los encabezados de la tabla de resultados del analisis de va-rianza anterior son: FV (fuente de variacion), gl (grados de libertad), Sum Sq (suma decuadrados), Mean Sq (cuadrados medios), F value (valor F), y Valor-p (probabilidad deequivocarse al rechazar la igualdad de la fuente de variacion, cuando es cierto). Se deter-mino un nivel de signicacion de =0.05 (95% de conanza) para el analisis, donde unvalor-p de la fuente de variacion menor al nivel de signicacion indica que existe diferenciasentre la variable de interes, por el contrario, valor-p de la fuente de variacion mayor al nivelde signicacion indica que no existen diferencias. As, con un valor-p de los tratamientos\formulaciones" de 0.0104, se concluyo que existe evidencia estadstica suciente para re-chazar la hipotesis nula \las formulaciones no causan efecto en la respuesta de la carga depropulsion utilizada" a favor de la hipotesis alternativa \al menos una formulacion causaefecto sobre los demas", o equivalentemente, se probo que los tratamientos relativos al usode las distintas formulaciones s causo efecto en la respuesta de la carga de propulsionutilizada. Por otra parte, los montajes de prueba con un valor-p de 0.6246 fue necesariopara no rechazar la hipotesis nula \los montajes de prueba no causan efecto en la respuestade la carga de propulsion utilizada", en otras palabras, los montajes de prueba no gene-ran diferencias signicativas sobre la carga de propulsion. Los lotes y operadores tampocogeneraron diferencias signicativas.

4.2.3 Comparaciones multiples

Ya que se presento que existe al menos un tipo de formulacion que causa un efectosignicativo en la carga de propulsion utilizada, se realizaron comparaciones multiplesmediante el metodo de Tukey para determinar cual/es tipos de formulacion son los quecausan diferencias signicativas. Los resultados fueron.

contraste estimado SE df t.ratio p.valueA - B 9.00 2.44 8.00 3.68 0.04A - C 5.75 2.44 8.00 2.35 0.22A - D -1.75 2.44 8.00 -0.72 0.95A - E 3.50 2.44 8.00 1.43 0.63B - C -3.25 2.44 8.00 -1.33 0.68B - D -10.75 2.44 8.00 -4.40 0.01B - E -5.50 2.44 8.00 -2.25 0.25C - D -7.50 2.44 8.00 -3.07 0.08C - E -2.25 2.44 8.00 -0.92 0.88D - E 5.25 2.44 8.00 2.15 0.29

21

Un valor-p inferior al nivel de signicacion =0.05, indica que hay una diferenciasignicativa entre ambos tratamientos. De la tabla anterior se concluye que la formulacionA es signicativamente mayor que la formulacion B con un valor-p de 0.04, la formulacionD es signicativamente mayor que la formulacion B con un valor-p de 0.01. El resto de lasdiferencias no presento diferencias signicativas.

4.2.4 Validacion de supuestos

Los resultados anteriores solo tienen validez si se cumplen los supuestos del dise~nopropuesto. En primer lugar se realizo el siguiente graco de los residuos.

5 10 15 20 25

4

2

02

4

Residuos

Observacin

Res

iduo

s

A simple vista se pudo apreciar que los residuos se comportan de manera aleatoriacon homocedasticidad (varianza constante). La lnea roja que cruza la gura representa lamedia de los residuos, la cual es 0. Aparentemente se estaran cumpliendo los supuestos deindependencia, varianza constante y esperanza igual a cero.

Para comprobar estadsticamente si los residuos son aleatorios, se realizo un test derachas, donde su hipotesis nula para este caso es \los residuos son aleatorios", y la hipotesisalternativa es \los residuos no son aleatorios". La hipotesis nula es rechazada con un valor-pmayor al nivel de signicacion =0.05. El resultado del test arrojo un valor-p de 0.06671,por lo tanto, no existe evidencia estadstica suciente para probar que los residuos no sonaleatorios, por ende, se concluyo que s lo son. De esta manera, se ha probado el supuestode independencia de los residuos.

Para el supuesto de homocedasticidad, es decir, varianza constante, se genero elsiguiente graco de residuos versus valores ajustados.

22

5 0 5 10

4

2

02

4

Residuos v/s valores ajustados

Valores ajustados

Res

iduo

s

Se pudo apreciar que presenta cierta homocedasticidad, a excepcion de los primerosvalores ajustados. Para mayores detalles, se gracaron los residuos versus las formulaciones,lotes, y operadores por separado, para determinar donde se presenta la mayor heterocedas-ticidad inuyente. Las siguientes guras muestran lo obtenido.

A B C D E

4

2

02

4

Residuos v/s Formulaciones

Formulaciones

Res

iduo

s

23

a b c d e

4

2

02

4

Residuos v/s Montajes

Montajes

Res

iduo

s

1 2 3 4 5

4

2

02

4

Residuos v/s Lotes

Lotes

Res

iduo

s

24

1 2 3 4 5

4

2

02

4

Residuos v/s Operadores

Operadores

Res

iduo

s

Las formulaciones, montajes y los operadores presentaron menor homocedasticidad,pero no parece ser inuyente. Para comprobar si los residuos presentan varianza constan-te, se realizo el test de Breusch-Pagan, el cual indica como hipotesis nula para este casoque \los residuos son homocedasticos" versus la hipotesis alternativa \los residuos son he-terocedasticos". Se rechaza la hipotesis nula si el valor-p calculado es menor al nivel designicacion =0.05. El resultado del test arrojo un valor-p de 0.1033, por lo tanto noexiste evidencia estadstica para probar que los residuos no son homocedasticos, es decir,se probo que los residuos poseen varianza constante.

Para el supuesto de normalidad, se realizo en primer lugar un graco qq-plot y unhistograma, donde la lnea y curva de las guras representan la distribucion normal, el cualse presenta a continuacion.

3 1 1 3

4

02

4

Normal QQ Plot

Theoretical Quantiles

Sam

ple

Quan

tiles

Residuos

Residuos

Den

sida

d

6 2 2 6

0.00

0.15

0.30

25

Se aprecio que si bien los residuos siguen la tendencia normal, no se ajustan de-masiado, sobretodo en los datos inferiores y superiores correspondientes a las colas de ladistribucion normal. Para comprobar lo anterior, se realizo el test de Shapiro-Wilk, dondela hipotesis nula en este caso es \Los residuos se distribuyen normal" versus la hipotesis al-ternativa \los residuos no se distribuyen normal". La normalidad es rechazada si el valor-pcalculado es menor al nivel de signicacion =0.05. Como el resultado del test arrojo unvalor-p de 0.3842, entonces no existe evidencia estadstica suciente para rechazar que losresiduos se distribuyen normal, pese a que se estubo muy cerca del rechazo. As, se probo elsupuesto de normalidad.

Por ultimo, se aplico un test t bilateral para determinar si la media de los residuoses 0. La hipotesis nula en este caso fue \los residuos tienen media 0" versus la hipotesisalternativa \los residuos no tienen media 0". La hipotesis nula es rechazada si el valor-pes menor al nivel de signicacion =0.05. El resultado de este test arrojo un valor-p de 1,por lo cual se concluye que no hay evidencia estadstica suciente para rechazar que losresiduos tienen media 0.

Por lo tanto, se validaron los resultados del analisis de varianza, puesto que se cum-plieron todos los supuestos.

26

Captulo 5

Conclusion

Para el dise~no en cuadrado latino donde no se analizaron los montajes de pruebas,las formulaciones y los operadores generaron diferencias signicativas. Las formulacionesA y D arrojaron signicativamente valores mayores de carga de propulsion utilizada enrelacion a la formulacion B. Tambien el tratamiento D resulto ser mayor que el C a unnivel de conanza del 95%. Los supuestos del dise~no se cumplieron, por lo tanto, los re-sultados son validos. En el caso donde si se tomaron en cuenta los montajes de prueba, sedise~no un cuadrado grecolatino, donde mediante el analisis de varianza se determino quelas formulaciones presentaban diferencias en la respuesta de la carga de propulsion utiliza-da. Se noto que en este caso que en este dise~no los operadores ya no fueron signicativosen los valores de la carga. En este caso, tambien se cumplieron los supuestos del dise~no.Se observo que al analizar los montajes de prueba, la homocedasticidad de los residuostendio a disminuir, mientras que la normalidad tendio a ajustarse mas.

27

Captulo 6

Bibliografa

ReferenciasDean,A. & Voss,D., Design and Analysis of Experiments, SPRINGER, New York, USA,1999.Montgomery,D., Dise~no y Analisis de Experimentos, segunda edicion, LIMUSAWILEY,Mexico DF, Mexico, 2004.Lalanne,C., R Companion to Montgomery's Design and Analysis of Experiments (2005),2006.Ceron,M., Galeano,L. y Restrepo,L. Modelacion Aplicada a las Ciencias Animales:Dise~no Experimental, con aplicaciones del programa R-project, primera edicion, BIOGENE-SIS, Medelln, Colombia, 2013.

28

Captulo 7

Anexo

Codigo en R-project.

rm(list=ls())

setwd("C:/Users/Challa/Desktop/Universidad/Tarea Dise~nos 2")

library(faraway)

library(tseries)

library(lmtest)

library(xtable)

library(lsmeans)

Lotes

summary(subset(Datos$Carga,subset=Formulaciones=="D"))

summary(subset(Datos$Carga,subset=Formulaciones=="E"))

par(cex.main=0.75, cex.lab=0.7,pch=16, cex.axis=0.75, cex=0.7)

with(Datos, boxplot(Carga ~ Formulaciones, xlab="Formulaciones", ylab="Carga"

, main="Carga segun formulacion"))

abline(h=mean(Carga), col="red")

with(Datos, stripchart(Carga ~ Formulaciones, xlab = "Formulaciones", ylab="Carga"

, main="Carga segun formulacion", vert = T, pch=16))


summary(subset(Datos$Carga,subset=Lotes=="1"))





with(Datos, boxplot(Carga ~ Lotes, xlab="Lotes", ylab="Carga", main="Carga

utilizada segun lotes"))


with(Datos, stripchart(Carga ~ Lotes, xlab = "Lotes", ylab="Carga", main="Carga

utilizada segun lotes", vert = T, pch=16))


summary(subset(Datos$Carga,subset=Operadores=="1"))





with(Datos, boxplot(Carga ~ Operadores, xlab="Operadores", ylab="Carga"

, main="Carga utilizada segun operadores"))


with(Datos, stripchart(Carga ~ Operadores, xlab = "Operadores", ylab="Carga"

, main="Carga utilizada segun operadores", vert = T, pch=16))


#Analisis de Varianza

regresion

comparaciones$pairwise

#Analisis de Residuos

residuos

###CASO CON MONTAJES DE PRUEBA###

#################################

rm(Datos,m,regresion,xseq,residuos, comparaciones)

Datos

with(Datos, boxplot(Carga ~ Operadores, xlab="Operadores", ylab="Carga"

, main="Carga utilizada segun operadores"))


with(Datos, stripchart(Carga ~ Operadores, xlab = "Operadores", ylab="Carga"

, main="Carga utilizada segun operadores", vert = T, pch=16))


summary(subset(Datos$Carga,subset=Montaje=="a"))

summary(subset(Datos$Carga,subset=Montaje=="b"))

summary(subset(Datos$Carga,subset=Montaje=="c"))

summary(subset(Datos$Carga,subset=Montaje=="d"))

summary(subset(Datos$Carga,subset=Montaje=="e"))

with(Datos, boxplot(Carga ~ Montaje, xlab="Montajess", ylab="Carga", main="Carga utilizada segun montajes"))


with(Datos, stripchart(Carga ~ Montaje, xlab = "Montajes", ylab="Carga"

, main="Carga utilizada segun montajes", vert = T, pch=16))


#Analisis de Varianza

regresion

stripchart(residuos~Formulaciones,data=Datos,xlab='Formulaciones',ylab='Residuos'

, pch=16, vert=TRUE, main="Residuos v/s Formulaciones")

stripchart(residuos~Montaje,data=Datos,xlab='Montajes',ylab='Residuos'

, pch=16, vert=TRUE, main="Residuos v/s Montajes")

stripchart(residuos~Lotes,data=Datos,xlab='Lotes',ylab='Residuos', pch=16

, vert=TRUE, main="Residuos v/s Lotes")

stripchart(residuos~Operadores,data=Datos,xlab='Operadores',ylab='Residuos'

, pch=16, vert=TRUE, main="Residuos v/s Operadores")

bptest(regresion)

bartlett.test(residuos ~ Formulaciones, data = Datos)

bartlett.test(residuos ~ Montaje, data = Datos)

bartlett.test(residuos ~ Lotes, data = Datos)

bartlett.test(residuos ~ Operadores, data = Datos)

#Normalidad

par(mfrow=c(1,2))

qqnorm(residuos, xlim=c(-3,3), ylim=c(-5,5))

qqline(residuos, col="red")

hist(residuos,prob=T,xlim=c(-6,6),ylim=c(0,0.3),xlab="Residuos"

, ylab="Densidad", main="Residuos")

lines(xseq

tarea 2 de diseño de experimentos - mauricio huerta a

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