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Tarea # 2 • Encontrar la solución a la siguiente ecuación diferencial usando la transformada de Laplace: con las siguientes condiciones iniciales: ) ( 100 ) ( 2 2 t t dt d 50 ) 0 ( ) 0 ( dt d

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Page 1: Tarea # 2 Encontrar la solución a la siguiente ecuación diferencial usando la transformada de Laplace: con las siguientes condiciones iniciales:

Tarea # 2

• Encontrar la solución a la siguiente ecuación diferencial usando la transformada de Laplace:

con las siguientes condiciones iniciales:

)(100)(2

2

ttdtd

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Page 2: Tarea # 2 Encontrar la solución a la siguiente ecuación diferencial usando la transformada de Laplace: con las siguientes condiciones iniciales:

Tarea # 2

• Graficar la solución obtenida mediante Laplace (t=0..2).

• Simular la ecuación diferencial en Simulink (t=0..2) y comparar la gráfica obtenida con el método de Laplace con la de Simulink.

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Modelos matemáticos de sistemas físicos

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Modelos matemáticos de sistemas físicos

• Modelos matemáticos. Es un conjunto de ecuaciones que representan la dinámica del sistema. Pueden adoptar muchas formas distintas, dependiendo del sistema y de las circunstancias especificas. Por ejemplo en problemas de control óptimo, sería útil una representación de estados y para los análisis de respuesta transitoria o en frecuencia de sistemas lineales SISO, una representación adecuada es la función de transferencia.

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Modelos matemáticos de sistemas físicos

• Sistemas lineales. Es el que cumple con el principio de superposición, es decir, si se establece que la respuesta producida por la aplicación simultánea de 2 funciones diferentes es la suma de las dos respuestas individuales y que la entrada y salida son proporcionales, se dice que el sistema es lineal.

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Modelos matemáticos de sistemas físicos

• Sistemas lineales e invariantes con el tiempo. Una ecuación diferencial lineal es invariante en el tiempo si sus coeficientes son constantes o funciones de la variable independiente. Estos sistemas se denominan por sus siglas en inglés como sistemas LTI (Linear Time Invariant).

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• Función de transferencia. La función de transferencia de un sistema descrito mediante una ecuación diferencial LTI se define como la razón entre la transformada de Laplace de la salida (respuesta) y la transformada de Laplace de la entrada (excitación). Bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero.

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Modelos matemáticos de sistemas físicos

Sistema mecánico

Sea el siguiente sistema de resorte, masa, amortiguador, donde m es la masa, b es el coeficiente de fricción viscosa y k es la constante del resorte.

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Modelos matemáticos de sistemas físicos

Sistema mecánico

Considerese la entrada a la fuerza u(t) y como la salida al desplazamiento y(t) de la masa. Se supone que la fuerza en el amortiguador es proporcional a y’(t) y que la fuerza del resorte es proporcional a y(t).

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Modelos matemáticos de sistemas físicos

Sistema mecánico

Aplicando la segunda ley de Newton.

fma

)()()()(2

2

tydtd

btkytutydtd

m

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Modelos matemáticos de sistemas físicos

Sistema mecánico

Tomando la transformada de Laplace de la ecuación diferencial

kbsmssUsY

sUsYkbsms

sbsYskYsUsYms

2

2

2

1)()(

)()()(

)()()()(

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Modelos matemáticos de sistemas físicos

Sistema eléctrico

Ecuación integro-diferencial

Transformada de Laplace

dttiC

tRitidtd

LtVi )(1

)()()(

11

)()(

)()(

)()()()(

2

RCsLCssVsV

sCsI

sV

sCsI

sRIsLsIsV

i

o

o

i

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Sistema eléctrico

Encontrar la función de transferencia del siguiente circuito RLC en paralelo, tomando a la salida como la corriente de carga y la entrada la fuente de corriente.

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Sistema hidráulico

La variable q representa el flujo de liquido, h el nivel del liquido, C la capacidad del tanque y R la resistencia al flujo del liquido.

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Modelos matemáticos de sistemas físicos

Sistema hidráulico

Obtener la función de transferencia tomando a la salida como la altura y la entrada el flujo q1.

Rth

tq

thdtd

Ctqtq

)()(

)()()(

2

21

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Modelos matemáticos de sistemas físicos

Sistema hidráulico

RsH

sQ

sCsHsQsQ

)()(

)()()(

2

21

1)(

)(

1

sCR

R

sQ

sH

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Modelos matemáticos de sistemas físicos

Analogía eléctrica

q -> i (corriente)

C -> C (capacitancia)

h -> V (voltaje)

R -> R (resistencia)

RtV

tI

tVdtd

CtItI

)()(

)()()(

2

21

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Modelos matemáticos de sistemas físicos

Obtener el equivalente eléctrico del siguiente sistema hidráulico

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Diagrama de bloques

Para representar un sistema en un diagrama a bloques se hace a partir de su modelo matemático expresado en Laplace

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Modelos matemáticos de sistemas físicos

Diagrama de bloques

Punto suma

Puede tener un máximo de tres entradas y una salida.

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Modelos matemáticos de sistemas físicos

Diagrama de bloques

Bloque

Contiene la función de transferencia que multiplica la señal que entrada para obtener la salida.

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Modelos matemáticos de sistemas físicos

Diagrama de bloques

Puntos de ramificación o bifurcación

Se mantiene presente la señal en los puntos desprendiendose de el ramificaciones.

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Modelos matemáticos de sistemas físicos

Diagrama de bloques

Si Q1 es una entrada impulso unitario, cuya transformada de Laplace es 1, entonces la salida es G(s), es decir; la función de transferencia de cualquier sistema es la respuesta al impulso unitario.

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Diagrama de bloques

Diagrama a bloques en un sistema de lazo cerrado

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Modelos matemáticos de sistemas físicos

Diagrama de bloques

Función de transferencia en lazo abierto

Función de transferencia de la trayectoria directa

)()()()(

sHsGsEsB

)()()(

sGsEsC

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Diagrama de bloques

Función de transferencia en lazo cerrado

)()(1)(

)()(

)()()()()(

)()()()(

)()()(

)()()(

sHsGsG

sRsC

sCsHsRsGsC

sCsHsRsE

sBsRsE

sEsGsC

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Modelos matemáticos de sistemas físicos

Obtener el diagrama a bloques y su función de transferencia a partir del diagrama y de las ecuaciones.

2

23

2232

1

12

1121

)()(_.4

)()()(_.3

)()(_.2

)()()(_.1

R

sHsQ

ssHCsQsQ

R

sHsQ

ssHCsQsQ

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Algebra de bloques

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Algebra de bloques

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Algebra de bloques

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Algebra de bloques

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Algebra de bloques

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Algebra de bloques

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Algebra de bloques

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Algebra de bloques

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Algebra de bloques

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Ejemplo

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Cont...

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Modelos matemáticos de sistemas físicos

Obtener la función de transferencia mediante el uso del álgebra de bloques


Transformada Laplace y Transformada z

Transformada de Laplace

Taller No. 16: Propiedades de la Transformada de Laplace · propiedades nos permitirán usar la transformada de Laplace para resolver problemas con valores iniciales. Si la transformada

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