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8/18/2019 Tarea 3 Investigación de operaciones.doc

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Tarea 3 Investigación de operaciones.

Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

Todo problema de Programación Lineal tiene asociado un segundo problema, conocido comosu problema Dual. Ambos están relacionados estrechamente, hasta el punto de que el modelode uno puede obtenerse a partir del modelo del otro la solución óptima del modelo del primeroproporciona in!ormación completa acerca de la solución óptima del segundo.

"na de las venta#as de la e$istencia del problema dual es la posibilidad de reducir el es!uer%ocomputacional al resolver ciertos modelos de Programación Lineal. Pero más importante a&nes la relación que e$iste entre la dualidad el análisis de sensibilidad, tema del pró$imocapitulo, el cual estudia el e!ecto que las variaciones en los parámetros de un modelo tienen enla solución óptima de este. Además, los valores óptimos de las variables del modelo dualsuministran in!ormación económica mu importante acerca del valor impl'cito de los recursosque se utili%an en el problema que se esta resolviendo.

(l matemático norteamericano )ohn *on +eumann !ue el primero en destacar la e$istencia dela dualidad en la programación lineal a partir de all' el concepto se ha usado en una granvariedad de áreas teóricas prácticas de la misma. Para comprender el concepto de dualidadanalicemos los dos casos siguientes.

-+ (PT"ALI A I-+ D( LA D"ALIDAD / A0- 1

"na compa2'a produce dos tipos de art'culo la unidad del tipo 1 se vende a 4156 la del tipo 7a 4188.

Para el presente mes la empresa cuenta con 7555 minutos de mano de obra en eldepartamento de ensamble, 1955 en el departamento de revisión con 1555 en eldepartamento de empaque.

(l n&mero de minutos requeridos en cada departamento para la !abricación de una unidad decada uno de los art'culos se da en la siguiente tabla:

Tipo de producto -peración

(nsamble ;evision (mpaque

Tipo 1 3 7 1

Tipo 7 7 3 7

(l pago por minuto es de 415 a los traba#adores del departamento de ensamble, 49 a los derevisión de 475 a los del departamento de empaque.

(l administrador de la empresa desea determinar cuál es el programa de producción quema$imi%a la utilidad total en el mes.

onstrucción del modelo

http://www.mitecnologico.com/Main/Teor%EDaDeLaDualidadYAn%E1lisisDeSensibilidadhttp://www.mitecnologico.com/Main/Teor%EDaDeLaDualidadYAn%E1lisisDeSensibilidad


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De!inamos a


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omo se acaba de decir no se pueden !abricar más art'culos a que se agotaron los recursos,pero aparece entonces la inquietud de que si !uera posible disponer de minutos adicionales enalguno de los departamentos del proceso, se pudieran !abricar más art'culos aumentando as'las utilidades del periodo.

on el !in de conocer cómo var'a la utilidad = la solución> al aumentar la disponibilidad de cadarecurso, vamos a e!ectuar cálculos para tres situaciones di!erentes. Primera, cuandoconsideramos que se aumenta en un minuto la capacidad de ensamble mientras los minutos derevisión de empaque permanecen constantes, segunda cuando aumentamos en un minuto lacapacidad de empaque, pero mantenemos invariable la capacidad de revisión de ensamble !inalmente cuando aumentamos en uno los minutos de revisión, de#ando invariable la cantidadde minutos de ensamble de empaque.

Aumento en la capacidad de ensamble

Al aumentar en un minuto la capacidad de ensamble, el modelo queda:

@a$imi%ar "tilidad ? 85


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Ahora la utilidad es de 43557E, que resulta ser superior en 47E a la obtenida con la cantidadinicial de recursos. As' pues la utilidad marginal de los minutos de empaque es de 7E=4 minuto>. -bservamos que se disminu ó en med'a unidad el n&mero de art'culos de tipo 1= mientras que se aumentó en tres cuartos el n&mero de unidades de tipo 7 = el sobrante en la operación de revisión se reba#ó en 1.7E minutos. De nuevo se estánconsumiendo todos los minutos disponibles en ensamble en empaque. Aumento en la

capacidad de revisión0i los minutos disponibles en revisión se aumentan en uno, el modelo es

@a$imi%ar "tilidad ? 85 =1555>=75> ? E8 517

?utilidad 3E 55E

/utilidad anterior 3E 555

?utilidad marginal 4EK

uando ha aumento de un minuto en terminado

Ingreso por ventas =8GG.E>=156> =7E5.HE>=188> ? 9G 5EE

/ costo de produccion =7555>=15> =1HE1.7E>=9> =1551>=75> ? E8 535

?utilidad 3E 57E



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?utilidad marginal 47EK

uando ha aumento de un minuto en revisión

Ingreso por ventas =E55>=156> =7E5>=188> ? 9G 555

/ costo de produccion =7555>=15> =1HE5>=9> =1555>=75> ? E8 555

?utilidad 3E 555


?utilidad marginal 45K

(n el calculo de los costos se destacan en negrilla =7551>=15>, para los minutos de ensamble,=1551>=75>, para los minutos de terminado, =1HE5>=9>, para minutos de revisión para llamar laatención sobre el hecho de que se están/ valorando todos las 7551 minutos utili%ados enensamble a 415, lo cual supone que el minuto adicional valióM los mismos 415 que costabanlos 7555 utili%ados inicialmente. 0imilarmente sucede con los 1551 minutos de empaque,valorados a 475, con lo cual se toma que el minuto adicional tambiJn se paga a 475, con los1HE5 minutos de revisión valorados a 49. Pero veamos quJ pasa por, e#emplo, si el precio queha que pagar por un minuto e$tra en ensamble es de 417 =447 de recargo sobre el precionormal de 415>. (l costo de producción se incrementar'a en 47, con lo cual la utilidad marginalneta de ese minuto e$tra de ensamble ser'a apenas de 43.

Algo similar sucede cuando debemos pagar dinero e$tra por el minuto adicional en empaque.0i por e#emplo pagamos 479 =un 85N de recargo sobre 475> por un minuto e$tra, los costos seaumentan en 49 la utilidad marginal neta se reba#a a 41H hora.

+aturalmente que si podemos adquirir los minutos e$tras de ensamble al mismo precio de los

iniciales, obtendremos una utilidad marginal adicional de 4E, pero si debemos pagar alg&nrecargo por ellos, la utilidad adicional se verá reducida en la misma cantidad. Podemos concluir !ácilmente que el má$imo recargo que estaremos dispuestos a pagar por un minuto adicionalen ensamble es el equivalente a la utilidad marginal de ese minuto e$tra, o sea los 4E. +óteseque si el precio del minuto e$tra !uera por e#emplo 416, estaremos perdiendo 41 por cadaminuto adicional adquirido.

Para el tercer recurso, minutos del departamento de empaque, podemos e!ectuar una discusiónsimilar, as': 0i conseguimos los minutos e$tras al precio original, la utilidad marginal es de 47E,pero si pagamos un recargo disminu e la utilidad, por lo cual deducimos que el má$imo recargoque podemos pagar es igual a los 47E de la utilidad marginal de ese recurso. - sea que elmá$imo precio que estaremos dispuestos a pagar =obteniendo utilidad marginal neta de 45> es48E. Al pagar menos de 48E tendremos utilidad marginal al pagar más obtendremos unaperdida marginal.

Para el departamento de revisión, en el cual tenemos una capacidad no utili%ada de E5minutos, es obvio que no desear'amos ampliar la capacidad por el contrario estar'amosinteresados en vender este recurso sobrante. 0u m'nimo precio de venta ser'a 49, es decir nobuscar'amos utilidad en la venta de estas unidades, pues basta con recibir el precio quepagamos por ellas para recuperar su costo Podemos concluir que el cálculo de la utilidadmarginal de los recursos es de gran importancia para decidir la negociación de unidadesadicionales de esos recursos cuando ellos están agotados =utili%ados el má$imo> en unprograma óptimo de producción.

Pero debemos saber que la utilidad marginal de un recurso agotadoM no se mantiene constante

al incrementar la disponibilidad de este, sino que disminu e a partir de cierto valor, relacionadocon el nivel de disponibilidad que condu%ca a que el recurso a empiece a sobrar por ser otrorecurso di!erente el que se estJ utili%ado al má$imo. Precisamente, el recurso sobranteM de


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minutos de revisión puede disminuirse hasta un valor tal que a empiece a escasear =Paranuestro problema este valor es de 1HE5 que es el uso real> a partir de ese valor el recursodeberá tener utilidad marginal positiva, pues estar'a agotado a seria alguno de los otrosrecursos el que tendr'a sobrante. (l !enómeno mencionado se conoce en (conom'a como elconcepto de los rendimientos decrecientes, tema que estudiaremos en detalle en el capitulodedicado al análisis de la sensibilidad, tambiJn llamado análisis de las soluciones post óptimas.

-T;- (+O- "( D(L @I0@- P;-QL(@A

;e!le$ionemos un poco sobre la situación hipotJtica de venderM los minutos disponibles en lostres departamentos, en lugar de utili%arlos para producir unidades de los productos. +uestrainterJs se centrará en la determinación del precio al cual debemos vender un minuto de cadaoperación para obtener la misma ganancia que obtenemos en el proceso productivo, o máse$actamente estaremos interesados en hallar la utilidad unitaria que debo !i#ar a cada recurso,para ganarme igual dinero que utili%ándolos en el proceso de producción.+aturalmente quedebemos aspirar a unas utilidades ra%onables para que el precio del recurso sea competitivo enel mercado, o sea que debemos determinar el m'nimo valor de la utilidad al vender o arrendar los recursos disponibles.

onstru amos un modelo de Programación lineal para este problema.

0ean

Ri ? utilidad unitaria que debo !i#ar en el precio de venta del recurso i omo estamos dispuestosa vender toda la cantidad disponible de los recursos =minutos de ensamble, de revisión deempaque>, el ob#etivo será minimi%ar la siguiente !unción

"tilidad ? 7555R1 1955R7 1555R3

(n el proceso productivo se utili%an 3 minutos de ensamble, 7 de revisión uno de empaque,para !abricar una unidad del producto tipo 1,que da utilidad de 485, por lo cual es lógico pensar que la venta combinada de esas cantidades de los recursos debe arro#ar al menos igualutilidad. La consideración anterior da lugar a la siguiente restricción en el modelo:

3R1 7R7 1R3 ? 85 =4> "tilidad unitaria del art'culo tipo uno.

Saciendo una re!le$ión similar para las unidades de tipo 7, notemos que la venta de 7 minutosde ensamble, mas 3 de revisión, mas 7 de empaque deben aportar una utilidad m'nima de 465,que es la que se obtiene actualmente !abricando con esos recursos una unidad del art'culo 7.

La restricción derivada de este análisis es:

7R1 3R7 7R3 ? 65 =4> "tilidad unitaria del art'culo tipo dos.

0i a todo lo anterior le agregamos el detalle de que los valores de las variables R1, R7, R3deben ser ma ores o iguales que cero =la m'nima utilidad neta puede ser cero>, podemosplantear el siguiente modelo de programación lineal, para el problema en estudio:

@inimi%ar "tilidad ? 7555R1 1955R7 1555R3

0u#eto a : 3R1 7R7 1R3 C 7555 4 unidad del P1

7R1 3R7 7R3 C 1955 4 unidad del P7

con R1,R7, R3 C 5

Al resolver este modelo utili%ando el inqsb, obtenemos el siguiente reporte combinado:


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Semos obtenido que la utilidad m'nima que debe obtenerse al vender un minuto de ensamblees de 4E, al vender un minuto de revisión debe ser de 45, al vender un minuto de empaquedebe ser de 47E, para as' obtener una utilidad de 43E 555. (l valor de la utilidad m'nima nodebe asombrarnos, a que el planteamiento del problema lo suger'a, pero s' son novedad losvalores óptimos de las variables de este nuevo modelo, puesto que coinciden con los valoresde las utilidades marginales de los recursos del problema de me%cla de producción, anali%ado

en primera instancia.(l administrador de la empresa sabe ahora que si otro empresario desea comprarle susrecursos, lo m'nimo que debe cobrarle es 41E por cada minuto de ensamble =? 15 E suma delo que debe pagar a sus operarios lo que debe obtener de utilidad>, 48E por cada minuto deempaque =? 75 7E>. (n cambio, por cada minuto de revisión solo debe cobrar los mismos 49=? 9 5 suma de lo que debe pagar a sus operarios lo que debe obtener de utilidad>. Perorecordemos que estos precios solo son válidos para cierto intervalo, que conoceremos en elpró$imo capitulo, por !uera del cual cambia la me%cla óptima de productos tambiJn el valor delas utilidades marginales. ="na ve% obtenidos estos nuevos valores, tanto de las variablesbásicas, como de la utilidades marginales, se puede hacer un balance de ingresos costossimilar al que hicimos para el problema presentado como e#emplo. Para la situación actual, silos precios en el mercado son in!eriores a 41E, a 48E, o a 49, no es conveniente vender losrecursos, pero teóricamente cuando son superiores, resultar'a mas rentable venderlos a otroque utili%arlos en el proceso productivo.

EL MODELO DUAL

onsideremos con#untamente los modelos correspondientes a los dos en!oques del problemaque estamos anali%ando.

(l primero busca determinar cuántas unidades producir de cada tipo de art'culo para ma$imi%ar la ganancia al utili%ar unos recursos:

@a$imi%ar "tilidad ? 85. Además la solución óptima del segundo coincide con las utilidadesmarginales de los recursos calculadas en el punto óptimo del primero.


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(l primer en!oque da lugar al llamado modelo primo, mientras el segundo origina el modeloconocido como modelo dual. (ntre estos modelos e$isten m&ltiples relaciones que nospermiten, por e#emplo, plantear uno de ellos a partir del otro u obtener la solución óptima deuno conociendo la solución optima del otro. Pero como se mencionó antes, qui%ás lo másimportante es el signi!icado económico de las variables del problema dual, cu os valoresóptimos representan las utilidades marginales de los recursos del problema primal.

;elaciones entre las modelos P;I@- D"AL

-bservando la estructura de ambos modelos podemos citar las siguientes relaciones entreellos.

1. Los coe!icientes ob#etivo de uno son los coe!icientes recurso del otro.7. Los coe!icientes recurso de uno son los coe!icientes ob#etivo del otro.3. La matri% de coe!icientes tecnológicos de uno es la transpuesta de la matri% de coe!icientestecnológicos del otro.8. Ambos problemas están en !ormato canónico, como lo comprueban más en detalle lassiguientes caracter'sticas8.1 (l ob#etivo del primo es ma$imi%ar en cambio el ob#etivo del dual es minimi%ar.8.7 Las restricciones del Primo son del tipo ? , mientras que las del dual son del tipo ?.8.3 Las variables de ambos problemas están restringidas a ser ma ores o iguales que cero

-+ (PT"ALI A I-+ D( LA D"ALIDAD / A0- 7

ierta dietista necesita preparar una comida que contenga determinados nutrientes, al menosen las cantidades que se indican en la siguiente tabla. Dispone de tres ingredientes cu oscostos contenidos de cada nutriente =unidades por gramo de ingrediente> se dan en la mismatabla.

Formulación de un problema dual.

P;-QL(@A D"AL R 0" O-;@"LA I-+.0e llama problema dual al modelo matemático que se deriva directamente delproblema original, llamada tambiJn primal, se puede establecer para todos los casosa partir de la !orma estándar.

abe recordar que la !orma estándar es aquel que puede ser ma$imi%ar o minimi%ar,todas sus restricciones son ecuaciones =igualdades>, todas sus variables son nonegativas, es decir:UAi# .


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Anali%ar la Delincuencia )uvenil en el barrio de arapungo.-b#etivo (speci!icoIdenti!icar las posibles causas de la Delincuencia )uvenil en el Qarrio de arapungo.(stablecer los !actores que in!lu en a la Delincuencia )uvenil.

)usti!icación e importancia0e investiga este traba#o con el propósito de anali%ar con ello comprender laproblemática que en!oca la delincuencia #uvenil, esto es necesario para conocer larealidad con ello saber las posibles causas de donde radica dicho problema esto esineludible puesto que solamente conociendo la situación que ameritan a ladelincuencia podremos llegar a conclusiones basadas en la realidad del caso conello buscar !ormas de prevenir, o!recer tratamientos buscar soluciones !actibles.

;(XLA0 D(L D"AL A partir de esta !orma se obtiene simJtricamente el problema dual siguiendo lassiguientes reglas:1> A toda restricción primal le corresponde una variable dual7> A toda variable primal le corresponde una restricción dual(s decir en el Dual se obtendrán n restricciones m variables3> Los coe!icientes en las restricciones de una variable primal son los coe!icientes dela restricción dual correspondiente8> Los coe!icientes de la !unción ob#etivo primal se convierten en los valoresconstantes del segundo miembro de las restricciones duales.E> 0i el primal es ma$imi%ación, entonces: (n el dual tenemos la !unción ob#etivo deminimi%ación, las restricciones son todas W? las variables son irrestrictas en signo.6> 0i el primal es minimi%ación, entonces: (n el dual tenemos la !unción ob#etivo dema$imi%ación, las restricciones son todas ?E7R1 Y R7 W? 17R1 3 R7 W? 8R1 W? 5R7 irrestricta

@a$ ? 15 R1 9 R70a R1 7 R7 ? 8R1 W? 5R7 W? /@+ota: Para resolver el dual, siendo R7 irrestricta en signo entonces hacemos R7 ? R7Z Y R7ZZ tal que R7 ? R7Z Y R7ZZ(standari%ando el Dual, tenemosR7 ? R7Z Y R7ZZ R7 ? R7Z Y R7ZZ@in [ ?0aR1 7 R7Z Y 7R7ZZ Y 3 ;1 ? E7 R1 Y R7\ 7ZZ Y 8 ;7 ? 17R1 3 R7Z Y 3R7ZZ YRE ;3 ? 8R1, 7Z, 7ZZ, 3, 8, E, ;1, ;7, ;3 W? 5

Tabla simple$ optima del primal =@A


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Ejemplo:

En

El punto !,"# satisface K-T para má$imo, %a que los multiplicadores son todos ma%ores oiguales a cero, de lo que se deduce que es un posible má$imo. 'in embargo, las curvas denivel ponen de manifiesto que !,"# () es *ptimo local.

(*) Las condiciones de K-T son s lo necesarias en este e!em"lo "or#ue la funci n ob!etivo noes c ncava.

#n$erpre$ación económica de los mul$iplicadores de Ku n!Tuc"er.

Ejemplo:

'upongamos que la funci*n ob+etivo es una funci*n de producci*n. odríamos preguntarnos

'e conseguiría me+orar la producci*n si la restricci*n pasase a ser /


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En cambio, en el caso de mínimos, los multiplicadores serán negativos o nulos % obtendremos

pues % #es decir, el valor mínimo será menor

Ejemplo:

3epetimos en nuestro e+emplo el ra4onamiento para el caso en que nos propusiéramos pasar

de a .

5n decremento en el valor del término independiente de una restricci*n con signo

representa disminuir el dominio % s*lo ofrece la oportunidad de0perder1 *ptimos %, por tanto, podríamos encontrarnos má$imos 0más ba+os1 % mínimos 0másaltos1.

Ejemplo:

'ea # un problema con restricciones de desigualdad

f, gi funciones diferenciables#

i. ondiciones necesarias de primer orden de optimalidad local

ii. (nunciado de las condiciones

iii. Deducción geomJtrica

http://www.ub.edu/matheopt/optimizacion-economica/conocimientos-iniciales#T_14_htmhttp://www.ub.edu/matheopt/optimizacion-economica/conocimientos-iniciales#T_14_htmhttp://www.ub.edu/matheopt/optimizacion-economica/conocimientos-iniciales#T_15_htmhttp://www.ub.edu/matheopt/optimizacion-economica/condicion-de-khun-tucker#T_33_1_htmhttp://www.ub.edu/matheopt/optimizacion-economica/condicion-de-khun-tucker#T_33_2_htmhttp://www.ub.edu/matheopt/optimizacion-economica/condicion-de-khun-tucker#T_33_4_htmhttp://www.ub.edu/matheopt/optimizacion-economica/conocimientos-iniciales#T_14_htmhttp://www.ub.edu/matheopt/optimizacion-economica/conocimientos-iniciales#T_15_htmhttp://www.ub.edu/matheopt/optimizacion-economica/condicion-de-khun-tucker#T_33_1_htmhttp://www.ub.edu/matheopt/optimizacion-economica/condicion-de-khun-tucker#T_33_2_htmhttp://www.ub.edu/matheopt/optimizacion-economica/condicion-de-khun-tucker#T_33_4_htm


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iv. 0u!iciencia conve$idad

Ver ejemplo de aplicación

i. Condiciones necesarias de primer orden de op$imalidad local

2as condiciones de K-T son necesarias de optimalidad local, es decir

má$imo local satisface K-T para má$imo

mínimo local satisface K-T para mínimo

2os dibu+os aclaran el hecho de que estas implicaciones sean iguales a

() satisface K-T para má$imo () es má$imo local

() satisface K-T para mínimo () es mínimo local

En definitiva, si un punto satisface las condiciones de K-T para má$imo, s*lo podemos decirque es un 0posible1 má$imo local6 si en cambio, no las satisface, sí podremos asegurar que ()es má$imo local.

ii. Enunciado de las condiciones

2as condiciones de K-T son

http://www.ub.edu/matheopt/optimizacion-economica/condicion-de-khun-tucker#T_33_5_htmhttp://www.ub.edu/matheopt/optimizacion-economica/condicion-de-khun-tucker#T_33_6_htmhttp://www.ub.edu/matheopt/optimizacion-economica/condicion-de-khun-tucker#T_33_6_htmhttp://www.ub.edu/matheopt/optimizacion-economica/problema-de-optimizacion-sin-restricciones#T_8_htmhttp://www.ub.edu/matheopt/optimizacion-economica/problema-de-optimizacion-sin-restricciones#T_8_htmhttp://www.ub.edu/matheopt/optimizacion-economica/conocimientos-iniciales#T_10_htmhttp://www.ub.edu/matheopt/optimizacion-economica/conocimientos-iniciales#T_10_htmhttp://www.ub.edu/matheopt/optimizacion-economica/conocimientos-iniciales#T_10_htmhttp://www.ub.edu/matheopt/optimizacion-economica/condicion-de-khun-tucker#T_33_5_htmhttp://www.ub.edu/matheopt/optimizacion-economica/condicion-de-khun-tucker#T_33_6_htmhttp://www.ub.edu/matheopt/optimizacion-economica/problema-de-optimizacion-sin-restricciones#T_8_htmhttp://www.ub.edu/matheopt/optimizacion-economica/conocimientos-iniciales#T_10_htmhttp://www.ub.edu/matheopt/optimizacion-economica/conocimientos-iniciales#T_10_htm


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1.

=Los reciben el nombre de multiplicadores de K-T >

7.

3. =si se trata de má$imo>

=si se trata de m'nimo>

8.

7eométricamente, indican que en un punto de posible má$imo, el gradiente de la funci*n

ob+etivo es combinaci*n lineal positiva de los gradientes de las restricciones saturadas en .8e igual forma, indican que en un punto de posible mínimo, el gradiente de la funci*n ob+etivo

es combinaci*n lineal negativa de los gradientes de las restricciones que se saturan en .

Nomenclatura:8iremos que un punto satisface K-T para má$imo cuando satisface las condiciones de K-T

con

8iremos que un punto satisface K-T para mínimo cuando satisface las condiciones de K-T

con

Explicación:9ondici*n : )bliga a que el gradiente de la funci*n ob+etivo en $% sea combinaci*n lineal de losgradientes de las restricciones en $% .

9ondici*n ; )bliga a que los multiplicadores de K-T asociados a restricciones () saturadas en $% sean nulos.


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a. 0i la restricción g i está saturada en x 0 : ( g i (x 0 ) = 0) entonces: λ i g i (x 0 ) =

0 para cualquier valor de λ i

b. 0i la restricción g i +- está saturada en x 0 : ( g i (x 0 ) < 0) entonces la &nicaposibilidad para que λ i g i (x 0 ) = 0 es que λ i = 0

9ondici*n " 9uando el punto satisface K-T para má$imo, todos los multiplicadores deben ser positivos. 9uando el punto satisface K-T para mínimo, todos los multiplicadores deben sernegativos.

9ondici*n ! El punto $% debe satisfacer todas las restricciones del problema, es decir, debe pertenecer al con+unto de soluciones factibles del problema.

Me$odo Dual %#M&LE'

(l nuevo algoritmo !ue desarrollo en 1GE8 por . (. LemFe se conoce con el nombrede @Jtodo Dual/0imple$. A continuación se presenta su estructura un e#emplo parailustrar su aplicación.

ada problema de programación lineal, tiene asociado otro problema que estaestrechamente relacionado. Dicho problema se conoce como Problema Dual.ue tiene las siguientes mu interesantes caracter'sticas:

1. (n problemas de un gran n&mero de restricciones, resolver el problema dual en lacomputadora es más e!iciente que resolver el problema principal.

7. (n algunas ocasiones resulta más sencilla la resolución del problema dual que ladel problema principal, en tJrminos de menor n&mero de iteraciones.

3. Los valores óptimos de las variables del dual, proporcionan una interpretación

económica del problema principal, interesante.8. Algunas veces se puede evitar el uso de las variables arti!iciales =0uper/Avit>,mediante la aplicación del mJtodo de solución denominado Dual Y 0imple$, sobre elproblema dual.

E. Oacilita el estudio del impacto sobre la optimalidad por cambios en el problemaoriginal.

(n este tema tiene como ob#etivo mostrar la !ormulación del problema dual el mJtodode solución para el problema dual, denominado @Jtodo Dual/0imple$, para problemas

de ma$imi%ación, a que, por medio de la regla de equivalencia =@in =%> ? @a$=/%>>Toda !ormulación de un problema de programación lineal se puede e$presar de la

http://www.ub.edu/matheopt/optimizacion-economica/conocimientos-iniciales#T_14_htmhttp://www.ub.edu/matheopt/optimizacion-economica/conocimientos-iniciales#T_14_htmhttp://www.ub.edu/matheopt/optimizacion-economica/conocimientos-iniciales#T_14_htmhttp://www.ub.edu/matheopt/optimizacion-economica/conocimientos-iniciales#T_14_htm


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!orma estándar: @a$imice =%>, con todas las restricciones B 0i tenemos un problemade programación lineal as':

O'#ese que cada restricción del problema principal está representada por una variableen el dual.-tro e#emplo numJrico es el siguiente:

(l problema principal tiene cuatro =8> restricciones, entonces el dual tendrá cuatro =8>variables. ada uno de los recursos del problema principal estará representado poruna variable en el problema dual.

(ntre el problema principal el problema dual e$isten las siguientes relaciones:

1. (l dual del dual, tiene como resultado el problema principal.7. "na restricción que es una igualdad en el problema principal, genera una variableen el dualsin restricción en el signo

3. "na variable del problema principal, sin restricción en el signo, genera unarestricción de igualdad en el problema dual.

8. (l n&mero de restricciones del problema principal es igual al n&mero de variables enel problema dual.

E. (l n&mero de variables del problema principal es igual al n&mero de restricciones enel problema dual.

aracter'sticas que ha que tener en cuenta para creación del mJtodo dual.(l Dual se constru e a partir de problema principal as':1. ada restricción en un problema, corresponde a una variable en el otro problema.7. Los elementos del lado derecho de las restricciones en un problema, son iguales alos respectivos coe!icientes de la !unción -b#etivo en el otro problema.3. "n problema busca @a$imi%ar el otro busca @inimi%ar.

8. (l problema de ma$imi%ación tiene restricciones menor queM, el @inimi%acióntiene restricciones ma or queM.E. Las variables en ambos problemas son no negativas.

(L @]T-D- D"AL Y 0I@PL(<

"na ve% !ormulado el problema dual, debemos encontrar su solución, el mJtodo aemplear será el denominado @Jtodo Dual/0imple$ el cuál empie%a con una soluciónóptima o me#or que óptima = # Y # W 5 ∀ # >, pero no !actible =Algunos bi son B 5>, semueve hacia el óptimo mediante iteraciones que me#oran su !actibilidad conservandosu optimalidad. O'#ese que es lo contrario al mJtodo 0imple$, en donde se empie%a

mediante una solución !actible pero no óptima mediante iteraciones se me#ora laoptimalidad, conservando la !actibilidad. (sto se ilustra mediante la siguiente grá!ica:


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0e requiere que el problema estJ e$presado en tJrminos de @a$imi%ar la Ounciónob#etivo todas sus restricciones con ma or ó igual = W >*ariable que sale de la Qase: Aquella que tenga el valor menos !actible ó sea la másnegativa, matemáticamente:


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c.s.r $ _ 953$ 7 _ 7757$ 3 _ 715$, C 5

@I+I@I A; ? H$ 3c.s.r 3$ Y C /7$ _ G$ Y ? /1$, C 5

Cambios en (ec$or Cos$os

Oundamentalmente cuando se traba#a en Programación Lineal es importante reali%ar un análisis depostoptimalidad para observar por medio de simulación si los cambios que le vamos a introducir al modelooriginal, en quJ aspectos nos bene!ician o nos a!ectan en las variables o parámetros.(s importantetener en cuenta que los cambios que se reali%an en el modelo original deben ser !actibles debenresponder a situaciones reales que la empresa puede llegar a vivir en un momento determinado. Loscambios en los vectores b, c en la matri% A pueden suceder en !orma discreta o continua el cambiodiscreto indica que una o varias componentes originales de los vectores o de la matri% son reempla%adospor nuevas cantidades el cambio continuo en los vectores a#, b c se da cuando se presentan cambiosas':

donde b, c a# son vectores respectivamente con las mismas dimensiones que los vectores b, c, a#, , son escalares que pueden tomar cualquier valor real. (l análisis de sensibilidad que estudia los

cambios continuos se denomina Programación ParamJtrica.

Para observar las variaciones que ocurren o no, vamos a ilustrar las diversas situaciones con el siguientee#emplo:

@A< ? E5


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solución a no sea !actible =una de las variables básicas será menor que cero>.La !unción ob#etivo va aasegurar una solución óptima, porque los recursos del primal no se han cambiado. (#emplo:

0e cambia la !unción ob#etivo de:

@A< ? E5


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Para que permane%ca la solución actual óptima !actible basta con plantear resolver la ecuación querecalcula el valor de K# / # de cada una de las variables no básicas, sabiendo que en el tablero óptimo elvalor de 1 debe cumplir con la condición que K# / # 5, por lo cual 8 7 .

Cambio en Coe)icien$es '*

• ambio en ai# cuando


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Adición de +ue,a (ariable

@uchas veces es necesario anali%ar la sensibilidad de la solución óptima, cuando se agrega al modelouna restricción que no se considero inicialmente, a sea por olvido o por decisión de quien planteó elmodelo.

(l primer paso en el análisis de los cambios que su!re la solución óptima actual al considerar una nuevarestricción, es determinar si esta se cumple para la solución óptima.

Para ello deben reempla%arse los valores óptimos de las variables en la nueva restricción determinar sise cumple la condición e$presada.

(n caso a!irmativo concluimos que la solución actual no se altera, pues la nueva restricción tambiJn secumple para ella. Tal caso ocurre en situaciones como la que podemos observar en la gra!ica 1, en dondela nueva restricción A no altera la región de !actibilidad. -tra situación del mismo caso es la que semuestra en la grá!ica 7 para la nueva restricción Q, que s' altera la región de !actibilidad, pero sinmodi!icar el punto óptimo.

http://www.mitecnologico.com/Main/AdicionDeNuevaVariablehttp://www.mitecnologico.com/Main/AdicionDeNuevaVariable


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Pero cuando los valores óptimos no satis!acen la nueva restricción, concluimos que la solución óptimaactual es in!actible. La grá!ica 3 nos permite entender como lo que ocurrió !ue que la nueva restriccióna!ectó la región de !actibilidad del problema, eliminando de ella el sector que inclu e la solución óptimaactual. Debemos entonces encontrar la nueva solución óptima que corresponda a la nueva región !actible.

E)ec$uemos un análisis del e)ec$o. %upón-ase ue a-re-amos al modelo la res$ricción

a m/0 1 0 ' 0 / a m/0 1 2 ' 2 / ... / a m/0 1 n ' n B b m/0

Para simpli!icar, de!inamos el vector !ilaTm/0 que contenga todos los coe!icientes tecnológicos a m 1, # de larestricción m 1 escribamos la nueva restricción como el siguiente producto escalar

Tm 1B < bm 1

0eparando los coe!icientes de las variables básicas de las no básicas agrupándolos en dos vectoresque las contengan, podemos e$presar la restricción como:

TQ


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3. "tili%ar el algoritmo Dual Y 0imple$, para intercambiar la variable básica negativa por unapositiva obtener as' una solución óptima !actible para el modelo aumentado con la nuevarestricción.

tarea 3 investigación de operaciones.doc

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