TAREA 4

ALGEBRA LINEAL 1

Ejercicio 1. Sea : V W lineal, demuestre que ker y Im son subespacios de V y de W respectivamente.Ejercicio 2. De un ejemplo de mapeos : Rn Rn y : Rn Rn tales que 6= .Ejercicio 3. Diga si las siguientes transformaciones en R2 son lineales

(1) (x, y) = xy.(2) (x, y) = sinx+ sin y.(3) (x, y) = x+ y.(4) (x, y) = x para R fijo.

Ejercicio 4. Sea Hom(V,W ) = {f : V W : f lineal }. Demuestre que Hom(R,R) = R.Ejercicio 5. Sea f Hom(V,W ) demuestre que f es un isomorfismo si lleva una base de V a una base de W .Ejercicio 6. Sean Hom(V1,W1) y Hom(V2,W2) definimos la suma directa externa Hom(V1 V2,W1 W2) como

( )((v1, v2)) = (v1, v2)Demuestre que es una transformacion lineal.Ejercicio 7. Sea V = W1 + W2 y sea W = W1 W2. Definamos : W V dado por (w1, w2) = w1 + w2.Demuestre que es lineal y calcule su nucleo. Determine en que casos es un isomorfismo.

Ejercicio 8. Existe un espacio vectorial V y un subespacio propio W de V tales que W = V ? En que casossera posible?

Ejercicio 9. Demuestre que Hom(V,W ) es un espacio vectorial.

Ejercicio 10. Decimos que una transformacion lineal : V W es una proyeccion si = . Sean, Hom(V, V ) proyecciones en un espacio vectorial sobre un campo de caracterstica distinta de 2. Demuestre:

(1) La diferencia es una proyeccion si y solo si = = . En este caso Im () = Im() ker()y ker( ) = ker() Im().

(2) Si y conmutan entonces es una proyeccion. En este caso Im() = Im() Im() y ker() =ker() Im()

Ejercicio 11. Sea R[x] el espacio vectorial de polinomios sobre R. Demuestre que el operador I : R[x] R[x]definido como

I(p(x)) =

x0

p(t)

es una transformacion lineal.

Ejercicio 12. Sea C(R) el espacio vectorial de las funciones suaves sobre R. Demuestre que el operadorD : C(R) C(R) definido como

D(f) = f

es una transformacion lineal.

Ejercicio 13. Sea T Hom(V,W ) donde V es de dimension finita, demuestre quedim ker T + dim Im T = dimV

Ejercicio 14. Demuestre que si T Hom(V,W ) donde dimV = dimW < entonces T es inyectiva si y solosi es suprayectiva.

Ejercicio 15. Sean V,W espacios vectoriales y T : V W una transformacion lineal inyectiva . Demuestre queS V es linealmente independiente si y solo si T (S) es linealmente independiente.Ejercicio 16. Sea T : R4 R3 la transformacion lineal cuya matriz con respecto al par de bases canonicas es: 2 1 2 11 1 1 1

2 0 4 1

Encuentra una base de la imagen de T . Cual es la dimension de T?

1

2 ALGEBRA LINEAL 1

Ejercicio 17. Sea T : R2[x]Mat(n, n,R) la transformacion lineal dada por

T (f) =

( 10f

20f

f (0) f(1) f(0))

(1) Si = {1, x, x2} es una base ordenada de R2[x] y es la base canonica de Mat(n, n,R), encuentra lamatriz de T con respecto a y a .

(2) Encuentra el nucleo de T Es inyectiva?(3) Encuentra la imagen de T Es suprayectiva?

Ejercicio 18. Sea Sea Ti(f) = f(i) la i-esima derivada de f . Prueba que:

(1) Para cualquier n N se tiene que {T1, . . . , Tn} es un subconjunto linealmente independiente deHom(R[x],R[x]).(2) Si f R[x] es de grado n entonces para cualquier g Rn[x] existen escalares c0, . . . , cn tales que

g = c0f + c1f + + cnf (n)

Ejercicio 19. Determina si existe una transformacion lineal T : R3 R3 tal queT (1, 1, 1

2) = (1, 2, 1)

T (3,1, 1) = (3, 1, 0)T (1, 1, 1) = (5, 5, 2)

Justifica tu respuesta y si es afirmativa encuentra la dimension del nucleo y de la imagen

Ejercicio 20. Sea T : R4 R4 el operador lineal cuya matriz en la base canonica es1 1 0 31 2 1 11 1 0 31 2 1 1

Determine la dimension de su nucleo y la de su rango.

Ejercicio 21. Sea V el espacio vectorial sobre los complejos formado por las matrices de tamano 22 con entradascomplejos. Considere la matriz B =

(1 23 4

)y la transformacion T : V V dada por T (A) = AB BA.

(1) Demuestre que T es una transformacion lineal.(2) Encuentre una base para el nucleo de T .

Ejercicio 22. Sean A,B Mat(n, n,K). Decimos que A es equivalente B y lo denotaremos A B si existeuna matriz invertible C GL(n,K) tal que A = CBC1. Demuestre que es de equivalencia.Ejercicio 23. Se dice que cuadrada A nn es nilpotente si Ar = 0, para algun entero r 1. Sean A,B matricesnilpotentes de la misma dimension y suponga que AB = BA. Demuestre que AB y que A + B son matricesnilpotentes.

Ejercicio 24. Sea L : V W una transformacion lineal, donde V y W son espacios vectoriales de dimensionfinita, tales que dimV > dimW . Demuestre que el nucleo de L no es {0}.Ejercicio 25. Sean A Mat(n,m) y B Mat(m,n). Si AB = In y BA = Im probar que n = m.Ejercicio 26. Sea T : Rn Rm. Probar que existe un M tal que |T (x)| M |x| para todo x Rn.Ejercicio 27. Verificar si la serie

i=1

1i2Ai converge, donde

A =

( 1 10 1

)Ejercicio 28. Sea A Mat(n, n,R) y x Rn, ambos con entradas reales positivas. Probar que si A2x = xentonces Ax = x.

Ejercicio 29. Para que valores t R la matriz(cos t sin tsin t cos t

)no es invertible?

Ejercicio 30. Considere la transformacion T : R3 R3 dada porT (x, y, z) = (x y + 4z, 3x+ 2y z, 2x+ y z)

Encuentre los vectores (x, y, z) R3 y las constantes R tales queT (x, y, z) = (x, y, z)

TAREA 4 3

Ejercicio 31. Sea

Ht :=

(cos 2pit cos pi

6t

sin 2pit sin pi6t

)para t R. Calcule el rango de la matriz Ht para 0 t < 12. En particular, determine para que valores de t lamatriz tiene rango 1.

Ejercicio 32. Encuentre los valores de para los cuales las siguientes matrices son invertibles, si lo son encuentresus inversos.

(1)

1 0 1 0 1

(2)

1 01 10 1

(3)

0 1 1 0 0 1

(4)

1 1 11 1 1 1

Ejercicio 33. Sean P,Q Mat(n, n,R) tales que P 2 = P y que Q2 = Q, supongamos que IP Q una matrizinvertible. Demuestre que P y Q tienen el mismo rango.

Ejercicio 34. Sea A Mat(n, n,R). Demuestre que si A2 = 2I, entonces A es una matriz invertible. Encuentrela inversa de A en terminos de I y A.

Ejercicio 35. Determine la matriz con respecto a la base canonica de un operador lineal T : R2 R2 quesatisface que T 2 = I y T ((1, 1)) = (1, 0).

Ejercicio 36. Encontrar una base para el espacio nulo de la matriz

A =

1 2 3 42 3 4 53 4 5 64 5 6 7

Ejercicio 37. Sea M Mat(n, n,R) y M t su transpuesta. Demuestre que M tM y M t tienen el mismo rango.Ejercicio 38. Sea V un espacio vectorial y T Hom(V, V ) tal que T 2 = Id. Considere los siguientes conjuntos

H1 = {v V : T (v) = v}, H2 = {v V : T (v) = v}Demuestre que H1 y H2 son subespacios de V tal que V = H1 H2Ejercicio 39. Sea T : R3 R3 dada por T (x, y, z) = (3x+ 2y+ 4z, 2x+ 2z, 2x+ 2y+ 3z). Demuestre que T eslineal y encuentre la representacion matricial de T con respecto a la base canonica de R3.Ejercicio 40. Considere la matriz

A =

2 1 7 11 2 4 11 0 2 1

Encuentre una base para la imagen de la transformacion lineal T : R4 R3 definida por A.Ejercicio 41. Sean V y W espacios vectoriales sobre R de dimension finita. Demuestre que Hom(V,W ) C(R)es decir, que toda transformacion lineal es continua.

Ejercicio 42. Sea f : Rn R continua tal que f(x+ y) = f(x) + f(y) para todos x, y Rn. Demuestre que fes lineal.

Ejercicio 43. Sea T : R2 R2 dada por T (x, y) = (x+ y, x+ 2y). Hallar una representacion matricial D deT con respecto a la base {(0, 1), (1, 1)} de R2.Ejercicio 44. Sea A Mat(n, n,R). Demuestre que A GL(n,R) si y solo si sus columnas o sus filas formanuna base para Rn.Ejercicio 45. Sean t1, t2, t3 R distintos y sea para cada i la funcion Ti : R2[x] R dada por Ti(p) = p(ti).

(1) Demuestre que Ti es una transformacion lineal para cada i.(2) Demuestre que T1, T2, T3 son linealmente independientes en Hom(R2[x],R).(3) Demuestre que T1, T2, T3 son una base de Hom(R2[x],R).

Ejercicio 46. Sea V un espacio vectorial de dimension finita y sea A Hom(V, V ) fijo. Demuestre que elconjunto {B Hom(V, V ) : AB = 0} es un subespacio de Hom(V, V ).Ejercicio 47. Demuestre que si A Hom(V, V ) es tal que A2 = A Id entonces A es invertible.