Tarea IIIOndas llamadas Frentes FI7007-2018

Profesor: Marcel G. ClercLas tareas son bisemanales se entregan los dıas lunes antes de clase. Explique claramente sus argumentos.

1) Metodo variaciones (BENGURIA-DEPASSIER): Un procedimiento de obtener lavelocidad de propagacion de de frentes FKPPP paraecuaciones de reaccion difusion es basado en un metodovariacional propuesto en Benguria, R. D., and Depassier,M. C. (1996), ”Variational characterization of the speedof propagation of fronts for the nonlinear diffusion equa-tion”, Communications in mathematical physics, 175(1),221-227 (http://arxiv.org/pdf/patt-sol/9408001.pdf).

1.a Estudie cuidadosamente este trabajo y haga unresumen.

1.b Calcule la velocidad de propagacion de frentespushed del modelo ∂tu = u(1 − u)(1 + au) + ∂xxu enfuncion del parametro a.

FIG. 1. Estado absoluto convectivo.

2) Inestabilidad absoluta convectiva: Cuando unsistema fısico que presenta un estado estable e inestablesometido a una fuerza de arrastre caracterizada por unavelocidad v con condiciones de borde tal que en un bordese impone el estado inestable y en el otro Neumann ex-hibe la emergencia de un estado que se propaga (verfigura).

Para dar cuenta del anterior fenomeno considere elsiguiente modelo

∂tu = u− u3 + ∂xxu+ v∂xu+√ηζ(x, t)

donde u(x, t) es un campo escalar definido en el dominio[0, L] con condiciones de borde u(x = 0, t) = 0 y ∂xu(x =L, t) = 0. ζ(x, t) es ruido blanco y η es la intensidad delruido.

2.a Muestre que perturbaciones del estado inestabledel sistema determinista presenta frentes KKPP.

2.b En caso de tomar en cuenta las perturbacionesestocasticas, describa que fenomenos observa y en par-ticular explique como se modifica el estado de equilibriocomo funcion de η.

3) Cavidad optica pasiva: una cavidad optica estacompuesta por un medio material y dos espejos conceavosque forman una cavidad (ver figura). Para hacer operaresta cavidad por medio de una campo externo o una cor-riente se puede bobear el medio optico para que empiecea emitir.

FIG. 2. Cavidad optica.

Un modelo simple que describe la dinamica de unacavidad es la ecuacion de Lugiato-Lefever

∂tE = S −[1 + i(∆− |E|2) + iα∂zz

]E(z, t),

donde E(z, t) es la envolvente del campo electrico, S esla intensidad de campo externo, ∆ parametro de desin-tonizacion entre frecuencia de la onda y campo externo,α da cuenta de la difraccion.

Muestre que para desincronizacion ∆ >√

3, el sistematienes frentes FKPP y caracterice su velocidad de propa-gacion.

4) Frente no variacional: Considere el siguientemodelo

∂tu = u(1− u) + ∂xxu+ a(∂xu)2,

Donde u(x, t) parametro de orden y a es un parametrode control.

4.a Muestre que este modelo no es variacional.4.b Muestre que este modelo tiene frentes FKPP y

caracterice su velocidad.