Mecanica Clasica Tarea # 10

Favio Vazquez*

Instituto de Ciencias Nucleares. Universidad Nacional Autonoma de Mexico.

1. Problema 1

Utilizando la formulacion hamiltoniana de la mecanica, encuentre las ecuaciones de movi-miento de un pendulo doble de masas y longitudes iguales.

Solucion:

En la figura de abajo se muestra un diagrama para el problema,

Figura 1: Pendulo doble. Como muestra el munequito la gravedad va dirigida hacia abajo.

Si tomamos a θ1 y θ2 como nuestras coordenadas generalizadas, las coordenadas x y y delas dos masas seran

x1 = l sen θ1, (1.1)

y1 = l cos θ1, (1.2)

x2 = l sen θ1 + l sen θ2, (1.3)

y2 = l cos θ1 + l cos θ2. (1.4)

Para construir la energıa cinetica del sistema necesitamos las primeras derivadas temporalesde estas ecuaciones, las cuales son

*Correo: favio.vazquezp@gmail.com

1

x1 = lθ1 cos θ1, (1.5)

y1 = −lθ1 sen θ1, (1.6)

x2 = lθ1 cos θ1 + lθ2 cos θ2, (1.7)

y2 = −lθ1 sen θ1 − lθ2 sen θ2. (1.8)

Entonces la energıa cinetica

T =1

2m(x1

2 + y12) +

1

2m(x2

2 + y22), (1.9)

puede escribirse como

T =1

2m(l2θ1

2cos2 θ1 + l2θ1

2sen2 θ1 + l2θ1

2cos2 θ1 + 2l2θ1θ2 cos θ1 cos θ2 (1.10)

+ l2θ22

cos2 θ2 + l2θ12

sen2 θ1 + 2l2θ1θ2 sen θ1 sen θ2 + l2θ22

sen2 θ2), (1.11)

∴ T =m

2l2[2θ1

2+ θ2

2+ 2θ1θ2 cos (θ1 − θ2)

](1.12)

Por otra parte la energıa potencial del sistema

V = −mgy1 −mgy2, (1.13)

puede escribirse como

V = −mg(l cos θ1)−mg(l sen θ1 + l sen θ2), (1.14)

∴ V = (1.15)

2. Problema 2

Una partıcula de masa m se mueve en una dimension y la hamiltoniana del sistema es

H(q, p) =p2

2me−

qa

Encuentre las ecuaciones de movimiento y su solucion. Considerando unicamente los casosen que p > 0, ¿Cual serıa la fuerza que deberıa actuar sobre la partıcula en una visionnewtoniana del este sistema? ¿Que sentido le puede dar en este caso a las relaciones entrela energıa total, la energıa cinetica y la hamiltoniana como integral de movimiento?

Solucion:

3. Problema 3

Considere la hamiltoniana en dos grados de libertad

H = q1p1 − q2p2 − a(q1)2 + b(q2)2

demuestre que las tres funciones

f1 = (p2 − bq2)/q1, f2 = q1q2, f3 = q1e−t,

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son constantes de movimiento. ¿Son todas integrales de movimiento? ¿Son independientes?,¿Cuales son los parentesis de Poisson entre ellas?, ¿Habra mas integrales de movimiento in-dependientes?; de haber mas, ¿podran ser los parentesis de Poisson entre todas las integralesde movimiento iguales a cero?

Esta hamiltoniana es muy rara, encuentre esta rareza y descrıbala.

Solucion:

4. Problema 4

Demuestre que un sistema es hamiltoniano sı y solo sı

d

dt{f, g} = {f , g}+ {f, g}

Solucion:

5. Problema 5

Demuestre la identidad de Jacobi para los parentesis de Poisson.

Solucion:

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