tautologija_tehnika dokazivanja

Metodi dokazivanjaU daljem tekstu prikazaemo neke od osnovnih metoda dokazivanja. c Dokaz prostim nabrajanjem: Ovo je najjednostavniji vid dokazivanja gde nabrajamo sve mogue sluajeve da bi c c smo dokazali da neto vai. s z Primer 4: Dokazati da je svaki paran broj izmed 4 i 232 zbir dva u prosta broja.

Ovo bi se moglo dokazati prostim nabrajanjem, ali, kako se radi o ogromnom broju sluajeva, to bi se moralo realizovati raunarom. c c

Matematicka logika

2

Tehnike dokazivanja - II deo

Metodi dokazivanjaDokaz svod enjem na kontradikciju: Ova vrsta dokaza se naziva i dokaz svod enjem na protivrenost ili svod c enjem na apsurd. To je vid indirektnog dokaza, koji je baziran na tautologiji (p (q q)) p koja kae da ako iz pretpostavke p moemo izvesti kontradikciju, onda ta pretpostavka z z p nije tana. c U praksi se esto ovaj metod bazira i na tautologiji c ((p q) (r r)) (p q). prema kojoj, ako se iz pretpostavke da vai p i q dolazi do kontradikcije, onda zaz kljuujemo da ako vai p, onda ne moe da vai q. c z z z

Matematicka logika

3


Metodi dokazivanjaNa primer, ovim metodom se moe dokazati tvrd z enje, poznato jo starim Grcima, o s nesamerljivosti stranica kvadrata. Primer 5: Dokazati da ne postoji razlomak iji je kvadrat broj 2. c 2 iracionalan broj.

Drugim reima, ovo tvrd c enje kae da je z Tvrd enje e biti dokazano na vebama. c z

Jo jedan rezultat, poznat jo starim Grcima, je s s Primer 6: Dokazati da ne postoji najvei prost broj. c

I ovo e biti dokazano na vebama. c z

Matematicka logika

4


Metodi dokazivanjaDokaz kontrapozicijom: I ova vrsta dokaza predstavlja je vid indirektnog dokaza, koji je baziran na Zakonu kontrapozicije (p q) (q p) Pretpostavimo da treba da dokaemo neko tvrd z enje oblika implikacije p q. Med utim, nekad je jednostavnije da umesto toga dokaemo implikaciju z q p. Prema Zakonu kontrapozicije, potpuno je svejedno koju od ove dve implikacije emo c dokazati, jer su one ekvivalentne.

Matematicka logika

5


Metodi dokazivanjaPrimer 6: Setimo se da se injektivna funkcija denie kao funkcija s f : A B takva da za proizvoljne x, y A vai z x = y f (x) = f (y).

(1)

Prema Zakonu kontrapozicije, (1) je ekvivalentno sa (2) f (x) = f (y) x = y,

to je u mnogim sluajevima jedostavnije za dokazivanje od (1). s c Primer 7: Dokazati da ako je a + b 0, obda je a 0 ili b 0.

Dokaz e biti dat na vebama. c z

Matematicka logika

6


Metodi dokazivanjaProduena implikacija: z Dokaz tvrd enja moe imati strukturu produene implikacije z z iz A1 sledi A2 , iz A2 sledi A3 , . . . , iz An1 sledi An . koja se koristi da bi se dokazalo A1 An . To se simboliki belei sa c z A1 A2 An Da bi se naglasilo kako je re o kraem zapisu tekstualne reenice, a ne o iskaznoj c c c formuli, implikacija je ovde oznaena sa . c Produena implikacija zapravo predstavlja krai nain da se oznai primena tranziz c c c tivnosti implikacije, koju predstavlja tautologija (A1 A2 ) (A2 A3 ) (An1 An ) (A1 An ).

Matematicka logika

7


Metodi dokazivanjaPrimer 8: Dokazati da ako je ceo broj deljiv sa 2 i sa 5, onda je deljiv i sa 10.

Reenje: Dokazuje se nizom implikacija s (2|x 5|x) (x = 2m x = 5n) (5x = 10m 4x = 20n) (x = 10(m 2n) (10|x)

Matematicka logika

8


Metodi dokazivanjaCiklina implikacija: c Ima teorema gde dokazujemo ekvivalentnost iskaza A1 , A2 , . . . , An , tj. tanost c formula Ai Aj , za sve razliite i, j. c Ove ekvivalencije dokazuju se nizom A1 A2 An A1 , koji nazivamo ciklina implikacija. c Postupak se zasniva na ve spomenutoj tranzitivnosti implikacije, kao i na tautologiji c (A B) (B A) (A B).

Matematicka logika

9


Metodi dokazivanjaPrimer 9: Dokazati da su za proizvoljan prirodan broj n sledea c tvrd enja ekvivalentna:

(i) n je deljiv sa 30; (ii) n je deljiv sa 6 i sa 5; (iii) zbir cifara broja n deljiv je sa 3 i cifra jedinica mu je 0. Ekvivalentnost ovih stavova moe se dokazati nizom z (i)(ii)(iii)(i), pri emu se u svakoj od implikacija moe koristiti zakon kontrapozicije. c z To e biti urad c eno na vebama. z

Matematicka logika

10


Metodi dokazivanjaProduena ekvivalencija: z Dokaz moe imati i strukturu produene ekvivalencije z z A1 ako i samo ako A2 ako i samo ako . . . ako i samo ako An , koja se koristi da se dokae tanost ekvivalencije A1 An . z c To se simboliki belei sa c z A1 A2 An Ispravnost takvog postupka sledi iz injenice da je gore samo krae zapisano tvrd c c enje (A1 A2 ) (A2 A3 ) (An1 An ), na osnovu zakona asocijativnosti za konjunkciju.

Matematicka logika

11


Metodi dokazivanjaNa to se onda uzastopno primenjuje tranzitivnost ekvivalencije, odnosno tautologija ((A B) (B C)) (A C) i dobija se gornji niz. Ovaj metod se esto koristi, na primer, kod reavanja jednaina. c s c Naime, jednaina (formula) se zamenjuje ekvivalentnom sve do one u kojoj se reenje c s neposredno nalazi. Primer 10: Koristei metod produene ekvivalencije reiti jednainu c z s c 2x + 3 7 Ovo e biti urad c eno na vebama. z = 3x,

Matematicka logika

12


Metodi dokazivanjaMetod razlikovanja sluajeva: c Ovaj metod se koristi u sluajevima kada iz tanosti iskaza c c A B, A C i B C treba dokazati tanost iskaza C. c To pravilo je posledica tautologije (A B) (A C) (B C) C. Uoptenje ovoga je metod razlikovanja vie sluajeva. s s c Kod njega se, za proizvoljan prirodan broj n, iz tanosti iskaza c A1 A2 An , A1 C, . . . , An C izvodi tanost iskaza C. c

Matematicka logika

13


Metodi dokazivanjaPrimer 11: Dokazati da je proizvod tri uzastopna cela broja deljiv sa 3.

Ovo se dokazuje tako to se uoe proizvoljna tri uzastopna prirodna broja n, n + 1 i s c n + 2, i onda se razlikuju tri sluaja c A1 : n 0 (mod 3), A2 : n 1 (mod 3), A3 : n 2 (mod 3).

Zadatak e biti urad na vebama. c en z

Matematicka logika

14


Matematicka indukcijaIako se zove matematika indukcija, ovaj metod nije induktivan, ve deduktivan, jer c c je zasnovan na takozvanoj aksiomi matematike indukcije ili principu matematike c c indukcije, koji glasi: Neka je P (x) unarni predikat, pri emu je x individualna promenljiva koja uzima c vrednosti u skupu prirodnih brojeva. (1) Ako je tano P (1), i c (2) ako za svaki prirodan broj n, iz pretpostavke da je tano P (n) sledi da je tano c c i P (n + 1), onda iz svega toga sledi da je P (n) tano za svaki n N. c To se moe izraziti i simboliki sa z c P (1) (x)(P (x) P (x + 1)) (x)P (x) .

Matematicka logika

15


Matematicka indukcijaDokaz matematikom indukcijom ima tri osnovna elementa c Indukcijska baza, Indukcijska hipoteza, Indukcijski korak. Razlikuju se i dva osnovna vida dokazivanja matematikom indukcijom: c Indukcija, tj. prosta indukcija, Jaka indukcija.

Matematicka logika

16


Matematicka indukcijaIndukcijska baza: Ovde se dokazuje da je tano P (b), za bazinu vrednost b. c c Najee je b = 1, ali u nekim sluajevima se dokazuje i da tvrd c sc c enje vai tek poev z c od nekog broja b. Indukcijska hipoteza: U sluaju proste indukcije, pretpostavlja se da je P (n) tano za neki prirodan broj n c c vei od bazine vrednosti b. c c Kod jake indukcije, pretpostavlja se da je P (k) tano za svaki k manji ili jednak c nekom prirodnom broju n, a vei od bazine vrednosti b. c c Indukcijski korak: Dokazuje se da je u tom sluaju tano i P (n + 1). c c

Matematicka logika

17


Matematicka indukcijaAko su dokazani, ovi koraci garantuju da je P (n) tano za svaki prirodan broj n vei c c ili jednak bazinoj vrednosti b. c Indukcija po sloenosti formule: z Ovo je poseban metod koji se koristi kod dokazivanja nekih tvrd enja koja se odnose na formule u iskaznoj i predikatskoj logici, terme u predikatskoj logici, ili bilo ta s drugo to se denie induktivno. s s To je zapravo jaka indukcija po broju veznika u koji se javljaju u formuli.

Matematicka logika

18


Matematicka indukcijaViestruka indukcija: s Ovaj vid indukcije se koristi kada treba da se dokae tvrd z enje zadato predikatom oblika P (x1 , x2 , . . . , xn ), gde su x1 , x2 , . . . , xn promenljive koje uzimaju vrednosti u skupu prirodnih brojeva. Na primer, P (x, y) se moe dokazati na sledei nain: z c c Formira se unarni predikat Q(x) (y)P (x, y). Indukcijom se dokazuje da je Q(m) tano za svaki m N. c Med utim, u tom dokazivanju nailazimo na sledee: c Kada, u indukcijskoj bazi, dokazujemo Q(1), mi zapravo dokazujemo da je P (1, n) tano za svaki n N. c To se naravno dokazuje indukcijom po n.

Matematicka logika

19


Matematicka indukcijaTakod e, Kada iz pretpostavke da je tano Q(m) treba da dokaemo da je tano i Q(m + c z c 1), onda zapravo indukcijom po n dokazujemo da je P (m + 1, n) tano za svaki c n N. Drugim reima, ovakav dokaz moemo shvatiti kao dvostruku petlju jednu po m c z (spoljanju), a drugu po n (unutranju). s s

Matematicka logika

20


Formalni dokazMatematike teorije se mogu razmatrati i potpuno formalno, sa aspekta sintakse, bez c obraanja panje na semantiku (znaenje i istinitost). c z c Pri takvom pristupu, uvode se vrlo precizna pravila za formiranje izraza i formula, kao c c i vrlo precizna pravila dokazivanja, i jedino o emu se vodi rauna je to da li se ta pravila dosledno potuju. s Dokaz teoreme je u ovom pristupu (konaan) niz formula koje se red c aju po unapred denisanim pravilima. U tom smislu ak bi i raunar mogao da bez problema dokazuje teoreme. c c

Matematicka logika

21


Formalni dokazFormalna teorija T se denie kao ured s ena etvorka c

T = (X, F , A , P ),pri emu c X je prebrojiv skup, koji nazivamo skup polaznih simbola ili alfabet teorije T ; F je podskup skupa svih rei nad alfabetom X, koji nazivamo skup formula c teorije T ; A je podskup skupa formula F , nazivamo ga skup aksioma teorije T ; c c z P je konaan skup nekih relacija (razliitih duina) na skupu formula, koji nazivamo skup pravila izvod enja teorije T .

Matematicka logika

22


Formalni dokazAko je pravilo izvod enja, tj. relacija na F duine n, i z (F1 , . . . , Fn1 , F ) , onda se kae da je formula F direktna posledica formula F1 , . . . , Fn1 po pravilu z izvod enja , i pie se s F1 , . . . , Fn1 : . F Za konaan niz formula F1 , . . . , Fk kaemo da je izvod c z enje, dedukcija ili dokaz u teoriji T , ako za svaku od tih formula Fi vai: z Fi je aksioma, ili Fi je dobijena od nekih prethodnih formula u tom nizu prema nekom od pravila izvod enja u teoriji T .

Matematicka logika

23


Formalni dokazFormula F je teorema teorije T , ako postoje formule F1 , . . . , Fk , takve da je enje u T . F1 , . . . , Fk , F izvod Ovo izvod enje zove se dokaz teoreme F . Da je formula F teorema, oznaava se krae sa F . c c Ako je potrebno naglasiti da se radi o teoremi u teoriji T , koristi se oznaka T F . c Za formalnu teoriju T kae se da je odluiva ako postoji efektivan postupak (algoz ritam) kojim se moe proveriti da li je neka formula teorema, tj. da li za nju postoji z dokaz.

Matematicka logika

24


Formalni dokazPrimer 12: Deniimo formalnu teoriju na sledei nain: s c c

Alfabet: X = {0, 1}. Skup formula: F je skup svih rei nad dvoelementnim alfabetom, tj. formula je c bilo koji konaan niz nula i jedinica. c Aksiome: 0 i 1. Pravila izvod enja: F1 F0 i (B) , (A) F 10 F 01 gde je F proizvoljna formula, a F 1, F 0, F 10, . . . su formule dobijene iz F dopisivanjem zdesna redom rei 1, 0, 10, . . . . c

Matematicka logika

25


Formalni dokazTeorema ove teorije je, na primer, re 010. c Odgovarajui dokaz je niz formula (rei)) c c 1. 2. 3. 0 01 010 (aksioma) (dobijena iz 1. prema pravilu (B)) (dobijena iz 2. prema pravilu (A))

Uopte, lako se uoava da vai sledee: s c z c Tvrd enje: Re nad alfabetom {0, 1} je teorema ove teorije ako i samo se u njoj slova c 0 i 1 javljaju naizmenino. c Ova teorema nam daje efektivan postupak za proveravanje da li je neka formula ove teorije teorema te teorije ili nije. Zbog toga je ova teorija odluiva. c

Matematicka logika

26


Formalni dokazIzvod enje iz hipoteza se sintaksiki denie na sledei nain. c s c c Neka je H skup formula teorije T , ije elemente nazivamoi hipoteze. c Formula F te teorije je sintaksika posledica hipoteza iz skupa H , ako postoji niz c formula F1 , . . . , Fn tako da je svaki lan Fi tog niza vai c z Fi je aksioma, ili Fi je hipoteza, tj. formula iz skupa H , ili Fi je direktna posledica nekih prethodnih formula iz tog niza dobijena prema nekom od pravila izvod enja. enje ili dokaz formule F iz hipoteza U tom sluaju niz F1 , . . . , Fn , F nazivamo izvod c iz skupa H .

Matematicka logika

27


Formalni dokazDa je F sintaktika posledica skupa hipoteza H oznaavamo sa c c

H F.Ukoliko je skup H konaan, tj. H = {F1 , . . . , Fn }, onda se pie c s F1 , . . . , F n F . Specijalno, za prazan skup hipoteza vai z F ako i samo ako je F teorema, to se neposredno proverava. s Zato se oznaka praznog skupa hipoteza izostavlja i pie se F . s

Matematicka logika

28


Iskazni racunIskazna logika se moe izloiti kao formalna teorija. Ta formalna teorija oznaava se z z c sa L i naziva se iskazni raun. c Jezik teorije L alfabet i skup formula smo ve ranije denisali. Ovde je taj jezik c neznatno modikovan. Alfabet teorije L sastavljen je od iskaznih slova: p, q, r . . . , odnosno p1 , p2 , p3 , . . . , iskaznih veznika i , i zagrada ( i ). Formule ove teorije se deniu induktivno, slino ranijem: s c (i) slova su iskazne formule; (ii) ako su A i B iskazne formule, onda su iskazne formule i izrazi A i (A B);

(iii) iskazne formule su oni i samo oni izrazi koji se mogu formirati primenom pravila (i) i (ii) konaan broj puta. c

Matematicka logika

29


Iskazni racunAksiome su: A1: A (B A) A2: (A (B C)) ((A B) (A C)) A3: (A B) (B A), gde su A, B i C proizvoljne iskazne formule. Jedino pravilo izvod enja je modus ponens: M P : (A, A B, B), odnosno A, A B . MP : B

Prihvata se i dogovor o uklanjanju spoljnih zagrada u formulama.

Matematicka logika

30


Iskazni racunMoe se zapaziti da sve formule teorije L jesu iskazne formule i u smislu ranije z denicije za iskaznu logiku. Strogo posmatrano, obrat ne vai jer logiki veznici , i nisu u osnovnom z c jeziku teorije L . Med utim, ostali iskazni veznici mogu se uvesti na sledei nain: c c (A B) je zamena za (A B) (A B) je zamena za A B (A B) je zamena za (A B) (B A). Oito je da uz ove oznake, formule teorije L u potpunosti odgovaraju iskaznim c formulama, kako su one uvedene u iskaznoj logici.

Matematicka logika

31


Iskazni racunNajvanije svojstvo iskazne logike je ono koje nam daje sledee tvrd z c enje: Tvrd enje: Iskazna formula je teorema iskaznog rauna L ako i samo ako je tauc tologija, tj. A ako i samo ako |= A.

c Ovo svojstvo objedinjuje semantiki aspekt logike (interpretacija) sa njenim sintaksikim aspektom (formalni dokaz). c

Matematicka logika

32


Predikatski racunFormalizacijom predikatske logike dolazi se do predikatskog ili kvantikatorskog rauna, c u oznaci P . Alfabet teorije P ine oni isti polazni simboli pomou kojih se deniu predikatske c c s formule, osim to se koriste samo dva logika veznika: i , i samo jedan kvans c tikator, (x). Formule teorije P su sve predikatske formule u kojima guriu logiki znaci i , s c kao i kvantikator (x). Moe se dati i formalna induktivna denicija tih formula, na isti nain kao u predikatskoj z c logici, ali bez veznika , i i kvantikatora . s c Veznici , i deniu se kao u iskaznom raunu, a egzistencijalni kvantikator kao to sledi: s (x) je zamena za (x)

Matematicka logika

33


Predikatski racunTako je svaka formula teorije P jedna predikatska formula i obratno. Aksiome rauna P su: c A1: A (B A) A2: (A (B C)) ((A B) (A C)) A3: (A B) (B A) A4: (x)(A B(x)) (A (x)B(x)), pod uslovom da x nije slobodna promenljiva u formuli A. A5: (x)A(x) A(t), ako je term t nezavisan od promenjive x u formuli A(x). Primetimo da su prve tri aksiome iste kao u iskaznom raunu. c Sve navedene aksiome su valjane formule.

Matematicka logika

34


Predikatski racunPravila izvod enja su: modus ponens A, A B B generalizacija A (x)A

MP:

GEN:

tj. iz A se izvodi (x)A Kao i kod iskaznog rauna, i ovde vai: c z Tvrd enje: Predikatska formula je teorema predikatskog rauna P ako i samo ako je c valjana formula.

Matematicka logika

35


tautologija_tehnika dokazivanja

Documents