tc2 algebra 36
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7/23/2019 TC2 Algebra 36
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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAUNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA
TRABAJO COLABORATIVO MOMENTO 2
ALGEBRA LINEAL
JORGE LUIS GUZMAN
Cdigo. 1.11.!"#.!$
JUAN ESTEBAN TA%IASCdigo. 1.11.!!2.!"
RAFAEL RICARDO VILLA
Cdigo.
TUTOR
OSCAR IVAN VALDERRAMA
ALGEBRA LINEAL
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y ADISTANCIA &UNAD'
http://66.165.175.209/campus17_20151/user/view.php?id=1191&course=14http://66.165.175.209/campus17_20151/user/view.php?id=1191&course=14 -
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21!
INTRODUCCI(N
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OBJETIVOS
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%ROBLEMA NO.1
1. U)i*i+ * -)odo d *i-i/0+i/ d G0 Jo3d0/ 4030 /+o/)303 )od0 *0o*+io/, i 5i)/, 4030 *o i)-0 d0do.
0. x+2y+z=3 4x+y5z=5 2x2y+3z=0
Usaremos, eliminacin Gaussiana
Ponemos en matriz los coeficientes de las ecuaciones, en matriz amliada!
|1 2 1
4 1 52 2 3|
3
5
0
Alicamos diferentes oeraciones ara lle"arla a su forma escalonada!
|1 2 1
4 1 52 2 3|
3
5
0
( f22 f3 ) |1 2 1
0 5 112 2 3|
3
5
0
(f32 f1 )|1 2 1
0 5 110 6 1|
3
5
6
(f3+ 65
f2 )
|1 2 10 5 110 0 61/5|
35
0
#a en forma escalonada, escri$imos las dem%s ecuaciones como &uedaron 'entonces nos fi(amos &ue en la tercera fila, est% toda en ceros, a e)cecin de la
casilla ** +-./01 la cual e&ui"ale a z2 Por tal razn odemos entonces 3allar 4
como si5ue!
x+2y+z=3 5y11z=5 61 /5z=0 61
5z=0 z=0
Lue5o 3allamos las dem%s
5y11 (0 )=5 5y=5 y=1
x+2(1 )+0=3 x=1
Entonces las soluciones de la ecuacin ser6an!
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78., #8., 489
A3ora, si &ueremos usar m:todo Gauss;ord%n, ues el enunciado de(a ococlaro, cu%l de los dos, entonces ser6a de lle5ar 3asta con"ertir la matriz en
escalonada reducida, si5%mosla en escalonada donde est%$amos '
con"irt%mosla en reducida!
|1 2 1
0 5 110 0 61/5|
3
5
0( f125 f2)|
1 0 17/50 5 110 0 61/5|
1
5
0(15 f2)|
1 0 17/50 1 11/50 0 61/5|
1
1
0
( f 3561 )|1 0 17 /50 1 11/50 0 1
|1
1
0( f 1+175 f3 )|
1 0 0
0 1 11/50 0 1
|1
1
0
( f 2+115 f3 )|1 0 0
0 1 0
0 0 1|
1
1
0
A3ora, 5racias a la matriz escalonada reducida, tenemos en la amliada, el
resultado de 78., #8., 489, confirmando lo antes encontrado2
+Usando la calculadora online la %5ina "adenumeros2es1
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$2 x 1+2x 25x 3=4 3x 12x 212x 3=7
A3ora resol"amos or Gauss ;ord%n, ara esto, lle"amos la matriz amliada a
escalonada reducida!
|1 2 53 2 12|47 (f23 f1 )|1 2 50 8 3| 45
(1
8f2)|1 2 50 1 3
8|45
8
( f12 f2)|1 0 17/ 40 1 3 /8 |11/45/8 A3ora escri$imos las ecuaciones como &uedar6an!
x 1174 x 3=114 x 238 x 3=58
Dese(amos 7. ' 7< ara de(arlas en funcin de )* &ue se reite en am$asecuaciones!
x 1=11
4+
17
4x 3
x 2=5
8+
3
8x 3
A3ora, sa$remos &ue las soluciones ser%n infinitas, si le damos "alores
ar$itrarios a 7*2 Demostremos con un e(emlo2 =uon5amos &ue 7*892
Entonces!
x 1=11
4+
17
4(0 ) x 1=
11
4x 2=
5
8+
3
8(0 ) x 2=
5
8
x 3=0
Reemlazando en la rimera ecuacin!
11
4+2( 58 )+0=4 4=4
Con lo &ue &ueda demostrado entonces &ue el con(unto solucin ser6a infinito '
deender6a del "alor &ue se le asi5ne a 7*2
Co/+*i/6 El con(unto solucin es infinito2
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+. x2yz=4
4xy+5z=5
3x6y3z=3
Anotamos la matriz amliada ' la lle"amos a su forma escalonada!
|1 2 14 1 53 6 3|
44
3
(f24 f1 )|1 2 10 7 9
3 6 3|420
3
(f33 f1 )|1 2 10 7 9
0 0 0|420
15
A&u6 se lle5a a una inconsistencia, ues si nos fi(amos en la Fila *,9>.0, or tal razn, odemos afirmar &ue es un sistema de ecuaciones
sin solucin2
Co/+*i/6 / i)-0 i/ o*+i/
+=e uede "er en el antallazo el mensa(e de error1
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%ROBLEMA NO.2
E/+/)30 *0 +0+io/ 4030-)3i+0 7 *0 i-)3i+0 d *0 3+)0 i/di+0d06
a.contienea (2,5,4 )y (2,0,4 )
Definamos
P (2,5,4 ) Q(2,0,4)
=olucin
Ec2 Param:tricas Ec2 =im:tricas
x=x1+at
xx1
a
=yy
1
b
=zz
1
c
y=y1+bt
z=z1+ct
A3ora definimos un "ector resultante
V=PQ=QP=(2(2 ))i+ (05 ) j+(44) k
V=
PQ=4^i5
^
j8^k
Por tanto
a=4 b=5 c=8
?omemos P(2,5,4 )
Ec2 Param:tricas
x=2+4 t
y=55 t
z=48t
Ec2 =im:tricas
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x+24
=y55
=z48
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%ROBLEMA NO.8
Encuentre las ecuaciones arasim:tricas ' sim:tricas de la recta indicada!
a (1,1,2 )y es paralelax7
8
=y3
4=
z2
4
Lo rimero es sa$er, &ue si la recta &ue contiene al unto a es aralela a la recta&ue nos dan, entonces de$en tener el mismo "ector direccin, &ue es lo &ue
necesitamos ara 3allar la ecuacin "ectorial ' de a36 deri"ar las sim:tricas '
arasim:tricas &ue nos e)i5e el e(ercicio2 Entonces, el "ector director de la recta
&ue nos dan, son los denominadores de la fraccin, or lo tanto!
A=(8,4,4)
A3ora, como tenemos un unto, ' el "ector director, odemos construir la ecuacin"ectorial!
(x , y , z )=(1,1,2 )+(8,4,4) De a36, construimos las 4030-)3i+0, &ue ser6an!
x=1+8
y=14 z=2+4
# las sim:tricas dese(ando el ar%metro, ser6an!
=x1
8
=y14
=z+2
4
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%ROBLEMA NO."
E/+/)3 *0 +0+i/ * 4*0/o 96
0. P=(1,3,3 ) ; n=2 i+3j+k
Como nos dan un unto ' un "ector, entonces se de$e cumlir la condicin de
&ue! PQn=0
Deri"ado de esto, o$tenemos se o$tiene el modelo de ecuacin 5eneral ararectas en un lano dado un "ector ' un unto &ue es!
a (xx 0 )+b (yy 0 )+c(zz 0 )=0
A3ora slo sustituimos en la ecuacin ' resol"emos ara lle5ar a la ecuacin dellano!
2 (x+1 )+3 (y3 )+ (z3)=0
2x+2+3y9+z3=0
E+0+i/ d* 4*0/o 2x+3y+z= 1
:. Co/)i/ 0 (4,1,2 ) , (2,1,3 ) ,(3,1,5)
Como nos dan * untos, la situacin es m%s comlicada &ue la anterior,
ues ara &ue se satisfa5a PQn=0 de$emos encontrar el "ector n
Denominamos!r=(4,1,2) s=(2,1,3 )
t=(3,1,5) Entonces, "amos a tomar de los tres untos, < "ectores,
realizando la diferencia, como si5ue!
rs=(2,2,5) rt=(1,0,3)
A3ora 3allamos el roducto cruz de estos dos "ectores ara 3alla el "ector
resultante es decir n , lo 3acemos or el m:todo de los cofactores!
|+i j +k2 2 51 0 3|i (6+0 )j (6+5)+k(0+2 ) n=6 i11j+2 k
A3ora, i5ual &ue el caso anterior, sustituimos en la ecuacin modelo,usaremos el unto r2
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6 (x+4 )11 (y1 )+2 (z2 )=0
6x2411y+11+2z4=0 6x11y+2z=17
So*+i/, *0 +0+i/ d* 4*0/o 6 6x11y+2z=17
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%ROBLEMA NO.!
;0**03 )odo *o 4/)o d i/)3++i/ d *o 4*0/o6
+. 1=5x+yz=13 ; 2=4x+3y7z=5
Lo rimero a 3acer, es determinar si son aralelos los lanos, ues si lo son,entonces no tendr%n interseccin2 Para ello de$emos sacarle a cada uno sus
"ectores directores, ' lue5o "er si se cumle la condicin ara ser aralelos!
n 1n 2=0 n 1=(5,1,1 ) ; n 2=(4,37)
n 1n 2
| i j k
5 1 14 3 7
| i (7+3 )j ( 354 )+k(15+4 ) (4,31,11)
Como el resultado o$tenido de la multilicacin de am$os "ectores directores, noes cero, entonces sa$emos &ue no son aralelos2 A3ora, de$emos 3allar los
untos donde se intersectan, &ue es la re5unta, entonces ara ello de$emos
resol"er las ecuaciones2 # lo 3aremos or el m:todo de Gauss ;ord%n, como
si5ue!
||5 1 14 3 7|135 |(15 f1 )|| 1 1/5 1/54 3 7|13/55 |
(f2+4 f1 )||1 1 /5 1/50 11/5 7|13 /55 |( 511 f2)|1 1/5 1/50 1 35/11|13/525 /11
( f1+ 15 f2)|1 0 24/550 1 35 /11|13/588/55 A3ora reescri$imos las ecuaciones como &uedar6an!
x2455
z=135
; y3511
z=8855
De$ido a &ue 4 se reite en am$as ecuaciones, entonces es la "aria$le li$re ' ladesi5naremos como el ar%metro del "ector director +conocida como t o landa,
etc12 # as6 dese(amos 7 ' #, ara encontrar las ecuaciones aram:tricas de la
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recta en la &ue se cruzan o intersectan los untos de los lanos!
x=13
5+
24
55z ; y=
8855
+35
11z
Las anteriores son las ecuaciones aram:tricas de la solucin de las ecuacionesori5inales, lo &ue &uiere decir &ue son las ecuaciones de la recta en &ue se intersectan los
dos lanos2 @emos encontrado entonces los untos de interseccin de am$os lanos2
Para comro$ar, slo necesitar6amos encontrar los untos 7, #, asi5n%ndole un "alor a la
4 &ue es nuestra "aria$le $andera2
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CONCLUSIONES
BIBLIOGRA