técnicas matemático-computacionais para o tratamento de...
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Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 1
Técnicas Matemático-Computacionais para o
Tratamento de Incertezas Aplicadas ao
Problema do Fluxo de Potência em Sistemas
de Transmissão de Energia Elétrica
Rogério Vargas
orientador: Luciano Barboza co-orientadora: Graçaliz Dimuro
Pelotas, 29 de Fevereiro de 2008
Introdução
Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 2
Motivação
Introdução
Motivação
Metodologias Utilizadas
História MatemáticaIntervalar
História Lógica Fuzzy
História C-XSC
Objetivos
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� Dados (Equipamento de Medição)
� Calibragem
� Deterioração
� Modelagem (Simplificações)
� Numéricos (Computadores e Arredondamento)
Metodologias Utilizadas
Introdução
Motivação
Metodologias Utilizadas
História MatemáticaIntervalar
História Lógica Fuzzy
História C-XSC
Objetivos
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� Matemática Intervalar
� Lógica Fuzzy
� Biblioteca C-XSC
História Matemática Intervalar
Introdução
Motivação
Metodologias Utilizadas
História MatemáticaIntervalar
História Lógica Fuzzy
História C-XSC
Objetivos
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� Matemática Intervalar
� Aritmética Intervalar, Moore em 1965
� Matemática Intervalar, Leslie Fox em 1974
� Críticas feitas:
� Resultados pessimistas, demasiadamente grandes
� Processamento computacional
� Aritmética avançada, software e hardware
História Lógica Fuzzy
Introdução
Motivação
Metodologias Utilizadas
História MatemáticaIntervalar
História Lógica Fuzzy
História C-XSC
Objetivos
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� Lógica Fuzzy
� Teoria Fuzzy, Zadeh em 1965
� Teoria de Conjuntos
� Variáveis “imprecisas”, “vaga”
História C-XSC
Introdução
Motivação
Metodologias Utilizadas
História MatemáticaIntervalar
História Lógica Fuzzy
História C-XSC
Objetivos
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� Biblioteca C-XSC
� Década de 60, suportar uma aritmética mais poderosa que aaritmética de ponto-flutuante ordinária
� Ausência de linguagens de alta exatidão em programaçãonumérica e computação científica
� Estender linguagens para computações científicas, conhecidascomo XSC
� Pascal-XSC e C-XSC, em 1988, Universidade de Wuppertal(Alemanha)
Objetivos
Introdução
Motivação
Metodologias Utilizadas
História MatemáticaIntervalar
História Lógica Fuzzy
História C-XSC
Objetivos
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� Objetivos da Pesquisa
� Analisar algoritmos para o tratamento das incertezas em fluxode potência em redes de energia elétrica utilizando comometodologia a Matemática Intervalar e a Lógica Fuzzy
� Implementar uma aplicação (software) para o sistemaoperacional Linux utilizando como recurso de implementação abiblioteca C-XSC e as metodologias estudadas
Matemática Intervalar
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Conceitualização
Matemática Intervalar
Conceitualização
Adição e Subtração
Multiplicação e Divisão
Considerações daMatemática Intervalar
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� A Matemática Intervalar considera um conjunto de métodos paramanipulação de intervalos numéricos que aproximam dadosincertos
� Oliveira, 2005:
� Intervalos representam valores desconhecidos e contínuos
� Kulisch, 2003:
� Intervalos controlam o erro de arredondamento erepresentam dados inexatos, aproximações e erros detruncamento de procedimentos
Adição e Subtração
Matemática Intervalar
Conceitualização
Adição e Subtração
Multiplicação e Divisão
Considerações daMatemática Intervalar
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Sejam X,Y ∈ IR, com X = [2, 4] e Y = [1, 3].
� Adição:
X + Y = [(x1 + y1) ; (x2 + y2)]
Resultado: [3, 7]
� Subtração:
X − Y = [(x1 − y2) ; (x2 − y1)]
Resultado: [−1, 3]
Multiplicação e Divisão
Matemática Intervalar
Conceitualização
Adição e Subtração
Multiplicação e Divisão
Considerações daMatemática Intervalar
Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 12
Sejam X,Y ∈ IR, com X = [2, 4] e Y = [1, 3].
� Multiplicação:
X × Y = [min{x1 × y1, x1 × y2, x2 × y1, x2 × y2};
max{x1 × y1, x1 × y2, x2 × y1, x2 × y2}]
Resultado: [2, 12]
� Divisão:
X
Y=
[min
{x1
y1
,x1
y2
,x2
y1
,x2
y2
};max
{x1
y1
,x1
y2
,x2
y1
,x2
y2
}]
com 0 /∈ [y1; y2]. Resultado: [0, 6666, 4]
Considerações da Matemática Intervalar
Matemática Intervalar
Conceitualização
Adição e Subtração
Multiplicação e Divisão
Considerações daMatemática Intervalar
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� Representar os dados na forma intervalar, consiste em delimitar oproblema
� Os sistemas computacionais atuais são incapazes de representartodos os números reais
� Com o uso da Matemática Intervalar pode-se obter uma respostaque não contenha algo de interesse. Os algoritmos a seremdesenvolvidos devem ser algoritmos intervalares e não versõesintervalares dos algoritmos pontuais
Lógica Fuzzy
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Conceitualização
Lógica Fuzzy
Conceitualização
Definição de ConjuntosFuzzy
Exemplo de “Quente”
Especialista doConhecimento
Tipos deRepresentações (1)
Tipos deRepresentações (2)
Considerações daLógica Fuzzy
Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 15
� Cox, 1994; Cox, 1995; Kasabov, 1996; Terano, 1992 e Zadeh, 1965:
� Também conhecida como Conjuntos Nebulosos. Nas últimasdécadas, pesquisadores da inteligência artificial vêmtrabalhando com a teoria dos Conjuntos Fuzzy
� Kasabov, 1996; Kosko, 1992, Tsoukalas, 1997:
� Crescimento no número de pesquisas, desenvolvimento demáquinas com controladores Fuzzy, como: aspirador de pó, arcondicionados, robôs autônomos e até mesmo chips FuzzyVLSI
Definição de Conjuntos Fuzzy
Lógica Fuzzy
Conceitualização
Definição de ConjuntosFuzzy
Exemplo de “Quente”
Especialista doConhecimento
Tipos deRepresentações (1)
Tipos deRepresentações (2)
Considerações daLógica Fuzzy
Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 16
Teoria dos Conjuntos Clássicos:
� Um elemento pertence ou não pertence a um conjunto
χA(x) = 1, se x é um elemento do conjunto A, e
χA(x) = 0, se x não é um elemento do conjunto A
Teoria dos Conjuntos Fuzzy:
� Atribuindo a noção de pertinência, a premissa de pertence ou nãopertence é quebrada
µA(x) : U → [0, 1]
onde U é o conjunto universo de discurso e A é um Conjunto Fuzzy
Exemplo de “Quente”
Lógica Fuzzy
Conceitualização
Definição de ConjuntosFuzzy
Exemplo de “Quente”
Especialista doConhecimento
Tipos deRepresentações (1)
Tipos deRepresentações (2)
Considerações daLógica Fuzzy
Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 17
0
100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Ce
rte
za
(%)
Temperatura ( C)
0
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Re
levâ
ncia
Temperatura ( C)
Especialista do Conhecimento
Lógica Fuzzy
Conceitualização
Definição de ConjuntosFuzzy
Exemplo de “Quente”
Especialista doConhecimento
Tipos deRepresentações (1)
Tipos deRepresentações (2)
Considerações daLógica Fuzzy
Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 18
0
1
Gra
u d
e P
ert
inê
ncia
Altura (m)
1
(X)
1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90
� Abaixo de 1, 60m, não significa ser alto
� Acima de 1, 80m, definitivamente significa ser alto
Engenheiro do Conhecimento, define quais as regras.
Tipos de Representações (1)
Lógica Fuzzy
Conceitualização
Definição de ConjuntosFuzzy
Exemplo de “Quente”
Especialista doConhecimento
Tipos deRepresentações (1)
Tipos deRepresentações (2)
Considerações daLógica Fuzzy
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� Tipo Sino
0
1
Gra
u d
e P
ert
inência
Função Sino
1
(X)
� Tipo S e Z
0
1
Gra
u d
e P
ert
inência
Função Z
1
(X)
0
1
Gra
u d
e P
ert
inência
Função S
1
(X)
Tipos de Representações (2)
Lógica Fuzzy
Conceitualização
Definição de ConjuntosFuzzy
Exemplo de “Quente”
Especialista doConhecimento
Tipos deRepresentações (1)
Tipos deRepresentações (2)
Considerações daLógica Fuzzy
Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 20
� Triangular
0
1
Gra
u d
e P
ert
inência
Função Triangular
(X)
(X)a b c
Tri(x,a,b,c)
� Trapezoidal
0
1
Gra
u d
e P
ert
inência
Função Trapezoidal
(X)
(X)a b c d
Trap(x,a,b,c,d)
Considerações da Lógica Fuzzy
Lógica Fuzzy
Conceitualização
Definição de ConjuntosFuzzy
Exemplo de “Quente”
Especialista doConhecimento
Tipos deRepresentações (1)
Tipos deRepresentações (2)
Considerações daLógica Fuzzy
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� A utilização da Lógica Fuzzy não possui uma complexidade grande,no sentido de que pode ser facilmente implementada
� O uso de Números Fuzzy possibilita que as avaliações dasvariáveis sejam expressas com incertezas baseadas em umaavaliação quantitativa. Isto evita realizar outras avaliaçõesquantitativas objetivando conhecer as incertezas
� As operações com Números Fuzzy seguem as mesmaspropriedades das operações intervalares. A diferença é que, comos Números Fuzzy, as operações são realizadas para cada nível depertinência, como se o Número Fuzzy fosse “fatiado” em diversosintervalos
C-XSC
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Características da Biblioteca C-XSC
C-XSC
Características daBiblioteca C-XSC
Tipos de DadosNuméricos Simples
Tipos de Dadosaplicados a Matrizes eVetores
Escolha da BibliotecaC-XSC
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� Aritmética intervalar para números reais, complexos, intervalarescomplexos
� Vetores e matrizes dinâmicos
� Subarrays de vetores e matrizes
� Tipos de dados de alta exatidão
� Operadores aritméticos predefinidos com alta exatidão
� Controle de arredondamento dos dados de entrada e saída
� Biblioteca de rotinas para a resolução de problemas matemáticos
� Resultados numéricos com rigor matemático
Tipos de Dados Numéricos Simples
C-XSC
Características daBiblioteca C-XSC
Tipos de DadosNuméricos Simples
Tipos de Dadosaplicados a Matrizes eVetores
Escolha da BibliotecaC-XSC
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� real
� interval (intervalo de reais)
� complex (número complexo)
� cinterval (intervalo complexo)
Tipos de Dados aplicados a Matrizes e Vetores
C-XSC
Características daBiblioteca C-XSC
Tipos de DadosNuméricos Simples
Tipos de Dadosaplicados a Matrizes eVetores
Escolha da BibliotecaC-XSC
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� rvector (vetor de reais)
� ivector (vetor de intervalos reais)
� cvector (vetor de complexos)
� civector (vetor de intervalos complexos)
� rmatrix (matriz de reais)
� imatrix (matriz de intervalos reais)
� cmatrix (matriz de complexos)
� cimatrix (matriz de intervalos complexos)
Escolha da Biblioteca C-XSC
C-XSC
Características daBiblioteca C-XSC
Tipos de DadosNuméricos Simples
Tipos de Dadosaplicados a Matrizes eVetores
Escolha da BibliotecaC-XSC
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� Disponibilidade:É uma biblioteca freeware e vem ao encontro das necessidades dogrupo de pesquisa
� Usabilidade:O C-XSC é uma biblioteca que trabalha com a linguagem deprogramação C/C++ e permite escrever algoritmos numéricosproduzindo resultados confiáveis num ambiente de programaçãoconfortável
Estudo de Caso: Fluxo de Potência
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Esquema de Transmissão de Energia Elétrica
Estudo de Caso: Fluxo dePotência
Esquema deTransmissão de EnergiaElétrica
Problema Físico
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- Barra PV - Barra PQ
Problema Físico
Estudo de Caso: Fluxo dePotência
Esquema deTransmissão de EnergiaElétrica
Problema Físico
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� Sistema de Equações Não-Lineares
(e2
i + f2
i )Gii −
nX
k=1
k 6=i
[ei(ekGik − fkBik) + fi(fkGik − ekBik) − Pgi+ Pdi
= 0
−(e2
i + f2
i )Bii −
nX
k=1
k 6=i
[fi(ekGik − fkBik) − ei(fkGik + ekBik) − Qgi+ Qdi
= 0
e2
i − f2
i − |Vespi
|2
= 0
� Suprir a demanda?
� Linhas de transmissão suportam a energia?
Entrada de Dados
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Arquivo de Leitura
Entrada de Dados
Arquivo de Leitura
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1**** Sistema de 6 barras (R.N. Dhar) ****4
1 4 8.00 37.00 3.001 6 12.3 51.80 4.202 3 72.3 105.00 0.002 5 28.2 64.00 0.003 4 0.00 13.30 0.00.909 44 6 9.70 40.70 3.005 6 0.00 30.00 0.00.975 6
99995
1 2 barra1 1.10 -9999+99992 1 barra2 1.10 50. -15.0 20.0 0. 0.3 0 barra3 55. 13.4 0 barra4 0. 0.5 0 barra5 30. 18.6 0 barra6 50. 5.
9999
Proposta via Matemática Intervalar
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Conversão Intervalar das Demandas
Proposta via MatemáticaIntervalar
Conversão Intervalardas Demandas
Erros de Leitura emInstrumentos
Variação da Demandano Tempo
Implementação
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Pd = [infimun; supremum] Qd = [infimun; supremum]
� O sistema pode ser analisado:
� Sob o ponto de vista dos erros em instrumentos de medição
� Sob o ponto de vista das variações nas demandas das barrasPQ em um determinado período de tempo
Erros de Leitura em Instrumentos
Proposta via MatemáticaIntervalar
Conversão Intervalardas Demandas
Erros de Leitura emInstrumentos
Variação da Demandano Tempo
Implementação
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Pint = [Pi − αi;Pi + αi] Qint = [Qi − βi;Qi + βi]
� Pint e Qint são os intervalos resultantes da conversão dasdemandas ativa e reativa pontuais para dados intervalares
� αi e βi são os erros associados aos instrumentos de leitura daspotências ativa e reativa na barra i do sistema de potência
� Pi e Qi são os valores pontuais das potências ativa e reativamedidas pelos respectivos instrumentos na barra i do sistema depotência
Variação da Demanda no Tempo
Proposta via MatemáticaIntervalar
Conversão Intervalardas Demandas
Erros de Leitura emInstrumentos
Variação da Demandano Tempo
Implementação
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1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 60
5
10
15
20
25
←9.7568
←20.0012
O
O
←1.8367
←8.0179
O
OD
eman
da A
tiva
(MW
)
Horas do Dia
Variaçao da Demanda Ativa
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 62
4
6
8
10
←4.8669
←9.0886
O
O
←2.4174
←4.2432
O
O
Dem
anda
Rea
tiva
(MV
Ar)
Horas do Dia
Variaçao da Demanda Reativa
Barra 1Barra 2
Barra 1Barra 2
Implementação
Proposta via MatemáticaIntervalar
Conversão Intervalardas Demandas
Erros de Leitura emInstrumentos
Variação da Demandano Tempo
Implementação
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� Krawczyk:
K(x̃, X = x̃ − Cf(x̃) − (I − CJ(X))(x̃ − X)
Proposta via Números Fuzzy
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Geração das Demandas como Números Fuzzy
Proposta via NúmerosFuzzy
Geração das Demandascomo Números Fuzzy
Implementação
Interpretação daSolução
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Implementação
Proposta via NúmerosFuzzy
Geração das Demandascomo Números Fuzzy
Implementação
Interpretação daSolução
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1. Executa-se um fluxo de potência intervalar com os intervalos cujaspertinências são um. À solução obtida é atribuído grau depertinência um
2. Executa-se um fluxo de potência intervalar com os intervalos cujaspertinências são zero. À solução obtida é atribuído grau depertinência zero
3. Traçam-se duas retas, uma com os ínfimos dos intervalos solução,e outra, com os supremos. Assim, gera-se um Número FuzzyTrapezoidal para a solução
Interpretação da Solução
Proposta via NúmerosFuzzy
Geração das Demandascomo Números Fuzzy
Implementação
Interpretação daSolução
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Observa-se que, a partir dos intervalos (pertinência 1 e pertinênciazero), qualquer valor para outras pertinências são obtidas através dasequações das retas.
Resultados Numéricos
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Validação
Resultados Numéricos
Validação
Erro no Equipamento
Variação da Demandano Tempo
Equipamento deMedição (Fuzzy)
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� Resultados comparados com a Literatura
� MatLab usando IntLab
Erro no Equipamento
Resultados Numéricos
Validação
Erro no Equipamento
Variação da Demandano Tempo
Equipamento deMedição (Fuzzy)
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Resultado Pontual
Barra Magnitude(pu) Ângulo(◦)
3 0, 9051 −11, 7277
Resultado MatLab (IntLab) / C++ (C-XSC)
Barra Magnitude(pu) Ângulo( ◦) Resultado3 [0, 8930; 0, 9174] [−12, 0675; −11, 3934] MatLAb
3 [0, 8998; 0, 9104] [−11, 7810; −11, 6750] C++
Variação da Demanda no Tempo
Resultados Numéricos
Validação
Erro no Equipamento
Variação da Demandano Tempo
Equipamento deMedição (Fuzzy)
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Barra Magnitude(pu) Ângulo( ◦)3 [0, 8766; 0, 9349] [−12, 0106; −11, 4578]
� Nota-se intervalos de diâmetro relativamente grandes, poisinicialmente as demandas ativa e reativa nas barras PQ foramsupostas com variações de 15% em torno do dado pontual
� Esta variação se reflete no perfil de tensão e acaba tornando odiâmetro dos intervalos maiores
Equipamento de Medição (Fuzzy)
Resultados Numéricos
Validação
Erro no Equipamento
Variação da Demandano Tempo
Equipamento deMedição (Fuzzy)
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Conclusão
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Considerações Finais (1)
Conclusão
Considerações Finais (1)
Considerações Finais (2)
Considerações Finais (3)
Trabalhos Futuros
Publicações
Obrigado...
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Algumas conclusões referentes a Matemática Intervalar:
� A obtenção dos resultados obtidos pela Matemática Intervalarpermite conhecer a dimensão do erro ocasionado pelosequipamentos de medição
� Apenas com o percentual de erro informado pelo fabricante doequipamento de medição, pode-se converter as demandas ativa ereativa na forma de intervalos
� O uso de intervalos como resposta não garante que ela contenhaalgo de interesse. Os algoritmos a serem desenvolvidos devem seralgoritmos intervalares e não versões intervalares dos algoritmospontuais
Considerações Finais (2)
Conclusão
Considerações Finais (1)
Considerações Finais (2)
Considerações Finais (3)
Trabalhos Futuros
Publicações
Obrigado...
Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 48
Referente aos Números Fuzzy, pode-se dizer que:
� A representação, por ser de forma gráfica, é intuitiva para ainterpretação
� Para a geração dos resultados Fuzzy não necessitou-se de grandeprocessamento computacional, utilizou-se apenas uma bibliotecafree para a geração dos gráficos
� Através dos Números Fuzzy, foi possível tratar o erro ocasionadopela depreciação dos equipamentos de medição, além de tratar oerro inerente de medição do equipamento
Considerações Finais (3)
Conclusão
Considerações Finais (1)
Considerações Finais (2)
Considerações Finais (3)
Trabalhos Futuros
Publicações
Obrigado...
Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 49
Sobre a biblioteca C-XSC:
� Pode-se combinar qualquer linha de código do C-XSC com linhasde código do C++. Os programas utilizando o C-XSC semprefornecem os mesmos resultados numéricos em computadores comdiferentes compiladores C++
� Além de tratar os erros dos equipamentos de medição e variaçãodo fluxo de potência no tempo, foi possível também tratar eventuaiserros que possam acontecer por arredondamentos erepresentações da mantissa do computador
Trabalhos Futuros
Conclusão
Considerações Finais (1)
Considerações Finais (2)
Considerações Finais (3)
Trabalhos Futuros
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Obrigado...
Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 50
� Desenvolvimento de uma interface gráfica para o ambiente,possibilitando especificar diversas variáveis que atualmente estãodefinidas no código, como por exemplo, tolerâncias para o processoiterativo, número máximo de iterações, fator de carga e etc
� Utilização de Números Fuzzy Intervalares
� Aperfeiçoamento dos algoritmos, visando diminuir o tempo deresposta
� Simulação em outros sistemas reais de grande porte
� Desenvolver o algoritmo para ser executado em clusters decomputadores
Publicações
Conclusão
Considerações Finais (1)
Considerações Finais (2)
Considerações Finais (3)
Trabalhos Futuros
Publicações
Obrigado...
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� Artigo completo, no ano de 2007, no XXX CNMAC (CongressoNacional de Matemática Aplicada e Computacional), realizado emFlorianópolis - SC. Este artigo apresentou o uso da MatemáticaIntervalar no fluxo de potência
� Submeteu-se um artigo completo para a revista TEMA (Tendênciasem Matemática Aplicada e Computacional), com algumasmodificações no artigo apresentado no XXX CNMAC
� Dois resumos para congressos internacionais foram aceitos. Umpara o 16th PSCC (Power Systems Computation Conference), ondefoi apresentado a abordagem do fluxo de potência em umdeterminado período de tempo. E outro resumo foi aceito para o10th PMAPS (Probabilistic Methods Applied to Power Systems),onde é abordado o fluxo de potência usando a MatemáticaIntervalar e Números Fuzzy
Obrigado...
Conclusão
Considerações Finais (1)
Considerações Finais (2)
Considerações Finais (3)
Trabalhos Futuros
Publicações
Obrigado...
Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 52
Técnicas Matemático-Computacionais para o
Tratamento de Incertezas Aplicadas ao
Problema do Fluxo de Potência em Sistemas
de Transmissão de Energia Elétrica
Contato: [email protected]