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10. Análise de Fourier usando DFT
10.1. Introdução
Análise de Fourier : Avaliação explícita daTransformada de Fourier (sinais limitados e amostrados)
Na verdade o que se deseja é: TDFTTransformada de Fourier para Sinais Discretos
No entanto o que é realmente realizado é a : DFTTransformada Discreta de Fourier
DFT é uma amostragem da TDFT
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10.1 Análise de Fourier usando DFT
Diversas aplicações: - Análise, Síntese e Codificação de Voz - Sinais de Radar por efeito Doppler - Avaliação de falhas mecânicas – motores - Análise de harmônicos da rede – cos() - Análise de imagens (bordas, ruídos,etc) - Modulação – Telecomunicações - etc ... ... ...
A análise de Fourier de sinais contínuos envolve:
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Sinal contínuo a ser analisado.
Filtro de Anti-aliasing
Sinal filtrado – espectro limitado.
Sinal filtrado amostrado.
Resposta em frequência da Janela.
Espectro do Sinal Janelado (convolução periódica) DFT do sinal janelado (amostragem)
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10.2. DFT de sinais sinusoidais
Como vimos na aula passada:
Se o número de amostras do sinalsinusoidal não for tal que haja umnúmero inteiro de ciclos amostradoshá o efeito de espalhamento espectral
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10.2.1. Efeito do Janelamento
Consideremos um sinal contínuo composto por duas componentes:
0 0 0 1 1 1( ) cos coscS t A t A t
E sua amostragem ideal (sem aliasing e erros de quantização)
0 0 0 1 1 1[ ] cos cosx n A n A n
Onde : T
A sequência janelada será:
0 0 0 1 1 1[ ] [ ]cos [ ]cosv n A w n n A w n n
Cujo espectro, convolução de W() e X(). É:
0 0
1 1
0 00 0
1 11 1
( )2 2
2 2
j j
j j
A AV e W e W
A Ae W e W
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Leakage ou Vazamento : redução da amplitude das componentes devido à iteração de fase das duas componentes.
Ex.:10.3
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A resolução de frequência é definida pela largura do lóbuloprincipal da janela. Ajustar L tamanho da Janela
O leakage é definido pela relação entre as amplitudes dolóbulo principal e os secundários. Tipo da Janela
Exemplo: Janela Kaiser
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10.2.2. Efeito da Amostragem do Espectro
Ex.10.5:2 2
cos 0.75cos , 0 63[ ] 16 8
0,
n n nv n
outros
v[n] zero-padding
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Ex.10.6: uso da janela de Kaiser
2 4[ ] [ ]cos 0.75 [ ]cos
14 15K Kv n w n n w n n
=5.48 Escolha: Lóbulo lateral com –40dB
0.401ml
Como:4 2
0,38915 14
Logo a janela aindaconsegue distinguiras 2 componentes
Largura do lóbulo principal
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Porém, reduzindo para L=32
Já não se consegue perceberos dois picos.
0.815ml
Aumentar a resoluçãoda DFT resolve??
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Ex.: 10.7 Usando zero-padding no sinal anterior para fazera DFT de 64 pontos.
N=32
N=64
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N=128
N=1024
DTFT estimadado sinal com L=32
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DFT N=1024L=32
Ex.:10.8
L=42
L=54
L=64
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10.3. Transformada de Fourier Dependente do Tempo
Até agora consideramos que os sinais eram estacionáriosno tempo, isto é, as propriedades dos sinais não variavamdo início ao fim da janela.
No entanto a maioria dos sinais naturais não sãoestacionários. Ex.: Voz, música, imagem, vídeo.
Nestes casos as propriedades espectrais dos sinaisvariam com o tempo. Necessitamos de uma ferramentacapaz de fazer esta análise.
Short-Time Fourier Transform: STFTou Transformada de Fourier dependente do tempo.
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[ , ) [ ] [ ]. j m
m
X n x n m w m e
A transformada de Fourier dependente do tempo de umsinal x[n] é definida como:
Onde:n: amostra temporal (discreta): Frequência (Contínua: análoga ao , porém dependente do tempo)w[n]: Janela
Logo X[n,) é uma função de duas variáveis, 2-D
Pode ser vista como a Transformada de Fourier do sinaldeslocado no tempo x[n+m] janelado por w[m].
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Ex.: 10.9
20[ ] cosx n n 6
0 2 7.5 10
Espectrograma:
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10.5. Análise de Fourier de Sinais Não-Estacionários
Sinais Estacionários: Sinais cujas propriedades estatísticas (momentos) não se alteram com o tempo.
A magnitude da Transformada de Fourier não se alterano tempo, apenas a fase das componentes.
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Exemplo de aplicação: Análise de Sinais de Voz
- Sons Vozeados: A E I O U- Sons Fricativos: X, S - Sons Fricativo-Vozeados: V, F, Z- Sons explosivos: B, P
Formantes: Frequências naturais de ressonânciadas cavidades que compõe o trato vocal.
Faixa de frequências: 50 a 15kHz (20kHz mulheres e crianças)Porém: mantém alta inteligibilidade mesmo limitada 3kHzTelefonia: considera-se 300Hz a 3400kHz, usa-se fs=8kHz
O sistema vocal pode ser pensado como um sistema varianteno tempo. E a voz como a resposta desse sistema à uma entradatrem de pulso quase-periódico (vozeados) ou ruído branco (fricativos).
A voz pode ser considerada um sinal estacionário em janelas de15ms a 20ms.
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Mostrar: SpectroLab
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10.6. Análise de Fourier de Sinais Randômicos
Sinais randômicos (estocásticos): Sinais que não possuem uma formulação matemática definida, porém podem ser caracterizados por medidas estatísticas (momentos).
1
0
1ˆ [ ]
L
xn
m x nL
Média:
Variância: 1
22'
0
1ˆ ˆ[ ]
L
x xn
x n mL
Estas são estimativas das verdadeiras varáveisbaseados em L amostras. A estimativa tende ao valorverdadeiro a medida que L
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Problema mais comum: Como estimar a densidade Espectral de Potência de um sinal randômico contínuo ?
Podemos estimar através do Espectro do sinal amostrado e janeladoAtravés da Relação:
( )cs t( )ssP
1
0
[ ] [ ]L
j n
n
V w n x n e
[ ] [ ] [ ]v n x n w n
21( ) ( )I V
LU
Se w[n] é a Janela Retangular I() é dito periodogramaSe w[n] é outra janela I() é dito periodograma modificado
Usando a DFT para calcular o espectro V() temos:
21( ) [ ]kI V k
LU
1
2
0
1[ ]
L
n
U w nL
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Cuidado no cálculo do periodograma amostrado I(k):
- Se o sinal x[n] possuir um nível DC (média não nula), este deve ser retirado de modo a não obscurecer possíveis baixas frequências existentes, devido ao leakage. No entanto demostra-se que:
2( ) ( )xxVar I P
Não é um estimador consistenteuma vez que a variância não tende a zeroapenas com o incremento da Janela
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Ex.: Ruido brancodistribuição uniforme.
Idealmente:2( ) 1xx xP
212 (2 / )
0
1 1[ ] ( ) [ ] [ ] [ ].
Ljkn N
kn
I k I V k w n x n eL L
Periodogramascalculados por:
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Um estimador consistente é a média de K periodogramas:
21( ) ( )xxVar I P
K
Uma vez que a variância tente a zero com o aumento de K
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Ex.: 0[ ] cos [ ]x n A n e n
e[n] ruído branco de distribuição uniforme com média zero e variância unitária
A=0.5 0=2/21 e fase randômica 0 <2
3 [ ] 3e n
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10.7. Analise espectral de sinais randômicos usando a função de autocorrelação.
Baseia-se no Princípio que:
A Densidade Espectral de Potência de um Sinal podeser calculada como a Transformada de Fourier da função de autocorrelação do sinal.
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Ex.1: Deseja-se analisar em frequência um sinal estacionáriocuja frequência máxima é 1.25kHz, com resolução de 5Hz. a)Qual a taxa de amostragem mínima a ser utilizada?b)Quantas amostras necessito adquirir?
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a) Mínima freq. de amostragem:Taxa de NyquistFs>2*1.25kHz Fs>2.5kHzLogo
sk
Ts 4005.2
1
b) P/ resolução de 5Hz
sToTo
2.051
Tamanho da janela:
Logo necessito:
500400
2.0 N
T
ToN
s Uso N=512 p/ Radix-2 FFT
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Ex.2: Um certo processador de FFT tem uma capacidademáxima de computar FFT 2048 pontos e o tempo requeridopara carregar e computar um espectro é de 200ms. O processador atua em tempo real, e uma memóriaauxiliar é utilizada para fazer a aquisição enquanto a FFTe computada.a) Qual a mais alta frequência que pode ser resolvida?b) Qual a resolução em frequência obtida?
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Sistema processa/captura 2048 amostras em 200ms, logoO período de amostragem é:
kHzfssm
Ts 24.1065.972048
200
a) Maior frequência resolvível: kHzfs
fh 12.52
b) Resolução em frequência: HzmTo
fo 5200
11