te 091467 teknik numerik sistem...
TRANSCRIPT
![Page 1: TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1463/mod_resource/content/... · 2013. 1. 23. · TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear. BidangStudi TeknikSistemPengaturan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052616/60971a5df22c9106cf380e28/html5/thumbnails/1.jpg)
Trihastuti Agustinah
TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear
Bidang Studi Teknik Sistem PengaturanJurusan Teknik Elektro - FTIInstitut Teknologi Sepuluh Nopember
![Page 2: TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1463/mod_resource/content/... · 2013. 1. 23. · TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear. BidangStudi TeknikSistemPengaturan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052616/60971a5df22c9106cf380e28/html5/thumbnails/2.jpg)
O U T L I N E
2. Teori
3. Contoh
4. Simpulan
5. Latihan
1. Objektif
![Page 3: TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1463/mod_resource/content/... · 2013. 1. 23. · TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear. BidangStudi TeknikSistemPengaturan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052616/60971a5df22c9106cf380e28/html5/thumbnails/3.jpg)
Mahasiswa mampu:
1. Menghitung eigenvektor generalisasi untukbeberapa eigenvalue real sama
2. Mentransformasi matriks yang memilikibeberapa eigenvalue real sama ke dalam bentukJordan
Contoh Simpulan LatihanObjektif Teori
Tujuan Pembelajaran
![Page 4: TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1463/mod_resource/content/... · 2013. 1. 23. · TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear. BidangStudi TeknikSistemPengaturan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052616/60971a5df22c9106cf380e28/html5/thumbnails/4.jpg)
Bentuk Jordan digunakan untuk mendapatkan
bentuk matriks diagonal bila transformasi
similaritas biasa tidak dapat dilakukan. Bentuk
Jordan terjadi bila matriks nonsingular memiliki
eigenvalue sama.
Simpulan LatihanTeori Contoh
Pendahuluan
Objektif
![Page 5: TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1463/mod_resource/content/... · 2013. 1. 23. · TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear. BidangStudi TeknikSistemPengaturan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052616/60971a5df22c9106cf380e28/html5/thumbnails/5.jpg)
Teori
Generalisasi Eigenvalue
Pers. karakteristik via generalisasi eigenvalue
Ax1 = λix1
Ax2 = λix2 + x1
Ax3 = λix3 + x2
Axn = λixn + xn-1 (A– λiI)xn = xn-1
…
Simpulan LatihanContohObjektif
![Page 6: TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1463/mod_resource/content/... · 2013. 1. 23. · TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear. BidangStudi TeknikSistemPengaturan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052616/60971a5df22c9106cf380e28/html5/thumbnails/6.jpg)
Objektif Teori
Generalisasi Eigenvalue (dalam perkalian matriks)
Pers. karakteristik via generalisasi eigenvalue
= −
i
i
i
i
i
nn
λλ
λλ
λ
00001000
00000100001
][ 121
xxxx
][ 121 nnA xxxx −
Simpulan LatihanContoh
![Page 7: TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1463/mod_resource/content/... · 2013. 1. 23. · TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear. BidangStudi TeknikSistemPengaturan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052616/60971a5df22c9106cf380e28/html5/thumbnails/7.jpg)
Objektif Simpulan LatihanTeori Contoh
Bentuk Jordan
Bentuk Jordan untuk beberapa eigenvalue sama
J = M -1AM
dengan M merupakan matriks eigenvektor
Submatriks Ji disebut blok Jordan
Bentuk Jordan: matriks diagonal blok
J = diag(J1, J2, …, Jp)
![Page 8: TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1463/mod_resource/content/... · 2013. 1. 23. · TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear. BidangStudi TeknikSistemPengaturan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052616/60971a5df22c9106cf380e28/html5/thumbnails/8.jpg)
Contoh
Contoh 1 (1)
Dapatkan bentuk Jordan untuk matriks
−=
4112
A
Pers. karakteristik
0)3(41
12det)det( 2 =−=
−−−
=− λλ
λλIA
Eigenvalue: λ1,2 = 3
Objektif Teori Simpulan Latihan
![Page 9: TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1463/mod_resource/content/... · 2013. 1. 23. · TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear. BidangStudi TeknikSistemPengaturan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052616/60971a5df22c9106cf380e28/html5/thumbnails/9.jpg)
Contoh
Contoh 1 (2)
Sistem homogen:
041
12
2
1 =
−−−
xx
λλ
Generalisasi eigenvektor:
−=
−−−
11
4112
2
1
xx
λλ
=
01
2x
−=
11
1x
−=
−−11
1111
2
1
xx
−−011011
000011rref
Eigenvektor untuk λ=3
−−−111111
000111rref
Objektif Teori Simpulan Latihan
![Page 10: TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1463/mod_resource/content/... · 2013. 1. 23. · TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear. BidangStudi TeknikSistemPengaturan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052616/60971a5df22c9106cf380e28/html5/thumbnails/10.jpg)
Contoh
Contoh 1 (3)
Matriks eigenvektor dan invers-nya:
−=
0111
M
Bentuk Jordan dari matriks A:
=−
11101M
−
−
=−
0111
4112
11101AMM
=
−
−
=3013
0111
3341
J
Objektif Teori Simpulan Latihan
![Page 11: TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1463/mod_resource/content/... · 2013. 1. 23. · TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear. BidangStudi TeknikSistemPengaturan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052616/60971a5df22c9106cf380e28/html5/thumbnails/11.jpg)
Contoh
Contoh 2 (1)
Dapatkan eigenvalue, eigenvektor dan bentuk Jordan untuk matriks
−−−−
=
718208100001000010
A
Objektif Teori Simpulan Latihan
![Page 12: TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1463/mod_resource/content/... · 2013. 1. 23. · TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear. BidangStudi TeknikSistemPengaturan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052616/60971a5df22c9106cf380e28/html5/thumbnails/12.jpg)
Contoh
Contoh 2 (2)
Pers. karakteristik
Eigenvalue: λ1 = −1 λ2,3,4 = −2
0)1()2( 3 =++ λλ
0111
011222
02314622
0485181610228201871
−−
−−−
−−−−
−−−−−
0820187
7182081000
010001
234 =++++=
+−
−−
=− λλλλ
λ
λλ
λ AI
Objektif Teori Simpulan Latihan
![Page 13: TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1463/mod_resource/content/... · 2013. 1. 23. · TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear. BidangStudi TeknikSistemPengaturan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052616/60971a5df22c9106cf380e28/html5/thumbnails/13.jpg)
Contoh
Contoh 2 (3)
Sistem homogen:
=
−−−−−−
−−
=−
0000
718208100010001
)(
4
3
2
1
1
xxxx
IA
λλ
λλ
λ x
=
−
0000
0000110010101001
4
3
2
1
xxxx
λ1= -1
TTxxxx ]1111[][ 43211 −−==x
=
−−−− 0000
618208110001100011
4
3
2
1
xxxx
Objektif Teori Simpulan Latihan
![Page 14: TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1463/mod_resource/content/... · 2013. 1. 23. · TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear. BidangStudi TeknikSistemPengaturan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052616/60971a5df22c9106cf380e28/html5/thumbnails/14.jpg)
Contoh
Contoh 2 (4)
=
−
0000
0000100010001
4
3
2
1
214181
xxxx
λ2 = -2
TT ]15.025.0125.0[]1[ 21
41
81
2 −−=−−=x
Sistem homogen:
=
−−−−−−
−−
=−
0000
718208100010001
)(
4
3
2
1
1
xxxx
IA
λλ
λλ
λ x
=
−−−− 0000
518208120001200012
4
3
2
1
xxxx
Objektif Teori Simpulan Latihan
![Page 15: TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1463/mod_resource/content/... · 2013. 1. 23. · TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear. BidangStudi TeknikSistemPengaturan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052616/60971a5df22c9106cf380e28/html5/thumbnails/15.jpg)
Contoh
Contoh 2 (5)
TT ]025.025.01875.0[]0[ 41
41
163
3 −−=−−=x
Generalisasi eigenvektor:
(A-λI)x3 = x2
−
−
=
−−−−−−
−−
1718208100010001
21
4181
4
3
2
1
xxxx
λλ
λλ
−−−−−
−
1518208120001200012
214181
−−
−
00000100010001
41
21
41
41
163
81
Objektif Teori Simpulan Latihan
![Page 16: TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1463/mod_resource/content/... · 2013. 1. 23. · TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear. BidangStudi TeknikSistemPengaturan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052616/60971a5df22c9106cf380e28/html5/thumbnails/16.jpg)
Contoh
Contoh 2 (6)
TT ]0125.01875.01875.0[]0[ 81
163
163
4 −−=−−=x
Generalisasi eigenvektor:
(A-λI)x4 = x3
−−−−−
−
0518208120001200012
4141
163
−−
−
00000100010001
81
21
163
41
326
81
−
−
=
−−−−−−
−−
0718208100010001
4141
163
4
3
2
1
xxxx
λλ
λλ
Objektif Teori Simpulan Latihan
![Page 17: TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1463/mod_resource/content/... · 2013. 1. 23. · TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear. BidangStudi TeknikSistemPengaturan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052616/60971a5df22c9106cf380e28/html5/thumbnails/17.jpg)
Contoh
Contoh 2 (7)
Matriks M dan invers-nya
−−−−
−−−−
=
0011125.025.05.01
1875.025.025.011875.01875.0125.01
M
−−−
−−−−
=−
8406432412802612816128
1M
Objektif Teori Simpulan Latihan
![Page 18: TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1463/mod_resource/content/... · 2013. 1. 23. · TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear. BidangStudi TeknikSistemPengaturan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052616/60971a5df22c9106cf380e28/html5/thumbnails/18.jpg)
Contoh Simpulan Latihan
Contoh 2 (8)
Bentuk Jordan untuk matriks A:
),1diag(
2000120001200001
21 JJAMM −==
−−
−−
=−
Objektif Teori
![Page 19: TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1463/mod_resource/content/... · 2013. 1. 23. · TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear. BidangStudi TeknikSistemPengaturan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052616/60971a5df22c9106cf380e28/html5/thumbnails/19.jpg)
Contoh
Contoh 2 (a)
Sistem homogen:
=
+−
−−
=−
0000
718208100010001
)(
4
3
2
1
1
xxxx
AI
λλ
λλ
λ x
=
−
0000
0000110010101001
4
3
2
1
xxxx
λ1= -1
TTxxxx ]1111[][ 43211 −−==x
=
−−−−
−−
0000
618208110001100011
4
3
2
1
xxxx
Objektif Teori Simpulan Latihan
![Page 20: TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1463/mod_resource/content/... · 2013. 1. 23. · TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear. BidangStudi TeknikSistemPengaturan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052616/60971a5df22c9106cf380e28/html5/thumbnails/20.jpg)
Contoh
Contoh 2 (b)
=
−
0000
0000100010001
4
3
2
1
214181
xxxx
λ2 = -2
TT ]15.025.0125.0[]1[ 21
41
81
2 −−=−−=x
=
+−
−−
=−
0000
718208100010001
)(
4
3
2
1
2
xxxx
AI
λλ
λλ
λ x
Sistem homogen:
=
−−−−
−−
0000
518208120001200012
4
3
2
1
xxxx
Objektif Teori Simpulan Latihan
![Page 21: TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1463/mod_resource/content/... · 2013. 1. 23. · TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear. BidangStudi TeknikSistemPengaturan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052616/60971a5df22c9106cf380e28/html5/thumbnails/21.jpg)
Contoh
Contoh 2 (c)
TT ]025.025.01875.0[]0[ 41
41
163
3 −−=−−=x
Generalisasi eigenvektor:
(λI-A)x3 = x2
−−−−−
−−−
1518208120001200012
214181
−−
00000100010001
41
21
41
41
163
81
−
−
=
+−
−−
1718208100010001
21
4181
4
3
2
1
xxxx
λλ
λλ
Objektif Teori Simpulan Latihan
![Page 22: TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1463/mod_resource/content/... · 2013. 1. 23. · TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear. BidangStudi TeknikSistemPengaturan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052616/60971a5df22c9106cf380e28/html5/thumbnails/22.jpg)
Contoh 2 (d)
TT ]0125.01875.01875.0[]0[ 81
163
163
4 −−=−−=x
Generalisasi eigenvektor:
(λI-A)x4 = x3
−=
−−−−
−−
0518208120001200012
4141
163
4
3
2
1
xxxx
−−−−−
−−−
0518208120001200012
4141
163
−−
00000100010001
81
21
163
41
326
81
Contoh Simpulan LatihanObjektif Teori
![Page 23: TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1463/mod_resource/content/... · 2013. 1. 23. · TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear. BidangStudi TeknikSistemPengaturan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052616/60971a5df22c9106cf380e28/html5/thumbnails/23.jpg)
Bentuk Jordan dapat digunakan untuk mendapatkanmatriks diagonal dari matriks nonsingular bila:
memiliki beberapa eigenvalue real sama
transformasi similaritas biasa tidak dapatdilakukan.
Simpulan
Bentuk Jordan
Objektif Teori Contoh Latihan
![Page 24: TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1463/mod_resource/content/... · 2013. 1. 23. · TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear. BidangStudi TeknikSistemPengaturan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052616/60971a5df22c9106cf380e28/html5/thumbnails/24.jpg)
Dapatkan bentuk Jordan untuk matriks A berikut:
Soal Latihan
−−=
131041012
A
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
![Page 25: TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1463/mod_resource/content/... · 2013. 1. 23. · TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear. BidangStudi TeknikSistemPengaturan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052616/60971a5df22c9106cf380e28/html5/thumbnails/25.jpg)
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan