HYPATIA REVISTA MATEMÁTICA

Melancolía I de Alberto Durero 1514

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICASI.E.S. BARRIO DE BILBAO

MAYO 2006

Aquí está de nuevo Hypatia. Esta vez el tema que hemos escogido es la apasionante Historia de las Matemáticas. Te sorprenderá ver que muchos de los resultados que estudias en clase de matemáticas ya eran conocidos hace más de 3000 años. Sin embargo, la matemática es una ciencia en constante desarrollo y expansión pues, como dijo el prolífico matemático húngaro Paul Erdös, “La matemática es la única actividad humana infinita. Es concebible que la humanidad pueda llegar a conocerlo todo en física o biología, pero lo cierto es que nunca será capaz de descubrirlo todo en matemáticas, porque el tema es infinito. Los propios números son infinitos.”

De nuevo hemos conseguido magníficos colaboradores para nuestra revista fuera del departamento de matemáticas del instituto. Queremos agradecer en primer lugar a Jonás Fuentes León, alumno de 3º ESO del centro, por su excelente explicación del problema de las torres; a Fernando Muñoz, profesor de Ciencias Sociales de nuestro instituto, por su reseña bibliográfica; a Nieves Zuasti, profesora de matemáticas del IES La Poveda, por sus biografías de mujeres matemáticas y a Esteban Serrano Marugán, profesor de matemáticas del IES África, por su extensísima e interesante colección de problemas históricos.

El departamento de matemáticas ha adquirido a lo largo del curso una buena cantidad de libros de divulgación para la biblioteca del centro. Los hemos clasificado por contenido para facilitaros la elección. Esperamos que sean de vuestro interés y que disfrutéis con su lectura.

Por otra parte, el Concurso de problemas llega a su fin. Aunque sabemos que en esta época del curso estáis cansados y llenos de exámenes, esperamos que encontréis un ratito para dedicárselo a la última entrega del concurso. ¡Ánimo!

EL CRUCIGAMA DE HYPATIASacado de http://redescolar.ilce.edu.mx/. Te recomendamos esta página, ¡visítala!

HORIZONTALES1. Beatriz es 8 cm más alta que Jaime. Toña es 12 cm más baja que Beatriz. Jaime mide 1metro y 25cm. ¿Cuántos centímetros mide Toña? 3. De todos los números enteros entre 10 y 100 ¿Cuántos tienen el dígito 5?7. Una niña en un examen se puso muy nerviosa y en un problema en el que se le pedía que dividiera entre 4 un número lo que hizo fue restar 4. Su resultado fue 48, si en lugar de restar, hubiera dividido ¿cuál hubiera sido su resultado?8. El cuadrado de la figura tiene un área de 36 cm2 ¿Cuál es el radio del círculo inscrito?

9. Coloca los números 1,2,3,4,5 en la figura de manera que los números de la fila y de la

columna sumen 8 ¿Cuál es el número que va en el cuadrito del

centro?10. ¿Cuántos segundos hay en una hora y 24 minutos? 11. ¿Cuántas de estas afirmaciones son verdaderas?

302115 =÷ 5

2139

57 =×

6,02,03,0 =× 11,01,001,0 =×

71

91 < 1,001,0 < 2

143 >

VERTICALES1. ¿Cuántos cuadrados hay en este dibujo? 2. ¿Cuántos minutos hay entre las 11:41 y las 14:02? 4. La fecha 8 de noviembre de 1988 tiene algo de especial. Si la escribimos 8-11-88, es fácil darse cuenta de que el día (8) multiplicado por el mes (11) da como resultado el año (88) ¿Cuántas fechas que cumplieran esta propiedad hubo en 1990?5. ¿Cuánto suman los tres números que faltan en esta suma?6. ¿Cuál es el ángulo que forman las manecillas de un reloj si son las 12:16? 7. En este pentágono se han trazado dos de sus diagonales y ha quedado dividido en tres regiones. Si dibujas todas las diagonales ¿en cuántas regiones quedará dividido el pentágono?

12. ¿Cuánto vale el ángulo A?

Una pista: La suma de todas las cifras de la solución es múltiplo de 23

r

36ºA

80º

PROBLEMAS HISTÓRICOS

Anónimo egipcio. Problema 30 del Papiro de Ahmes. En torno al 2000 a.C.

Una cantidad y sus dos tercios y su mitad y su séptima parte juntas hacen 33. Calcúlese dicha cantidad.

Anónimo babilónico. En torno al 1700 a.C. ¡Ya conocía el teorema de Pitágoras (550 a. C.)!

Una viga de longitud 1/2 de unidad está apoyada en la pared, y se pregunta cuánto se alejará de la base de la pared el pie de la viga si el extremo superior ha descendido 1/10 de unidad.

Problema de la corona de Arquímedes. 287 - 212 a.C.

Hierón, rey de Siracusa, mandó hacer una corona de oro que pesara 7.465 gramos. Hecha la corona, el rey sospechó que no era oro todo lo que relucía, y que la corona contenía algo de plata. Para averiguarlo, su amigo Arquímedes sumergió la corona en agua y ésta perdió 467 gramos de su peso. Sabiendo que el oro pierde en el agua el 5,2% de su peso, y que la plata pierde el 9,5% de su peso. ¿Qué cantidades de oro y plata componían la corona?

Anónimo chino. Chui-chang suan-shu (Los Nueve Capítulos sobre el Arte matemático). 250 a.C. Esta importante obra china incluye cerca de 250 problemas de todo tipo.

Varias personas compran juntas un determinado artículo. Si cada persona pagara 8 monedas sobrarían 3 monedas; y si cada una pagase 7 monedas, faltarían 4. ¿Cuántas personas son y cuál es el precio del artículo?

Alcuino de Cork. Matemático y pedagogo inglés del siglo VIII. Escribió obras de entretenimiento matemático para los jóvenes.

Una liebre está a 150 pasos de un perro que comienza a perseguirla. Si el perro recorre 10 pasos cada vez que la liebre da 6, ¿en cuántos pasos cogerá el perro a la liebre?

Anónimo árabe. Siglo XII. Puedes encontrar este y otros muchos problemas de tradición árabe en el magnífico libro El hombre que calculaba.

Dos pastores tienen 3 y 5 panes respectivamente. Llegó un caminante hambriento y les propuso comer sus panes a partes iguales. Los dos pastores aceptaron y se comieron los 8 panes entre los tres. Al terminar, el caminante agradecido les entregó 8 monedas. ¿Cómo han de repartirse los dos pastores las 8 monedas?

Baskhara. Siglo XII. Matemático hindú. Su obra más conocida es Lilavati, que es el nombre de su hija.

Bella muchacha de los ojos relucientes, dime tú, si conoces el arte de invertir, cuál es el número que multiplicado por tres, aumentado en tres cuartos del producto, dividido por siete, disminuido en un tercio del cociente, multiplicado por sí mismo, disminuido en 52, mediante extracción de la

raíz cuadrada, adición de ocho y división por 10, da por último el número dos.

Fibonacci. Liber Abaci. 1202.

Un hombre quiere atravesar un río con un lobo, una oveja y una col. En la orilla hay una barca, pero en la barca sólo cabe, además del hombre, una sola cosa más, o el lobo, o la oveja o la col. Pero al lobo le gustan las ovejas y a la oveja las coles, con lo que no podrán quedar solos en la misma orilla la oveja y el lobo, ni la oveja y la col. ¿Cómo debe efectuar el traslado de una orilla a otra?

Piero della Francesca (1416-1492) Italiano, uno de los

pintores más importantes del siglo XV, mucho menos

conocido en su vertiente matemática. En su Tratado del

ábaco plantea problemas como los siguientes:

Tenemos un pez que pesa 60 libras. La cabeza pesa

3/5 del peso de cuerpo y la cola pesa 1/3 de la

cabeza. Pregunto ¿cuánto pesará el cuerpo del pez?

Niccolo Tartaglia Matemático italiano de la primera mitad del siglo XVI.

¿Cuál es el menor número de pesas

diferentes que debemos usar para poder

pesar (en una balanza de dos platillos)

todos los pesos enteros comprendidos entre 1 libra y 40 libras?

Galileo. En su famosa obra Discurso en torno a dos nuevas

ciencias (1638) nos propone el siguiente problema:

Si se enrolla una hoja de papel en los dos sentidos

posibles se tienen dos cilindros distintos, ¿tienen o no

estos dos cilindros el mismo volumen?

Gauss. (Alemania, 1777-1855) Conocido como El Príncipe de las matemáticas, es un personaje tan importante que hasta aparecía en los billetes de 10 marcos alemanes.

Esta tarea la planteó su profesor en clase cuando Gauss apenas tenía 10 años. A los pocos segundos Gauss ya sabía el resultado. ¿Cómo lo hizo?

¿Cuánto vale la suma de todos los números naturales desde el 1 hasta el 100?

PROBLEMA DE LAS TORRESPor Jonás Fuentes León 3º A

¿Cuál es el mayor número de torres que se pueden poner en un tablero de ajedrez de forma que no se ataquen entre ellas y que dominen todo el tablero?El tablero de ajedrez esta formado por un cuadrado dividido en una cuadrícula de ocho por ocho. Las torres se mueven de forma horizontal y vertical.

•¿Cuántas líneas domina cada torre?Es lógico que cada torre domine dos líneas, una vertical y otra horizontal.

•Si colocamos varias torres sucesivamente en el tablero ¿Cuántas casillas del tablero domina cada torre que no estuvieran ya dominadas por las torres situadas anteriormente?

La verdad es que cada torre no domina el mismo número de casillas, así:La primera (la de la esquina):7+7+1=15La segunda: 6+6+1=13La tercera: 5+5+1=11 ….Se deduce que la siguiente dominará 9 pues cada torre domina 2 casillas menos que la anterior. Esto es porque si una casilla está ocupada por una torre o por su movimiento (líneas rojas) otra torre no puede dominarla. La secuencia de casillas dominadas independientemente es 15, 13, 11, 9, 7, 5, 3, 1Si a 64 le vas restando las casillas independientes que domina una torre, luego otra y otra hasta que no puedas restar más, obtendremos el número máximo de torres que dominan todo el tablero sin atacarse mutuamente. Si, al contrario, vas sumando las casillas independientes que domina cada torre, al llegar a las 64 casillas que forman el tablero, tendremos el número mínimo de torres.

64 – 15 = 49 16 – 7 = 9 15 48 + 7 = 5549 – 13 = 36 9 – 5 = 4 15 + 13 = 28 55 + 5 = 6036 – 11 = 25 4 – 3 = 1 28 + 11 = 39 60 + 3 = 6325 – 9 = 16 1 – 1 = 0 39 + 9 = 48 63 + 1 = 64

Ocho posibles restas y sumas en cada planteamiento. Observa que este razonamiento indica que menos de ocho torres no dominan todo el tablero (las restas), y que más de ocho necesariamente se atacan entre sí (las sumas). Así pues, el número mínimo y máximo de torres que podemos colocar, sin que se ataquen mutuamente y de modo que dominen todo el tablero, es ocho.

Ahora, piensa ¿Cuál es el mayor número de alfiles que se pueden poner en un tablero de ajedrez de forma que no se ataquen entre ellos y dominen el tablero?

LA MATEMÁTICA A TRAVÉS DE SUS PROBLEMAS

La historia de la matemática esta vinculada a la resolución de algunos problemas. “Tenemos delante un problema cuando desde la situación que estamos queremos llegar a otra, que conocemos con más o menos claridad, pero desconocemos el camino” (Miguel de Guzmán). Si aprendemos resolviendo problemas, además de aprender nuevos procedimientos, aprendemos conocimientos de nuevos campos del saber, desarrollamos una actitud científica que aumenta el conocimiento de la realidad y con ello, nuestra capacidad de elección y de actuación sobre la realidad.En la historia de la matemática la solución de los siguientes problemas usando exclusivamente la regla y el compás ha sido un estímulo continuo: • La Trisección del ángulo, dividir un ángulo

dado en tres partes iguales• La Duplicación del cubo, construir un cubo

de volumen el doble de uno dado• La Cuadratura del círculo, construir un

cuadrado que tenga igual área que un círculo dado.

Problema de la trisección del ángulo

Seguro que conoces la construcción geométrica que permite bisecar unángulo en dos ángulosiguales.

Dado el ángulo, con centro en el vértice O traza un arco de circunferencia que corta a los dos lados del ángulo en los puntos A y B. Con centro en estos puntos, traza sendos arcos del mismo radio arbitrario que se cortan en el punto C. La recta que une los puntos O y C divide al ángulo en dos ángulos iguales. Fíjate que los triángulos OAC y OBC tienen los lados correspondientes iguales, OA es igual a OB, AC es igual a BC, y el lado OC es común. Por tanto ambos triángulos son iguales, y en particular los ángulos correspondientes son iguales. En concreto, el ángulo AOC es igual al ángulo BOC, por tanto la recta OC es la bisectriz del ángulo de partida. Dado que

hemos sido capaces de realizar la construcción con regla y compás, parece natural pretender lo mismo para la trisección.La solución para un ángulo cualquiera arbitrario hoy sabemos que no es posible, pero se han conseguido varias soluciones generales si prescindimos de la limitación de usar solo la regla y el compás. Una de las primeras y más curiosas es la solución encontrada por Hipias de Elis, un sofista contemporáneo de Sócrates, que para resolver el problema inventó la curva que hoy conocemos como Trisectriz de Hipias. Desgraciadamente la curva no se puede construir con regla y compás.Fíjate en la figura y observa como se construye

de forma mecánica la curva. AB es un segmento que gira en el sentido de las agujas del reloj alrededor de A, a velocidad constante,

hasta llegar a la posición AD. El segmento horizontal BC a la vez se mueve paralelamente a sí mismo hacia abajo, también a velocidad constante, hasta alcanzar también la posición AD. Las dos velocidades se ajustan de forma que partiendo ambos segmentos a la vez, también lleguen ambos a la vez a la posición final. Si en un momento dado, el segmento AD está en la posición AD’, y en ese instante el segmento BC está en la posición B’C’, entonces el punto E’, intersección de AD’ y B’C’ es un punto de la Trisectriz. Es decir, la Trisectriz es la curva que determinan los puntos de intersección sucesivos de los segmentos AD y BC en su movimiento.Esta curva permite trisecar el ángulo, de una manera simple. Imagínate que quieres dividir en tres partes iguales el ángulo ; entonces construye la recta que pasando por A determina con la horizontal AD este ángulo. Sea esta la recta AD’. Esta recta corta a la trisectriz en el punto E’, si por él trazas una recta horizontal B’C’, cortará a la vertical AB en el punto B’. Ahora divide el segmento AB’ en tres partes iguales (¿sabes hacerlo usando el Teorema de Thales?). Escoge entonces el punto B’’ de

forma que AB’’ sea un tercio de AB’. Traza por el punto B’’ una recta horizontal B’’C’’. Esta recta corta a la trisectriz en el punto L. Pues bien, si unes A con L mediante una recta, esta recta forma con la horizontal AD un ángulo que es exactamente la tercera parte del ángulo de partida (¿sabrías argumentarlo?).

Problema de la duplicación del cubo.

Si te proponemos que construyas un cuadrado de área el doble de la de un cuadrado dado de lado a, cuya área es a2, seguro que sin dificultad descubrirás, utilizando el Teorema de

Pitágoras, que la diagonal del cuadrado mide a√2 y por tanto un cuadrado que tenga por lado esa diagonal tiene exactamente área 2a2, que es el doble de la del cuadrado de partida.El problema de la duplicación del cubo es la continuación natural de éste. Su origen en Grecia, según nos cuenta Eratóstenes (¿conoces algo que realizó esta persona que le ha granjeado fama eterna?), se asocia con la ciudad de Delos, sede de uno de los más famosos oráculos de la antigüedad. Los habitantes de Delos, bajo el azote de una peste, consultaron con el oráculo la forma de librarse de ella. El oráculo contestó que para ello debían construir un altar de la misma forma que el que tenía pero de volumen doble, que era de forma cúbica. Los habitantes construyeron un altar cúbico de lado el doble del que ya existía, pero comprobaron que el volumen no se había duplicado, sino multiplicado por ocho.Supón que tienes un cubo de lado a, su volumen es a3, luego el cubo que tenga volumen doble debe tener volumen 2 a3, y por tanto, su lado debe ser 3 32a , es decir 3 2a . Pero ¿como podemos construir el número 3 2 ? Recuerda que utilizando el Teorema de Pitágoras somos capaces de construir raíces cuadradas, por ejemplo √2 es la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos miden uno. Pero la cosa no es tan fácil para la

raíz cúbica. Hoy sabemos que el problema no se puede resolver usando sólo la regla y el compás. No obstante, los griegos encontraron una solución muy interesante.Hipócrates de Chío, el medidor de lúnulas, se dio cuenta de que si el cubo de partida tiene arista de longitud a, al introducir entre el número a y su doble 2a dos medias proporcionales, se puede resolver el problema, pues fíjate,

ay

yx

xa

2== .

Luego

==

axyayx22

2, luego

3322

22 axaxax =⇔=

Es decir el volumen del cubo de lado el número x, tiene precisamente volumen doble del cubo de partida.Fíjate que la solución que propone Hipias tiene una bella interpretación utilizando las curvas cónicas. En nuestro lenguaje analítico x2 = ay representa una parábola cuyo eje de simetría es el eje y, y su vértice está en el origen de coordenadas, siendo su parámetro a/2. De la misma forma, y2 = 2ax representa una parábola cuyo eje es ahora el eje x, y cuyo vértice está también en el origen de coordenadas, siendo ahora su parámetro a. La solución del problema propuesto es encontrar la abscisa de los puntos de intersección de las dos parábolas. Es decir, para duplicar el volumen de un cubo de lado a lo que tenemos que hacer es intersecar dos parábolas de ejes perpendiculares entre sí, con el mismo vértice, y de parámetros respectivos a y a/2. La medida del lado del cubo buscado es la distancia desde el punto de intersección de las parábolas al eje de la parábola de parámetro a/2. Desgraciadamente estos no se puede construir usando sólo la regla y el compás.

¿Sabrías explicas cómo?

Arquímedes recibió del rey Hierón el encargo de descubrir si los orfebres habían falsificado una corona de oro que él les había encargado. El rey les había dado una cantidad de oro puro para que forjaran la corona, pero al recibirla intuyó que los orfebres habían quitado parte del oro y lo habían sustituido por plata formando una aleación, pero, obviamente, el peso del conjunto seguía siendo el mismo. El rey pidió a Arquímedes que, sin dañar la corona, identificara si la pureza del oro en

ésta era inferior a la que él había proporcionado.Arquímedes lo meditó y se cuenta que, al tomar un baño y observar cómo su cuerpo desplazaba agua y parecía pesar menos, intuyó la solución. Se dice que salió corriendo desnudo por las calles gritando “Eureka” (“Lo encontré”, en castellano). Ante el rey, utilizando dos recipientes con agua, una balanza, la corona, y una cantidad de oro del mismo peso y pureza que la que el rey había proporcionado a los orfebres, resolvió el enigma. ¿Sabes explicar cómo lo hizo?

Una de carrera de caballos

Dos cosacos disfrutaban todos los días compitiendo en una carrera cabalgando sobre sus caballos. Con el tiempo, llegaron a aburrirse de lo igualado que era siempre el resultado. Con objeto de aumentar la emoción, decidieron competir ganando aquel cuyo caballo llegara último a la meta. Cuando dieron la salida, obviamente ninguno de los dos cosacos lanzó a correr a su montura. Un anciano cosaco que vio la situación pidió a los cosacos que se aproximaran. Éstos desmontaron de sus caballos y escucharon lo que el anciano les dijo al oído. Al retirarse el anciano, se volvió a dar la salida y en esta ocasión ambos cosacos lanzaron sus monturas a la carrera buscando la meta. ¿Qué dijo el anciano?

¿Eres capaz de medir?

Considera un triángulo equilátero y con centro en cada uno de sus vértices traza un arco de circunferencia que pase por los otros dos vértices. Así tenemos una pieza base. Considera una circunferencia de radio el lado del triángulo equilátero. ¿Cuántas piezas base se necesitan para cubrir por completo el círculo?

Mujeres matemáticaspor Nieves Zuasti

La historia de la ciencia que conocemos es una historia de hombres. Sin embargo, el conocimiento científico se acumula en un proceso lento de descubrimiento y las mujeres, aunque en clara desventaja pues no tenían acceso a los centros educativos o de investigación, también han contribuido a este proceso.Aquí te presentamos a algunas de estas mujeres. Ellas lucharon por sus ideales, algunas obtuvieron al fin plazas en universidades, pero todas hicieron sus aportes a las matemáticas,

muchos de ellos muy importantes.

EMILIE DE CHATELET (París 1706- 1749)Su origen aristocrático no le impidió volcarse en el trabajo científico. Adquirió un alto nivel de conocimientos en física, química y matemáticas, lo que hizo posible que tradujera al francés la obra cumbre de Newton, los Principia. Publicó estudios sobre óptica y la propagación de la luz y el fuego, en los que utilizaba los conceptos de límite, integración y derivación.

MARÍA GAETANA AGNESI (Bolonia 1719- 1799)Hija de un profesor de la Universidad de Bolonia, fue tan precoz que a los ocho años participaba en las reuniones científicas y culturales que su padre organizaba en casa. Podía expresarse en varios idiomas y con 17 años presentó una crítica sobre el tratado de cónicas de L´Hôpital. Una de sus aportaciones matemáticas más conocidas es la curva denominada “cúbica de Agnesi” que se considera una aproximación al espectro de la energía de los rayos X.

SOPHIE GERMAIN (París 1776- 1831)Tuvo que superar muchos obstáculos para cumplir su deseo de aprender matemáticas. Estudió con apuntes y libros prestados y utilizó pseudónimo para presentar sus trabajos. Envió a Gauss, el matemático más importante de la época, sus investigaciones sobre números primos, en especial sobre el Teorema de Fermat.El 8 de enero de 1816, la Academia de las Ciencias le concedió

una Medalla de Oro de Primera Clase, reconociendo su trabajo como el mejor de los presentados sobre “Vibraciones de superficies elásticas”. La invitaron a recoger el premio, pero ella rehusó, en protesta por haber sido excluida durante años de la comunidad científica por ser mujer.

EMMY NOETHER (Erlagen 1882 -1935)Una de las personalidades matemáticas más brillantes de los últimos tiempos, está considerada como la madre del álgebra. Colaboró con Einstein en EEUU, donde llegó huyendo de la persecución nazi. En el Congreso Internacional de Matemáticas de Zurich, la calidad del trabajo presentado por Emmy fue un acontecimiento importante. Los llamados anillos noetherianos figuran en todos los tratados de la matemática actual.

PROBLEMAS DEL CONCURSOTODOS LOS NIVELES

El concurso de problemas llega a su fin. Esta vez, para hacerte las cosas más fáciles, dejamos que seas tú quien elija dos problemas de entre los doce problemas históricos que te proponemos en las páginas 3 a 5. Debes entregar tus soluciones a los problemas escogidos antes del 10 de junio. ¡Mucha suerte!

Coloca los números del 1 al 9, sin repetir para llegar a los resultados indicados:

Matemáticas en forma de novelapor Fernando Muñoz

Hace unos años, en 1991, un profesor de filosofía, Jostein Gaarder, publicó en Noruega una novela de misterio en la que iba respondiendo de forma entretenida a preguntas típicas de la filosofía y que todos, incluidos muchos de sus alumnos, nos hemos hecho alguna vez como ¿quién soy? o ¿de dónde viene el mundo? El libro titulado El mundo de Sofía (editorial Siruela) se ha convertido en una novela clásica sobre la historia de la filosofía, tanto para jóvenes como para adultos.

Unos años más tarde, en 1998, apareció otro libro, esta vez en Francia, titulado El teorema del loro (editorial Anagrama), escrito por un matemático, profesor de historia de las ciencias en la Universidad de París, llamado Denis Guedj, que es una novela de lo más entretenido para aprender matemáticas, a través de una historia policíaca en la que la clave de los enigmas que se van planteando está en las matemáticas. Más en concreto, en las situaciones en las que se fueron encontrando los principales matemáticos de la historia y en la solución que dieron a dichos problemas. El resultado de todo ello es una novela de intriga y humor en la que se despliega una entretenida historia de las matemáticas.

Por otra parte, Peter Watson, en su magnífica Historia universal del pensamiento del siglo XX (editorial Debate), después de relatar cómo se produjeron algunos de los principales avances científicos de este siglo, mantiene que “todos tienen en común el hecho de que demostraron que la ciencia es una actividad desordenada, emocional, obsesiva y, en consecuencia, netamente humana. Lejos de ser una empresa calma, reflexiva y por completo racional, realizada por sujetos desapasionados cuyo principal interés es la verdad, la ciencia ha demostrado ser no muy diferente de otras actividades”. Y si a alguno le queda alguna duda, recuerde que el gran Newton, además de ser uno de los mayores científicos de todos los tiempos, era un gran teólogo y apasionado alquimista.

La ciencia, que por principio es interdisciplinar y, por tanto, mucho más rica, compleja y completa que cuando se especializa, se puede presentar de forma atractiva. Estos tres libros son un ejemplo.

+ x = 85– x +

– – = 3x – +

x + 3 = 31= = =12 1 10

1

1

4

4

1

4

1

= Faro = Agua = Bote

393

95

23

9

7

441

PIRÁMIDE: El número que aparece en cada casilla es la suma de los números de las dos casillas en las que se apoya, complétala.

LOS SIETE FAROS

Debes colocar doce botes de modo que desde cada faro, en vertical u horizontal pero no en diagonal, se vean tantos botes como indica el número de la casilla. Los botes no se pueden tocar entre sí ni a los faros ni en horizontal, ni en vertical ni en diagonal.

Cuadrados mágicos:Un cuadrado es mágico si la suma de los números de cada fila, columna y diagonal, es siempre la misma. Esta cantidad se llama constante mágica. Completa estos cuadrados mágicos de 3 x 3 teniendo en cuenta que:

•El segundo cuadrado está formado por los números 11 a 19. Suma todas las filas y piensa cuánto debe valer la constante mágica.

•En el tercer cuadrado la operación es el producto, no la suma.

.

LO SHUEl origen de los cuadrados mágicos es muy antiguo, anterior incluso a la era cristiana. Una leyenda china cuenta que alrededor del año 2200 a.C. el emperador Shu vio a las orillas del río Amarillo este cuadrado mágico grabado en el caparazón de una tortuga. ¿Serías capaz de descifrarlo?

Igualmente conocieron combinaciones de esta clase los indios, egipcios, árabes y griegos. A tales cuadrados, las diferentes culturas les han atribuido propiedades astrológicas y adivinatorias.

En el Renacimiento, los cuadrados mágicos se estudiaron desde el punto de vista matemático y varios científicos y artistas los usaron como ilustraciones para sus obras.

MELANCOLÍA IEn la esquina superior derecha del grabado de Durero que aparece en la portada hay un cuadrado mágico. En esta reproducción está muy borroso pero sabemos que está formado por los números 1 al 16. Averigua la constante mágica y complétalo.

Con posterioridad, el estudio de las propiedades de estos cuadrados, ya con carácter científico, atrajo la atención de grandes matemáticos como, Fermat, Pascal, Leibnitz, Euler, ... diríase que ningún matemático ilustre ha podido escapar a su hechizo.

Arquímedes Arquímedes (287 – 212 a.C.) es el mayor matemático de la antigüedad. Hijo de un astrónomo, nació en Siracusa, un asentamiento griego en la isla de Sicilia. Su juventud la pasó en Alejandría, donde recibió su educación. Aunque después volviera a Siracusa, siempre permaneció en contacto con Alejandría. Fue muy conocido en el mundo griego y admirado y respetado por todos sus contemporáneos.

Poseía una inteligencia sublime, mucha curiosidad y una gran habilidad mecánica pero, sobre todo, poseía una ingente capacidad de trabajo. Realizó contribuciones a la mecánica (descubrió el principio de flotación, las leyes de la palanca y calculó el centro de gravedad de diversos cuerpos), a la óptica y a la matemática (calculó áreas y volúmenes de diversos cuerpos por el método de aproximaciones sucesivas; calculó una muy buena aproximación del número π mediante una fracción y desarrolló unos excelentes métodos geométricos). Según él, la figura más bella sobre la que trabajó, es la de un cilindro recto que circunscribe a una esfera y tiene sus bases tangentes a ésta. A partir de ella, observó que el volumen de la esfera es 2/3 del volumen del cilindro circular recto que la circunscribe. En su época ya se sabía que sólo existían cinco poliedros regulares: los sólidos platónicos; ¿sabes cuáles son? Pero él consiguió sistematizar lo que hoy se conocen como poliedros semirregulares o sólidos arquimedianos: poliedros cuyas caras son dos tipos de polígonos regulares.

Construyó numerosísimas máquinas que le granjearon gran fama: el Tornillo de Arquímedes -para extraer agua de los pozos- un planetario que reproducía los movimientos del Sol, la Luna y los planetas moviendo el mecanismo con la fuerza del agua y utilizó la palanca para mover grandes pesos (”Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo” solía decir). Utilizando múltiples poleas compuestas, fue capaz de botar una galera desde tierra con tan solo la fuerza de un hombre.Es famosa su contribución a la defensa de Siracusa, cuando fue asediada por los romanos. Enclavó en los fondos marinos de la costa de Siracusa unos troncos, que levantaba a voluntad desde tierra cuando se acercaban los barcos romanos, con objeto de agujerearles

el casco. Para los barcos que pasaran la anterior defensa, construyó enormes grúas, usando palancas y poleas múltiples, con las que enganchaba los barcos que se acercaban a las murallas de la ciudad, los levantaba sobre el agua y los soltaba bruscamente rompiéndolos al impactar con el agua. Al retirarse los barcos para no caer en las grúas, usando espejos cóncavos, concentraba los rayos de Sol en sus velas y las incendiaba. Cuando por fin los romanos entraron en la ciudad, el general al mando dio la orden de que Arquímedes fuera capturado con vida y llevado a su presencia. Un soldado romano lo encontró trabajando sobre unas construcciones geométricas hechas en la arena y, al pedirle que le siguiera, Arquímedes contestó que cuando terminara sus razonamientos, ante lo que el soldado le mató. Nadie podía estar por encima de la ley romana. En su tumba se grabó la figura del cilindro y la esfera que tanto amaba.

28 26

25

22

19

13

16 13

6

1

1611 15

12

Dondequiera que haya un número está la

bellezaProclo

Aquí también hay varias soluciones

1 8 + 3

5

9

7

2

4

6

SOLUCIONES DE LA REVISTA ANTERIOR SOLUCIONES DE LA REVISTA ANTERIOR ¿DE QUIÉN ES EL RETRATO?

En el primer caso la foto es de su hijo. En el segundo, la foto es de su padre.

Cada ló·gi·co con su tema

Nombre País Año TemaFrege Alemán 1958 F. de la aritmética

Neumann Húngaro 1903 AxiomáticaGödel Checo 1906 IncompletitudTuring Inglés 1912 I. Artificial

EL PRESOLa pregunta es: ¿qué contestaría tu compañero si yo le preguntara cúal es la puerta hacia la libertad? No importa a que guardián se lo pregunte, ambos señalarán la puerta de la prisión, de modo que él debe salir por la contraria.

El Hotel InfinitoP1: P1: Porque hay una Porque hay una últimaúltima habitación, la habitación, la 100, ¿dónde iría el cliente de la 100?100, ¿dónde iría el cliente de la 100? P2: P2: El cliente de la habitación n pasará aEl cliente de la habitación n pasará a la habitación n + 20.la habitación n + 20.P3: P3: El cliente de la habitación n pasará aEl cliente de la habitación n pasará a la habitación 3n.la habitación 3n.

SUDOKU

8 3 2 6 9 1 5 7 4

5 1 4 7 2 3 9 8 6

9 6 7 8 4 5 2 1 3

2 7 6 3 1 8 4 9 5

4 9 8 5 7 2 3 6 1

3 5 1 4 6 9 8 2 7

1 8 5 2 3 6 7 4 9

7 2 9 1 5 4 6 3 8

6 4 3 9 8 7 1 5 2

Hay varias soluciones Hay varias soluciones

MONERÍASLa otra moneda sí era de 2 €

Porque, si tiene viuda,Porque, si tiene viuda, está muerto.está muerto.

Ambos estarán a la misma distancia pues están en el mismo lugar.

La esencia de las

matemáticas reside en su

libertad.George Cantor

Mejor que de nuestro juicio, debemos fiarnos

del cálculo algebraico.L. Euler.

00 2

Cómo es posible que la matemática, un producto del pensamiento humano

independiente de la experiencia, se adapte tan admirablemente a los objetos de la realidad.

Albert Einstein

No hay rama de la matemática, por

abstracta que sea, que no pueda

aplicarse algún día a los fenómenos del mundo real.

Nikolay Lobachevsky