technique des plans d’expériences
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Technique des Plans d’Expériences. 1. Introduction. Introduction . Exemple Concepts Plan 2 k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Technique des Plans d’Expériences
1
Plans d’Expériences
2
Introduction
Stratégie de recherche pour répondre à un certain nombre de questions : • Comment sélectionner les expériences à faire ? • Quelle est la meilleure stratégie pour :
• conduire le plus rapidement possible aux résultats espérés ?• éviter des expériences inutiles ?• apporter une bonne précision ?• modéliser et optimiser des phénomènes étudiés ?
Un plan d'expériences peut être utilisé comme une méthode d'optimisation, pour trouver une ou des solutions au problème posé, mais aussi comme une étape préliminaire à l’optimisation et a alors pour objectif le choix des variables à optimiser et des fonctions à prendre en compte dans une formulation mathématique classique pour résoudre le problème par une méthode de gradient par exemple.
Introduction. ExempleConceptsPlan 2k
. Concepts
. Effets
. Interaction
. Yates
. ExempleStatistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. ExemplePlan Frac.. Principe. Exemple
Plans d’Expériences Le problème des pesées
Le Problème des Pesées
Un résultat statistique est totalement dépendant de l’expérimentation. illustration par l’exemple de la pesée…
3
(Hotelling 1944)
Introduction. ExempleConceptsPlan 2k
. Concepts
. Effets
. Interaction
. Yates
. ExempleStatistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. ExemplePlan Frac.. Principe. Exemple
Plans d’Expériences La question et le matériel expérimental
• La questionDéterminer les masses de trois objets A, B et C en quatre pesées et avec un maximum de précision.
• Le matériel expérimentalUne balance à deux plateaux à équilibrer avec des poids.
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Introduction. ExempleConceptsPlan 2k
. Concepts
. Effets
. Interaction
. Yates
. ExempleStatistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. ExemplePlan Frac.. Principe. Exemple
Plans d’Expériences Les hypothèses
• Chaque pesée est entachée d’une erreur : Y = +
• L’ordre de grandeur de l’erreur de pesée est constant quelque soit l’objet à peser :
Variance = ²
• Les pesées ne sont pas liées entre elles :Covariance (Yi, Yj) = 0
• En l’absence d’objet sur la balance l’aiguille n’est pas forcément sur zéro. Il y a un « biais systématique ».
• Chaque pesée coûte 100€
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Introduction. ExempleConceptsPlan 2k
. Concepts
. Effets
. Interaction
. Yates
. ExempleStatistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. ExemplePlan Frac.. Principe. Exemple
Plans d’Expériences
On pèse un objet à la foisMatrice d’expérience
0 : l’objet n’est pas sur la balance1 : l’objet est sur le plateau de droite-1 : l’objet est sur le plateau de gauche
6
STRATEGIE 1
Introduction. ExempleConceptsPlan 2k
. Concepts
. Effets
. Interaction
. Yates
. ExempleStatistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. ExemplePlan Frac.. Principe. Exemple
Plans d’Expériences
Estimation des masses des objets
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STRATEGIE 1
Introduction. ExempleConceptsPlan 2k
. Concepts
. Effets
. Interaction
. Yates
. ExempleStatistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. ExemplePlan Frac.. Principe. Exemple
Plans d’Expériences
Quelle est la précision des mesures ?
8
STRATEGIE 1
Introduction. ExempleConceptsPlan 2k
. Concepts
. Effets
. Interaction
. Yates
. ExempleStatistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. ExemplePlan Frac.. Principe. Exemple
Plans d’Expériences Comment obtenir une meilleure précision ?
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Introduction. ExempleConceptsPlan 2k
. Concepts
. Effets
. Interaction
. Yates
. ExempleStatistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. ExemplePlan Frac.. Principe. Exemple
Plans d’Expériences
On pèse deux objets à la fois Matrice d’expérience
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STRATEGIE 2
Introduction. ExempleConceptsPlan 2k
. Concepts
. Effets
. Interaction
. Yates
. ExempleStatistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. ExemplePlan Frac.. Principe. Exemple
Plans d’Expériences
On pèse trois objets à la fois Matrice d’expérience
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STRATEGIE 3
Introduction. ExempleConceptsPlan 2k
. Concepts
. Effets
. Interaction
. Yates
. ExempleStatistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. ExemplePlan Frac.. Principe. Exemple
Plans d’Expériences
La première pesée est inversée Matrice d’expérience
12
STRATEGIE 4
Introduction. ExempleConceptsPlan 2k
. Concepts
. Effets
. Interaction
. Yates
. ExempleStatistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. ExemplePlan Frac.. Principe. Exemple
Plans d’Expériences Pourquoi la stratégie 4 est elle la meilleure ?
• Avec la quatrième stratégie la précision est 8 fois meilleure qu’avec la première sans pour autant augmenter le nombre d’essais,
• On comprend intuitivement qu’il n’est pas possible d’améliorer davantage la précision (tous les objets participent à chaque essai),
• La limite inférieure de la précision est ²/n où n désigne le nombre d’essais,
• On démontre que la précision est en relation directe avec la matrice tXX où X est la matrice d’expérience,
• Pour la stratégie optimale cette matrice vérifie la relation : tXX = nI où I est la matrice d’identité.
13
Introduction. ExempleConceptsPlan 2k
. Concepts
. Effets
. Interaction
. Yates
. ExempleStatistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. ExemplePlan Frac.. Principe. Exemple
Plans d’Expériences
100010001000
110101011000
111111111111
111111111111
Stratégie 4Stratégie 3Stratégie 2Stratégie 1
• une matrice « pleine » de 1 est préférable : tous les facteurs varient à la fois,
• meilleure stratégie matrice équilibrée (Nb objets à G = Nb objets à D) ; tous les niveaux sont présents en nombre égal de fois dans les colonnes,
• entre deux colonnes toutes les permutations de niveaux sont présentes le plan d’expérience est orthogonal
La qualité de l’estimation dépend de la matrice d’expérience14
Pourquoi la stratégie 4 est elle la meilleure ?
Introduction. ExempleConceptsPlan 2k
. Concepts
. Effets
. Interaction
. Yates
. ExempleStatistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. ExemplePlan Frac.. Principe. Exemple
Plans d’Expériences
15
Pourquoi la stratégie 4 est elle la meilleure ?
Stratégie 4Stratégie 3
Stratégie 2Stratégie 1
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. Concepts
. Effets
. Interaction
. Yates
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Plans d’Expériences Reformulation du problème des pesées
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(Reformulation / transposition du problème des pesées)
Mauvaise Optimale
Introduction. ExempleConceptsPlan 2k
. Concepts
. Effets
. Interaction
. Yates
. ExempleStatistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. ExemplePlan Frac.. Principe. Exemple
Plans d’Expériences Concept et Définitions
Constat :Les problèmes d’optimisation, de caractérisation ou de mise au point de procédés, de méthodes, …, sont souvent associés à la conjonction de plusieurs paramètres ayant une influence sur la réponse.
La grandeur d’intérêt Y ou réponse est une fonction de plusieurs variables Xi que l’on appelle facteurs.
Y = f (X1, X2,…, Xn)
Étude du phénomène ≡ mesure de la réponse en fonction de différentes valeurs ou niveaux des facteurs.On effectue des essais pour mettre en évidence les effets de chacun des paramètres sur la réponse.Les facteurs peuvent êtres ensuite fixés aux niveaux qui optimisent la réponse.
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Introduction. ExempleConceptsPlan 2k
. Concepts
. Effets
. Interaction
. Yates
. ExempleStatistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. ExemplePlan Frac.. Principe. Exemple
Plans d’Expériences
Expérimentation « bidouille » Variation un à un des paramètres
Expérimentation méthodique Variation des niveaux de tous les facteurs à la fois à chaque expérience
• diminution du nombre d’essais• étude d’un grand nombre de facteurs• détection des interactions entre facteurs• obtention de la meilleure précision possible• obtention d’un modèle du système • analyse rigoureuse conduisant + rapidement aux résultats espérés
Les plans d’expériences
• Méthode lourde si paramètres et/ou niveaux nombreux, • souvent employée car l’analyse des résultats est simple.
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Concept et Définitions
Introduction. ExempleConceptsPlan 2k
. Concepts
. Effets
. Interaction
. Yates
. ExempleStatistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. ExemplePlan Frac.. Principe. Exemple
Plans d’Expériences
Facteur : variable qui agit sur le système.
Réponse : grandeur que l’on mesure pourconnaître l’effet des facteurs sur le système.
Facteur significatif : facteur qui modifie la réponse lorsqu’on le modifie.
Niveau d’un facteur : valeur que prend un facteur au cours des essais.
ContinuDiscret
quantitatifqualitatif
Un plan complet consiste à étudier toutes les combinaisons possibles des facteurs pris en considération dans l’expérience.
Plan Xk k facteurs à X niveaux
• Si 3 facteurs à 2 niveaux alors le plans 23 23 = 8 expériences• Si 3 facteurs à 2 niveaux et 2 facteurs à 4 niveaux alors le plans complet
comporte 23 42 = 128 expériences
Définition
Vocabulaire
Plan 2k plan factoriel dont les k facteurs ne possèdent que 2 niveaux.19
Concept et Définitions
Introduction. ExempleConceptsPlan 2k
. Concepts
. Effets
. Interaction
. Yates
. ExempleStatistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. ExemplePlan Frac.. Principe. Exemple
Plans d’Expériences Plan factoriel complet 2k
Le domaine expérimentalLe domaine de validité de l’expérience correspond aux limites raisonnables de variation des facteurs. Il y a deux écueils à éviter :
• niveaux trop proches pas d’effet significatif sur les facteurs• niveaux trop éloignés mise en défaut de l’hypothèse de linéarité
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Choix aux effets antagonistes
Introduction. ExempleConceptsPlan 2k
. Concepts
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. Yates
. ExempleStatistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. ExemplePlan Frac.. Principe. Exemple
Plans d’Expériences Plan factoriel complet 2k
Stratégie de mise en place d’un plan :
1 – Rechercher l’ensemble des facteurs influents sur le système.
2 – Trier entre les facteurs contrôlés et non contrôlés (bruits).
3 – Sélectionner les facteurs contrôlés à retenir pour l’expérience
(les autres seront figés au cours des essais).
4 – Définir le domaine de variation de chacun des facteurs.
5 – Faire le plan.
6 – Évaluer les dispersions des résultats (répétition d’essais où tous
les facteurs sont figés).
7 – Dépouiller et interpréter (effets, interactions, signification des
effets…).21
Introduction. ExempleConceptsPlan 2k
. Concepts
. Effets
. Interaction
. Yates
. ExempleStatistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. ExemplePlan Frac.. Principe. Exemple
Plans d’Expériences
La matrice d’expérience tableau indiquant :
• le nombre d’expérience à réaliser,• la façon de faire varier les facteurs,• l’ordre de réalisation des expériences.
Exp X1 X2
1 -1 -12 +1 -13 -1 +14 +1 +1Ici pour ce plan 22, le niveau bas est codé à l’aide du
nombre -1 et le niveau haut à l’aide du nombre +1.(notation de Yates)
La matrice d’expérience et des réponses
Exp X1 X2 Réponse : Yrep
1 -1 -1 y1
2 +1 -1 y2
3 -1 +1 y3
4 +1 +1 y4
22
Concept et Définitions
Introduction. ExempleConceptsPlan 2k
. Concepts
. Effets
. Interaction
. Yates
. ExempleStatistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. ExemplePlan Frac.. Principe. Exemple
Plans d’Expériences
Cas d’un seul facteur
• effet global d'un facteur (sur la réponse) : variation de la réponse quand le facteur passe du niveau -1 au niveau +1.• effet moyen d'un facteur (sur la réponse) : demi-variation de la réponse quand le facteur passe du niveau -1 au niveau +1.
effet moyen = moitié de l'effet global.
Effet global de X1 : y2 - y1
Effet moyen de X1 :
Effet au centre : (moyenne des réponses)
212
1yya
212
0yy
a
0
X1
+1-1
Rép
a0
Exp X1 Rép : Yrep
1 -1 y1
2 +1 y2
23
Effets global et moyen d’un facteur
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. Interaction
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. ExempleStatistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. ExemplePlan Frac.. Principe. Exemple
Plans d’Expériences
Cas de deux facteurs
• L'effet moyen de X1 : demi-variation de la réponse lorsque X1 passe de -1 à +1.
Or, pour chacun des niveaux de X1, il y a 2 expériences
travail à partir des réponses moyennes.
231 yyy
242 yyy
• Réponse moyenne quand X1 est au niveau –1 :
• Réponse moyenne quand X1 est au niveau +1 :
• Effet moyen de X1 4222 4321
3142
1yyyy
yyyy
a
Exp X1 X2 Rép : Yrep
1 -1 -1 y1
2 +1 -1 y2
3 -1 +1 y3
4 +1 +1 y4
24
Effets global et moyen d’un facteur
yyEX1 21
yya Effet global de X1 : Effet moyen de X1 :
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. Concepts
. Effets
. Interaction
. Yates
. ExempleStatistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. ExemplePlan Frac.. Principe. Exemple
Plans d’Expériences
• Effet moyen de X2 4222 4321
2143
2yyyy
yyyy
a
• Réponse théorique pour X2 = 0 (au centre de son domaine de variation) : moyenne des réponses observées aux niveaux -1 et +1
4222 4321
2143
0yyyy
yyyy
a
• Rép. moyenne quand X2 est au niveau –1 :
• Rép. moyenne quand X2 est au niveau +1 :
Exp X1 X2 Rép : Yrep
1 -1 -1 y1
2 +1 -1 y2
3 -1 +1 y3
4 +1 +1 y4
25
Cas de deux facteurs
Effets global et moyen d’un facteur
243
2
yyyX
221
2
yyyX
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. Concepts
. Effets
. Interaction
. Yates
. ExempleStatistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. ExemplePlan Frac.. Principe. Exemple
Plans d’Expériences Notion d’interaction entre facteurs
• Il y a interaction entre deux facteurs si l’effet moyen de l’un varie suivant le niveau de l’autre.
• Il y a distorsion de la surface de réponse. La distorsion est d’autant plus importante que l’interaction est grande.
ouIl existe une interaction entre 2 facteurs A et B si l’effet du facteur A sur la réponse dépend du niveau du facteur B et réciproquement.26
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. Concepts
. Effets
. Interaction
. Yates
. ExempleStatistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. ExemplePlan Frac.. Principe. Exemple
Plans d’Expériences
Exp X1 X2 Réponse : Yrep
1 -1 -1 y1 = 60
2 +1 -1 y2 = 85
3 -1 +1 y3 = 75
4 +1 +1 y4 = 90
Calcul de l’interaction X1X2
5.22
85902
24
yy
5.72
60752
13
yy
4
222
4321
1324
12
yyyy
yyyy
a
• Effet moyen de X2 au niveau haut de X1 :
• Effet moyen de X2 au niveau bas de X1 :
• Effet moyen de l'interaction X1X2 :
L’interaction est considérée comme un nouveau facteur et l’effet moyen de
l’interaction est la ½ variation de l’effet moyen de X2 lorsque X1 passe du niveau
bas au niveau haut
27
Notion d’interaction entre facteurs
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. Concepts
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. Interaction
. Yates
. ExempleStatistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. ExemplePlan Frac.. Principe. Exemple
Plans d’Expériences
28
On appelle matrice des effets la matrice X servant au calcul des coefficients dans la régression linéaire multiple.
Les estimations des coefficients du modèle sont données par la matrice  telle que  = X-1 Yrep = (1/n) tX Yrep où Yrep est la matrice colonne des réponses expérimentales.
La meilleure précision sur les coefficients de chacun des facteurs dans la régression linéaire multiple est obtenue si l'on fait varier les niveaux de tous les facteurs à chaque expérience et si toutes les expériences concourent à l'estimation de chaque coefficient.
Critère d'optimalité au sens d'Hadamard Pour obtenir en n expériences une variance minimale, la matrice des effets X doit vérifier la relation : tXX = n In
Calcul des effets avec la notation de Yates
Introduction. ExempleConceptsPlan 2k
. Concepts
. Effets
. Interaction
. Yates
. ExempleStatistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. ExemplePlan Frac.. Principe. Exemple
La matrice X des effets, servant au calcul des coefficients du modèle, s'obtient en ajoutant à gauche de la matrice d'expérience une colonne ne contenant que des 1.
Plans d’Expériences
29
Algorithme de Yates
Pour k facteurs, la matrice d'expérience comporte k colonnes et 2k lignes.On alterne les -1 et le +1
- toutes les lignes pour la première colonne, - toutes les deux lignes pour la seconde colonne,- toutes les quatre lignes pour la troisième, etc.
Plus généralement : - toutes les colonnes commencent par -1. - on alterne les -1 et les +1 toutes les 2j-1 lignes pour la jème
colonne.
Chaque estimation d'un coefficient du modèle est égale à la somme algébrique des réponses expérimentales yi affectés des signes de la colonne de la matrice X correspondant au facteur Xi divisé par le nombre d'expériences.
On s'intéresse à un plan 2k et à un modèle polynomial du premier d° :Y = a0 +a1X1 + a2X2 + ... + akXk
Introduction. ExempleConceptsPlan 2k
. Concepts
. Effets
. Interaction
. Yates
. ExempleStatistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. ExemplePlan Frac.. Principe. Exemple
Plans d’Expériences
30
Exemple numérique
Construction d’un plan 23 pour un essai d'arrachement mettant en jeu 3 facteurs. Les facteurs : X1 : la température de pressage,
X2 : la pression lors du pressage, X3 : le temps de pressage.
Niveau bas : -1
Niveau haut : +1
X1 80 °C 120 °C
X2 0,5 bars 2 bars
X3 1h 2h
Exp X1 X2 X3 Yexp
1 -1 -1 -1 18,1
2 +1 -1 -1 16,0
3 -1 +1 -1 17,1
4 +1 +1 -1 17,0
5 -1 -1 +1 17,8
6 +1 -1 +1 17,2
7 -1 +1 +1 18,1
8 +1 +1 +1 17,0
Matrice d’expérience et des réponses
11111111111111111111111111111111
X
Matrice des effets
J=1 J=2 J=3
2J-1=….
(plan 2k où k=3 soit 23=8 expériences)Introduction. ExempleConceptsPlan 2k
. Concepts
. Effets
. Interaction
. Yates
. ExempleStatistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. ExemplePlan Frac.. Principe. Exemple
Plans d’Expériences
31
Exemple numérique
Exp Moy X1 X2 X3 Yexp
1 +1 -1 -1 -1 18,1
2 +1 +1 -1 -1 16,0
3 +1 -1 +1 -1 17,1
4 +1 +1 +1 -1 17,0
5 +1 -1 -1 +1 17,8
6 +1 +1 -1 +1 17,2
7 +1 -1 +1 +1 18,1
8 +1 +1 +1 +1 17,0
Diviseur
8 8 8 8
Effets a0=17,29 a1=-0,49 a2=0,01 a3=0,24
8;
887654321
287654321
0yyyyyyyyayyyyyyyya
321 24,001,049,029,17 X X XY Le modèle s’écrit :
Introduction. ExempleConceptsPlan 2k
. Concepts
. Effets
. Interaction
. Yates
. ExempleStatistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. ExemplePlan Frac.. Principe. Exemple
Plans d’Expériences
32
Plan complet avec interactions
• Pour calculer l'effet d'une interaction entre deux variables Xi et Xj on ajoute à la matrice des effets une colonne, que l'on baptise XiXj, et que
l'on obtient en faisant le produit "ligne à ligne" des colonnes des variables Xi et Xj.
• Le calcul des coefficients du modèle se fait comme énoncé précédemment.
Exemple numérique• Considérons un plan d’expérience 2² construit afin d’étudier une réaction
chimique dont le rendement dépend de deux facteurs
Matrice d’expérience et des réponses
Niveau bas : -1
Niveau haut : +1
Température : T
60°C 80°C
Pression : P 1 bar 2 bars
Exp T P Y (%)1 -1 -1 602 +1 -1 653 -1 +1 754 +1 +1 85
Domaine expérimental
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. Concepts
. Effets
. Interaction
. Yates
. ExempleStatistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. ExemplePlan Frac.. Principe. Exemple
Plans d’Expériences
33
Exemple numérique
Matrice d’expérience et des réponses pour les facteurs et les interactions.
Calcul des coefficients
Exp Moy T P TP Y (%)
1 +1 -1 -1 +1 60
2 +1 +1 -1 -1 65
3 +1 -1 +1 -1 75
4 +1 +1 +1 +1 85
Diviseur 4 4 4 4Effets a0=71,25 a1=3,75 a2=8,75 a12=1,25
75.34
85756560;25.714
8575656010
aa
25.14
85756560;75.84
85756560122
aa
( × × ) =
Le modèle s’écrit : 211222110 XXaXaXaaY
Soit : Y = 71,25 + 3,75 T + 8,75 P + 1,25 P T
Introduction. ExempleConceptsPlan 2k
. Concepts
. Effets
. Interaction
. Yates
. ExempleStatistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. ExemplePlan Frac.. Principe. Exemple
Plans d’Expériences
34
Exemple numérique
Tableau des réponses moyennes
+1-1
Rép80
60
70
+1-1
PT
+1-1
Rép
80
60
70
TP55
75
85
65
P=-1
P=+1
Ec1
Ec2
5.672
7560
5.622
6560
752
8565
802
8575
T P
Niveau -1
Niveau +1
Graphe des effets
P P
-1 +1
T -1 60 75
T +1 65 85
Visualisation de l’interaction(Ec1Ec2) interaction
Introduction. ExempleConceptsPlan 2k
. Concepts
. Effets
. Interaction
. Yates
. ExempleStatistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. ExemplePlan Frac.. Principe. Exemple
Plans d’Expériences
Construction d’un plan 2² pour une étude sur les conditions idéales pour passer un examen mettant en jeu 2 facteurs.
Les facteurs : X1 : le stress, X2 : la compréhension.
Niveau bas : -1
Niveau haut : +1
X1 Faible Elevé
X2 Totale Nulle
1. Construire la matrice d'expériences correspondant à ce plan complet2. Calculer tous les effets : facteurs principaux et interactions3. Tracer le diagramme des effets4. Construire le modèle mathématique associé
N° des essais 1 2 3 4
Note obtenue 17.7 12.9 10.3 2.5
Introduction. ExempleConceptsPlan 2k
. Concepts
. Effets
. Interaction
. Yates
. ExempleStatistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. ExemplePlan Frac.. Principe. Exemple
35
Plans d’Expériences
36
Exemple numérique
Exp Moy X1 X2 X1X2 Yexp
1 +1 -1 -1 +1 17,7
2 +1 +1 -1 -1 12,9
3 +1 -1 +1 -1 10,3
4 +1 +1 +1 +1 2,5
Diviseur 4 4 4 4
Effets 10,85 -3,15 -4,45 -0,75
4yyyya
4yyyya
4yyyya
4yyyya
432112
43212
43211
43210
2121 X X75.0 X45.4 X15.385.10Y
Le modèle s’écrit :
Introduction. ExempleConceptsPlan 2k
. Concepts
. Effets
. Interaction
. Yates
. ExempleStatistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. ExemplePlan Frac.. Principe. Exemple
X1 X2
Niveau -1 14 15,3
Niveau +1 7,7 6,4
X1 X1
-1 +1X2 -1 17.7 12.9X2 +1 10.3 2.5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
X1
X2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
X1=-1
X1=1
X2=-1
X2=1
Plans d’Expériences
Construction d’un plan 23 pour un test en fatigue mettant en jeu 3 facteurs.
Les facteurs : X1 : la température, X2 : le nombre de cycles, X3 : la charge appliquée.
Niveau bas : -1
Niveau haut : +1
X1 20 °C 120 °C
X2 1 200
X3 10 MPa 50 MPa
1. Construire la matrice d'expériences correspondant à ce plan complet2. Calculer tous les effets : facteurs principaux et interactions3. Tracer le diagramme des effets4. Déterminer une loi de comportement du matériau testé
N° des essais 1 2 3 4 5 6 7 8
Déformation (mm) 2 1 4 3 7 2 5 6
Introduction. ExempleConceptsPlan 2k
. Concepts
. Effets
. Interaction
. Yates
. ExempleStatistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. ExemplePlan Frac.. Principe. Exemple
37
Plans d’Expériences
38
Exemple numérique
Exp Moy X1 X2 X3 X1X2 X1X3 X2X3 X1X2X3 Yexp
1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 2
2 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 1
3 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 4
4 +1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 3
5 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 7
6 +1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 2
7 +1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 5
8 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 6
Diviseur 8 8 8 8 8 8 8 8
Effets a0=3,75 a1=-0,75 a2=0,75 a3=1,25 a12=0,75 a13=-0,25 a23=-0,25 a123=0,75
8;
887654321
287654321
0yyyyyyyyayyyyyyyya
123231312321 75,025,025,075,025,175,075,075,3 XXXX X X XY Le modèle s’écrit :
Introduction. ExempleConceptsPlan 2k
. Concepts
. Effets
. Interaction
. Yates
. ExempleStatistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. ExemplePlan Frac.. Principe. Exemple
Plans d’Expériences
39
Exemple numérique
Tableau des réponses moyennes
5,44
5742
X1 X2 X3
Niveau -1 3 2,5
Niveau +1 3 4,5 5
Graphe des effets Visualisation de l’interaction X1X2
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-1 +1-1 +1 -1 +1
X1 X2 X3
X1=-1
X1=+1
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
0
1
2
3
4
5
6
-1 +1
Plans d’Expériences
40
Statistique & interprétation des résultats
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. Concepts
. Effets
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. Yates
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Plans d’Expériences
41
Statistique - Rappels
• Moyenne
• Variance ² : moyenne des carrées des écarts à la moyennen
XX
n
ii
1
Rappels élémentaires
- Pour un échantillon variance vraie :
nXX i
e
2
2
où est la moyenne exacte de l’échantillon et n l’effectif total ou nombre total de ddl.
X
- Pour une population variance estimée :
1
22
n
MX ip
où M est la moyenne estimée de la population :N nombre d’échantillonsn-1 : effectif total ou nombre effectif de ddl dont on dispose (-1 pour la moyenne)
NX
M N
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Plans d’Expériences
42
•Test de comparaison de deux variances
Statistique - Rappels
On cherche à comparer deux distributions statistiques normales (les deux échantillons sont ils issus d’une même loi normale ?)
On observe n1 individus1ier échantillonVariance 1
2
On observe n2 individus2ième échantillon
Variance 22
On forme le rapport de Fisher-Snedecor : 22
21
calculéF
Le rapport de Fisher suit une loi de probabilité et ne dépend que des nombres de ddl de chacun des échantillons 1 et 2 avec 1=n1-1 et 2=n2-1.
F est tabulé pour différentes valeurs du risque de première espèce , c’est-à-dire le risque d’accepter une hypothèse fausse alors qu’elle est vraie.Si on désire évaluer le risque à 5% table à 0,95
On cherche dans la table la valeur de que l’on compare à Fcalculé.On accepte l’hypothèse d’identité des variances si :
21,, F
21,, FFcalculé
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Plans d’Expériences
43
Statistique - Rappels
Agent A : 11 échantillonsA
2 = 3,02
Exemple :
Agent B : 22 échantillonsB
2 = 1,22
47.22
2
B
AcalculéF
Deux agents dosent un composant dans des échantillons provenant d’un même produit. Pour chaque échantillon les analyses sont doublées.Les agents travaillent ils de la même façon ?B est-il meilleur que A ?
Table de Snedecor pour un risque de 5%.
ddlA2) = 11-1 = 10 = 1
ddlB2) = 22-1 = 21 = 2
32.221,10%,5 F 21,10%,5FFcalculé
La différence des variances est significative (au seuil de 5%)On en déduit que l’agent A travaille d’une façon moins précise que l’agent B.
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Plans d’Expériences
44
Test de signification des effets
Effets : coefficients des facteurs et des interactions dans l'écriture du modèle.
Les calculs statistiques permettent :- savoir si les effets sont significatifs,
- calculer les intervalles de confiance,- de valider la linéarité du modèle.Ils font intervenir d'une part les résidus ei, et d'autre part un estimateur sans biais de la variance commune des résidus, soit :
22 1
iepn
n est le nombre d'expériences réalisées p est le nombre de coefficients du modèle
On peut montrer que tous les effets ont même varianceni
22
Si pour un plan complet n = p alors on ne peut pas calculer la variance commune des résidus ².Dans la pratique on néglige les interactions d’ordre élevé pour pouvoir évaluer ².
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Plans d’Expériences
45
Test de signification des effets
On testera donc l'hypothèse : H0 = << ai = 0 >>contre l'hypothèse H1 = << ai ≠ 0 >>
Pour tester un effet on utilise le test de Student : Un effet sera dit significatif s'il est pour un risque donné, significativement différent de 0.
Pour cela on calcule : i
ii
at
Pour le test on utilise la table de Student à = n - p ddl où n est le nombre d'expériences réalisées,
p est le nombre d'effets y compris la constante.
Pour un risque de première espèce (5% ou 1%), on lit dans la table de Student la valeur tcrit(, ), en utilisant la partie de la table relative à un test bilatéral. D’où la règle :
si ti > tcrit(, ), on rejette H0 au risque accepté. si ti < tcrit (, ), on accepte H0 au risque accepté.
H0 accepté l’effet en question n’est pas, au risque , significativement différent de 0. La variable associée n’a pas d’influence sur la réponse.
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Plans d’Expériences
46
Test de signification des effets
Exemple :On considère une réaction chimique dont le rendement dépend de deux facteurs (température T, pression P), prenant respectivement pour niveau haut et bas 60 et 80°C pour T, et, 1 et 2 bars pour P.
Exp Moy T P Y (%)1 +1 -1 -1 602 +1 +1 -1 653 +1 -1 +1 754 +1 +1 +1 85
Diviseur
4 4 4
Effets a0=71.25 a1=3.75 a2=8.75
Yest ei ei²
58.75 1.25 1.562566.25 -1.25 1.562576.25 -1.25 1.562583.75 1.25 1.5625
Le modèle : PTY 75.875.325.71
On cherche à déterminer la non influence d'une variable sur la réponse pour un risque choisit de 5 %.
25.634
1 22ie
5625.1425.62
2 ni
Variance des résidus :
Variance commune des estimateurs :
3 coefficients
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Yest ei ei²
58.75 1.25 1.562566.25 -1.25 1.562576.25 -1.25 1.562583.75 1.25 1.5625
Yest ei ei²
58.75 1.25 1.562566.25 -1.25 1.562576.25 -1.25 1.562583.75 1.25 1.5625
Plans d’Expériences
47
Test de signification des effets
Les ti sont calculés avec la relation : 25.1i
i
ii
aat
La table de Student donne pour un risque de 5% avec = n - p = 4 - 3 = 1 :
71.121,05.0 critt
- Pour a1 = 3.75 (effet de T) on a t1 = 3 < 12.71 : on accepte H0 au risque de 5 % et l'effet de la température T n'est pas significatif.
- Pour a2 = 8.75 (effet de P) on a t2 = 7 < 12.71 : on accepte H0 au risque de 5 % et l'effet de la pression P n'est pas significatif.
On peut donc considérer que les coefficients a1 et a2 ne sont pas significativement différents de 0 ; leur valeur est probablement due à un « bruit ».
La conclusion est que l'on doit rejeter un modèle linéaire pour expliquer le rendement de cette réaction chimique.
Il faudrait refaire une étude avec un modèle polynomial du second degré.
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Plans d’Expériences
48
Intervalle de confiance des effetsa/ variance expérimentale connue
On suppose que compte tenu de nombreuses expériences faites on connaît l'écart type expérimental . L'intervalle de confiance d'un effet est donné, par :
risque 5% : [(ai - 1,96 i) ; (ai + 1,96 i)]risque 1% : [(ai - 2,58 i) ; (ai + 2,58 i)]
où i² est la variance commune des estimateurs des coefficients.
0m2
2
Intervallede confiance
0m
n
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Plans d’Expériences
49
Intervalle de confiance des effetsb/ variance expérimentale inconnue (cas le plus courrant)
La variance commune des résidus est estimée avec = n-p degrés de libertés et en négligeant au moins un effet.
et
Si l’on choisit un risque , on détermine à l’aide de la table de Student le nombre t(,) et l'intervalle de confiance d'un effet est donné, par :
risque % : [(ai – t(,) i) ; (ai + t(,) i)]
22 1
iepn
ni
22
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Plans d’Expériences
50
Exemple
Considérons le plan d'expérience 23 suivant dans lequel on néglige l'interaction d'ordre 3
Le calcul des effets permet d’obtenir le modèle suivant :Y = 5.0125 + 0.0125 X1 + 0.1625 X2 – 0.1125 X3 + 0.2125 X1X2 + 0.0375 X1X3 - 0,0125 X2X3
à partir duquel on évalue Yestimé, puis les écarts.
X1 X2 X3 X1X2 X1X3 X2X3 Yobservé
-1 -1 -1 +1 +1 +1 5.2
+1 -1 -1 -1 -1 +1 4.7
-1 +1 -1 -1 +1 -1 5.1
+1 +1 -1 +1 -1 -1 5.5
-1 -1 +1 +1 -1 -1 4.9
+1 -1 +1 -1 +1 -1 4.6
-1 +1 +1 -1 -1 +1 4.8
+1 +1 +1 +1 +1 +1 5.3
Yi estimés ei e²i
5,1875 + 0,0125 0,000156
4,7125 - 0,0125 0,000156
5,1125 - 0,0125 0,000156
5,4875 + 0,0125 0,000156
4,9125 - 0,0125 0,000156
4,5875 + 0,0125 0,000156
4,7875 + 0,0125 0,000156
5,3125 - 0,0125 0,000156
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Plans d’Expériences
51
Exemple
• Variance commune des résidus : 00125.0000156.0*878
11 22
iepn
• Variance commune de tous les effets : 000156.08
00125.022
ni
• Calcul du « t » de Student pour chaque effet :i
ii
at
• La table de Student t(;) = t(0,05;1)=12,71 pour un risque de 5%.
Variable effet t Résultat
Constante 5,0125 t0 = 401 > 12,71 significatif
X1 a1 = 0,125 t1 = 1 < 12,71 non significatif
X2 a2 = 0,1625 t2 = 13 > 12,71 significatif
X3 a3 = - 0,1125 t3 = 9 < 12,71 non significatif
X1X2 a12 = 0,2125 t12 = 17 > 12,71 significatif
X1X3 a13 = 0,0375 t13 = 3 < 12,71 non significatif
X2X3 a23 = - 0,0125 t23 = 1 < 12,71 non significatifModèle à retenir : Y = 5,0125 + 0,1625 X2 + 0,2125 X1X2
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Plans d’Expériences
52
Analyse de la variance
• Lever le doute quant à la significativité des effets Introduction. ExempleConceptsPlan 2k
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Plans d’Expériences
53
Analyse de la variance
• Validité du modèle linéaire ?
- Yi les réponses observées lors de la réalisation des expériences,- la réponse estimée à l'aide du modèle linéaire,- Ymoy la moyenne des réponses.
estiY
2
moyest
i YYSCEL
2est
ii YYSCER
1 - La variation due à la liaison linéaire :
SCEL se lit : "somme des carrés des écarts dues à la liaison".
2 - La variation résiduelle :
SCER se lit : "somme des carrés des écarts des résidus".
3 - La variation totale : SCET = SCEL + SCERSTCE se lit : " somme totale des carrés des écarts".
Le "carré moyen" est le quotient d'une somme de carrés par son degré de liberté.
SCEL a (p-1) ddl (p : nombre de coefficients estimés à partir du modèle).SCER a (n-p) degrés de libertés (n est le nombre d'expériences réalisées).SCET a (n-1) degrés de liberté.
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Plans d’Expériences
54
Analyse de la variance
CMLp
SCEL
1 2CMLFobs
2σpn
SCER
n–1 SCETTotal
n–p SCERRésidus(intérieur échantillon)
p–1SCELLiaison(entre échantillons)
FCarré moyenddlSomme des carrésVariation due à
• Le test F permet de comparer pour un risque fixé à l'avance le Fobs que l'on a calculé dans le tableau avec un F(critique) lu dans la table de Fisher-Snedecor avec (p - 1) et (n - p) degrés de liberté.
Le test est :H0 : « les deux carrés moyens sont de même grandeur » la régression n'est pas significative.H1 : « le carré moyen dû à la régression est significativement plus grand que le carré moyen dû aux résidus » la régression est globalement significative.
La règle du test est alors pour un risque choisi :Si Fobs < F(critique), on accepte l'hypothèse H0 .Si Fobs > F(critique), on accepte l'hypothèse H1 avec la confiance 1-.
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Plans d’Expériences
55
Exemple
Reprenons l’exemple précédent avec tous les effets et leurs interactions :
Moy X1 X2 X3 X1X2 X1X3 X2X3 Y
+1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 5.2
+1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 4.7
+1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 5.1
+1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 5.5
+1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 4.9
+1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 4.6
+1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 4.8
+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 5.3
a0 a1 a2 a3 a12 a13 a23
5,0125
0,0125
0,1625
-0,1125
0,2125
0,0375
-0,0125
CMLSCEL
1146.0
176667.912
CMLFobs
0012.078
2
SCEE
Variation due à
Somme des
carrés
DDL Carré moyen F
Liaison SCEL 7 – 1
Résidus SCER 8 – 7
Total SCET 8 – 1 0.0984
ici, p = 7n = 81 = 62 = 1
d’où Fcrit = 234 pour = 5%
(Fobs = 91,667) < (Fcrit = 234) on rejette l'hypothèse de linéarité du modèle.
2
moyest
i YYSCEL
2est
ii YYSCER
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Plans d’Expériences
56
Exemple
CMLSCEL
1146.0
176667.912
CMLFobs
0012.078
2
SCEE
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Plans d’Expériences
57
Exemple
CMLSCEL
2863.0
133,122
CMLFobs
0232.038
2
SCEE
Variation due à
Somme des
carrés
DDL Carré moyen F
Liaison SCEL 3 – 1
Résidus SCER 8 – 3
Total SCET 8 – 1 0.0984
ici, p = 3n = 81 = 3-1 = 22 = 8-3 = 5
= 5%
Effectuons une nouvelle analyse de la variance, avec le modèle ne contenant que les coefficients significatifs a2 et a12.
(Fobs = 12,3) > (Fcrit = 5,79) on accepte donc l'hypothèse de linéarité du modèle.
On évalue Fcrit avec la table de Fischer Snédecor pour 1=2 et 2=5, pour un risque =5%
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Plans d’Expériences
58
Plans fractionnaires
Constatation :Lorsque le nombre de facteurs ou le nombre de niveaux par facteur augmente, les plans complets donnent très vite un nombre d’essais peu compatible avec la réalité industrielle.
Question :Doit on réaliser toutes les expériences du plan complet pour estimer le modèle du système ?
En effet si l’on veut étudier un modèle à 3 facteurs à 2 niveaux mais sans interaction, il faut identifier 4 coefficients 4 essais et non 8 comme pour le plan complet 23. Le plan fractionnaire à 4 essais suppose les interactions nulles. Si l’une d’entre elles est ≠ 0 alors elle perturbera les coefficients du modèle.
L’utilisation d’un plan fractionnaire n’est pas sans risque. Il faut pouvoir statuer sur les points suivants :
- Conditions nécessaires pour établir un plan fractionnaire,- Quels sont les risques liés à l’utilisation d’un plan fractionnaire.
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Plans d’Expériences
59
Plans fractionnaires
Condition sur le nombre de degrés de libertéLe nombre de ddl d’un modèle indique le nombre de valeurs qu’il est nécessaire de calculer pour connaître l’ensemble des coefficient du modèle.D’une manière générale, pour pouvoir calculer X valeurs indépendantes il faut introduire dans les calculs au moins X expériences
La règle : Le nombre minimal d’expériences à réaliser est égal au nombre de degrés de liberté du modèle étudié.
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Plans d’Expériences
60
Plans fractionnaires
Condition d’orthogonalitéCondition indispensable pour pouvoir calculer les effets d’un facteur indépendamment des autres facteurs.
Condition nécessaire et suffisante d’orthogonalité de 2 actions Deux actions disjointes sont orthogonales si à chaque niveau de l’une, tous les niveaux de l’autre sont associés le même nombre de fois dans le plan d’expériences.
Orthogonalité d’un plan d’expérience Un plan d’expériences est orthogonal vis à vis d’un modèle, si toutes les actions disjointes du modèle sont orthogonales dans le plan d’expériences.
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Plans d’Expériences
61
Plans fractionnaires
Loi de composition des colonnes des matrices d’expériences
1111
A
1111
B
1111
ABExemple dans IR4, si et alors
On définit une multiplication dans E de la manière suivante. Le produit de deux vecteurs de E est un vecteur de E dont les composantes dans la base
canonique sont les produits des composantes de même rang.
Plans factoriels fractionnaires à 2 niveaux = 2k-p
2k-pnombre total de facteur à étudiernombre de fois où le plan complet est coupé en deux
• Choisir le nb de facteurs à étudier et le nb d’expériences à réaliser.• Choisir le plan complet correspondant au nb d’expériences à réaliser.
• Affecter aux colonnes des interactions d’ordre le + élevé du plan complet le(s) facteur(s) supplémentaires à étudier.
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Plans d’Expériences
62
Plans fractionnaires 23-1
Plan fractionnaire 23-1 pour étudier 3 facteur (notion d’aliase ou de contraste).Un plan complet pour étudier trois facteurs (A, B, C) est un plan 23
nécessitant 8 expériences, mais nous désirons réaliser seulement 4 expériences.
Pour cela nous utiliserons une matrice d'expériences d'un plan 22. Le facteur C sera placé dans la colonne de l’interaction AB
Exp Imoy A B AB
1 +1 -1 -1 +12 +1 +1 -1 -13 +1 -1 +1 -14 +1 +1 +1 +1
Exp A B C1 -1 -1 +12 +1 -1 -13 -1 +1 -14 +1 +1 +1
Matrice du plan complet 22
Matrice du plan fractionnaire 23-1
La matrice 23-1 servira à calculer les effets de A, B et C + leurs interactions
AB = C
C = AB le facteur C est aliasé avec l’interaction AB.
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Plans d’Expériences
63
Nous avons : C = AB et donc CC = I = ABC
Soit : I = CAB d’où AI = ACAB = C(AA)B = CIB et donc A = CBBI = BCAB = CA(BB) = CAI et donc B = CA
On a vu que C est aliasé avec l’interaction AB.On montre également que A est aliasé avec l’interaction CB et B avec CA.
Les effets obtenus avec le plan fractionnaire ne sont pas des effets purs.
L’égalité I = CAB fournit tous les aliases : c’est un générateur d’aliases
Plans fractionnaires 23-1
• Les interactions d’ordre supérieur (3ième ordre et +) sont négligeables.• si deux effets sont faibles, leur interaction est faible.
• si deux effets sont forts, leur interaction peut également l’être.• si un alias est nul - soit les effets aliasés sont tous nuls (++)
- soit les effets se compensent
Hypothèses d’interprétation retenues en général :
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Plans d’Expériences
64
Exp I A B C Yexp
ABC CB CA AB1 +1 -1 -1 +1 y1
2 +1 +1 -1 -1 y2
3 +1 -1 +1 -1 y3
4 +1 +1 +1 +1 y4
effets
a0 a1 a2 a3Exp I A B C AB AC BC ABC Yexp
1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 z1
2 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 y2
3 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 y3
4 +1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 z4
5 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 y1
6 +1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 z6
7 +1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 z7
8 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 y4
effets
a'0 a'1 a'2 a'3 a'12 a'13 a'23 a'123
Plan fractionnaire 23-1
Plan complet 23
Les lignes 1, 2, 3, 4 du plan fractionnaire correspondent aux lignes 5, 2, 3, 8 du plan complet.
4yy-yy-
a 43211
Plans fractionnaires 23-1
Introduction. ExempleConceptsPlan 2k
. Concepts
. Effets
. Interaction
. Yates
. ExempleStatistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. ExemplePlan Frac.. Principe. Exemple
Plans d’Expériences
65
Exp I A B C AB AC BC ABC Yexp
1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 z1
2 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 y2
3 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 y3
4 +1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 z4
5 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 y1
6 +1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 z6
7 +1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 z7
8 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 y4
effets
a'0 a'1 a'2 a'3 a'12 a'13 a'23 a'123
On sait que A est aliasé avec CB, calculons l’effet de CB :
8
yz-zy-zy-yz- a' 476143211 4
yy-yy- a 43211
8yzzy-zy-yz a' 47614321
23
on remarque alors que a1=a’1+a’23
a1 obtenu avec le plan fractionnaire n’est pas un effet pur, d’où :
A = CB a1 = a'1+a'23
B = CA a2 = a'2 + a'13
C = AB a3 = a'3 + a'12
Plans fractionnaires 23-1
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. Concepts
. Effets
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Plans d’Expériences
66
Plans fractionnaires 24-1
Utilisation de la matrice d’un plan 23 pour étudier l'influence de 4 facteurs sur la pureté d'un précipité ??
Les variables retenues sont :
Les trois premières variables (ABC) seront placées dans la trois premières colonnes de la matrice du plan 23.
La quatrième variable D, sera mise à la place d’une des interactions. Elle sera dite aliasée avec l'interaction d'ordre la plus élevé du plan 23, c'est à dire l'interaction ABC. L’aliase est D=ABC
Ainsi I = DABC est le générateur d’aliases
Variables Niveau –1 Niveau +1 A : quantité de base utilisé normale en excès B : vitesse d'addition de la base
lente rapide
C : température de la filtration à chaud à froid D : lavage du précipité normal prolongé
Moy A B C ABC AB AC BC YD
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Plans d’Expériences
67
Plans fractionnaires 24-1
I = DABC est un générateur d’aliases
..............................................
..............................................ADIACI
DIICDAABBCABDABCABIDABIDABCCCDABCCIDAICDABBCBDABCBIDIBCDAABCADABCAI
BCADDBACDCAB
DABCDACBDBCA
Moy A B C ABC AB AC BC YDBC DAC DAB D DC DB AD
Si, comme il est d'usage, on néglige les interactions d'ordre 3, on obtient les effets principaux.
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Plans d’Expériences
68
Plans fractionnaires 24-1
La matrice des effets et des réponses est la suivante :
En négligeant les interactions d'ordre 3, on obtient les effets principaux :
Moy A B C ABC AB AC BC YDBC DAC DAB D DC DB AD
+1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 3, 1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 -1 +1 4, 1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 2, 2 +1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 -1 1, 3 +1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 -1 4, 0 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 -1 4, 1 +1 -1 +1 +1 -1 -1 -1 +1 -0, 1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 0, 6 a0 aA aB aC aD aab-dc aac-db abc-ad
2,41 0,11 -1,41
-0,26
0,31 -0,16 0,09 -0,49
A 0,11 B -1,41 C -0,26 D 0,31
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Plans d’Expériences
69
Plans fractionnaires 24-1
Soit la valeur de l’écart type expérimental telle que : 07,00
L’écart type de l’estimateur d’un coefficient est : 025,00 ni
Un coefficient sera significatif au risque =5% ssi : > ttable(n-p+1, ) × i ia
Ici nous obtenons : et donc, 318,0ia
Moy A B C ABC AB AC BCDBC DAC DAB D DC DB AD
2,41 0,11 -1,41
-0,26
0,31 -0,16 0,09 -0,49
Seuls les effets de la variable B et de l’aliase (BC,AD) sont significatifs.
La question qui se pose est : Laquelle de ces 2 interactions est la plus plausible ?
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Plans d’Expériences
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
70
Plans fractionnaires 24-1
Étude de l’interaction BC B = -1 B = +1C = -1 P = (3,1 + 4,1) / 2 = 3,6 P = (2,2 + 1,3) / 2 = 1,7C = +1 P = (4 + 4,1) / 2 = 4,05 P = (0,6 - 0,1) / 2 = 0,35
A = -1 A = +1D = -1 P = (3,1 - 0,1) / 2 = 1,5 P = (1,3 + 4,1) / 2 = 2,7D = +1 P = (2,2 + 4) / 2 = 3,1 P = (4,1 + 0,6) / 2 =
2,35
Étude de l’interaction AD
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. Yates
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-1 +1
A=+1
A=-1
-1 +1
B=-1
B=+11,95 1,8
Plans d’Expériences
71
Exercice
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. ExempleStatistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. ExemplePlan Frac.. Principe. Exemple
Étude de la planéité de panneaux de structure fabriqués à l'aide d'un processus de moulage par injection.
facteurs Niveau bas : -1 Niveau haut : +1A : température de fusion 260 °C 287.78 °CB : température du moule 26.67 °C 60°CC : temps de cuisson 150 s 200 sD : vitesse d'injection 1 s 2.25 s
N° des essais 1 2 3 4 5 6 7 8
Planéité 1,37 1,4 1,17 1,27 1,17 1,14 0,76 0,61
1. Construire la matrice d'expériences correspondant à ce plan fractionnaire2. Calculer tous les effets : facteurs principaux et interactions3. Déterminer le paramètres influents avec un risque de 5% et 4. Construire le modèle mathématique associé5. Vérifier la linéarité du modèle
016,00
Plans d’Expériences
72
Exercice
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. Interaction
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I A B C ABC AB AC BC
Y ABCD BCD ACD ABD D DC BD AD
1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1,37
2 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1,4
3 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1,17
4 1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1,27
5 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1,17
6 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1,14
7 1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 0,76
8 1 1 1 1 1 1 1 1 0,61
1,11125
-0,00625
-0,15875
-0,19125
-0,02375
-0,00625
-0,03875
-0,07625
BC.07625,0C.19125,0B.15875,011125,1Y
07189862,000565685,0*%)5,1(ta
00565685,08
016,0n
016,0
i
0
0
Plans d’Expériences
73
FIN