technique et ingÉnierie

SEacuteRIE | CONCEPTION

INTRODUCTIONAUX PLANSDrsquoEXPEacuteRIENCES

Jacques Goupy bull Lee Creighton

GESTION INDUSTRIELLE

CONCEPTION

FROID ET GEacuteNIE CLIMATIQUE

MEacuteCANIQUE ET MATEacuteRIAUX

CHIMIE

ENVIRONNEMENT ET SEacuteCURITEacute

EEA

TECHNIQUE ET INGEacuteNIERIESeacuterie Conception


INTRODUCTION AUX PLANS DrsquoEXPEacuteRIENCES

3 e eacutedition

JACQUES GOUPY

est ingeacutenieur-conseilaupregraves drsquoimportantessocieacuteteacutes et enseigne lameacutethodologie des plansdrsquoexpeacuteriences en eacutecolesdrsquoingeacutenieurs et danslrsquoindustrieIl est lrsquoauteur de plusieurslivres et articles dereacutefeacuterence sur le sujet dontPratiquer les plansdrsquoexpeacuteriences Plansdrsquoexpeacuteriences poursurfaces de reacuteponse etPlans drsquoexpeacuteriences lesmeacutelanges parus auxeacuteditions Dunod

LEE CREIGHTON

est professeur dematheacutematiques etresponsable de ladocumentation JMPreg chezSAS Institute Inc Il estlrsquoauteur de plusieursouvrages de statistiquesdont JMP Start Statistitics a Guide to Statistics andData Analysis etRegression with JMP

Pour travailler plusefficacement teacuteleacutechargezles fichiers JMPreg desexemples deacuteveloppeacutes danslrsquoouvrage

Agrave travers de nombreux exemples reacuteels emprunteacutes agrave des expeacuterimentateursissus de secteurs industriels varieacutes cet ouvrage expose de faccedilon progressiveet appliqueacutee les techniques neacutecessaires agrave la conduite drsquoune eacutetude parplans drsquoexpeacuteriences Cette 3e eacutedition a eacuteteacute compleacuteteacutee pour aborderlrsquoensemble des types de plans bull plan factoriel complet bull plan fractionnaire bull plan pour surfaces de reacuteponse (composites de Box-Behnken de

Doehlert) bull plan de meacutelanges bull plan optimal bull plan pour variables discregravetes

Cet ouvrage constitue un outil preacutecieux pour tous les expeacuterimentateursen recherche en deacuteveloppement ou en industrialisation dans de tregravesnombreux domaines (agroalimentaire chimie meacutetallurgie meacutecaniqueeacutelectronique pharmacie meacutedecine informatique etc)Le CD-Rom gratuit accompagnant lrsquoouvrage contient une version reacutecenteet complegravete du logiciel de plans drsquoexpeacuteriences JMPreg (SAS Institute Inc)Ce logiciel permet de reacutealiser rapidement les calculs les plus complexeset de tracer les diagrammes des exemples drsquoapplications proposeacutes

httpwwwplansdexperiencescom

9 7 8 2 1 0 0 4 9 7 4 4 7

ISBN 2 10 049744 8 wwwdunodcom

INTR

OD

UC

TION

AU

X PLA

NS D

rsquoEXPEacuteR

IENC

ESJ G

OU

PYL C

REIG

HTO

N

3e eacutedition

NordCompo
Fichier en piegravece jointe
9782100497447_couverturejpg

I

NTRODUCTIONAUX PLANS

DrsquoEXPEacuteRIENCES

prelim Goupy Page I Mardi 26 septembre 2006 1153 11

CHEZ LE MEcircME EacuteDITEUR

Jacques G

OUPY

Pratiquer les plans drsquoexpeacuteriences

(avec CD-Rom)568 p

Jacques G

OUPY

Plans drsquoexpeacuteriences les meacutelanges

304 p

Reneacutee V

EYSSEYRE

Aide-meacutemoire de statistiqueet probabiliteacutes pour lrsquoingeacutenieur

2

e

eacutedition 320 p

Page de coll Goupy Page I Mardi 26 septembre 2006 1154 11


I



3

e

eacutedition

prelim Goupy Page III Mardi 26 septembre 2006 1153 11

Du mecircme auteur


(avec CD-Rom)

Dunod

2005


Dunod 2000

copy Dunod Paris 2001 2006

copy Bordas Paris 1988 pour la 1

re

eacutedition

ISBN 2 10 049744 8

prelim Goupy Page IV Mardi 26 septembre 2006 1153 11

Disclaimer This eBook does not include the ancillary media that waspackaged with the original printed version of the book

V

TABLE DES MATIEgraveRES

Avant-propos IX

1 bull Faites connaissance avec la meacutethode des plans drsquoexpeacuteriences 1

11 Processus drsquoacquisition des connaissances 1

12 Eacutetude drsquoun pheacutenomegravene 3

13 Terminologie 4

14 Variables centreacutees reacuteduites 8

15 Points expeacuterimentaux 9

16 Plans drsquoexpeacuteriences 10

2 bull Votre premier plan drsquoexpeacuteriences 15

21 Exemple 01 je maicirctrise la consommation de ma voiture 15

3 bull Plan drsquoexpeacuteriences pour 3 facteurs 31

31 Exemple 02 des bijoux en or 31

32 Conclusion de lrsquoeacutetude 47

4 bull Plans factoriels complets agrave 4 facteurs 49

41 Exemple 03 la galette des rois 50

42 Fonction deacutesirabliteacute 60

43 Application agrave lrsquoexemple 03 64


5 bull Notions de statistique appliqueacutees aux plans drsquoexpeacuteriences 67

51 Exemple 04 dureacutee de vie des outils de coupe jetables 68

52 Notions de statistique appliqueacutees aux plans drsquoexpeacuteriences 71

53 Facteurs et interactions influents 81

54 Analyse de la variance 82



Goupy Livre Page V Jeudi 21 septembre 2006 623 18

VI

6 bull Plans factoriels fractionnaires 93

61 Exemple 05 le tellure 94

62 Theacuteorie des aliases 97

63 Calcul de Box 99

64 Relation drsquoeacutequivalence 102

65 Geacuteneacuterateurs drsquoaliases 104

66 Construction pratique drsquoun plan fractionnaire 105

67 Nombre maximal de facteurs eacutetudieacutes sur un plan de base 112

68 Application de la theacuteorie des aliases agrave lrsquoexemple 05 112


7 bull Exemples de plans factoriels fractionnaires 115

71 Exemple 06 la sulfonation 116

72 Exemple 07 le spectrofluorimegravetre 124

73 Exemple 08 les pommes de terre chips 140

8 bull Ordre des essais 147

81 Nature des erreurs 148

82 Exemple 09 le Penicillium chrysogenum (exemple de blocking) 151

83 Exemple 10 les haricots de Yates 161

84 Exemple 11 le broyeur (exemple de plan anti-deacuterive) 168

85 Avantages et dangers de la randomisation 175

9 bull Plans pour surfaces de reacuteponse 179

91 Preacutesentation des plans composites 179

92 Preacutesentation des plans de Box-Behnken 180

93 Preacutesentation des plans de Doehlert 181

94 Exemple 12 la rectification du contremaicirctre (exemple de plan composite) 184

95 Exemple 13 un yoghourt doux (exemple de plan de Box-Behnken) 194

96 Exemple 14 lrsquoinsecticide (exemple de plan de Doehlert) 199

10 bull Plans de meacutelanges 207

101 Contrainte fondamentale des meacutelanges 207

102 Repreacutesentation geacuteomeacutetrique des meacutelanges 208

103 Plans de meacutelanges classiques 212

104 Modegraveles matheacutematiques des plans de meacutelanges 215

105 Exemple 15 les trois polymegraveres 217

Goupy Livre Page VI Jeudi 21 septembre 2006 623 18

VII

11 bull Notion de plan optimal 221

111 Exemple drsquoHotelling 221

112 Peseacutees et plans drsquoexpeacuteriences 223

113 Optimaliteacute 225

114 Plans optimaux avec un modegravele lineacuteaire 229

115 Quand utiliser des plans optimaux 232

116 Adaptabiliteacute des plans optimaux 232

117 Exemple 16 deacuteveloppement drsquoun deacutetecteur de fissures 235

118 Exemple 17 les comprimeacutes du pharmacien 240

119 Exemple 18 la cregraveme agrave bronzer 248

12 bull Carreacutes latins et plans associeacutes 255

121 Exemple 19 les salaires ndash un facteur discret agrave plusieurs niveaux 255

122 Suite de lrsquoexemple 19 ndash deux facteurs discrets agrave plusieurs niveaux 257

123 Carreacutes latins 264

124 Carreacutes greacuteco-latins 265

125 Carreacutes de Youden 266

126 Exemple 20 eacutetude de la peacuteneacutetromeacutetrie 267

13 bull Synthegravese et conseils 271

131 Choix drsquoune meacutethode drsquoexpeacuterimentation 271

132 Expeacuterimentation 277

133 Analyse des reacutesultats 277

134 Acquisition progressive des connaissances 279

135 Recommandations 280

136 Limites de lrsquoexpeacuterimentique 280

14 bull Preacuteparez et analysez vos plans drsquoexpeacuteriences avec JMPreg 281

141 Construire un plan drsquoexpeacuteriences 281

142 Le tableur de JMP 286

143 Choisir et utiliser un modegravele 288

144 Examiner et analyser les reacutesultats 290

145 Principaux graphiques et rapports drsquoanalyse 291

146 Transfeacuterer et sauvegarder les reacutesultats et les analyses 293

Goupy Livre Page VII Jeudi 21 septembre 2006 623 18

Annexes

A bull Origine des exemples 297

B bull Comparaison de deux moyennes indeacutependantes 299

C bull Seacuteries drsquoessais laissant les facteurs principaux insensibles agrave une deacuterive lineacuteaire 301

D bull Introduction au calcul matriciel 307

Bibliographie 313

Index 321

Instructions pour utiliser le logiciel JMPreg 324

Goupy Livre Page VIII Jeudi 21 septembre 2006 623 18

IX

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

AVANT-PROPOS

La premiegravere eacutedition de ce livre a eacuteteacute publieacutee en 1988 Depuis cette anneacutee-lagrave lrsquoutili-sation des plans drsquoexpeacuteriences srsquoest consideacuterablement deacuteveloppeacutee dans les mondesindustriels et universitaires De nombreux logiciels consacreacutes aux plans drsquoexpeacute-riences sont apparus Ils ont simplifieacute la construction des plans effaceacute les diffi-culteacutes de calcul et permis la reacutealisation rapide de graphiques mettant en valeur lesprincipaux reacutesultats de lrsquoexpeacuterimentation Il eacutetait donc devenu neacutecessaire de rajeunirlrsquoouvrage Introduction aux plans drsquoexpeacuteriences pour tenir compte de cette rapideeacutevolution Crsquoest lrsquoobjet de cette troisiegraveme eacuteditionLes premiegravere et deuxiegraveme eacuteditions ne traitaient que des plans factoriels complets oufractionnaires Cette troisiegraveme eacutedition comporte en plus des chapitres sur les planspour surfaces de reacuteponse sur les plans de meacutelanges sur les plans D-optimaux et surles plans pour variables discregravetes Cet eacutelargissement a eacuteteacute possible gracircce aux logicielsdrsquoaujourdrsquohui qui permettent de construire facilement tous ces plans et qui reacutealisentles calculs les plus complexes rapidement et sans aucune difficulteacutePour que vous puissiez vous rendre compte de la puissance des logiciels actuels lasocieacuteteacute SAS nous a permis drsquoincorporer une version complegravete de son logiciel JMPreg

(prononcez jump) dans ce livre Vous aurez ce logiciel agrave votre disposition pendantsix mois agrave partir du moment ougrave vous lrsquoaurez activeacute (voir les instructions en findrsquoouvrage)Ce livre est compleacuteteacute par un blog (httpwwwplansdexperiencescom) sur lequelvous trouverez des explications suppleacutementaires sur les exemples un manuel (enfranccedilais) drsquointroduction au logiciel et les fichiers teacuteleacutechargeables des exemples Unedocumentation plus complegravete existe en anglais et peut ecirctre consulteacutee et teacuteleacutechargeacuteesur le site httpwwwjmpcomNous tenons agrave remercier Michel Genetay Reacutemi Longeray Lalatiana Rakotozafy etJacques Vailleacute qui ont relu le manuscrit original de ce livre et qui nous ont faitprofiter de leurs suggestions et de leurs conseilsNous conseillons aux lecteurs qui veulent compleacuteter leurs connaissances drsquoaccom-pagner leur lecture par lrsquoexeacutecution des calculs avec le logiciel Ils pourront ainsiapprofondir les analyses et proceacuteder agrave leur propre interpreacutetation Nous avonsessayeacute de fournir aux lecteurs tous les outils et toutes les explications pour qursquoilspuissent utiliser facilement la meacutethode des plans drsquoexpeacuteriences pour leurs proprestravaux Il nous reste agrave leur souhaiter laquo Bons plans drsquoexpeacuteriences raquo

Jacques Goupy Paris (France)Lee Creighton Cary (Caroline du Nord Eacutetats-Unis)

Goupy Livre Page IX Jeudi 21 septembre 2006 623 18

Goupy Livre Page X Jeudi 21 septembre 2006 623 18

1

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

1 bull FAITES CONNAISSANCE AVECLA MEacuteTHODE DES PLANS DrsquoEXPEacuteRIENCES

Si vous lisez ce livre crsquoest que probablement vous faites des expeacuteriences et que vouscherchez agrave mieux les organiser Vous cherchez surtout agrave ne faire que les bonnesexpeacuteriences crsquoest-agrave-dire celles qui vont vous apporter la meilleure informationexpeacuterimentale que vous puissiez espeacutererCe livre est eacutecrit pour vous aider Il va vous deacutecrire la meacutethode et les outils pour quevous ne fassiez plus que les bonnes expeacuteriences et que vous en tiriez le maximumde renseignements Vous prendrez vos deacutecisions en connaissance de cause et voustrouverez des solutions agrave vos problegravemesNous allons drsquoabord regarder comment srsquointegravegrent les plans drsquoexpeacuteriences dans leprocessus drsquoacquisition des connaissances Puis nous verrons les concepts de basequi permettent de bien deacutefinir une eacutetude et comment lrsquoon interpregravete les reacutesultatsdes essais

11 Processus drsquoacquisition des connaissances

Augmenter ses connaissances crsquoest trouver la reacuteponse agrave une question poseacutee Oncommence donc par se poser une ou plusieurs questions (Figure 11) Par exemplesi lrsquoon deacutesire connaicirctre lrsquoinfluence drsquoun engrais sur le rendement en bleacute drsquouneparcelle de terrain on pourra se poser les questions suivantes qui bien sucircr ne sontpas limitatives

ndash laquo Peut-on obtenir 10 quintaux de bleacute de plus agrave lrsquohectare en augmentant la quantiteacutedrsquoengrais raquo

ndash laquo Quelle est lrsquoincidence de la pluie sur lrsquoefficaciteacute de lrsquoengrais raquondash laquo La qualiteacute du bleacute restera-t-elle bonne si jrsquoutilise cet engrais raquondash laquo Combien dois-je utiliser drsquoengrais pour obtenir la quantiteacute maximale de bleacute

par hectare raquo

Ces questions deacutelimitent le problegraveme agrave reacutesoudre et fixent les travaux agrave exeacutecuterIl est donc important de se poser les questions qui correspondent reacuteellement auproblegraveme Bien sucircr avant drsquoentreprendre des expeacuteriences il est prudent de veacuterifierque lrsquoinformation chercheacutee nrsquoexiste pas deacutejagrave ailleurs Dans ce but on effectue uninventaire des connaissances soit une bibliographie soit une consultation drsquoexpertssoit un calcul theacuteorique soit toute autre deacutemarche ayant pour but de reacutepondre

Goupy Livre Jeudi 21 septembre 2006 623 18

2

11 Processus drsquoacquisition des connaissances1 bull Deacutecouvrir la meacutethodedes plans drsquoexpeacuteriences

sans expeacuterience aux questions poseacutees Apregraves cette phase drsquoenquecircte les questionsinitiales peuvent ecirctre entiegraverement reacutesolues et il nrsquoy a plus de problegraveme Dans le cascontraire certaines questions restent entiegraveres ou elles sont modifieacutees il est alorsneacutecessaire drsquoentreprendre des expeacuteriences pour obtenir les reacuteponses complegravetes quelrsquoon souhaite Ce travail preacutealable fait partie du meacutetier drsquoexpeacuterimentateur et nousnrsquoinsisterons pas Ce nrsquoest pas sur cette phase du processus que nous voulons faireporter notre effort de reacuteflexion et drsquoameacuteliorationNrsquoayant plus que les questions sans reacuteponse immeacutediate il faut faire des expeacuteriencesComment peut-on choisir ces expeacuteriences pour

ndash arriver rapidement aux meilleurs reacutesultats possiblesndash eacuteviter de reacutealiser des expeacuteriences inutilesndash obtenir la meilleure preacutecision possible sur les reacutesultatsndash permettre drsquoavancer agrave coup sucircrndash eacutetablir la modeacutelisation du pheacutenomegravene eacutetudieacutendash deacutecouvrir la solution optimale

Les trois aspects essentiels du processus drsquoacquisition des connaissances sont lessuivantes

ndash le choix de la meacutethode drsquoexpeacuterimentationndash lrsquoanalyse des reacutesultatsndash lrsquoacquisition progressive de la connaissance

Examinons plus en deacutetail ces trois aspects sachant que les expeacuteriences sont organiseacuteespour faciliter lrsquoexploitation des reacutesultats et pour permettre lrsquoacquisition progressivedes reacutesultats drsquointeacuterecirct

Figure 11 ndash Les plans drsquoexpeacuteriences optimisent les trois parties encadreacutees du processus drsquoacquisition des connaissances

Goupy Livre Page 2 Jeudi 21 septembre 2006 623 18

12 Eacutetude drsquoun pheacutenomegravene

3

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

1 bull Deacutecouvrir la meacutethodedes plans drsquoexpeacuteriences

111 Choix de la meacutethode drsquoexpeacuterimentation

La meacutethode drsquoexpeacuterimentation choisie doit faciliter lrsquointerpreacutetation des reacutesultatsElle doit eacutegalement minimiser le nombre des essais sans toutefois sacrifier la qualiteacuteLa theacuteorie des plans drsquoexpeacuteriences assure les conditions pour lesquelles on obtientla meilleure preacutecision possible avec le minimum drsquoessais On a donc le maximumdrsquoefficaciteacute avec le minimum drsquoexpeacuteriences et par conseacutequent le coucirct minimum

112 Analyse des reacutesultats

Lrsquoanalyse des reacutesultats drsquoexpeacuteriences est faciliteacutee par le choix initial des expeacuteriencesLes reacutesultats seront faciles agrave interpreacuteter et riches drsquoenseignement si lrsquoon a bien preacutepareacuteles expeacuteriencesGracircce aux ordinateurs et aux logiciels la construction des plans drsquoexpeacuteriences et lescalculs neacutecessaires agrave leur interpreacutetation sont devenus tregraves simples Ces outils favorisenteacutegalement les repreacutesentations graphiques qui illustrent de maniegravere spectaculaire lesreacutesultats et ameacuteliorent la compreacutehension des pheacutenomegravenes

113 Acquisition progressive de la connaissance

Lrsquoexpeacuterimentateur qui entreprend une eacutetude ne connaicirct pas les reacutesultats il estdonc sage drsquoavancer progressivement pour pouvoir reacuteorienter les essais en fonctiondes premiers reacutesultats Une premiegravere eacutebauche permettra de mieux orienter les essaisvers les seuls aspects inteacuteressants de lrsquoeacutetude et drsquoabandonner les voies sans issuesUne premiegravere seacuterie drsquoexpeacuteriences conduit agrave des conclusions provisoires en fonc-tion de ces conclusions provisoires on lance une nouvelle seacuterie drsquoessais Lrsquoensembledes deux seacuteries drsquoexpeacuteriences est utiliseacute pour obtenir un contour preacutecis des reacutesultatsdrsquoeacutetude Lrsquoexpeacuterimentateur accumule ainsi les seuls reacutesultats dont il a besoin etsrsquoarrecircte degraves qursquoil a obtenu ce qursquoil cherche


Lrsquoeacutetude drsquoun pheacutenomegravene revient souvent agrave srsquointeacuteresser agrave une grandeur particuliegraverecomme la consommation drsquoessence drsquoune voiture ou comme le prix de revientdrsquoun produit chimique ou encore comme le rendement en bleacute drsquoune parcelle deterrain Cette grandeur consommation prix ou rendement deacutepend drsquoun grandnombre de variables La consommation de la voiture est fonction de la vitesse duveacutehicule de la puissance du moteur de la maniegravere de conduire de la direction etde la force du vent du gonflage des pneumatiques de la preacutesence ou non drsquounporte-bagages du nombre de personnes transporteacutees de la marque de la voitureetc Le prix du produit chimique deacutepend de la qualiteacute des matiegraveres premiegraveres desrendements des uniteacutes de production des speacutecifications imposeacutees des conditionsde fabrication etc Il en est de mecircme pour le rendement en bleacute qui est fonction dela nature du terrain de la quantiteacute drsquoengrais incorporeacute de lrsquoexposition au soleildu climat de la varieacuteteacute de bleacute ensemenceacute etc


4

13 Terminologie1 bull Deacutecouvrir la meacutethodedes plans drsquoexpeacuteriences

Sous une forme matheacutematique on peut eacutecrire que la grandeur drsquointeacuterecirct y quenous appellerons eacutegalement reacuteponse par la suite est une fonction de plusieursvariables xi (variables que nous appellerons aussi facteurs par la suite) On a

y = f (x1x2x3hellipxk)

Lrsquoeacutetude du pheacutenomegravene se ramegravene agrave deacuteterminer la fonction f( ) qui lie la reacuteponse yaux diffeacuterents facteurs x1 x2 hellip xkPour approfondir cette approche il faut introduire quelques notions particuliegravereset une terminologie speacutecifique aux plans drsquoexpeacuteriences

13 Terminologie

La grandeur drsquointeacuterecirct qui est geacuteneacuteralement noteacutee y porte le nom de reacuteponse Lesvariables qui peuvent modifier la reacuteponse sont appeleacutees facteurs On parle donc desfacteurs qui influent sur une reacuteponse Les termes facteur et reacuteponse sont universellementemployeacutes dans le domaine des plans drsquoexpeacuteriences

131 Les diffeacuterents types de facteurs

La construction des plans et lrsquointerpreacutetation des reacutesultats deacutependent en grandepartie des types de facteurs rencontreacutes dans lrsquoeacutetude On distingue plusieurs typesde facteurs Nous retiendrons les types de facteurs suivants les facteurs continusles facteurs discrets les facteurs ordonnables les facteurs booleacuteens

m Facteurs continus

La pression est un exemple de facteur continu Dans un intervalle de pressiondonneacute on peut choisir toutes les valeurs possibles Il en est de mecircme drsquoune longueurdrsquoune concentration ou drsquoune tempeacuterature Les valeurs prises par les facteurs continussont donc repreacutesenteacutees par des nombres continus

m Facteurs discrets

Au contraire les facteurs discrets ne peuvent prendre que des valeurs particuliegraveresCes valeurs ne sont pas forceacutement numeacuteriques on peut repreacutesenter un facteurdiscret par un nom une lettre une proprieacuteteacute ou mecircme par un nombre qui nrsquoaalors en soi aucune valeur numeacuterique mais qursquoune signification de repegravere Parexemple on peut srsquointeacuteresser aux couleurs drsquoun produit bleu rouge et jaune sontdes facteurs discrets

m Facteurs ordonnables

Il srsquoagit de facteurs discrets que lrsquoon peut mettre dans un ordre logique Par exemplegrand moyen petit ou encore premier deuxiegraveme troisiegraveme et quatriegraveme

m Facteurs booleacuteens

Les facteurs booleacuteens sont des facteurs discrets qui ne peuvent prendre que deuxvaleurs haut ou bas ouvert ou fermeacute blanc ou noir etc


13 Terminologie

5

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


La frontiegravere est parfois floue entre ces diffeacuterents types de facteurs Une couleurfacteur apparemment discret peut ecirctre transformeacutee en grandeur ordonnable etmecircme continue si lrsquoon introduit la notion de longueur drsquoonde Un facteurcontinu comme la vitesse peut ecirctre transformeacute en facteur ordonnable ou discret rapide et lent ou vitesse A et vitesse B Cette possibiliteacute nrsquoest pas un inconveacutenientcrsquoest une souplesse suppleacutementaire dont lrsquoexpeacuterimentateur pourra tirer avantage aumoment de lrsquointerpreacutetation En effet suivant le choix effectueacute on pourra mettreplus facilement en relief un aspect particulier de lrsquoeacutetude Le changement de typesde variables est aussi un moyen drsquoadapter la reacuteponse agrave lrsquoobjectif de lrsquoeacutetude Parexemple on possegravede lrsquoacircge des membres drsquoune population Si lrsquoon cherche lrsquoacircgemoyen la variable laquo acircge raquo sera choisie continue Si lrsquoon cherche le pourcentage despersonnes ayant un acircge donneacute la variable laquo acircge raquo sera choisie ordonnable il y auraplusieurs cateacutegories deacutefinies par les limites drsquoacircge les jeunes les adolescents lesadultes et les seniors Si lrsquoon cherche la proportion de jeunes de moins de 18 ansla variable laquo acircge raquo sera choisie booleacuteenne les moins de 18 ans et les plus de 18 ansLa compreacutehension des plans drsquoexpeacuteriences srsquoappuie sur la notion essentielledrsquoespace expeacuterimental des grandeurs eacutetudieacutees Nous allons examiner en deacutetail ceconcept fondamental Nous insisterons sur les facteurs continus qui sont les pluscouramment utiliseacutes

132 Espace expeacuterimental

Pour preacutesenter lrsquoespace expeacuterimental nous utiliserons un espace agrave deux dimen-sions ce qui facilitera les repreacutesentations graphiques Il est ensuite facile drsquoeacutetendreles notions introduites agrave des espaces multidimensionnelsUn facteur continu peut ecirctre repreacutesenteacute par un axe gradueacute et orienteacute Srsquoil y a unsecond facteur continu il est repreacutesenteacute lui aussi par un axe gradueacute et orienteacuteCe second axe est disposeacute orthogonalement au premier On obtient ainsi unrepegravere carteacutesien qui deacutefinit un espace euclidien agrave deux dimensions Cet espaceest appeleacute lrsquoespace expeacuterimental (figure 12) Lrsquoespace expeacuterimental comprend tousles points du plan laquo facteur 1 times facteur 2 raquo et chacun drsquoeux repreacutesente une expeacute-rience

Figure 12 ndash Chaque facteur est repreacutesenteacute par un axe gradueacute et orienteacute Les axes des facteurs sont orthogonaux entre eux Lrsquoespace ainsi deacutefini est lrsquoespace expeacuterimental

Espace expeacuterimental


6


Srsquoil y a un troisiegraveme facteur on le repreacutesente aussi par un axe orienteacute et gradueacute eton le positionne perpendiculairement aux deux premiers Agrave partir de quatrefacteurs on opegravere de mecircme mais il nrsquoy a plus de repreacutesentation geacuteomeacutetriquepossible et lrsquoon doit adopter une repreacutesentation purement matheacutematique de lrsquoespaceexpeacuterimental qui est un hypervolume agrave quatre dimensions

133 Domaine drsquoun facteur

La valeur donneacutee agrave un facteur pour reacutealiser une expeacuterience est appeleacutee niveau

Lorsqursquoon eacutetudie lrsquoinfluence drsquoun facteur en geacuteneacuteral on limite ses variations entredeux bornes La borne infeacuterieure est le niveau bas La borne supeacuterieure est leniveau haut Si lrsquoon eacutetudie lrsquoinfluence de la vitesse du veacutehicule sur la consommationcelle-ci peut varier par exemple entre 80 et 120 kmh La vitesse de 80 kmh estle niveau bas et la vitesse de 120 kmh est le niveau haut Crsquoest lrsquoexpeacuterimentateurqui deacutefinit ces deux niveaux en fonction des speacutecificiteacutes de lrsquoeacutetude Lrsquoensemble detoutes les valeurs que peut prendre le facteur entre le niveau bas et le niveau hautsrsquoappelle le domaine de variation du facteur ou plus simplement le domaine dufacteurSrsquoil y a plusieurs facteurs chacun drsquoeux agrave son domaine de variation Afin drsquoavoirune repreacutesentation commune pour tous les facteurs on a lrsquohabitude drsquoindiquer lesniveaux bas par ndash1 et les niveaux hauts par +1 La vitesse de 80 kmh est le niveaundash1 et celle de 120 kmh est le niveau +1Agrave lrsquointeacuterieur du domaine drsquoun facteur continu toutes les valeurs sont theacuteorique-ment possibles On peut donc y choisir deux trois ou plusieurs niveaux selon lesbesoins de lrsquoeacutetude Par exemple si lrsquoon veut eacutetablir un modegravele du second degreacute onchoisira trois ou quatre niveaux crsquoest-agrave-dire trois ou quatre vitesses diffeacuterentes

134 Domaine drsquoeacutetude

Dans la pratique lrsquoexpeacuterimentateur seacutelectionne une partie de lrsquoespace expeacuterimentalpour reacutealiser son eacutetude Cette zone particuliegravere de lrsquoespace expeacuterimental est ledomaine drsquoeacutetude (figure 14) Ce domaine est deacutefini par les niveaux hauts et lesniveaux bas de tous les facteurs et eacuteventuellement par des contraintes entre lesfacteurs Supposons que le second facteur soit la surcharge du veacutehicule deacutefiniecomme toute masse suppleacutementaire agrave celle du veacutehicule et du chauffeur Le niveau

Figure 13 ndash Le domaine de variation de la vitesse est constitueacute de toutes les vitesses comprises entre 80 et 120 kmh Le niveau bas du facteur est noteacute ndash1 et le niveau haut +1

80 kmh

niveau bas

Vitesse du veacutehicule

niveau haut

Domaine deacutetude de la vitesse du veacutehicule

ndash 1 + 1

120 kmh


13 Terminologie

7

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


bas de la surcharge est 0 kg et le niveau haut 300 kg par exemple Srsquoil nrsquoy a pas decontraintes le domaine drsquoeacutetude est repreacutesenteacute par tous les points dont les surchargessont comprises entre 0 et 300 kg et dont les vitesses sont comprises entre 80 et120 kmh

Il peut y avoir des contraintes sur le domaine drsquoeacutetude Par exemple il peut ecirctreimpossible drsquoatteindre la vitesse de 120 kmh avec une surcharge trop eacuteleveacutee Lafigure 15 illustre une reacuteduction possible du domaine drsquoeacutetude initial Une zone dudomaine drsquoeacutetude initial eacutechappe aux expeacuteriences

Figure 14 ndash Le domaine drsquoeacutetude est deacutefini par la reacuteunion des domaines des diffeacuterents facteurs (ici il nrsquoy a pas de contraintes)

Figure 15 ndash Le domaine drsquoeacutetude sous contraintes est repreacutesenteacute par la partie griseacutee

+ 1

+ 11 Facteur 1

Facteur 2

Domaine deacutetude

Vitesse

Surcharge

80 kmh

0 kg

300 kg

120 kmh

ndash

1ndash

+ 1

+ 11

1

Vitesse ( kmh)

Surcharge (kg)

Domaine deacutetude

300

0

80 120

Zone exclue

ndash

ndash


8

14 Variables centreacutees reacuteduites1 bull Deacutecouvrir la meacutethodedes plans drsquoexpeacuteriences

14 Variables centreacutees reacuteduites

Lorsqursquoon attribue la valeur minus1 au niveau bas drsquoun facteur et la valeur +1 au niveauhaut on effectue deux modifications importantes

ndash On deacuteplace lrsquoorigine des mesures Dans lrsquoexemple choisi le milieu de lrsquointer-valle [minus1 +1] correspond agrave une valeur de 100 kmh La valeur numeacuterique de lanouvelle origine zeacutero diffegravere donc de lrsquoorigine exprimeacutee en uniteacute courante

ndash On change lrsquouniteacute de mesure Par exemple si le niveau bas du facteur laquo vitessedu veacutehicule raquo est 80 kmh et le niveau haut 120 kmh il y a 40 kmh entre cesdeux valeurs soit 40 fois lrsquouniteacute de vitesse Entre minus1 et +1 il y a deux uniteacutesnouvelles la nouvelle uniteacute vaut 20 kmh on lui donne le nom de Pas

Ces deux modifications entraicircnent lrsquointroduction de nouvelles variables que lrsquoonappelle variables centreacutees reacuteduites (vcr) centreacutees pour indiquer le changementdrsquoorigine et reacuteduites pour signaler la nouvelle uniteacute On utilise eacutegalement le termede variables codeacutees ou drsquouniteacutes codeacuteesLe passage des variables drsquoorigine A aux variables codeacutees x et inversement est donneacutepar la formule suivante (A0 est la valeur centrale en uniteacutes courantes)

11

Lrsquointeacuterecirct des uniteacutes codeacutees est de pouvoir preacutesenter les plans drsquoexpeacuteriences de lamecircme maniegravere quels que soient les domaines drsquoeacutetude retenus et quels que soient lesfacteurs La theacuteorie des plans drsquoexpeacuteriences preacutesente ainsi une grande geacuteneacuteraliteacuteLrsquoutilisation des vcr est tregraves reacutepandue dans les logiciels de plans drsquoexpeacuteriences etcertaines opeacuterations comme la recherche des meilleurs points drsquoexpeacuteriences par lecritegravere de D-optimaliteacute ne sont reacutealisables qursquoavec ces variablesLes variables codeacutees reacutesultent du rapport de deux grandeurs de mecircme uniteacute physiqueelles sont donc sans dimension La disparition des uniteacutes naturelles associeacutee au faitque tous les facteurs ont le mecircme domaine de variation (deux uniteacutes codeacutees)permet la comparaison directe des effets des facteurs entre eux

Application 1

Un expeacuterimentateur choisit pour le facteur laquo vitesse de la voiture raquo 80 kmh comme niveau bas et120 kmh comme niveau haut Quelle est en variables codeacutees la valeur de la vitesse de 90 kmh

Calculons le Pas du facteur vitesse Il est eacutegal agrave la moitieacute de la diffeacuterence entre le niveau haut et leniveau bas

A0 est la valeur centrale entre le niveau haut et le niveau bas crsquoest-agrave-dire la moitieacute de la somme duniveau haut et du niveau bas

Appliquons la relation 11

Pour cet exemple la vitesse de 90 kmh est donc eacutegale agrave minus05 en variables codeacutees

xA A0ndash

Pas---------------=

PasA+1 A 1ndashndash

2---------------------- 120 80ndash

2--------------------- 20= = =

A0A+1 A 1ndash+

2---------------------- 120 80+

2--------------------- 100= = =

xA A0ndash

Pas--------------- 90 100ndash

20--------------------- 05ndash= = =


15 Points expeacuterimentaux

9

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


Application 2

On peut aussi chercher la valeur normale connaissant la valeur codeacutee Quelle est en uniteacutesnormales la valeur de la vitesse de +05 en uniteacutes codeacutees Eacutecrivons la relation 11

Drsquoougrave A = +100 + 05 times 20 = 110

La vitesse codeacutee de 05 correspond agrave une vitesse de 110 kmh


Dans un espace agrave deux dimensions le niveau i du facteur 1 noteacute x1i et le niveau jdu facteur 2 noteacute x2j peuvent ecirctre consideacutereacutes comme les coordonneacutees drsquoun pointde lrsquoespace expeacuterimental ou du domaine drsquoeacutetude (figure 16) Par exemple si leniveau de la vitesse est 90 kmh et celui de la surcharge est 250 kg les coordonneacuteesdu point expeacuterimental sont

x1i = 90 kmhx2j = 250 kg

Une expeacuterience donneacutee est alors repreacutesenteacutee par un point dans ce systegraveme drsquoaxesCrsquoest la raison pour laquelle une expeacuterience est souvent deacutesigneacutee par lrsquoexpressionpoint expeacuterimental point drsquoexpeacuterience ou mecircme simplement point Un plan drsquoexpeacute-riences est donc repreacutesenteacute par un ensemble de points expeacuterimentaux eux-mecircmessitueacutes dans lrsquoespace expeacuterimental Dans lrsquoexemple que nous avons pris lrsquoexpeacuterienceest conduite sur un veacutehicule qui roule agrave 90 kmh avec une surcharge de 250 kg

Jusqursquoagrave trois facteurs il est possible de dessiner le domaine drsquoeacutetude Au-delagrave detrois facteurs on utilise une repreacutesentation en tableau dite matricielle plus geacuteneacuteralepuisqursquoelle permet de repreacutesenter les points drsquoexpeacuteriences dans un hypervolume agraveun nombre quelconque de dimensions

Figure 16 ndash Dans lrsquoespace expeacuterimental les niveaux des facteurs deacutefinissent des points expeacuterimentaux

+05 A 100ndash20

------------------=

Facteur 2

Facteur 1

Point expeacuterimental

x2 j

x1 i

Vitesse

Surcharge

90 km h

250 kg


10

16 Plans drsquoexpeacuteriences1 bull Deacutecouvrir la meacutethodedes plans drsquoexpeacuteriences

16 Plans drsquoexpeacuteriences

161 Meacutethodologie des plans sans contrainte

Le choix du nombre et de lrsquoemplacement des points drsquoexpeacuteriences est le problegravemefondamental des plans drsquoexpeacuteriences On cherche agrave reacutealiser le minimum drsquoexpeacute-riences tout en reacuteduisant lrsquoinfluence de lrsquoerreur expeacuterimentale sur les modeacutelisationsmatheacutematiques qui serviront agrave prendre des deacutecisions On atteint ce but en consi-deacuterant les proprieacuteteacutes matheacutematiques et statistiques qui relient la reacuteponse auxfacteurs Lorsqursquoil nrsquoy a pas de contraintes sur le domaine drsquoeacutetude il existe desplans classiques qui possegravedent drsquoexcellentes qualiteacutes statistiques et qui permettentde modeacuteliser les reacuteponses dans les meilleures conditions (figure 17) Lorsqursquoilexiste des contraintes il faut construire des plans sur mesure en recherchant laposition des points expeacuterimentaux qui conduisent lagrave aussi agrave de bonnes qualiteacutesstatistiques et agrave une bonne modeacutelisation des reacuteponses

162 Meacutethodologie des plans avec contrainte

La proceacutedure de construction des plans dont le domaine est contraint est la suivante 1 On deacutefinit le domaine de chacun des facteurs (niveau bas et niveau haut)2 On deacutefinit les contraintes qui pegravesent sur les facteurs Ces contraintes sont expri-meacutees par des relations drsquoineacutegaliteacute entre les facteurs et elles deacutefinissent les zonesautoriseacutees crsquoest-agrave-dire celles ougrave les expeacuteriences sont possibles et les zones inter-dites crsquoest-agrave-dire celles ougrave les expeacuteriences ne doivent pas ecirctre exeacutecuteacutees3 On deacutefinit les niveaux des facteurs les plus inteacuteressants pour lrsquoeacutetude autres queles niveaux bas et hauts Le plus souvent entre 2 et 5 niveaux suppleacutementaires parfacteur4 On construit une grille en prenant en compte toutes les combinaisons desniveaux des facteurs Cette grille ne doit contenir que les points expeacuterimentauxreacutealistes crsquoest-agrave-dire les points du domaine autoriseacute Ces points constituent lespoints candidats (figure 18)

Figure 17 ndash Exemple de disposition des points expeacuterimentaux dans un domaine sans contraintes

+ 1

+ 1 1

1

Facteur 1

Facteur 2

ndash

ndash



11

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


5 On choisit une fonction reliant a priori la reacuteponse aux facteurs6 On seacutelectionne en fonction drsquoun critegravere drsquooptimaliteacute choisi le nombre etlrsquoemplacement des points expeacuterimentaux les plus utiles agrave la modeacutelisation dupheacutenomegravene eacutetudieacute (figure 19) Cette seacutelection exige de longs calculs et nrsquoest possibleqursquoavec lrsquoaide drsquoun logiciel de plans drsquoexpeacuteriences

Figure 18 ndash La grille des points candidats est constitueacutee drsquoexpeacuteriences possibles dans le domaine drsquoeacutetude

Figure 19 ndash Les meilleurs points sont seacutelectionneacutes par le logiciel

+ 1

+ 1 1

1

Vitesse

Surcharge (kg)

1 000

0

80 120

Facteur 1

Facteur 2

ndash

ndash

(kmh)

+ 1

+ 1 1

1

Vitesse (kmh)

Surcharge (kg)

1 000

0

80 120

Facteur 1

Facteur 2

ndash

ndash


12


163 Surfaces de reacuteponse

Agrave chaque point du domaine drsquoeacutetude correspond une reacuteponse Agrave lrsquoensemble de tousles points du domaine drsquoeacutetude correspond un ensemble de reacuteponses qui se localisesur une surface appeleacutee surface de reacuteponse (figure 110)

En geacuteneacuteral on ne connaicirct que quelques reacuteponses celles qui correspondent auxpoints expeacuterimentaux retenus par lrsquoexpeacuterimentateur On interpole agrave lrsquoaide drsquounmodegravele matheacutematique les reacuteponses inconnues pour obtenir la surface de reacuteponseLes points drsquoexpeacuteriences retenus par la theacuteorie des plans drsquoexpeacuteriences assurent lameilleure preacutecision possible sur la forme et la position de la surface de reacuteponse

164 Modeacutelisation matheacutematique a priori de la reacuteponse

m Modeacutelisation matheacutematique

En lrsquoabsence de toute information sur la fonction qui lie la reacuteponse aux facteurson se donne a priori une loi drsquoeacutevolution dont la formulation la plus geacuteneacuterale est lasuivante

y = f (x1x2x3hellipxn) 12

Cette fonction est trop geacuteneacuterale et il est drsquousage drsquoen prendre un deacuteveloppementlimiteacute de Taylor-Mac Laurin crsquoest-agrave-dire une approximation Si les deacuteriveacuteespeuvent ecirctre consideacutereacutees comme des constantes le deacuteveloppement preacuteceacutedentprend la forme drsquoun polynocircme de degreacute plus ou moins eacuteleveacute

13

Figure 110 ndash Lrsquoensemble des reacuteponses qui correspond agrave tous les points du domaine drsquoeacutetude forme la surface de reacuteponse

A B

1 +1

1

Facteur 2

Facteur 1

Reacuteponse

D+1

ndash

ndash

y a0 aixisum aijxixjsum aiixi2sum hellip+ + + +=



13

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


ougrave

ndash y est la grandeur agrave laquelle srsquointeacuteresse lrsquoexpeacuterimentateur crsquoest la reacuteponse ou lagrandeur drsquointeacuterecirct

ndash xi repreacutesente un niveau du facteur indash xj repreacutesente un niveau du facteur jndash a0 ai aij aii sont les coefficients du polynocircme

Ce modegravele est appeleacute le modegravele a priori ou le modegravele postuleacuteLes modegraveles eacutetablis sont des modegraveles de preacutevision valables dans le domaine drsquoeacutetudedomaine que lrsquoon doit toujours preacuteciser Ce ne sont pas des modegraveles theacuteoriquesbaseacutes sur des lois physico-chimiques ou meacutecaniques Dans quelques rares cas il estpossible drsquoutiliser des lois physiques theacuteoriques connues

m Modeacutelisation expeacuterimentale

Deux compleacutements doivent ecirctre apporteacutes au modegravele purement matheacutematiquepreacuteceacutedemment deacutecritLe premier compleacutement est le manque drsquoajustement Cette expression traduit le faitque le modegravele choisi par lrsquoexpeacuterimentateur avant les expeacuteriences est probablementun peu diffeacuterent du modegravele reacuteel qui reacutegit le pheacutenomegravene eacutetudieacute Il y a un eacutecartentre ces deux modegraveles Cet eacutecart est le manque drsquoajustement (lack of fit en anglais)on le note par la lettre DLe second compleacutement est la prise en compte de la nature aleacuteatoire de la reacuteponseEn effet dans le cas geacuteneacuteral si lrsquoon mesure plusieurs fois une reacuteponse en un mecircmepoint expeacuterimental on nrsquoobtiendra pas exactement le mecircme reacutesultat Il y a unedispersion des reacutesultats Les dispersions ainsi constateacutees sont appeleacutees erreurs aleacuteatoiresou erreurs expeacuterimentales (pure error en anglais) et on les note par la lettre eLa relation geacuteneacuterale 12 doit ecirctre modifieacutee ainsi

y = f (x1x2x3hellipxn) + D + e 14

Cette relation sera exploiteacutee au cours du chapitre 5 ougrave lrsquoon verra comment on estimele manque drsquoajustement D et lrsquoerreur aleacuteatoire e

m Systegraveme drsquoeacutequations

Chaque point expeacuterimental apporte une valeur de la reacuteponse Or cette reacuteponse estmodeacuteliseacutee par un polynocircme dont les coefficients sont les inconnues qursquoil fautdeacuteterminer Agrave la fin du plan drsquoexpeacuteriences on a un systegraveme de n eacutequations (srsquoil y an essais) agrave p inconnues (srsquoil y a p coefficients dans le modegravele choisi a priori) Cesystegraveme srsquoeacutecrit drsquoune maniegravere simple en notation matricielle

y = X a + e 15

ougrave

ndash y est le vecteur des reacuteponsesndash X est la matrice de calcul des coefficients ou matrice du modegravele qui deacutepend des

points expeacuterimentaux choisis pour exeacutecuter le plan et du modegravele postuleacutendash a est le vecteur des coefficientsndash e est le vecteur des eacutecarts


14


Ce systegraveme ne peut pas en geacuteneacuteral ecirctre reacutesolu simplement car le nombre drsquoeacutequa-tions est infeacuterieur au nombre drsquoinconnues En effet il y a n eacutequations et p + ninconnues Cette reacutesolution ne peut ecirctre meneacutee agrave bien que si lrsquoon utilise unemeacutethode de reacutegression La plupart du temps cette meacutethode est baseacutee sur le critegraveredrsquooptimisation des moindres carreacutes On obtient ainsi les estimations des coefficientsque lrsquoon note

acircLe reacutesultat de ce calcul est

acirc = (Xcent X)ndash1 Xcent y 16formule dans laquelle la matrice Xcent est la matrice transposeacutee de X (voir lrsquoannexe Dsur le calcul matriciel) Il existe de nombreux logiciels qui exeacutecutent ce calcul etqui donnent directement les valeurs des coefficientsDeux matrices interviennent constamment dans la theacuteorie des plans drsquoexpeacute-riences ndash la matrice drsquoinformation Xcent Xndash la matrice de dispersion (Xcent X)ndash1


15

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

2 bull VOTRE PREMIER PLAN DrsquoEXPEacuteRIENCES

Si vous avez lu le premier chapitre vous en savez assez pour attaquer votre premierplan drsquoexpeacuteriences Nous allons suivre la deacutemarche suivante dont les principaleseacutetapes sont

ndash la preacuteparation de lrsquoeacutetudendash le choix du plan drsquoexpeacuteriencesndash lrsquoexpeacuterimentationndash lrsquointerpreacutetation des reacutesultatsndash lrsquoarrecirct ou la poursuite de lrsquoeacutetude

Nous allons examiner ces diffeacuterentes phases sur un premier exemple

21 Exemple 01 je maicirctrise la consommation de ma voiture

211 Preacuteparation du plan drsquoexpeacuteriences

Cette eacutetape se deacutecompose en plusieurs parties dont les principales sont deacutecritesdans les paragraphes suivants

m Deacutefinition de lrsquoobjectif de lrsquoeacutetude

Nous allons suivre la reacutealisation drsquoune eacutetude que tout le monde peut mettre surpieds Lrsquoobjectif de lrsquoeacutetude est de connaicirctre la consommation drsquoessence drsquounevoiture lorsqursquoon roule plus ou moins chargeacute et plus ou moins viteLrsquoeacutetude sera reacuteussie si on peut reacutepondre agrave des questions telles que laquo Combien mavoiture consomme-t-elle si elle est agrave vide ou non si je roule vite ou non si elleest chargeacutee et si je roule vite raquo

m Description des eacuteleacutements sur lesquels va porter lrsquoexpeacuterimentation

Je vais deacutecrire les essais que jrsquoai effectueacutes sur ma propre voiture Je vais ecirctre le seulconducteur et jrsquoeffectuerai les essais sur une autoroute Si jrsquoen avais la possibiliteacute jeferais les essais sur un circuit automobile ougrave il est facile de respecter la plupart desconditions imposeacutees agrave lrsquoexpeacuterimentation Il est en effet plus facile de reacutealiser desessais sur un circuit dans un laboratoire un atelier pilote ou tout lieu speacutecialementconccedilu pour ce genre drsquoactiviteacute


16

21 Exemple 01 je maicirctrisela consommation de ma voiture

2 bull Votre premier plandrsquoexpeacuteriences

m Choix de la reacuteponse permettant drsquoatteindre lrsquoobjectif

La reacuteponse sera la consommation drsquoessence en litres pour 100 kilomegravetres parcourus

m Recherche des facteurs qui pourraient ecirctre influents sur la reacuteponse

Quels sont les facteurs qui peuvent modifier la consommation drsquoune voiture Il y a bien sucircr les deux facteurs que je vais eacutetudier la charge et la vitesse de la voitureMais il y en a drsquoautres Par exemple la marque et la pression de gonflage des pneu-matiques la preacutesence ou non drsquoune galerie la direction du vent la pluie le reacuteglagedu moteur le nombre drsquoarrecircts et de deacutemarrages la route plus ou moins accidenteacuteeIl est prudent de noter par eacutecrit tous les facteurs possibles Pour remplir la listedes facteurs et essayer de ne pas en oublier on peut aller voir son garagiste pour luidemander srsquoil ne connaicirct pas drsquoautres facteurs pouvant augmenter ou reacuteduire laconsommation On a toujours inteacuterecirct agrave bien faire le tour du problegraveme On ne serapas obligeacute drsquoeacutetudier tous les facteurs mais on connaicirctra ceux qui pourraient ecirctreinfluents Les facteurs qui ne seront pas eacutetudieacutes dans le plan drsquoexpeacuteriences seront engeacuteneacuteral fixeacutes agrave un niveau constant pendant toute lrsquoexpeacuterimentation

m Deacutefinition des niveaux des facteurs

Il srsquoagit de choisir les niveaux haut et bas de chaque facteurLa vitesse ne devra pas ecirctre trop faible et elle ne devra pas deacutepasser les limitationsimposeacutees par la seacutecuriteacute Dans notre exemple le niveau bas sera de 80 kmh et leniveau haut de 120 kmhLa charge agrave vide est deacutefinie par la preacutesence du conducteur seul sans aucun bagage Lasurcharge est deacutefinie par le poids ajouteacute agrave la charge agrave vide Srsquoil y a 3 personnes suppleacute-mentaires et 25 kg de bagage par personne la surcharge est drsquoenviron 3 times 70 = 210pour les passagers et 4 times 25 = 100 kg pour les bagages des quatre personnes agrave bordsoit environ 300 kg de surcharge Au lieu de faire appel agrave ses voisins pour les essaison pourra utiliser des gueuses de fonte reacuteguliegraverement reparties sur les siegraveges et dansle coffre Le poids total des gueuses est de 300 kgLe niveau bas du facteur charge sera la voiture et le conducteur seul et sans bagageLe niveau haut du facteur charge sera la voiture le conducteur et une chargesuppleacutementaire de 300 kg reacuteguliegraverement reacutepartieIl est bon de reacutesumer ces niveaux dans un tableau (Tableau 21)

Ce tableau est important car les conclusions de lrsquoexpeacuterimentation ne seront valablesqursquoagrave lrsquointeacuterieur de ce domaine drsquoeacutetude Si lrsquoon charge la voiture agrave 400 kg et quelrsquoon roule agrave 130 kmh on ne pourra pas utiliser les conclusions de cette eacutetude

Tableau 21 ndash Facteurs et domaine drsquoeacutetude

Facteur Niveau bas (ndash) Niveau haut (+)

Vitesse (1) 80 kmh 120 kmh

Surcharge (2) 0 300 kg



17

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


m Examen des contraintes

Lorsque lrsquoon roule la quantiteacute drsquoessence diminue Le poids du veacutehicule est doncmodifieacute au cours de lrsquoexpeacuterimentation Il faudra commencer chaque essai avec lereacuteservoir plein pour que le facteur laquo diminution drsquoessence au cours de lrsquoessai raquo nrsquoaitpas trop drsquoinfluence Cela oblige agrave deacutebuter le parcours dans une station serviceIl faudra qursquoil fasse le mecircme temps pour tous les essais (tempeacuterature vent pluie)On choisira donc de faire les essais le mecircme jour et si possible un jour de beautemps sans vent ni pluie La longueur du parcours devra ecirctre compatible avec cettecontrainteOn choisira le mecircme parcours et dans le mecircme sens pour chaque essai pour quelrsquoinfluence des cocirctes et des descentes soit toujours la mecircmeOn veacuterifiera que les pneus sont bien gonfleacutes agrave la mecircme pression avant chaque essaiOn peut ainsi faire une liste de preacutecautions agrave prendre pour tenir compte descontraintes

212 Choix du plan drsquoexpeacuteriences

On sait qursquoil y a deux facteurs agrave eacutetudier Les niveaux bas et haut de chaque facteuront eacuteteacute deacutefinis Les facteurs agrave conserver constants pendant lrsquoexpeacuterimentation sont le parcours et par conseacutequent le kilomeacutetrage le sens du parcours le point dedeacutepart le point drsquoarriveacutee et la pression des pneusAyant deux facteurs prenant chacun deux niveaux le plus simple est de choisir unplan drsquoexpeacuteriences factoriel complet 22 La deacutenomination 22 a la significationsuivante le 2 en exposant indique le nombre de facteurs lrsquoautre 2 indique les nombresde niveaux des facteurs Ce plan est bien adapteacute agrave notre problegraveme puisqursquoil corres-pond exactement agrave deux facteurs prenant chacun deux niveaux Les points drsquoexpeacute-riences ont pour coordonneacutees les niveaux bas et les niveaux hauts des facteursOn peut preacutesenter ce plan de plusieurs maniegraveres qui se complegravetent les unes les autresOn peut drsquoabord dessiner le domaine drsquoeacutetude dans lrsquoespace expeacuterimental puisajouter les points drsquoexpeacuteriences en tenant compte de leurs coordonneacutees (Figure 21)On peut aussi repreacutesenter les expeacuteriences agrave faire sous forme de tableaux en utili-sant soit les grandeurs habituelles ou leacutegales (kmh et kg) soit les grandeurscodeacutees Avec les grandeurs leacutegales le tableau prend le nom de tableau drsquoexpeacuterimen-tation ou de matrice drsquoexpeacuterimentation Avec les grandeurs codeacutees le tableau prendle nom de plan drsquoexpeacuteriences ou de matrice drsquoexpeacuteriencesLa premiegravere colonne de la matrice drsquoexpeacuterimentation est utiliseacutee pour indiquer lesnoms des essais (Tableau 22) On peut soit les numeacuteroter soit leur donner unnom La deuxiegraveme colonne est celle du premier facteur on y indique successive-ment les niveaux qursquoil faut donner agrave ce facteur La troisiegraveme colonne est celle dudeuxiegraveme facteur et on y indique eacutegalement les niveaux de ce facteur Le premieressai essai n˚ 1 ou essai A sera exeacutecuteacute avec une vitesse de 80 kmh et sanssurcharge Le deuxiegraveme essai essai n˚ 2 ou essai B sera exeacutecuteacute avec une vitesse de120 kmh et sans surcharge Le troisiegraveme essai essai n˚ 3 ou essai C sera exeacutecuteacuteavec une vitesse de 80 kmh et avec une surcharge de 300 kg Enfin le quatriegravemeessai essai n˚ 4 ou essai D sera exeacutecuteacute avec une vitesse de 120 kmh et avec unesurcharge de 300 kg Ce tableau est tregraves utile pour lrsquoexeacutecution des essais


18



La premiegravere colonne de la matrice drsquoexpeacuteriences (Tableau 23) est utiliseacutee de lamecircme maniegravere pour indiquer les noms des essais La deuxiegraveme colonne est celledu premier facteur on y indique successivement les niveaux qursquoil faut donner agrave ce

Figure 21 ndash Repreacutesentation du plan drsquoexpeacuterimentation

Tableau 22 ndash Matrice drsquoexpeacuterimentation

Essai n˚Vitesse

Facteur 1SurchargeFacteur 2

1 (A) 80 kmh 0 kg

2 (B) 120 kmh 0 kg

3 (C) 80 kmh 300 kg

4 (D) 120 kmh1 300 kg

Tableau 23 ndash Matrice drsquoexpeacuteriences

Essai n˚Vitesse


1 (A) minus1 minus1

2 (B) +1 minus1

3 (C) minus1 +1

4 (D) +1 +1

Niveau ndash1 80 kmh 0 kg

Niveau +1 120 kmh 300 kg

+ 1

+ 1 1

1

Facteur 1

Facteur 2

Domaine deacutetude

Vitesse

Surcharge

80 kmh

0 kg

300 kg

120 kmh

A

DC

B

ndash

ndash



19

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


facteur mais cette fois sous forme codeacutee crsquoest-agrave-dire avec des minus1 et des +1 La troi-siegraveme colonne est celle des niveaux codeacutes du deuxiegraveme facteur On trouve deuxlignes en bas du tableau pour indiquer la signification des niveaux minus1 et +1 dechaque facteur Ce tableau est utiliseacute lors de la construction du planPour lrsquointerpreacutetation des reacutesultats drsquoessais on utilise soit la matrice drsquoexpeacuterimenta-tion soit la matrice drsquoexpeacuteriences selon les faits que lrsquoon veut mettre en eacutevidence

213 Expeacuterimentation

Crsquoest la partie technique de lrsquoeacutetude Il faut que les essais soient meneacutes avec beau-coup de soin et il faut ecirctre sucircr de la qualiteacute des reacutesultats Pour le preacutesent exemplelrsquoordre des essais a peu drsquoimportance mais nous verrons que ce nrsquoest pas toujoursle cas Nous eacutetudierons au chapitre 8 les principes qui reacutegissent le choix de lrsquoordredes essais Dans le cadre de lrsquoeacutetude en cours il est facile de changer la vitesse drsquounessai agrave lrsquoautre En revanche il serait maladroit de charger la voiture pour le premieressai de la deacutecharger pour le second et de la recharger pour le troisiegraveme ou lequatriegraveme essai On fera donc en premier les essais n˚ 1 et 2 puis les essais n˚ 3 et4 On pourrait aussi faire drsquoabord les essais n˚ 3 et 4 puis les essais n˚ 1 et 2 Dansles deux cas il nrsquoy a qursquoun seul chargement agrave faireLe parcours a eacuteteacute choisi et fait 120 km de long soit 5 heures de conduite Lestemps drsquoarrecirct agrave la pompe agrave essence de mesure de la consommation de la veacuterifica-tion de la pression des pneumatiques et de chargement de la voiture sont estimeacutes agraveenviron 2 heures On pourra faire les essais en une journeacuteeOn exeacutecute lrsquoessai n˚ 1 (80 kmh et sans surcharge) et on note la consommationdrsquoessence On trouve 10 litres soit une consommation de 83 litres aux 100 kilo-megravetres Le deuxiegraveme essai (120 kmh et sans surcharge) donne une consommationde 107 litres aux 100 kilomegravetres Les deux autres essais (essais n˚ 3 et 4) fournissentrespectivement une consommation de 97 et de 123 litres aux 100 kilomegravetres Lesreacutesultats sont consigneacutes dans une quatriegraveme colonne de la matrice drsquoexpeacuterimentationou de la matrice drsquoexpeacuteriences (Tableau 24)

Tableau 24 ndash Matrice drsquoexpeacuteriences et reacutesultats

N˚ essaiVitesse


Consommation(l100 km)

1 (A) minus1 minus1 183

2 (B) +1 minus1 107

3 (C) minus1 +1 97

4 (D) +1 +1 123




20



On peut reporter ces reacutesultats sur le domaine drsquoeacutetude (Figure 22)

214 Signification des coefficients

Ces consommations eacutetant mesureacutees il ne semble pas facile drsquoen donner une inter-preacutetation simple En effet on aimerait reacutepondre agrave des questions comme laquo Quelleest la consommation de ma voiture quand je la charge agrave 100 kg et que je roule agrave90 kmh raquo ou laquo Quelle est la consommation suppleacutementaire quand je roule agrave100 kmh au lieu de 80 kmh avec une surcharge de 150 kg raquo Les reacuteponses agrave cesquestions existent Elles se cachent dans les reacutesultats que nous avons enregistreacutesmais pour le moment nous ne les voyons pas Il va falloir que nous transformionsnos reacutesultats bruts pour en avoir une vision claire et preacutecise Crsquoest la phase drsquointer-preacutetation Les logiciels de plans drsquoexpeacuteriences vont maintenant prendre delrsquoimportance car ce sont eux qui vont nous aider agrave reacutealiser toutes les transforma-tions qui nous sont neacutecessaires et toutes les illustrations qui nous aideront agrave biencomprendre les reacutesultatsLe modegravele postuleacute des plans factoriels complets 22 est

y = a0 + a1x1 + a2x2 + a12x1x2 21

ougrave

ndash y est la reacuteponse dans cet exemple la consommation drsquoessence ndash x1 repreacutesente le niveau du facteur 1 (la vitesse) dans cet exemple 80 kmh (ou

ndash1) et 120 kmh (ou +1) selon les essais ndash x2 repreacutesente le niveau du facteur 2 (la surcharge) dans cet exemple 0 kg (ou

ndash1) et 300 kg (ou +1) selon les essais ndash x1x2 est le produit des niveaux des facteurs 1 et 2 dans cet exemple en uniteacutes

codeacutees ce produit est eacutegal agrave ndash1 (x1x2 = ndash1yen+1 = +1yenndash1 = ndash1) ou agrave +1 (x1x2= ndash1yenndash1 = +1yen+1 = +1)

Figure 22 ndash Valeur de la reacuteponse en divers points du domaine drsquoeacutetude

+ 1

+ 1 1

1

Facteur 1

Facteur 2

Vitesse (kmh)

Surcharge (kg)

80

0

300

120

A

DC

B

0

0

100

150

83

12397

107

ndash

ndash



21

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


ndash a0 est le coefficient constant du modegravele ndash a1 est le coefficient du facteur 1 ndash a2 est le coefficient du facteur 2 ndash a12 est le coefficient du terme x1x2

Ce modegravele est appeleacute modegravele polynomial du premier degreacute avec interactions ou modegravelePDAI et nous allons examiner la signification de ses coefficients

m Signification du coefficient constant

Pour trouver la signification du coefficient constant a0 il suffit de donner la valeur0 (uniteacutes codeacutees) aux niveaux des deux facteurs Le point repreacutesentatif de lrsquoexpeacute-rience correspondante est alors au centre du domaine drsquoeacutetude (Figure 23) et lareacuteponse en ce point a pour valeur y0

La relation 21 devient

y = a0 + a1 yen 0 + a2 yen 0 + a12 yen 0 yen 0y0 = a0

La valeur du coefficient constant a0 est eacutegale agrave la reacuteponse au centre du domainedrsquoeacutetude

m Signification du coefficient du facteur 1

Consideacuterons les deux points B et D qui se trouvent au niveau haut du facteur 1Les coordonneacutees de ces points sont en uniteacutes codeacutees

Figure 23 ndash Le coefficient constant a pour valeur la reacuteponse au centre du domaine drsquoeacutetude

+ 1

+ 1 1

1

Facteur 1

Facteur 2

Vitesse (kmh)

Surcharge (kg)

80

0

300

120

A

DC

B

0

0

100

1500

43

21

yy

y

yy

ndash

ndash

Bx1 +1=

x2 1ndash=D

x1 +1=

x2 +1=


22



La reacuteponse au point B est y2 reacuteponse que lrsquoon peut eacutecrire en remplaccedilant lesniveaux par leurs valeurs en uniteacutes codeacutees

y2 = a0 + a1yen(+1) + a2yen(ndash1) + a12yen(+1)yen(ndash1) = a0 + a1 ndash a2 ndash a12

La reacuteponse au point D est y4 que lrsquoon peut eacutecrire en remplaccedilant les niveaux parleurs valeurs en uniteacutes codeacutees

y4 = a0 + a1yen(+1) + a2yen(+1) + a12yen(+1)yen(+1) = a0 + a1 + a2 + a12

Additionnons les deux reacuteponses y2 et y4

y2 + y4 = 2(a0 + a1)

Faisons le mecircme calcul pour les points A et C qui se trouvent au niveau bas dufacteur 1 et ougrave les reacuteponses sont respectivement y1 et y3 On obtient

y1 + y3 = 2(+a0 ndash a1)

Si on soustrait ces deux derniegraveres relations on a

4a1 = ndashy1 + y2 ndashy3 + y4

relation que lrsquoon peut eacutecrire

Or est la moyenne des reacuteponses au niveau haut du facteur 1 On nomme

cette moyenne Quant agrave lrsquoexpression crsquoest la moyenne des reacuteponses au

niveau bas du facteur 1 soit On peut eacutecrire

Le coefficient a1 est donc la demi-diffeacuterence entre la moyenne des reacuteponses au niveauhaut du facteur 1 et la moyenne des reacuteponses au niveau bas du mecircme facteur 1Quand on passe du niveau bas au niveau haut la reacuteponse varie en moyenne

comme la diffeacuterence Si cette diffeacuterence est grande la reacuteponse varie beau-coup si cette diffeacuterence est faible la reacuteponse varie peu On a donc lagrave un moyen desavoir comment la reacuteponse varie en fonction du facteur 1 Crsquoest la raison pourlaquelle on appelle le coefficient a1 lrsquoeffet du facteur 1

Application

On connaicirct les quatre reacuteponses on peut donc calculer facilement le coefficient

Lrsquoeffet de la vitesse (facteur 1) est de 125 litre aux 100 kilomegravetres Cela signifie que si la vitessepasse de 80 agrave 100 kmh la consommation augmente en moyenne de 125 litre aux 100 kilomegravetresSi la vitesse passe de 80 agrave 120 kmh la consommation augmente de 250 litres aux 100 kilomegravetres

a112---

y2 y4+

2---------------

y1 y3+

2---------------ndash=

y2 y4+

2---------------

y+y1 y3+

2---------------

yndash

a112--- y+ yndashndash[ ]=

y+ yndashndash[ ]

a114--- y1ndash y2 y3ndash y4+ +[ ]=

a114--- 83 + 107 ndash 97 + 123 ndash [ ] 125 = =



23

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


m

Repreacutesentation du coefficient du facteur 1

La moyenne des reacuteponses au niveau haut du facteur 1 est situeacutee sur la surfacede reacuteponse et se trouve agrave lrsquoaplomb du point M

+

milieu du segment BD (Figure 24)Il a donc pour coordonneacutees

La moyenne des reacuteponses au niveau bas du facteur 1 est situeacutee sur la surface dereacuteponse et se trouve agrave lrsquoaplomb du point M

ndash

milieu du segment AC Il a doncpour coordonneacutees

La variation de la reacuteponse entre la moyenne des reacuteponses au niveau haut dufacteur 1 et la moyenne des reacuteponses au niveau bas de ce mecircme facteur est

ndash crsquoest-agrave-dire deux fois le coefficient

a

1

Figure 24

ndash Le coefficient du facteur 1 est la pente de la droite qui joint les deux reacuteponses

et

y+

M+x1 +1=

x2 0=

Mndashx1 ndash1=

x2 0=

Facteur 1

Facteur 2

Reacuteponse

B

+ 1

+ 1

ndash 1

ndash 1

0

0

y1

A

DC

y4

y3

y2

+y

yndash

M -

M +

y0

Dcent

Ccent

Acent

Bcent

Mcent+

M-

(Consommation)

(123)

(97)

(83) (107)

(9)

(115)

(Vitesse)

(Surch

arge)

(80) (100) (120)

(0)

(300)

(150)

y+ y+

y+ yndashy+ yndash


24



Le coefficient

a

1

est donc eacutegal agrave la variation de la reacuteponse entre

y

0

reacuteponse au centredu domaine drsquoeacutetude et moyenne des reacuteponses au niveau haut du facteur 1 Onpeut eacutegalement regarder le coefficient

a

1

comme la pente de la droite On peut dire aussi que le coefficient

a

1

est eacutegal agrave la variation moyenne de lareacuteponse quand le facteur 1 passe du niveau zeacutero au niveau haut Il repreacutesente donclrsquoinfluence du facteur 1 dans le domaine drsquoeacutetude

m

Illustration de lrsquoeffet du facteur 1

On a lrsquohabitude pour faire apparaicirctre clairement la droite et illustrerlrsquoeffet du facteur 1 drsquoextraire le plan de la figure 24 Onobtient la figure 25 qui est beaucoup plus facile agrave lire

Lrsquoeffet du facteur 1 peut ecirctre positif ou neacutegatif suivant le signe du coefficient

Application

Figure 25

ndash Illustration de lrsquoeffet du facteur 1

Figure 26

ndash Illustration de lrsquoeffet de la vitesse

y+Mprimendash M prime +

Mprimendash M prime +M+ M ndash Mprimendash M prime +

Facteur 1

Effet du Facteur 1

Reacuteponse

+ 1ndash 1 0

+y

yndash

M ndash M +

y0

Mcentndash

Mcent+

Effet de la vitesse 125 l 100 km

M ndash M +

Mcentndash

Mcent+115

9

1025

Vitesse (kmh)80 120100

Consommation (l 100 km)



25

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


La moyenne des consommations au niveau haut de la vitesse (facteur 1) est

La moyenne des consommations au niveau bas de la vitesse (facteur 1) est

La consommation passe en moyenne de 9 agrave 115 litres aux 100 kilomegravetres quand la vitesse passede 80 agrave 120 kmh La consommation au centre est la moitieacute des deux moyennes soit 1025 litresaux 100 kilomegravetres

La consommation passe en moyenne de 1025 agrave 115 litres aux 100 kilomegravetres quand la vitessepasse de 100 agrave 120 kmh Cette augmentation de 125 litre aux 100 kilomegravetres repreacutesente lrsquoeffetdu facteur laquo vitesse raquo (Figure 26)

m

Signification du coefficient du facteur 2

De la mecircme maniegravere on montre que le coefficient

a

2

est eacutegal agrave la variationmoyenne de la reacuteponse quand le facteur 2 passe du niveau zeacutero au niveau haut Ilrepreacutesente lrsquoinfluence du facteur 2 dans le domaine drsquoeacutetude On lrsquoappelle laquo effet dufacteur 2 raquoDrsquoune maniegravere geacuteneacuterale quand le modegravele choisi est un polynocircme les coefficientsdes termes du premier degreacute sont les effets des facteurs

Application


a

2

Lrsquoeffet de la surcharge (facteur 2) est de 075 l aux 100 km Cela signifie que si la surcharge passede 0 agrave 150 kg la consommation augmente en moyenne de 075 l aux 100 km Si la surcharge passede 0 agrave 300 kg la consommation augmente de 150 l aux 100 km

Figure 27

ndash Illustration de lrsquoeffet de la surcharge

y+y2 y4+

2--------------- 107 + 123

2 --------------------------- 115 = = =

yndashy1 y3+

2--------------- 83 + 97

2 --------------------- 9 = = =

a214--- y1ndash y2ndash y3 y4+ +[ ]=

a214--- 83 ndash 107 + 97 + 123 ndash [ ] 075 = =

Effet de la surcharge 075 l100 km

M ndash M +

Mcent-

Mcent+11

95

1025

Surcharge (kg)0 300150



26



La moyenne des consommations au niveau haut de la surcharge (facteur 2) est

La moyenne des consommations au niveau bas de la surcharge (facteur 2) est

La consommation passe en moyenne de 95 agrave 11 l aux 100 km quand la surcharge passe de 0 agrave300 kg La consommation au centre est la moitieacute des deux moyennes soit 1025 l aux 100 km

La consommation passe en moyenne de 1025 agrave 11 l aux 100 km quand la surcharge passe de 150agrave 300 kg Cette augmentation de 075 l aux 100 km est lrsquoeffet du facteur surcharge (Figure 27)

m

Signification du coefficient

a

12

On peut calculer le coefficient

a

12

par une meacutethode analogue agrave celle qui a eacuteteacuteutiliseacutee pour les coefficients

a

1

et

a

2

On trouve que le coefficient

a

12

est eacutegal agrave

Or est lrsquoeffet du facteur 1 lorsque le facteur 2 est au niveau haut Crsquoest la

moitieacute de la variation de la reacuteponse entre

y

4

et

y

3

Cet effet est illustreacute par la pentede la droite C

prime

D

prime

(Figure 24 et Figure 28)

Lrsquoexpression est lrsquoeffet du facteur 1 lorsque le facteur 2 est au niveau bas

Crsquoest la moitieacute de la variation de la reacuteponse entre

y

2

et

y

1

Cet effet est illustreacute parla pente de la droite A

prime

B

prime

(Figure 28)Le coefficient

a

12

est la moitieacute de la diffeacuterence entre ces deux effets

Figure 28

ndash Illustration drsquoune interaction entre deux facteurs

y+y3 y4+

2--------------- 97 + 123

2 ------------------------ 11 = = =

yndashy1 y2+

2--------------- 83 + 107

2 ------------------------ 95 = = =

a1212---

y4 y3ndash

2---------------

y2 y1ndash

2---------------ndash=

y4 y3ndash

2---------------

Facteur 1

Effet du facteur 1au niveau haut du facteur 2

Reacuteponse

+ 1ndash 1 0

Effet du facteur 1au niveau bas du facteur 2

y1

y4

y3

y2

Dcent

Ccent

Acent

Bcent

y2 y1ndash

2---------------



27

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


Le coefficient

a

12

mesure donc la variation de lrsquoeffet du facteur 1 quand le niveaudu facteur 2 est modifieacute On peut aussi montrer que le mecircme coefficient

a

12

mesureeacutegalement la variation de lrsquoeffet du facteur 2 quand le niveau du facteur 1 est luiaussi modifieacuteLe coefficient a 12 est appeleacute lrsquo interaction entre les facteurs 1 et 2On peut illustrer une interaction entre deux facteurs en extrayant de la figure 24les plans ABA

prime

B

prime

(niveau bas du facteur 2) et CDC

prime

D

prime

(niveau haut du facteur 2)et en projetant ces plans sur un mecircme plan (Figure 28)Srsquoil nrsquoy a pas drsquointeraction entre deux facteurs les pentes des droites A

prime

B

prime

et C

prime

D

prime

sont les mecircmesSrsquoil y a interaction entre deux facteurs les pentes des deux droites preacuteceacutedentes ne sontpas les mecircmes Lrsquointeraction est drsquoautant plus forte que les pentes sont diffeacuterentes

Application

On peut donc calculer lrsquointeraction avec la relation

Lrsquointeraction entre les facteurs 1 et 2 est de 005 l aux 100 km Cela signifie que lrsquoeffet de la vitesseest un peu plus eacuteleveacute quand on se trouve en surcharge Quand la vitesse est de 80 kmh lrsquoeffet de lasurcharge est de 07 l aux 100 km Quand la vitesse est de 120 kmh lrsquoeffet de la surcharge est de08 l aux 100 km

Cela signifie aussi que lrsquoeffet de la surcharge est plus important quand on roule vite Quand il nrsquoy apas de surcharge lrsquoeffet de la vitesse est de 12 l aux 100 km Quand la surcharge est de 300 kglrsquoeffet de la vitesse est de 13 l aux 100 km (Figure 29)

Figure 29

ndash Illustration de lrsquointeraction entre la vitesse et la surcharge Cette interaction est tregraves faible puisque les deux droites ont presque la mecircme pente

a1214--- +y1 y2ndash y3ndash y4+[ ]=

a1214--- +83 ndash 107 ndash 97 + 123 [ ] 005 = =

Vitesse (kmh)

Effet de la Vitessepour 300 kg de surcharge

Consommation(litres aux 100 km)

12080 100

Effet de la Vitessesans surcharge

Dprime

Cprime

Aprime

Bprime

123

83

107

97 120 l 100 km

130 l 100 km


28



215 Interpreacutetation des reacutesultats des calculs

On connaicirct maintenant les valeurs ndash du coefficient constant

a

0

=

1025 ndash du coefficient du facteur 1 (vitesse)

a

1

=

125 ndash du coefficient du facteur 2 (surcharge)

a

2

=

075 ndash de lrsquointeraction

a

12

entre la vitesse et la surcharge

a

12

=

005On peut reporter ces valeurs dans la relation 21 du modegravele postuleacute

y

=

1025 + 125

x

1

+ 075

x

2

+ 005

x

1

x

2

22

On comprend qursquoavec ce modegravele on puisse calculer toutes les reacuteponses dans ledomaine drsquoeacutetude Il suffit drsquoattribuer des valeurs aux niveaux

x

1

et

x

2

pour obtenirimmeacutediatement la consommation Le modegravele eacutetant en uniteacutes centreacutees reacuteduites ilfaut faire les calculs dans ces uniteacutes et transformer ensuite les reacutesultats obtenus enuniteacutes leacutegales Si lrsquoon veut utiliser les uniteacutes leacutegales directement il faut transformerla relation 22 Dans ce cas il suffit drsquoappliquer la relation 11

Facteur 1 (vitesse)

Facteur 2 (surcharge)

Drsquoougrave la relation en uniteacutes leacutegales

y

=

35 + 006A

1

+ 00033A

2

+ 00000167A

1

A

2

23

On peut donc reacutepondre facilement aux questions du deacutebut du paragraphe 5 enutilisant soit la relation 22 soit la relation 23

Application

La question eacutetait laquo Quelle est la consommation de ma voiture quand je la charge agrave 100 kg et queje roule agrave 90 kmh raquo Appliquons la relation 23

y

=

35 + 006

times

90 + 000333

times

100 + 00000167

times

90

times

100

y

=

35 + 54 + 0333 + 0150

=

9383

xA A0ndash

Pas---------------=

x1A1 A0ndash

Pas1------------------

A1 100ndash

20---------------------= =

x2A2 A0ndash

Pas2------------------

A2 150ndash

150---------------------= =

y 1025 + 125A

1

20 ------ 100

20 ---------ndash ⎝ ⎠

⎛ ⎞ 075A

2

150 --------- 150

150 ---------ndash ⎝ ⎠

⎛ ⎞ 005A

1

20 ------ 100

20 ---------ndash ⎝ ⎠

⎛ ⎞ A

2

150 --------- 150

150 ---------ndash ⎝ ⎠

⎛ ⎞ + +=

y 1025 12520---------ndash 075ndash

125A1

20----------------

075A2

150-----------------

005A1

20----------------- 5

20------ndash⎝ ⎠

⎛ ⎞ A2

150--------- 1ndash⎝ ⎠

⎛ ⎞+ + +=

y 325 520------ 125

20---------- 005

20----------ndash A1

075150---------- 5

20 150times---------------------ndash A2

005A1

20----------------

A

2 150

---------+ + + +=



29

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


La reacuteponse est Si je roule agrave 90 kmh avec une surcharge de 100 kg je consommerai 938 l aux100 km

Application

La question eacutetait laquo Quelle est la consommation suppleacutementaire quand je roule agrave 100 kmh au lieude 80 kmh avec une surcharge de 150 kg raquo Commenccedilons par transformer les uniteacutes leacutegales enuniteacutes codeacutees

80 kmh = niveau

minus

1

100 kmh = niveau 0

150 kg = niveau 0

et appliquons la relation 22

y

=

1025 + 125

times

(ndash1) + 075

times

(0) + 005(ndash1

times

0)

y

=

1025 ndash 125

=

9

Quand je roule au niveau

minus

1 (80 kmh) avec une surcharge au niveau 0 (150 kg) je consomme9 litres de carburant aux 100 kilomegravetres

y

=

1025 + 125

times

(0) + 075

times

(0) + 005(0

times

0)

y

=

1025

Quand je roule au niveau 0 (100 kmh) avec une surcharge au niveau 0 (150 kg) je consomme1025 litres de carburant aux 100 kilomegravetres

La reacuteponse est donc avec une surcharge de 150 kg la consommation augmente de 125 l aux100 km quand je passe de 80 agrave 100 kmh

Il est donc possible de reacutepondre aux questions poseacutees ainsi qursquoagrave beaucoup drsquoautresfaisant intervenir la vitesse et la charge Mais ne trouvez-vous pas que ces calculssont fastidieux qursquoils ne sont guegravere enrichissants et que notre esprit pourrait ecirctreutiliseacute agrave des tacircches plus productives Crsquoest pourquoi nous vous conseillonsdrsquoutiliser un logiciel de plan drsquoexpeacuteriences Tous les calculs que nous avons vus etbeaucoup drsquoautres sont reacutealiseacutes avec faciliteacute et rapiditeacute Les logiciels permettentaussi de tracer des graphiques faisant ressortir les principales caracteacuteristiques delrsquoeacutetude Ils multiplient la puissance de raisonnement de lrsquoexpeacuterimentateur et reacuteali-sent des calculs impossibles agrave faire agrave la main En effet degraves que le nombre defacteurs augmente les calculs se compliquent et lrsquoutilisation drsquoun logiciel faciliteconsideacuterablement la tacircche de lrsquoexpeacuterimentateurAgrave titre drsquoexemple les deux diagrammes suivants montrent la puissance des logi-ciels Le premier diagramme (Figure 210) indique lrsquoeffet des deux facteurs vitesseet surcharge ainsi que la valeur correspondante de la reacuteponse Ce diagramme estinteractif on peut choisir les niveaux que lrsquoon veut dans tout le domaine drsquoeacutetudePour chaque couple de niveaux on obtient la valeur de la reacuteponse On peut doncfacilement reacutepondre agrave la premiegravere question sans ecirctre obligeacute de faire le deacutetail descalculs Ce mecircme diagramme permet aussi de reacutepondre agrave la deuxiegraveme questionLe deuxiegraveme diagramme (Figure 211) indique les courbes isoreacuteponses dans ledomaine drsquoeacutetude Par exemple la courbe 10 indique toutes les combinaisons devitesse et de surcharge qui engendrent une consommation de 10 l de carburantaux 100 km Si lrsquoon ne veut pas deacutepasser une consommation de 11 l aux 100 kmon voit comment il faut adapter sa vitesse en fonction de la surcharge Par exemplesi la surcharge est de 200 kg il ne faudra pas deacutepasser 1079 kmh


30



Si vous voulez reacutealiser vous-mecircme ces calculs et ces graphiques consultez le chapitre 14ougrave vous trouverez les explications deacutetailleacutees pour mener agrave bien ces opeacuterationsVous pouvez aussi consulter le site httpwwwplansdexperiencescom consacreacuteaux exemples de ce livre

Figure 210

ndash Valeur de la reacuteponse en divers points du domaine drsquoeacutetude

Figure 211

ndash Avec une surcharge de 200 kg on limitera la vitesse agrave 1079 kmh pour ne pas consommer plus de 11 l aux 100 km

80

123

938

90 120

83

Vitesse

Reacutep

onse

0 100 300

Surcharge

12

11

105

10

115

85

9

95

Surcharge

Vitesse80 120

0

300

200

1079


31

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

3

bull PLAN DrsquoEXPEacuteRIENCES POUR 3 FACTEURS

Le chapitre preacuteceacutedent eacutetait destineacute agrave vous montrer que mecircme sur un exemplesimple ne comprenant que deux facteurs on pouvait tirer beaucoup de renseigne-ments agrave partir de quatre essais seulement Si beaucoup drsquoinformations peuvent ecirctreextraites drsquoune eacutetude faisant intervenir deux facteurs on comprend qursquoune eacutetudede plusieurs facteurs soit encore plus fructueuse Crsquoest la raison pour laquelle lesplans multifactoriels vont ecirctre deacutecrits maintenant Nous commencerons par troisfacteurs et nous verrons une eacutetude de sept facteurs Les principes eacutetant toujours lesmecircmes quel que soit le nombre de facteurs il est tout agrave fait possible drsquoaller plusloin et on trouve dans les articles publieacutes ou dans les archives des socieacuteteacutes des plansde plus de dix facteurs Au-delagrave les difficulteacutes rencontreacutees ne concernent pas latheacuteorie mais la mise en œuvre et le controcircle des niveaux des facteurs pendantlrsquoexpeacuterimentation En effet pour onze facteurs il faut controcircler tous les niveaux agravechaque essai et ecirctre absolument sucircr qursquoils sont tous parfaitement respecteacutes Si lrsquoonreacutealise 12 essais cela fait 132 niveaux agrave garantir La moindre erreur risque decompromettre lrsquoeacutetude Dans le cas des simulations numeacuteriques il est facile deprogrammer le passage des calculs et drsquoecirctre sucircr du respect des niveaux Il nrsquoy a alorsplus aucune limite au nombre de facteurs eacutetudieacutes

31 Exemple 02 des bijoux en or311 Preacuteparation de lrsquoeacutetude

m Description de lrsquoeacutetude

Le grand inteacuterecirct de lrsquoor est qursquoil ne srsquooxyde pas et garde toujours son brillant et sabelle couleur doreacutee Mais crsquoest un meacutetal cher et crsquoest pourquoi beaucoup drsquoobjetssont simplement recouverts drsquoune fine couche drsquoor qui les protegravege et leur donnelrsquoapparence de lrsquoor massif Les bijoux plaqueacutes or sont recouverts drsquoun fin deacutepocirctdrsquoor qui doit avoir le mecircme aspect que lrsquoor mais aussi des proprieacuteteacutes de reacutesistancemeacutecanique qui assurent leur longeacuteviteacute Ces deacutepocircts sont effectueacutes par eacutelectrolyseLe meacutetal agrave recouvrir drsquoor est plongeacute dans une solution contenant un sel drsquoor et ilest relieacute agrave la cathode drsquoune pile eacutelectrique (Figure 31) Ces deacutepocircts doivent posseacutederde bonnes proprieacuteteacutes meacutecaniques pour reacutesister aux diverses sollicitationsauxquelles ils seront soumis Pour ameacuteliorer leur qualiteacute il est coutume de formerdes alliages en ajoutant drsquoautres meacutetaux en preacutesence drsquoadditifs Les alliages les plusutiliseacutes sont geacuteneacuteralement agrave base de nickel ou de cobalt


32

31 Exemple 02 des bijoux en or3 bull Plan drsquoexpeacuteriencespour 3 facteurs

Dans la preacutesente eacutetude on examine les alliages drsquoor et de cobalt Pour cela onreacutealise une solution drsquoeacutelectrolytes contenant des cyanures de ces deux meacutetaux


Les objectifs de lrsquoeacutetude sont ndash Reacutealiser le deacutepocirct le plus vite possible en respectant les impeacuteratifs de qualiteacutendash Obtenir une teneur en cobalt comprise entre 3 500 et 4 500 ppm dans lrsquoalliage

du deacutepocirctLrsquoeacutetude sera reacuteussie si on peut donner des consignes de reacuteglage des facteurs pouratteindre les deux objectifs


ndash La premiegravere reacuteponse correspond au premier objectif On choisira donc la vitessede deacutepocirct et elle sera mesureacutee en milligrammes par minute (mgmin) Pourassurer la rentabiliteacute du proceacutedeacute il faut une vitesse de deacutepocirct au moins eacutegale agrave80 mgmin

ndash La seconde reacuteponse correspond au second objectif On choisira donc la teneuren Cobalt de lrsquoalliage Cette teneur sera mesureacutee en partie par million (ppm)Pour assurer la qualiteacute du deacutepocirct la teneur en cobalt de lrsquoalliage doit ecirctre compriseentre 3 500 et 4 500 ppm


Quels sont les facteurs qui peuvent modifier la vitesse de deacutepocirct et la teneur encobalt de lrsquoalliage Pour essayer de ne pas oublier de facteurs il faut proceacutedermeacutethodiquement Il faut analyser tous les grands secteurs pouvant faire intervenirdes facteurs modifiant les reacuteponses choisies On utilise souvent la meacutethode delrsquoarecircte de poisson drsquoIshikawa (Figure 32) associeacutee agrave la meacutethode des 6M (MeacutethodeMatiegraveres Milieu Main drsquoœuvre Machines et Mesures) Cette meacutethode consiste agravesegmenter la recherche des facteurs ayant une possible influence sur les reacuteponsesPar exemple on se demande drsquoabord si les Matiegraveres premiegraveres ont une influence

Figure 31 ndash Scheacutema de principe des deacutepocircts eacutelectrolytiques drsquoor

Eacutelectrolyte contenantdes sels dor et de cobalt

- +Batterie eacutelectrique

Objet agrave recouvrir drsquoor


31 Exemple 02 des bijoux en or

33

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

3 bull Plan drsquoexpeacuteriencespour 3 facteurs

Dans le cas de la preacutesente eacutetude lrsquoorigine et la pureteacute du sel drsquoor peuvent modifierles reacutesultats la nature du sel drsquoor eacutegalement Il en est de mecircme du cobalt des additifsde lrsquoeau et mecircme du courant eacutelectrique Apregraves lrsquoexamen des matiegraveres premiegraveres onsrsquointeacuteresse aux meacutethodes employeacutees crsquoest-agrave-dire aux conditions opeacuteratoires inten-siteacute et voltage au cours de lrsquoeacutelectrolyse eacutelectrolyse en continue ou par seacutequencesetc Cette quecircte systeacutematique des facteurs permet de faire le tour du problegraveme etdrsquoeacuteviter les gros oublis

Agrave titre drsquoexemple nous avons construit un diagramme drsquoIshikawa reacuteunissant quel-ques facteurs pouvant ecirctre influents et nous en avons donneacute un deacutebut de liste pourillustrer la deacutemarche (les chercheurs qui ont reacutealiseacute cette eacutetude en avaient fait euxune liste bien plus complegravete)

ndash tempeacuterature de la solution drsquoeacutelectrolytendash pH de la solution drsquoeacutelectrolytendash concentration en lrsquoor de lrsquoeacutelectrolytendash nature et concentration des additifs ajouteacutes agrave lrsquoeacutelectrolytendash concentration en cobalt de lrsquoeacutelectrolytendash nature du supportndash surface du supportndash mouvement du supportndash position des eacutelectrodesndash forme du reacuteacteurndash agitation de la solutionndash forme des eacutelectrodesndash densiteacute de courant intensiteacute voltage etc

Agrave partir de cette liste on seacutelectionne les facteurs que lrsquoon pense ecirctre influents et onles divise en deux cateacutegories les facteurs qui seront eacutetudieacutes gracircce au plan drsquoexpeacute-riences et les facteurs qui ne seront pas eacutetudieacutes au cours de lrsquoexpeacuterimentation mais

Figure 32 ndash Exemple simplifieacute de diagramme drsquoIshikawa

Meacutethodes

Agitation Forme

Reacuteacteur

Tempeacuterature

Voltage

Intensiteacute

SoinDensiteacute de courant

Habileteacute

Nature

Concentration

Eacutelectriciteacute

OrigineSels dor etde Cobalt

Eacuteclairage

Pression

PureteacuteFormation

AddidifSels

Moyens

Matiegraverespremiegraveres

Mesures

Meacutethodes

Milieu

Tempeacuterature

Origine Nature

Reacuteacteur

Voltmegravetre

EacutelectrodesAmpegraveremegravetreBalance

Meacutethodesde mesure

Eau

Humiditeacute

Or

Cobalt

Support


Vitessede deacutepocirct

Teneuren Cobalt


34


dont les niveaux seront fixeacutes toujours agrave la mecircme valeur Dans cette eacutetude trois facteursont eacuteteacute retenus pour construire le plan drsquoexpeacuteriences

ndash concentration en or de la solution drsquoeacutelectrolytendash densiteacute de courantndash concentration en cobalt de la solution drsquoeacutelectrolyte

Les autres facteurs seacutelectionneacutes qui peuvent modifier les reacuteponses seront fixeacutes agrave unniveau constant pour tous les essais Par exemple on a fixeacute les facteurs suivants

ndash le pH est fixeacute agrave 45 ndash la nature et lrsquoorigine des sels ndash la nature et lrsquoorigine des additifs ndash le reacuteacteur et les eacutelectrodes resteront les mecircmes ndash les conditions eacutelectriques de lrsquoeacutelectrolyse ndash la tempeacuterature du bain drsquoeacutelectrolyse etc

Les facteurs qui resteront fixes pendant lrsquoexpeacuterimentation et les facteurs du plandrsquoexpeacuteriences sont les facteurs controcircleacutes Tous les autres facteurs qui ne sont pas fixeacutessont les facteurs non controcircleacutes Si les facteurs non controcircleacutes ont peu drsquoinfluence ousrsquoils restent au mecircme niveau pendant tous les essais ils nrsquoentraicircneront que de petitesvariations Les facteurs non controcircleacutes sont agrave lrsquoorigine de lrsquoerreur expeacuterimentale Sipar un mauvais hasard un facteur influent nrsquoa pas eacuteteacute pris en compte et qursquoil changede niveau pendant lrsquoexpeacuterimentation il grossirait consideacuterablement lrsquoerreur expeacute-rimentale et risquerait de compromettre lrsquoeacutetude Il faut donc ecirctre vigilant quandon eacutetablit la liste des facteurs pour essayer de nrsquoen oublier aucun drsquoimportantLrsquoavantage de la meacutethode des plans drsquoexpeacuteriences par rapport agrave la meacutethode clas-sique est drsquoobliger lrsquoexpeacuterimentateur agrave reacutefleacutechir agrave ce problegraveme et de lui eacuteviterdrsquoeacuteventuels oublis


Il srsquoagit de choisir les niveaux hauts et bas des trois facteurs retenus

ndash concentration en or dans la solution drsquoeacutelectrolyte (en grammes par litre)ndash densiteacute de courant pendant lrsquoeacutelectrolyse (en ampegraveres par deacutecimegravetre carreacute)ndash concentration en cobalt dans la solution drsquoeacutelectrolyte (en grammes par litre)

Il est bon de reacutesumer ces niveaux dans un tableau (Tableau 31)



Concentration en or (1) 2 gl 15 gl

Densiteacute de courant (2) 5 Adm2 25 Adm2

Concentration en cobalt (3) 05 gl 15 gl



35

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


Nous insistons sur lrsquoimportance de bien preacuteciser les bornes du domaine drsquoeacutetudeEn effet les conclusions de lrsquoeacutetude ne sont valides qursquoagrave lrsquointeacuterieur de ce domaineEn dehors on peut essayer de faire des projections de reacutesultats mais il ne faut enaucun cas les consideacuterer comme vraies et en tirer des conclusions


Il y a trois facteurs agrave eacutetudier Les niveaux bas et hauts de chaque facteur ont eacuteteacutedeacutefinis Les niveaux des facteurs agrave conserver constants pendant lrsquoexpeacuterimentationont eacutegalement eacuteteacute preacuteciseacutes et seront veacuterifieacutes avant chaque essaiAyant trois facteurs prenant chacun deux niveaux et comme on pense que le modegraveledu premier degreacute avec interactions (modegravele PDAI) est suffisant pour expliquer lesreacutesultats il convient de choisir un plan drsquoexpeacuteriences factoriel complet 23

y = a0 + a1x1 + a2x2 +a3x3 +a12x1x2 + a13x1x3 + a23x2x3 + a123x1x2x3 31

Nous verrons que si lrsquoon soupccedilonne un modegravele du second degreacute on choisira unplan diffeacuterent La deacutenomination 23 a la signification suivante le 3 en exposantindique le nombre de facteurs le 2 indique le nombre de niveaux des facteursOn peut repreacutesenter ce plan par une figure (Figure 33) en indiquant le domainedrsquoeacutetude et les points drsquoexpeacuteriences Les points drsquoexpeacuteriences ont pour coordonneacuteesles niveaux bas et les niveaux hauts des facteurs On peut eacutegalement repreacutesenter ceplan par des matrices la matrice drsquoexpeacuterimentation (uniteacutes normales) ou la matricedrsquoexpeacuteriences (uniteacutes codeacutees)

La matrice drsquoexpeacuterimentation (Tableau 32) comporte 6 colonnes les noms desessais les trois facteurs et les deux reacuteponses La matrice drsquoexpeacuteriences (Tableau 33) comporte eacutegalement les mecircmes six colonnesmais deux lignes ont eacuteteacute ajouteacutees pour preacuteciser la signification des niveaux minus1et +1Pour lrsquointerpreacutetation des reacutesultats drsquoessais on utilise soit la matrice drsquoexpeacuterimentationsoit la matrice drsquoexpeacuteriences selon les particulariteacutes que lrsquoon veut mettre en eacutevidence

Figure 33 ndash Repreacutesentation du plan drsquoexpeacuteriences

Concentration en Or

Densiteacutede courant

(Facteur 3)

(Facteur 1)

(Facteur 2)

Concentrationen Cobalt


36



Essai n˚Concentration

en or (gl)Facteur 1

Densiteacute de courant (Adm2)

Facteur 2

Concentration en cobalt (gl)

Facteur 3

Vitesse (mgmin)

Teneur en cobalt (ppm)

1 2 5 05

2 15 5 05

3 2 25 05

4 15 25 05

5 2 5 15

6 15 5 15

7 2 25 15

8 15 25 15



en orFacteur 1

Densiteacute de courant

Facteur 2

Concentration en cobaltFacteur 3

Vitesse (mgmin)


1 minus1 minus1 minus1

2 +1 minus1 minus1

3 minus1 +1 minus1

4 +1 +1 minus1

5 minus1 minus1 +1

6 +1 minus1 +1

7 minus1 +1 +1

8 +1 +1 +1

Niveau minus 2 gl 5 Adm2 05 gl

Niveau + 15 gl 25 Adm2 15 gl



37

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



Les essais sont meneacutes conformeacutement au plan drsquoexpeacuteriences et les reacutesultats sontconsigneacutes dans la matrice drsquoexpeacuteriences (Tableau 34)


Le mecircme modegravele postuleacute celui des plans factoriels complets 23 sera utiliseacute pourles deux reacuteponses

y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a12x1x2 + a13x1x3 + a23x2x3 + a123x1x2x3 31

Dans ce modegravele les lettres ont la signification suivante y est lrsquoune des reacuteponsesles x1 sont les niveaux des facteurs les a1 sont les effets des facteurs les aij sont lesinteractions entre deux facteurs ou interactions drsquoordre 2 et a123 est lrsquointeractionentre les trois facteurs ou interaction drsquoordre 3Dans un premier temps les reacuteponses sont eacutetudieacutees lrsquoune apregraves lrsquoautre

m Vitesse de deacutepocirct

On reporte les reacutesultats des vitesses de deacutepocirct sur le domaine drsquoeacutetude (Figure 34)On constate que la vitesse de 80 mgmin est facilement atteinte et qursquoil estpossible drsquoaller plus vite puisque la vitesse maximale en de lrsquoordre de 134 mgminOn constate aussi que les fortes vitesses sont du cocircteacute des fortes concentrationsen or



en orFacteur 1


Facteur 2


Vitesse (mgmin)


1 minus1 minus1 minus1 53 4 100

2 +1 minus1 minus1 122 3 510

3 minus1 +1 minus1 20 3 950

4 +1 +1 minus1 125 1 270

5 minus1 minus1 +1 48 4 870

6 +1 minus1 +1 70 2 810

7 minus1 +1 +1 68 7 750

8 +1 +1 +1 134 3 580

Niveau ndash1 2 gl 5 Adm2 05 gl

Niveau +1 15 gl 25 Adm2 15 gl


38


Pour affiner la compreacutehension des reacutesultats il faut modeacuteliser les pheacutenomegravenes Oncommence par calculer les effets des facteurs et leurs interactions (Tableau 35)

Crsquoest le facteur 1 la concentration en or qui est le plus influent Les facteurs 2 et3 ne sont pas directement influents mais ils le sont par lrsquointermeacutediaire de leursinteractions drsquoordre 2 Les trois interactions ont des valeurs agrave peu pregraves identiquesmais de signes diffeacuterents Lrsquointeraction drsquoordre 3 est pratiquement nulle Ces reacutesultatspermettent drsquoeacutecrire le modegravele donnant la vitesse de deacutepocirct en fonction des niveauxdes trois facteurs (uniteacutes codeacutees)

yvitesse = 80 + 3275 x1 + 675 x2 +10 x1x2 ndash 1075 x1x3 + 1425 x2x3 32

Cette relation est utiliseacutee par les logiciels pour faire tous les calculs et tracer tousles graphiques

Figure 34 ndash Valeur de la vitesse de deacutepocirct aux sommets du domaine drsquoeacutetude

Tableau 35 ndash Effets et interactions des facteurs (uniteacutes codeacutees) Reacuteponse laquo Vitesse de deacutepocirct raquo

Effet Valeur

Constante 80

Concentration en or (1) 3275

Densiteacute de courant (2) 675

Concentration en cobalt (3) 0

Interaction 12 10

Interaction 13 minus1075

Interaction 23 1425

Interaction 123 1

Concentration en Or


(3)

(1)

(2)


122

20 125

4870

68

53

134



39

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


On illustre souvent le tableau 35 par un diagramme agrave barres (Figure 35) qui permetdrsquoun coup drsquoœil de se rendre compte de lrsquoimportance des diffeacuterents coefficients

Deux autres diagrammes sont utiles pour bien se rendre compte de lrsquoinfluence desfacteurs le diagramme des effets (Prediction Profiler dans JMP) qui indique leseffets principaux des facteurs et le diagramme des interactions (Interaction Profilesdans JMP) qui montre les interactions drsquoordre 2 entre les facteurs

M Diagramme des effets

Nous avons deacutejagrave rencontreacute ce diagramme Il indique les effets principaux des facteurscrsquoest-agrave-dire les coefficients des termes du premier degreacute du modegravele matheacutematiqueCe diagramme peut ecirctre construit avec les uniteacutes codeacutees ou avec les uniteacutes normales(Figure 36) Lrsquoimpression visuelle est la mecircme Pour la preacutesentation des reacutesultatsil est plus commode drsquoemployer les uniteacutes normales qui donnent immeacutediatementles valeurs de comparaison

Figure 35 ndash Illustration du tableau 35

Figure 36 ndash Effet des facteurs

Coefficients du modegravele laquo Vitesse de deacutepocirct raquo

ndash

ndash

ndash

ndash

20

15

10

5

0

5

10

15

20

25

30

35

Or (1) Courant (2) Co (3) 12 13 23 123

Nom des coefficients

Val

eur

des

co

effi

cien

ts

2

134

80

85 15

20

Vit

esse

5 15 25 Densiteacute de courantOr Cobalt

05 1 15


40


La vitesse de deacutepocirct est drsquoautant plus grande que la solution drsquoeacutelectrolyte contientplus drsquoor et que la densiteacute de courant est plus eacuteleveacutee La concentration en cobaltde la solution drsquoeacutelectrolyte ne semble jouer aucun rocircle Mais pour avoir une inter-preacutetation complegravete il faut tenir compte des interactions qui nous lrsquoavons vu nesont pas neacutegligeables

M Diagramme des interactions

Le diagramme des drsquointeractions indique les effets drsquoun facteur au niveau bas et auniveau haut drsquoun autre facteur Le diagramme de la figure 37 se lit de la maniegraveresuivante la reacuteponse est indiqueacutee en ordonneacutees et les eacutechelles des facteurs sont enabscisses Dans le carreacute supeacuterieur droit lrsquoeffet du facteur laquo densiteacute de courant raquo estindiqueacute pour les niveaux bas (2) et haut (15) du facteur concentration en OrDans le carreacute infeacuterieur gauche lrsquoeffet du facteur laquo concentration en or raquo estindiqueacute pour les niveaux bas (5) et haut (25) du facteur laquo densiteacute de courant raquoNous savons que si les droites des effets ne sont pas parallegraveles il y a une interactionsignificative Crsquoest le cas de ces deux facteurs dont les pentes des effets sont diffeacute-rentes dans une perspective et se croisent dans lrsquoautre

On peut preacutesenter le diagramme des interactions en prenant les interactions soitseacutepareacutement deux agrave deux soit toutes regroupeacutees dans un seul tableau (Figure 38)Le diagramme des profils drsquointeractions montre clairement que les interactions nesont pas neacutegligeables et qursquoil faut les prendre en compte pour faire lrsquointerpreacutetationLa vitesse maximale de deacutepocirct est atteinte lorsque les trois facteurs sont agrave leur niveauhaut 15 gl drsquoor et 15 gl de cobalt dans la solution drsquoeacutelectrolyte et une densiteacutede courant de 25 Adm2 (Figure 39)

Figure 37 ndash Le diagramme des interactions illustre lrsquoimportance des interactions

2

Or

0


Vite

sse

150

75

0

150

75

25

15

5

152 5 25



41

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


m Teneur en cobalt de lrsquoalliage

On peut eacutegalement reporter les reacutesultats des teneurs en cobalt sur le domainedrsquoeacutetude (Figure 310)On constate que de fortes teneurs en cobalt dans lrsquoalliage sont obtenues lorsque laconcentration en or est faible dans la solution drsquoeacutelectrolyte On constate eacutegalement

Figure 38 ndash Les profils des interactions sont regroupeacutes en un seul tableau

Figure 39 ndash La plus grande vitesse de deacutepocirct est atteinte lorsque les trois facteurs sont agrave leur niveau haut

2

Or

0


Vite

sse

150

75

0

150

75

25

15

5

152 5 25

2

15

25

5

05

1505

15 Cobalt

05 15

0

150

75

2

133

85 15

20

Vit

esse

5 15 25


Or Cobalt

05 1 15


42


que cette teneur en cobalt augmente avec la densiteacute de courant et avec la concen-tration en cobalt dans lrsquoeacutelectrolyte

Calculons maintenant les effets des facteurs et leurs interactions (Tableau 36)

Ce sont les facteurs 1 (la concentration en or) et 3 (la concentration en cobalt) quisont les plus influents (Figure 311) Mais ils sont de sens opposeacutes Lrsquoeffet du facteur 1est neacutegatif cela signifie que la reacuteponse baisse quand le facteur passe du niveau bas auniveau haut Lrsquoeffet du facteur 3 est positif cela signifie que la reacuteponse augmente

Figure 310 ndash Valeur de la reacuteponse laquo Teneur en cobalt de lrsquoalliage raquo aux sommets du domaine drsquoeacutetude

Tableau 36 ndash Effets et interactions des facteurs (uniteacutes codeacutees) Reacuteponse laquo Teneur en cobalt de lrsquoalliage raquo

Effet Valeur

Constante 3 980

Concentration en or (1) minus1 1875





Interaction 23 755



Concentration en Or


(3)

(1)

(2)

3510

3950 1270

4870

2810

7750

4100

3580



43

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


quand le facteur passe du niveau bas au niveau haut Les interactions drsquoordre 2sont importantes (Figure 312) Lrsquointeraction drsquoordre 3 est neacutegligeableCes reacutesultats permettent drsquoeacutecrire le modegravele donnant la concentration en cobalt delrsquoalliage en fonction des niveaux des trois facteurs (uniteacutes codeacutees)

ycobalt = 3 980 ndash 1 1875 x1 + 1575 x2 + 7725 x1 ndash 525 x1x2 ndash 370 x1x3 + 755 x2x3 33

Cette relation est utiliseacutee par les logiciels pour faire tous les calculs et tracer tousles graphiquesLa teneur en cobalt de lrsquoalliage doit ecirctre comprise entre 3 500 et 4 500 ppm Cesdeux valeurs peuvent ecirctre atteintes puisque la reacuteponse varie de 1 270 agrave 7 750 ppmagrave lrsquointeacuterieur du domaine drsquoeacutetude Pour avoir une vue drsquoensemble il faut tracer lescourbes isoreacuteponses de la surface de reacuteponse correspondant aux deux facteurs lesplus influents la concentration en or et la concentration en cobalt (Figure 313)La courbe 4 000 ppm a eacuteteacute traceacutee et les limites de 3 500 et 4 500 ppm ont eacuteteacuteindiqueacutees Les zones griseacutees sont en dehors de lrsquoobjectif et les zones claires rassem-blent toutes les combinaisons de concentrations qui permettent drsquoatteindrelrsquoobjectif Le diagramme a eacuteteacute traceacute pour trois niveaux de la densiteacute de courant 515 et 25 Adm2 Plus la densiteacute de courant est eacuteleveacutee et plus la zone autoriseacutee esteacutetroiteCes diagrammes peuvent ecirctre construits avec un tableur ou avec un logiciel de plansdrsquoexpeacuteriences


Coefficients du modegravelelaquoTeneur en Cobalt de lalliage raquo

1 200

1 000

800

600

400

ndash

ndash

ndash

ndash

ndash

ndash

200

0

200

400

600

800

1 000

Or (1) Courant(2)

Co (3) 12 13 23 123


Val

eur

des

co

effi

cien

ts


44


m Recherche de conditions opeacuteratoires respectant les objectifs

Comme il y a deux objectifs une vitesse de deacutepocirct au moins eacutegale agrave 80 mgmin et uneteneur en cobalt de lrsquoalliage comprise entre 3 500 et 4 500 ppm nous allons super-poser les reacutesultats de la vitesse de deacutepocirct agrave ceux de la teneur en cobalt (Figure 314)On interdit les vitesses infeacuterieures agrave 80 mgmin

Figure 312 ndash Profils des interactions pour la reacuteponse laquo Teneur en cobalt de lrsquoalliage raquo

Figure 313 ndash Lrsquoobjectif de teneur en cobalt nrsquoest pas atteint pour les zones griseacutees

2Or

0


Co

ba

lt d

an

s la

llia

ge

8 000

4 000

0

8 000

4 000

25

5

152 5 25

2

15

25

5

05

15

05

15

Cobalt

05 15

0

8 000

4 000

15

4500

Concentration Or (1) 152

Co

nce

ntr

atio

n C

ob

alt

(3)

05

15

4000

Teneur en Cobalt dans lalliage

3500

Densiteacute de courant 5 A dm2


4000

4000

4000


4000

4000



Densiteacute de courant 15 A dm


35003500

4500 4500

2 2



45

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


Pour les faibles densiteacutes de courant on constate que la zone des faibles concentra-tions en or est supprimeacutee Il ne reste qursquoune zone utile de fortes concentrations enor et de faibles concentrations en cobaltPour les densiteacutes de courant moyennes on constate eacutegalement que la zone desfaibles concentrations en or est supprimeacutee Il ne reste qursquoune zone ougrave les deuxobjectifs sont respecteacutes elle se situe aux fortes concentrations en or et aux fortesconcentrations en cobaltPour les fortes densiteacutes de courant la zone des faibles concentrations en or estsupprimeacutee Il ne reste qursquoune zone qui ressemble agrave celle des densiteacutes moyennes decourantToutes les combinaisons appartenant aux zones non griseacutees permettent de reacutepondreaux objectifs Lrsquoexpeacuterimentateur a donc un large eacuteventail de solutions Il pourrachoisir une solution reacutepondant agrave une contrainte suppleacutementaire par exemple unesolution donnant un meilleur aspect de surface ou une solution plus eacuteconomique

m Peut-on faire mieux

On peut se poser la question de savoir dans quelles conditions on peut travailler unpeu plus vite par exemple agrave 100 mgmin Il suffit de remplacer la valeur de la limitede vitesse de 80 mgmin par 100 mgmin On obtient des diagrammes analoguesagrave ceux de la figure 315Si lrsquoon veut travailler agrave 100 mgmin il faut choisir une densiteacute de courant soitfaible soit forte Il nrsquoy a aucune solution si la densiteacute de courant est moyennePour les faibles densiteacutes de courant il faut une forte concentration en or et unefaible concentration en cobaltPour les fortes densiteacutes de courant il faut une forte concentration en or et uneforte concentration en cobaltGracircce aux modegraveles eacutetablis lrsquoexpeacuterimentateur peut calculer (avec le logiciel) despreacutevisions de reacuteponses pour des conditions opeacuteratoires donneacutees Par exemple ilpeut deacutecider de privileacutegier les solutions faisant intervenir les fortes densiteacutes decourant qui permettent drsquoatteindre une concentration en cobalt de 4 000 ppm

Figure 314 ndash Les objectifs sont respecteacutes dans les zones non griseacutees

Concentration Or 152

Co

nce

ntr

atio

n C

ob

alt

05

15

Concentration Or 152 Concentration Or 152




80

Vitesse

4000

80

Vitesse


3500

3500

2 2Densiteacute de courant 25 A dm

4000 3500

Vitesse

4500

80


2


46


alors que les faibles densiteacutes de courant ne le permettent pas Dans cette hypothegravese ilne peut pas conclure sans effectuer une veacuterification Il va donc preacutevoir une ou plusieursexpeacuteriences de controcircle (Figure 316) Lrsquoexpeacuterimentateur ajuste les facteurs fixeacutes agrave leursniveaux drsquoexpeacuterimentation et il attribue les valeurs suivantes aux facteurs du plan

ndash La concentration en or de la solution drsquoeacutelectrolyte est reacutegleacutee agrave 12 glndash La concentration en cobalt de la solution drsquoeacutelectrolyte est reacutegleacutee agrave 13 glndash La densiteacute de courant est reacutegleacutee agrave 25 Adm2

Avec les modegraveles eacutetablis lrsquoexpeacuterimentateur calcule que la vitesse devrait ecirctre de115 mgmin et la teneur en cobalt de lrsquoalliage devrait ecirctre de 4 011 ppm

Figure 315 ndash Avec une vitesse de deacutepocirct de 100 mgmin les objectifs sont respecteacutes uniquement dans deux petites zones non griseacutees

Figure 316 ndash Les preacutevisions de reacuteponses indiquent que les objectifs pourraient ecirctre atteints si la concentration en or de lrsquoeacutelectrolyte eacutetait de 12 mgl et celle du cobalt de 13 mgl

pour une densiteacute de courant de 25 Adm2

100

Vitesse

3500


Co

nce

ntr

atio

n C

ob

alt

05

15




Vitesse


100

2 2



4000

3500

Vitesse

4500


100

2

12

13

Co

nce

ntr

atio

n C

ob

alt

05

15



4000

3500

4500

100

Vitesse

2



32 Conclusion de lrsquoeacutetude

47

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


Il reacutealise deux essais de controcircle en reprenant ces conditions opeacuteratoires Il trouveune vitesse de deacutepocirct de 110 et 105 mgmin et une teneur en cobalt dans lrsquoalliagede 3 950 et 3 920 ppm Ces reacutesultats le satisfont car ils confirment ses preacutevisionsLrsquoexpeacuterimentateur va pouvoir faire ses recommandations

32 Conclusion de lrsquoeacutetudeLrsquoexpeacuterimentateur preacutecise les conditions opeacuteratoires permettant de reacutealiser des deacutepocirctsdrsquoor fin reacutepondant aux impeacuteratifs de qualiteacute deacutefinis au deacutepart de lrsquoeacutetude Il indique le mateacuteriel la nature lrsquoorigine et les proprieacuteteacutes des matiegraveres premiegraveres la mise enœuvre des matiegraveres premiegraveres les niveaux des facteurs qui ont eacuteteacute fixeacutes pendantlrsquoexpeacuterimentation Enfin il rappelle les reacuteglages des quatre principaux facteurs ndash le pH de lrsquoeacutelectrolyte reacutegleacute agrave 45 ndash la concentration en or de la solution drsquoeacutelectrolyte reacutegleacutee agrave 12 gl ndash la concentration en cobalt de la solution drsquoeacutelectrolyte reacutegleacutee agrave 13 gl ndash la densiteacute de courant reacutegleacutee agrave 25 Adm2Dans ces conditions on doit obtenir une vitesse de deacutepocirct leacutegegraverement supeacuterieure agrave100 mgmin et une teneur en cobalt dans lrsquoalliage de lrsquoordre 3 900 ppm Les objectifsde lrsquoeacutetude sont respecteacutes et mecircme un peu deacutepasseacutes



49

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

4 bull PLANS FACTORIELS COMPLETSAgrave 4 FACTEURS

Nous avons vu un plan factoriel complet agrave deux facteurs et un autre agrave trois facteursDans ces deux plans les facteurs ne prenaient que deux niveaux un niveau bas etun niveau haut Le premier plan a eacuteteacute deacutesigneacute comme plan 22 (deux facteursprenant chacun deux niveaux) Le second plan a eacuteteacute deacutesigneacute comme plan 23 (troisfacteurs prenant chacun deux niveaux) Nous allons voir maintenant un planfaisant intervenir quatre facteurs prenant chacun deux niveaux crsquoest-agrave-dire unplan 24 Le nombre drsquoessais est donc de 16 ce qui est encore raisonnable Plus lenombre de facteurs est eacuteleveacute plus le nombre drsquoessais devient grand Ce nombredrsquoessais augmente exponentiellement avec le nombre de facteurs Pour 5 facteursil faudrait reacutealiser 32 essais et pour 6 facteurs 64 essais Il est donc rare drsquoexeacutecuterun plan factoriel complet ayant plus de 5 ou 6 facteurs Nous verrons qursquoil estpossible moyennant certaines hypothegraveses de reacuteduire le nombre drsquoessais sans dimi-nuer le nombre de facteurs Les plans factoriels fractionnaires ont eacuteteacute inventeacutespour reacutesoudre ce problegravemeDans le preacutesent chapitre nous traitons lrsquoexemple de la galette des rois Cet exemplene pose aucun problegraveme de construction Mais nous verrons que lrsquointerpreacutetationnrsquoest pas automatique et que lrsquoexpeacuterimentateur doit faire preuve de connaissances etsavoir faire appel agrave toutes les compeacutetences pour choisir la bonne deacutecision Lrsquoexpeacuteri-mentateur est celui qui sait preacutesenter les diffeacuterentes alternatives aux deacutecideurs pourque lrsquoentreprise fasse le bon choixIl existe en France une tradition qui srsquoappelle la laquo galette des rois raquo Agrave la fin du mois dedeacutecembre et pendant tout le mois de janvier on trouve chez les deacutetaillants desgacircteaux particuliers appeleacutes laquo galettes des rois raquo Ce gacircteau preacutesente la particulariteacutedrsquoavoir un petit objet la fegraveve glisseacute et dissimuleacute dans la pacircte Cette galette estdeacutegusteacutee en famille ou avec des amis Le Papa ou la Maman deacutecoupe la galette enun nombre de parts exactement eacutegal au nombre de convives Le plus jeune desenfants se place de maniegravere agrave ne pas voir la galette par exemple dans une piegravecevoisine ou sous la table La personne qui a deacutecoupeacute la galette deacutesigne lrsquoune desparts et demande agrave lrsquoenfant laquo Pour qui cette part-lagrave raquo Lrsquoenfant reacutepond parexemple laquo Pour ma sœur raquo La part est attribueacutee agrave la sœur On poursuit ainsi ladistribution jusqursquoagrave ce que chacun ait sa part Celui qui trouve la fegraveve dans sa partde galette est le roi ou la reine de la soireacutee il est applaudi et congratuleacute par tousLes enfants adorent la galette des rois et espegraverent bien devenir le roi ou la reine dela soireacuteehellip mais je crois que crsquoest pareil pour les grandes personnes On notera que


50

41 Exemple 03 la galette des rois4 bull Plans factoriels completsagrave 4 facteurs

les petits Franccedilais sont bien entraicircneacutes pour reacutealiser une distribution parfaitementaleacuteatoire et que la galette des rois est une bonne initiation agrave la science statistiqueCet exemple sera lrsquooccasion de preacutesenter une meacutethode drsquooptimisation multicritegraveretregraves utile la deacutesirabiliteacute

41 Exemple 03 la galette des rois411 Preacuteparation du plan drsquoexpeacuteriences


La galette des rois est preacutepareacutee agrave partir drsquoune pacircte feuilleteacutee speacuteciale que lrsquoon eacutetaleen plaque drsquoenviron 1 centimegravetre drsquoeacutepaisseur et que lrsquoon deacutecoupe en forme decercle Ces cercles de pacircte sont appeleacutes des abaisses Pour reacutealiser une galette il fautdeux abaisses Sur la premiegravere abaisse lrsquoabaisse infeacuterieure on deacutepose un fourragede pacircte drsquoamandes et lrsquoon place la fegraveve de maniegravere agrave ce qursquoelle soit parfaitementdissimuleacutee On recouvre lrsquoensemble drsquoune deuxiegraveme abaisse identique agrave la premiegravereOn perce lrsquoabaisse supeacuterieure de nombreux petits trous pour que la vapeur drsquoeaupuisse srsquoeacutechapper pendant la cuisson On obtient une galette que lrsquoon introduit dansun four chauffeacute de maniegravere homogegravene agrave une certaine tempeacuterature et que lrsquoon laissecuire pendant 30 minutes Pour la preacutesente eacutetude il srsquoagit de galettes industriellesqui une fois cuites sont congeleacutees et achemineacutees dans les magasins gracircce agrave un reacuteseaude distribution Agrave la sortie du four les galettes sont examineacutees et seules celles quine preacutesentent aucun deacutefaut sont congeleacutees Les galettes sont ensuite conditionneacuteeset distribueacutees chez les revendeurs en preacuteservant la chaicircne du froid Les galettes sontvendues en geacuteneacuteral dans les trois semaines qui suivent leur fabricationTout serait pour le mieux si des clients meacutecontents nrsquoeacutetaient pas revenus reacuteclameren faisant constater que certaines galettes avaient des abaisses deacutecolleacutees et preacutesen-taient des fentes sur lrsquoabaisse infeacuterieure Le principal grief eacutetait que les galettes lais-saient apparaicirctre la fegraveve et que la magie de la galette des rois srsquoeacutevanouissait alorscomplegravetementDevant une telle catastrophe lrsquoindustriel reacuteagit immeacutediatement en convoquant sesmeilleurs techniciens La situation est analyseacutee et la deacutecision de faire une eacutetude pourtrouver lrsquoorigine des deux deacutefauts est prise sans tarder Les galettes ne doivent preacutesenteraucun deacutefaut 4 semaines apregraves la sortie drsquousine Les deacutefauts viseacutes sont le deacutecollementet les fentes qui en jargon technique de pacirctisserie srsquoappellent des fecircles

m Objectif de lrsquoeacutetude

Lrsquoobjectif de lrsquoeacutetude est de trouver les conditions de fabrication qui permettront dereacuteduire et si possible drsquoeacuteliminer les deacutecollements et les fecircles sur les galettes congeleacuteesayant 4 semaines de vie

m Reacuteponses

Le choix de la reacuteponse permettant de bien mesurer la grandeur drsquointeacuterecirct et de corrigerles deacutefauts constateacutes est bien souvent difficile agrave deacutefinir Ici la mesure du deacutecollementse heurte agrave plusieurs difficulteacutes Le deacutecollement nrsquoest pas reacutegulier et lrsquoon a constateacute


41 Exemple 03 la galette des rois

51

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

4 bull Plans factoriels completsagrave 4 facteurs

plusieurs zones de deacutecollement plus ou moins longues sur la mecircme galette Il peuty avoir des parties bien colleacutees drsquoautres agrave moitieacute colleacutees et enfin drsquoautres complegravetementdeacutecolleacutees Les tentatives drsquoeacutevaluation du deacutecollement par des mesures de longueurde profondeur et drsquoeacutepaisseur se soldegraverent par des eacutechecs Il en fut de mecircme pour lamesure des fecircles celles-ci eacutetant plus ou moins larges plus ou moins profondes etplus ou moins rectilignes On finit donc par eacutetablir un baregraveme avec des deacutefautstests ce qui permit de donner des notes agrave toutes les galettes participant agrave lrsquoeacutetudeLe deacutecollement fut estimeacute par une note comprise entre 0 et 3 ndash 3 est lrsquoabsence de deacutecollement ndash 0 est le plus mauvais deacutecollement constateacuteLa fecircle fut estimeacutee par une note comprise entre 0 et 3 ndash 3 est lrsquoabsence de fecircle ndash 0 est la galette posseacutedant le plus grand nombre de fecirclesLrsquoobjectif chiffreacute est donc 3 pour le deacutecollement et 3 pour la fecircle

m Facteurs et domaine drsquoeacutetude

Lrsquoindustriel et son eacutequipe eacutetablirent la liste de tous les facteurs pouvant influencerlrsquoapparition des deacutefauts Puis ils seacutelectionnegraverent ceux qui leur paraissaient suscep-tibles drsquoengendrer les deux deacutefauts ndash Facteur 1 rapport du poids des abaisses Crsquoest le rapport poids de lrsquoabaisse

supeacuterieurepoids de lrsquoabaisse infeacuterieure bull niveau bas 09bull niveau haut 11

ndash Facteur 2 nombre de trous dans lrsquoabaisse supeacuterieure bull niveau bas peubull niveau haut beaucoup

ndash Facteur 3 profil de chauffage du four de cuisson bull niveau bas fort au deacutebutbull niveau haut fort agrave la fin

ndash Facteur 4 dureacutee de la cuisson bull niveau bas 29 minbull niveau haut 31 min

Les facteurs et leurs niveaux sont rassembleacutes dans le tableau 41

Tableau 41 ndash Facteurs retenus et domaine drsquoeacutetude

Facteur Niveau bas Niveau moyen Niveau haut

Rapport du poids des abaisses (1) 090 1 11

Nombre de trous (2) Peu Normal Beaucoup

Profil de chauffage (3) Fort au deacutebut Homogegravene Fort agrave la fin

Dureacutee de la cuisson (4) 29 min 30 min 31 min


52


Le niveau moyen correspond aux conditions de la fabrication utiliseacutees avant leplan drsquoexpeacuteriences

m Choix du plan drsquoexpeacuteriences

Le responsable de la fabrication deacutecide drsquoeacutetudier les 4 facteurs avec un plan factorielcomplet 24 car il srsquoattend agrave de nombreuses interactions entre les facteurs Le plancomporte donc 16 essais (Tableau 42)

Tableau 42 ndash Plan drsquoexpeacuteriences pour lrsquoeacutetude sur la galette des rois

Essai n˚Rapport du poids

des abaisses(1)

Nombre de trous

(2)

Chauffage du four

(3)

Dureacutee de la cuisson

(4)

1 ndash ndash ndash ndash

2 + ndash ndash ndash

3 ndash + ndash ndash

4 + + ndash ndash

5 ndash ndash + ndash

6 + ndash + ndash

7 ndash + + ndash

8 + + + ndash

9 ndash ndash ndash +

10 + ndash ndash +

11 ndash + ndash +

12 + + ndash +

13 ndash ndash + +

14 + ndash + +

15 ndash + + +

16 + + + +

ndash1 090 Peu Fort au deacutebut 29 min

+1 11 Beaucoup Fort agrave la fin 31 min



53

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


La preacutesentation du plan suit lrsquoordre classique des essais ou ordre de Yates Lesniveaux de la premiegravere colonne sont alterneacutes et commencent par un minus1 Les niveauxde la deuxiegraveme colonne sont alterneacutes deux par deux 2 signes minus1 et 2 signes +1 etainsi de suite Les niveaux de la troisiegraveme colonne sont alterneacutes quatre par quatre 4 signes minus1 et 4 signes +1 et ainsi de suite Les niveaux de la quatriegraveme colonnesont alterneacutes huit par huit 8 signes minus1 et 8 signes +1 Cet ordre sera utiliseacute pourpreacutesenter tous les plans drsquoexpeacuteriences du livre et tous les fichiers informatiquesMais lrsquoordre drsquoexeacutecution des essais drsquoun plan nrsquoest pas forceacutement lrsquoordre de preacutesen-tation Lrsquoordre des essais est une question importante que nous eacutetudierons en deacutetailau cours du chapitre 8


Les galettes sont cuites dans un four industriel continu Agrave lrsquoentreacutee du four elles sontdeacuteposeacutees sur un tapis roulant et disposeacutees les unes derriegravere les autres sur plusieursrangeacutees Elles avancent reacuteguliegraverement dans le four et cuisent progressivement ellesy seacutejournent le temps imposeacute par le plan drsquoexpeacuteriences Elles sont reacutecupeacutereacutees agrave lasortie du four puis refroidies On seacutelectionne celles qui ne preacutesentent aucun deacutefaut eton les congegravele On preacutelegraveve au hasard un eacutechantillon de 100 galettes preacutepareacuteesdans les mecircmes conditions Elles sont empaqueteacutees eacutetiqueteacutees et stockeacutees pendant4 semaines Au bout de quatre semaines chaque galette passe entre les mains drsquounjuge qui lui attribue une note pour la fecircle et une autre pour le deacutecollement Unsecond juge veacuterifie les notes du premier et en cas de deacutesaccord les deux juges seconcertent pour mettre la note la plus preacutecise possible Pour chaque essai du planon lance une fabrication particuliegravere telle que lrsquoon vient de la deacutecrireUn tel plan neacutecessite une excellente organisation pour ecirctre meneacute agrave bien et lrsquoenjeu doitecirctre important car le coucirct drsquoune telle recherche est consideacuterable Heureusementdans notre cas tous les essais et toutes les mesures ont pu ecirctre reacutealiseacutes Nous nedonnerons pas les reacutesultats des 100 galettes par essais Nous nous contenterons desmoyennes pour chacune des deux reacuteponses Les reacutesultats figurent dans le tableau 43

Tableau 43 ndash Reacutesultats du plan drsquoexpeacuteriences laquo Galette des rois raquo

Essai n˚Poids des abaisses

(1)

Nombre de trous

(2)

Chauffage(3)

Dureacutee de cuisson

(4)Deacutecollement Fecircle

1 ndash ndash ndash ndash 28 22

2 + ndash ndash ndash 3 28

3 ndash + ndash ndash 22 12

4 + + ndash ndash 3 26

5 ndash ndash + ndash 3 14

6 + ndash + ndash 26 2

7 ndash + + ndash 3 14


54


Crsquoest agrave partir de ce tableau que lrsquointerpreacutetation peut deacutebuter

413 Interpreacutetation des reacutesultats du plan


Le modegravele matheacutematique choisi a priori (modegravele PDAI) est le suivant y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4

+a12x1x2 + a13x1x3 + a14x1x4 + a23x2x3 + a24x2x4 + a34x3x4+a123x1x2x3 + a124x1x2x4 + a134x1x3x4 + a234x2x3x4

+a1234x1x2x3x4 Ce modegravele matheacutematique comporte

ndash un coefficient constant a0 ndash quatre termes comprenant un coefficient ai (effets des facteurs) multiplieacute par les

niveaux respectifs de chaque facteur ndash des termes comprenant un coefficient aij (interactions entre deux facteurs) et le

produit des niveaux des facteurs pris deux agrave deux ndash des termes comprenant un coefficient aijk (interactions entre trois facteurs) et le

produit des niveaux des facteurs pris trois agrave trois ndash un terme comprenant un coefficient aijkl (interaction entre quatre facteurs) et

le produit des niveaux des facteurs pris quatre agrave quatre

Il y a 16 coefficients soit 16 inconnues Les 16 essais vont permettre de calculer ces16 inconnues La reacutesolution de ce systegraveme drsquoeacutequations est reacutealiseacutee gracircce au logiciel


(1)

Nombre de trous

(2)

Chauffage(3)



8 + + + ndash 24 22

9 ndash ndash ndash + 14 24

10 + ndash ndash + 28 3

11 ndash + ndash + 08 12

12 + + ndash + 16 3

13 ndash ndash + + 14 14

14 + ndash + + 26 3

15 ndash + + + 3 18

16 + + + + 28 3

minus1 090 Peu Fort au deacutebut 29 min


Tableau 43 ndash Reacutesultats du plan drsquoexpeacuteriences laquo Galette des rois raquo (Suite)



55

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


Le mecircme modegravele de base sera utiliseacute pour les deux reacuteponses Mais les coefficientsseront fort probablement diffeacuterents drsquoune reacuteponse agrave lrsquoautre La repreacutesentationmatheacutematique finale ne sera pas la mecircme pour chacune des reacuteponses

m Preacuteparation des calculs

Quel que soit le logiciel que vous utilisez vous devez entrer les reacutesultats expeacuteri-mentaux dans lrsquoordinateur Vous prendrez bien garde drsquoassocier correctementchaque reacutesultat avec lrsquoessai correspondant du plan drsquoexpeacuteriences Un deacutecalage ouune erreur de transcription ruinerait les efforts de recherche et pourrait conduire agraveune interpreacutetation erroneacutee des reacutesultatsPour le deacutetail des manipulations permettant de lancer les calculs avec le logicielreportez-vous au chapitre 14

m Examiner les reacutesultats des calculs

Les reacutesultats des calculs sont afficheacutes dans le tableau 44

Tableau 44 ndash Effets et interactions des facteurs (uniteacutes codeacutees)

Effet Deacutecollement Fecircle

Moyenne 24 216

Poids des abaisses (1) 02 054

Trous (2) minus005 minus011

Chauffage (3) 02 minus014

Dureacutee de cuisson (4) minus035 019

Interaction 12 minus01 011

Interaction 13 minus02 minus001

Interaction 14 02 011








Interaction 1234 0 minus006


56


Trois facteurs sont influents sur le deacutecollement ndash Facteur 1 rapport du poids des abaissesndash Facteur 3 profil de chauffage du four de cuissonndash Facteur 4 dureacutee de la cuissonIl y a de nombreuses interactions drsquoordre 2 et drsquoordre 3 qui sont du mecircme ordre degrandeur que les effets principaux Cela nrsquoa rien de surprenant dans le domaine dela pacirctisserie La figure 41 illustre les valeurs des coefficients du modegravele de lareacuteponse laquo Deacutecollement raquo

Pour la fecircle il nrsquoy a qursquoun facteur (le rapport du poids des abaisses) nettement plusinfluent que les trois autres Mais aucun ne peut ecirctre neacutegligeacute car tous les facteursmodifient suffisamment la note pour ecirctre pris en compte On veacuterifie qursquoil y a aussi denombreuses interactions drsquoordre 2 et drsquoordre 3 La figure 42 illustre le tableau 44Lrsquoobjectif de lrsquoeacutetude est drsquoameacuteliorer les deux reacuteponses en mecircme temps pour dimi-nuer le deacutecollement et la fecircle On cherche les conditions qui permettentdrsquoatteindre une note de 3 pour les deux reacuteponses

m Interpreacuteter les reacutesultats des calculs

La preacutesence des interactions ne permet pas drsquoeacutetudier lrsquoinfluence drsquoun facteur agrave partirdu seul effet principal sur une reacuteponse car lorsqursquoon change le niveau drsquoun facteuron modifie les effets de tous les autres facteurs Au centre du domaine drsquoeacutetude lanote du deacutecollement est 24 et la note de la fecircle est 21625 (Figure 43) Une inter-preacutetation baseacutee uniquement sur les effets principaux des facteurs serait sourcedrsquoerreurs il faut tenir compte des interactions On va progresser par eacutetapes en tenantcompte du sens de variation des effets pour les deux reacuteponses Le calcul des reacuteponsesen fonction du niveau des facteurs est effectueacute gracircce agrave un logiciel de plans drsquoexpeacute-riences Avec le logiciel JMP crsquoest lrsquooutil Prediction Profiler qursquoil faut utiliser

Figure 41 ndash Diagramme agrave barres des coefficients du modegravele de la reacuteponse laquo Deacutecollement raquo

Deacutecollement

Val

eur

des

co

effi

cien

ts


1 2 3

06

04

02

0

ndash 02

ndash 04

ndash 064 12 13 14 23 24 34 123 124 134 234 1234



57

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


Le sens de variation du facteur 1 (le rapport du poids des abaisses) est le mecircmepour les deux reacuteponses Donc quand on ameacuteliore (deacuteteacuteriore) lrsquoune on ameacuteliore(deacuteteacuteriore) lrsquoautre Cela est inteacuteressant puisque crsquoest le seul facteur sur lequel onpeut jouer pour ameacuteliorer la fecircle On obtiendra en mecircme temps des galettes avecmoins de fecircle et moins de deacutecollement On regravegle donc le facteur 1 au niveau haut(Figure 44) La note du deacutecollement passe agrave 26 et celle de la fecircle agrave 27Pour cette valeur du niveau du facteur 1 on srsquoaperccediloit que le facteur 2 ne modifieque le deacutecollement et qursquoil est sans effet sur la fecircle

Figure 42 ndash Diagramme agrave barres des coefficients du modegravele de la reacuteponse Fecircle

Figure 43 ndash Diagramme des effets des quatre facteurs pour les deux reacuteponses

FecircleV

aleu

r d

es c

oef

fici

ents


1 2 3

06

04

02

0

ndash 02

ndash 04

ndash 064 12 13 14 23 24 34 123 124 134 234 1234

ndash ndash ndash ndash1

3

24

0 +1

08

Deacutec

olle

men

t

Poids (1)

1 0 +1 1 0 +1 1 0 +1

Trous (2) Chauffage (3) Cuisson (4)

1

3

21625

0 +1

08Fecircl

e

Poids (1)

1 0 +1 1 0 +1 1 0 +1


ndash ndash ndash ndash


58


On regravegle ce facteur au niveau bas pour reacuteduire le deacutecollement (Figure 45) Onremarque que maintenant le facteur 3 agit de la mecircme faccedilon sur les deuxreacuteponses Les changements de pente des facteurs sont dus aux interactions

On profite de cette situation favorable qui eacutevite un compromis le facteur 3 estplaceacute au niveau bas pour les deux reacuteponses (Figure 46)

Figure 44 ndash Le facteur 1 est reacutegleacute au niveau haut

Figure 45 ndash Le facteur 2 est reacutegleacute au niveau bas

ndash1

326

0 +1

08Deacutec

olle

men

t

Poids (1)

ndash1 0 +1 ndash1 0 +1 ndash1 0 +1


ndash1

327

0 +1

08

Fecircl

e

Poids (1)



ndash


ndash ndash ndash1

32747

0 +1

08

Deacutec

olle

men

t

1 0 +1 1 0 +1 1 0 +1

1

32696

0 +1

08

Fecircl

e

Poids (1)

1 0 +1 1 0 +1 1 0 +1




59

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


Le reacuteglage du facteur 4 la dureacutee de la cuisson est plus deacutelicat En effet ce facteuragit de maniegravere opposeacutee sur les deux reacuteponses Si on le place au niveau haut onobtient bien la note 3 pour la fecircle mais on redescend agrave 28 pour le deacutecollementInversement si on le place au niveau bas on obtient la note 3 pour le deacutecolle-ment mais on redescend agrave 28 pour la fecircle Lorsqursquoon laisse le facteur 3 au niveauzeacutero on a la note 29 pour les deux reacuteponses (Figure 47)


Figure 47 ndash Le facteur 4 peut ecirctre reacutegleacute agrave diffeacuterents niveaux selon la solution rechercheacutee

ndash


ndash ndash ndash1

329

0 +1

08

Deacutec

olle

men

t

1 0 +1 1 0 +1 1 0 +1

1

329

0 +1

08

Fecircl

e

Poids (1)

1 0 +1 1 0 +1 1 0 +1


ndash

ndash ndash ndash

ndash ndash1

328

0 +1

08

Deacutec

olle

men

t

1 0 +11 0 +1

1

3

0 +1

08

Fecircl

e

1 0 +11 0 +1

Cuisson 31 min

3

28

29

29

29 min 30 min


60

42 Fonction deacutesirabliteacute4 bull Plans factoriels completsagrave 4 facteurs

Faut-il laisser une dureacutee de cuisson de 30 minutes ou faut-il la reacuteduire pour eacuteliminerles deacutecollements ou lrsquoaugmenter pour supprimer les fecircles La reacuteponse nrsquoappartient pasnormalement au technicien mais au responsable du marketing qui devra appreacutecier lamoins mauvaise solution eacutetant donneacute sa clientegravele Les graphiques permettent depreacutesenter les diffeacuterentes facettes du problegraveme et facilitent les prises de deacutecision Le tech-nicien possegravede toutes les donneacutees et tous les moyens de les preacutesenter aux deacutecideursLe technicien peut eacutegalement suggeacuterer un compleacutement drsquoeacutetude pour obtenir lanote 3 pour les deux reacuteponses Lorsqursquoon examine la figure 46 on constate quelrsquoon peut ameacuteliorer la situation ndash en augmentant le rapport du poids des abaisses ndash en diminuant le nombre de trous ndash en forccedilant la tempeacuterature du deacutebut de chauffe dans le fourSi lrsquoenjeu en vaut la peine lrsquoexpeacuterimentateur nrsquoaura aucun mal agrave obtenir uncompleacutement de budget pour finaliser lrsquoeacutetude

42 Fonction deacutesirabliteacuteLa fonction deacutesirabiliteacute est tregraves utile quand il faut trouver le meilleur compromisentre plusieurs reacuteponses Cette fonction a eacuteteacute proposeacutee par Derringer et Suich et ellefigure dans de nombreux logiciels de plans drsquoexpeacuteriences Elle est tregraves facile agrave utiliseret rend de grands services Nous aurons lrsquooccasion de lrsquoutiliser sur plusieurs exemples

421 La fonction deacutesirabiliteacute appliqueacutee agrave une seule reacuteponse

Commenccedilons par deacutefinir la fonction deacutesirabiliteacute pour une seule reacuteponse Cettefonction varie de 0 agrave 1 La valeur 1 correspond agrave une satisfaction maximale lavaleur 0 agrave un refus complet

m Fortes valeurs souhaiteacutees

Par exemple supposons que vous deacutesiriez un deacutecollement supeacuterieur agrave 25 En deccedilagravede 25 vous estimez qursquoil y a trop de deacutecollement et donc la fonction deacutesirabiliteacutecorrespondante vaut 0 pour tous les deacutecollements compris entre 0 et 25 Enrevanche au-delagrave de 25 vous ecirctes satisfait et la fonction deacutesirabiliteacute correspon-dante vaut 1 pour tous les deacutecollements eacutegaux ou supeacuterieurs agrave 25On peut repreacutesenter la fonction deacutesirabiliteacute comme sur la figure 48 Cette fonc-tion reste agrave la valeur 0 tant que la valeur de la reacuteponse ne convient pas et passe agrave 1degraves que la valeur de la reacuteponse convient Mais cette repreacutesentation est brutale etsans nuances Si vous avez un deacutecollement de 249 crsquoest presque la mecircme choseque 251 et pourtant la fonction deacutesirabiliteacute passe de 0 agrave 1 Il faut introduire un peude souplesse et de progressiviteacute Si le deacutecollement atteint 26 crsquoest mieux que 24mais crsquoest moins bien que 27 On va donc introduire des valeurs intermeacutediairesentre les valeurs qui ne conviennent pas et celles que lrsquoon souhaite Par exempleon fixe la grille suivante ndash deacutesirabiliteacute = 0 pour un deacutecollement de 23 et moins ndash deacutesirabiliteacute = 025 pour un deacutecollement de 24 ndash deacutesirabiliteacute = 050 pour un deacutecollement de 25


42 Fonction deacutesirabliteacute

61

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


ndash deacutesirabiliteacute = 075 pour un deacutecollement de 26 ndash deacutesirabiliteacute = 1 pour un deacutecollement de 27 et plus

Figure 48 ndash La fonction deacutesirabiliteacute vaut 1 quand la reacuteponse convient Elle vaut 0 quand la reacuteponse ne convient pas

Figure 49 ndash La fonction deacutesirabiliteacute varie de 0 agrave 1 quand la reacuteponse srsquoameacuteliore progressivement

d = 0 d = 1 Deacutesirabiliteacute

Deacutecollement

(La reacuteponse estsatisfaisante)

(La reacuteponse ne convient pas)

21

22

23

25

26

24

28

27

Trop dedeacutecollement

Peu de deacutecollement


Deacutecollement



21

22

23

25

26

24

28

27



Deacutecollement de plus en plus acceptable(La reacuteponse estplus ou moinssatisfaisante)


62


La forme de la fonction qui permet de passer de 0 agrave 1 peut prendre toutes lesallures possibles Certains logiciels proposent un grand choix de telles fonctionsdont certaines peuvent ecirctre compliqueacutees pour srsquoadapter aux impeacuteratifs de lrsquoeacutetudeDans le preacutesent ouvrage nous ne consideacutererons que les variations lineacuteaires de lafonction deacutesirabiliteacute ce qui est suffisant dans la plupart des cas

m Faibles valeurs souhaiteacutees

La figure 49 repreacutesente une reacuteponse dont on souhaitait les fortes valeurs Mais onpeut vouloir au contraire favoriser les faibles valeurs Par exemple srsquoil srsquoagit drsquouneimpureteacute on cherchera agrave en diminuer la concentration le plus possible On adoptealors une fonction deacutesirabiliteacute ayant lrsquoallure de la figure 410

m Une valeur preacutecise souhaiteacutee

On peut eacutegalement vouloir qursquoune reacuteponse prenne une valeur preacutecise La figure 411repreacutesente le choix drsquoune valeur particuliegravere La fonction deacutesirabiliteacute vaut 0 lorsqursquoonest loin de la valeur souhaiteacutee puis elle augmente progressivement lorsqursquoon enapproche Elle vaut 1 pour la valeur souhaiteacutee puis diminue lorsqursquoon srsquoen eacuteloignepour atteindre agrave nouveau 0 quand on en est suffisamment loin La monteacutee et ladescente de la fonction deacutesirabiliteacute peuvent ne pas avoir la mecircme pente

422 Plusieurs valeurs preacutecises souhaiteacutees

Au lieu drsquoune valeur preacutecise on peut souhaiter un ensemble de valeurs La fonctiondeacutesirabiliteacute preacutesente alors un plateau

Figure 410 ndash La fonction deacutesirabiliteacute favorise ici les faibles valeurs de la reacuteponse


Reacuteponse

La reacuteponse estsatisfaisante

La reacuteponse neconvient pas

La reacuteponse passe de meacutediocreagrave satisfaisant

ybon

ymauvais



63

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


La figure 412 preacutesente un tel plateau pour lequel la vitesse de monteacutee est diffeacuterentede celle de la descente et dont les changements de pente sont amortis par des arrondisOn constate que lrsquoon peut ajuster la forme de la fonction deacutesirabiliteacute agrave toutes lessituations possibles

Figure 411 ndash La fonction deacutesirabiliteacute peut favoriser une valeur particuliegravere

Figure 412 ndash La fonction deacutesirabiliteacute peut preacutesenter un plateau


Reacuteponse





Reacuteponse


La reacuteponse ne convient pas



64

43 Application agrave lrsquoexemple 034 bull Plans factoriels completsagrave 4 facteurs

423 La fonction deacutesirabiliteacute appliqueacutee agrave plusieurs reacuteponses

Nous avons examineacute la fonction deacutesirabiliteacute pour une seule reacuteponse Mais lrsquointeacuterecirctde cette fonction est de pouvoir ecirctre utiliseacutee pour plusieurs reacuteponses agrave la fois Il estainsi possible de trouver le meilleur compromis lorsque des contraintes pegravesent surchacune des reacuteponsesLa deacutesirabiliteacute globale D crsquoest-agrave-dire qui prend en compte agrave la fois les exigencessur toutes les reacuteponses est la moyenne geacuteomeacutetrique des deacutesirabiliteacutes individuelles

On peut aboutir agrave plusieurs situations ndash La deacutesirabiliteacute globale est eacutegale agrave 1 lorsque tous les objectifs sont atteints Dans

ce cas toutes les deacutesirabiliteacutes individuelles sont eacutegales agrave 1ndash La deacutesirabiliteacute globale est eacutegale agrave 0 si lrsquoun au moins des objectifs nrsquoest pas

atteint Dans ce cas lrsquoune au moins des deacutesirabiliteacutes individuelles est eacutegale agrave 0ndash La deacutesirabiliteacute globale est comprise entre 0 et 1 quand certains objectifs sont

complegravetement atteints et drsquoautres partiellement seulement Dans ce cas aucunedeacutesirabiliteacute individuelle nrsquoest eacutegale agrave 0 et les deacutesirabiliteacutes ne sont pas toutes eacutegales agrave 1

Le meilleur compromis est obtenu pour la plus forte valeur de la deacutesirabiliteacute globaleLes calculs drsquooptimisation neacutecessitent un logiciel programmeacute pour les reacutealiser Nousallons regarder une application en reprenant lrsquoexemple de la galette des rois

43 Application agrave lrsquoexemple 03Supposons que les objectifs de lrsquoeacutetude soient un deacutecollement supeacuterieur agrave 25 etune fecircle supeacuterieure agrave 28 La forme de la fonction deacutesirabiliteacute du deacutecollementdeacutepend des niveaux des 4 facteurs drsquoeacutetude et elle est illustreacutee par la courbe dedroite de la figure 413 Cette courbe vaut 0 jusqursquoagrave 2 passe de 0 agrave 1 de 2 agrave 25 etvaut 1 au-dessus de 25

dDeacutecollement = f (x1x2x3x4)

Il en est de mecircme de la fecircle mais la fonction deacutesirabiliteacute est diffeacuterente de celle dudeacutecollement elle vaut 0 jusqursquoagrave 25 passe de 0 agrave 1 de 25 agrave 28 et vaut 1 au-dessusde 28 (Figure 414)

dFecircle = f cent (x1x2x3x4)

Figure 413 ndash La valeur de la fonction deacutesirabiliteacute du deacutecollement varie en fonction du niveau des facteurs

D n d1d2hellipdn=

ndash1

326

0

08Deacutec

olle

men

t

ndash1 0 +1ndash1 0 +1Cuisson (4) Trous (2) Poids (1)

ndash1 0 +1 0 +1+1

252

Chauffage (3) Deacutesirabiliteacute



65

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


Le logiciel calcule la valeur de la fonction deacutesirabiliteacute D agrave partir des fonctionsdDeacutecollement et dFecircle Il obtient une fonction qui deacutepend des niveaux des quatrefacteurs et des fonctions deacutesirabiliteacute choisies pour chaque reacuteponse Le logicielcalcule la fonction deacutesirabiliteacute D pour chaque point du domaine drsquoeacutetude Parexemple la figure 415 indique que la fonction deacutesirabiliteacute D vaut 0996 pour lepoint (en uniteacutes codeacutees) x1 = +1 x2 = ndash1 x3 = 0 x4 = 067 Le logiciel afficheeacutegalement les coupes de la surface de reacuteponse selon des plans deacutefinis pour desniveaux fixes des trois autres facteurs Par exemple pour le facteur 1 (le rapport dupoids des abaisses) on a la coupe de cette surface de reacuteponse pour les niveaux x2 = ndash1x3 = 0 x4 = 067 des autres facteurs Crsquoest en modifiant la valeur des niveaux desfacteurs que lrsquoon trouve la deacutesirabiliteacute maximale Certains logiciels ont une fonctionoptimisation qui permet de trouver rapidement la deacutesirabiliteacute la plus eacuteleveacutee

On obtient ainsi les niveaux des facteurs donnant la deacutesirabiliteacute la plus forteComme on peut obtenir une deacutesirabiliteacute eacutegale agrave 1 pour diffeacuterents reacuteglages desniveaux des facteurs lrsquooptimiseur ne donne pas toujours la mecircme solution Il endonne une parmi toutes les solutions possibles Il donne celle qui est la plus proche decelle que vous avez trouveacutee par tacirctonnements lorsque vous avez deacuteplaceacute le curseursur les diagrammes

44 Conclusion de lrsquoeacutetudeOn diminue le deacutecollement et la fecircle en reacuteglant ndash le rapport du poids des abaisses (poids de lrsquoabaisse supeacuterieurepoids de lrsquoabaisse

infeacuterieure) agrave 11

Figure 414 ndash La valeur de la fonction deacutesirabiliteacute de la fecircle varie en fonction du niveau des facteurs

Figure 415 ndash La fonction deacutesirabiliteacute globale varie en fonction des niveaux des facteurs

ndash1

329

0

08

Fecircl

e


ndash1 0 +1 0 +1+1

2528


-1

1

0Deacutes

irab

iliteacute

-1 067+1-1 0 +1

Cuisson (4) Trous (2) Poids (1)-1 0 +1+1

Chauffage (3)

0996


66

44 Conclusion de lrsquoeacutetude4 bull Plans factoriels completsagrave 4 facteurs

ndash le nombre de trous au niveau laquo Peu raquo ndash la tempeacuterature du four au niveau laquo Forte au deacutebut raquoOn favorise la diminution du deacutecollement au deacutetriment de la fecircle en reacuteduisant ladureacutee de cuisson agrave 29 min Inversement on favorise la fecircle au deacutetriment du deacutecol-lement en augmentant la dureacutee de cuisson agrave 31 minDes voies drsquoameacutelioration sont possibles si lrsquoon sort du domaine drsquoeacutetude deacutefini audeacutebut de lrsquoeacutetude En effet on constate que lrsquoon pourrait atteindre les objectifs enaugmentant le rapport du poids des abaisses au-delagrave de 11 en diminuant lenombre de trous et en augmentant la tempeacuterature du four en deacutebut de chauffe Ilsrsquoagit lagrave drsquoune extrapolation maicirctriseacutee on utilise le modegravele matheacutematique eacutetablidans le domaine drsquoeacutetude en dehors de ce domaine On fait donc lrsquohypothegravese quedans le voisinage du domaine drsquoeacutetude les tendances indiqueacutees par le modegravelematheacutematique sont encore acceptables Il faut bien sucircr comme on le fait pourtoutes les hypothegraveses veacuterifier que les preacutevisions extrapoleacutees sont confirmeacutees parlrsquoexpeacuterience Dans le cas de la galette des rois des essais compleacutementaires ont eacuteteacuteentrepris pour veacuterifier que lrsquoon atteignait bien la note 3 pour les deux reacuteponses (ledeacutecollement et la fecircle) lorsqursquoon sortait du domaine initialement choisi Les essaisont eacuteteacute essentiellement orienteacutes vers une leacutegegravere augmentation du rapport du poidsdes abaisses et vers une augmentation de la tempeacuterature en deacutebut de four Lrsquoobjectifa eacuteteacute atteint pour ndash le rapport du poids des abaisses (poids de lrsquoabaisse supeacuterieurepoids de lrsquoabaisse

infeacuterieure) agrave 12 ndash le nombre de trous au niveau laquo Peu raquo (sans changement) ndash la tempeacuterature du four au niveau laquo Un peu plus forte que preacuteceacutedemment raquoLa pratique montre que lrsquoextrapolation maicirctriseacutee est un moyen efficace pour orienterune eacutetude vers la solution souhaiteacutee Mais il est indispensable pour eacuteviter demauvaises surprises de veacuterifier que les preacutevisions extrapoleacutees sont bien confirmeacuteespar lrsquoexpeacuterience


67

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

5 bull NOTIONS DE STATISTIQUEAPPLIQUEacuteES AUX PLANS DrsquoEXPEacuteRIENCES

Les plans factoriels complets que nous avons vus permettent drsquoeacutevaluer lrsquoinfluencedes facteurs et de leurs interactions par lrsquointermeacutediaire des coefficients du modegravelepostuleacute Nous avons estimeacute que les coefficients ayant la plus forte valeur eacutetaient lesplus importants Nous avons jugeacute lrsquoimportance des coefficients en les comparantentre eux Mais nous nrsquoavions aucun eacutetalon pour comparer tous les coefficients etindiquer ceux qui devaient ecirctre conserveacutes et ceux qui pouvaient ecirctre eacutelimineacutes dumodegravele matheacutematique final Ce qui nous manquait crsquoeacutetait une eacutevaluation delrsquoincertitude attacheacutee aux coefficients Il y a deux sources drsquoerreurs sur la deacutetermi-nation des coefficients drsquoun modegravele La premiegravere est lrsquoerreur commise sur chaquereacuteponse crsquoest lrsquoerreur expeacuterimentale La seconde est le modegravele matheacutematique lui-mecircme qui nrsquoest qursquoune repreacutesentation plus ou moins bonne du pheacutenomegravene eacutetudieacutecrsquoest le manque drsquoajustement Lrsquoincertitude est constitueacutee de ces erreursQuand on reacutealise plusieurs fois la mecircme expeacuterience dans les mecircmes conditionsopeacuteratoires et que lrsquoon mesure les reacuteponses on trouve des valeurs qui sont prochesles unes des autres mais qui sont diffeacuterentes de lrsquoune agrave lrsquoautre Il y a une dispersiondes mesures Cette dispersion traduit le fait que les reacuteponses sont des grandeursaleacuteatoires Il y a une erreur expeacuterimentale attacheacutee agrave chaque deacutetermination drsquounereacuteponse Cette erreur expeacuterimentale se transmet aux coefficientsIl y a eacutegalement une diffeacuterence entre le modegravele postuleacute par lrsquoexpeacuterimentateur et lemodegravele reacuteel Cette diffeacuterence est le manque drsquoajustement entre les deux modegravelesCette erreur se transmet eacutegalement aux coefficients du modegravele Ce sont ces deuxtypes drsquoerreur lrsquoerreur expeacuterimentale et lrsquoerreur drsquoajustement qui vont servir poureacutevaluer lrsquoimportance des coefficients Par exemple si lrsquoerreur drsquoappreacuteciation sur uncoefficient est de 5 et si ce coefficient vaut 4 il sera consideacutereacute comme neacutegligeable etnon influent En revanche un coefficient de valeur 30 sera consideacutereacute comme influentIl est donc important de connaicirctre lrsquoerreur que lrsquoon commet dans lrsquoestimation descoefficients Pour mener agrave bien cette eacutetude il faut connaicirctre les bases statistiquesqui sont utiliseacutees pour faire les calculs et appliquer les raisonnements corrects Leslogiciels nous soulagent de toute la partie calcul mais il faut ecirctre capable drsquointer-preacuteter les grandeurs statistiques qursquoils nous fournissentLrsquoexemple des outils de coupe jetables servira agrave illustrer les concepts theacuteoriques quisont deacuteveloppeacutes dans ce chapitre Nous introduirons drsquoabord les deux grandeursstatistiques les plus importantes la moyenne et lrsquoeacutecart-type Puis nous verrons lesnotions de population drsquoeacutechantillon et de distribution Nous insisterons sur le rocircle


68

51 Exemple 04 dureacutee de viedes outils de coupe jetables

5 bull Statistiques appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences

preacutepondeacuterant de lrsquoeacutecart-type qui sert drsquoeacutetalon pour eacutevaluer lrsquoimportance drsquoune gran-deur aleacuteatoire Nous verrons comment lrsquoeacutecart-type permet de calculer la p-value quimesure la probabiliteacute qursquoun eacuteveacutenement soit rare Lrsquoobjectif premier de ce chapitreest de preacuteciser les notions qui permettent drsquoeacutevaluer et drsquoameacuteliorer lrsquoaptitude dumodegravele postuleacute agrave repreacutesenter les reacutesultats expeacuterimentaux En un mot ces notionsnous aideront agrave trouver le modegravele qui repreacutesente le mieux possible les donneacuteesexpeacuterimentales et qui devrait nous permettre de faire des preacutevisions de qualiteacute

51 Exemple 04 dureacutee de vie des outils de coupe jetables511 Preacuteparation du plan drsquoexpeacuteriences


Lrsquousinage des meacutetaux neacutecessite des outils de coupe dont la matiegravere et les profilssont particuliegraverement eacutetudieacutes Les bons outils doivent couper parfaitement ne pasmettre en danger la seacutecuriteacute des ouvriers ne pas srsquouser trop vite et assurer la preacuteci-sion des objets fabriqueacutes Lrsquoaffucirctage de tels outils pose de nombreux problegravemes etun fabricant a deacutecideacute drsquoeacutetudier des outils jetables Pour assurer leur rentabiliteacute cesoutils doivent avoir une dureacutee de vie suffisanteLa preacutesente eacutetude porte sur des outils speacuteciaux agrave usage intensif dont on cherche agravemaximiser la dureacutee de vie


Lrsquoobjectif de lrsquoeacutetude est de trouver les conditions drsquoemploi qui assurent une dureacuteede vie supeacuterieure agrave 20 heures aux outils de coupe


La reacuteponse choisie est la dureacutee de vie des outils


Les facteurs retenus sont ndash le deacutebit de lrsquohuile de coupendash la vitesse de coupe de lrsquooutilndash la profondeur de coupe de lrsquooutilndash la vitesse drsquoavance de lrsquooutilSoit quatre facteurs dont les domaines sont indiqueacutes dans le tableau 51


Facteurs Niveau ndash1 Niveau 0 Niveau +1

Deacutebit (1) 650 725 800

Vitesse de coupe (2) 10 18 26

Profondeur (3) 005 0125 020

Vitesse drsquoavance (4) 05 075 1



69

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



Lrsquoexpeacuterimentateur deacutecide drsquoexeacutecuter un plan complet 24 soit 16 essais Mais il deacutesireavoir une estimation de lrsquoerreur expeacuterimentale Pour ce faire il ajoute quatre essaissitueacutes au centre du domaine drsquoeacutetude Il va donc effectuer 20 essais (Tableau 52)


Tableau 52 ndash Essais et reacuteponses du plan drsquoexpeacuteriences laquo Outils de coupe jetables raquo (uniteacutes codeacutees)

Essai n˚Deacutebit

(1)

Vitesse de coupe

(2)

Profondeur(3)

Vitesse drsquoavance

(4)

Dureacutee de vie(h)

1 minus1 minus1 minus1 minus1 261

2 +1 minus1 minus1 minus1 222

3 minus1 +1 minus1 minus1 101

4 +1 +1 minus1 minus1 122

5 minus1 minus1 +1 minus1 142

6 +1 minus1 +1 minus1 127

7 minus1 +1 +1 minus1 59

8 +1 +1 +1 minus1 56

9 minus1 minus1 minus1 +1 23

10 +1 minus1 minus1 +1 201

11 minus1 +1 minus1 +1 24

12 +1 +1 minus1 +1 37

13 minus1 minus1 +1 +1 11

14 +1 minus1 +1 +1 134

15 minus1 +1 +1 +1 05

16 +1 +1 +1 +1 17

17 0 0 0 0 111

18 0 0 0 0 126

19 0 0 0 0 104

20 0 0 0 0 119

minus1 650 10 005 05

0 725 18 0125 075

+1 800 26 02 1


70



Les points au centre sont regroupeacutes agrave la fin du plan pour la preacutesentation des essaisMais lrsquoordre drsquoexeacutecution des essais drsquoun plan ne suit pas forceacutement lrsquoordre depreacutesentation On pourra par exemple faire un point au centre au deacutebut de lrsquoeacutetudeun autre apregraves lrsquoessai n˚ 6 un troisiegraveme apregraves lrsquoessai n˚ 12 et le dernier agrave la fin

513 Calculs et interpreacutetation

On adopte un modegravele avec les facteurs principaux et les interactions entre deuxfacteurs Les interactions entre trois et quatre facteurs ne rentrent pas dans cemodegravele Pour faire ces calculs on ne tient compte que des 16 essais du plan factorielOn ne prend pas en compte les 4 points centraux En effet ces points sont des pointsde controcircle et non des points de calcul Ils serviront agrave calculer une estimation delrsquoerreur expeacuterimentaleLe logiciel calcule le coefficient constant les effets principaux et les six interactionsdrsquoordre 2 (Tableau 53)

Pour bien interpreacuteter ce tableau il faut comprendre la signification des informa-tions fournies en particulier lrsquoeacutecart-type le t de Student et la p-value Cela nousoblige agrave faire un long deacutetour pour introduire les principales notions de statistiquesutiles aux plans drsquoexpeacuteriences Nous verrons comment on utilise les principalesproprieacuteteacutes de la distribution normale pour estimer les erreurs et les probabiliteacutesCes outils statistiques permettent drsquoobtenir une bonne meacutethode drsquoeacutevaluation delrsquoinfluence des facteurs Enfin nous verrons comment lrsquoanalyse de la variance

Tableau 53 ndash Coefficients du modegravele (uniteacutes codeacutees)

Effet Valeur Eacutecart-type t de Student p-value

Constante 1155 03609 32 lt 00001

Deacutebit (1) minus010 03609 minus028 07928

Vitesse de coupe (2) minus629 03609 minus1742 lt 00001

Profondeur (3) minus342 03609 minus949 00002

Vitesse drsquoavance (4) minus207 03609 minus575 00022

12 064 03609 177 01376

13 032 03609 090 04091

14 035 03609 097 03767

23 159 03609 440 00070

24 minus111 03609 minus308 00274

34 060 03609 166 01573


52 Notions de statistique appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences

71

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


donne accegraves agrave des grandeurs statistiques utiles pour bien eacutevaluer les modegraveles matheacute-matiques utiliseacutes La derniegravere partie de cette grande parenthegravese est une applicationqui permet de voir comment sont utiliseacutees les notions de statistique introduites

52 Notions de statistique appliqueacutees aux plans drsquoexpeacuteriencesOn deacutefinira drsquoabord lrsquoerreur expeacuterimentale puis les notions de population etdrsquoeacutechantillon

521 Erreur expeacuterimentale

Les quatre points au centre ont des valeurs diffeacuterentes Au lieu de donner la liste desquatre valeurs on peut essayer de la reacutesumer en indiquant la valeur centrale et ladispersion autour de cette valeur centrale En geacuteneacuteral on prend la moyenne arith-meacutetique comme valeur centrale et lrsquoeacutecart-type comme mesure de la dispersion

m Moyenne

Par deacutefinition la moyenne arithmeacutetique drsquoun ensemble de valeurs est la somme detoutes les valeurs diviseacutees par le nombre de valeurs Ici la moyenne arithmeacutetiqueest eacutegale agrave

m Eacutecart-type

La deacutefinition de lrsquoeacutecart-type est un peu moins simple que celle de la moyenneNous allons deacutecrire son calcul pas agrave pas 1 On commence par calculer les eacutecarts agrave la moyenne crsquoest-agrave-dire la diffeacuterenceentre chaque valeur et la moyenne

111 ndash 115 = ndash04126 ndash 115 = +11104 ndash 115 = ndash11119 ndash 115 = 04

Notez que la somme de ces eacutecarts agrave la moyenne est eacutegale agrave zeacutero On deacutemontre drsquoailleursque crsquoest toujours le cas

On ne peut donc pas prendre la somme des eacutecarts comme mesure de la dispersionCrsquoest pourquoi on fait disparaicirctre le signe neacutegatif en prenant les carreacutes des eacutecarts2 Ces eacutecarts agrave la moyenne sont donc eacuteleveacutes au carreacute et additionneacutes On obtientainsi la somme des carreacutes des eacutecarts agrave la moyenne

(ndash04)2 + (11)2 + (ndash11)2 + (04)2 = +016 + 121 + 121 + 016 = +274

y 14--- 111 + 126 + 104 + 119( ) 115= =

yi yndash( )i 1=

i n=

sum yi

i 1=

i n=

sum yi 1=

i n=

sumndash nn--- yi

i 1=

i n=

sum nyndash ny nyndash 0= = = =


72



3 Cette somme est diviseacutee par le nombre de valeurs moins 1

Cette quantiteacute porte le nom de variance Crsquoest une grandeur fondamentale de lascience statistique On la retrouve partout et il en sera fait un grand usage4 Enfin lrsquoeacutecart-type est obtenu en prenant la racine carreacutee de la variance

eacutecart-type = = 09557 096

Pourquoi prend-on la racine carreacutee de la variance Simplement pour exprimer ladispersion dans la mecircme uniteacute que les donneacutees drsquoorigine et que la moyenne Lescomparaisons sont ainsi faciliteacutees En effet quand on a eacuteleveacute au carreacute les eacutecarts agrave lamoyenne on a aussi eacuteleveacute au carreacute lrsquouniteacute de mesure La variance est doncexprimeacutee avec une uniteacute qui a pour dimension le carreacute de lrsquouniteacute drsquoorigineHeureusement les ordinateurs sont lagrave pour faire ces calculs et ils indiquent directe-ment la valeur de lrsquoeacutecart-type des reacuteponsesQue signifient ces deux grandeurs moyenne et eacutecart-type Et comment allons-nous nous en servir Si lrsquoon a une seacuterie de reacuteponses effectueacutees au mecircme point expeacuterimental on peutcalculer la moyenne et lrsquoeacutecart-type de la seacuterie Mais peut-on dire drsquoavance avec uneforte probabiliteacute de ne pas se tromper quelle serait la valeur drsquoune nouvelle mesureeffectueacutee au mecircme point expeacuterimental Il est fort probable qursquoelle ne serait pas tregravesdiffeacuterente de la moyenne Si au lieu drsquoindiquer un chiffre on indiquait une fourchetteon aurait moins de chances de se tromper Si lrsquoon dit laquo la valeur sera probablementcomprise entre telle et telle valeur raquo on augmente les chances de preacutevision parrapport agrave la moyenne Si on prend une fourchette plus large on aura de grandeschances de faire une bonne preacutevision Les statisticiens ont calculeacute la probabiliteacuteque lrsquoon avait de ne pas se tromper Et cela gracircce agrave lrsquoeacutecart-typePour approfondir ces importantes questions nous allons voir successivement lesnotions de population drsquoeacutechantillon de distribution de degreacutes de liberteacute et de trans-mission des erreurs

522 Population

Supposons que nous fassions plusieurs mesures dans les mecircmes conditions expeacuteri-mentales Nous obtenons une suite de valeurs qui sont proches les unes des autresmais qui sont leacutegegraverement diffeacuterentes Imaginons que nous poursuivions lesmesures jusqursquoagrave en obtenir une infiniteacute Lrsquoensemble de toutes ces valeurs formeune population de grandeurs aleacuteatoires caracteacuteriseacutee par ndash la valeur centrale des mesures appeleacutee moyenne de la population et noteacutee m ndash lrsquoeacutecart-type de la population noteacute spopulationndash la distribution

523 Eacutechantillon

Drsquoun point de vue statistique obtenir un eacutechantillon de n valeurs crsquoest tirer auhasard n valeurs dans la population de toutes les valeurs possibles La valeur de n

2744 1ndash------------ 09133=

09133



73

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


est petite vis-agrave-vis du nombre drsquoindividus de la population Un eacutechantillon de nvaleurs est caracteacuteriseacute par

ndash la valeur moyenne des mesures soit un eacutechantillon de n reacuteponses yi lamoyenne est calculeacutee gracircce agrave la relation

=

ndash lrsquoeacutecart-type de lrsquoeacutechantillon noteacute seacutechantillon ndash lrsquohistogramme des valeurs

Un histogramme est une repreacutesentation graphique de lrsquoensemble de toutes lesvaleurs de lrsquoeacutechantillon Pour construire lrsquohistogramme de la figure 51 nousavons supposeacute que lrsquoeacutechantillon contenait 100 valeurs comprises entre 9 et 14 Ondeacutefinit des classes de largeur 05 uniteacute La premiegravere classe contient 1 valeurcomprise entre 9 et 950 La deuxiegraveme contient 5 valeurs comprises entre 950 et10 La troisiegraveme contient 8 valeurs comprises entre 10 et 1050 La quatriegravemecontient 14 valeurs comprises entre 1050 et 11 La cinquiegraveme contient 20 valeurscomprises entre 11 et 1150 La sixiegraveme classe contient 22 valeurs comprises entre1150 et 12 Les classes suivantes contiennent 15 9 5 valeurs et la derniegraverecontient 1 valeur

524 De lrsquoeacutechantillon agrave la population

Il est tregraves rare que lrsquoon puisse connaicirctre directement les caracteacuteristiques drsquounepopulation Le moyen le plus souvent utiliseacute est drsquoestimer ces caracteacuteristiques agravepartir drsquoun eacutechantillon Les statisticiens se sont pencheacutes sur ce problegraveme et voicileurs conclusions

Figure 51 ndash Histogramme des 100 mesures de lrsquoeacutechantillon

y

y 1n--- yi

i 1=

i n=

sum

Valeur de la variable

8

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

9 10 11 12 13 14 15

Eff

ecti

f


74



ndash La meilleure estimation de la moyenne de la population crsquoest la moyenne delrsquoeacutechantillon

Meilleure estimation de m = de lrsquoeacutechantillon

ndash La meilleure estimation de lrsquoeacutecart-type de la population est noteacutee par la lettre sElle est donneacutee par la relation

s = Meilleure estimation de spopulation =

Il faut souligner que le deacutenominateur est n minus 1 et non n

m Degreacutes de liberteacute

Soit n reacuteponses mesureacutees indeacutependamment les unes des autres Il nrsquoexiste pas derelation matheacutematique entre elles Les n eacutecarts agrave la moyenne correspondants nesont pas indeacutependants En effet il existe une relation matheacutematique entre ceseacutecarts Quand on en connaicirct n minus 1 on peut calculer le dernier avec la relationmatheacutematique Par exemple reprenons les quatre eacutecarts agrave la moyenne de lrsquoexemple(voir lrsquoeacutecart-type) Les trois premiers eacutecarts sont

minus04 +11 minus11Le quatriegraveme eacutecart srsquoobtient facilement puisque la somme des eacutecarts est toujourseacutegale agrave 0

quatriegraveme eacutecart ndash 04 + 11 ndash 11 = 0quatriegraveme eacutecart = 04

Il nrsquoy a donc que n minus 1 eacutecarts indeacutependants On dit que la seacuterie des n eacutecarts agrave lamoyenne possegravede n minus 1 degreacutes de liberteacute (ou ddl) Le nombre de degreacutes de liberteacuteest important car il intervient dans de nombreuses formules de statistique

m Distribution

Au fur et agrave mesure que lrsquoon ajoute des valeurs agrave un eacutechantillon on obtient unhistogramme de plus en plus reacutegulier et pour un nombre infini de valeurs crsquoest-agrave-dire pour une population on a une reacutepartition qui srsquoappelle une distribution Il estpossible de deacutecrire la distribution drsquoune population par une relation matheacutematiquePar exemple la distribution la plus souvent rencontreacutee dans les plans drsquoexpeacuteriencesest la distribution normale ou distribution de Laplace-Gauss Cette distribution estillustreacutee par une courbe ayant lrsquoaspect drsquoune cloche et elle est deacutefinie par la relation

Cette distribution est parfaitement deacutefinie par la moyenne de la population m etpar lrsquoeacutecart-type spopulation On peut ramener toutes les distributions de Laplace-Gauss agrave la distribution normale ayant une moyenne nulle et un eacutecart-type uniteacute(Figure 52)

y

1n 1ndash------------ yi yndash( )2

i 1=

i n=

sum

f y( ) 1

σpopulation 2π----------------------------------e

y microndash( )2

2σpopulation2

--------------------------

=



75

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


525 Principales proprieacuteteacutes de la distribution normale

La lecture de la courbe de Laplace-Gauss consiste agrave regarder la surface qui est sousla courbe en cloche La surface totale repreacutesente toutes les valeurs possibles de lapopulation La probabiliteacute qursquoune valeur soit supeacuterieure agrave 12 (ou toute autrevaleur donneacutee) est repreacutesenteacutee par la surface comprise entre 12 et lrsquoinfini(Figure 53)

La probabiliteacute qursquoune valeur soit infeacuterieure agrave 08 (ou toute autre valeur donneacutee) estrepreacutesenteacutee par la surface comprise entre moins lrsquoinfini et 08 (Figure 54)

Figure 52 ndash Repreacutesentation de la distribution normale (m = 0 spopulation = 1)

Figure 53 ndash La probabiliteacute de tirer une valeur supeacuterieure agrave 12 est proportionnelle agrave la surface griseacutee

Distribution normale

0

005

01

015

02

025

03

035

04

045

ndash ndashndashndash4 3 2 1 0 1 2 3 4

Eacutecart-type

Den

siteacute

de

freacuteq

uen

ce


0

005

01

015

02

025

03

035

04

045

ndash ndash ndash ndash4 3 2 1 0 1 2 3 4

Eacutecart-type

Den

siteacute

de

freacuteq

uen

ce

12


76



Enfin la probabiliteacute qursquoune valeur soit comprise entre minus05 et +15 (ou toute autrevaleur donneacutee) est repreacutesenteacutee par la surface comprise entre ces deux valeurs(Figure 55)

Par exemple il a eacuteteacute deacutemontreacute que 6826 des valeurs de la population sontcomprises entre moins un eacutecart-type et plus un eacutecart-type autour de la moyennede la population (Figure 56) On en deacuteduit que si lrsquoon fait un tirage au hasarddans une population de distribution normale on a environ 68 de chances detirer une valeur comprise entre m plusmn spopulation et 32 de chances de tirer une valeurexteacuterieure agrave cet intervalle

Figure 54 ndash La probabiliteacute de tirer une valeur infeacuterieure agrave 08 est proportionnelle agrave la surface griseacutee

Figure 55 ndash La probabiliteacute de tirer une valeur comprise entre ndash05 et +15 est proportionnelle agrave la surface griseacutee


0

005

01

015

02

025

03

035

04

045


Eacutecart-type

Den

siteacute

de

freacuteq

uen

ce

08


0

005

01

015

02

025

03

035

04

045


Eacutecart-type

Den

siteacute

de

freacuteq

uen

ce

15ndash 05



77

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


On a montreacute de mecircme que 95 des valeurs de la population sont comprisesentre moins 196 eacutecart-type et plus 196 eacutecart-type autour de la moyenne de lapopulation (Figure 57) Un tirage au hasard dans une population de distributionnormale aura une valeur comprise entre m plusmn 196spopulation dans 95 des casDans 5 des cas on tirera une valeur exteacuterieure agrave cet intervalle

Enfin dans lrsquointervalle m plusmn 3spopulation il y a 9974 des valeurs de la population(Figure 58) Il y a environ 25 chances sur 1 000 de tirer une valeur qui diffegravere de3 eacutecarts-types de la moyenne de la populationDans tous les cas crsquoest lrsquoeacutecart-type de la population qui est pris comme reacutefeacuterenceCette statistique est donc tregraves importante puisque crsquoest gracircce agrave elle que lrsquoon peutestimer la dispersion des mesures On prend lrsquoestimation de lrsquoeacutecart-type de lapopulation des reacuteponses comme mesure de lrsquoerreur expeacuterimentale

Figure 56 ndash Dans lrsquointervalle m plusmn spopulation il y a 6826 de la population

Figure 57 ndash Dans lrsquointervalle m plusmn 196spopulation il y a 95 de la population


0

005

01

015

02

025

03

035

04

045


Eacutecart-type

Den

siteacute

de

freacuteq

uen

ce


0

005

01

015

02

025

03

035

04

045


Eacutecart-type

Den

siteacute

de

freacuteq

uen

ce


78



526 Transmission des erreurs

Drsquoun point de vue statistique deacuteterminer une reacuteponse crsquoest faire un tirage au hasarddrsquoune valeur dans la population de ces reacuteponses Cette population possegravede unedistribution une moyenne et un eacutecart-type Dans la majoriteacute des cas la distributiondes reacuteponses est une distribution de Laplace-Gauss et lrsquoeacutecart-type de cette populationest une mesure de lrsquoerreur expeacuterimentale Si lrsquoon tire plusieurs reacuteponses au hasardelles ont de grandes chances drsquoecirctre reacuteparties autour de la moyenneSi on a reacutealiseacute plusieurs mesures de la reacuteponse au point central on peut calculer lamoyenne de ces reacuteponses

=

Comment les erreurs commises sur les reacuteponses yi se reacutepercutent-elles sur lamoyenne Les statisticiens ont eacutetudieacute ce problegraveme et se sont aperccedilus que les erreursne srsquoadditionnaient pas Lrsquoerreur commise sur la moyenne nrsquoest pas quatre fois lrsquoerreurcommise sur une reacuteponse Pour reacutesoudre ce problegraveme il faut faire intervenir unenouvelle grandeur la variance Par deacutefinition la variance drsquoune reacuteponse V(yi) estle carreacute de son eacutecart-type crsquoest-agrave-dire que si lrsquoeacutecart-type de la reacuteponse y1 est syla variance de cette reacuteponse est La relation donnant une estimation de lavariance de la population des reacuteponses est

On constate que la variance est eacutegale agrave la somme des carreacutes des eacutecarts agrave la moyennediviseacutee par le nombre de degreacutes de liberteacute des eacutecarts agrave la moyenne Drsquoune maniegraveregeacuteneacuterale la variance drsquoune seacuterie de donneacutees est obtenue de la mecircme maniegravere ondivise la somme des carreacutes des eacutecarts agrave la moyenne par le nombre de degreacutes deliberteacute de la seacuterie de donneacutees Cette regravegle sera largement utiliseacutee dans le paragraphesur lrsquoanalyse de la variance ougrave plusieurs variances ayant des degreacutes de liberteacute diffeacuterentsseront calculeacutees



0

005

01

015

02

025

03

035

04

045


Eacutecart-type

Den

siteacute

de

freacuteq

uen

ce

y 14--- +y1 y2 y3 y4+ + +[ ]

σy2

sy2

sy2 V yi( ) 1

n 1ndash------------ yi yndash( )2

i 1=

i n=

sum= =



79

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


Ce sont les variances qui srsquoadditionnent et elles srsquoadditionnent quel que soit lesigne (positif ou neacutegatif) qui est devant la reacuteponse La variance drsquoune somme est donceacutegale agrave

V(+y1 + y2 + y3 + y4) = V(y1) + V(y2) + V(y3) + V(y4)

La variance drsquoune diffeacuterence est eacutegale agrave V(ndashy1 + y2 ndash y3 + y4) = V(y1) + V(y2) + V(y3) + V(y4)

Dans la formule de la moyenne il y a le coefficient 14 Quand on passe agrave lavariance ce coefficient est eacuteleveacute au carreacute La variance de la moyenne est eacutegale agrave

V( ) = V(y1 + y2 + y3 + y4) = [V(y1) + V(y2) + V(y3) + V(y4)]

Si les variances des reacuteponses sont eacutegales entre elles on dit qursquoil y a homosceacutedasticiteacuteet la relation preacuteceacutedente devient

V( ) = [V(y1) + V(y2) + V(y3) + V(y4)] = V(yi)

V( ) = V(yi)

Prenons les racines carreacutees des deux membres de cette relation et remplaccedilons par nle nombre de reacuteponses intervenant dans la formule de la moyenne

soit

51

Lrsquoeacutecart-type de la moyenne est eacutegal agrave lrsquoeacutecart-type des reacuteponses individuelles diviseacutepar la racine carreacutee du nombre des reacuteponses individuelles qui interviennent dans lecalcul de la moyenne Cette relation indique que plus n est grand meilleure est lapreacutecision sur la moyenneLa dispersion de la moyenne est plus faible que la dispersion des reacuteponses On adonc une meilleure preacutecision sur lrsquoestimation de la moyenne que sur les reacuteponseselles-mecircmes

527 Intervalle de confiance des reacuteponses

Nous venons de voir lrsquoimportance de lrsquoeacutecart-type de la population des reacuteponsesqui est consideacutereacute comme une eacutevaluation de lrsquoerreur expeacuterimentale ou erreur pureLrsquoestimation de lrsquoeacutecart-type s drsquoune population de reacuteponses agrave partir drsquoun eacutechan-tillon est obtenue agrave lrsquoaide de la relation

y 14---⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 14---⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2

y 14---⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 416------⎝ ⎠

⎛ ⎞

y 14---

V y( )V yi( )

n------------=

σy

σyi

n-------=

s 1n 1ndash------------ yi yndash( )2

i 1=

i n=

sum=


80



Mais la qualiteacute de cette estimation deacutepend du nombre n de valeurs prises en comptepour calculer lrsquoeacutecart-type Si lrsquoeacutechantillon contient beaucoup de mesures lrsquoeacutecart-typecalculeacute sera de bonne qualiteacute crsquoest-agrave-dire proche de lrsquoeacutecart-type de la populationSi lrsquoeacutechantillon contient peu de mesures lrsquoeacutecart-type calculeacute sera de moins bonnequaliteacute et il faudra prendre des preacutecautions suppleacutementaires pour lrsquoutiliser Lrsquointervallede confiance Ic deacutepend

ndash de la probabiliteacute choisie par lrsquoutilisateur cette probabiliteacute est souvent de 95 ou99

ndash de la qualiteacute de lrsquoeacutecart-type calculeacute

On a

Ic = k seacutechantillon

Le tableau 54 indique les valeurs de k en fonction de la probabiliteacute choisie parlrsquoutilisateur (pourcentage de cas ougrave lrsquohypothegravese est correcte) et de la qualiteacute delrsquoeacutecart-type calculeacute (nombre de mesures ayant servi agrave calculer s)Si lrsquoeacutechantillon possegravede un tregraves grand nombre de valeurs indeacutependantes la qualiteacutede lrsquoeacutecart-type est bonne On observe cette situation dans les usines ou les labora-toires de controcircle qui procegravedent journellement aux mecircmes mesures sur les mecircmesproduits Choisissons une probabiliteacute de 95 Dans ce cas si lrsquoon effectue unemesure yi on pourra dire que lrsquoon a 95 de chances que lrsquointervalle yi plusmn 196seacutechantillon contienne la moyenne de la populationDans le cas des plans drsquoexpeacuteriences il est rare que n soit eacuteleveacute On a le plus souventreacutealiseacute quelques mesures de la reacuteponse au mecircme point drsquoexpeacuteriences en geacuteneacuteral aucentre du domaine expeacuterimental Il srsquoagit de reacutepeacutetitions crsquoest-agrave-dire de mesuresreacutealiseacutees dans les mecircmes conditions expeacuterimentales Supposons que lrsquoeacutecart-type aiteacuteteacute obtenu avec 5 mesures de reacutepeacutetition et que lrsquoon souhaite une probabiliteacute de95 Dans ce cas si lrsquoon effectue une mesure yi on aura 95 de chances quelrsquointervalle yi plusmn 278 s contienne la moyenne de la population Avec 10 mesures dereacutepeacutetition pour le calcul de lrsquoeacutecart-type on pourra dire que lrsquoon a 95 de chancesque lrsquointervalle yi plusmn 226 s contienne la moyenne de la population

Tableau 54 ndash Nombre drsquoeacutecarts-types agrave prendre compte pour deacuteterminer la probabiliteacute que la moyenne de la population soit dans lrsquointervalle de confiance

Nombre de mesures ayant servi agrave calculer s

2 3 4 5 10 20 bull

Pourcentage de cas ougrave

lrsquohypothegravese est correcte

70 196 138 125 119 110 106 103

90 631 292 235 213 183 173 164

95 1271 43 318 278 226 206 196

99 6366 992 584 460 325 286 258


53 Facteurs et interactions influents

81

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



Lrsquoinfluence des facteurs et de leurs interactions est eacutevalueacutee par lrsquointermeacutediaire descoefficients du modegravele postuleacute Il nous faut donc trouver une valeur eacutetalon pourjuger de lrsquoimportance drsquoun coefficient Cet eacutetalon sera lrsquoeacutecart-type du coefficientOn comparera la valeur du coefficient agrave la valeur de son eacutecart-type1 Si le coefficient est nettement plus grand que son eacutecart-type on estimera que lecoefficient est influent

a1 gtgt sa1

2 Si le coefficient est nettement plus petit que son eacutecart-type on estimera que lrsquoonpeut eacuteliminer ce coefficient

a1 ltlt sa1

3 Si le coefficient est du mecircme ordre de grandeur que son eacutecart-type il faudrafaire appel agrave ses connaissances du pheacutenomegravene et aux enjeux de lrsquoeacutetude pour prendreune deacutecision

a1 sa1

Pour eacutevaluer lrsquoimportance drsquoun coefficient la theacuteorie des statistiques compare cecoefficient agrave son eacutecart-type en faisant le rapport a1sa1

Ce rapport est appeleacute le tde Student Agrave partir du t de Student on peut eacutevaluer la probabiliteacute que le coeffi-cient soit nul ou autrement dit sans importance ou peu significatif Cette proba-biliteacute est la p-value Si la p-value est proche de 0 (probabiliteacute nulle) le coefficientest influent car il nrsquoest pas nul Si la p-value est proche de 1 le coefficient estproche de 0 et donc neacutegligeable Si la p-value possegravede une valeur intermeacutediaire lecoefficient est peut-ecirctre leacutegegraverement significatif ou non significatifSavoir si un coefficient est neacutegligeable ou non impose drsquoavoir une eacutevaluation delrsquoeacutecart-type de la population de ce coefficient Nous savons que les coefficientsdeacutependent des reacuteponses du modegravele postuleacute et de la meacutethode de calcul De mecircme lavariance des coefficients deacutepend des reacuteponses du modegravele postuleacute et de la meacutethodede calcul Les statisticiens ont eacutetabli les formules donnant la variance des coeffi-cients V(ai) = en fonction de la variance des eacutecarts V(e) somme de la variance delrsquoerreur expeacuterimentale et de la variance de lrsquoerreur commise sur le modegravele postuleacute

V(ai) = K V(e)

ougrave la constante K deacutepend du modegravele postuleacute et de la matrice drsquoexpeacuteriences Dansle cas le plus geacuteneacuteral K est tregraves long agrave calculer et seuls les logiciels speacutecialiseacutes possegrave-dent les algorithmes pour faire ce calcul Dans le cas des plans factoriels dont lesniveaux minus1 et +1 sont parfaitement respecteacutes et lorsque le modegravele postuleacute est unpolynocircme crsquoest-agrave-dire dans les cas que nous avons rencontreacutes la relation sesimplifie et devient

V(ai) = V(e)

La variance des coefficients est donc directement lieacutee agrave la variance de lrsquoeacutecartRappelons que lrsquoeacutecart peut ecirctre diviseacute en deux parties le manque drsquoajustement(lack of fit en anglais) et lrsquoerreur expeacuterimentale (pure error en anglais)

e = + D + e

σai

2

1n---


82

54 Analyse de la variance5 bull Statistiques appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences

Et que lrsquoon a

V(e) = V(D) + V(e)

Pour obtenir la grandeur eacutetalon que nous recherchons il faut posseacuteder une valeurde la variance de lrsquoeacutecart On obtient cette valeur gracircce agrave lrsquoanalyse de la variance

54 Analyse de la variance

541 Principes de lrsquoanalyse de la variance

Lrsquoanalyse de la variance consiste agrave rechercher les sources de variation des reacuteponses Onsuppose que les reacuteponses ont eacuteteacute calculeacutees avec le modegravele postuleacute yi = f (x1x2x3hellipxn) + eien utilisant la meacutethode des moindres carreacutes crsquoest-agrave-dire en minimisant la sommedes carreacutes des eacutecarts Dans ce cas les reacuteponses calculeacutees srsquoeacutecrivent et les eacutecarts eprennent des valeurs particuliegraveres ri qui srsquoappellent les reacutesidus Les reacutesidus sontdonc des valeurs particuliegraveres des eacutecarts On a

= f (x1x2x3hellipxn)

Avec ces nouvelles notations la relation donnant la reacuteponse peut srsquoeacutecrire

yi = + ri

Lrsquoanalyse classique de la variance fait intervenir non pas les reacuteponses mais la diffeacute-

rence entre les reacuteponses et leur moyenne ou Cette diffeacuterence estdeacutesigneacutee soit par eacutecarts agrave la moyenne soit par reacuteponse corrigeacutee de la moyenne Dans lecas des reacuteponses calculeacutees on parle aussi de modegravele corrigeacute de la moyenneDans le cadre de la meacutethode des moindres carreacutes la moyenne des reacuteponses mesureacuteesest eacutegale agrave la moyenne des reacuteponses calculeacutees avec le modegravele postuleacute On a donc

eacutetant la moyenne des reacuteponses

Lorsqursquoon eacutelegraveve les deux membres de cette relation au carreacute on obtient

52

Crsquoest la relation de base de lrsquoanalyse de la variance Le membre de gauche est lasomme des carreacutes des eacutecarts agrave la moyenne des reacuteponses mesureacutees Cette somme sedeacutecompose en deux eacuteleacutements la somme des carreacutes des eacutecarts agrave la moyenne desreacuteponses calculeacutees avec le modegravele et la somme des carreacutes des reacutesidusLa somme des carreacutes des reacutesidus est la plus faible valeur de la somme des carreacutes deseacutecarts On a donc

Minimum de Minimum de

Si lrsquoon divise la somme des carreacutes des reacutesidus par le nombre de degreacutes de liberteacute desreacutesidus on obtient la variance des reacutesidus La variance des reacutesidus V(ri) est donc laplus petite variance des eacutecarts V(e) On peut eacutecrire

yi

yiˆ

yi

yi yndash( ) yi yndash( )

y

yi yndash y i yndash ri+=

yi yndash( )2sum y i yndash( )2sum ri

2sum+=

ri2sum = ei

2sum = ∆ σ+( )i2sum



83

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


V(ri) = Minimum de V(e) =

Crsquoest cette valeur minimale de la variance des eacutecarts qui est geacuteneacuteralement adopteacuteecomme eacutetalon de comparaison pour eacutevaluer lrsquoimportance drsquoun coefficient La variancedes coefficients est alors calculeacutee ndash soit par la formule geacuteneacuterale utiliseacutee par les ordinateurs

V(ai) = K V(e) = V(ri)

ndash soit par la formule simplifieacutee lorsqursquoil srsquoagit de plans factoriels et drsquoun modegravelepostuleacute polynomial

V(ai) = V(e) = V(ri) 53

En reacutesumeacute la variance des reacutesidus de lrsquoanalyse de la variance sert agrave calculer lavariance des coefficients Crsquoest la variance des coefficients qui sert drsquoeacutetalon pour testersi un coefficient est significatif ou non

Remarque 1

Les n reacuteponses mesureacutees sont toutes indeacutependantes crsquoest-agrave-dire qursquoil nrsquoexiste pas de relation matheacute-matique entre elles Elles possegravedent donc n degreacutes de liberteacute On a utiliseacute un degreacute de liberteacute pourcalculer la moyenne La variance des eacutecarts agrave la moyenne des reacuteponses mesureacutees possegraveden ndash 1 degreacutes de liberteacute

Le calcul des p coefficients a pris p ndash 1 degreacutes de liberteacute seulement car la moyenne avait deacutejagrave eacuteteacutecalculeacutee La variance des eacutecarts agrave la moyenne des reacuteponses calculeacutees possegravede donc p ndash 1degreacutes de liberteacute

Il reste donc n ndash 1 ndash (p ndash 1) = n ndash p degreacutes de liberteacute pour le calcul de la variance des reacutesidus

Remarque 2

Les regravegles et les tests statistiques ne srsquoappliquent qursquoaux variables purement aleacuteatoires Le manquedrsquoajustement nrsquoeacutetant pas une grandeur aleacuteatoire mais une erreur systeacutematique on ne devrait pasappliquer les regravegles statistiques aux eacutecarts On le fait pourtant car on suppose que le manquedrsquoajustement est de lrsquoordre de grandeur de lrsquoerreur expeacuterimentale Il est donc bon de srsquoassurer de lavaliditeacute de cette hypothegravese le manque drsquoajustement est de lrsquoordre de grandeur de lrsquoerreur expeacuteri-mentale La mesure de lrsquoerreur expeacuterimentale V(σ) est assureacutee par des reacutepeacutetitions La mesure de lavariance des reacutesidus V(r) est tireacutee de lrsquoanalyse de variance On peut donc calculer la variance delrsquoajustement V(D)

V(r) = V(∆) + V(σ)

En comparant la variance de lrsquoerreur expeacuterimentale agrave la variance de lrsquoajustement il est possible devoir si lrsquohypothegravese est valide

Remarque 3

Il ne faut pas confondre les eacutecarts les reacutesidus et les eacutecarts agrave la moyenne

Les eacutecarts sont les diffeacuterences e entre les reacuteponses mesureacutees et le modegravele matheacutematique postuleacuteavant drsquoeffectuer les calculs des coefficients par la meacutethode des moindres carreacutes

yi = f (x1x2x3hellipxn) + ei

Les reacutesidus sont les diffeacuterences ri entre les reacuteponses mesureacutees et les reacuteponses calculeacutees avec descoefficients obtenus par la meacutethode des moindres carreacutes

ri = yi ndash

1n pndash----------- ri

2

i 1=

i n=

sum

1n--- 1

n---

yi yndash

y i yndash

y i


84


Les eacutecarts agrave la moyenne sont les diffeacuterences yi ndash ou entre les reacuteponses et la moyenne desreacuteponses

Remarque 4

Le carreacute moyen des reacutesidus est obtenu en divisant la somme des carreacutes des reacutesidus par le nombre dedegreacutes de liberteacute correspondant Crsquoest donc une grandeur analogue agrave une variance Par conseacutequentla racine carreacutee de cette variance est analogue agrave un eacutecart-type Crsquoest pourquoi on trouve souventles expressions variance reacutesiduelle et eacutecart-type des reacutesidus pour qualifier ces grandeurs Mais commeles eacutecarts ne sont pas entiegraverement aleacuteatoires certains auteurs preacutefegraverent utiliser le terme carreacute moyendes reacutesidus agrave la place de variance reacutesiduelle et racine carreacutee du carreacute moyen des reacutesidus au lieu drsquoeacutecart-type des reacutesidus Lrsquoexpression racine carreacutee du carreacute moyen des reacutesidus eacutetant un peu longue on alrsquohabitude drsquoutiliser agrave la place lrsquoabreacuteviation anglo-saxonne RMSE (Root Mean Square Error)

Quand le modegravele est bien ajusteacute on utilise cette RMSE pour calculer lrsquoerreur sur les coefficients dumodegravele postuleacute

Quelles que soient les deacutenominations utiliseacutees pour ces grandeurs elles impliquentde longs calculs Heureusement les ordinateurs reacutealisent tous ces calculs et fournis-sent directement les reacutesultats de lrsquoanalyse de la variance sous la forme drsquoun tableau Leseul eacuteleacutement choisi par lrsquoexpeacuterimentateur est le modegravele a priori qui sert agrave obtenir lesreacuteponses calculeacutees Les reacutesultats de lrsquoanalyse de la variance seront deacutependants duchoix du modegravele Nous invitons les lecteurs agrave refaire les calculs de lrsquoanalyse de lavariance en utilisant diffeacuterents modegraveles postuleacutes Ils verront lrsquoinfluence du choixdu modegravele sur la valeur de la RMSE

542 Preacutesentation de lrsquoanalyse de la variance

Les logiciels et mecircme les tableurs ont des programmes qui construisent lestableaux drsquoanalyse de la variance Les plus simples de ces tableaux comportent5 colonnes (source de variation somme des carreacutes degreacutes de liberteacute carreacute moyenet statistique de Fisher) et 4 lignes (titres modegravele corrigeacute de la moyenne reacutesidus etreacuteponses mesureacutees corrigeacutees de la moyenne) semblables au tableau 55 La premiegraverecolonne indique les sources de variation On y trouve le modegravele les reacutesidus et lesreacuteponses mesureacutees La deuxiegraveme colonne donne les sommes des carreacutes des eacutecarts agravela moyenne On remarque que la somme des carreacutes des reacuteponses mesureacutees (corri-geacutees de la moyenne) est eacutegale agrave la somme des deux autres sommes de carreacutes Latroisiegraveme colonne indique les degreacutes de liberteacute (ddl) de chaque somme de carreacutesOn remarque eacutegalement que la somme des ddl du modegravele et des reacutesidus est eacutegaleaux ddl des reacuteponses mesureacutees Les carreacutes moyens de la quatriegraveme colonne sont lessommes des carreacutes diviseacutees par les ddl On notera que la racine carreacutee du carreacutemoyen des reacutesidus sert agrave calculer lrsquoeacutetalon permettant de tester les coefficients Crsquoestdonc une statistique tregraves importante Enfin la cinquiegraveme colonne indique le F deFisher qui est le rapport du carreacute moyen du modegravele agrave celui des reacutesidus Ce rapportpermet de calculer la probabiliteacute que ces deux carreacutes ne soient pas eacutegaux En drsquoautrestermes si le F de Fisher est eacuteleveacute (faible probabiliteacute que le modegravele soit celui de lamoyenne) les variations des reacuteponses mesureacutees sont bien dues aux variations desfacteurs Si le F de Fisher est proche de 1 (forte probabiliteacute que le modegravele soit celuide la moyenne) les variations des reacuteponses mesureacutees sont comparables agrave celles desreacutesidus

y y i yndash


55 Application agrave lrsquoexemple 04

85

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


m Coefficient de deacutetermination R2

Lrsquoanalyse de la variance permet de calculer une statistique tregraves utile le R2 ou R carreacuteCette statistique est le rapport de la somme des carreacutes des reacuteponses calculeacutees (corri-geacutees de la moyenne) agrave la somme des carreacutes des reacuteponses mesureacutees (corrigeacutees de lamoyenne)

Dans cet exemple

Si le modegravele permet de retrouver exactement la valeur des reacuteponses mesureacutees lasomme des carreacutes des reacuteponses calculeacutees est eacutegale agrave la somme des carreacutes des reacuteponsesmesureacutees Le R2 est eacutegal agrave 1Si le modegravele fournit des reacuteponses calculeacutees eacutegales agrave la moyenne la somme descarreacutes des reacuteponses calculeacutees est eacutegale agrave 0 Le R2 est eacutegal agrave 0 On dit que le modegravelenrsquoa pas de puissance drsquoexplicationLe R2 est donc une mesure de la qualiteacute du modegravele Srsquoil est eacutegal agrave 1 le modegravelepermet de retrouver la valeur des reacuteponses mesureacutees Srsquoil est eacutegal agrave 0 le modegravele nrsquoendit pas plus que la moyenne des reacuteponses Dans la pratique il est difficile drsquoindiquerla valeur drsquoun bon R2 car les valeurs varient beaucoup drsquoune discipline agrave lrsquoautrePar exemple un R2 de 08 peut ecirctre consideacutereacute comme mauvais par un ingeacutenieur etun R2 de 03 peut ecirctre vu comme bon par un psychologueLe R2 joue veacuteritablement son rocircle drsquoindicateur de la qualiteacute du modegravele agrave conditionque les reacutesidus ne soient pas nuls Si les reacutesidus sont nuls le R2 est eacutegal agrave 1 quelleque soit la qualiteacute du modegravele On observe un tel cas lorsqursquoil nrsquoy a pas de degreacutes deliberteacute Le R2 est donc un bon indicateur de la qualiteacute du modegravele srsquoil y a plus depoints expeacuterimentaux diffeacuterents que de coefficients dans le modegravele postuleacute



Nous allons construire la table de lrsquoanalyse de la variance de lrsquoexemple sur les outilsjetables et en deacuteduire lrsquoimportance de chaque coefficient Rassemblons drsquoabord les

Tableau 55 ndash Analyse de la variance

Source des variationsSomme

des carreacutesddl

Carreacute moyen

Fisher

Modegravele corrigeacute de la moyenne 96530 10 96530 463196

Reacutesidus 1042 5 2084 Prob F 00003

Reacuteponses mesureacutees corrigeacutees de la moyenne 97572 15

R2 = Somme des carreacutes des reacuteponses calculeacutees corrigeacutees de la moyenneSomme des carreacutes des reacuteponses mesureacutees corrigeacutees de la moyenne

R2 9653097572---------------- 09893= =


86

55 Application agrave lrsquoexemple 045 bull Statistiques appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences

donneacutees de base les reacuteponses mesureacutees les reacuteponses calculeacutees avec un modegravele etles reacutesidus correspondants (Tableau 56) Le modegravele choisi est le modegravele des plansfactoriels avec les interactions drsquoordre 2 Il contient 11 coefficients

= 1155 ndash 01x1 ndash 62875x2 ndash 3425x3 ndash 2075x4

+ 06375x1x2 + 0325x1x3 + 035x1x4 + 15875x2x3 ndash 11125x2x4 + 06x3x4

m Somme des carreacutes des reacuteponses mesureacutees corrigeacutees de la moyenne

La moyenne des reacuteponses mesureacutees est 11551 On commence par calculer les eacutecarts agrave la moyenne des 16 reacuteponses mesureacutees aucours du plan factoriel

261 ndash 1155 = +1455222 ndash 1155 = +1065101 ndash 1155 = ndash145hellip05 ndash 1155 = ndash110517 ndash 1155 = ndash985

Tableau 56 ndash Donneacutees de base de lrsquoanalyse de la variance

Essai n˚ Reacuteponses mesureacutees Reacuteponses calculeacutees Reacutesidus

1 261 25825 0275

2 222 23 minus08

3 101 11025 minus0925

4 122 1075 145

5 142 1395 025

6 127 12425 0275

7 59 55 04

8 56 6525 minus0925

9 23 22 1

10 201 20575 minus0475

11 24 275 minus035

12 37 3875 minus0175

13 11 12525 minus1525

14 134 124 1

15 05 minus0375 0875

16 17 205 minus035

y



87

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


2 Puis ces eacutecarts agrave la moyenne sont eacuteleveacutes au carreacute et additionneacutes On obtientainsi la somme des carreacutes des eacutecarts agrave la moyenne des reacuteponses mesureacutees corrigeacuteesde la moyenne

(1455)2 + (1065)2 + hellip + (ndash1105)2 + (ndash985)2 = + 211702 5 + 113422 5 + hellip + 122102 5 + 97022 5 = + 97572

m Carreacute moyen des reacuteponses calculeacutees avec le modegravele et corrigeacutees de la moyenne(variance des reacuteponses calculeacutees ou variance du modegravele)

1 On calcule les 16 reacuteponses avec le modegravele deacutefini plus haut On veacuterifie que leurmoyenne est eacutegale agrave 11552 On calcule les eacutecarts agrave la moyenne des 16 reacuteponses calculeacutees

25825 ndash 1155 = +14275230 ndash 1155 = +114511025 ndash 1155 = ndash0525hellipndash0375 ndash 1155 = ndash11925205 ndash 1155 = ndash95

3 Ces eacutecarts agrave la moyenne sont eacuteleveacutes au carreacute et additionneacutes On obtient ainsi lasomme des carreacutes des eacutecarts agrave la moyenne des reacuteponses calculeacutees corrigeacutees de lamoyenne

(14275)2 + (1145)2 + hellip + (ndash11925)2 + (ndash95)2 = + 203775 625 + 131102 5 + hellip + 142205 625 + 9025 = + 96530

4 Cette somme est diviseacutee par le nombre de coefficients du modegravele moins 1 Onobtient le carreacute moyen des reacuteponses calculeacutees avec le modegravele (ou variance desreacuteponses calculeacutees ou variance du modegravele)

m Carreacute moyen des reacutesidus (variance des reacutesidus)

Rappelons qursquoun reacutesidu est eacutegal agrave

1 On calcule les 16 reacutesidus

261 ndash 25825 = +0275222 ndash 23 = ndash08101 ndash 11025 = ndash0925hellip05 ndash (ndash0375) = ndash087517 ndash 205 = ndash035

2 Ces reacutesidus sont eacuteleveacutes au carreacute et additionneacutes On obtient ainsi la somme descarreacutes des reacutesidus

+0075 625 + 064 + hellip + 0765 625 + 0122 5 = +1042

9653011 1ndash---------------- 9653=

ri yi yindash=


88


3 Cette somme est diviseacutee par n ndash p = 16 ndash 11 = 5 degreacutes de liberteacute des reacutesidus

On obtient ainsi le carreacute moyen des reacutesidus La racine carreacutee de ce carreacute moyen estla RMSE qui sert drsquoeacutetalon pour eacutevaluer lrsquoimportance des coefficients La RMSEvaut ici 14436 lorsque le modegravele postuleacute ne contient que les effets principaux etleurs interactions drsquoordre 2

m Eacutecart-type des coefficients

Dans le cas de lrsquoexemple des outils de coupe jetables il srsquoagit drsquoun plan factoriel ougraveles niveaux minus1 et +1 ont eacuteteacute respecteacutes Le modegravele est bien un modegravele polynomial onpeut donc appliquer la formule simplifieacutee et obtenir ainsi lrsquoeacutetalon de comparaisonChaque coefficient a eacuteteacute calculeacute avec n = 16 reacuteponses

Crsquoest la valeur de comparaison que nous cherchions

m p-value

La p-value est la probabiliteacute qursquoun coefficient soit neacutegligeable On calcule cette p-value agrave partir du rapport du coefficient agrave son eacutecart-type (t de Student) Parexemple le t de Student du coefficient du deacutebit est ndash010360 9 = 028 et la p-value associeacutee est eacutegale agrave 0792 8Il est maintenant possible de construire un tableau ougrave chaque coefficient figureaccompagneacute de sa valeur de son eacutecart-type du t de Student et de la p-value(Tableau 57) Ce tableau est identique au tableau 53 La seule diffeacuterence est quemaintenant vous ecirctes agrave mecircme de comprendre la signification de tous les chiffresLa constante agrave moins de 1 chance sur 10 000 drsquoecirctre eacutegale agrave 0 Elle nrsquoest donc certai-nement pas eacutegale agrave 0 elle est significative et il faut la conserver dans le modegravele finalLe deacutebit (1) agrave une p-value de 079 il a donc une forte chance drsquoecirctre eacutegal agrave 0 Il peutecirctre consideacutereacute comme nul ou comme tregraves petit Il nrsquoest donc pas significatif et onpeut lrsquoeacuteliminer du modegravele final Cela signifie que les reacuteponses calculeacutees ne seront pastregraves diffeacuterentes que lrsquoon utilise un modegravele final avec ou sans ce coefficientSi lrsquoon fixe la probabiliteacute drsquoacceptation des coefficients agrave une p-value de 010 onconservera la vitesse de coupe (2) la profondeur de coupe (3) la vitesse drsquoavance(4) ainsi que les interactions 23 et 24 Le modegravele final srsquoeacutecrit alors

y = 1155 ndash 629x2 ndash 342x3 ndash 21x4 + 16x2x3 ndash 11x2x4 54

On veacuterifie que ce modegravele possegravede un bon R2 (097) et que les p-values des coeffi-cients sont toujours infeacuterieures agrave 01 Si lrsquoon avait fixeacute la probabiliteacute drsquoacceptationdes coefficients agrave un autre niveau on aurait pu obtenir un autre modegravele final Lechoix du modegravele deacutefinitif est laisseacute agrave lrsquoappreacuteciation de lrsquoexpeacuterimentateur qui luiconnaicirct les enjeux et les risques de lrsquoeacutetude

104216 11ndash------------------ 2084=

V ai( ) 1n---V ri( ) 1

16------2084 0130 25= = =

σai0130 25 0360 9= =



89

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


552 Analyse des reacutesidus

Si lrsquointerpreacutetation a eacuteteacute bien faite le modegravele doit bien repreacutesenter les reacuteponses mesu-reacutees (R2 proche de 1) et la racine carreacutee du carreacute moyen des reacutesidus doit ecirctre du mecircmeordre de grandeur que lrsquoerreur expeacuterimentale On peut encore srsquoassurer qursquoil ne restepas un peu drsquoinformation structureacutee dans les reacutesultats en examinant le graphique desreacutesidus Il est donc important de regarder comment les reacutesidus se reacutepartissent en fonc-tion de diffeacuterents critegraveres Srsquoils semblent reacutepartis au hasard il ne reste probablementplus rien agrave extraire des donneacutees Crsquoest le cas de lrsquoexemple de ce chapitre (Figure 59)

Tableau 57 ndash Importance des coefficients du modegravele (uniteacutes codeacutees)

Coefficient Valeur Eacutecart-type t de Student p-value

Constante 1155 0360 9 32 lt 0000 1

Deacutebit (1) minus01 0360 9 minus028 0792 8

Vitesse de coupe (2) minus6287 5 0360 9 minus1742 lt 0000 1

Profondeur (3) minus3425 0360 9 minus949 0000 2

Vitesse drsquoavance (4) minus2075 0360 9 minus575 0002 2

Interaction (12) 0637 5 0360 9 177 0137 6

Interaction (13) 0325 0360 9 090 0409 1

Interaction (14) 035 0360 9 097 0376 7

Interaction (23) 1587 5 0360 9 440 0007 0

Interaction (24) minus1112 5 0360 9 minus308 0027 4

Interaction (34) 06 0360 9 166 0157 3

Figure 59 ndash Analyse des reacutesidus de lrsquoexemple sur les outils de coupe

Reacuteponses preacutevues de la dureacutee de vie

0 30252015105

3

0

ndash 3

Reacutes

idu

s


90


En revanche si lrsquoanalyse des reacutesidus fait apparaicirctre des dispositions remarquablesil reste un peu drsquoinformation agrave extraire Par exemple on peut rencontrer desdiagrammes ougrave les reacutesidus sont de plus en plus eacuteleveacutes lorsque la reacuteponse augmente(Figure 510 haut) Dans ce cas lrsquohypothegravese drsquohomosceacutedasticiteacute (mecircme erreurexpeacuterimentale dans tout le domaine drsquoeacutetude) nrsquoest pas veacuterifieacutee On peut aussirencontrer des diagrammes ougrave les reacutesidus sont neacutegatifs pour les faibles et les fortesvaleurs de la reacuteponse et positifs pour les valeurs intermeacutediaires (Figure 510 bas)Dans ce cas lrsquohypothegravese drsquoun modegravele simple du premier degreacute ou drsquoun modegravele dupremier degreacute avec interactions (modegravele PDAI) est probablement agrave remettre encause et il faut passer agrave un modegravele du second degreacute

Figure 510 ndash Exemples drsquoanalyse des reacutesidus montrant une structure particuliegravere en haut la dispersion des reacutesidus augmente avec la reacuteponse (il nrsquoy a pas homosceacutedasticiteacute)

en bas les reacutesidus laissent supposer un modegravele du second degreacute

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

0 5 10 15 20 25 30 35

Reacuteponses preacutevues

Reacutes

idu

s

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 5 10 15 20 25 30 35


Reacutes

idu

s

Seacuterie 1



91

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



La dureacutee de vie des outils de coupe est surtout influenceacutee par la vitesse et laprofondeur de coupe Pour meacutenager les outils il faut travailler agrave faible vitesse decoupe et ne pas prendre des passes trop profondes Mais si lrsquoon veut assurer larentabiliteacute du proceacutedeacute il faut que le rendement soit suffisamment eacuteleveacute Il faudrachoisir le compromis qui assure une production rentable agrave une usure controcircleacutee desoutils de coupe Ce compromis est atteint si la dureacutee de vie est au moins de20 heures Le modegravele eacutetabli (uniteacutes codeacutees) permet de faire des preacutevisions

y = 1155 ndash 629x2 ndash 342x3 ndash 21x4 + 16x2x3 ndash 11x2x4

Le diagramme de la figure 511 traceacute pour un deacutebit de 725 et une vitesse drsquoavancede 075 indique une zone potentiellement favorable qui se situe dans le quartinfeacuterieur gauche crsquoest-agrave-dire aux faibles vitesses de coupe et aux faibles profon-deurs Drsquoapregraves les reacutesultats du plan drsquoexpeacuteriences les essais n˚ 1 2 9 et 10 reacutepon-dent agrave ces impeacuteratifs et on veacuterifie que les dureacutees de vie sont supeacuterieures agrave 20 heures(Tableau 58)

Mais avant de faire des propositions il est bon de reacutealiser des expeacuteriences decontrocircle pour confirmer les preacutevisions On reacutealise donc trois essais (Tableau 59)lrsquoun aux bornes du domaine (essai n˚ 21) et deux aux limites des 20 heures (essaisn˚ 22 et 23)

Figure 511 ndash Courbes isoreacuteponses de la dureacutee de vie des outils de coupe en fonction de la vitesse de coupe et de la profondeur Le deacutebit et la vitesse drsquoavance sont fixeacutes respectivement agrave 725 et agrave 075

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26005

006

007

008

009

01

011

012

013

014

015

016

017

018

019

02

Vitesse de coupe

Pro

fon

deu

r

Courbes isoreacuteponses de la dureacutee de vie

15

10

20

5


92

56 Conclusion de lrsquoeacutetude5 bull Statistiques appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences

On compare les preacutevisions faites avec le modegravele simplifieacute 54 aux mesures effectueacuteesOn constate un bon accord Le modegravele est donc valideacute et les recommandationspourraient ecirctre les suivantesAfin de preacuteserver les outils de coupe et leur assurer une dureacutee de vie proche de20 heures ou plus il ne faut pas deacutepasser une vitesse de coupe de 11 la profon-deur de coupe doit ecirctre infeacuterieure agrave 007 et lrsquoavance doit ecirctre plus petite que 075(Figure 512) Ces recommandations sont faciles agrave trouver avec la fonction deacutesira-biliteacute (chapitre 4)

Tableau 58 ndash Essais dont les dureacutees de vie sont supeacuterieures agrave 20 heures

Essai n˚Deacutebit

(1)

Vitesse de coupe

(2)

Profondeur(3)

Vitesse drsquoavance(4)

Reacuteponses

1 650 10 005 05 261

2 800 10 005 05 222

9 650 10 005 1 23

10 800 10 005 1 201

Tableau 59 ndash Essais de veacuterification

Essai n˚Deacutebit

(1)

Vitesse de coupe

(2)

Profondeur(3)


(4)


Reacuteponses mesureacutees

21 725 10 005 075 2286 231

22 725 13 005 075 1990 202

23 725 10 009 075 2018 198

Figure 512 ndash La deacutesirabiliteacute permet de trouver rapidement les bonnes conditions opeacuteratoires

1

0Deacutes

irab

iliteacute

11 +1

Avance (4) Vitesse (2) Deacutebit (1) Profondeur (3)725 075007


93

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

6 bull PLANS FACTORIELS FRACTIONNAIRES

Comme les plans factoriels complets les plans factoriels fractionnaires possegravedentdes facteurs ayant chacun deux niveaux un niveau bas et un niveau haut Mais onne reacutealise pas toutes les combinaisons de niveaux En effet le nombre drsquoessais desplans factoriels complets augmente rapidement avec le nombre de facteurs Il nrsquoestpas rare de rencontrer des eacutetudes faisant intervenir 7 ou 8 facteurs Il est bien sucircrdeacuteraisonnable de vouloir exeacutecuter 27 = 128 ou 28 = 256 essais On seacutelectionne unefraction des essais drsquoun plan complet pour construire un plan fractionnaire Cetteseacutelection est baseacutee sur des consideacuterations matheacutematiques qui seront mises enapplication gracircce au calcul de Box Il est aussi possible drsquoutiliser les logiciels deplans drsquoexpeacuteriences qui mettent en œuvre ces principes matheacutematiques Lrsquointer-preacutetation des plans fractionnaires est moins facile que celle des plans completspuisqursquoon possegravede moins drsquoinformation On se contente souvent de savoir quelssont les facteurs influents et parfois on va un peu plus loin en examinant les inter-actions drsquoordre 2 Crsquoest la raison pour laquelle ces plans sont souvent appeleacutes plansde criblage Ces plans permettent drsquoeacutetudier beaucoup de facteurs et de deacuteterminerceux qui sont influents Lrsquoanalyse ne va souvent pas plus loin et atteint rarement lamodeacutelisation matheacutematique des reacuteponses

Les modegraveles matheacutematiques utiliseacutes sont donc eux aussi beaucoup plus simplesOn emploie des modegraveles ne comportant que les facteurs principaux au premierdegreacute ou des modegraveles avec des interactions drsquoordre 2 suivant les objectifs de lrsquoeacutetude

Au lieu de reacutealiser un plan complet 24 de 16 essais on peut nrsquoexeacutecuter que 8 essaiscrsquoest-agrave-dire la moitieacute des essais Le plan fractionnaire correspondant est un plan 24

diviseacute par 2 soit un plan 242 ou 24ndash1 La signification des termes de la deacutenomi-nation 24ndash1 est la suivante le 2 indique que les facteurs prennent chacun deuxniveaux le 4 signifie que lrsquoon eacutetudie 4 facteurs Enfin 4 ndash 1 = 3 signifie que lrsquoonutilise un plan analogue au plan factoriel complet 23 qui ne comprend que 8essais On remarque eacutegalement que cette maniegravere de deacutesigner un plan indique lenombre drsquoessais agrave effectuer puisque lrsquoon a 24ndash1 = 8

Lrsquointerpreacutetation des plans fractionnaires neacutecessite de connaicirctre la theacuteorie des aliaseset drsquoappliquer des hypothegraveses drsquointerpreacutetation La premiegravere des principales hypo-thegraveses drsquointerpreacutetation est la suivante

Hypothegravese 1 ndash Les interactions drsquoordre trois et toutes celles drsquoordre plus eacuteleveacute peuvent ecirctre neacutegligeacutees


94

61 Exemple 05 le tellure6 bull Plans factorielsfractionnaires

61 Exemple 05 le tellure611 Preacuteparation du plan drsquoexpeacuteriences

m Preacutesentation de lrsquoeacutetude sur le tellure

Des chimistes cherchent agrave deacuteterminer la teneur en tellure (Te) dans lrsquoeau de merMais la nature et la concentration drsquoautres meacutetaux faussent les mesures La teneuren tellure peut ecirctre soit trop eacuteleveacutee soit trop faible en fonction des autres meacutetauxet de leur concentration Les meacutetaux perturbateurs pourraient ecirctre le sodium (Na)le potassium (K) le calcium (Ca) et le magneacutesium (Mg)


Les chimistes deacutesirent savoir quels sont les meacutetaux qui perturbent leur mesure etavoir une ideacutee de lrsquoimportance des diffeacuterences entre la concentration mesureacutee et laconcentration reacuteelle en tellure Ils veulent pouvoir reacutepondre agrave la question laquo Lateneur en tellure mesureacutee est-elle beaucoup moyennement ou peu perturbeacutee parla preacutesence de Na de K de Ca et de Mg raquo Pour reacutealiser cette eacutetude les chimistespreacuteparent des solutions contenant toujours la mecircme quantiteacute de tellure auxquellesils ajoutent des teneurs variables en meacutetaux perturbateursIl ne srsquoagit pas de faire des corrections de mesure en fonction des teneurs en Na KCa et Mg Dans ce cas il faudrait faire un plan complet de 16 essais eacuteventuelle-ment suivi drsquoun plan du second degreacute si le modegravele PDAI eacutetait insuffisant Il srsquoagitsimplement de connaicirctre lrsquoimportance de lrsquoerreur provoqueacutee par la preacutesence desquatre meacutetaux testeacutes


La reacuteponse choisie est la diffeacuterence entre la concentration vraie en tellure et laconcentration deacutetermineacutee par spectromeacutetrie atomique


Pour les quatre meacutetaux perturbateurs on retient ndash la concentration en sodiumndash la concentration en potassiumndash la concentration en calciumndash la concentration en magneacutesiumLe tableau 61 indique les concentrations et le domaine drsquoeacutetude On notera que lepoint central nrsquoest pas du tout au milieu de lrsquointervalle [25 250] La raison estque les chimistes savent qursquoil faut faire intervenir les concentrations par leur loga-rithme Avec une eacutechelle logarithmique le niveau 0 est bien au point centralLes facteurs eacutetudieacutes et qui seront utiliseacutes dans les modegraveles matheacutematiques sont ndash le logarithme de la concentration en sodium Nandash le logarithme de la concentration en potassium Kndash le logarithme de la concentration en calcium Candash le logarithme de la concentration en magneacutesium Mg


61 Exemple 05 le tellure

95

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

6 bull Plans factorielsfractionnaires


Lrsquoexpeacuterimentateur pourrait faire un plan complet 24 soit 16 essais Il pourraitainsi eacutevaluer les effets principaux les interactions entre 2 3 et 4 facteurs Maisdrsquoapregraves ses connaissances il est peu probable qursquoil y ait des interactions entre lesmeacutetaux perturbateurs Il deacutecide donc de faire un plan de 8 essais crsquoest-agrave-dire unplan 24-1 Il pourra ainsi eacutevaluer les effets principaux de chaque facteur et savoir sides interactions drsquoordre 2 risquent drsquoecirctre influentesLe tableau 62 indique les deacutetails du plan drsquoexpeacuteriences et les reacuteponses mesureacutees aucours de lrsquoexpeacuterimentation



FacteursNiveau ndash1

(mgml)Niveau 0(mgml)

Niveau +1(mgml)

Concentration Na (1) 25 25 250

Concentration K (2) 25 25 250

Concentration Ca (3) 25 25 250

Concentration Mg (4) 25 25 250

Tableau 62 ndash Essais et reacuteponses du plan drsquoexpeacuteriences sur le tellure

Essai n˚Na(1)

K(2)

Ca(3)

Mg(4)

Reacuteponse


2 +1 minus1 minus1 +1 153






8 +1 +1 +1 +1 96

minus1 Log 25 Log 25 Log 25 Log 25

0 Log 25 Log 25 Log 25 Log 25

+1 Log 250 Log 250 Log 250 Log 250


96


613 Interpreacuteter les reacutesultats des calculs

Pour interpreacuteter les reacutesultats expeacuterimentaux on peut traiter les donneacutees brutes deplusieurs maniegraveres On peut eacuteliminer des coefficients du modegravele matheacutematique pouravoir autant (ou moins) drsquoinconnues que drsquoeacutequations On peut aussi regrouper lescoefficients pour avoir lagrave aussi autant (ou moins) drsquoinconnues que drsquoeacutequationsDans ce dernier cas il faut utiliser la theacuteorie des aliases pour comprendre ce quesignifient les valeurs numeacuteriques calculeacutees On peut aussi employer une meacutethodemixte baseacutee agrave la fois sur des modegraveles simplifieacutes et sur la theacuteorie des aliasesCette interpreacutetation des reacutesultats est faciliteacutee par les hypothegraveses drsquointerpreacutetationNous verrons plusieurs plans fractionnaires et nous verrons comment des raison-nements simples permettent soit de conclure que lrsquoeacutetude est finie soit de deacuteciderqursquoil faut faire des essais suppleacutementaires pour lever les difficulteacutes rencontreacutees

m Modegravele matheacutematique

En accord avec la premiegravere hypothegravese drsquointerpreacutetation (laquo Les interactions drsquoordre troiset toutes celles drsquoordre plus eacuteleveacute peuvent ecirctre neacutegligeacutees raquo) on choisit un modegravele faisantintervenir tous les termes du premier degreacute et toutes les interactions entre deux facteurs

y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 +a12x1x2 + a13x1x3 + a14x1x4 + a23x2x3 + a24x2x4 + a34x3x4 61

Il y a donc 11 coefficients Le logiciel calculera le coefficient constant les effets princi-paux et trois groupes drsquointeractions Si les groupes drsquointeractions calculeacutees sontfaibles on pourra les eacuteliminer Si les groupes drsquointeractions calculeacutees sont forts onne pourra pas les eacuteliminer et lrsquointerpreacutetation deviendra plus deacutelicate et il faudrafaire appel agrave la theacuteorie des aliases et agrave de nouvelles hypothegraveses drsquointerpreacutetationCette modeacutelisation est un simple outil permettant de connaicirctre rapidement lesfacteurs qui risquent drsquoavoir le plus drsquoinfluence sur le pheacutenomegravene eacutetudieacute Il nesrsquoagit pas drsquoune modeacutelisation permettant de faire des preacutevisions


Effet Valeur

Constante 109

Na (1) 13

K (2) minus10

Ca (3) minus1975

Mg (4) 075

Na K (12) + Ca Mg (34) 1

Na Ca (13) + K Mg (24) 025

K Ca (23) + Na Mg (14) 175


62 Theacuteorie des aliases

97

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


On constate (Tableau 63) qursquoun facteur a un effet particuliegraverement faible le facteur 4(magneacutesium) La teneur en tellure est fausseacutee par les trois autres meacutetaux le sodium(Na) le potassium (K) et le calcium (Ca) Les sommes drsquointeractions sont moins eacuteleveacuteesque les effets des facteurs principaux et peuvent ecirctre consideacutereacutees comme faibles

62 Theacuteorie des aliasesLa theacuteorie des aliases est tregraves utile pour comprendre et interpreacuteter les reacutesultats drsquounplan fractionnaire Nous avons diviseacute lrsquoeacutetude de cette theacuteorie en cinq parties 1 Deacutefinition des contrastes2 Hypothegraveses drsquointerpreacutetation3 Calcul de Box4 Relation drsquoeacutequivalence5 Geacuteneacuterateurs drsquoaliasesAgrave la suite de la theacuteorie des aliases nous verrons deux aspects importants des plansfractionnaires ndash la construction des plans fractionnairesndash le nombre maximal de facteurs eacutetudieacutes sur un plan de base donneacute

621 Deacutefinition des contrastes

Lors de lrsquointerpreacutetation des reacutesultats drsquoun plan fractionnaire on applique lesmecircmes regravegles de calcul que celles des plans complets Le modegravele postuleacute pouranalyser les reacutesultats de lrsquoexemple sur le tellure est alors

y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a12x1x2 + a13x1x3 + a14x1x4 + a23x2x3 + a24x2x4 + a34x3x4 62

+a123x1x2x3 + a124x1x2x4 + a134x1x3x4 + a234x2x3x4 +a1234x1x2x3x4

Ce modegravele comporte 16 coefficients inconnus Pour les calculer il faut posseacuteder16 eacutequations Crsquoest bien le cas avec les plans complets Mais avec le plan fraction-naire employeacute il nrsquoy a que 8 eacutequations La matrice du modegravele comporte donc 8 ligneset 16 colonnes On srsquoarrange pour que les colonnes possegravedent deux agrave deux descolonnes ayant des niveaux identiques Les inconnues sont ainsi regroupeacutees deuxpar deux On obtient un systegraveme de 8 groupes drsquoinconnues pour 8 eacutequationsDans lrsquoexemple du tellure les niveaux du facteur 4 sont les mecircmes que les niveauxde lrsquointeraction 123 on a donc la colonne du facteur 4 identique agrave la colonne delrsquointeraction 123 Pour ce plan on peut eacutecrire x4 = x1x2x3 On verra dans les para-graphes suivants comment srsquoassocient les colonnes et par conseacutequent les coeffi-cients en fonction des points drsquoexpeacuteriences retenus pour un plan fractionnairedonneacute On possegravede de cette maniegravere 8 groupes de 2 inconnues et on peut reacutesoudrele systegraveme Ces regroupements de coefficients srsquoappellent des aliases ou descontrastes On les note par la lettre i Dans lrsquoexemple du tellure le contraste 1regroupe le coefficient a1 du facteur 1 et le coefficient a234 de lrsquointeraction 234On dit que le coefficient a1 est aliaseacute avec lrsquointeraction a234De mecircme ndash Le coefficient a2 est aliaseacute avec lrsquointeraction a134


98

62 Theacuteorie des aliases6 bull Plans factorielsfractionnaires

ndash Le coefficient a3 est aliaseacute avec lrsquointeraction a124ndash Le coefficient a4 est aliaseacute avec lrsquointeraction a123ndash Le coefficient a12 est aliaseacute avec lrsquointeraction a34ndash Le coefficient a13 est aliaseacute avec lrsquointeraction a24ndash Le coefficient a23 est aliaseacute avec lrsquointeraction a14ndash Le coefficient a0 est aliaseacute avec lrsquointeraction a1234La relation 62 srsquoeacutecrit alors

y = (a0 + a1234) + (a1 + a234)x1+ (a2 + a134)x2+ (a3 + a124)x3+ (a4 + a123)x4

+ (a12 + a34)(x1x2 ou x3x4)+ (a13 + a24)(x1x3 ou x2x4)+ (a14 + a23)(x1x4 ou x2x3)

La valeur numeacuterique de ces regroupements est la somme des valeurs des coeffi-cients Par exemple le contraste 1 est eacutegal agrave lrsquoeffet du facteur 1 augmenteacute de la valeurde lrsquointeraction 234

1 = a1 + a234

Si lrsquointeraction 234 est faible le contraste 1 est eacutegal agrave lrsquoeffet du facteur 1 Commenous avons admis lrsquohypothegravese 1 qui suppose les interactions drsquoordre 3 neacutegligeableson peut dire que le contraste 1 est eacutegal agrave lrsquoeffet du facteur 1Consideacuterons maintenant lrsquointeraction 12 qui est aliaseacutee avec lrsquointeraction 34

12 = 34 = a12 + a34

La valeur numeacuterique du contraste 12 (ou 34) est due agrave la fois agrave lrsquointeraction 12 etagrave lrsquointeraction 34 Il nrsquoy a aucun moyen de savoir lrsquoimportance individuelle desinteractions Elles sont regroupeacutees dans un mecircme contraste et lrsquoon ne connaicirct quela valeur de ce regroupementMais agrave force de faire des plans drsquoexpeacuteriences les expeacuterimentateurs ont constateacuteque dans la plupart des cas si un contraste avait une valeur numeacuterique faible crsquoestque les interactions aliaseacutees dans ce contraste eacutetaient elles-mecircmes faibles Ils ontconstateacute eacutegalement que lorsque deux facteurs eacutetaient forts il pouvait tregraves bien yavoir une interaction entre eux En revanche si deux facteurs eacutetaient faibles il y avaitpeu de chance qursquoil y ait une interaction entre eux On en a deacuteduit de nouvelleshypothegraveses drsquointerpreacutetation des plans fractionnaires

622 Nouvelles hypothegraveses drsquointerpreacutetation

Pour analyser les reacutesultats drsquoun plan fractionnaire lrsquohypothegravese 1 doit ecirctre compleacuteteacuteepar de nouvelles hypothegraveses ndash Hypothegravese 1 ndash Les interactions drsquoordre trois et toutes celles drsquoordre plus eacuteleveacute

peuvent ecirctre neacutegligeacuteesndash Hypothegravese 2 ndash Tous les coefficients aliaseacutes dans un contraste faible (neacutegli-

geable) sont eux-mecircmes faibles (neacutegligeables)ndash Hypothegravese 3 ndash Si deux contrastes sont forts on se meacutefiera de leur interaction

qui peut ecirctre fortendash Hypothegravese 4 ndash Si deux contrastes sont faibles on suppose que leur interaction

lrsquoest aussindash Hypothegravese 5 ndash Un facteur principal faible et un facteur principal fort engen-

drent le plus souvent mais pas toujours une interaction faible


63 Calcul de Box

99

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


Les cinq hypothegraveses preacutesenteacutees ici sont tregraves souvent veacuterifieacutees mais il arrive parfoisqursquoelles soient mises en deacutefaut On estime que ces hypothegraveses sont valides agrave 95 et qursquoil y a environ 5 de cas ougrave elles ne sont pas veacuterifieacutees Par exemple lrsquohypo-thegravese 4 est parfois mise en deacutefaut srsquoil faut que deux facteurs soient preacutesents simul-taneacutement pour deacuteclencher une variation de la reacuteponse la prise drsquoune reacutesinethermodurcissable est deacuteclencheacutee par la preacutesence simultaneacutee drsquoun catalyseur(premier facteur) et drsquoun acceacuteleacuterateur (deuxiegraveme facteur) le catalyseur seul oulrsquoacceacuteleacuterateur seul ne modifie pas la reacutesine Il est toujours possible drsquoadopter drsquoautreshypothegraveses en fonction du problegraveme traiteacute et des risques encourus Pour une bonneanalyse des reacutesultats il est prudent de toujours bien preacuteciser les hypothegraveses drsquointer-preacutetation que lrsquoon a retenues Ces hypothegraveses sont drsquoexcellents guides pour analyserles reacutesultats drsquoun plan fractionnaire Elles permettent de trouver les insuffisancesde lrsquoexpeacuterimentation et de preacuteciser les essais compleacutementaires agrave entreprendre pourobtenir une interpreacutetation complegraveteNous venons de constater qursquoun contraste est la somme de deux coefficients Maisil peut aussi ecirctre une suite de sommes ou de diffeacuterences car les associations entrecoefficients deacutependent de la position des points drsquoexpeacuteriences qui ont eacuteteacute choisislors de la construction du plan fractionnaire Savoir retrouver les eacuteleacutements quicomposent les contrastes est primordial pour faire une bonne interpreacutetation drsquounplan fractionnaire La theacuteorie matheacutematique geacuteneacuterale des aliases fait appel agrave desnotions qui deacutepassent le cadre de cet ouvrage Il existe aussi une theacuteorie beaucoupplus simple baseacutee sur le calcul de Box Elle convient uniquement aux plans facto-riels fractionnaires agrave deux niveaux parfaitement fixeacutes agrave ndash1 et +1 en valeurs codeacuteesOn peut aussi utiliser un logiciel de plan drsquoexpeacuteriences qui donnent directement lacomposition des aliasesLes lecteurs inteacuteresseacutes par la theacuteorie matheacutematique geacuteneacuterale des aliases se reporte-ront aux ouvrages signaleacutes dans la bibliographie Nous donnerons un aperccedilu ducalcul de Box car associeacute agrave la relation drsquoeacutequivalence il sert agrave comprendre lrsquointer-preacutetation et la construction des plans fractionnaires

63 Calcul de Box

Le calcul de Box permet de retrouver rapidement comment les effets et les interactionssont aliaseacutes dans les contrastes Comme nous lrsquoavons deacutejagrave signaleacute il srsquoapplique auxplans fractionnaires agrave deux niveaux fixeacutes agrave ndash1 et +1

631 Notation de Box

Dans la notation de Box on deacutesigne par le chiffre 1 (en gras) la colonne des signesdu facteur 1 signes ordonneacutes selon la preacutesentation de Yates Pour un plan 22 on a

1

1ndash

+11ndash

+1

=


100

63 Calcul de Box6 bull Plans factorielsfractionnaires

La colonne du facteur 2 sera deacutesigneacutee par

On introduit eacutegalement des colonnes de signes moins et de signes plus

632 Opeacuterations sur les colonnes de signes

Le calcul de Box consiste agrave faire des opeacuterations sur les colonnes de signes que nousvenons de deacutefinir On multiplie les signes terme agrave terme en appliquant la regravegle dessignes Par exemple la multiplication de 1 par 2 est

Le signe +1 du premier terme de la colonne-produit est le reacutesultat de la multiplica-tion de ndash1 (premier terme de 1) par ndash1 (premier terme de 2) Les autres signes dela colonne-produit sont obtenus de la mecircme maniegravereVoyons dans les paragraphes suivants les opeacuterations les plus utiliseacutees sur les colonnesde signes

m Multiplication drsquoune colonne par elle-mecircme

Par exemple multiplions la colonne 1 par elle-mecircme

On obtient une colonne de signes plus La multiplication de la colonne 2 par elle-mecircme donne le mecircme reacutesultat Drsquoune maniegravere geacuteneacuterale la multiplication drsquounecolonne par elle-mecircme donne une colonne de signes plus

2

1ndash

1ndash

+1+1

=

I

+1+1+1+1

= Indash

1ndash

1ndash

1ndash

1ndash

=

1 2times

1ndash

+11ndash

+1

1ndash

1ndash

+1+1

times

+11ndash

1ndash

+1

= =

1 1times

1ndash

+11ndash

+1

1ndash

+11ndash

+1

times

+1+1+1+1

I= = =


63 Calcul de Box

101

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


m Multiplication drsquoune colonne par une colonne de signes plus

Multiplions la colonne 2 par I

La multiplication drsquoune colonne par une colonne de signes plus donne la colonneinitiale On peut dire aussi que la multiplication par une colonne de signes plus nechange pas la colonne multiplieacutee

m Multiplication drsquoune colonne par une colonne de signes moins

Multiplions la colonne 2 par ndashI

La multiplication drsquoune colonne par une colonne de signes moins donne une colonneopposeacutee agrave la colonne initiale

m Multiplication drsquoune colonne de signes plus par elle-mecircme

On a

La multiplication drsquoune colonne de signes plus par elle-mecircme donne une colonnede signes plus

m Commutativiteacute de la multiplication

Le reacutesultat de la multiplication de 1 par 2 est le mecircme que celui de la multiplicationde 2 par 1 Cette proprieacuteteacute srsquoappelle la commutativiteacute

2 Itimes

1ndash

1ndash

+1+1

+1+1+1+1

times

1ndash

1ndash

+1+1

2= = =

2 Indash( )times

1ndash

1ndash

+1+1

1ndash

1ndash

1ndash

1ndash

times

+1+1

1ndash

1ndash

2ndash= = =

I Itimes

+1+1+1+1

+1+1+1+1

times

+1+1+1+1

I= = =

1 2times

1ndash

+11ndash

+1

1ndash

1ndash

+1+1

times

+11ndash

1ndash

+1

1ndash

1ndash

+1+1

1ndash

+11ndash

+1

times 2 1times= = = =


102

64 Relation drsquoeacutequivalence6 bull Plans factorielsfractionnaires

633 Regravegles agrave retenir

Il faut simplement retenir les regravegles suivantes du calcul de Box Pour simplifier lessignes multiplieacutes ont eacuteteacute eacutelimineacutes des formules ndash Regravegle 1 minus Commutativiteacute

1 2 = 2 1ndash Regravegle 2 minus Multiplication drsquoune colonne par elle-mecircme

1 1 = I 2 2 = Indash Regravegle 3 minus Multiplication drsquoune colonne par I ou ndash I

1 I = 1 2 I = 21 (ndashI) = ndash1 2 (ndashI) = ndash2

I I = I

64 Relation drsquoeacutequivalence641 Plan de base

Consideacuterons un plan 23 et son modegravele postuleacute y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a12x1x2 + a13x1x3 + a23x2x3 + a123x1x2x3

Le terme x1x2 est le produit des niveaux des facteurs 1 et 2 Ce terme est celui delrsquointeraction 12 On peut donc construire une colonne de signes correspondant agravelrsquointeraction 12 en multipliant selon le calcul de Box les colonnes du facteur 1 etdu facteur 2 On peut faire de mecircme pour les interactions 13 23 et 123 On peutaussi ajouter une colonne de signes plus pour introduire la constante dans lescalculs On obtient ainsi un tableau appeleacute matrice de base ou plan de base quicomporte 8 lignes et 8 colonnes (Tableau 64)

Tableau 64 ndash Matrice de base drsquoun plan 23

Essai n˚ I 1 2 3 12 13 23 123

1 + ndash ndash ndash + + + ndash

2 + + ndash ndash ndash ndash + +

3 + ndash + ndash ndash + ndash +

4 + + + ndash + ndash ndash ndash

5 + ndash ndash + + ndash ndash +

6 + + ndash + ndash + ndash ndash

7 + ndash + + ndash ndash + ndash

8 + + + + + + + +


64 Relation drsquoeacutequivalence

103

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


Cette matrice de base correspond agrave la matrice qui est utiliseacutee pour calculer leseffets et les interactions drsquoun plan complet Mais pour un plan fractionnaire onnrsquoutilise que la moitieacute des essais de cette matrice Divisons cette matrice de base endeux fractions un demi-plan constitueacute des essais n˚ 5 2 3 et 8 (lignes plusfonceacutees du tableau 65) et un demi-plan constitueacute des essais n˚ 1 6 7 et 4

Dans un premier temps inteacuteressons-nous au demi-plan supeacuterieur le plan plusfonceacute Il contient huit colonnes de quatre signes qui sont eacutegales deux agrave deux Ennotation de Box on peut eacutecrire par exemple que la colonne des quatre signes dufacteur 1 est eacutegale agrave celle de lrsquointeraction 23 soit

1 = 23Nous avons vu que dans ce demi-plan le facteur 1 eacutetait confondu avec lrsquointer-action 23 et que le contraste 1 calculeacute avec la colonne 1 (ou avec la colonne 23)eacutetait la somme des coefficients a1 et a23

1 = 23 = a1 + a23


On remarque que les coefficients aliaseacutes dans un contraste sont ceux qui ont lesmecircmes colonnes de signes dans le demi-plan consideacutereacute Crsquoest une regravegle geacuteneacuterale un contraste est la somme algeacutebrique des coefficients qui ont les mecircmes colonnesde signes Crsquoest-agrave-dire que si lrsquoon a 1 = 23 en calcul de Box le contraste calculeacuteavec la colonne 1 sera la somme 1 = a1 + a23 et le contraste calculeacute avec lacolonne 23 sera la somme 23 = a1 + a23 On a donc

1 = 23 est eacutequivalent agrave 1 = 23 = a1 + a23

Crsquoest la relation drsquoeacutequivalence Elle est valable dans les deux sens et elle constituela base de la theacuteorie des aliases

Tableau 65 ndash Matrice de base coupeacutee en deux plans fractionnaires

Essai n˚ I 1 2 3 12 13 23 123




8 + + + + + + + +






104

65 Geacuteneacuterateurs drsquoaliases6 bull Plans factorielsfractionnaires

Lrsquoexamen du tableau 65 montre que lrsquoon a aussi 2 = 13 est eacutequivalent agrave 2 = 13 = a2 + a13


I = 123 est eacutequivalent agrave 0 = 123 = a0 + a123

Lrsquoimportance de ces relations reacuteside dans le fait que lrsquoon peut retrouver commentles effets et les interactions sont aliaseacutes dans chaque contraste Pour connaicirctre lastructure des aliases on pourrait opeacuterer comme nous venons de le faire eacutecrire unplan de base le deacutecouper en fractions rechercher les colonnes de signes qui sonteacutegales Mais ce processus utile pour comprendre la relation drsquoeacutequivalence est agrave lafois trop long et trop laborieux pour retrouver la structure des aliases Crsquoest aveclrsquoutilisation du calcul de Box et lrsquointroduction des geacuteneacuterateurs drsquoaliases que nousallons facilement retrouver cette structure

Remarque

Le terme contraste nrsquoest pas universellement utiliseacute Dans certains ouvrages on trouvera le termeconfusion On trouvera eacutegalement le terme aliase tregraves souvent utiliseacute Enfin le terme concomitanceest parfois employeacute pour montrer qursquoon estime simultaneacutement des coefficients dans la mecircme struc-ture Tous ces termes sont synonymes et traduisent les deux aspects de la relation drsquoeacutequivalence ensoulignant que des effets et des interactions sont fusionneacutes dans une seule inconnue et que descolonnes de signes se correspondent dans les demi-plans La notion de contrastes elle-mecircme estdeacutelicate et les diffeacuterents termes utiliseacutes expriment la difficulteacute agrave trouver le bon terme Ces diffeacute-rentes appellations sont utiliseacutees et consideacutereacutees comme des synonymes dans le preacutesent ouvrage

65 Geacuteneacuterateurs drsquoaliases651 Geacuteneacuterateur drsquoaliases du demi-plan supeacuterieur

Consideacuterons le demi-plan supeacuterieur du tableau 65 Les deux colonnes de signesplus permettent drsquoeacutecrire en notation de Box

I = 123 63En multipliant par 1 les deux membres de cette relation et en tenant compte desregravegles de multiplication de Box on retrouve les colonnes identiques du demi-plansupeacuterieur 1 Multiplication par 1 des deux membres de la relation 63

1I = 11232 Application de la regravegle 2

1I = I233 Application de la regravegle 3

1 = 23En multipliant les deux membres de la relation 63 successivement par 2 et par3 on obtient les deux relations

2 = 133 = 12


66 Construction pratique drsquoun plan fractionnaire

105

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


La relation I = 123 permet donc de retrouver toutes les colonnes qui sont eacutegalesdans le demi-plan supeacuterieur Connaissant ces eacutegaliteacutes et en appliquant la relationdrsquoeacutequivalence on retrouve comment les coefficients sont aliaseacutes dans les contrastesLa relation I = 123 srsquoappelle le geacuteneacuterateur drsquoaliases

652 Geacuteneacuterateur drsquoaliases du demi-plan infeacuterieur

En consideacuterant le demi-plan infeacuterieur (Tableau 65) on veacuterifie que les colonnes secorrespondent deux agrave deux mais avec des signes opposeacutes Agrave la colonne de signesplus correspond la colonne de signes moins de lrsquointeraction 123 On peut eacutecrireen notation de Box

I = minus123 64Crsquoest le geacuteneacuterateur drsquoaliases du demi-plan infeacuterieurEn multipliant par 1 les deux membres de la relation 64 et en tenant comptedes regravegles de multiplication de Box on a

1I = 1minus1231 = minusI 231 = minus23

La colonne de lrsquointeraction 23 a bien des signes opposeacutes agrave ceux de la colonne 1On trouve la structure du contraste de la colonne 1 en appliquant la relationdrsquoeacutequivalence

cent1 = ndash cent23 = a1 ndash a23

Les contrastes calculeacutes avec le demi-plan infeacuterieur sont des diffeacuterences de coefficientsOn calcule que lrsquoon a de mecircme

2 = ndash13 soit cent2 = ndash cent13 = a2 ndash a13

3 = ndash12 soit cent3 = ndash cent12 = a3 minus a12

I = ndash123 soit cent0 = ndash cent123 = a0 ndash a123

653 Lecture des aliases dans les logiciels

Les bons logiciels de plans drsquoexpeacuteriences indiquent toujours comment les coeffi-cients sont aliaseacutes dans les contrastes Par exemple le logiciel joint agrave ce livre donneles aliases en mecircme temps que les reacutesultats du plan dans une rubrique intituleacuteeSingularity Details Les colonnes qui sont eacutegales sont indiqueacutees comme dans lecalcul de Box Drsquoautres logiciels fournissent les coefficients aliaseacutes dans chaquecontraste

66 Construction pratique drsquoun plan fractionnaireLorsqursquoon examine les quatre premiegraveres colonnes du demi-plan supeacuterieur(Tableau 65) on constate que lrsquoon retrouve les colonnes de signes drsquoun plan debase 22 Ce plan comporte la colonne des facteurs 1 et 2 la colonne 12 construitepar la regravegle des signes et une colonne de signes plus (Tableau 66)


106

66 Construction pratique drsquoun plan fractionnaire6 bull Plans factorielsfractionnaires

Lrsquointeraction 12 peut servir agrave eacutetudier un facteur suppleacutementaire le facteur 3 Eneffet les niveaux drsquoeacutetude du facteur suppleacutementaire sont semblables aux signes dela colonne de signes de lrsquointeraction 12 (Tableau 67) On profite de cette simili-tude pour construire facilement les plans fractionnaires En notation de Box oneacutecrit que le facteur 3 est eacutetudieacute sur les signes de lrsquointeraction 12

3 = 12Multiplions chaque membre de cette relation par 3 on retrouve le geacuteneacuterateur duplan fractionnaire

I = 123Ce geacuteneacuterateur permet gracircce au calcul de Box et agrave la relation drsquoeacutequivalence deretrouver comment les coefficients sont aliaseacutes dans les contrastes

Au lieu de prendre le geacuteneacuterateur I = 123 on peut prendre le geacuteneacuterateur I = minus123

Dans ce cas le troisiegraveme facteur est eacutetudieacute sur les signes de lrsquointeraction ndash12(Tableau 68)

Tableau 66 ndash Plan de base 22

Essai n˚ I 1 2 12

1 + ndash ndash +

2 + + ndash ndash

3 + ndash + ndash

4 + + + +

Tableau 67 ndash Plan drsquoexpeacuteriences 23-1 bacircti avec le geacuteneacuterateur I = 123

Essai n˚ 1 2 3

1 ndash ndash +

2 + ndash ndash

3 ndash + ndash

4 + + +

Tableau 68 ndash Plan drsquoexpeacuteriences 23ndash1 bacircti avec le geacuteneacuterateur I = ndash123

Essai n˚ 1 2 3

1 ndash ndash ndash

2 + ndash +

3 ndash + +

4 + + ndash



107

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


La construction pratique des plans fractionnaires que nous venons de voir sur unplan de base 22 se geacuteneacuteralise agrave tous les plans de base 2k

ndash On choisit un plan complet et lrsquoon eacutecrit le plan de base correspondant en appli-quant la regravegle des signes

ndash Dans ce plan de base on choisit une colonne de signes correspondant agrave uneinteraction et on lui attribue un facteur suppleacutementaire On peut prendre soitla colonne elle-mecircme avec ses signes soit la colonne avec les signes opposeacutes

ndash On en deacuteduit le geacuteneacuterateur drsquoaliases gracircce au calcul de Boxndash En multipliant le geacuteneacuterateur drsquoaliases et en appliquant la relation drsquoeacutequivalence

on retrouve la structure de tous les contrastes

Voyons comment cela fonctionne sur un plan de base 23Reprenons le plan de base 23 (Tableau 69) Il y a quatre colonnes disponiblespour eacutetudier des facteurs suppleacutementaires les interactions 12 13 23 et 123 Onpeut donc construire plusieurs plans fractionnaires qui auront tous 8 essais maisqui permettront drsquoeacutetudier plus ou moins de facteurs

De ce plan de base nous allons successivement extraire le plan complet et les plansfractionnaires que lrsquoon peut construire

661 Plan complet 23

Les colonnes 1 2 et 3 sont celles drsquoun plan complet pour eacutetudier trois facteurs(Tableau 610)

Tableau 69 ndash Plan de base drsquoun plan 23

Essai n˚ I 1 2 3 12 13 23 123








8 + + + + + + + +


108


662 Plan fractionnaire 24ndash1

Crsquoest le plan qui a eacuteteacute utiliseacute pour le tellure On deacutesire eacutetudier quatre facteursen ne faisant que 8 essais On donne le nom de 4 au facteur suppleacutementaireOn choisit lrsquoune des quatre colonnes drsquointeraction par exemple la colonne 123(Tableau 611) Les niveaux drsquoeacutetude du facteur 4 sont ceux de la colonne 123 Onconstruit le plan fractionnaire en extrayant les quatre colonnes 1 2 3 et 123 duplan de base

Tableau 610 ndash Plan complet 23

Essai n˚ 1 2 3

1 ndash ndash ndash

2 + ndash ndash

3 ndash + ndash

4 + + ndash

5 ndash ndash +

6 + ndash +

7 ndash + +

8 + + +

Tableau 611 ndash Plan drsquoexpeacuteriences 24-1

Essai n˚ 1 2 3 4 = 123


2 + ndash ndash +

3 ndash + ndash +

4 + + ndash ndash

5 ndash ndash + +

6 + ndash + ndash

7 ndash + + ndash

8 + + + +



109

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


Le quatriegraveme facteur eacutetant eacutetudieacute sur la colonne de signes de lrsquointeraction 123 onpeut eacutecrire en notation de Box

I = 1234Crsquoest le geacuteneacuterateur drsquoaliases qui permet de calculer la structure des contrastes Enmultipliant ce geacuteneacuterateur successivement par 1 2 3 et 4 on obtient les eacutegaliteacutes decolonnes puis en utilisant la relation drsquoeacutequivalence les contrastes

1 = 234 est eacutequivalent agrave 1 = a1 + a234




I = 1234 est eacutequivalent agrave 0 = a0 + a1234

On aurait pu aliaser le facteur 4 sur une autre interaction on aurait eu drsquoautresstructures de contrastes Par exemple si on choisit drsquoeacutetudier le facteur 4 sur lrsquointer-action 12 on a

4 = 12drsquoougrave le geacuteneacuterateur drsquoaliases

I = 124En multipliant ce geacuteneacuterateur successivement par 1 2 3 et 4 on obtient les rela-tions drsquoeacutequivalence et la structure des contrastes correspondants






On pourrait eacutegalement choisir soit lrsquointeraction 13 soit lrsquointeraction 23 pour eacutetudierle facteur 4 Mais ces choix ne sont pas eacutequivalents Le premier choix 4 = 123 estbien meilleur que les trois autres car les effets principaux des facteurs sont tousaliaseacutes avec des interactions drsquoordre 3 crsquoest-agrave-dire avec des interactions qui ont degrandes chances drsquoecirctre faibles Ce nrsquoest pas le cas des trois autres plans 24-1 pourlesquels certains effets principaux sont aliaseacutes avec des interactions drsquoordre 2

663 Plan fractionnaire 25-2

Il est tout agrave fait possible drsquoeacutetudier deux facteurs suppleacutementaires On choisit deuxcolonnes qui ne sont pas deacutejagrave occupeacutees par des facteurs (ici colonnes 1 2 et 3) parexemple on peut choisir la colonne 12 pour le quatriegraveme facteur et la colonne 13pour le cinquiegraveme facteur (Tableau 612) Le plan fractionnaire correspondant estun plan 25-2 car il srsquoagit drsquoun plan complet agrave 32 essais coupeacute en quatre Le plan 25

a eacuteteacute diviseacute par 22 soit 2522 ce qui peut eacutegalement srsquoeacutecrire 25-2 Le tableau 612repreacutesente ce plan fractionnaire 25-2


110


Eacutetablissons gracircce agrave la notation de Box la structure des aliases de ce plan fraction-naire On a deux relations

4 = 12 5 = 13et bien sucircr deux geacuteneacuterateurs drsquoaliases

I = 124 I = 135Ces deux geacuteneacuterateurs drsquoaliases proviennent du choix de deux interactions indeacutepen-dantes du plan de base On les appelle des geacuteneacuterateurs drsquoaliases indeacutependantsSi lrsquoon multiplie ces deux geacuteneacuterateurs drsquoaliases indeacutependants membre agrave membreon obtient un troisiegraveme geacuteneacuterateur

II = 124135I = 2345

Ce nouveau geacuteneacuterateur drsquoaliases est un geacuteneacuterateur deacutependant On remarque quedeux facteurs suppleacutementaires introduisent non pas un geacuteneacuterateur mais un groupede geacuteneacuterateurs drsquoaliases (GGA) comportant quatre termes

I = 124 = 135 = 2345Ce GGA est utiliseacute pour eacutetablir la structure des aliases de ce plan fractionnaire Parexemple le contraste 1 sera deacutetermineacute en multipliant tous les termes du GGA parla colonne 1

1I = 1124 = 1135 = 12345En simplifiant

1 = 24 = 35 = 12345Les quatre colonnes 1 24 35 et 12345 sont identiques dans le quart de plan de baseLa relation drsquoeacutequivalence donne les quatre coefficients aliaseacutes dans les contrastes 124 35 et 12345

1 = 24 = 35 = 12345 = a1 + a24 + a35 + a12345


Essai n˚ 1 2 3 4 = 12 5 = 13

1 ndash ndash ndash + +

2 + ndash ndash ndash ndash

3 ndash + ndash ndash +

4 + + ndash + ndash

5 ndash ndash + + ndash

6 + ndash + ndash +

7 ndash + + ndash ndash

8 + + + + +



111

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


On simplifie lrsquoeacutecriture en nrsquoindiquant que lrsquoun des contrastes 1 = a1 + a24 + a35 + a12345

Les autres contrastes sont calculeacutes de la mecircme maniegravere et comportent tous 4 coef-ficients

Remarque

Le groupe de geacuteneacuterateurs drsquoaliases (GGA) est eacutegalement appeleacute relation de deacutefinition En effet crsquoestcette relation qui permet de deacutefinir le plan fractionnaire avec preacutecision et qui donne la structuredes aliases


On peut geacuteneacuteraliser cette meacutethode et utiliser toutes les colonnes du plan de base(Tableau 613) Sur le plan de base 23 on peut eacutetudier jusqursquoagrave 7 facteurs puisqursquoily a 4 colonnes drsquointeraction Dans ce cas il srsquoagit de diviser en 16 un plan completde 128 essais

Le geacuteneacuterateur drsquoaliases srsquoobtient en prenant drsquoabord les 4 geacuteneacuterateurs indeacutepen-dants

4 = 123 5 = 126 = 13 7 = 23

Les geacuteneacuterateurs deacutependants srsquoobtiennent en multipliant deux agrave deux puis trois agrave troiset enfin quatre agrave quatre les geacuteneacuterateurs indeacutependants Le GGA contient 16 termesCe GGA est multiplieacute successivement par 1 2 3 4 5 6 et 7 Les relations obtenuespermettent drsquoeacutetablir la structure des contrastes qui comportent chacun 16 termesdans le cas du plan 27-4 Dans le cas geacuteneacuteral les contrastes drsquoun plan fractionnaire2k-p contiennent 2p termes Le calcul de tels contrastes est ennuyeux fatigant etfastidieux et nous verrons comment on les obtient facilement avec le logiciel


Essai n˚ 1 2 3 4 = 123 5 = 12 6 = 13 7 = 23

1 ndash ndash ndash ndash + + +

2 + ndash ndash + ndash ndash +

3 ndash + ndash + ndash + ndash

4 + + ndash ndash + ndash ndash

5 ndash ndash + + + ndash ndash

6 + ndash + ndash ndash + ndash

7 ndash + + ndash ndash ndash +

8 + + + + + + +


112

68 Application de la theacuteorie des aliases agrave lrsquoexemple 056 bull Plans factorielsfractionnaires

67 Nombre maximal de facteurs eacutetudieacutes sur un plan de baseOn peut eacutetudier autant de facteurs suppleacutementaires qursquoil y a drsquointeractions dans leplan de base (Tableau 614)Sur un plan de base 22 il y a une interaction On pourra donc eacutetudier trois facteursdeux sur les colonnes 1 et 2 le troisiegraveme sur la colonne de lrsquointeractionSur un plan de base 23 il y a quatre interactions On pourra donc eacutetudier septfacteurs trois sur les colonnes 1 2 et 3 les quatre autres sur les colonnes drsquointer-action 12 13 23 et 123Le tableau 614 indique le nombre maximal de facteurs que lrsquoon peut eacutetudier surdiffeacuterents plans de base

68 Application de la theacuteorie des aliases agrave lrsquoexemple 05Voyons comment toutes les notions acquises sont mises en œuvre sur lrsquoexemple dece chapitre

681 Confusions du plan Tellure

Le plan Tellure est un plan 24ndash1 dont le geacuteneacuterateur drsquoaliases est I = 1234

En appliquant le calcul de Box on obtient pour les facteurs principaux 1 = 234 2 = 134 3 = 124

Si lrsquoon a choisi un modegravele matheacutematique sans les interactions drsquoordre 3 on aimmeacutediatement (relation drsquoeacutequivalence)

1 = a1 2 = a2 et 3 = a3

Pour les interactions on obtient 12 = 34 13 = 24 23 = 14

drsquoougrave 12 = 34 = a12 + a34 13 = 24 = a13 + a24 et 23 = 14 = a23 + a14

Tableau 614 ndash Nombre maximal de facteurs eacutetudieacutes sur un plan de base donneacute

Plan de base

Nombre de facteurs du plan complet

Nombre drsquointeractions

Nombre maximal de facteurs eacutetudieacutes

22 2 1 3

23 3 4 7

24 4 11 15

25 5 26 31

26 6 57 63

27 7 120 127



113

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


682 Application des hypothegraveses drsquointerpreacutetation au plan Tellure

Lrsquohypothegravese 1 a eacuteteacute appliqueacutee dans le choix du modegravele On obtient directement leseffets des facteurs principaux Ils ne sont pas confondus avec des interactions Pourfaire lrsquoanalyse des reacutesultats reprenons le tableau 63 des contrastes sous forme drsquoundiagramme agrave barres (Figure 61) et faisons en lrsquoanalyse

Appliquons lrsquohypothegravese 2 (Tous les coefficients aliaseacutes dans un contraste faiblesont eux-mecircmes faibles) en admettant qursquoun contraste infeacuterieur agrave 2 est neacutegligeableLe contraste 13 eacutetant eacutegal agrave 025 on le considegravere comme neacutegligeable Par conseacute-quent les coefficients a13 et a24 sont eacutegalement neacutegligeables On tient le mecircmeraisonnement pour le contraste 14 et on en deacuteduit que les coefficients a14 et a23sont proches de zeacutero et donc neacutegligeables De la mecircme faccedilon les coefficients a12 eta34 sont neacutegligeables


Seuls les sels de calcium de potassium et de sodium faussent les mesures de laconcentration en tellure de lrsquoeau de mer Il nrsquoy a pas drsquointeraction entre cesmeacutetaux Tout se passe comme si chaque meacutetal eacutetait seul agrave modifier la mesure dutellure dans lrsquoeau de mer

ndash Le magneacutesium ne modifie pas les mesures et on obtient des valeurs correctes dela teneur en tellure

Figure 61 ndash Diagramme agrave barres des coefficients

Effet des meacutetaux sur la teneur en Tellure

20

15

ndash

ndash

ndash

10

ndash5

0

5

10

15

20

Na (1) K (2) Ca (3) Mg (4) 12 + 34 13 + 24 23 + 14


Val

eur

des

co

effi

cien

ts


114

69 Conclusion de lrsquoeacutetude6 bull Plans factorielsfractionnaires

ndash Le facteur le plus influent est le calcium La teneur apparente en tellure est plusfaible que la teneur reacuteelle En preacutesence de calcium on obtient des valeurs pardeacutefaut

ndash Le potassium a la mecircme influence que le calcium En preacutesence de potassium onobtient des valeurs par deacutefaut

ndash Quant au sodium il conduit agrave une teneur apparente en tellure supeacuterieure agrave lavaleur reacuteelle Il induit des valeurs trop fortes En preacutesence de sodium on obtientdes valeurs par excegraves

Pour faire des mesures preacutecises on ne peut pas neacutegliger ces interfeacuterences Les selsde calcium et de potassium diminuent les valeurs reacuteelles Au contraire les sels desodium augmentent les valeurs reacuteellesLrsquoeacutetude drsquoorientation qui vient drsquoecirctre faite montre qursquoil faut envisager des correc-tions aux reacutesultats de mesure Il faut entreprendre une eacutetude plus complegravete pourpouvoir donner des directives preacutecises de corrections Il faut alors envisager un ouplusieurs plans permettant de modeacuteliser le pheacutenomegravene Nous verrons que les planscomposites sont alors preacutecieux pour eacutetablir un modegravele du second degreacute (chapitre 9)


115

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

7 bull EXEMPLES DEPLANS FACTORIELS FRACTIONNAIRES

Dans le chapitre preacuteceacutedent nous avons vu un exemple de plan fractionnaire (leplan Tellure) Nous avons eacutegalement vu plusieurs aspects de la theacuteorie concernantces plans la theacuteorie des aliases le calcul de Box la relation drsquoeacutequivalence leshypothegraveses drsquointerpreacutetation et la construction des plans fractionnaires Lrsquoassimilationde toutes ces notions ne peut pas se faire avec un seul exemple Crsquoest pourquoi lepreacutesent chapitre traite plusieurs exemples de plans fractionnaires Le nombre defacteurs de ces plans ira croissant sans que pour autant le nombre drsquoessais soit tropeacuteleveacute Lrsquointerpreacutetation de ces plans sera conduite en tenant compte drsquoun modegravelepostuleacute de la theacuteorie des aliases et des hypothegraveses drsquointerpreacutetation Mais nousverrons qursquoavec tregraves peu drsquoessais on peut obtenir lrsquoinformation chercheacuteeNous avons vu que sur un plan de base 2k-p on pouvait theacuteoriquement eacutetudierk facteurs dont p avaient pour niveaux drsquoeacutetude les signes des colonnes de certainesinteractions Les signes moins sont utiliseacutes comme niveaux bas et les signes pluscomme niveaux hauts Jusqursquoagrave maintenant nous nrsquoavons utiliseacute qursquoune seule inter-action du plan de base Sur un plan de base 23 il y a 4 interactions on peut donceacutetudier 4 facteurs suppleacutementaires soit 7 facteurs en 8 essais Le plan fraction-naire correspondant est un plan 27-4 Comme toutes les interactions sont utiliseacuteespour eacutetudier des facteurs on dit que le plan est satureacute Est-il vraiment possibledrsquoeacutetudier 7 facteurs en seulement 8 essais Nous allons voir que cela est possible etajoutons que dans la pratique les expeacuterimentateurs reacutealisent souvent de tels plansLa seule condition pour reacuteussir agrave tous les coups est de bien utiliser la theacuteorie desaliases et de bien manier les hypothegraveses drsquointerpreacutetation Il arrive en effet souventque lrsquoon soit obligeacute de poursuivre la premiegravere expeacuterimentation par un plancompleacutementaire bien choisi pour lever les ambiguiumlteacutes qui apparaissent lors delrsquointerpreacutetation du plan initial Mais mecircme si lrsquoon reacutealise un premier plan de 8essais suivi drsquoun plan compleacutementaire eacutegalement de 8 essais on est toujoursgagnant car en deacutefinitive on exeacutecute 16 essais au lieu des 128 drsquoun plan complet 27On retrouve le pari toujours gagnant des plans fractionnaires


116

71 Exemple 06 la sulfonation7 bull Exemples de plansfactoriels fractionnaires

71 Exemple 06 la sulfonation711 Preacuteparation du plan drsquoexpeacuteriences

m Preacutesentation de lrsquoeacutetude sulfonation drsquoun meacutelange BTX

La sulfonation des composeacutes aromatiques permet drsquoobtenir des composeacutes tensio-actifs qui sont les produits de base des lessives du commerce Les composeacutes aroma-tiques eacutetudieacutes sont le benzegravene le toluegravene et les xylegravenes (meacutelange BTX) sous-produitsdrsquoune exploitation de peacutetrole brut Seuls le toluegravene et les xylegravenes fournissent destensioactifs inteacuteressants Pour obtenir les produits tensioactifs on ajoute de lrsquoacidesulfurique (SO4H2) au meacutelange BTX puis on laisse ces produits en contactpendant un certain temps pour qursquoils reacuteagissent En preacutesence drsquoacide sulfuriqueles trois produits benzegravene toluegravene et xylegravenes se transforment progressivement enacides sulfoniques qui serviront agrave preacuteparer les sulfonates La reacuteaction de sulfonationpeut ecirctre acceacuteleacutereacutee soit par ajout drsquoanhydride sulfurique (SO3) soit par eacuteliminationde lrsquoeau formeacutee soit simultaneacutement par ces deux traitements La reacuteaction chimiquedes BTX avec lrsquoacide sulfurique srsquoappelle la sulfonation et on dit que le meacutelange BTXa eacuteteacute sulfoneacute Les sulfonates formeacutes contiennent les tensioactifs


On cherche agrave obtenir les sulfonates de toluegravene et de xylegravenes qui permettent depreacuteparer des lessives de bonne qualiteacute En revanche on cherche agrave eacuteviter les sulfonatesde benzegravene qui ne preacutesentent aucun inteacuterecirct On recherche donc les conditionsopeacuteratoires qui permettent de sulfoner le toluegravene et les xylegravenes tout en eacutevitant lasulfonation du benzegraveneLrsquoeacutetude sera reacuteussie si on peut donner des consignes de reacuteglage des facteurs pouratteindre les deux objectifs sulfoner le toluegravene et les xylegravenes ne pas sulfoner lebenzegravene


La reacuteponse choisie est le rapport de sulfonation deacutefini par

On a donc tout inteacuterecirct agrave obtenir une grande valeur de ce rapport


Parmi tous les facteurs pouvant influencer la reacuteaction de sulfonation lrsquoexpeacuterimen-tateur en a retenu six ndash la dureacutee de la mise en contact de lrsquoacide sulfurique avec le meacutelange BTXndash le pourcentage de SO3 dans lrsquoacide sulfuriquendash la tempeacuterature de la reacuteactionndash lrsquoeacutelimination de lrsquoeau en cours de reacuteactionndash la dureacutee drsquoaddition drsquoacide sulfuriquendash le rapport (acide)(toluegravene + xylegravenes)

ρ (Toluegravene + xylegravenes) sulfoneacutesBenzegravene sulfoneacute

-----------------------------------------------------------------=


71 Exemple 06 la sulfonation

117

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

7 bull Exemples de plansfactoriels fractionnaires

Le domaine drsquoeacutetude des six facteurs eacutetudieacutes au cours du plan drsquoexpeacuteriences estpreacuteciseacute dans le tableau 71


Si lrsquoexpeacuterimentateur avait deacutecideacute de faire un plan complet pour des facteurs neprenant que deux niveaux il aurait ducirc reacutealiser 64 essais Ce qui est consideacuterable Ila donc eacuteteacute deacutecideacute de reacuteduire le nombre drsquoessais et de faire un plan factoriel frac-tionnaire Les facteurs auront toujours deux niveaux drsquoeacutetude Le budget de lrsquoexpeacute-rimentateur autorise une eacutetude de 16 essais soit quatre fois moins drsquoessais que leplan complet Avec un plan fractionnaire 26ndash2 de 16 essais il est tout agrave fait possibledrsquoeacutetudier 6 facteurs avec leurs interactions drsquoordre 2

m Construction du plan drsquoexpeacuteriences

Le plan de base est un plan 24 Lrsquoexpeacuterimentateur choisit drsquoaliaser le facteur 5 surlrsquointeraction 124 et le facteur 6 sur lrsquointeraction 234 Crsquoest-agrave-dire que les niveauxdrsquoeacutetude du facteur 5 seront analogues aux signes de lrsquointeraction 124 De mecircme lesniveaux drsquoeacutetude du facteur 6 seront analogues aux signes de lrsquointeraction 234 Onpeut eacutecrire en notation de Box

5 = 1246 = 234

On eacutecrit les 4 colonnes drsquoun plan 24 et on calcule les signes des interactions 124 et234 en utilisant la regravegle des signes (Tableau 72)


Voir tableau 72 page suivante


Facteurs Niveau minus1 Niveau +1

Dureacutee de la reacuteaction (1) 5 h 9 h

SO3 dans SO4H2 (2) 0 10

Tempeacuterature de la reacuteaction (3) 95 ˚C 110 ˚C

Eacutelimination de lrsquoeau (4) sans avec

Dureacutee de lrsquoaddition drsquoacide (5) 10 min 30 min

Rapport (acidetoluegravene +xylegravenes) (6) 08 12


118


Tableau 72 ndash Essais et reacuteponses du plan drsquoexpeacuteriences sur la sulfonation

Essai n˚Dureacutee

1SO3

2Tempeacuterature

3Eau

4Acide

5 = 124Rapport6 = 234

Reacuteponse

1 minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 1176

2 +1 minus1 minus1 minus1 +1 minus1 1255

3 minus1 +1 minus1 minus1 +1 +1 789

4 +1 +1 minus1 minus1 minus1 +1 820

5 minus1 minus1 +1 minus1 minus1 +1 1235

6 +1 minus1 + 1 minus1 +1 +1 1398

7 minus1 +1 +1 minus1 +1 minus1 725

8 +1 +1 +1 minus1 minus1 minus1 1010

9 minus1 minus1 minus1 +1 +1 +1 1306

10 +1 minus1 minus1 +1 minus1 +1 1340

11 minus1 +1 minus1 +1 minus1 minus1 1210

12 +1 +1 minus1 +1 +1 minus1 891

13 minus1 minus1 +1 +1 +1 minus1 1365

14 +1 minus1 +1 + 1 minus1 minus1 1610

15 minus1 +1 +1 +1 minus1 +1 1109

16 +1 +1 +1 +1 +1 +1 986

minus1 5 0 95 Sans eacutelim 10 08

+1 9 10 110 Avec eacutelim 30 12



119

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



Pour interpreacuteter les reacutesultats drsquoun plan fractionnaire il est bon de connaicirctre la maniegraveredont les coefficients sont aliaseacutes dans les contrastes Le plus souvent il ne srsquoagit quedes interactions drsquoordre 2 car lrsquohypothegravese drsquointerpreacutetation 1 a fait disparaicirctre les inter-actions drsquoordre 3


On adopte un modegravele comprenant le coefficient constant les coefficients des facteursprincipaux et les coefficients des interactions drsquoordre 2

y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5 + a6x6 + a12x1x2 + a13x1x3 + hellip + a56x5x6 71

On a donc un systegraveme de 16 eacutequations pour trouver 22 inconnues On sait qursquoil ya des confusions entre les interactions drsquoordre 2 et le calcul de Box nous a indiqueacutecomment ces interactions se regroupaient dans les aliases

m Confusions

Nous avons deacutejagrave eacutecrit

5 = 124 6 = 234

drsquoougrave

I = 1245 I = 2346

Si on multiplie 1245 par 2346 on obtient 1356 qui est aussi eacutegal agrave I On obtientainsi le groupe des geacuteneacuterateurs drsquoaliases

I = 1245 = 2346 = 1356

Ce groupe montre que les effets des facteurs principaux sont aliaseacutes avec des inte-ractions drsquoordre 3 Si lrsquohypothegravese 1 est respecteacutee on obtiendra directement lrsquoeffet desfacteurs principaux Les interactions drsquoordre 2 seront aliaseacutees entre elles Onobtient les contrastes en multipliant le geacuteneacuterateur drsquoaliases par 12 13hellip et enappliquant la relation drsquoeacutequivalence Les 15 interactions drsquoordre 2 se regroupentdans les 7 contrastes suivants

12 = 45 = a12 + a45

13 = 56 = a13 + a56

14 = 25 = a14 + a25

15 = 24 = 36 = a15 + a24 + a36

16 = 35 = a16 + a35

23 = 46 = a23 + a46

26 = 34 = a26 + a34


120


m Valeur des effets

Le tableau 73 indique les reacutesultats du calcul des effets et des aliases Le diagrammeagrave barres de la figure 71 illustre ce tableau

Tableau 73 ndash Effets et aliases (uniteacutes codeacutees)

Effet Valeur

Constante 1139

Dureacutee de la reacuteaction (1) 025

SO3 dans SO4H2 (2) minus196

Tempeacuterature de la reacuteaction (3) 041

Eacutelimination de lrsquoeau (4) 088

Dureacutee de lrsquoaddition drsquoacide (5) minus049

Rapport acidetoluegravene +xylegravenes (6) minus016

12 = a12 + a45 minus040

13 = a13 + a56 046

14 = a14 + a25 minus045

15 = a15 + a24 + a36 018

16 = a16 + a35 minus011

23 = a23 + a46 minus026

26 = a26 + a34 minus0003

Figure 71 ndash Diagramme agrave barres des coefficients du modegravele Sulfonation

Rapport de sulfonation

25

15

ndash

ndash

ndash

05

05

15

25

1 2 3 4 5 6

12 +

45

13 +

56

14 +

24

+ 36

16 +

35

23 +

46

26 +

34


Val

eur

des

co

effi

cien

ts



121

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


m Comment distinguer les facteurs influents

Deux facteurs lrsquoanhydride sulfurique (facteur 2) et lrsquoeacutelimination de lrsquoeau (facteur 4)sont plus eacuteleveacutes que les autres Ce sont donc eux qui vont ecirctre les plus efficacespour approcher ou atteindre lrsquoobjectif Mais y a-t-il drsquoautres facteurs influents Savoir ougrave mettre la limite entre les facteurs influents et les non influents est unequestion deacutelicate qui a eacuteteacute traiteacutee lorsqursquoon possegravede une eacutevaluation de lrsquoerreurexpeacuterimentale (chapitre 5) Comme on limite le nombre drsquoessais lors de lrsquoexeacutecu-tion drsquoun plan fractionnaire on ne possegravede pas toujours cette valeur Lrsquoanalyse dela variance apporte un deacutebut de reacuteponse mais il ne faut pas oublier que les reacutesiduslorsqursquoil y en a sont constitueacutes des interactions qui nrsquoont pas eacuteteacute calculeacutees Enfonction du modegravele postuleacute choisi on peut obtenir une RMSE (racine carreacutee du carreacutemoyen des reacutesidus) plus ou moins eacuteleveacutee Lrsquoanalyse de la variance est une reacuteponsepartielle au problegraveme poseacute Il reste deux outils permettant de se faire une ideacutee delrsquoimportance relative des coefficients Ce sont le diagramme de Pareto et lediagramme de Daniel qui vont nous aider agrave prendre une deacutecision raisonnable Cesoutils aident lrsquoexpeacuterimentateur agrave fixer une limite entre les facteurs influents etpeut-ecirctre faiblement influents Dans cette situation on peut tenir plusieurs typesde raisonnement qui se complegravetent les uns les autres sans apporter chacun unereacuteponse deacutefinitiveUn premier raisonnement consiste agrave dire que tous les effets infeacuterieurs agrave unecertaine valeur ne sont pas assez eacuteleveacutes pour modifier la reacuteponse de maniegravere inteacute-ressante Par exemple le responsable dira qursquoune variation du rapport (acidetoluegravene + xylegravenes) infeacuterieure agrave 05 ne lrsquointeacuteresse pas Dans ce cas il nrsquoy a quedeux facteurs influents Si le responsable deacutecide de mettre la limite agrave 025 il y aura4 facteurs influentsLa seconde meacutethode consiste agrave utiliser le diagramme de Pareto (Figure 72) onordonne les valeurs absolues des coefficients par ordre deacutecroissant On a donc unevue drsquoensemble de tous les coefficients Cela facilite le choix de la limite entre lesdeux populations on conserve les coefficients qui sont au-dessus drsquoune certainevaleur et on eacutelimine ceux qui sont au-dessous Il nrsquoy a pas une grande diffeacuterence defond entre ces deux premiers raisonnements agrave part que le second srsquoappuie sur undiagramme et qursquoil facilite les comparaisonsUne troisiegraveme meacutethode vient en appui des deux raisonnements preacuteceacutedents Onutilise un diagramme de Daniel les coefficients de faibles valeurs suivent unedistribution normale ils sont assimileacutes aux erreurs expeacuterimentales et ils srsquoalignentsur la droite de Henry Les coefficients de valeur eacuteleveacutee ne suivent pas une distri-bution normale et ils ne srsquoalignent pas sur la droite de Henry preacuteceacutedente Ondistingue donc deux populations les erreurs expeacuterimentales et les effets agrave prendreen compte (Figure 73) Avec le diagramme de Daniel lrsquoarbitraire de la deacutecisionest consideacuterablement diminueacuteSi on en a la possibiliteacute il faut aussi employer les autres techniques statistiques quiaident agrave prendre la bonne deacutecision Par exemple si lrsquoexpeacuterimentateur a fait desreacutepeacutetitions il a une estimation de lrsquoerreur expeacuterimentale et il peut utiliser cettedonneacutee pour obtenir la limite entre les facteurs significatifs et ceux qui ne le sont pasIl peut choisir pour limite comme il est souvent fait deux ou trois fois lrsquoeacutecart-type


122


Figure 72 ndash Diagramme de Pareto des effets de lrsquoexemple sur la sulfonation

Figure 73 ndash Diagramme de Daniel permettant de distinguer les effets importants

Diagramme de Pareto Sulfonation

0 05 1 15 2 25

2

4

5

13 +56

14+25

3

12+35

23+46

1

15+24+36

6

16+35

26+34

No

m d

es c

oef

fici

ents

Valeur des coefficients

Diagramme de Daniel - Sulfonation

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

ndash ndash ndash ndash ndash25 2 15 1 05 0 05 1 15

Effet

No

rmit

2

4

Droite de Henry



123

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


La deacutecision est baseacutee sur lrsquoerreur de mesure et la connaissance des enjeux qui permetde deacutefinir le nombre drsquoeacutecarts-types agrave prendre en compteQuel que soit le raisonnement que vous utiliserez il est toujours bon drsquoexaminerle diagramme de Pareto et le diagramme de Daniel Ils vous aident agrave prendre vosdeacutecisionsLrsquoexamen des diagrammes de Pareto et de Daniel montre qursquoil faut retenir unfacteur influent la concentration drsquoanhydre sulfurique dans lrsquoacide sulfurique (2)Cet examen montre eacutegalement que lrsquoeacutelimination de lrsquoeau (4) est peu influente Ladeacutecision de le conserver ou de lrsquoeacuteliminer ne peut pas ecirctre baseacutee sur une statistiqueIci crsquoest un raisonnement chimique qui doit guider lrsquoexpeacuterimentateur Eacutetant donneacuteque lrsquoeacutelimination de lrsquoeau modifie la concentration en acide sulfurique il est chimique-ment normal de consideacuterer le facteur 4 comme leacutegegraverement influent et de le conserverLes autres facteurs et les autres interactions sont tregraves faibles et de peu drsquointeacuterecirctpour reacutesoudre le problegravemeDans un choix il y a toujours une part drsquoarbitraire mais dans le cas des plansdrsquoexpeacuteriences ce choix nrsquoest jamais deacutefinitif et il peut ecirctre modifieacute pour donnerlieu agrave une nouvelle analyse


Lrsquoimportance relative des contrastes est indiqueacutee par le diagramme agrave barres (Fi-gure 71) le diagramme de Pareto (Figure 72) et le diagramme de Daniel (Figure 73)Les contrastes 12 13 14 15 16 23 et 26 sont faibles Drsquoapregraves lrsquohypothegravese 2tous les coefficients aliaseacutes dans ces contrastes sont nuls Il nrsquoy a donc pas drsquointer-action drsquoordre 2 entre les facteursIl ne reste que deux facteurs influents (Figure 74) la quantiteacute drsquoanhydride sulfu-rique preacutesente dans lrsquoacide sulfurique (facteur 2) et lrsquoeacutelimination de lrsquoeau en coursde reacuteaction (facteur 4)

La quantiteacute drsquoanhydride sulfurique (SO3) preacutesente dans lrsquoacide sulfurique ayantun effet neacutegatif la reacuteponse sera eacuteleveacutee si lrsquoon choisit le niveau bas crsquoest-agrave-dire dene pas mettre de SO3 dans lrsquoacide sulfurique

Figure 74 ndash Effets des deux facteurs influents

161

1139

725

Rap

po

rt d

e su

lfo

nat

ion

Anhydride sulfurique (2)

ndash1 0 +1 ndash 1 0 +1

Eacutelimination de lrsquoeau (4)


124

72 Exemple 07 le spectrofluorimegravetre7 bull Exemples de plansfactoriels fractionnaires

Lrsquoeacutelimination de lrsquoeau en cours de reacuteaction ayant un effet positif la reacuteponse seraeacuteleveacutee si lrsquoon choisit le niveau haut crsquoest-agrave-dire si on eacutelimine lrsquoeau en cours de reacuteactionCet effet est peu eacuteleveacute et pourrait ecirctre ignoreacute si lrsquoon se reacutefeacuterait simplement auxstatistiques Mais drsquoun point de vue chimique lrsquoeacutelimination de lrsquoeau augmente laconcentration en acide sulfurique et deacuteplace ainsi la reacuteaction vers la formationdrsquoacides sulfoniques On ne peut pas neacutegliger lrsquoinfluence de ce facteurLa sulfonation du benzegravene en preacutesence de toluegravene et de xylegravenes est donc minimiseacuteesi lrsquoon opegravere en milieu acide sulfurique concentreacute (mais sans anhydride sulfurique)en eacuteliminant lrsquoeau en cours de reacuteaction

72 Exemple 07 le spectrofluorimegravetre721 Preacuteparation du plan drsquoexpeacuteriences


Le benzopyregravene est un produit catalogueacute comme canceacuterigegravene Sa teneur dans leshuiles lubrifiantes doit ecirctre infeacuterieure agrave des quantiteacutes infiniteacutesimales Son analyseest donc deacutelicate et neacutecessite des moyens importants Les speacutecialistes chargeacutes demettre au point la meacutethode de dosage ont choisi la spectrofluorimeacutetrie La figure 75preacutesente le scheacutema de lrsquoappareil un faisceau lumineux issu drsquoune lampe agrave xeacutenontombe sur un premier monochromateur La lumiegravere est diffracteacutee Une lumiegravere delongueur drsquoonde bien deacutefinie ressort du monochromateur en passant par unefente la fente drsquoexcitation Ce rayon tombe sur lrsquoeacutechantillon qui en absorbe unepartie et reacuteeacutemet dans toutes les directions une lumiegravere de fluorescence Cettelumiegravere doit ecirctre analyseacutee Elle passe donc dans un deuxiegraveme monochromateurqui la reacutesout en diffeacuterentes longueurs drsquoonde Puis elle ressort en passant agrave traversune fente la fente drsquoeacutemission et elle est deacutetecteacutee par un photomultiplicateurEnfin le spectre correspondant est enregistreacute par un appareil muni drsquoun photo-multiplicateur La longueur drsquoonde drsquoun des pics du spectre est caracteacuteristique dubenzopyregravene Ce pic est situeacute agrave 481 nm et sa hauteur est proportionnelle agrave laconcentration du benzopyregravene Lrsquoobjectif de lrsquoeacutetude est drsquoobtenir un spectre debonne qualiteacute permettant de faire un dosage quantitatif du benzopyregravene Pour celail faut que la hauteur du pic agrave 481 nm soit la plus eacuteleveacutee possible il faut aussi quele petit pic situeacute agrave 489 nm soit bien deacutetacheacute du pic agrave 481 nm (Figure 75) Enfinle bruit de fond ne doit pas cacher le pic du benzopyregravene agrave 481 nm quand lateneur est faible et que ce pic est petitUn tel appareil neacutecessite des reacuteglages tregraves fins pour que la concentration enbenzopyregravene soit deacutetermineacutee avec fiabiliteacute et preacutecision

m Reacuteponses

Les expeacuterimentateurs ont deacutefini trois reacuteponses (Figure 76) ndash la sensibiliteacute (A) eacutevalueacutee par la hauteur du pic situeacute agrave 481 nm ndash le bruit de fond (B) eacutevalueacute par la distance entre lrsquoenveloppe infeacuterieure et lrsquoenve-

loppe supeacuterieure de la courbe drsquoenregistrement aux basses longueurs drsquoonde ndash la seacutelectiviteacute (C) eacutevalueacutee par la largeur agrave mi-hauteur du pic agrave 481 nm


72 Exemple 07 le spectrofluorimegravetre

125

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


Les reacuteponses A et B sont exprimeacutees en densiteacute optique


Les cibles viseacutees pour chacune des reacuteponses sont les suivantes

ndash Sensibiliteacute la hauteur du pic agrave 481 nm doit ecirctre la plus eacuteleveacutee possiblendash Seacutelectiviteacute la largeur agrave mi-hauteur du pic agrave 481 nm doit ecirctre la plus faible possiblendash Bruit de fond la distance entre les enveloppes infeacuterieure et supeacuterieure doit ecirctre

la plus faible possible

Figure 75 ndash Scheacutema drsquoun spectrofluorimegravetre

Figure 76 ndash Deacutefinition des reacuteponses sur le spectre drsquoenregistrement sensibiliteacute (A) bruit de fond (B) et seacutelectiviteacute (C)

MonochromateurMonochromateur

Eacutechantillon

Lampe au Xeacutenon

drsquoeacutemission drsquoexcitation

Fentedrsquoexcitation

Fentedrsquoeacutemission

Photomultiplicateur

Enregistreur

481 489 Longueur donde (nm)

B

C

A


126



Drsquoapregraves les experts en spectrofluorimeacutetrie sept facteurs peuvent modifier les reacuteponseschoisies ndash Facteur 1 largeur de la fente drsquoexcitationndash Facteur 2 largeur de la fente drsquoeacutemissionndash Facteur 3 tempeacuterature de lrsquoeacutechantillonndash Facteur 4 vitesse de balayagendash Facteur 5 gain de lrsquoappareilndash Facteur 6 tension du photomultiplicateurndash Facteur 7 amortissement de la plume drsquoenregistrementLe domaine drsquoeacutetude est un espace agrave 7 dimensions deacutefini par les niveaux bas et hautde chacun des facteurs (Tableau 74)


On cherche les facteurs influents et leurs sens de variation ainsi que les interactionsdrsquoordre 2Le modegravele matheacutematique choisi a priori est un modegravele polynomial classique dupremier degreacute avec les interactions drsquoordre 2 Ce modegravele matheacutematique comporte29 coefficients


Avec 8 expeacuteriences on peut deacuteterminer 8 inconnues crsquoest-agrave-dire 8 contrastesPour gagner notre pari il faut que pour chaque reacuteponse on puisse deacuteterminersans ambiguiumlteacutes les coefficients importants Si ce nrsquoest pas le cas on risque drsquoavoirun plan compleacutementaire agrave effectuerOn aliase le premier facteur suppleacutementaire le facteur 4 sur lrsquointeraction 123 duplan de base 23 On peut eacutecrire en notation de Box

4 = 123

Tableau 74 ndash Domaine drsquoeacutetude

Facteurs Niveau ndash1 Niveau +1

Fente drsquoexcitation (1) 25 nm 75 nm

Fente drsquoeacutemission (2) 25 nm 75 nm

Tempeacuterature (3) 20 ˚C 40 ˚C

Vitesse balayage (4) 20 100

Gain (5) 1 10

Tension (6) 310 V 460 V

Amortissement (7) 2 4



127

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


Puis on aliase les facteurs suivants ainsi

5 = 12

6 = 23

7 = 13

On en deacuteduit les 4 geacuteneacuterateurs drsquoaliases indeacutependants

I = 1234 = 125 = 236 = 137

Lrsquoexpeacuterimentateur ne preacutevoit pas de point de controcircle car il sait qursquoil ne proceacutederaagrave aucune modeacutelisation pour faire des preacutevisions

m Construction du plan

Pour construire le plan 27-4 il suffit de prendre le plan de base 23 (Tableau 69 duchapitre 6) et drsquoattribuer les facteurs suppleacutementaires aux interactions

m Confusions

Les quatre geacuteneacuterateurs drsquoaliases indeacutependants I = 1234 = 125 = 236 = 137permettent de calculer les geacuteneacuterateurs drsquoaliases deacutependants on multiplie au sensdu calcul de Box les geacuteneacuterateurs drsquoaliases indeacutependants deux par deux trois partrois et quatre par quatre On obtient

1234 times 125 = 345 1234 times 236 = 146 1234 times 137 = 247


1234 times 125 times 236 = 2456 1234 times 125 times 137 = 1457

1234 times 236 times 137 = 3467

125 times 236 times 137 = 567

1234 times 125 times 236 times 137 = 1234567

Tableau 75 ndash Plan fractionnaire 27-4

Essai n˚ 1 2 3 4 = 123 5 = 12 6 = 23 7 = 13


2 + ndash ndash + ndash + ndash

3 ndash + ndash + ndash ndash +



6 + ndash + ndash ndash ndash +

7 ndash + + ndash ndash + ndash

8 + + + + + + +


128


Soit le geacuteneacuterateur complet qui comprend 16 termes

I = 1234 = 125 = 236 = 137 = 345 = 146 = 247 = 12356 = 2357 = 1267 = 2456 = 1457 = 3467 = 567 = 1234567

Pour obtenir les coefficients aliaseacutes dans le contraste 1 on multiplie les geacuteneacutera-teurs drsquoaliases par 1 Les geacuteneacuterateurs perdent un chiffre srsquoils possegravedent un 1 ouaugmentent drsquoun chiffre srsquoils ne possegravedent pas de 1 Comme nous avons supposeacuteque les interactions drsquoordre 3 eacutetaient neacutegligeables nous pouvons eacuteliminer du geacuteneacute-rateur complet les geacuteneacuterateurs de plus de 4 chiffres Drsquoougrave le geacuteneacuterateur completsimplifieacute

I = 234 = 125 = 236 = 137 = 345 = 146 = 247 = 567

Ce geacuteneacuterateur complet simplifieacute permet de savoir comment sont aliaseacutes les effetsprincipaux et les interactions drsquoordre 2 pour ce plan fractionnaire

1 = a1 + a25 + a37 + a46

2 = a2 + a15 + a36 + a47

3 = a3 + a17 + a26 + a45

4 = a4 + a16 + a27 + a35

5 = a5 + a12 + a34 + a67

6 = a6 + a14 + a23 + a57

7 = a7 + a13 + a24 + a56

722 Reacutealisation des essais

Les essais sont reacutealiseacutes en accord avec le plan drsquoexpeacuteriences et les reacutesultats sontnoteacutes dans le tableau 76

Tableau 76 ndash Reacuteponses du plan initial

Essai n˚ Sensibiliteacute Seacutelectiviteacute Bruit de fond

1 122 55 minus147

2 09 9 minus147

3 533 20 23

4 564 12 minus069

5 389 75 069

6 388 8 04

7 282 13 026

8 233 23 minus391



129

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


723 Interpreacutetation des reacutesultats du plan initial


Un examen montre qursquoil nrsquoy a pas de correacutelations marqueacutees entre les trois reacuteponsesOn va donc les analyser les unes apregraves les autres On preacutepare les calculs en choisis-sant un modegravele contenant les facteurs principaux et les interactions drsquoordre 2Examinons drsquoabord la sensibiliteacute

m Reacuteponse Sensibiliteacute

On sait que les valeurs indiqueacutees sont celles des contrastes (Tableau 77 et Figure 77)Lrsquointerpreacutetation se fait donc en regardant la structure des aliases et en appliquantles regravegles drsquointerpreacutetation

Deux contrastes sont forts 2 et 6

Il faut se meacutefier de lrsquointeraction 26 (hypothegravese 3) Lrsquointeraction 26 est aliaseacutee aveclrsquoeffet du facteur 3 lrsquointeraction 17 et lrsquointeraction 45 dans le contraste 3 Lecontraste 3 est pratiquement nul Drsquoapregraves lrsquohypothegravese 2 tous les coefficients de cecontraste sont nuls Lrsquointeraction 26 peut donc ecirctre neacutegligeacutee

Srsquoil nrsquoy avait que la reacuteponse Sensibiliteacute lrsquoeacutetude serait termineacutee et lrsquoon saurait qursquoilnrsquoy a que deux facteurs influents la fente drsquoeacutemission (facteur 2) et la tension duphotomultiplicateur (facteur 6) On peut veacuterifier cette conclusion en choisissantun modegravele avec ces deux facteurs et leur interaction Ce modegravele possegravede un coeffi-cient de deacutetermination de 099 Le diagramme des effets indique que les niveauxqui favorisent une forte sensibiliteacute sont le niveau haut pour le facteur 2 et le niveaubas pour le facteur 6 (Figure 78)

Tableau 77 ndash Coefficients du modegravele Sensibiliteacute (uniteacutes codeacutees)

Effet Valeur

0 (constante) 325

1 minus006

2 078

3 minus002

4 minus014

5 0018

6 minus143

7 minus006


130


m Reacuteponse Bruit de fond

On megravene les calculs de la mecircme maniegravere que pour la sensibiliteacute crsquoest-agrave-dire quelrsquoon considegravere un modegravele avec toutes les interactions drsquoordre 2 La structure desaliases est la mecircme que pour la sensibiliteacute Lrsquoanalyse des reacutesultats se conduit de lamecircme maniegravere

ndash Trois contrastes sont forts 1 5 et 6 (Tableau 78 et Figure 79)ndash Il faut donc se meacutefier des interactions 15 16 et 56 (hypothegravese 3)ndash Lrsquointeraction 15 est aliaseacutee avec lrsquoeffet du facteur 2 lrsquointeraction 36 et lrsquointer-

action 47 dans le contraste 2 Le contraste 2 est pratiquement nul Drsquoapregraves

Figure 77 ndash Diagramme agrave barres des aliases (sensibiliteacute)

Figure 78 ndash Diagramme des effets des facteurs influents sur la sensibiliteacute

Les aliases de la Sensibiliteacute

ndash2

15

ndash1

ndash

ndash

05

0

05

1

15

2

1+25

+37+

46

2+15

+36+

47

3+17

+26+

45

4+16

+27+

35

5+12

+34+

67

6+14

+23+

57

7+13

+24+

56

Nom des aliases

Val

eur

des

alia

ses

564

325

09

Sen

sib

iliteacute

Fente deacutemission (2)

ndash 1 0 +1 ndash 1 0 +1

Tension photomutiplicateur (6)



131

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


lrsquohypothegravese 2 tous les coefficients de ce contraste sont nuls Lrsquointeraction 15peut donc ecirctre neacutegligeacutee

ndash Lrsquointeraction 16 est aliaseacutee avec lrsquoeffet du facteur 4 lrsquointeraction 27 et lrsquointerac-tion 35 dans le contraste 4 Le contraste 4 est pratiquement nul Drsquoapregraveslrsquohypothegravese 2 tous les coefficients de ce contraste sont nuls Lrsquointeraction 16peut donc ecirctre neacutegligeacutee

ndash Lrsquointeraction 56 est aliaseacutee avec lrsquoeffet du facteur 7 lrsquointeraction 13 et lrsquointer-action 24 dans le contraste 7 Le contraste 7 est pratiquement nul Drsquoapregraveslrsquohypothegravese 2 tous les coefficients de ce contraste sont nuls Lrsquointeraction 56peut donc ecirctre neacutegligeacutee

Tableau 78 ndash Coefficients du modegravele Bruit de fond (uniteacutes codeacutees)

Effet Valeur

0 (constante) minus0486

1 minus0931

2 minus0024

3 minus0154

4 minus0111

5 minus0858

6 minus1161

7 minus0183

Figure 79 ndash Diagramme agrave barres des aliases (bruit de fond)

Les aliases du Bruit de fond

ndash

ndash

ndash

ndash

2

15

1

05

0

05

1

15

2

1+25+37+46

2+15+36+47

3+17+26+45

4+16+27+35

5+12+34+67

6+14+23+57

7+13+24+56

Nom des aliases

Val

eur

des

alia

ses


132


Le bruit de fond est influenceacute par la fente drsquoexcitation (facteur 1) par le gain delrsquoappareil (facteur 5) et par la tension du photomultiplicateur (facteur 6) Il nrsquoy apas drsquointeractions entre ces facteursOn peut veacuterifier cette conclusion en choisissant un modegravele avec ces trois facteurset leurs interactions Le modegravele a un coefficient de deacutetermination de 099 Lesniveaux bas des trois facteurs Fente drsquoexcitation (1) Gain de lrsquoappareil (5) etTension du photomultiplicateur (6) favorisent un faible bruit de fond (Figure 710)

Srsquoil nrsquoy avait que les deux reacuteponses Sensibiliteacute et Bruit de fond lrsquoeacutetude seraittermineacutee et lrsquoon saurait qursquoil y a

ndash deux facteurs influents sur la sensibiliteacute la fente drsquoeacutemission (facteur 2) et latension du photomultiplicateur (facteur 6) Il nrsquoy a pas drsquointeraction entre cesdeux facteurs

ndash trois facteurs influents sur le bruit de fond la fente drsquoexcitation (facteur 1) legain de lrsquoappareil (facteur 5) et la tension du photomultiplicateur (facteur 6)Il nrsquoy a pas drsquointeraction entre ces trois facteurs

m Reacuteponse Seacutelectiviteacute

Les calculs sont meneacutes de la mecircme maniegravere que pour la sensibiliteacute et le bruit defond crsquoest-agrave-dire que lrsquoon prend un modegravele avec toutes les interactions drsquoordre 2La structure des aliases est donc la mecircme que pour la sensibiliteacute et le bruit de fondLrsquoanalyse des reacutesultats se conduit de la mecircme maniegravere


action 56 dans le contraste 7 Le contraste 7 nrsquoest pas faible et par conseacutequenton ne peut pas appliquer lrsquohypothegravese 2 On ne peut pas savoir si le contraste 7est fort agrave cause de lrsquoeffet du facteur 7 ou de lrsquointeraction 24 Il y a ambiguiumlteacute

ndash Lrsquointeraction 27 est aliaseacutee avec lrsquoeffet du facteur 4 lrsquointeraction 16 et lrsquointer-action 35 dans le contraste 4 Le contraste 4 ne peut pas ecirctre neacutegligeacute et donc

Figure 710 ndash Diagramme des effets des facteurs influents sur le bruit de fond

23

ndash 048

ndash 391

Bru

it d

e fo

nd

Fente drsquoexcitation (1)

1 0 +1 ndash ndashndash 1 0 +1

Gain (5)

Tension photomultiplicateur (6)

1 0 +1



133

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


lrsquohypothegravese 2 ne srsquoapplique pas On ne peut pas savoir si le contraste 4 est fortagrave cause de lrsquoeffet du facteur 4 ou de lrsquointeraction 27 Il y a ambiguiumlteacute

ndash Lrsquointeraction 47 est aliaseacutee avec lrsquoeffet du facteur 2 lrsquointeraction 15 et lrsquointer-action 36 dans le contraste 2 Le contraste 2 ne peut pas ecirctre neacutegligeacute et donclrsquohypothegravese 2 ne srsquoapplique pas On ne peut pas savoir si le contraste 2 est fortagrave cause de lrsquoeffet du facteur 2 ou de lrsquointeraction 47 Il y a ambiguiumlteacute

La reacuteponse Seacutelectiviteacute nous oblige agrave envisager un plan compleacutementaire pourdeacutesaliaser

ndash lrsquoeffet du facteur 2 (fente drsquoeacutemission) de lrsquointeraction 47 ndash lrsquoeffet du facteur 4 (vitesse balayage) de lrsquointeraction 27 ndash lrsquoeffet du facteur 7 (amortissement) de lrsquointeraction 24

Tableau 79 ndash Coefficients du modegravele Seacutelectiviteacute (uniteacutes codeacutees)

Effet Valeur

0 (constante) 1225

1 075

2 475

3 0625

4 2625

5 minus025

6 0375

7 1875

Figure 711 ndash Diagramme agrave barres des aliases (seacutelectiviteacute)

Les aliases de la Seacutelectiviteacute

-2

-1

0

1

2

3

4

5

1+25+37+46

2+15+36+47

3+17+26+45

4+16+27+35

5+12+34+67

6+14+23+57

7+13+24+56

Nom des aliases

Val

eur

des

alia

ses


134


m Bilan provisoire des reacutesultats acquis

Avant drsquoattaquer le plan compleacutementaire on peut faire le point sur les renseigne-ments deacutejagrave acquis Dans le tableau 710 on indique les niveaux qui sont favorablesaux objectifs qui ont eacuteteacute deacutefinis

On constate que ndash Le facteur 1 nrsquoagit que sur le bruit de fondndash Le facteur 2 agit sur la sensibiliteacute et peut-ecirctre sur la seacutelectiviteacutendash Le facteur 3 nrsquoa aucune influence sur les reacuteponsesndash Si le facteur 4 agit crsquoest uniquement sur la seacutelectiviteacutendash Le facteur 5 nrsquoagit que sur le bruit de fondndash Le facteur 6 agit sur la sensibiliteacute et sur le bruit de fond Les niveaux de reacuteglage

sont incompatibles Cela nrsquoest pas pour surprendre car si les reacuteglages augmentent(ou diminuent) la densiteacute optique ils augmenteront (ou diminueront) aussibien le pic agrave 481 nm que le bruit de fond

ndash Si le facteur 7 agit crsquoest uniquement sur la seacutelectiviteacute

724 Eacuteleacutements pour construire le plan compleacutementaire

Le plan compleacutementaire doit permettre drsquoobtenir lrsquoeffet du facteur 2 sans les inter-actions 15 36 et 47 crsquoest-agrave-dire qursquoil faut trouver le plan ayant comme contraste

cent2 = a2 ndash a15 ndash a36 ndash a47

Ce contraste correspond aux confusions 2 = minus15 = minus36 = minus47

En multipliant par 2 on obtient trois geacuteneacuterateurs du plan chercheacute I = minus125 = minus236 = minus247

Comme il faut quatre geacuteneacuterateurs on reprend I = 1234

Tableau 710 ndash Niveaux favorables des facteurs influents sur les reacuteponses

Facteurs Sensibiliteacute Bruit de fond Seacutelectiviteacute

Fente drsquoexcitation (1) +

Fente drsquoeacutemission (2) +

Tempeacuterature (3)

Vitesse balayage (4)

Gain (5) +

Tension (6) ndash +

Amortissement (7)



135

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


Pour associer le geacuteneacuterateur minus247 avec une interaction du plan de base on peutremplacer 4 par 123

minus247 = minus21237 = minus137Drsquoougrave les quatre geacuteneacuterateurs indeacutependants du plan compleacutementaire

I = minus125 = minus236 = minus137 = 1234On en deacuteduit les colonnes de signes du plan compleacutementaire On applique lecalcul de Box en multipliant les geacuteneacuterateurs indeacutependants par 4 5 6 et 7

4 = 1235 = minus126 = minus237 = minus13

Il faut donc changer les signes des colonnes des facteurs 5 6 et 7Veacuterifions que ce choix deacutesaliase bien lrsquoeffet du facteur 2 de lrsquointeraction 47 Leplan initial fournit un contraste 2 dont la structure est

2 = a2 + a15 + a36 + a47

Le plan compleacutementaire fournit un contraste cent2 dont la structure est cent2 = a2 ndash a15 ndash a36 ndash a47

Lrsquoanalyse des deux plans donnera la somme et la diffeacuterence de ces deux contrastes on obtiendra drsquoune part lrsquoeffet du facteur 2 seul drsquoautre part la somme des troisinteractions

Lrsquoeffet du facteur 2 est bien deacutesaliaseacute de lrsquointeraction 47Ce qui est vrai pour le facteur 2 est vrai pour les autres facteurs drsquoune maniegraveregeacuteneacuterale les effets des facteurs seront deacutesaliaseacutes des interactions drsquoordre 2 et celles-ciresteront aliaseacutees entre elles

m Construction du plan compleacutementaire

Pour construire le plan compleacutementaire on change simplement les signes des inter-actions 12 13 et 23

Tableau 711 ndash Plan fractionnaire compleacutementaire 27-4

Essai n˚ 1 2 3 4 = 123 5 = ndash12 6 = ndash23 7 = ndash13

9 ndash ndash ndash ndash ndash ndash ndash

10 + ndash ndash + + ndash +

11 ndash + ndash + + + ndash

12 + + ndash ndash ndash + +

13 ndash ndash + + ndash + +

14 + ndash + ndash + + ndash

15 ndash + + ndash + ndash +

16 + + + + ndash ndash ndash

l2 prime2+

2----------------- a2=2 + cent2 l2 prime2+

2----------------- a15 a36 a47+ +=2 ndash cent2


136


On exeacutecute ces 8 nouveaux essais et on mesure les 3 reacuteponses

m Confusions (plan initial et plan compleacutementaire)

On possegravede maintenant un plan 27-3 de 16 essais dont le geacuteneacuterateur indeacutependantest

I = 1234 = 3467 = 1356 = 1457 = 1267 = 1356 = 2357On voit que les facteurs principaux sont aliaseacutes avec des interactions drsquoordre 3 ouplus eacuteleveacute Comme drsquoapregraves lrsquohypothegravese 1 ces interactions sont neacutegligeables lescontrastes des effets principaux sont eacutegaux aux effetsLes interactions drsquoordre 2 sont aliaseacutees entre elles trois par trois

12 = a12 + a34 + a67

13 = a13 + a24 + a56

14 = a14 + a23 + a57

15 = a15 + a36 + a47

16 = a16 + a35 + a27

17 = a17 + a26 + a45

25 = a25 + a37 + a46

En particulier lrsquoeffet du facteur 2 est deacutesaliaseacute de lrsquointeraction 47 lrsquoeffet du facteur 4 estdeacutesaliaseacute de lrsquointeraction 27 et lrsquoeffet du facteur 7 est deacutesaliaseacute de lrsquointeraction 24On va drsquoabord analyser la seacutelectiviteacute pour savoir si les deux plans reacuteunis sont suffi-sants pour expliquer cette reacuteponse Si oui on pourra srsquoarrecircter sinon on continueralrsquoexpeacuterimentation en ajoutant les essais qui permettront de lever les nouvellesambiguiumlteacutesOn veacuterifie ensuite que les analyses faites sur les reacuteponses Sensibiliteacute et Bruit defond sont confirmeacutees sur les 16 essais

Tableau 712 ndash Reacuteponses du plan compleacutementaire


9 414 35 356

10 318 12 minus241

11 282 14 139

12 274 14 minus19

13 244 8 minus062

14 098 6 minus322

15 566 14 002

16 563 14 minus161



137

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


m Les trois reacuteponses analyseacutees sur seize essais

On reprend lrsquoensemble des 16 essais et on refait les calculs On obtient les coefficientset non les contrastes pour les effets principaux Les interactions sont regroupeacuteesdans les contrastes (Tableau 713)

Les expeacuterimentateurs ont consideacutereacute que toutes les interactions eacutetaient insuffisam-ment importantes pour modifier de maniegravere inteacuteressante les reacuteglages de lrsquoappareil(Figure 712) Dans ce cas seuls les effets principaux sont agrave prendre en compte Ilnrsquoy a donc que trois facteurs influents sur la seacutelectiviteacute et il nrsquoy a pas drsquointeractionsimportantes entre ces facteursLa seacutelectiviteacute qui est mesureacutee par la largeur du pic agrave mi-hauteur sera bonne si cettelargeur est petite Il faut donc reacutegler les facteurs 2 4 et 7 aux niveaux bas (Figure 713)Pour la sensibiliteacute on retrouve bien les deux facteurs importants la fente drsquoeacutemission(facteur 2) et la tension du photomultiplicateur (facteur 6) Il nrsquoy a pas drsquointeractions

Tableau 713 ndash Coefficients (sensibiliteacute bruit de fond seacutelectiviteacute)

Effet Sensibiliteacute Bruit de fond Seacutelectiviteacute

Constante 335 minus054 1147

Fente drsquoexcitation (1) minus019 minus131 078

Fente drsquoeacutemission (2) 077 002 403

Tempeacuterature (3) 010 minus046 022

Vitesse balayage (4) minus0035 minus016 197

Gain (5) minus013 minus066 028

Tension (6) minus132 minus082 009

Amortissement (7) minus0002 minus041 159

12 = 12 + 34 + 67 015 minus020 minus053

13 = 13 + 24 + 56 minus0058 022 028

14 = 14 + 23 + 57 minus0115 minus034 028

15 = 15 + 36 + 47 0007 minus005 072

16 = 16 + 27 + 35 minus010 005 066

17 = 17 + 26 + 45 minus012 030 041

25 = 25 + 37 + 46 0126 038 minus003


138


importantes entre ces facteurs Pour obtenir une bonne sensibiliteacute il faut reacutegler lefacteur 2 au niveau haut et le facteur 6 au niveau basPour le bruit de fond on retrouve bien que les trois facteurs importants sont lafente drsquoexcitation (facteur 1) le gain du photomultiplicateur (facteur 5) et latension du photomultiplicateur (facteur 6) Il nrsquoy a pas drsquointeractions importantesentre ces facteurs Pour obtenir un faible bruit de fond il faut reacutegler les facteurs 15 et 6 au niveau haut


Nous devons rassembler lrsquoensemble des conclusions obtenues sur chaque reacuteponsepour faire le bilan de lrsquointerpreacutetation Les reacutesultats que nous avions consigneacutes dans

Figure 712 ndash Diagramme agrave barres des effets et des aliases des trois reacuteponses

Figure 713 ndash Diagramme des effets des facteurs influents sur la seacutelectiviteacute

Effets des facteurs sur les trois reacuteponses

-2

-1

0

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6 7

12+34+67

13+24+56

14+23+57

15+36+47

16+27+35

17+26+45

25+37+46

Nom des effets et des aliases

Val

eur

des

eff

ets

et d

es

alia

ses

Sensibiliteacute Bruit de fond Seacutelectiviteacute

23

114

ndash 35

Seacutel

ecti

viteacute

Fente drsquoeacutemission (2)

ndash ndash ndash1 0 +1 1 0 +1

Balayage (4)

Amortissement (7)

1 0 +1



139

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


le tableau 710 sont confirmeacutes pour la sensibiliteacute et le bruit de fond Nous pouvonsmaintenant le compleacuteter pour la seacutelectiviteacute (Tableau 714)

Sur les 7 facteurs 5 sont faciles agrave reacutegler

ndash La fente drsquoexcitation (facteur 1) doit ecirctre reacutegleacutee agrave 75 nm pour diminuer le bruitde fond

ndash La tempeacuterature de lrsquoeacutechantillon (facteur 3) nrsquoa aucune influence sur les reacuteponsesElle peut donc varier entre 20 et 40 ˚C

ndash La vitesse de balayage (facteur 4) doit ecirctre reacutegleacutee agrave 20 pour reacuteduire la largeur dupic agrave mi-hauteur (seacutelectiviteacute)

ndash Le gain (facteur 5) doit ecirctre reacutegleacute sur 10 pour abaisser le bruit de fondndash Lrsquoamortissement (facteur 7) doit ecirctre reacutegleacute sur 2 pour favoriser la seacutelectiviteacute

Deux facteurs sont deacutelicats agrave reacutegler

ndash Si la tension du photomultiplicateur (facteur 6) est reacutegleacutee sur 310 V la sensibiliteacutesera eacuteleveacutee mais le bruit de fond sera important Inversement si la tension duphotomultiplicateur est de 460 V il y aura peu de bruit de fond mais la sensibiliteacutesera diminueacutee Il faudra trouver le meilleur compromis entre ces deux reacuteponses

ndash Une large fente drsquoeacutemission (facteur 2) augmente la sensibiliteacute mais deacutegrade laseacutelectiviteacute Une fente drsquoeacutemission eacutetroite ameacuteliore la seacutelectiviteacute mais deacutegrade lasensibiliteacute Il faudra reacutegler la largeur de cette fente pour trouver le meilleurcompromis entre ces deux reacuteponses

Un spectre a eacuteteacute reacutealiseacute avec ces reacuteglages (Figure 714) Le pic agrave 481 nm est eacuteleveacute etse deacutetache bien de celui situeacute agrave 489 nm le bruit de fond a pratiquement disparuDans la pratique on pourra reacutegler les cinq premiers facteurs aux niveaux conseilleacuteset reacutealiser un plan drsquooptimisation avec les deux autres facteurs tension du photo-multiplicateur et fente drsquoeacutemission pour trouver le meilleur compromis en fonc-tion de la concentration en benzopyregravene et de la preacutesence drsquoimpureteacutes dans lessolutions agrave analyser




Fente drsquoeacutemission (2) + ndash


Vitesse balayage (4) ndash

Gain (5) +

Tension (6) ndash +

Amortissement (7) ndash


140

73 Exemple 08 les pommes de terre chips7 bull Exemples de plansfactoriels fractionnaires

73 Exemple 08 les pommes de terre chips



Les chips sont de fines tranches de pommes de terre que lrsquoon laisse frire dans unbain drsquohuile Ces chips sont agreacuteables agrave manger agrave condition de ne pas trop sentirlrsquohuile Agrave la fin de la cuisson la plus grosse partie de lrsquohuile est extraite sous unepression de 40 MPa pendant 1 heure agrave 60 ˚C Puis les chips sont soumises agrave untraitement de finition qui eacutelimine encore de lrsquohuile Il srsquoagit drsquoun traitement sousune pression de 10 MPa pendant 30 min sous un deacutebit de 700 kgh de gaz carbo-nique surpercritique Enfin les chips sont saleacutees et empaqueteacutees Il y a plusieurstypes de chips des petites ou des grandes et des plates ou des strieacutees

m Reacuteponses

Les responsables de la fabrication ont deacutefini deux reacuteponses

ndash la quantiteacute drsquohuile retireacutee qui est eacutevalueacutee en poidsndash le goucirct des chips qui est eacutevalueacute par un jury constitueacute drsquoexperts qui mettent la

note 0 si la qualiteacute est mauvaise et 10 si elle est bonne

Figure 714 ndash Spectre enregistreacute avec les conditions optimales deacutefinies agrave lrsquoaide du plan drsquoexpeacuteriences




141

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



Lrsquoobjectif de lrsquoeacutetude est de seacutelectionner les facteurs les plus influents sur les deuxreacuteponses choisies Il srsquoagit drsquoune eacutetude preacuteliminaire devant servir agrave preacuteparer unplan de modeacutelisation Il srsquoagit donc drsquoune eacutetude de criblage faisant intervenir un grandnombre de facteurs


Les facteurs retenus couvrent lrsquoensemble du processus de deacuteshuilage depuis lrsquoextractionjusqursquoau salage Neuf facteurs pouvant ecirctre influents ont eacuteteacute recenseacutes ndash Facteur 1 pression drsquoextraction de lrsquohuilendash Facteur 2 tempeacuterature drsquoextraction de lrsquohuilendash Facteur 3 dureacutee drsquoextraction de lrsquohuilendash Facteur 4 pression de seacuteparation de lrsquohuilendash Facteur 5 tempeacuterature de seacuteparation de lrsquohuilendash Facteur 6 deacutebit du gaz carbonique surpercritiquendash Facteur 7 quantiteacute de sel ajouteacutee aux chipsndash Facteur 8 taille des chipsndash Facteur 9 type de chipsLe domaine drsquoeacutetude est deacutefini par les niveaux bas et haut de chacun des facteurs(Tableau 715)


On cherche les facteurs influents et leurs sens de variation Le modegravele matheacutema-tique postuleacute est un simple modegravele polynomial ne faisant intervenir que les termesdu premier degreacute

y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5 + a6x6 + a7x7 + a8x8 + a9x9 71


Facteurs Uniteacutes Niveau ndash1 Niveau +1

Pression drsquoextraction (1) MPa 30 50

Tempeacuterature drsquoextraction (2) ˚C 50 70

Dureacutee drsquoextraction (3) min 45 75

Pression de seacuteparation (4) MPa 5 15

Tempeacuterature de seacuteparation (5) ˚C 25 40

Deacutebit CO2 (6) kgh 600 800

Sel (7) g 0 1

Taille (8) petite grande

Type (9) plat strieacute


142


On adopte le mecircme modegravele pour les deux reacuteponses


Il y a 10 inconnues agrave deacuteterminer la constante et les 9 effets principaux Il fautdonc au moins 10 essais Le plan classique le plus proche est un plan de Plackett etBurman de 12 essaisCes plans peuvent se construire agrave la main en suivant les regravegles eacutenonceacutees par Plackettet Burman mais il est plus commode de faire appel agrave un logiciel de plans drsquoexpeacute-riences Ces plans comportent un nombre drsquoessais multiple de 4 Les plans facto-riels 2k comportent eacutegalement un nombre drsquoessais multiple de 4 Cela provient dufait que tous ces plans agrave deux niveaux sont construits sur des matrices drsquoHadamardqui comportent un nombre de lignes (ou de colonnes) multiple de 4 Ces matricesdrsquoHadamard possegravedent lrsquoimportante proprieacuteteacute drsquoorthogonaliteacute crsquoest-agrave-dire que leproduit scalaire de deux colonnes quelconques est eacutegal agrave 0Lrsquohabitude a eacuteteacute prise drsquoappeler plan factoriel (complet ou fractionnaire) tous lesplans ayant un nombre drsquoessais eacutegal agrave 2k et drsquoappeler tous les autres plans de Plackettet Burman Ainsi un plan de 12 essais est un plan de Plackett et Burman mais unplan de 16 essais est un plan factoriel Cette distinction se justifie car les proprieacuteteacutesde ces plans sont un peu diffeacuterentes Par exemple les aliases des plans factorielspeuvent se calculer avec le calcul de Box mais les aliases des plans de Plackett etBurman ne peuvent pas se calculer avec le calcul de Box

Tableau 716 ndash Plan drsquoexpeacuteriences de Plackett et Burman de 12 essais

Essai n˚ PE Te DE PS TS CO2 Sel Taille Type

1 1 minus1 1 minus1 minus1 minus1 1 1 minus1

2 1 1 minus1 1 minus1 minus1 minus1 1 minus1

3 minus1 1 1 minus1 1 minus1 minus1 minus1 minus1

4 1 minus1 1 1 minus1 1 minus1 minus1 1

5 1 1 minus1 1 1 minus1 1 minus1 1

6 1 1 1 minus1 1 1 minus1 1 1

7 minus1 1 1 1 minus1 1 1 minus1 minus1

8 minus1 minus1 1 1 1 minus1 1 1 1

9 minus1 minus1 minus1 1 1 1 minus1 1 minus1

10 1 minus1 minus1 minus1 1 1 1 minus1 minus1

11 minus1 1 minus1 minus1 minus1 1 1 1 1

12 minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 1



143

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



Les reacutesultats de lrsquoexpeacuterimentation figurent dans le tableau 717

733 Interpreacutetation des reacutesultats du plan et conclusion

m Reacuteponse Huile

Agrave partir des reacutesultats expeacuterimentaux obtenus sur lrsquohuile on calcule la valeur descoefficients de chaque facteur en utilisant le modegravele simplifieacute 71 Ces valeursfigurent dans le tableau 718 et sont illustreacutees par la figure 715 Deux facteurssont nettement influents la pression drsquoextraction (1) et la pression de seacutepara-tion (4) Les autres facteurs ne jouent aucun rocircle important sur lrsquoeacutelimination delrsquohuile


ndash 30 50 45 5 25 600 0 petite plat

+ 50 70 75 15 40 800 1 grande strieacute

Tableau 717 ndash Reacuteponses du plan

Essai n˚ Huile Goucirct

1 504 8

2 539 1

3 458 5

4 554 1

5 533 4

6 501 2

7 504 7

8 498 7

9 492 3

10 506 7

11 449 9

12 457 5

Tableau 716 ndash Plan drsquoexpeacuteriences de Plackett et Burman de 12 essais (Suite)


144


Les effets eacutetant positifs on extrait plus drsquohuile agrave forte pression qursquoagrave faible pression

Tableau 718 ndash Coefficients du modegravele Huile (uniteacutes codeacutees)

Effet Valeur p-value

Constante 4996 lt 00001

Pression drsquoextraction (1) 232 00025

Tempeacuterature drsquoextraction (2) minus022 01943

Dureacutee drsquoextraction (3) 036 00921

Pression de seacuteparation (4) 204 00033

Tempeacuterature de seacuteparation (5) minus016 03085

Deacutebit CO2 (6) 014 03495

Sel (7) minus006 06674

Taille (8) minus024 01748

Type (9) minus009 05153

Figure 715 ndash Coefficients du modegravele de la reacuteponse Huile

Huile

ndash 25

ndash 15

ndash 05

05

15

25

1 2 3 4 5 6 7 8 9


Va

leu

r d

es

co

effi

cie

nts



145

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


m Reacuteponse Goucirct

La reacuteponse Goucirct est traiteacutee de la mecircme maniegravere que la reacuteponse Huile Le tableau 719et la figure 716 montrent qursquoil y a un seul facteur tregraves influent le sel (7) et deuxfacteurs influents la pression drsquoextraction (1) et la pression de seacuteparation (4)

On ameacuteliore le goucirct si lrsquoon met du sel

Tableau 719 ndash Coefficients du modegravele Goucirct (uniteacutes codeacutees)


Constante 49 00003

Pression drsquoextraction (1) minus108 00059

Tempeacuterature drsquoextraction (2) minus 025 00955


Pression de seacuteparation (4) minus108 00059


Deacutebit CO2 (6) minus008 04226

Sel (7) 208 00016

Taille (8) 008 04226

Type (9) minus025 00955

Figure 716 ndash Coefficients du modegravele de la reacuteponse Goucirct

Goucirct

25

15

ndash

ndash

ndash

05

05

15

25

1 2 3 4 5 6 7 8 9


Val

eur

des

co

effi

cien

ts


146


Les chips sont donc meilleures au niveau bas des pressions drsquoextraction et de seacutepa-ration Or crsquoest pour ce niveau que lrsquoon retire le moins drsquohuile Les chips ont doncmoins de goucirct quand on retire trop drsquohuile On voit bien la difficulteacute de cettefabrication srsquoil y a trop drsquohuile les chips sont grasses et srsquoil nrsquoy a pas assez drsquohuileelles manquent de moelleux La quantiteacute drsquohuile qui reste sur les chips doit doncecirctre bien eacutequilibreacutee On comprend pourquoi un plan drsquooptimisation est neacuteces-saire il faut trouver le bon eacutequilibre entre le sel et lrsquohuile restante dans les chipsUn plan faisant intervenir les trois facteurs le sel la pression drsquoextraction et lapression de seacuteparation devrait apporter la solution chercheacutee Agrave travers cetexemple on voit tout lrsquointeacuterecirct drsquoun plan de criblage qui eacutelimine tous les facteursne jouant qursquoun rocircle mineur sur les reacuteponses eacutetudieacutees


147

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

8 bull ORDRE DES ESSAIS

Est-il indiffeacuterent de reacutealiser les essais dans un ordre ou dans un autre Pourreacutepondre agrave cette question il faut tenir compte de plusieurs eacuteleacutements les uns prati-ques les autres theacuteoriques Le choix de lrsquoordre des essais srsquoeffectuera en tenantcompte de ces deux aspectsDes impeacuteratifs expeacuterimentaux peuvent imposer un ordre Par exemple une piegravece enverre doit prendre deux positions dans un montage drsquoeacutetude Pour eacuteviter de la casser enla deacuteplaccedilant plusieurs fois il peut ecirctre avantageux de reacutealiser la seacutequence des essais desniveaux bas puis ensuite la seacutequence des essais des niveaux hauts On ne la deacuteplaceraainsi qursquoune fois La mise en eacutequilibre thermique drsquoun four peut ecirctre tregraves longue agraveeacutetablir et lrsquoexpeacuterimentateur ne tient pas agrave la refaire plusieurs fois On pourrait trouverdrsquoautres exemples ou les conditions mecircmes des expeacuteriences imposent un ordre dereacutealisation des essais qursquoil srsquoagisse de contraintes mateacuterielles temporelles ou autresLrsquoexpeacuterimentateur peut soupccedilonner une eacutevolution dans le temps ou dans lrsquoespacedu pheacutenomegravene qursquoil eacutetudie et donc des variations systeacutematiques de la reacuteponse oudes reacuteponses Il devra en tenir compte Si lrsquoeacutevolution est reacuteguliegravere par exemplelrsquousure drsquoune piegravece meacutecanique ou le vieillissement drsquoun produit il y a deacuterive et leplan drsquoexpeacuteriences devra ecirctre ordonneacute pour la mesurer ou lrsquoeacutecarter des reacutesultatsimportants On peut utiliser des plans anti-deacuterive etou ajouter des points de controcirclepour suivre lrsquoeacutevolution de cette deacuteriveIl se peut que le lieu ou le moment ougrave lrsquoon effectue les essais affecte les reacutesultats delrsquoexpeacuterimentation Par exemple les mesures effectueacutees le matin peuvent ecirctre systeacute-matiquement plus fortes que celles de lrsquoapregraves-midi Lrsquoexpeacuterimentateur devra menerses expeacuteriences en conseacutequence Il se peut encore que lrsquoon soit obligeacute de travaillersur des lots diffeacuterents de matiegravere Comment faire pour obtenir des effets qui nesoient pas entacheacutes par lrsquoerreur systeacutematique qui existe entre les mesures du matinet de lrsquoapregraves-midi ou entre les deux lots de matiegravere Il srsquoagit dans tous ces cas devariations systeacutematiques dont il faut tenir compte Nous verrons que le blockingest le moyen de lutte contre ces erreurs systeacutematiquesIl se peut eacutegalement que de petites erreurs systeacutematiques modifient les reacutesultats pargroupes drsquoessais On peut utiliser la randomisation pour que ces erreurs systeacutematiquespuissent ecirctre consideacutereacutees comme erreurs aleacuteatoires et que lrsquoon puisse appliquer lestests statistiquesEnfin les variations peuvent nrsquoecirctre dues qursquoagrave des causes aleacuteatoires


148

81 Nature des erreurs8 bull Ordre des essais

Nous commencerons par eacutetudier la nature des diffeacuterentes erreurs Nous donneronsensuite des exemples des diffeacuterentes strateacutegies que lrsquoon peut adopter en fonctiondes connaissances que lrsquoon a des perturbations qui peuvent intervenir en coursdrsquoexpeacuterimentation

81 Nature des erreurs

Quand on reacutealise plusieurs fois la mecircme mesure dans les mecircmes conditions opeacutera-toires on constate de petites diffeacuterences entre toutes ces mesures Ces petites variationsforment ce que lrsquoon appelle lrsquoerreur expeacuterimentaleLrsquoorigine de ces variations doit ecirctre chercheacutee dans les variations des niveaux de tousles facteurs qui peuvent modifier la reacuteponse On considegravere que lrsquoon peut classer lesfacteurs actifs sur la reacuteponse en deux cateacutegories les facteurs controcircleacutes et les facteursnon controcircleacutesLes facteurs controcircleacutes sont ceux dont lrsquoexpeacuterimentateur fixe les niveaux Il srsquoagitdonc des facteurs pris en compte pour lrsquoexeacutecution du plan et de tous les facteurs fixeacutesagrave un niveau constant pendant toute lrsquoexpeacuterimentation On considegravere (hypothegravesede la reacutegression lineacuteaire) que ces facteurs nrsquointroduisent pas drsquoerreurs On peutillustrer les changements de niveaux subis par un facteur controcircleacute (facteur 1) lorsde lrsquoexeacutecution drsquoun plan 23 par la figure 81

Les facteurs non controcircleacutes sont les autres facteurs ceux dont les niveaux ne sont pasfixeacutes par lrsquoexpeacuterimentateur Ces facteurs peuvent faire varier la reacuteponse dans des limitesplus ou moins importantes selon les variations impreacutevues et inconnues de leursniveaux On distingue plusieurs types de facteurs non controcircleacutes donnant lieu auxtrois techniques de lutte suivantes blocking plans anti-deacuterive et randomisation

811 Blocking

Consideacuterons les facteurs dont le niveau reste constant pendant une seacuterie drsquoessaisPar exemple si lrsquoon effectue la premiegravere partie drsquoun plan drsquoexpeacuteriences pendant

Figure 81 ndash Facteur controcircleacute les changements de niveaux sont imposeacutes par lrsquoexpeacuterimentateur

1 32 4 75 6 8Essai

Niveau +1

Niveau ndash1



149

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

8 bull Ordre des essais

lrsquoeacuteteacute et la seconde partie en hiver il y a deux campagnes drsquoessais On suppose qursquounfacteur non controcircleacute conserve le niveau a pendant la premiegravere campagne et le niveau bpendant la seconde campagne Cependant les niveaux a et b sont diffeacuterents Onpeut aussi imaginer que le plan soit exeacutecuteacute agrave la mecircme peacuteriode mais par deuxopeacuterateurs diffeacuterents ou dans deux laboratoires diffeacuterents Une application freacutequenteen agriculture se preacutesente lorsque lrsquoon doit mener les essais sur deux terrains diffeacute-rents Il peut y avoir un eacutecart constant entre les reacuteponses mesureacutees agrave deux eacutepoquesou par deux opeacuterateurs ou par deux laboratoires ou sur deux terrains La figure 82illustre les variations de niveaux drsquoun facteur non controcircleacute lors de lrsquoexeacutecution drsquounplan 24 en deux campagnes

On trouve souvent ce genre de situation et nous avons la chance que les plansfactoriels offrent une meacutethode pour lutter contre ce type drsquoerreur systeacutematiqueCette meacutethode est le blocking Il est possible malgreacute la perturbation introduite parle facteur non controcircleacute drsquoobtenir les effets des facteurs eacutetudieacutes dans le plan sansqursquoils soient fausseacutes par les variations de ce facteur non controcircleacuteLe blocking est une technique tregraves employeacutee

812 Plans anti-deacuterive

Le niveau drsquoun facteur non controcircleacute peut diminuer ou augmenter reacuteguliegraverementen fonction des essais Les reacuteponses seront modifieacutees par cette variation de niveauet les effets des facteurs du plan seront fausseacutes si lrsquoon ne prend pas de preacutecautionsCette variation progressive srsquoappelle une deacuterive et elle est illustreacutee par la figure 83Comme exemples on peut citer lrsquoactiviteacute drsquoun catalyseur qui diminue progressive-ment le flux drsquoun liquide qui se reacuteduit agrave cause du bouchage progressif drsquoun tuyauune solution de soude qui srsquoaltegravere au fur et agrave mesure du temps qui passe ou le vieillisse-ment drsquoune colonne chromatographique qui seacutepare de moins en moins bienLagrave aussi nous avons la chance que les plans factoriels offrent une meacutethode pourlutter contre la deacuterive Il existe des plans anti-deacuterive qui permettent drsquoobtenir la valeurdes effets des facteurs principaux comme srsquoil nrsquoy avait pas de deacuterive

Figure 82 ndash Facteur non controcircleacute (blocking) les niveaux de la premiegravere campagne sont constants mais diffeacuterents de ceux de la deuxiegraveme

1 32 4 75 6 8

Niveau a

Niveau b

1 32 4 75 6 8


150


813 Variations aleacuteatoires

Le niveau drsquoun facteur peut varier de maniegravere parfaitement aleacuteatoire drsquoun essai agravelrsquoautre (Figure 84) Il nrsquoy a pas de moyens de lutter contre les perturbations drsquountel facteur Il contribue agrave la formation de lrsquoerreur expeacuterimentale Srsquoil nrsquointroduitque de toutes petites variations il ne sera pas trop gecircnant Srsquoil introduit de fortesvariations de la reacuteponse il faudra essayer de le controcircler ou drsquoen reacuteduire lrsquoinfluence

814 Petites variations systeacutematiques

Le niveau drsquoun facteur non controcircleacute peut rester stable pendant deux ou trois essaispuis changer brusquement pour se stabiliser de nouveau pour deux ou trois essais agraveun autre niveau et ainsi de suite Ce facteur introduit des erreurs systeacutematiquesqui sont incompatibles avec les tests statistiques Pour pouvoir appliquer ces testson est ameneacute agrave transformer ces erreurs systeacutematiques en erreurs aleacuteatoires Pourcela on emploie la randomisationLa randomisation consiste agrave choisir lrsquoordre des essais de maniegravere aleacuteatoire Ontransforme ainsi la figure 85 en figure 84 Il est maintenant possible drsquoutiliser les

Figure 83 ndash Facteur non controcircleacute (deacuterive) les changements de niveaux sont progressifs drsquoun essai agrave lrsquoautre

Figure 84 ndash Facteur non controcircleacute les changements de niveaux sont aleacuteatoires

1 32 4 75 6 8

a

bc

f

h

g

de

Essai

1 32 4 75 6 8

a

bc

f

h

g

de

Essai


82 Exemple 09 le Penicillium chrysogenum(exemple de blocking)

151

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


tests statistiques La transformation des erreurs systeacutematiques en erreurs aleacuteatoiresest agrave la fois une bonne et une mauvaise chose une bonne chose pour les testsstatistiques et une mauvaise car elle augmente la valeur de lrsquoerreur aleacuteatoire Il devientalors plus difficile de deacutetecter les facteurs peu influents La proceacutedure correcte estdrsquoeacuteliminer drsquoabord les erreurs systeacutematiques les plus importantes en utilisant leblocking ou les plans anti-deacuterive et de randomiser ensuiteNous eacutetudierons speacutecialement le blocking qui est une technique tregraves puissante lesplans anti-deacuterive et la randomisation

82 Exemple 09 le Penicillium chrysogenum (exemple de blocking)



La peacutenicilline est fabriqueacutee agrave partir du Penicillium chrysogenum Les responsablesde cette fabrication recherchent le milieu nutritif le plus favorable au deacuteveloppe-ment rapide de leur souche Ils entreprennent un plan drsquoexpeacuteriences complet surles cinq facteurs dont ils veulent connaicirctre lrsquoinfluence Ils ont donc 32 essais agravereacutealiser La dureacutee des essais et les contraintes mateacuterielles ne leur permettent pas dereacutealiser tous les essais en une seule fois Ils doivent opeacuterer en deux temps Ils effec-tuent une premiegravere campagne de 16 essais font une pause obligatoire de plusieurssemaines puis reacutealisent une deuxiegraveme campagne de 16 essais Le problegraveme estqursquoentre les deux campagnes beaucoup de facteurs non controcircleacutes ont pu changerde niveaux la souche la tempeacuterature les opeacuterateurs etc Malgreacute ces changementspossibles et impreacutevisibles les chercheurs souhaitent obtenir les effets comme si lesfacteurs non controcircleacutes nrsquoexistaient pas Ils ont donc recours au blocking

m Reacuteponses

La reacuteponse est le poids de peacutenicilline obtenu pour chaque essai

Figure 85 ndash Facteur non controcircleacute (randomisation) les changements de niveaux sont par paquets

1 32 4 75 6 8

a

b

c

Essai



152




Deacutefinir la composition de la solution nutritive pour avoir le meilleur rendementen peacutenicilline

m Facteurs

Les facteurs drsquoeacutetude crsquoest-agrave-dire les facteurs dont les niveaux sont controcircleacutes aucours du plan drsquoexpeacuteriences sont les concentrations des produits suivants ndash Facteur 1 liqueur de maiumlsndash Facteur 2 lactosendash Facteur 3 preacutecurseurndash Facteur 4 nitrate de sodiumndash Facteur 5 glucose

m Domaine drsquoeacutetude

Le domaine est preacuteciseacute dans le tableau 81

m Facteur de blocking

En plus des cinq facteurs du plan il faut prendre en consideacuteration le fait que lrsquooneffectue les essais en deux campagnes On introduit ainsi un facteur suppleacutementaire la campagne Les 16 premiers essais sont au niveau moins du facteur campagne etles 16 essais de la deuxiegraveme campagne sont au niveau plus Ce facteur suppleacutementaireest le facteur de blocking Le niveau du facteur de blocking reste constant agrave un niveaudonneacute mais inconnu pendant toute la premiegravere campagne et reste constant agrave unautre niveau (lui aussi inconnu) pendant toute la seconde campagne Il srsquoagit drsquounfacteur suppleacutementaire dont on ne connaicirct pas la valeur des niveaux


En reacutealiteacute on ne reacutealise pas un plan complet 25 mais un plan fractionnaire 26-1 Ilfaut donc aliaser le facteur de blocking sur une interaction Comme il nrsquoy a qursquounfacteur suppleacutementaire on choisit lrsquointeraction drsquoordre le plus eacuteleveacute

6 = 12345



Liqueur de maiumls (1) 2 3

Lactose (2) 2 3

Preacutecurseur (3) 0 005

Nitrate de sodium (4) 0 03

Glucose (5) 0 05




153

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


Les essais du plan complets 25 vont se partager en deux groupes celui dont lessignes de lrsquointeraction 12345 sont positifs et celui dont les signes de lrsquointeraction12345 sont neacutegatifs Bien sucircr crsquoest avant drsquoentreprendre les essais qursquoil faut fairecette distinction pour attribuer convenablement les essais soit agrave la premiegravere soit agravela deuxiegraveme campagne

m Confusion

Le geacuteneacuterateur drsquoaliases permet gracircce au calcul de Box et agrave la relation drsquoeacutequivalencede savoir comment les coefficients du modegravele sont regroupeacutes dans les aliases Enparticulier le facteur de blocking est aliaseacute avec lrsquointeraction 12345

6 = 12345 = a6 + a12345

Lrsquointeraction 12345 risque drsquoapparaicirctre eacuteleveacutee Srsquoil y a des interactions entre lefacteur de blocking et les facteurs eacutetudieacutes on risque eacutegalement de voir des interac-tions drsquoordre 2 eacuteleveacutees

16 = a16 + a2345 26 = a26 + a1345 etc

822 Construction du plan et veacuterification de lrsquointeacuterecirct du blocking


La construction des plans avec blocking est exactement la mecircme que celle desplans fractionnaires On eacutecrit le plan de base 25 et on calcule les signes de lrsquointerac-tion 12345 (Tableau 82) Mais pour les plans avec blocking on regroupe les essaisen fonction du signe de lrsquointeraction Le premier bloc est celui pour lequel le signede lrsquointeraction 12345 est moins Le premier bloc est constitueacute des 16 essais n˚ 118 19 4 21 6 7 24 25 10 11 28 13 30 31 et 16 Le second bloc est celuipour lequel le signe de lrsquointeraction 12345 est plus Il est constitueacute des 16 essaisn˚ 17 2 3 20 5 22 23 8 9 26 27 12 29 14 15 et 32

Tableau 82 ndash Construction du plan avec blocking

Essai n˚ 1 2 3 4 5 Bloc = 12345

1 minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 minus1

18 1 minus1 minus1 minus1 1 minus1

19 minus1 1 minus1 minus1 1 minus1

4 1 1 minus1 minus1 minus1 minus1

21 minus1 minus1 1 minus1 1 minus1

6 1 minus1 1 minus1 minus1 minus1

7 minus1 1 1 minus1 minus1 minus1



154



Essai n˚ 1 2 3 4 5 Bloc = 12345

24 1 1 1 minus1 1 minus1

25 minus1 minus1 minus1 1 1 minus1

10 1 minus1 minus1 1 minus1 minus1

11 minus1 1 minus1 1 minus1 minus1

28 1 1 minus1 1 1 minus1

13 minus1 minus1 1 1 minus1 minus1

30 1 minus1 1 1 1 minus1

31 minus1 1 1 1 1 minus1

16 1 1 1 1 minus1 minus1

17 minus1 minus1 minus1 minus1 1 1

2 1 minus1 minus1 minus1 minus1 1

3 minus1 1 minus1 minus1 minus1 1

20 1 1 minus1 minus1 1 1

5 minus1 minus1 1 minus1 minus1 1

22 1 minus1 1 minus1 1 1

23 minus1 1 1 minus1 1 1

8 1 1 1 minus1 minus1 1

9 minus1 minus1 minus1 1 minus1 1

26 1 minus1 minus1 1 1 1

27 minus1 1 minus1 1 1 1

12 1 1 minus1 1 minus1 1

29 minus1 minus1 1 1 1 1

14 1 minus1 1 1 minus1 1

15 minus1 1 1 1 minus1 1

32 1 1 1 1 1 1

Tableau 82 ndash Construction du plan avec blocking (Suite)




155

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


m Veacuterification de lrsquointeacuterecirct du blocking

On peut veacuterifier lrsquointeacuterecirct du blocking sur cet exemple Si au cours de la secondecampagne toutes les reacuteponses sont augmenteacutees de 10 points par rapport agrave lapremiegravere campagne agrave cause des facteurs non controcircleacutes on peut calculer lrsquoinci-dence de ce deacutecalage sur les coefficients en attribuant la valeur 10 agrave tous les essaisde la seconde campagne Le fichier laquo Penicilline_verifjmp raquo a eacuteteacute construit pourque vous puissiez faire cette veacuterification Faites le calcul des coefficients en adop-tant le modegravele avec toutes les interactions jusqursquoagrave lrsquoordre 5 Vous constaterez queseuls le coefficient constant et lrsquointeraction choisie pour aliaser le facteur de bloc-king sont affecteacutes par le deacutecalage entre les deux campagnes Tous les autres coeffi-cients sont eacutepargneacutes Tout se passe pour eux comme si lrsquoon avait reacutealiseacute tous lesessais en une seule fois lrsquoinfluence de la campagne a eacuteteacute gommeacutee (Figure 86)pour tous les coefficients excepteacute le coefficient constant et le coefficient de lrsquointe-raction de blocking


La premiegravere campagne drsquoessais est reacutealiseacutee selon les indications du plan drsquoexpeacute-riences Les 16 essais du premier plan sont exeacutecuteacutes dans un ordre aleacuteatoire Aublocking qui permet de renvoyer lrsquoerreur systeacutematique sur lrsquointeraction 12345 lesexpeacuterimentateurs ont pris une preacutecaution suppleacutementaire une randomisation desessais pour srsquoaffranchir drsquoeacuteventuelles petites erreurs systeacutematiques Les essais portentagrave cocircteacute de leur nom un chiffre entre parenthegraveses Ce chiffre indique lrsquoordre drsquoexeacutecutionde lrsquoessai Par exemple lrsquoessai n˚ 18 a eacuteteacute exeacutecuteacute en 16e position et il figure agrave la2e ligne du tableau 83

Figure 86 ndash Influence de lrsquoerreur de blocking sur les coefficients


Effet du blocking sur les coefficients

Val

eur

des

co

effi

cien

ts



156



Agrave ce stade il est possible de faire une interpreacutetation des premiers reacutesultats car onpeut calculer les 5 effets des facteurs principaux et leurs 10 interactions drsquoordre 2Il a eacuteteacute reacutealiseacute la moitieacute drsquoun plan complet 25 soit un plan 25-1 avec comme geacuteneacute-rateur drsquoaliases I = ndash12345

Tableau 83 ndash Premiegravere campagne drsquoessais

Essai n˚Maiumls(1)

Lactose(2)

Preacutecurseur(3)

Nitrate(4)

Glucose(5)

Reacuteponse

1 (5) minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 142

18 (16) 1 minus1 minus1 minus1 1 106

19 (11) minus1 1 minus1 minus1 1 88

4 (10) 1 1 minus1 minus1 minus1 109

21 (6) minus1 minus1 1 minus1 1 113

6 (9) 1 minus1 1 minus1 minus1 162

7 (1) minus1 1 1 minus1 minus1 200

24 (3) 1 1 1 minus1 1 79

25 (7) minus1 minus1 minus1 1 1 101

10 (2) 1 minus1 minus1 1 minus1 108

11 (13) minus1 1 minus1 1 minus1 146

28 (15) 1 1 minus1 1 1 72

13 (4) minus1 minus1 1 1 minus1 200

30 (14) 1 minus1 1 1 1 83

31 (8) minus1 1 1 1 1 145

16 (12) 1 1 1 1 minus1 118




157

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



La deuxiegraveme campagne drsquoessais est reacutealiseacutee quelques mois plus tard Le tableau 84indique les reacutesultats des mesures

Pour lrsquointerpreacutetation complegravete du plan on reacuteunit les 32 essais et on en fait lrsquoanalyseglobale On choisit un modegravele avec toutes les interactions On obtient 32 coeffi-cientsOn voit tout de suite que la liqueur de maiumls (1) le preacutecurseur (3) et le glucose (5)sont tregraves influents (Tableau 85 et Figure 87) Il y a aussi lrsquointeraction 35 qui est forteEt tout agrave fait bizarrement des interactions drsquoordre eacuteleveacute 1234 1345 et 12345

Tableau 84 ndash Seconde campagne drsquoessais

Essai n˚Maiumls(1)

Lactose(2)

Preacutecurseur(3)

Nitrate(4)

Glucose(5)

Reacuteponse

17 (23) minus1 minus1 minus1 minus1 1 106

2 (31) 1 minus1 minus1 minus1 minus1 114

3 (18) minus1 1 minus1 minus1 minus1 129

20 (28) 1 1 minus1 minus1 1 98

5 (25) minus1 minus1 1 minus1 minus1 185

22 (17) 1 minus1 1 minus1 1 88

23 (30) minus1 1 1 minus1 1 166

8 (20) 1 1 1 minus1 minus1 172

9 (26) minus1 minus1 minus1 1 minus1 148

26 (22) 1 minus1 minus1 1 1 114

27 (19) minus1 1 minus1 1 1 140

12 (32) 1 1 minus1 1 minus1 95

29 (21) minus1 minus1 1 1 1 130

14 (27) 1 minus1 1 1 minus1 164

15 (24) minus1 1 1 1 minus1 215

32 (29) 1 1 1 1 1 110



158




Effet Valeur Effet Valeur

Constante 12956

123 minus131

Maiumls (1) minus1756 124 minus287

Lactose (2) 056 125 minus162

Preacutecurseur (3) 1606 134 175

Nitrate (4) 1 135 minus325

Glucose (5) minus2087 145 281

234 minus262

12 minus594 235 275

13 minus606 245 231

14 minus5 345 056

15 262 1234 4

23 444 1235 262

24 minus1 1245 181

25 3 1345 419

34 minus1 2345 106

35 minus105

45 219 12345 631

Figure 87 ndash Effets des facteurs principaux et des interactions

Effet des facteurs - Peacutenicilline

25

20

15

ndash

ndash

ndash

ndash

ndash

10

5

0

5

10

15

20

25

1 2 3 4 5

12 13 14 15 23 24 25 34 35 45

123

124

125

134

135

145

234

235

245

345

123

4

123

5

124

5

134

5

234

5

123

45


Val

eur

des

co

eff

icie

nts




159

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


Pour essayer de distinguer les effets agrave prendre en compte et ceux que lrsquoon peut neacutegligeron peut utiliser le diagramme de Pareto (Figure 88) et le diagramme Daniel (Figure 89)

Lrsquoexamen des diagrammes de Pareto et de Daniel montre que lrsquoon peut retenircomme facteurs influents ndash liqueur de maiumls (facteur 1)ndash preacutecurseur (facteur 3)ndash glucose (facteur 5)ndash interaction 35La coupure entre les coefficients agrave conserver et les coefficients agrave rejeter semble sesituer aux alentours de la valeur 6 Ce choix peut paraicirctre arbitraire mais il nrsquoestjamais deacutefinitif et peut ecirctre modifieacute pour donner lieu agrave une nouvelle analyse Aveccette deacutecision que faut-il penser de lrsquointeraction 12345 qui est au niveau de lacoupure et qui selon les hypothegraveses drsquointerpreacutetation habituelles devrait ecirctre tregravesfaible

Figure 88 ndash Diagramme de Pareto des effets de lrsquoexemple sur la peacutenicilline

0 5 10 15 20 25

513

3512345

13121423

1345123413525

124145235

123523415

24545

1245134125123

23453424

4345

2



160



Crsquoest lrsquointeraction sur laquelle nous avons aliaseacute le facteur 6 le facteur de blocking

6 = 12345

La relation drsquoeacutequivalence indique que le facteur de blocking est aliaseacute avec lrsquointer-action 12345

6 = 12345 = a6 + a12345

Dans ce contraste ce nrsquoest pas lrsquointeraction 12345 qui est eacuteleveacutee mais lrsquoeffet dufacteur 6 Il y a une diffeacuterence de 12 points entre les reacuteponses de la premiegraverecampagne et celles de la deuxiegraveme Cette diffeacuterence nrsquoest pas neacutegligeable et elleaurait fortement fausseacute les reacutesultats si les expeacuterimentateurs nrsquoavaient pas pris lapreacutecaution de faire un blocking


Comment faut-il reacutegler les niveaux des trois facteurs les plus influents pourobtenir la meilleure production possible de peacutenicilline (Figure 810)

ndash La concentration en liqueur de maiumls (facteur 1) sera fixeacutee agrave 2 (niveau bas)ndash La concentration en preacutecurseur (facteur 3) sera fixeacutee agrave 005 (niveau haut)ndash Il nrsquoy aura pas de glucose (niveau bas du facteur 5)

Si on veut encore ameacuteliorer leacutegegraverement la production on pourra fixer

ndash la concentration en lactose (facteur 2) agrave 3 (niveau haut) ndash la concentration en nitrate de sodium (facteur 4) agrave 03 (niveau haut)


Peacutenicilline

ndash25

ndash2

ndash15

ndash1

-05

0

05

1

15

2

25

ndash30 ndash20 ndash10 0 10 20

Effet

No

rmit

12345

351

5

3

Effet



83 Exemple 10 les haricots de Yates

161

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit





Yates travaillait avec Fisher agrave la station expeacuterimentale de Rothamsted en Angleterredans le Hertfordshire En 1935 il lanccedila une recherche sur lrsquoinfluence des engraissur le rendement drsquoune espegravece de haricots dont les reacutesultats furent publieacutes en1937 il srsquoagit drsquoun des plus anciens plans drsquoexpeacuteriences et il est inteacuteressant de voirque degraves cette eacutepoque les chercheurs avaient su exploiter au mieux les avantagesdes plans drsquoexpeacuteriences dans le milieu agronomique et en particulier utiliser latechnique du blocking pour srsquoaffranchir des multiples facteurs non controcircleacutes quelrsquoon rencontre dans leur domaine Les expeacuteriences eacutetant longues et les terrainsdrsquoexpeacuterimentation eacutetant tregraves grands il nrsquoest pas neacutecessaire de restreindre le nombredrsquoessais et drsquoenvisager des plans fractionnaires Les preacutecautions agrave prendre sont drsquounautre ordre En effet on nrsquoest jamais sucircr que deux terrains aient la mecircme fertiliteacuteSur lrsquoun drsquoeux les plantes vont pousser avec exubeacuterance et sur lrsquoautre elles serontmalingres et rachitiques Comment obtenir lrsquoinfluence drsquoun engrais malgreacute ladiffeacuterence de fertiliteacute de terrains sur lesquels on megravene une mecircme expeacuterimenta-tion Il faut drsquoabord rechercher des terrains assez proches au point de vue fertiliteacuteet envisager ensuite un blocking pour renvoyer lrsquoinfluence de la fertiliteacute sur lefacteur de blockingYates voulait eacutetudier quatre engrais et il avait seacutelectionneacute quatre terrains pour sescultures Comment organiser les plantations pour qursquoagrave la fin des expeacuteriences on

Figure 810 ndash Choix des niveaux des facteurs pour optimiser la production de peacutenicilline

ndash ndash ndash

ndash ndash

1

215

72

0 +1

Po

ids

Maiumls (1)

1 0 +1 1 0 +1

1 0 +1

Preacutecurseur (3)Lactose (2)

Nitrate (4)

1 0 +1

Glucose (5)

215

72

Po

ids


162

83 Exemple 10 les haricots de Yates8 bull Ordre des essais

puisse avoir une vue agrave peu pregraves juste de lrsquoinfluence de chaque engrais testeacute Il nrsquoapas choisi la meacutethode maladroite drsquoeacutetudier un engrais par terrain Il a au contrairesavamment disposeacute les essais drsquoun plan drsquoexpeacuteriences sur les quatre terrains et atenu compte de la diffeacuterence de fertiliteacute

m Reacuteponses

La reacuteponse est le poids de haricots reacutecolteacutes par essai


Trouver lrsquoinfluence des engrais seuls ou associeacutes entre eux

m Facteurs

Les facteurs retenus par Yates eacutetaient ndash Facteur 1 espace entre les rangeacutees de haricotsndash Facteur 2 quantiteacute de fumurendash Facteur 3 quantiteacute de nitratendash Facteur 4 quantiteacute de superphosphatendash Facteur 5 quantiteacute de potasse


Le domaine drsquoeacutetude est preacuteciseacute dans le tableau 86


Comme il y a 5 facteurs qui prennent 2 niveaux Yates deacutecida de reacutealiser un plancomplet 25 Mais il prit la preacutecaution de faire un blocking pour renvoyer les diffeacute-rences de fertiliteacute sur des interactions et obtenir ainsi la vraie valeur des effets des5 facteurs du planIl faut reacutepartir les 32 essais sur les 4 terrains dont les fertiliteacutes peuvent ecirctre diffeacute-rentes On srsquoarrange pour mettre 8 essais par terrain Pour diviser 32 par 4 il fautintroduire 2 facteurs de blocking le facteur 6 et le facteur 7 En effet la colonne



Espace entre rangeacutees (1) 18 inches 24 inches

Fumure (2) 0 tonne agrave lrsquoacre 10 tonnes agrave lrsquoacre

Nitrate (3) 0 livre agrave lrsquoacre 50 livres agrave lrsquoacre

Superphosphate (4) 0 livre agrave lrsquoacre 60 livres agrave lrsquoacre

Potasse (5) 0 livre agrave lrsquoacre 100 livres agrave lrsquoacre



163

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


du facteur 6 contient autant de signes moins que de signes plus Elle permet dediviser les essais en deux blocs Il en est de mecircme de la colonne 7 En associant lacolonne 6 et la colonne 7 on obtient les 4 blocs (+ +) (+ minus) (minus +) et (minus minus) contenantchacun 8 essaisTout se passe comme si Yates ne reacutealisait pas un plan complet 25 mais un planfractionnaire 27-2 Comme il y a deux facteurs de blocking il faut choisir deuxinteractions Yates aliase le facteur de blocking 6 sur lrsquointeraction 124 et le facteurde blocking 7 sur lrsquointeraction 135

6 = 124 7 = 135

Ces deux geacuteneacuterateurs indeacutependants engendrent le GGA

I = 1246 = 1357 = 234567

On pourrait calculer agrave la main la reacutepartition des essais entre les quatre blocs et crsquoestce qursquoa fait Yates car il nrsquoavait pas drsquoordinateur Il a eacutecrit tous les signes des inter-actions 124 et 135 et les a groupeacutes selon le tableau 87 Le bloc 1 contient tous lesessais dont lrsquointeraction 124 possegravede un signe moins et lrsquointeraction 135 possegravedeun signe moins Le bloc 1 est composeacute des essais n˚ 1 8 11 14 20 21 26 et 31Ce bloc est attribueacute agrave lrsquoun des quatre terrains On opegravere de mecircme pour les autresblocs Aujourdrsquohui on utilise un logiciel pour faire ce travail ce qui est beaucoupplus rapide


On utilise le modegravele drsquoun plan complet 25 avec toutes les interactions mais certainesseront fausseacutees par la preacutesence des facteurs de blockingVeacuterifions qursquoune diffeacuterence de fertiliteacute entre les terrains ne modifie pas les effetsdes facteurs eacutetudieacutes Pour cela on suppose que la fertiliteacute du premier bloc deacutecale lesreacuteponses de 5 que la fertiliteacute du second bloc deacutecale les reacuteponses de 10 que la fertiliteacutedu troisiegraveme bloc deacutecale les reacuteponses de 15 et que la fertiliteacute du quatriegraveme blocdeacutecale les reacuteponses de 20Seuls le coefficient constant et les interactions choisies pour aliaser les facteurs deblocking sont affecteacutes par le deacutecalage entre les fertiliteacutes des quatre terrains(Figure 811) Les autres coefficients ne sont pas affecteacutes par les variations de ferti-liteacute Tout se passe comme si Yates nrsquoavait eu qursquoun seul terrain de mecircme fertiliteacute

Tableau 87 ndash Deacutefinition des niveaux des facteurs de blocking pour chaque terrain

Terrain 124 135

Bloc 1 minus1 minus1

Bloc 2 +1 minus1

Bloc 3 minus 1 +1

Bloc 4 +1 +1


164


m Mise en place des essais

On divise le premier terrain en 8 parcelles et on lui attribue au hasard lrsquoun desquatre blocs On y dispose les 8 essais correspondant au bloc On opegravere de mecircmepour les trois autres terrainsComment faut-il disposer les essais sur chaque terrain Il est probable qursquoil y a lagraveaussi de petites variations de fertiliteacute Il est aussi possible que cette variation nesoit pas aleacuteatoire La fertiliteacute peut diminuer progressivement quand on se deacuteplacedu nord au sud ou drsquoest en ouest Toutes les autres variations sont eacutegalement possi-bles Dans ces conditions si on dispose les essais par ordre de numeacutero croissant dunord au sud on aura une correacutelation entre lrsquoerreur introduite par la variation defertiliteacute et le numeacutero drsquoordre des essais Cette situation est tregraves gecircnante pour appli-quer les tests statistiques qui supposent que les eacutecarts (variation de fertiliteacute) sontindeacutependants crsquoest-agrave-dire non correacuteleacutes entre eux Pour pouvoir appliquer les testsstatistiques on a lrsquohabitude de reacutepartir les essais au hasard agrave lrsquointeacuterieur des blocsdonc ici sur le terrain Crsquoest ce que fit Yates


Apregraves cette phase de preacuteparation les cultures sont lanceacutees et surveilleacutees jusqursquoagrave lareacutecolte des haricots Les quantiteacutes recueillies sont peseacutees et le poids de haricots dechaque essai est enregistreacute Ces reacutesultats figurent dans le tableau 88

Figure 811 ndash Veacuterification de lrsquoincidence du blocking

Tableau 88 ndash Plan drsquoexpeacuteriences et reacutesultats expeacuterimentaux

Essai n˚ 1 2 3 4 5 6 = 124 7 = 135 Bloc Reacuteponses

1 minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 1 665

2 1 minus1 minus1 minus1 minus1 1 1 4 362

3 minus1 1 minus1 minus1 minus1 1 minus1 2 748

Veacuterification blocking - Yates

6

4

ndash

ndash

ndash

2

0

2

4

6

1 2 3 4 5

12 13 14 15 23 24 25 34 35 45 123

124

125

134

135

145

234

235

245

345

1234

1235

1245

1345

2345

1234

5


Val

eur

des

co

effi

cie

nts



165

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



4 1 1 minus1 minus1 minus1 minus1 1 3 547

5 minus1 minus1 1 minus1 minus1 minus1 1 3 68

6 1 minus1 1 minus1 minus1 1 minus1 2 233

7 minus1 1 1 minus1 minus1 1 1 4 673

8 1 1 1 minus1 minus1 minus1 minus1 1 705

9 minus1 minus1 minus1 1 minus1 1 minus1 2 567

10 1 minus1 minus1 1 minus1 minus1 1 3 299

11 minus1 1 minus1 1 minus1 minus1 minus1 1 767

12 1 1 minus1 1 minus1 1 1 4 498

13 minus1 minus1 1 1 minus1 1 1 4 363

14 1 minus1 1 1 minus1 minus1 minus1 1 457

15 minus1 1 1 1 minus1 minus1 1 3 608

16 1 1 1 1 minus1 1 minus1 2 646

17 minus1 minus1 minus1 minus1 1 minus1 1 3 636

18 1 minus1 minus1 minus1 1 1 minus1 2 393

19 minus1 1 minus1 minus1 1 1 1 4 513

20 1 1 minus1 minus1 1 minus1 minus1 1 733

21 minus1 minus1 1 minus1 1 minus1 minus1 1 712

22 1 minus1 1 minus1 1 1 1 4 605

23 minus1 1 1 minus1 1 1 minus1 2 737

24 1 1 1 minus1 1 minus1 1 3 925

25 minus1 minus1 minus1 1 1 1 1 4 496

26 1 minus1 minus1 1 1 minus1 minus1 1 743

27 minus1 1 minus1 1 1 minus1 1 3 636

28 1 1 minus1 1 1 1 minus1 2 563

29 minus1 minus1 1 1 1 1 minus1 2 48

30 1 minus1 1 1 1 minus1 1 3 479

31 minus1 1 1 1 1 minus1 minus1 1 77

32 1 1 1 1 1 1 1 4 613

Tableau 88 ndash Plan drsquoexpeacuteriences et reacutesultats expeacuterimentaux (Suite)


166



Lrsquoanalyse de ce plan commence comme drsquohabitude par le calcul des coefficientsdu modegravele polynomial dont toutes les interactions ont eacuteteacute conserveacutees dans lemodegravele (Tableau 89)

Ce tableau est illustreacute par le diagramme agrave barres de la figure 812On obtient 32 coefficients dont les plus eacuteleveacutes sont les suivants ndash Le facteur 2 (fumure) est de loin le plus efficacendash Lrsquointeraction 124 Il ne faut pas ecirctre eacutetonneacute de trouver une interaction drsquoordre 3

si eacuteleveacutee Il srsquoagit en reacutealiteacute drsquoun des deux facteurs de blocking Ce reacutesultat prouveque la fertiliteacute eacutetait tregraves diffeacuterente drsquoun terrain agrave lrsquoautre Sans la preacutecaution du



Constante 5891

123 099

Espace entre rangeacutees (1) minus390 124 minus585

Fumure (2) 785 125 minus076

Nitrate (3) 162 134 045

Superphosphate (4) minus275 135 minus308

Potasse (5) 38 145 minus174

234 054

12 252 235 112

13 166 245 minus087

14 147 345 minus242

15 437 1234 minus031

23 257 1235 minus102

24 minus024 1245 minus186


34 minus258 2345 156

35 2175

45 minus021 12345 239



167

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


blocking lrsquointerpreacutetation du plan aurait eacuteteacute complegravetement erroneacutee puisqursquoonaurait attribueacute aux facteurs drsquoeacutetude des rendements provenant des diffeacuterences defertiliteacute du terrain

ndash Lrsquointeraction 15 Lrsquoinfluence de la potasse nrsquoest pas la mecircme selon que les rangssont serreacutes ou non

ndash Le facteur 1 (espace entre les rangs)ndash Le facteur 5 (potasse)ndash Lrsquointeraction 135 Elle correspond au deuxiegraveme facteur de blocking La forte valeur

de cette interaction confirme les fortes dispariteacutes de fertiliteacute entre les terrainsndash Lrsquointeraction 1345 Il srsquoagit de lrsquointeraction entre le facteur 4 (superphosphate)

et la fertiliteacute des terrains Cette interaction traduit le fait que cet engrais nrsquoa pasla mecircme influence selon les terrains

Lrsquoinfluence des autres facteurs et interactions est ensuite de plus en plus faibleNous retiendrons trois facteurs influents

ndash lrsquoespacement entre rangeacutees (facteur 1)ndash la quantiteacute de fumure (facteur 2)ndash la quantiteacute de potasse (facteur 5)


On peut refaire les calculs avec les trois facteurs preacuteceacutedents et leurs interactionsdrsquoordre 2 Les reacutesultats sont reporteacutes sur la figure 813Srsquoil nrsquoy a ni fumure (niveau bas du facteur 2) ni potasse (niveau bas du facteur 5) et siles rangeacutees sont espaceacutees (niveau haut du facteur 1) le rendement est mauvais (345)On peut ameacuteliorer ce rendement de deux maniegraveres

ndash On resserre les rangeacutees et on ajoute de la fumure Le rendement est doubleacute (706)

Figure 812 ndash Coefficients du modegravele des haricots de Yates

Effets des facteurs - Yates

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

1 2 3 4 512 13 14 15 23 24 25 34 35 45

123

124

125

134

135

145

234

235

245

345

1234

1235

1245

1345

2345

1234

5


Val

eur

des

co

effi

cien

ts


168

84 Exemple 11 le broyeur(exemple de plan anti-deacuterive)


ndash On conserve les rangeacutees espaceacutees mais on ajoute de la fumure et de la potasseLagrave aussi le rendement est doubleacute (716)

Les deux reacuteglages conduisent agrave peu pregraves au mecircme rendement On peut doncchoisir le plus eacuteconomique ou le plus pratique

84 Exemple 11 le broyeur (exemple de plan anti-deacuterive)

841 Introduction

Nous venons de voir un exemple de variations systeacutematiques les variations parblocs Il existe aussi des variations systeacutematiques par deacuterive de la reacuteponse Il y adeacuterive lorsque la reacuteponse de chaque expeacuterience est augmenteacutee (ou diminueacutee)drsquoune quantiteacute croissante par rapport agrave la reacuteponse sans deacuterive Par exemple lrsquousureprogressive drsquoune piegravece meacutecanique ou le vieillissement drsquoun mateacuteriau peut entraicircnerune variation systeacutematique de la reacuteponse au cours de lrsquoexpeacuterimentation Deuxtypes de deacuterives seront examineacutes la deacuterive lineacuteaire et la deacuterive quelconque Il fautpenser agrave se preacutemunir contre une deacuterive

m Deacuterive lineacuteaire

La reacuteponse du premier essai est y1 quand il nrsquoy a pas de deacuterive Quand il y a deacuteriveelle vaut yprime1 telle que yprime1 = + y1 + hPour le second essai la reacuteponse sans deacuterive est y2 La reacuteponse avec deacuterive yprime2 esttelle que yprime2 = + y2 + 2hLe tableau 810 reacutesume les donneacutees du problegraveme pour un plan 23 en supposantque lrsquoordre des essais soit celui correspondant agrave lrsquoordre habituel crsquoest-agrave-dire agravelrsquoordre de Yates

Figure 813 ndash Rendement des haricots en fonction des trois facteurs les plus influents

Espacement entre rangeacutees

Fumure

(Facteur 5)

(Facteur 1)

(Facteur 2)

Potasse

656 716

591

345

706

588

561

547



169

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


La matrice des effets drsquoun plan 23 permet de calculer lrsquoincidence de la deacuterive surchacun des effets et sur chacune des interactions Le tableau 811 illustre ce calcul

On en conclut que les effets sont modifieacutes ainsi

Eprime1 = E1 + 05 h Eprime2 = E2 + 1 h Eprime3 = E3 + 2 h

Eprime12 = E12 Eprime13 = E13 Eprime23 = E23

Eprime123 = E123 Iprime = I + 45 h

Tableau 810 ndash Deacuterive lineacuteaire

Essai Reacuteponses sans deacuterive Reacuteponses avec deacuterive

1 y1 ycent1 = y1 + h

2 y2 ycent2 = y2 + 2h

3 y3 ycent3 = y3 + 3h

4 y4 ycent4 = y4 + 4h

5 y5 ycent5 = y5 + 5h

6 y6 ycent6 = y6 + 6h

7 y7 ycent7 = y7 + 7h

8 y8 ycent8 = y8 + 8h

Tableau 811 ndash Influence de la deacuterive sur les effets drsquoun plan 23

Essai n˚ I 1 2 3 12 13 23 123 Reacuteponses

1 (1) +1 minus1 minus1 minus1 +1 +1 +1 minus1 1 h

2 (2) +1 +1 minus1 minus1 minus1 minus1 +1 +1 2 h

3 (3) +1 minus1 +1 minus1 minus1 +1 minus1 +1 3 h

4 (4) +1 +1 +1 minus1 +1 minus1 minus1 minus1 4 h

5 (5) +1 minus1 minus1 +1 +1 minus1 minus1 +1 5 h

6 (6) +1 +1 minus1 +1 minus1 +1 minus1 minus1 6 h

7 (7) +1 minus1 +1 +1 minus1 minus1 +1 minus1 7 h

8 (8) +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 8 h

Influence deacuterive 36 h 4 h 8 h 16 h 0 0 0 0


170



Les quatre interactions ne sont pas influenceacutees par la deacuterive alors que les effetsprincipaux le sont Ne peut-on pas srsquoarranger pour que ce soit lrsquoinverse Il suffit deremarquer que crsquoest lrsquoordre des signes plus et moins des interactions qui annulelrsquoinfluence de la deacuterive Il faut donc organiser les essais pour que les effets principauxutilisent lrsquoordre des signes des interactions Le facteur 1 sera par exemple eacutetudieacutesur la colonne des signes de lrsquointeraction 123 le facteur 2 sur celle de 12 et lefacteur 3 sur celle de 23Ce qui conduit agrave la nouvelle matrice drsquoexpeacuteriences ougrave figurent les mecircmes essaisque dans la matrice initiale mais dans un ordre diffeacuterent Avec les hypothegraveses faites ilfaut adopter lrsquoordre 7 6 2 3 4 1 5 8 Les effets principaux sont alors indeacutependantsde la deacuterive mais les interactions sont eacutevidemment entacheacutees drsquoune erreur commele montre le tableau 812

Il faut retenir que lorsqursquoil y a deacuterive lrsquoordre des essais nrsquoest pas indiffeacuterent sur lereacutesultat et qursquoil faut soigneusement choisir cet ordre pour aboutir agrave des conclusionspertinentes sur les effets principaux et les interactionsEn particulier on se meacutefiera des interactions qui dans ce cas sont fausseacutees parlrsquoerreur de deacuterive On a lagrave un moyen de deacutetecter une deacuterive car il y a trois valeursqui sont dans les proportions 1 2 4Lrsquoordre des essais que nous venons drsquoindiquer nrsquoest pas le seul qui permettedrsquoobtenir des effets principaux vierges de lrsquoinfluence drsquoune deacuterive lineacuteaire On peuteacutecrire 144 ordres diffeacuterents qui reacutealisent ce mecircme objectif pour un plan 23Lrsquoannexe 3 les indique tousSi lrsquoon a pris la preacutecaution drsquoordonner les essais suivant les donneacutees de ce tableauil est possible de deacuteceler une deacuterive (examen des interactions) tout en obtenant debonnes estimations des effets principaux

Tableau 812 ndash Influence de la deacuterive sur les effets drsquoun plan 23 reacuteordonneacute

Essai n˚ I 1prime 2prime 3prime 1prime2prime 1prime3prime 2prime3prime 1prime2prime3prime Reacuteponses








8 (8) +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 8 h

Influence deacuterive 36 h 0 0 0 16 h 4 h 0 8 h



171

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


m Deacuterive quelconque

Lrsquoexpeacuterimentateur redoute une deacuterive mais il nrsquoa aucune raison de penser qursquoelleest lineacuteaire Il deacutesire mieux la connaicirctre et pouvoir le cas eacutecheacuteant calculer les effetscomme srsquoil nrsquoy avait pas eu de perturbation



Un expeacuterimentateur deacutesire augmenter la quantiteacute de poudre qursquoil produit avec unbroyeur Il redoute une usure des macircchoires qui risque drsquointroduire une deacuterive etdonc drsquoobtenir des effets fausseacutes


Obtenir les effets des facteurs principaux comme srsquoil nrsquoy avait pas de deacuterive

m Reacuteponses

La reacuteponse est la masse de poudre (en grammes) qui sort agrave la bonne granulomeacutetriedu broyeur chaque essai ayant la mecircme dureacutee

m Facteurs

Les facteurs agrave prendre en compte sont

ndash la vitesse de rotation (facteur 1)ndash la pression drsquoeacutecrasement (facteur 2)ndash la hauteur de lrsquoentrefer (facteur 3)


Comme il y a trois facteurs agrave eacutetudier le plus simple est de choisir un plan factorielcomplet 23 Mais la preacutesence drsquoune deacuterive eacuteventuelle incite lrsquoexpeacuterimentateur agravechoisir un plan anti-deacuterive Mecircme si la deacuterive nrsquoest pas lineacuteaire les effets principauxseront peu affecteacutes par cette cause drsquoerreur Mais il vaut mieux en plus pouvoireacutevaluer exactement lrsquoinfluence de cette deacuterive Pour cela il faut inseacuterer des pointsde reacutepeacutetition dans le plan drsquoexpeacuteriences afin de suivre lrsquoeacutevolution de la deacuterive et depouvoir apporter les corrections neacutecessaires agrave lrsquoobtention des effets comme srsquoil nrsquoyavait pas de deacuterive Le nombre de reacutepeacutetitions deacutepend de lrsquoenjeu de lrsquoeacutetude et ducoucirct des essais Il faut preacutevoir au moins un point de reacutepeacutetition au deacutebut au milieuet agrave la fin du plan On peut preacutevoir au plus un point de reacutepeacutetition entre chaque essaidu plan En fonction de lrsquoenjeu de lrsquoeacutetude et du budget lrsquoexpeacuterimentateur choisiraentre 3 et 9 points au centre pour suivre la deacuterive Lrsquoexemple est deacuteveloppeacute avec9 points au centreLrsquoexpeacuterimentateur tire donc au hasard lrsquoordre drsquoun plan anti-deacuterive dans la liste des144 ordres possibles et incorpore un point de reacutepeacutetition entre chaque essai du planLrsquoordre tireacute au hasard est 6 7 3 2 4 1 5 8 Les points au centre sont numeacuteroteacutes avecun 0 devant le chiffre de lrsquoessai Le plan anti-deacuterive complet comprend donc9 + 8 = 17 essais Le tableau 813 rassemble les expeacuteriences reacutealiseacutees et les reacuteponsesobtenues


172




Les essais sont scrupuleusement reacutealiseacutes dans lrsquoordre preacutevu par le plan drsquoexpeacuterienceset les reacutesultats sont consigneacutes dans le tableau 813


Lrsquoexamen de la suite des valeurs obtenues pour le point au centre montre claire-ment qursquoil y a deacuterive On peut la tracer sur un graphique en portant en ordonneacuteesles valeurs de la reacuteponse et en abscisses les numeacuteros des expeacuteriences (Figure 814)

Tableau 813 ndash Matrice drsquoexpeacuteriences et reacutesultats bruts des mesures

Essai n˚Vitesse rotation

(1)Pression

(2)Entrefer

(3)Reacuteponses

01 0 0 0 500

6 (1) + minus + 493

02 0 0 0 460

7 (2) minus + + 410

03 0 0 0 426

3 (3) minus + minus 402

04 0 0 0 393

2 (4) + minus minus 410

05 0 0 0 363

4 (5) + + minus 434

06 0 0 0 335

1 (6) minus minus minus 261

07 0 0 0 309

5 (7) minus minus + 216

08 0 0 0 285

8 (8) + + + 338

09 0 0 0 263

Niveau minus 40 4 020

Niveau 0 50 6 025

Niveau + 60 8 030



173

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


On portera eacutegalement sur le mecircme graphique les reacuteponses correspondant aux pointsexpeacuterimentaux du plan 23

Bien que la deacuterive ne soit pas lineacuteaire le calcul des effets (Tableau 814) fait appa-raicirctre des interactions dans les rapports proches de 0 1 2 et 4 Les effets princi-paux ne devraient pas ecirctre trop loin des valeurs reacuteelles Il est bien apparent sur cetexemple que les interactions ne sont en aucun cas des estimations de lrsquoerreur surles coefficients Seule lrsquointeraction 13 pourrait ecirctre consideacutereacutee comme telle (Rappelonsque le calcul des effets et des interactions est effectueacute sans les points de controcircleau centre)

Figure 814 ndash Les reacutepeacutetitions au point central permettent de faire apparaicirctre la deacuterive

Tableau 814 ndash Coefficients obtenus sans corrections (uniteacutes codeacutees)

Effet Valeur

Constante 3705

Vitesse rotation (1) 4825

Pression (2) 255

Entrefer (3) minus625

12 minus5825

13 3

23 minus1575

123 minus29

Broyeur

200

250

300

350

400

450

500

550

01 6 02 7 03 3 04 2 05 4 06 1 07 5 08 8 09

Nom de lessai

Po

ids


174



La deacuterive nrsquoeacutetant pas tout agrave fait lineacuteaire il nrsquoest pas possible drsquoutiliser les formulesdu paragraphe preacuteceacutedent pour faire les corrections Nous allons adopter unemeacutethode graphique Entre les essais n˚ 01 et 02 lrsquoeacutecart est de 40 g soit 20 g pourlrsquoessai n˚ 6 exeacutecuteacute entre les essais n˚ 01 et 02 On suppose que srsquoil nrsquoy avait pas eu dedeacuterive le reacutesultat trouveacute aurait eacuteteacute plus fort de 20 g soit 493 + 20 = 513 g Pourlrsquoessai n˚ 7 (exeacutecuteacute en second) la valeur moyenne au point milieu a eacuteteacute 12(460+ 426) = 443 g au lieu de 500 g soit 57 g en moins Le reacutesultat de lrsquoessai n˚ 7 doitecirctre augmenteacute drsquoautant 410 + 57 = 467 g (Tableau 815)

On effectue de mecircme la correction de toutes les reacuteponses des essais du plan factorielOn recalcule ensuite les effets et les interactions avec ces reacuteponses corrigeacutees Onobtient de cette faccedilon les coefficients comme srsquoil nrsquoy avait pas eu de deacuterive Letableau 815 indique les reacuteponses corrigeacutees de la deacuterive et le tableau 816 indiqueles effets recalculeacutes avec ces nouvelles valeurs

Tableau 815 ndash Reacuteponses corrigeacutees de la deacuterive (uniteacutes codeacutees)

Essai n˚Reacuteponses corrigeacutees

(g)

6 513

7 467

3 492

2 530

4 584

1 438

5 420

8 566

Tableau 816 ndash Coefficients corrigeacutes de la deacuterive (uniteacutes codeacutees)

Effet Valeur

Constante 50125


Pression (2) 26


12 075

13 1

23 minus1

123 075


85 Avantages et dangers de la randomisation

175

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



Les trois facteurs eacutetudieacutes sont influents sur le rendement en poudre Le plus importantest la vitesse de rotation qui doit ecirctre drsquoau moins 60 trmin La pression du ressortdoit ecirctre reacutegleacutee le plus fort possible ici agrave 8 Lrsquoentrefer doit ecirctre agrave 020 niveau basdu reacuteglageIl nrsquoy a pas drsquointeraction entre ces facteursDe jour en jour on constate une forte diminution du rendement due agrave une usuredes macircchoiresIl sera donc neacutecessaire de changer la nature des macircchoires pour eacuteviter la diminutionde rendement Il faudra eacutegalement examiner si une vitesse de rotation plus eacuteleveacuteeet une pression plus forte ne pourraient pas ameacuteliorer encore le rendement


Nous avons deacutejagrave signaleacute que la randomisation consiste agrave choisir lrsquoordre des essaisde maniegravere aleacuteatoire Le but essentiel est de pouvoir utiliser les tests statistiquesmecircme srsquoil reste de petites erreurs systeacutematiques Mais la transformation des erreurssysteacutematiques en erreurs aleacuteatoires nrsquoest pas toujours une bonne chose En effetlrsquoerreur systeacutematique vient grossir lrsquoerreur aleacuteatoire Il devient alors plus difficile dedeacutetecter les facteurs peu influents Si les erreurs systeacutematiques sont importantes larandomisation peut devenir une technique catastrophique Les erreurs systeacutematiquesdoivent ecirctre eacutelimineacutees avant la randomisationLa proceacutedure correcte est drsquoeacuteliminer drsquoabord les erreurs systeacutematiques les plusimportantes en utilisant le blocking ou les plans anti-deacuterive et de randomiser ensuiteQuels auraient eacuteteacute les reacutesultats du plan avec deacuterive si les expeacuterimentateurs avaientsimplement randomiseacute les essais sans se meacutefier de la deacuterive On suppose que lesessais ont eacuteteacute tireacutes au hasard (ordre 1 5 8 7 4 6 2 3) et qursquoaucun point de reacutepeacutetitionnrsquoa eacuteteacute reacutealiseacuteAgrave lrsquoaide des reacutesultats deacutejagrave trouveacutes on peut recalculer les reacuteponses que lrsquoexpeacuterimen-tateur aurait mesureacutees La matrice drsquoexpeacuteriences serait preacutesenteacutee selon le tableau 817et lrsquoexpeacuterimentateur en aurait deacuteduit les effets qui figurent dans le tableau 818Les effets ainsi calculeacutes sont complegravetement faux ainsi que les interactions Nousnrsquoinsisterons pas sur les conseacutequences que peuvent avoir de telles erreurs de conceptionet drsquoorganisation des essais

Tableau 817 ndash Reacutesultats bruts des mesures drsquoun plan simplement randomiseacute

Essai n˚Vitesse de rotation

(1)Pression

(2)Entrefer

(3)Reacuteponses

1 (1) + ndash + 415

5 (2) ndash + + 358

8 (3) ndash + ndash 474


176

85 Avantages et dangers de la randomisation8 bull Ordre des essais

Afin de comparer les diffeacuterentes techniques drsquoorganisation de lrsquoordre des essais leseffets obtenus ont eacuteteacute rassembleacutes dans le tableau 819 et illustreacutes par la figure 815(1) Plan anti-deacuterive Les effets des facteurs principaux sont obtenus viergesde lrsquoinfluence de la deacuterive Mais les interactions sont fausses Lrsquoexpeacuterimentateurse doutait de la deacuterive mais il ne pouvait reacutealiser que huit essais il a choisi lesmeilleures conditions drsquoexpeacuterimentation mais il ne devra pas tirer de conclusionssur les interactions


(1)Pression

(2)Entrefer

(3)Reacuteponses

7 (4) + ndash ndash 342

4 (5) + + ndash 433

6 (6) ndash ndash ndash 337

2 (7) ndash ndash + 332

3 (8) + + + 259

Niveau ndash 40 4 020

Niveau 0 50 6 025

Niveau + 60 8 030

Tableau 818 ndash Coefficients drsquoun plan simplement randomiseacute (uniteacutes codeacutees)

Effet Valeur

Constante 36875


Pression (2) 825

Entrefer (3) 9

12 5125

13 25

23 22

123 minus13

Tableau 817 ndash Reacutesultats bruts des mesures drsquoun plan simplement randomiseacute (Suite)



177

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


(2) Correction complegravete de la deacuterive sur toutes reacuteponses Les effets et les inter-actions sont justes mais au prix drsquoun nombre eacuteleveacute drsquoexpeacuteriences (3) Simple randomisation sans tenir compte de la deacuterive Les effets des facteursprincipaux et des interactions sont faux Le manque de clairvoyance de lrsquoexpeacuteri-mentateur peut ecirctre catastrophiqueIl faut retenir de cet exemple qursquoil est neacutecessaire de srsquoaffranchir drsquoabord des erreurssysteacutematiques en utilisant le blocking ou les plans anti-deacuterive puis de randomiserensuite

Tableau 819 ndash Comparaison des trois techniques

Effets Plan anti-deacuteriveReacuteponses corrigeacutees

de la deacuteriveRandomisation

Constante 3705 50125 36875

Vitesse rotation (1) 4825 47 2525

Pression (2) 255 26 825

Entrefer (3) minus625 minus975 9

12 minus5825 075 5125

13 3 1 25

23 minus1575 minus1 22


Figure 815 ndash Diagrammes agrave barres de comparaison des trois meacutethodes

Comparaison des trois meacutethodes

60

40

ndash

ndash

ndash

20

0

20

40

60

1 2 3 12 13 23 123

Nom des effets

Val

eur

des

eff

ets

Anti-deacuterive Reacuteponses corrigeacutees Simple randomisation



179

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

9 bull PLANS POUR SURFACES DE REacutePONSE

Les plans examineacutes preacuteceacutedemment nrsquoavaient que deux niveaux drsquoeacutetude par facteuret les modegraveles matheacutematiques utiliseacutes eacutetaient du premier degreacute (avec ou sans inter-actions) par rapport agrave chaque facteur Ces plans sont les plus employeacutes car ilspermettent le criblage des facteurs et conduisent parfois agrave des modeacutelisationssimples mais suffisantes Pourtant il existe de nombreux cas ougrave il est neacutecessairedrsquoavoir une bonne modeacutelisation des pheacutenomegravenes eacutetudieacutes et ougrave il faut passer agrave desmodegraveles matheacutematiques du second degreacute On fait alors appel aux plans pour surfacesde reacuteponse Ces plans utilisent des modegraveles polynomiaux du second degreacute Nouseacutetudierons les trois plus importants plans de ce type les plans composites les plansde Box-Behnken et les plans de DoehlertLe modegravele matheacutematique postuleacute utiliseacute avec les plans pour surfaces de reacuteponse estun modegravele du second degreacute avec interactions drsquoordre 2

ndash pour deux facteurs

y = a0 + a1x1 + a2x2 + a12x1x2 + a11 + a22 + e

ndash pour trois facteurs

y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a12x1x2+ a13x1x3+ a23x2x3 + a11 + a22 + a33 + e

91 Preacutesentation des plans composites

Les plans composites se precirctent bien au deacuteroulement seacutequentiel drsquoune eacutetude Lapremiegravere partie de lrsquoeacutetude est un plan factoriel complet ou fractionnaire compleacuteteacutepar des points au centre pour veacuterifier la validiteacute du modegravele PDAI (termes dupremier degreacute et termes drsquointeractions) Si les tests de validation sont positifs (lareacuteponse mesureacutee au centre du domaine est statistiquement eacutegale agrave la reacuteponsecalculeacutee au mecircme point) lrsquoeacutetude srsquoachegraveve le plus souvent mais srsquoils sont neacutegatifson entreprend des essais suppleacutementaires pour eacutetablir un modegravele du second degreacuteLes essais suppleacutementaires sont repreacutesenteacutes par des points drsquoexpeacuteriences situeacutes surles axes de coordonneacutees et par de nouveaux points centraux Les points situeacutes surles axes de coordonneacutees sont appeleacutes les points en eacutetoile Les plans compositespreacutesentent donc trois parties (Figure 91)

ndash Le plan factoriel crsquoest un plan factoriel complet ou fractionnaire agrave deux niveauxpar facteurs Les points expeacuterimentaux sont aux sommets du domaine drsquoeacutetude

x12 x2

2

x12 x2

2 x32


180

92 Preacutesentation des plans de Box-Behnken9 bull Plans pour surfacesde reacuteponse

ndash Le plan en eacutetoile les points du plan en eacutetoile sont sur les axes et ils sont engeacuteneacuteral tous situeacutes agrave la mecircme distance du centre du domaine drsquoeacutetude

ndash Les points au centre du domaine drsquoeacutetude On preacutevoit toujours des points expeacute-rimentaux situeacutes au centre du domaine drsquoeacutetude et cela aussi bien pour les plansfactoriels que pour les plans en eacutetoile

Le nombre total n drsquoessais agrave reacutealiser est la somme des essais du plan factoriel (nf )des essais du plan en eacutetoile (nα) et des essais au centre (n0) Le nombre n des essaisdrsquoun plan composite est donneacute par la relation

n = nf + na + n0

Le nombre de niveaux est 5 pour chacun des facteurs et seulement 3 lorsque lrsquoon aun plan composite agrave faces centreacutees

92 Preacutesentation des plans de Box-Behnken

Box et Behnken ont proposeacute en 1960 ces plans qui permettent drsquoeacutetablir directementdes modegraveles du second degreacute Tous les facteurs ont trois niveaux minus1 0 et +1 Cesplans sont faciles agrave mettre en œuvre et possegravedent la proprieacuteteacute de seacutequentialiteacute Onpeut entreprendre lrsquoeacutetude des k premiers facteurs en se reacuteservant la possibiliteacute drsquoenajouter de nouveaux sans perdre les reacutesultats des essais deacutejagrave effectueacutesLe plan de Box-Behnken pour trois facteurs est construit sur un cube Pour quatrefacteurs ce plan est construit sur un hypercube agrave quatre dimensions On place lespoints expeacuterimentaux non pas aux sommets du cube ou de lrsquohypercube mais aumilieu des arecirctes ou au centre des faces (carreacutes) ou au centre des cubes Cettedisposition a pour conseacutequence de reacutepartir tous les points expeacuterimentaux agrave eacutegaledistance du centre du domaine drsquoeacutetude donc sur une sphegravere ou sur une hyper-sphegravere suivant le nombre de dimensions On ajoute des points au centre dudomaine drsquoeacutetude

Figure 91 ndash Plan composite pour lrsquoeacutetude de deux facteurs Les points factoriels sont en noirs les points en eacutetoile sont en gris clair les points centraux sont en blanc

+1ndash1

+1

ndash1

Facteur 2

Facteur 1

+ α

+α

minus α

minus α


93 Preacutesentation des plans de Doehlert

181

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

9 bull Plans pour surfacesde reacuteponse

Le plan de Box-Behnken pour trois facteurs est illustreacute par la figure 92 Le cubepossegravede 12 arecirctes On a lrsquohabitude drsquoajouter des points drsquoexpeacuteriences au centre dudomaine drsquoeacutetude en geacuteneacuteral trois Le plan de Box-Behnken pour 3 facteurs possegravededonc 12 + 3 essais soit 15 essais On pourra remarquer qursquoavec 4 points au centreau lieu de 3 on obtient un plan qui reacutepond au critegravere de presque-orthogonaliteacute


Les points drsquoexpeacuteriences des plans proposeacutes par David H Doehlert en 1970remplissent de maniegravere uniforme lrsquoespace expeacuterimental Pour deux facteurs lespoints expeacuterimentaux sont situeacutes aux sommets drsquoun hexagone reacutegulier et il y a unpoint au centre (Figure 93) Ayant sept points expeacuterimentaux ce plan permet decalculer au moins sept inconnues donc sept coefficients Comme les points expeacute-rimentaux sont reacuteguliegraverement reacutepartis dans lrsquoespace expeacuterimental il sera faciledrsquoeacutetendre le plan vers nrsquoimporte quelle direction de lrsquoespace en ajoutant des pointsqui seront eux aussi reacuteguliegraverement reacutepartisCes plans permettent eacutegalement lrsquointroduction facile de nouveaux facteurs Lesnouvelles expeacuteriences viendront compleacuteter les premiegraveres et aucune expeacuterience nesera perdue La seule preacutecaution agrave prendre est de maintenir les facteurs non eacutetudieacutesagrave une valeur constante (niveau 0) pendant lrsquoeacutetude des facteurs actifsLe tableau 91 est la traduction sous forme de matrice drsquoexpeacuteriences de la figure 93La disposition des points selon la figure 93 conduit agrave cinq niveaux pour le facteur1 et trois niveaux pour le facteur 2 Avant drsquoattribuer les numeacuteros aux facteurs onveacuterifiera qursquoils sont compatibles avec ces nombres de niveaux

Figure 92 ndash Illustration du plan de Box-Behnken pour trois facteurs Il y a douze points drsquoexpeacuteriences au milieu des arecirctes du cube et trois points au centre

12

3 4

8

10

7

9

6

11

5

12

13 agrave 15

Facteur 1

Facteur 3

Facteur 2_

__

+

+

+


182

93 Preacutesentation des plans de Doehlert9 bull Plans pour surfacesde reacuteponse

Si lrsquoon eacuteprouve quelques difficulteacutes on peut toujours adopter un autre plan deDoehlert en faisant tourner lrsquohexagone La figure 94 illustre une autre dispositiondu mecircme plan apregraves une rotation de 90˚ Crsquoest maintenant le facteur 1 qui a 3 niveauxet le facteur 2 qui en a 5

Figure 93 ndash Plan de Doehlert pour lrsquoeacutetude de deux facteurs Les points sont reacuteguliegraverement disposeacutes sur un hexagone et il y a un point central

Tableau 91 ndash Plan de Doehlert pour deux facteurs

Essai n˚ Facteur 1 Facteur 2

0866 =

1 0 0

2 + 1 0

3 + 05 + 0866

4 minus 05 + 0866

5 minus 1 0

6 minus 05 minus 0866

7 + 05 minus 0866

+ 1

ndash 1

+ 1

- 1

ndash 0866

+ 1

+ 0866

ndash 05 + 051

5

6

4 3

2

7

x2

x1

32

--------



183

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


Tous les points du plan de Doehlert sont sur un cercle de rayon uniteacute (en grandeurscentreacutees reacuteduites) Le domaine deacutefini par les plans de Doehlert est un domainespheacuterique un cercle dans un espace agrave deux dimensions une sphegravere dans un espaceagrave trois dimensions une hypersphegravere dans un espace agrave plus de trois dimensionsSi les reacutesultats chercheacutes ne sont pas dans le domaine drsquoeacutetude on peut eacutetendre cedomaine dans la direction ougrave lrsquoon a le plus de chances de trouver la solutionsouhaiteacutee Il suffit drsquoajouter trois points drsquoexpeacuteriences (Tableau 92) et lrsquoonretrouve un nouveau plan de Doehlert (Figure 95) En effet les points n˚ 2 1 78 9 10 et 3 forment un nouvel hexagone On peut eacutetendre le plan drsquoexpeacuteriencesdans les autres directions

Figure 94 ndash Autre disposition possible des points drsquoun plan de Doehlert pour lrsquoeacutetude de deux facteurs Les points sont toujours

reacuteguliegraverement disposeacutes dans lrsquoespace expeacuterimental

Tableau 92 ndash Points drsquoextension du plan de Doehlert pour deux facteurs


8 +15 minus0866

9 +2 0

10 +15 +0866

ndash 1

+ 1+ 1

- 1ndash 0866

+ 1

+ 08661

5

6

4

3

2

7

x1

x2


184

94 Exemple 12 la rectification du contremaicirctre(exemple de plan composite)


94 Exemple 12 la rectification du contremaicirctre (exemple de plan composite)



Un contremaicirctre nrsquoest pas content de lrsquoeacutetat de surface des piegraveces meacutetalliques quisont fabriqueacutees dans son atelier Le dernier usinage celui qui donne lrsquoaspect final agravela piegravece est la rectification Crsquoest donc cette technique que le contremaicirctre chercheagrave ameacuteliorer Lrsquoeacutetat de surface des piegraveces est caracteacuteriseacute par la rugositeacute et par lenombre de pics par uniteacute de longueur Le contremaicirctre serait enchanteacute srsquoil pouvaitobtenir des piegraveces de rugositeacute infeacuterieure agrave 0150 et un nombre de pics infeacuterieur agrave50 Srsquoil atteint cet objectif lrsquoeacutetat de surface de ses piegraveces serait consideacutereacute commeparfait et ses clients auraient tout lieu drsquoecirctre satisfaitsPour obtenir lrsquoeacutetat de surface voulu le contremaicirctre a reacutealiseacute des essais en se fiant agraveson bon sens et agrave son expeacuterience Mais toutes ses tentatives ont eacutechoueacute et les reacutesultatssemblent mecircme contradictoires Tantocirct une augmentation de la vitesse de coupeameacuteliore la qualiteacute tantocirct elle la deacuteteacuteriore Ne sachant plus que faire le contre-maicirctre deacutecide de mettre en œuvre les recommandations du stage de plans drsquoexpeacute-riences qursquoil vient de suivreLa piegravece meacutetallique est fermement maintenue sur un support Une meule arracheune fine pellicule de meacutetal agrave la surface de la piegravece Cet outil est un disque abrasifqui tourne agrave grande vitesse et avance lentement en arrachant de petits copeaux demeacutetal (Figure 96) Lrsquoeacutepaisseur de meacutetal arracheacute agrave chaque passe est reacuteglable La

Figure 95 ndash Extension drsquoun plan de Doehlert agrave deux facteurs Trois points suffisent pour retrouver un nouveau plan de Doehlert

+ 1

ndash 1

- 1

ndash 0866

+ 1

+ 0866

ndash 05 + 051

5

6

43

2

7

10

9

8

x2

x1



185

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


derniegravere passe est celle qui contribue le plus agrave lrsquoaspect final de la piegravece Il faut alorseacuteviter drsquoexercer de trop fortes contraintes sur la meule et on nrsquoenlegraveve qursquoune tregravesfine couche de matiegravereLes reacuteglages en usage dans lrsquoatelier sont

ndash vitesse drsquoavancement (09 mmin) ndash vitesse tangentielle de coupe rapide (20 ms)

m Reacuteponses et objectifs de lrsquoeacutetude

Les reacuteponses choisies par lrsquoexpeacuterimentateur sont la rugositeacute et le nombre de picspar uniteacute de longueur (Figure 97) Les reacuteponses sont deacutefinies ainsi

ndash Rugositeacute la rugositeacute est mesureacutee par une meacutethode normaliseacutee Il faut obtenirla valeur la plus faible possible Une valeur infeacuterieure agrave 0150 serait une reacuteussiteLrsquoeacutecart-type de cette mesure est de 0002 uniteacute

ndash Pics par uniteacute de longueur on compte le nombre de pics par uniteacute de lon-gueur Ce nombre doit ecirctre le plus petit possible On vise un nombre de picsinfeacuterieur agrave 50 par uniteacute de longueur Lrsquoeacutecart-type de cette mesure est de deux uniteacutes

m Facteurs

Le contremaicirctre retient deux facteurs

ndash Facteur 1 vitesse drsquoavancement de la meule (en mmin)ndash Facteur 2 vitesse tangentielle de coupe (en ms) Cette vitesse est lieacutee agrave la

vitesse de rotation et au diamegravetre de la meule

Figure 96 ndash Scheacutema drsquousinage drsquoune piegravece par rectification La meule avance en tournant et elle aplanit la surface

Figure 97 ndash Grossissement de la surface rectifieacutee Lors de lrsquousinage des pics sont creacuteeacutes par arra-chement de matiegravere agrave la surface de la piegravece Suivant leur nombre et leur hauteur ces pics sont

responsables de la rugositeacute et de lrsquoaspect de la surface usineacutee

Piegravece agrave usiner

AvanceMeule

Rotation

Rugositeacute

Pic


186



De nombreux autres facteurs sont fixeacutes la forme et la matiegravere de la meule laqualiteacute drsquoabrasion de la meule le meacutetal travailleacute la profondeur de la derniegravere passe(002 mm) etc


Les niveaux haut et bas de chaque facteur sont deacutefinis comme lrsquoindique le tableau 93

m Choix du plan expeacuterimental

Le contremaicirctre commence par un plan factoriel classique mais il soupccedilonne qursquoilsera obligeacute de poursuivre lrsquoeacutetude par un plan pour surfaces de reacuteponse Il preacutevoitdonc deux points de controcircle au centre du domaine drsquoeacutetude

942 Expeacuterimentation (plan factoriel)

Les reacutesultats des essais sont rassembleacutes dans le tableau 94


FacteurNiveaundash121

Niveaundash1

Niveau0

Niveau+1

Niveau+121

Vitesse drsquoavancement (1) 074 09 165 24 256

Vitesse de coupe (2) 1395 15 20 25 2605

Tableau 94 ndash Plan factoriel et reacutesultats

Essai n˚Avance

(1)Coupe

(2)Rugositeacute times 1 000 Pics

1 minus1 minus1 194 778

2 +1 minus1 282 684

3 minus1 +1 120 653

4 +1 +1 91 961

5 0 0 233 638

6 0 0 235 619

Niveau ndash1 09 15

Niveau 0 165 20

Niveau 1 24 25



187

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


943 Interpreacutetation des reacutesultats du plan factoriel

Les reacutesultats des calculs figurent dans le tableau 95 Rappelons que les coefficientssont calculeacutes avec les quatre essais du plan et sans les points de controcircle

m Veacuterification du modegravele PDAI

On veacuterifie la validiteacute du modegravele du premier degreacute avec interactions en comparant lareacuteponse calculeacutee au point de controcircle avec la reacuteponse mesureacutee en ce mecircme pointPour la rugositeacute la reacuteponse calculeacutee au centre du domaine est eacutegale agrave la constantedu modegravele et lrsquoon prend une marge de trois eacutecarts-types

acirc0 = 17175 plusmn 3 = 17175 plusmn 3

Il y a donc 9974 chances que la moyenne de la population de la reacuteponse calculeacuteesoit dans lrsquointervalle [16875 17475]La reacuteponse mesureacutee est eacutegale agrave

y0 = = 234 plusmn 3 = 234 plusmn 424

Il y a donc 9974 chances que la moyenne de la population de la reacuteponse mesureacuteesoit dans lrsquointervalle [22976 23824]Les deux intervalles ne se recouvrent pas (Figure 98) On peut conclure avec une tregravesgrande probabiliteacute de ne pas se tromper que les deux valeurs ne sont pas eacutegales


Effet Rugositeacute times 1 000 Pics

Constante 17175 769

Avance (1) 1475 535

Coupe (2) minus6625 38

12 minus2925 1005

Figure 98 ndash Comparaisons des reacuteponses mesureacutees et calculeacutees

2

4-------times

233 235+2

------------------------ 2

2-------times

0

005

01

015

02

025

03

035

04

045

160 165 170 175 180 185 190 195 200 205 210 215 220 225 230 235 240 245 250

Reacuteponses

Den

siteacute

de

freacuteq

uenc

e


188



On peut aussi employer la formule de comparaison des moyennes (voir annexe 2)

La diffeacuterence entre les deux reacuteponses est de 3594 eacutecarts-types de la diffeacuterence Laprobabiliteacute correspondante est tellement faible qursquoelle correspond agrave la certitudeque les deux valeurs ne sont pas eacutegalesLa conclusion est que le modegravele PDAI ne convient pas et qursquoil faut passer agrave unmodegravele du second degreacute Pour cela il faut ajouter des points en eacutetoile et des pointsau centre

m Position des points en eacutetoile

Crsquoest un sujet qui a passionneacute de nombreux statisticiens et il existe des livresentiers sur cette question En effet il faut savoir que la preacutecision des coefficientsdu modegravele postuleacute est influenceacutee par la position des points du plan drsquoexpeacuteriencesSelon que les points sont bien ou mal placeacutes on peut obtenir les coefficients avecune bonne ou une mauvaise preacutecision Avec les plans agrave deux niveaux baseacutes sur lesmatrices drsquoHadamard (plans factoriels complets fractionnaires et plans de Plackettet Burman) on est sucircr que les points sont toujours bien placeacutes Avec les plans dusecond degreacute il nrsquoen est plus de mecircme Il faut choisir un critegravere de qualiteacute pour lescoefficients En fonction de ce critegravere on calcule la meilleure position possible despoints drsquoexpeacuteriences On suppose que les points axiaux sont agrave la mecircme distance(en grandeurs centreacutees reacuteduites) du centre du domaine drsquoeacutetude et cette distance estnoteacutee aPar exemple on peut vouloir que lrsquoerreur de preacutediction soit la mecircme pour desdistances eacutegalement eacuteloigneacutees du centre du domaine Dans ce cas on choisit lecritegravere drsquoisovariance par rotation La valeur de a est eacutegale agrave

Si lrsquoon veut que le plan composite satisfasse le critegravere drsquoisovariance par rotation ilfaut placer les points en eacutetoile agrave une distance a eacutegale agrave la racine quatriegraveme dunombre de points du plan factorielOn peut vouloir que les coefficients reacutepondent au critegravere de presque-orthogonaliteacuteil faut alors choisir a tel que

La valeur de a est fonction du nombre de points au centre du nombre de pointsdu plan factoriel et du nombre de points du plan en eacutetoile Le tableau 96 permet dechoisir la valeur de α pour les cas les plus souvent rencontreacutes

tacirc0 y0ndash

σa0

2 σy0

2+------------------------ 17175 ndash 234

1 2

+------------------------------- 6225

1732 ------------- 3594 = = = =

α nf1 4frasl=

αnf ( n0 nf nα+ + nf)ndash

2

4--------------------------------------------------------------

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

14---

=



189

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


944 Plan compleacutementaire pour le second degreacute

Le contremaicirctre preacutevoit de faire deux nouveaux points au centre Pour que le plancomposite agrave deux facteurs respecte le critegravere de presque-orthogonaliteacute il fautchoisir

α

=

121 puisqursquoil y a 4 points factoriels 4 points en eacutetoile et 4 points aucentre Le plan est exeacutecuteacute et les reacutesultats figurent dans le tableau 97

Tableau 96

ndash Valeur de

α

en fonction du nombre de points factoriels (

n

f

) en eacutetoile (

n

α

) et centraux (

n

0

) pour le critegravere de presque-orthogonaliteacute

Nombre de facteurs

2 3 4 5 5 6 6

Plan

2

2

2

3

2

4

2

5-1

2

5

2

6-1

2

6

n

f

4 8 16 16 32 32 64

n

α

4 6 8 10 10 12 12

n

0

= 1

1 1215 1414 1547 1596 1724 1761

n

0

= 2

1078 1287 1483 1607 1662 1784 1824

n

0

= 3

1147 1353 1547 1664 1724 1841 1885

n

0

= 4

1210 1414 1607 1719 1784 1896 1943

Tableau 97

ndash Plan drsquoexpeacuteriences compleacutementaire et reacutesultats

Essai n˚Avance

1Coupe

2Rugositeacute

times

1 000 Pics

7

minus

121 0 154 523

8 +121 0 195 604

9 0

minus

121 278 870

10 0 +121 122 957

11 0 0 232 615

12 0 0 230 605

Niveau ndash121 074 1395

Niveau 0 165 20

Niveau +121 256 2605


190



945 Interpreacutetation des reacutesultats du plan composite

Lrsquointerpreacutetation est conduite en reacuteunissant les deux plans le plan factorielinitial et le plan en eacutetoile compleacutementaire Pour cette interpreacutetation les pointsau centre ne sont plus des points de controcircle Ils sont pris en compte dans le calculdes coefficients

m

Modeacutelisation

Le modegravele matheacutematique postuleacute est un modegravele du second degreacute Le mecircme modegraveleest utiliseacute pour les deux reacuteponses

y

= a0 + a1x1 + a2x2 + a12x1x2 + a11 + a22 + e

Les coefficients du tableau 98 permettent drsquoeacutecrire le modegravele de la rugositeacute(R2 = 09993) et celui du nombre de pics (R2 = 09937) en uniteacutes codeacutees

yRugositeacute = 2324 + 157x1 ndash 655x2 ndash 292x1x2 ndash 392 ndash 218

yPics = 621 + 45x1 + 37x2 + 100x1x2 ndash 43 + 196

m Repreacutesentations graphiques des reacutesultats

Les deux modegraveles eacutetablis peuvent servir agrave illustrer les reacutesultats dans le domainedrsquoeacutetude

M Analyse des reacutesidus

On porte la valeur des reacutesidus en fonction des reacuteponses preacutevues (Figure 99) Lespoints semblent reacutepartis au hasard et il nrsquoapparaicirct pas de structures nettes commesur la figure 510 du chapitre 5 Dans ces conditions on considegravere qursquoil nrsquoy a plusdrsquoinformation agrave extraire des donneacutees


Coefficients Rugositeacute times 1 000 Pics

a0 (constante) 2324 621

a1 157 45

a2 minus655 37

a12 minus292 10

a11 minus392 minus43

a22 minus218 196

x12 x2

2

x12 x2

2

x12 x2

2



191

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


M Surfaces de reacuteponse

Le modegravele de la rugositeacute permet de tracer la surface de reacuteponse correspondante(Figure 910) On constate que lrsquoobjectif drsquoune rugositeacute infeacuterieure agrave 0150 peut ecirctreatteint dans le domaine drsquoeacutetude Il suffit de choisir une vitesse drsquoavance et une vitessede coupe qui ensemble donnent une reacuteponse se situant sous la ligne de niveau 150Le modegravele des pics permet de tracer la surface de reacuteponse (Figure 911) On cons-tate que lrsquoobjectif drsquoun nombre de pics infeacuterieur agrave 50 peut ecirctre atteint en limite dudomaine drsquoeacutetude

Figure 99 ndash Diagramme des reacutesidus pour les modegraveles Rugositeacute et Pics

Nombre de pics

3

25

2

15

ndash

ndash

ndash

ndash

ndash

ndash

1

ndash

ndash

ndash

05

0

05

1

15

2

25

3

50 60 70 80 90 100


Reacutes

idu

sR

eacutesid

us

Rugositeacute

3

25

2

15

1

ndash

ndash

ndash

05

0

05

1

15

2

25

3

80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300



192



Agrave lrsquoexamen des deux surfaces de reacuteponse le contremaicirctre srsquoaperccediloit que son objectifpeut ecirctre atteint Il doit choisir un reacuteglage de la vitesse de coupe et de la vitessedrsquoavance qui tienne compte des contraintes portant sur les deux reacuteponses Pouravoir une bonne preacutecision il trace les courbes drsquoisoreacuteponses sur un mecircme graphique(Figure 912)

Figure 910 ndash Surface de reacuteponse de la rugositeacute Cette surface preacutesente un maximum mais cela nrsquoa pas drsquointeacuterecirct ici puisque lrsquoon cherche une rugositeacute infeacuterieure agrave 0150

(Les valeurs de rugositeacute ont eacuteteacute multiplieacutees par 1 000)

Figure 911 ndash Surface de reacuteponse des pics Un nombre de pics infeacuterieur agrave 50 peut ecirctre atteint


Avance (1)ndash15

ndash1

ndash05

0

05

1

Coupe (2)

50100150

200250Rugositeacute

50100150200250 Rugositeacute

50100

100 150

200

250

ndash15

ndash1

ndash05

0

05

1Avance (1)

ndash15

ndash1

ndash05

0

05

1

Coupe (2)

40

60

80

100

120

140Pics

40

60

80

100

120

140 Pics

50

70

70

90

90110

130



193

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


Il constate qursquoil existe une toute petite fenecirctre correspondant (en uniteacutes centreacuteesreacuteduites) agrave

vitesse drsquoavance = minus12vitesse de coupe = 02

m Confirmation des reacutesultats

Comme ce reacuteglage se trouve en extreacutemiteacute de domaine la preacutecision de la preacutevisionnrsquoest pas bonne Il ne peut pas encore donner de directives agrave ses ouvriers Lecontremaicirctre deacutecide de faire des essais de confirmation Il calcule en uniteacutes normalesla vitesse de coupe et la vitesse drsquoavance correspondant aux valeurs centreacutees reacuteduites

vitesse drsquoavance = 075 mminvitesse de coupe = 21 ms

Il fait reacutealiser plusieurs piegraveces selon ces reacuteglages et obtient des surfaces qui luiconviennent parfaitement Il veacuterifie par des mesures de la rugositeacute et du nombrede pics que les preacutevisions des modegraveles sont satisfaites


Lrsquoeacutetat de surface des piegraveces rectifieacutees peut ecirctre ameacutelioreacute si lrsquoon choisit correctementles conditions drsquousinage Pour une profondeur de passe de 002 mm la vitesse

Figure 912 ndash Courbes drsquoisoreacuteponses pour la rugositeacute (traits pleins) et pour le nombre de pics (traits pointilleacutes)

ndash12 ndash08 ndash04 0 04 08 12

Avance (1)

ndash12

ndash08

ndash04

0

04

08

12

Vitessede coupe

(2)

14

16

18

20

22

24

26

075 09 105 12 135 15 165 18 195 21 225 24 255

50

100100

150

200

250

50

60

60

70

70

80

80

90100


194

95 Exemple 13 un yoghourt doux(exemple de plan de Box-Behnken)


drsquoavance de la meule doit ecirctre de 075 mmin et sa vitesse tangentielle doit ecirctre de21 ms Ces reacuteglages sont stricts car ils sont placeacutes sur le flanc des surfaces dereacuteponse et par suite instables Ces reacuteglages ne sont pas robustes et les ouvriersdevront faire tregraves attention et respecter les points de consigne Une augmentationde la vitesse drsquoavance deacuteteacuteriore lrsquoeacutetat de surface Une diminution de la vitessedrsquoavance ameacuteliorerait lrsquoeacutetat de surface mais nrsquoest pas eacuteconomique Une augmentationou une diminution de la vitesse tangentielle de coupe deacuteteacuteriore lrsquoeacutetat de surfaceLe contremaicirctre deacutecide donc de donner de nouvelles directives drsquousinage qui devrontecirctre parfaitement respecteacutees Il appose la note suivante au tableau drsquoaffichage

Rectification les conditions finales drsquousinage devront ecirctre impeacuterativement

vitesse drsquoavance = 075 mmin

vitesse tangentielle de coupe = 21 ms

profondeur de passe = 002 mm

95 Exemple 13 un yoghourt doux (exemple de plan de Box-Behnken)



Dans un laboratoire industriel un chercheur est chargeacute drsquoeacutetudier lrsquoinfluence deplusieurs facteurs susceptibles de diminuer lrsquoaciditeacute des yoghourts Lrsquoaciditeacute estproduite par les ferments lactiques qui transforment le lactose en acide lactiqueCrsquoest la forte concentration de cet acide qui donne le goucirct particulier desyoghourts bulgares Lrsquoobjectif de lrsquoeacutetude est de diminuer le goucirct acide de ces laitsfermenteacutes Agrave cet effet on preacutepare un lait stabiliseacute agrave partir drsquoun stabilisant naturelqui atteacutenue les variations drsquoaciditeacute du produit final le yoghourt malgreacute la preacutesencedes ferments lactiquesLa premiegravere eacutetape du proceacutedeacute (Figure 913) consiste agrave diluer le lait brut par delrsquoeau opeacuteration neacutecessaire pour pouvoir traiter ensuite le lait brut

Figure 913 ndash Scheacutema de preacuteparation du lait servant agrave fabriquer des yoghourts dont lrsquoaciditeacute est reacuteduite

LAIT BRUT CONCENTRATION

EAU

LACTOSE

+EAU

STABILISANT

LAIT PREcirc T Agrave LrsquoEMPLOI



195

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


La seconde eacutetape du proceacutedeacute est une concentration qui eacutelimine une partie du lactoseet de lrsquoeau Ayant moins de lactose agrave leur disposition les ferments produirontmoins drsquoacide lactique Les deux premiegraveres eacutetapes ont modifieacute le lait qui doit ecirctrestabiliseacute Crsquoest pourquoi le lait subit un nouveau traitement On injecte un stabili-sant Cette injection ne modifie pas le volume du lait traiteacute On obtient en fin deproceacutedeacute un lait stabiliseacute et precirct agrave lrsquoemploi

m Facteurs

Les trois facteurs retenus par lrsquoexpeacuterimentateur sont

ndash Facteur 1 taux de dilution Crsquoest le rapport volume drsquoeau ajouteacuteevolume delait brut

ndash Facteur 2 pH lieacute agrave lrsquoinjection de stabilisant On ajoute la quantiteacute neacutecessaire destabilisant pour obtenir un pH donneacute en fin drsquoinjection Crsquoest le pH qui estcontrocircleacute

ndash Facteur 3 taux de concentration du lait Crsquoest le rapport volume de lait brutvolume de lait stabiliseacute Le volume de lait stabiliseacute est infeacuterieur au volume delait brut Ce rapport est donc plus grand que lrsquouniteacute



m Reacuteponses

La reacuteponse choisie par lrsquoexpeacuterimentateur est lrsquolaquo appauvrissement acide raquo qui mesurela perte en acide lactique Lrsquoappauvrissement acide est drsquoautant meilleur que savaleur est plus eacuteleveacutee On cherchera donc des conditions de preacuteparation du lait quiconduisent agrave une forte valeur de cette reacuteponse Lrsquoobjectif est drsquoobtenir un lait stabiliseacuteayant un appauvrissement acide au moins eacutegal agrave 48


Lrsquoexpeacuterimentateur srsquoattend agrave des variations de la reacuteponse correspondant agrave unmodegravele du second degreacute Apregraves avoir examineacute son problegraveme en deacutetail il retient unplan de Box-Behnken qui permet drsquoeacutetablir le modegravele deacutesireacute et ne neacutecessite qursquounnombre restreint drsquoessais


Facteur Niveau -ndash1 Niveau +1

Dilution (1) 05 2

pH (2) 6 5

Concentration (3) 15 25


196




Les reacutesultats des essais sont rassembleacutes dans le tableau 910 Les essais ont eacuteteacutereclasseacutes dans lrsquoordre classique de preacutesentation du plan de Box-Behnken Les chif-fres entre parenthegraveses indiquent lrsquoordre drsquoexeacutecution des essais Par exemple lrsquoessain˚ 1 (5) est lrsquoessai n˚ 1 du plan classique de Box-Behnken et il a eacuteteacute exeacutecuteacute encinquiegraveme

Tableau 910 ndash Matrice drsquoexpeacuteriences et reacutesultats expeacuterimentaux

Essai n˚Dilution

(1)pH(2)

Concentration(3)

Reacuteponses

1 (5) ndash ndash 0 513

2 (9) + ndash 0 426

3 (7) ndash + 0 422

4 (12) + + 0 504

5 (6) ndash 0 ndash 407

6 (2) ndash 0 + 415

7 (13) + 0 ndash 413

8 (10) + 0 + 408

9 (4) 0 ndash + 352

10 (11) 0 + ndash 353

11 (3) 0 ndash ndash 395

12 (14) 0 + + 398

13 (1) 0 0 0 508

14 (8) 0 0 0 501

15 (15) 0 0 0 494

Niveau ndash1 05 6 15

Niveau 0 125 55 2

Niveau +1 2 5 25



197

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



m Modeacutelisation

Le modegravele matheacutematique postuleacute est un modegravele du second degreacute

y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a12x1x2 + a13x1x3 + a23x2x3 + a11 + a22 + a33 + e

Lrsquointerpreacutetation commence par le calcul des coefficients du modegravele (Tableau 911)

Ces coefficients permettent drsquoeacutetablir le modegravele du second degreacute (R2 = 09968)

y = 501 ndash 007x1 ndash 011x2 + 006x3 + 422x1x2

ndash 032x1x2 + 22x2x3 + 007 ndash 355 ndash 91

Les reacutepeacutetitions au centre permettent de calculer une estimation de lrsquoerreur expeacuteri-mentale (erreur pure) La somme des carreacutes de lrsquoerreur expeacuterimentale est 098 avecdeux degreacutes de liberteacute (Tableau 912) On trouve un eacutecart-type de 07La somme des carreacutes due au manque drsquoajustement est de 03825 avec trois degreacutesde liberteacute Lrsquoerreur drsquoajustement est de 0357 elle est donc plus faible que lrsquoerreurpure On ne pourra pas statistiquement parlant diffeacuterencier ce modegravele drsquoautresmodegraveles matheacutematiques ayant eux aussi une erreur drsquoajustement de lrsquoordre degrandeur de lrsquoerreur expeacuterimentale


Coefficients Appauvrissement Coefficients Appauvrissement

Constante a0 5010 a12 422

a13 minus032

a1 minus007 a23 220

a2 minus011 a11 007

a3 006 a22 minus355

a33 minus910

Tableau 912 ndash Comparaison du manque drsquoajustement et de lrsquoerreur expeacuterimentale

Origine des variations Somme des carreacutes Degreacutes de liberteacute Carreacutes moyens

Manque drsquoajustement 03825 3 01275

Erreur pure 09800 2 04900

Reacutesidus 13625 5 02725

x12 x2

2 x32

x12 x2

2 x32


198



Analyse des reacutesidus la dispersion des reacutesidus ne preacutesente pas vraiment de tendanceparticuliegravere (Figure 914) Rien de speacutecial nrsquoapparaicirct sur ce graphique et les reacutesidussemblent bien reacutepartis au hasard

Le modegravele que nous avons eacutetabli explique bien les reacutesultats expeacuterimentaux Tous lestests drsquoeacutevaluation le confirment Mais avant drsquoutiliser ce modegravele il faut le valider

m Interpreacutetation des reacutesultats

Lrsquoobjectif est drsquoobtenir un appauvrissement acide supeacuterieur agrave 48 En regardant lemodegravele on voit immeacutediatement que cet objectif peut ecirctre atteint dans le domainedrsquoeacutetude puisqursquoau point central lrsquoappauvrissement est de 50 On recherche la reacutegiondu domaine drsquoeacutetude ougrave cette condition est respecteacuteeDrsquoun point de vue eacuteconomique on a inteacuterecirct agrave choisir la dilution la plus faiblepossible niveau minus1 Crsquoest en effet pour ce niveau que lrsquoon ajoute le moins drsquoeaupour une quantiteacute donneacutee de lait brut Par conseacutequent les frais de fabricationseront moins eacuteleveacutes puisqursquoil y aura moins drsquoeau agrave extraire La dilution choisie estdonc 05Pour trouver le pH et la concentration regardons la figure 915 Les courbesdrsquoisoreacuteponses indiquent qursquoil y a une reacuteponse maximale Les coordonneacutees de cemaximum sont obtenues avec un logiciel de plans drsquoexpeacuteriences

La reacuteponse preacutedite en ce point est 5160Si lrsquoon revient aux grandeurs naturelles les conditions optimales sont les suivantes

ndash Le taux de dilution sera reacutegleacute agrave 05 (niveau minus1) Cela signifie que lrsquoon ajouteraen deacutebut de traitement un volume drsquoeau eacutegal agrave la moitieacute du volume de lait brut

Figure 914 ndash Diagramme des reacutesidus de la reacuteponse laquo Appauvrissement acide raquo

Appauvrissement acide

ndash1

075

ndash05

ndash

ndash

025

0

025

05

075

1

30 35 40 45 50 55


Reacute

sid

us

x2 = 061ndash

x3 = 005ndash


96 Exemple 14 lrsquoinsecticide(exemple de plan de Doehlert)

199

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


ndash Le pH sera fixeacute agrave 58 (niveau minus061) On ajoutera la quantiteacute neacutecessaire destabilisant pour obtenir un pH de 58 en fin drsquoinjection

ndash Le taux de concentration du lait sera presque 2 (niveau minus005) Le taux deconcentration du lait est deacutefini par le rapport (volume de lait brutvolume de laitstabiliseacute) Le volume de lait stabiliseacute sera eacutegal agrave la moitieacute du volume de lait brut


Le lait stabiliseacute aura le meilleur appauvrissement acide possible si ndash on dilue le lait brut aux proportions suivantes un volume drsquoeau pour deux

volumes de lait brut ndash on arrecircte lrsquoinjection de stabilisant agrave pH = 58Dans ces conditions on obtiendra un volume de lait stabiliseacute pour deux volumesde lait brut et lrsquoappauvrissement acide sera au moins de 50

96 Exemple 14 lrsquoinsecticide (exemple de plan de Doehlert)



Un fabricant drsquoinsecticide souhaite adapter son produit aux deacutesirs de la clientegravele Illui faut eacutequilibrer son produit crsquoest-agrave-dire mettre les justes concentrations desdiffeacuterents ingreacutedients pour obtenir les meilleurs reacutesultats Il eacutetudie les trois produitsde base qui constituent le produit commercial ndash lrsquoinsecticide lui-mecircme crsquoest le produit mortel qui tue les nuisibles

Figure 915 ndash Courbes drsquoisoreacuteponses dans le plan pHndashconcentration pour une dilution de 05

ndash 1 ndash 05 0 05 1pH (2)

Dilution 05

ndash 1

ndash 05

0

05

1

Co

nce

ntr

atio

n (

3)

3540

4040

4550


200



ndash le knock down crsquoest une substance qui endort rapidement la vermine ndash le synergiste crsquoest un composeacute qui preacutepare et renforce lrsquoaction de lrsquoinsecticide

Ces trois produits sont dilueacutes dans un composeacute support qui les maintient ensuspension et facilite leur vaporisation au moment de lrsquoemploi Un parfum estajouteacute pour masquer lrsquoodeur peu agreacuteable des produits de base


Le responsable retient comme facteurs les concentrations de chacun des produitsde base

ndash Facteur 1 concentration en insecticidendash Facteur 2 concentration en knock downndash Facteur 3 concentration en synergiste


m Reacuteponses

Les reacuteponses choisies par lrsquoexpeacuterimentateur sont le M24 et le KT50

ndash M24 crsquoest le pourcentage de nuisibles morts au bout de 24 heures Lrsquoobjectif estdrsquoobtenir la plus grande valeur possible On vise au moins 95 et lrsquoon chercheraplus si possible

ndash KT50 crsquoest le temps en minutes au bout duquel 50 de la populationteacutemoin est endormie Lrsquoobjectif est drsquoobtenir le plus faible KT50 possible UnKT50 de 5 min ou moins serait excellent Un KT50 compris entre 5 et 10 minserait un bon reacutesultat

m Plans drsquoexpeacuteriences

Les biologistes savent qursquoil faut srsquoattendre agrave des surfaces de reacuteponse du seconddegreacute Un plan de Doehlert pour trois facteurs semble parfaitement convenir


Les trois facteurs laquo insecticide raquo laquo knock down raquo et laquo synergiste raquo sont eacutetudieacutes Lesexpeacuterimentateurs preacutevoient trois points au centre Les reacutesultats des essais sontrassembleacutes dans le tableau 914


Facteur Niveau ndash1 Niveau 0 Niveau +1

Insecticide (1) 001 003 005

Knock down (2) 01 04 07

Synergiste (3) 0 1 2



201

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



m Calcul des coefficients

On conduit les calculs pour chacune des deux reacuteponses (Tableau 915 illustreacute parla Figure 916) On constate de tregraves fortes courbures pour les coefficients a11 et a33du M24 et pour le coefficient a33 du KT50

Tableau 914 ndash Plan drsquoexpeacuteriences et reacutesultats

Essai n˚Insecticide

(1)Knock down

(2)Synergiste

(3)KT50 M24

1 0 0 0 11 75

2 +1 0 0 15 57

3 +05 +0866 0 11 56

4 minus05 +0866 0 6 65

5 minus1 0 0 8 60

6 minus05 minus0866 0 14 66

7 +05 minus0866 0 15 72

8 0 0 0 10 75

9 minus05 +0289 +0816 2 91

10 0 minus0577 +0816 8 99

11 +05 +0289 +0816 10 81

12 minus05 minus0289 minus0816 11 72

13 0 +0577 minus0816 8 81

14 +05 minus0289 minus0816 11 80

15 0 0 0 12 74


Niveau 0 003 04 1

Niveau +1 005 07 2


202



Tableau 915 ndash Coefficients des modegraveles M24 et KT50 (uniteacutes codeacutees)

Coefficients M24 KT50

Constante a0 747 11

a1 minus14 35

a2 minus48 minus332

a3 77 minus204

a12 minus87 231

a13 minus79 408

a23 minus98 071

a11 minus162 050

a22 minus78 050

a33 20 minus425

Figure 916 ndash Diagrammes agrave barres des coefficients des modegraveles du M24 et du KT50

M 24

KT 50

2

ndash 5

ndash 4

ndash 3

ndash 2

ndash 1

0

1

2

3

4

5

0

15

ndash

ndash

ndash

10

ndash5

0

5

10

15

20

1 2 3 12 13 23

23

11 22 33

1 2 3 12 13 11 22 33


Val

eur

des

co

effi

cien

ts



203

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


m Modeacutelisation

Drsquoougrave les modegraveles (uniteacutes codeacutees) du M24 (R2 = 09995) et du KT50 (R2 = 0983)

yM24 = 747 ndash 14x1 ndash 48x2 + 77x3 ndash 87x1x2 ndash 79x1x3 ndash 98x2x3

ndash 162 ndash 78 + 20

yKT50 = 11 + 350x1 ndash 332x2 ndash 204x3 + 231x1x2 + 408x1x3 + 071x2x3

+ 050 + 050 ndash 425

On constate que le M24 est maximal pour une teneur en synergiste de +0816crsquoest-agrave-dire pour une concentration de 18 Lrsquoobjectif eacutetant de faire disparaicirctre leplus possible de vermine crsquoest cette concentration qui sera adopteacutee Avantdrsquoutiliser les modegraveles preacuteceacutedents on effectue une analyse des reacutesidus et lrsquoon preacutevoitdes expeacuteriences de controcircle pour veacuterifier la validiteacute des conclusions

Figure 917 ndash Variation des reacuteponses en fonction des facteurs

x12 x2

2 x32

x12 x2

2 x32

ndash ndash ndash1

100

0 1

50

M 2

4

1 0 1 08 08

75

0

ndash ndash ndash1

15

0 1

5

KT

50

1 0 1

Knock downInsecticide Synergiste

08 08

10

0


204



m Analyse des reacutesidus

Rien drsquoanormal nrsquoapparaicirct sur le graphique des reacutesidus (Figure 918)

m Repreacutesentation graphique des reacutesultats

Dans le modegravele du M24 remplaccedilons x3 par la valeur +0816 On obtient ainsi lemodegravele du M24 pour le plan x3 = +0816

yM24 = 943 ndash 78x1 ndash 128x2 ndash 87x1x2 ndash 162 ndash 78

Ce modegravele permet de tracer la surface de reacuteponse (Figure 919) On constate quelrsquoobjectif peut ecirctre atteint Les preacutevisions obtenues avec le modegravele montrent que lrsquoonpeut deacutepasser une mortaliteacute de 90 La mortaliteacute la plus eacuteleveacutee est atteinte pour

x1 = minus002 ou insecticide agrave 003

x2 = minus08 ou knock down agrave 016

La reacuteponse est alors eacutegale agrave 995 Traccedilons la surface de reacuteponse du KT50 (Figure 920) pour le mecircme niveau de x3soit +0816 (18 de synergiste) Le modegravele est

yKT50 = 66 + 68x1 ndash 27x2 + 23x1x2

Figure 918 ndash Diagramme des reacutesidus pour les modegraveles M24 et KT50

M 24

ndash1

ndash 075

ndash 05

ndash 02 5

0

025

05

075

1

50 60 70 80 90 100

KT 50

ndash 10

ndash 05

00

05

10

0 5 10 15 20


Reacutes

idu

s

x12 x2

2



205

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


On peut tracer sur un mecircme graphique les courbes isoreacuteponses pour le M24 et leKT50 (Figure 921) Le KT50 est leacutegegraverement infeacuterieur agrave 10 minutes lorsque leM24 vaut 995

Figure 919 ndash Surface de reacuteponse du M24 pour une concentration de 18 en synergiste (niveau 0816)

Figure 920 ndash Surface de reacuteponse du KT50 pour une concentration de 18 en synergiste

ndash 1

ndash 05

0

05Insecticide (1)

ndash 1

ndash 05

0

05

Knock down (2)

40

60

80

100M24

40

60

80

100 M24

5060

70

80

90

ndash1

ndash05

0

05Insecticide (1)

ndash1

ndash05

0

05

Knock down (2)

ndash10

ndash5

5

10

15KT50

ndash10

ndash5

5

10

15 KT50-4-2

024

6 8 10 12


206




Le modegravele du M24 permet de preacuteciser la reacutegion ougrave lrsquoon peut trouver une bonnemortaliteacute La composition du produit commercial agrave ce stade de lrsquoeacutetude est ndash Concentration en insecticide 003 (niveau 0)ndash Concentration en knock down 016 (niveau minus08)ndash Concentration en synergiste 180 (niveau +08)Avec cette composition on peut espeacuterer un KT50 leacutegegraverement infeacuterieur agrave 10 min etun M24 largement supeacuterieur agrave 95 (Figure 921) Les objectifs fixeacutes au deacutepart delrsquoeacutetude peuvent ecirctre atteints Des expeacuteriences de controcircle ont eacuteteacute lanceacutees et ontconfirmeacute les conclusions de lrsquoeacutetude

Figure 921 ndash Courbes drsquoisoreacuteponses du KT50 (hyperboles en traits pointilleacutes) et du M24 (ellipses en traits pleins) dans le plan x3 = 0816

ndash 1 ndash 05 0 05 1

Insecticide (1)

ndash 1

ndash 05

0

05

1

Knock down (2)

01

02

03

04

05

06

07

001 002 003 004 005

0

5 10

50

60

7080

90


207

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

10 bull PLANS DE MEacuteLANGES

Dans les plans drsquoexpeacuteriences classiques (plans factoriels plans pour surfaces dereacuteponse) les facteurs sont indeacutependants Cela signifie que lrsquoon peut choisir entoute liberteacute le niveau drsquoun facteur quels que soient les niveaux deacutejagrave attribueacutes auxautres facteurs Par exemple si pour un plan 24 on a choisi les niveaux des troispremiers facteurs on pourra encore choisir librement les niveaux du quatriegravemefacteur Cette liberteacute nrsquoexiste pas lorsque lrsquoon eacutetudie des meacutelanges car en geacuteneacuteralon eacutetudie les reacuteponses en fonction des proportions des constituants du meacutelangeDans ce cas les facteurs drsquoeacutetude sont les proportions des constituants du meacutelangeComme la somme de ces proportions est toujours eacutegale agrave 100 le pourcentagedu dernier constituant est imposeacute par la somme des pourcentages des premierscomposeacutes du meacutelange Dans cette situation les facteurs ne sont pas indeacutependantset cela entraicircne des problegravemes particuliersLa meacutethodologie de mise en forme de lrsquoeacutetude et la conduite des essais sont tout agravefait comparables agrave celles des plans drsquoexpeacuteriences classiquesIl faut bien se rendre compte qursquoil y a plan de meacutelanges lorsque la reacuteponse eacutetudieacuteedeacutepend des proportions des constituants du meacutelange et non des quantiteacutes de meacutelangeutiliseacutees Par exemple la recette drsquoun cocktail est une indication de la proportion desdiffeacuterents ingreacutedients La mise au point du cocktail en faisant varier les propor-tions des produits est la reacutealisation drsquoun plan de meacutelanges En revanche laconsommation du cocktail en plus ou moins grande quantiteacute (mais qui doit resterraisonnable car lrsquoabus drsquoalcool nuit gravement agrave la santeacute) ne fait plus partie desplans de meacutelanges Si la reacuteponse deacutepend de la quantiteacute du meacutelange il srsquoagit alorsde plans drsquoexpeacuteriences classiques pour lesquels le choix des niveaux est libreNous commencerons par examiner le problegraveme de la non-indeacutependance desfacteurs qui est agrave la base de la distinction entre les plans de meacutelanges et les plansdrsquoexpeacuteriences classiques La non-indeacutependance des facteurs est exprimeacutee par lacontrainte fondamentale des meacutelanges

101 Contrainte fondamentale des meacutelangesSoit un meacutelange ayant n constituants Le premier constituant repreacutesente un certainpourcentage du meacutelange le second constituant un autre pourcentage du meacutelange etcAinsi chaque constituant participe pour une certaine part au meacutelange total Maislrsquoensemble des constituants du meacutelange forme un tout et la somme de leurs teneursest eacutegale agrave 100 Lorsque lrsquoon a deacutefini les proportions des n minus 1 premiers consti-tuants la proportion du dernier ne peut plus ecirctre choisie elle est deacutejagrave deacutetermineacutee


208

102 Repreacutesentation geacuteomeacutetrique des meacutelanges10 bull Plans de meacutelanges

Si lrsquoon note xi la teneur en constituant i la somme des teneurs de tous les constituantsdu meacutelange satisfait agrave la relation

La teneur de chaque constituant reste comprise entre 0 et 100 Lorsqursquoon augmentela teneur de lrsquoun des constituants la teneur des autres est automatiquement diminueacuteepour que la somme de toutes les teneurs reste eacutegale agrave 100 Si au lieu drsquoutiliser les pourcentages on ramegravene la somme des teneurs des diffeacuterentsconstituants agrave lrsquouniteacute on eacutecrira

Cette relation srsquoappelle la contrainte fondamentale des meacutelanges Crsquoest agrave cause decette contrainte que les meacutelanges doivent ecirctre eacutetudieacutes agrave part car les repreacutesentationsgeacuteomeacutetriques des plans de meacutelanges sont diffeacuterentes des repreacutesentations utiliseacuteespour les plans drsquoexpeacuteriences classiques et les modegraveles matheacutematiques sont euxaussi profondeacutement modifieacutes

102 Repreacutesentation geacuteomeacutetrique des meacutelanges

1021 Meacutelange agrave deux constituants

Soit x1 la teneur du premier constituant et x2 la teneur du second Adoptons larepreacutesentation carteacutesienne lrsquoaxe Ox1 est orthogonal agrave lrsquoaxe Ox2 Les axes sont gradueacutesen proportions variant de 0 agrave 1 Un meacutelange quelconque contenant xa de A et xb

de B est repreacutesenteacute par un point situeacute agrave lrsquointersection des coordonneacutees xa et xb

(Figure 101) Ce point qui repreacutesente un meacutelange est appeleacute soit point de compositionsoit point de meacutelange soit tout simplement point

Figure 101 ndash Repreacutesentation drsquoun meacutelange dans un systegraveme drsquoaxes carteacutesiens

xi

i 1=

i n=

sum 100 =

xi

i 1=

i n=

sum 1=

Produit A

Meacutelange

Produit B

050025 075 100000

050

025

075

100

x a

xb



209

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

10 bull Plans de meacutelanges

La contrainte des meacutelanges introduit une relation entre xa et xb xa + xb = 1

que lrsquoon peut eacutecrire xb = minusxa + 1

Cette derniegravere relation exprime que les points de coordonneacutees xa et xb sont sur unedroite de pente minus1 coupant lrsquoaxe du produit A au point drsquoabscisse 100 (point Asur la figure 102) et lrsquoaxe du produit B au point drsquoordonneacutee 100 (point B sur lafigure 102) Les compositions xa et xb variant entre 0 et 1 il nrsquoy a que le segment ABqui soit utile Toutes les compositions possibles des meacutelanges des deux produits Aet B sont repreacutesenteacutees par les points de ce segment de droite

On peut donc ne conserver que ce segment de droite et abandonner les axes Ox1et Ox2 Le produit pur A est repreacutesenteacute par lrsquoune des extreacutemiteacutes du segment ABLe produit B est repreacutesenteacute par lrsquoautre extreacutemiteacute Ce segment porte une doublegraduation (Figure 103) celle des teneurs du premier produit et celle des teneursdu second produit La lecture de la composition des meacutelanges sur ce segment demandeun certain apprentissage Elle se lit agrave la fois de droite agrave gauche et de gauche agrave droite

1022 Lecture du diagramme des meacutelanges binaires

Le segment de la figure 103 repreacutesente les meacutelanges des deux constituants A et BLe produit A est agrave droite et le produit B est agrave gauche La graduation infeacuterieure estcelle du produit A Elle varie de 0 agrave gauche agrave 1 agrave droite La graduation supeacuterieureest celle du produit B Elle varie de 0 agrave droite agrave 1 agrave gauche

Figure 103 ndash Repreacutesentation des meacutelanges agrave deux constituants sur un segment de droite

Produit B

Produit A

Meacutelange 1

Meacutelange 2

000 050025 075 100

050

025

075

100B

A

Figure 102 ndash Les compositions des meacutelanges agrave deux constituants peuvent ecirctre repreacutesenteacutees par les points du segment de droite AB

Eacutechelle du produit B

Eacutechelle du produit A

000 050025 075 100

000025050075100

AB


210


Les eacutechelles se lisent lrsquoune dans un sens lrsquoautre dans lrsquoautre sens La somme desteneurs en un point de lrsquoeacutechelle est eacutegale agrave lrsquouniteacute

Un premier meacutelange (meacutelange 1) est illustreacute par un point situeacute agrave 20 de A et80 de B Ce point est pregraves de B et loin de A ce qui est normal puisqursquoil y a plusde B que de A dans le meacutelange (Figure 104) Un second meacutelange (meacutelange 2) estillustreacute par un point situeacute agrave 77 de A et 23 de B Ce point est pregraves de Apuisque crsquoest le constituant le plus important On peut supprimer lrsquoune des deuxeacutechelles puisque la somme des teneurs en un point est toujours eacutegale agrave 1 Connaissantlrsquoune des teneurs une simple soustraction donne la teneur compleacutementaire Crsquoesten geacuteneacuteral ce qui est fait

1023 Lecture du diagramme des meacutelanges ternaires

Un raisonnement semblable agrave celui que nous avons tenu pour deux constituantsmontre que lrsquoon peut repreacutesenter les meacutelanges ternaires agrave lrsquoaide drsquoun triangle eacutequi-lateacuteral Les produits purs sont aux sommets du triangle eacutequilateacuteral Les meacutelangesbinaires sont repreacutesenteacutes par les cocircteacutes du triangle Par exemple le cocircteacute gauche AB dutriangle (Figure 105) repreacutesente les compositions des meacutelanges des seuls produits Aet B et ces meacutelanges ne contiennent pas de produit CChaque cocircteacute du triangle eacutequilateacuteral est gradueacute de 0 agrave 1 On nrsquoa laisseacute que lrsquoeacutechelledrsquoun seul produit sur chaque cocircteacute Lrsquoeacutechelle de lrsquoautre produit se deacuteduit parcompleacutement agrave 1 Le cocircteacute AB est gradueacute pour le produit A 1 est au point A et 0 aupoint B Crsquoest lrsquoeacutechelle du produit A Le cocircteacute BC est gradueacute pour le produit B 1est au point B et 0 est au point C Le cocircteacute CA est gradueacute pour le produit C 1 estau point C et 0 est au point AUn point de la surface inteacuterieure du triangle eacutequilateacuteral repreacutesente un meacutelangeternaire Les compositions de chaque produit se lisent sur les cocircteacutes du triangle Lateneur en produit A se lit sur le cocircteacute AB qui est lrsquoeacutechelle du produit A On projettele point M sur AB parallegravelement agrave BC (cocircteacute opposeacute agrave A) De mecircme la teneur en Bse lit sur lrsquoeacutechelle de B (cocircteacute BC) en projetant le point M sur BC parallegravelement agraveAC (cocircteacute opposeacute agrave B) Enfin la teneur en C se lit sur lrsquoeacutechelle de C (cocircteacute AC) enprojetant le point M sur agrave AC parallegravelement agrave AB (cocircteacute opposeacute agrave C)

Figure 104 ndash Le meacutelange 1 contient 20 de A et 80 de B Le meacutelange 2 contient 77 de A et 23 de B



000 050025 075 100

000025050075100

Meacutelange 1

Meacutelange 2

AB



211

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


Les teneurs respectives des trois constituants dans le meacutelange sont donneacutees par lesrelations

bM = Ba = teneur en A dans le meacutelange McM = Cb = teneur en B dans le meacutelange MaM = Ac = teneur en C dans le meacutelange M

Les proprieacuteteacutes geacuteomeacutetriques du triangle eacutequilateacuteral assurent le respect de lacontrainte fondamentale des meacutelanges

Ma + Mb + Mc = Ac + Ba + Cb = AB = AC = BC = 1

1024 Meacutelanges agrave quatre constituants

Les quatre produits purs sont aux sommets drsquoun teacutetraegravedre reacutegulier (Figure 106)Les meacutelanges binaires sont repreacutesenteacutes par les cocircteacutes du teacutetraegravedre Les meacutelanges ternairessont repreacutesenteacutes par les faces du teacutetraegravedre qui sont des triangles eacutequilateacuteraux Lesmeacutelanges quaternaires sont repreacutesenteacutes par les points du volume inteacuterieur du teacutetra-egravedre On obtient les compositions drsquoun meacutelange en projetant le point repreacutesentatifdu meacutelange sur les faces et sur les cocircteacutes du teacutetraegravedre

Figure 105 ndash Repreacutesentation des meacutelanges agrave trois constituants agrave lrsquoaide drsquoun triangle eacutequilateacuteral

Figure 106 ndash Repreacutesentation des meacutelanges agrave quatre constituants par un teacutetraegravedre reacutegulier

Eacutechelleproduit A

Meacutelange

050 025075100 000

100

075

050

050

025

025075

100000

000A

B C

M

Eacutechelleproduit C

Eacutechelle produit B

ax

xb

cx

b

c

a

Produit A

Produit B

Produit D

Produit C

Meacutelange


212

103 Plans de meacutelanges classiques10 bull Plans de meacutelanges

Afin de ne pas commettre drsquoerreur dans la lecture des compositions on fera atten-tion aux conventions qui ont eacuteteacute adopteacutees pour graduer les cocircteacutes du teacutetraegravedreAu-delagrave de quatre facteurs la repreacutesentation geacuteomeacutetrique nrsquoest plus possible Onutilise alors uniquement la repreacutesentation en tableaux

103 Plans de meacutelanges classiquesLes plans de meacutelanges classiques supposent que les produits purs ont la proprieacuteteacutedrsquousage rechercheacutee et qursquoil nrsquoy a aucune contrainte qui pegravese sur euxLrsquousage est de classer les principaux types de plans de meacutelanges suivant lrsquoemplacementdes points repreacutesentatifs des compositions On distingue ndash les plans en reacuteseauxndash les plans de meacutelanges centreacutesndash les plans de meacutelanges centreacutes augmenteacutes

1031 Plans en reacuteseaux

Les plans en reacuteseaux (Simplex lattice designs dans la litteacuterature anglo-saxonne) sontles premiers plans de meacutelanges qui ont eacuteteacute introduits Ils ont eacuteteacute preacutesenteacutes parScheffeacute dans les anneacutees 1958-1965 Les points de composition sont reacuteguliegraverementrepartis dans lrsquoespace drsquoeacutetude Pour les meacutelanges agrave trois constituants le plus simpledes plans de meacutelanges en reacuteseaux ne contient que les trois produits purs Les pointsrepreacutesentatifs de ces produits sont aux sommets du triangle eacutequilateacuteral (Figure 107)Les coordonneacutees de ces points sont 0 et 1

Le plan qui ne fait intervenir que les produits purs peut ecirctre enrichi par les pointsde composition moyenne crsquoest-agrave-dire par les meacutelanges contenant 50 de chacundes produits Ces points de composition moyenne se situent au milieu des cocircteacutesdu triangle Leurs coordonneacutees sont 0 et 12Les points n˚ 4 5 et 6 forment un reacuteseau La longueur uniteacute des cocircteacutes du trianglea eacuteteacute diviseacutee par 2 et les coordonneacutees de ces points sont eacutegales agrave 12 Si lrsquoon deacutesireun reacuteseau de points plus serreacute il faut diviser la longueur des cocircteacutes par trois Le pasde ce nouveau reacuteseau est 13 On peut continuer agrave construire ainsi des reacuteseaux de

Figure 107 ndash Plan de meacutelanges ne comportant que les trois produits purs

A

B C


103 Plans de meacutelanges classiques

213

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


plus en plus serreacutes en divisant lrsquouniteacute par m Le pas du reacuteseau est de 1m et lescoordonneacutees des points expeacuterimentaux sont 0 1m 2m 3m jusqursquoagrave mm = 1Pour nommer ces plans on adopte la convention suivante on utilise deux chiffresle premier correspond au nombre de constituants du meacutelange et le second corres-pond au diviseur utiliseacute pour eacutetablir le pas du reacuteseau Ces deux chiffres sontseacutepareacutes par une virgule et mis entre deux accolades Ici le plan de la figure 108 estun plan 3 2 soit 3 constituants et un pas de 12 Le plan de la figure 109 est unplan 3 3 soit 3 constituants et un pas de 13Cette notation permet de calculer tregraves rapidement le nombre de compositions agravepreacuteparer et agrave eacutetudier connaissant le nombre de constituants du meacutelange et le nombrem Pour un plan q m le nombre total de compositions diffeacuterentes est eacutegal agrave

Figure 108 ndash Plan de meacutelanges en reacuteseaux (Simplex lattice designs) comportant les trois produits purs et les meacutelanges moitieacute-moitieacute

Ce plan est noteacute 32

Figure 109 ndash Plan de meacutelanges en reacuteseaux (Simplex lattice designs) comportant les trois produits purs et les meacutelanges 13-23 et 13-13-13

Ce plan est noteacute 3 3

A

B C

4 5

6

Cq m 1ndash+m q m 1ndash+( )

m( ) q 1ndash( )------------------------------=

A

B C


214


1032 Plans de meacutelanges centreacutes

Les plans de meacutelanges centreacutes (Simplex-centroid designs dans la litteacuterature anglo-saxonne) se distinguent des plans en reacuteseaux par la preacutesence systeacutematique drsquounpoint central crsquoest-agrave-dire drsquoune composition contenant autant de chacun desconstituants du meacutelange (Figure 1010) Le plan centreacute permettant drsquoeacutetudier troisconstituants comprend

ndash les produits pursndash les meacutelanges moitieacute-moitieacute de deux produits pursndash le meacutelange contenant un tiers de chaque produit pur (point central)

Le nombre N de compositions agrave eacutetudier pour des plans de meacutelanges centreacutes agraveq constituants est donneacute par la formule

N = 2q ndash 1

Par exemple dans le plan de meacutelanges centreacute agrave trois constituants il y a 7 compositionsdiffeacuterentes agrave eacutetudier

N = 23 ndash 1 = 8 ndash 1 = 7

1033 Plans de meacutelanges centreacutes augmenteacutes

Les plans de meacutelanges centreacutes augmenteacutes (Augmented Simplex-centroid designs dans lalitteacuterature anglo-saxonne) sont des plans de meacutelanges centreacutes auxquels on ajouteles centres de graviteacute des simplex unitaires Par exemple le plan de meacutelangescentreacute pour trois composants comprend quatre simplex unitaires (Figure 1011)Le centre de graviteacute de lrsquoun des simplex unitaires est deacutejagrave occupeacute (point noir n˚ 7)Il reste donc agrave ajouter trois points (points blancs n˚ 8 9 et 10) au centre des troisautres simplex unitaires

Figure 1010 ndash Plan de meacutelanges centreacute (Simplex-centroid designs) comportant les trois produits purs les meacutelanges moitieacute-moitieacute

et le meacutelange eacutequiproportionnel des trois produits purs

A

B C

4 5

6

7


104 Modegraveles matheacutematiques des plans de meacutelanges

215

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



Le modegravele matheacutematique appliqueacute aux plans de meacutelanges prend en compte lacontrainte fondamentale des meacutelanges Les polynocircmes utiliseacutes preacutesentent desparticulariteacutes que nous allons indiquer

1041 Modegravele du premier degreacute

On suppose que les variations de la reacuteponse sont proportionnelles aux compositionsdu meacutelange On pourrait adopter en premier lieu le mecircme modegravele que celui desplans factoriels classiques dont les facteurs sont indeacutependants Par exemple pourun meacutelange agrave trois constituants on pourrait eacutecrire en un point donneacute

y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 101

Mais les compositions xi ne sont pas indeacutependantes Il faut tenir compte de lacontrainte fondamentale des meacutelanges

x1 + x2 + x3 = 1

La relation 101 peut alors srsquoeacutecrire

y = a0(x1 + x2 + x3) + a1x1 + a2x2 + a3x3

ou en regroupant les coefficients

y = (a0 + a1)x1 + (a0 + a2)x2 + (a0 + a3)x3

Ce modegravele ne comporte plus de terme constant Si lrsquoon change de notation et quelrsquoon pose

b1 = a1 + a0 b2 = a2 + a0 b3 = a3 + a0

le modegravele prend alors la forme suivante

y = b1x1 + b2x2 + b3x3 102

Figure 1011 ndash Plan de meacutelanges centreacute augmenteacute (Augmented Simplex-centroid designs) comportant les trois produits purs les meacutelanges moitieacute-moitieacute le meacutelange eacutequiproportionnel

des trois produits et les meacutelanges situeacutes aux centres de graviteacute des simplex unitaires

A

B C

4 5

6

9

8

10

7


216

104 Modegraveles matheacutematiques des plans de meacutelanges10 bull Plans de meacutelanges

Il nrsquoy a pas de terme constant Cette disparition est la conseacutequence directe de lacontrainte fondamentale des meacutelanges

1042 Modegravele du second degreacute

Le modegravele matheacutematique du second degreacute comprend les termes du premier degreacuteles termes rectangles et les termes carreacutes Comme preacuteceacutedemment nous allonspartir du modegravele matheacutematique des plans factoriels et nous allons examiner lesconseacutequences de la contrainte fondamentale des meacutelanges Pour un meacutelange agrave deuxconstituants on pourrait eacutecrire sachant qursquoil nrsquoy a pas de constante

y = a1x1 + a2x2 + a12x1x2 + a11 + a22 103

Prenons en compte la contrainte fondamentale des meacutelanges

x1 + x2 = 1

que lrsquoon peut eacutecrire

x1 = 1 ndash x2

Multiplions chaque membre par x1

= x1(1 ndash x2)

= x1 ndash x1x2

On constate que le terme carreacute est converti en un terme du premier degreacute et en unterme rectangle Les termes carreacutes disparaissent donc de la relation initiale Onobtient un modegravele comprenant uniquement des termes du premier degreacute et destermes rectangles soit en adaptant les notations

y = b1x1 + b2x2 + b12x1x2 104

Pour un meacutelange agrave trois constituants on a

y = b1x1 + b2x2 + b3x3 + b12x1x2 + b13x1x3 + b23x2x3

1043 Modegravele du troisiegraveme degreacute

Le modegravele matheacutematique du troisiegraveme degreacute particulier aux plans de meacutelangespeut srsquoobtenir agrave partir drsquoun polynocircme du troisiegraveme degreacute sur lequel on applique lacontrainte fondamentale des meacutelanges Le modegravele appeleacute modegravele cubique completest le suivant


+ bcent12x1x2(x1 ndash x2) + bcent13x1x3(x1 ndash x3) + bcent23x2x3(x2 ndash x3) + bcent123x1x2x3

Il est plus courant drsquoutiliser le modegravele simplifieacute qui ne comprend que les termes dupremier degreacute les termes rectangles et le produit des trois constituants Le modegravelesimplifieacute appeleacute modegravele cubique restreint correspondant agrave un meacutelange de trois consti-tuants est le suivant

y = b1x1 + b2x2 + b3x3 + b12x1x2 + b13x1x3 + b23x2x3 + b123x1x2x3 105

x12 x2

2

x12

x12


105 Exemple 15 les trois polymegraveres

217

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit





Un expeacuterimentateur cherche la relation qui existe entre lrsquoallongement agrave la rupturedes fils fabriqueacutes avec trois polymegraveres (polyeacutethylegravene polystyregravene et polypropylegravene)et la composition de leurs meacutelanges Le modegravele du premier degreacute eacutetant insuffisantpour expliquer les reacutesultats expeacuterimentaux lrsquoexpeacuterimentateur va tester le modegravele dusecond degreacute

m Reacuteponse

La reacuteponse est lrsquoallongement agrave la rupture des fils preacutepareacutes avec les diffeacuterents meacutelangesde polymegraveres

m Facteurs et domaine

Les facteurs sont les proportions de chacun des trois polymegraveres polyeacutethylegravenepolystyregravene et polypropylegraveneLes proportions peuvent varier de 0 agrave 100 car la proprieacuteteacute drsquousage lrsquoallongementagrave la rupture est valable aussi bien pour les produits purs que pour les meacutelangesLe domaine drsquoeacutetude est repreacutesenteacute par tout le triangle eacutequilateacuteral

m Plan

Le plan choisi est un plan de meacutelanges centreacute augmenteacute (Augmented Simplex-centroiddesigns) qui comporte les meacutelanges indiqueacutes dans le tableau 101 Lrsquoexpeacuterimentateurpreacutevoit drsquoutiliser les points n˚ 8 9 et 10 comme points de controcircle (Figure 1012)Ces points ne seront pas utiliseacutes pour eacutetablir le modegravele matheacutematique ils servirontagrave veacuterifier la valeur preacutedictive du modegravele

Figure 1012 ndash Position des points expeacuterimentaux (noirs) et des points de controcircle (gris) du plan utiliseacute pour eacutetudier lrsquoallongement agrave la rupture des meacutelanges de polymegraveres

1

32

4 5

6

7

8

9 10

Polyeacutethylegravene (1)

Polypropylegravene (3)Polystyregravene (2)


218

105 Exemple 15 les trois polymegraveres10 bull Plans de meacutelanges


Les reacutesultats des mesures figurent dans le tableau 101

1053 Interpreacutetation des reacutesultats

m Calcul des coefficients et modeacutelisation

Un plan centreacute augmenteacute pour trois constituants permet de calculer les sept coeffi-cients du modegravele cubique restreint Les trois points de controcircle ne sont pas inteacutegreacutesau calcul de ces coefficients Le tableau 102 donne la valeur des sept coefficients

Tableau 101 ndash Plan drsquoexpeacuteriences et points de controcircle

Meacutelange n˚Polyeacutethylegravene

(1)Polystyregravene

(2)Polypropylegravene

(3)Reacuteponses

1 1 0 0 32

2 0 1 0 25

3 0 0 1 42

4 12 12 0 38

5 12 0 12 39

6 0 12 12 305

7 13 13 13 37

8 23 16 16 37

9 16 23 16 32

10 16 16 23 38

Tableau 102 ndash Coefficients du modegravele cubique restreint (uniteacutes codeacutees)

Coefficient Valeur

b1 32

b2 25

b3 42

b12 38

b13 8

b23 minus12

b123 6



219

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


On obtient ainsi les valeurs numeacuteriques des coefficients du modegravele matheacutematiqueCes coefficients permettent drsquoeacutecrire un modegravele avec lequel on peut calculer les reacuteponsesdans lrsquoensemble du domaine drsquoeacutetude

y = 32x1 + 25x2 + 42x3 + 38x1x2 + 8x1x3 ndash 12x2x3 + 6x1x2x3

m Examen de la validiteacute du modegravele cubique restreint

Lrsquoexpeacuterimentateur a preacutevu trois meacutelanges de controcircle les points n˚ 8 9 et 10(Tableau 103) Calculons avec le modegravele la valeur des reacuteponses preacutevues en ces pointsPuis comparons ces valeurs aux reacuteponses mesureacutees

La comparaison de la reacuteponse mesureacutee et de la reacuteponse calculeacutee montre que lrsquoonpeut consideacuterer ces valeurs comme eacutegales On en conclut que le modegravele cubiquerestreint repreacutesente correctement lrsquoallongement agrave la rupture des fils fabriqueacutes avecdes meacutelanges des trois polymegraveres

m Illustration graphique des reacutesultats

Maintenant que le modegravele est valideacute nous pouvons lrsquoutiliser pour tracer les courbesisoreacuteponses On a ainsi une ideacutee de lrsquoeacutevolution de la grandeur drsquointeacuterecirct en fonctiondes proportions de chacun des constituants (Figure 1013)

Tableau 103 ndash Comparaison des reacuteponses aux points de controcircle

Meacutelange n˚ Reacuteponses mesureacutees Reacuteponses calculeacutees

8 37 3738

9 32 3222

10 38 3822

Figure 1013 ndash Courbes isoreacuteponses (allongement agrave la rupture) traceacutees agrave lrsquoaide du modegravele du second degreacute

0

02

04

0802

04

06

08

1

0020406081

06

10

Polyeacutethylegravene

Polystyregravene Polypropylegravene

40

38

38

36

36

32

28


220



Lrsquoobjectif de connaissance est atteint On peut calculer lrsquoallongement agrave la rupture desmeacutelanges de polyeacutethylegravene-polystyregravene-polypropylegravene pour toutes les compositionsdu domaine drsquoeacutetude Si lrsquoon vise une forte valeur il faudra choisir des meacutelanges agravefortes teneurs en polypropylegravene et agrave tregraves faible teneur en polystyregravene Si on deacutesireun allongement peu sensible aux variations de composition on se placera au pointstationnaire environ 20 de polypropylegravene 30 de polystyregravene et 50 depolyeacutethylegravene Si on cherche un faible allongement agrave la rupture on choisira desmeacutelanges riches en polystyregravene


221

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

11 bull NOTION DE PLAN OPTIMAL

Dans les chapitres preacuteceacutedents nous avons eacutetudieacute les plans drsquoexpeacuteriences classiquesLe nombre drsquoessais deacutependait du plan choisi Apregraves quelques plans drsquoexpeacuterienceslrsquoexpeacuterimentateur se demande srsquoil ne pourrait pas choisir le nombre drsquoessais plutocirctque le plan lui-mecircme Et quand il considegravere lrsquoaspect eacuteconomique la questiondevient laquo Quel est le nombre minimal drsquoessais dont jrsquoai besoin pour traiter monproblegraveme raquo Le preacutesent chapitre est une introduction aux plans drsquoexpeacuteriences opti-maux qui apportent une reacuteponse agrave cette question poseacutee Ces plans portent aussi le nomde custom designs dont la traduction pourrait ecirctre plans sur mesure pour bien montrerqursquoils sont conccedilus pour srsquoadapter agrave lrsquoeacutetude et aux exigences de lrsquoexpeacuterimentateur

111 Exemple drsquoHotelling

Pour illustrer les problegravemes souleveacutes par le choix drsquoune strateacutegie expeacuterimentalenous allons prendre lrsquoexemple des peseacutees de Hotelling En effet la premiegraverepersonne qui srsquoest poseacute la question de lrsquooptimisation des peseacutees est Hotelling qui apublieacute en 1944 une eacutetude sur ce sujet (voir bibliographie) On peut ecirctre surprisque ce problegraveme drsquooptimisation nrsquoait eacuteteacute abordeacute qursquoen 1944 degraves lors que lrsquoon pegravesedepuis des milliers drsquoanneacuteesSupposons qursquoun expeacuterimentateur possegravede un treacutebuchet analogue agrave celui repreacutesenteacutesur la figure 111 et qursquoil a deux objets A et B dont il veut deacuteterminer les masses ma et mb

Figure 111 ndash Balance agrave deux plateaux


222

111 Exemple drsquoHotelling11 bull Notion de plan optimal

Sur un plateau il met lrsquoobjet A et sur lrsquoautre il ajoute des poids jusqursquoagrave ce quelrsquoaiguille revienne agrave sa position drsquoeacutequilibre initiale (Figure 112) Soit p1 le totaldes poids agrave ce moment Comme lrsquoexpeacuterimentateur sait qursquoil commet une erreur ssur p1 il eacutecrit

ma = p1 + s

Pour le deuxiegraveme objet il opegravere de mecircme et trouve qursquoil faut mettre un poids p2pour retrouver lrsquoeacutequilibre de la balance

mb = p2 + s

Si p1 et p2 valent respectivement 10 g et 25 g et si s vaut 01 g lrsquoexpeacuterimentateurpeut eacutecrire

ma = 10 plusmn 01 gmb = 25 plusmn 01 g

Lrsquoexpeacuterimentateur a fait deux mesures et il a obtenu deux reacutesultats avec une erreurde plusmn σ Crsquoest ainsi que les gens pratiquent dans tous les meacutetiers du monde Pour-tant Hotelling a fait remarquer que pour le mecircme effort on pouvait obtenir unemeilleure preacutecision agrave condition que les deux objets participent agrave chaque peseacutee Ilpropose donc dans une premiegravere expeacuterience de mettre A et B sur un mecircmeplateau crsquoest-agrave-dire de mesurer la somme p1 des masses Puis dans une secondeexpeacuterience de mettre A et B chacun sur un plateau et drsquoobtenir ainsi la diffeacuterencep2 des masses de A et de B Il peut ainsi eacutecrire un systegraveme drsquoeacutequations dont ildeacuteduit les masses ma et mb par un calcul simple

ma + mb = p1

ma ndash mb = p2

drsquoougrave

Figure 112 ndash Repreacutesentation de la peseacutee de lrsquoobjet A

ma12--- p1 p2+( )=

mb12--- p1 p2ndash( )=


112 Peseacutees et plans drsquoexpeacuteriences

223

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

11 bull Notion de plan optimal

Si on applique le theacuteoregraveme des variances (voir chapitre 5) on obtient

Lrsquoerreur (lrsquoeacutecart-type) sur les reacutesultats de mesures nrsquoest plus que au lieu des crsquoest-agrave-dire une reacuteduction de 30 de lrsquoerreur de mesure On eacutecrit


Avec la meacutethode classique le mecircme reacutesultat aurait eacuteteacute atteint en pesant deux fois Aet en pesant deux fois B soit 4 mesures au lieu de 2 Ici commence agrave poindre lrsquoundes inteacuterecircts de faire intervenir toutes les variables ou tous les facteurs agrave chaqueexpeacuterience pour un mecircme nombre drsquoexpeacuteriences on ameacuteliore la preacutecision

112 Peseacutees et plans drsquoexpeacuteriencesReprenons lrsquoexemple drsquoHotelling et traitons-le avec le formalisme des plansdrsquoexpeacuteriences introduit aux chapitres 1 et 2Les facteurs seront les objets A et B et les reacuteponses les poids neacutecessaires pourramener lrsquoeacutequilibre agrave chaque peseacutee On adopte une convention de signe si lrsquoobjetest deacuteposeacute sur le plateau de gauche il est compteacute positivement srsquoil est deacuteposeacute surle plateau de droite il est compteacute neacutegativement (Figure 113)

Avec cette convention la masse de lrsquoobjet A est ndashpa si A est sur le plateau de droiteet +pa si A est sur le plateau de gauche On peut simplifier la notation en introduisantles variables codeacutees minus1 correspond agrave ndashpa +1 agrave +pa et 0 agrave lrsquoabsence de A

+pa _____ 0 _____ minuspa

+1 _____ 0 _____ minus1

Figure 113 ndash Convention de signes adopteacutee pour les peseacutees

V ma( ) 14--- V p1( ) V p2( )+[ ]=

14--- σ2 σ2+[ ]=

12---σ2=

σ 2frasl


224

112 Peseacutees et plans drsquoexpeacuteriences11 bull Notion de plan optimal

Les mecircmes conventions sont adopteacutees pour lrsquoobjet B Lrsquoeffet de B sur les plateauxsrsquoexprime par

+pb _____ 0 _____ minuspb

+1 _____ 0 _____ minus1Les deux maniegraveres de peser la meacutethode classique et la meacutethode drsquoHotellingpeuvent alors ecirctre preacutesenteacutees selon une matrice drsquoexpeacuteriences Les calculs serontconduits comme pour un plan drsquoexpeacuteriences et les effets trouveacutes seront les poidsde chacun des objets lrsquoeffet drsquoun objet eacutetant dans ce cas son poids

1121 Meacutethode classique

ndash Essai n˚ 1 A est sur le plateau de gauche B nrsquoest pas sur la balance Reacuteponse 10 g

ndash Essai n˚ 2 B est sur le plateau de gauche A nrsquoest pas sur la balance Reacuteponse 25 g

Comme il nrsquoy a aucune interaction entre A et B la matrice drsquoexpeacuteriences(Tableau 111) est identique agrave la matrice du modegravele La matrice X de la meacutethodeclassique de peseacutee est donc

111

Il ne faut pas srsquoeacutetonner de voir les effets eacutegaux aux reacuteponses la matrice des effetsest une matrice uniteacute elle nrsquoapporte aucune transformation

1122 Meacutethode drsquoHotelling

ndash Essai n˚ 1 A et B sont sur le plateau de gauche Reacuteponse 35 gndash Essai n˚ 2 B est sur le plateau de gauche A sur le plateau de droite Reacuteponse

15 gLa matrice X de la meacutethode drsquoHotelling (Tableau 112) est

Tableau 111 ndash Matrice drsquoexpeacuteriences meacutethode classique pour peser deux objets

Essai n˚A

Facteur 1B

Facteur 2Masse (g)Reacuteponses

1 +1 0 10

2 0 +1 25

Effet 10 g 25 g

X 1 00 1

=

X 1 11ndash 1

=


113 Optimaliteacute

225

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


La meacutethode drsquoHotelling est caracteacuteriseacutee par cette matrice ougrave ne figure aucun zeacuteroce qui signifie que tous les objets ont participeacute agrave tous les essaisOn retrouve bien sucircr les mecircmes effets (ou les mecircmes poids) qursquoavec la meacutethodeclassique avec cependant et la diffeacuterence est de taille une meilleure preacutecision

113 OptimaliteacuteNous venons de voir que la meacutethode drsquoHotelling donne des reacutesultats plus preacutecisque la meacutethode classique La question qui se pose naturellement est laquo Peut-onfaire mieux Peut-on obtenir avec deux essais des effets plus preacutecis La meacutethodedrsquoHotelling est-elle optimale raquoNous adopterons comme deacutefinition laquo un plan optimal est un plan qui fournit lesestimations des effets avec la meilleure preacutecision possible raquo Les matheacutematiciens ontdeacutemontreacute que ce but eacutetait atteint lorsque le deacuteterminant de la matrice attei-gnait sa valeur maximale Le calcul du deacuteterminant drsquoune matrice est fort longsauf pour les plus petites matrices Crsquoest la raison pour laquelle on fait appel auxlogiciels et aux ordinateurs pour geacuteneacuterer les matrices des plans optimaux Pourillustrer la meacutethode nous utiliserons un exemple tregraves simple

1131 Critegravere du deacuteterminant maximum (D-optimal)

Indiquons drsquoabord drsquoune maniegravere matheacutematique le critegravere drsquooptimaliteacute qui faitintervenir le deacuteterminant drsquoune matrice On notera le deacuteterminant de lamatrice A On dira qursquoun plan drsquoexpeacuteriences est D-optimal si la position des pointsdrsquoexpeacuteriences maximise la valeur du deacuteterminant de la matrice Le Dde D-optimal vient de deacuteterminant et on parle de D-optimaliteacuteLes deacuteterminants ne peuvent ecirctre calculeacutes que pour les matrices carreacutees Maiscomme les matrices sont toujours carreacutees on peut toujours calculer leursdeacuteterminantsAppliquons cette notion de D-optimaliteacute agrave lrsquoexemple des peseacutees avec la meacutethodeclassique et la meacutethode drsquoHotelling ndash pour la meacutethode classique

et

Tableau 112 ndash Matrice drsquoexpeacuteriences meacutethode drsquoHotelling pour peser deux objets

Essai n˚A

Facteur 1B


1 +1 +1 35 g

2 ndash1 +1 15 g

Effet 10 g 25 g

XprimeprimeprimeprimeX

A

XprimeX XprimeX

XprimeX

X 1 00 1

= XprimeX 1=


226

113 Optimaliteacute


ndash pour la meacutethode drsquoHotelling

et

La strateacutegie drsquoHotelling est meilleure que la strateacutegie classique car le deacuteterminantde est plus eacuteleveacute En fait on deacutemontre que lrsquoon ne peut pas trouver unemeilleure strateacutegie que celle drsquoHotelling

1132 Calcul des plans optimaux

La strateacutegie drsquoHotelling peut ecirctre eacutetendue agrave la peseacutee de quatre objets A B C et DComment faut-il organiser les peseacutes pour obtenir la meilleure preacutecision Eacutetudionsles diffeacuterentes strateacutegies possiblesVoyons drsquoabord la meacutethode classique sachant qursquoelle nrsquoest pas optimale On peutrepreacutesenter les quatre peseacutees par la matrice

Le deacuteterminant de la matrice est eacutegal agrave

On peut mettre en œuvre une approche analogue agrave celle qui a eacuteteacute utiliseacutee pourdeux objets On pegravese drsquoabord A et B puis C et D selon les indications suivantes ndash Essai n˚ 1 A et B sont sur le plateau de gauchendash Essai n˚ 2 B est sur le plateau de gauche A sur le plateau de droitendash Essai n˚ 1 C et D sont sur le plateau de gauchendash Essai n˚ 2 D est sur le plateau de gauche C sur le plateau de droiteCette strateacutegie est illustreacutee par la matrice


Cette strateacutegie est nettement meilleure que la meacutethode classique Mais est-ce lameilleure

Pour les plans nrsquoayant que des niveau

x

minus

1 ou +1 la matrice

de rang

n

ayant la plus haute D-optimaliteacute possegravede un deacuteterminant

Ainsi la seconde solution proposeacutee nrsquoest pas une strateacutegie optimale Comme indiqueacutepreacuteceacutedemment les plans optimaux sont calculeacutes par les ordinateurs Lrsquoune des

X 1 11ndash 1

= XprimeX 4=

XprimeX

X

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

=

XprimeXXprimeX 1=

X

1 1 0 01ndash 1 0 0

0 0 1 10 0 1ndash 1

=

XprimeXXprimeX 16=

XprimeXXprimeX nn=


113 Optimaliteacute

227

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


meacutethodes la plus efficace pour calculer un plan optimal est lrsquoalgorithme drsquoeacutechangesdes coordonneacutees Nous allons donner les grandes lignes de cette meacutethode et lrsquoillustrergracircce agrave lrsquoexemple de la peseacutee de quatre objetsLrsquoalgorithme drsquoeacutechanges des coordonneacutees suit la deacutemarche suivante Preacuteparation de lrsquoalgorithme

ndash Creacuteation drsquoune matrice carreacutee X de rang n dont les eacuteleacutements sont choisis auhasard et dont les valeurs sont comprises entre 0 et 1 Crsquoest la matrice aleacuteatoirede deacutepart

ndash Creacuteation drsquoun jeu de substitution dont les valeurs serviront agrave remplacer leseacuteleacutements de deacutepart Ce jeu est constitueacute par les niveaux drsquoeacutetude du plan drsquoexpeacute-riences ici minus1 ou +1 Par exemple pour un plan 22 on prend minus1 et +1 et pourun plan agrave trois niveaux on prend minus1 0 et +1

Ensuite commence le deacuteveloppement iteacuteratif de lrsquoalgorithme

ndash Le chiffre agrave la croiseacutee de la premiegravere ligne et de la premiegravere colonne est remplaceacutesuccessivement par les valeurs du jeu de substitution Le deacuteterminant estcalculeacute pour chacune des valeurs de substitution

ndash Si lrsquoune des valeurs de substitution augmente le deacuteterminant on la laisse enplace en remplacement de la valeur drsquoorigine Si aucune des valeurs de substitutionnrsquoaugmente le deacuteterminant on laisse la valeur aleacuteatoire en place

ndash Le premier eacuteleacutement eacutetant traiteacute on attaque le second il est agrave la croiseacutee de lapremiegravere ligne et de la deuxiegraveme colonne On exeacutecute les opeacuterations 1 et 2 et ontrouve une nouvelle valeur pour le deacuteterminant

ndash On poursuit ainsi pour tous les eacuteleacutements de la matrice Xndash Si lrsquoon atteint la valeur maximale du deacuteterminant soit on srsquoarrecirctendash Si lrsquoon nrsquoa pas atteint la valeur maximale on reacutepegravete les opeacuterations de substi-

tution sur tous les eacuteleacutements de la matrice On poursuit ainsi jusqursquoagrave obtenir lavaleur maximale du deacuteterminant ou jusqursquoagrave ce qursquoon ne puisse plus ameacuteliorersa valeur Cette situation arrive lorsque lrsquoalgorithme ne procegravede plus agrave aucunesubstitution

Reprenons lrsquoexemple de la peseacutee de quatre objets pour illustrer ce processus etcherchons la meilleure matrice de peseacutees ou matrice drsquoexpeacuteriences (Tableau 113)Les eacuteleacutements de la matrice de deacutepart sont des nombres choisis au hasard

Dans ce cas

Puisque les quatre facteurs possegravedent deux niveaux les valeurs candidates pourremplacer les eacuteleacutements de cette matrice de deacutepart sont minus1 et +1

XprimeX

XprimeX

XprimeX nn=

X

0556 0696 0346 07870607 0039 0499 00170267 0975 0770 06380409 0368 0061 0421

=

XprimeX 0001 6=



228

113 Optimaliteacute

Tabl

eau

113

ndash D

eacutetai

l de

lrsquoalg

orit

hme

drsquoeacutec

hang

es (p

eseacutee

s de

4 o

bjet

s)

Iteacuter

atio

nM

atri

ce X

|Xprime X

| ave

c minus1

|Xprime X

| ave

c +1

Vale

ur d

e su

bsti

tuti

onN

ouve

lle m

atri

ce X

10

027

2 times

10minus5

minus1

20

332

000

8minus1

30

187

041

81

40

024

049

71

hellipet

ain

si d

e su

ite

jusq

ursquoau

x de

ux d

erni

egraveres

lign

es

1532

187

1

1664

256

1

X

055

60

696

034

60

787

060

70

039

049

90

017

026

70

975

077

00

638

040

90

368

006

10

421

=X

ndash

10

696

034

60

787

060

70

039

049

90

017

026

70

975

077

00

638

040

90

368

006

10

421

=

X

ndash

10

696

034

60

787

060

70

039

049

90

017

026

70

975

077

00

638

040

90

368

006

10

421

=X

ndash 1

ndash

10

346

078

70

607

003

90

499

001

70

267

097

50

770

063

80

409

036

80

061

042

1

=

X

ndash

1ndash

10

346

078

70

607

003

90

499

001

70

267

097

50

770

063

80

409

036

80

061

042

1

=X

ndash

1ndash

11

078

70

607

003

90

499

001

70

267

097

50

770

063

80

409

036

80

061

042

1

=

X

ndash

1ndash

11

078

70

607

003

90

499

001

70

267

097

50

770

063

80

409

036

80

061

042

1

=X

ndash

1ndash

11

10

607

003

90

499

001

70

267

097

50

770

063

80

409

036

80

061

042

1

=

X

ndash

1ndash

11

11

ndash

11

ndash

1ndash

11

1ndash

11

10

061

042

1

=X

ndash

1ndash

11

11

ndash

11

ndash

1ndash

11

1ndash

11

11

042

1

=

X

ndash

1ndash

11

11

ndash

11

ndash

1ndash

11

1ndash

11

11

042

1

=X

ndash

1ndash

11

11

ndash

11

ndash

1ndash

11

1ndash

11

11

1

=


114 Plans optimaux avec un modegravele lineacuteaire

229

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


Le deacuteterminant a atteint la valeur 256 soit 4

4

Nous savons que crsquoest la valeurmaximale Par conseacutequent la matrice drsquoexpeacuteriences optimale est la suivante

On constate que les quatre objets interviennent dans chaque peseacutee et crsquoest ce quenous attendions La valeur de

=

256 indique que lrsquoalgorithme peut ecirctrearrecircteacute Si nous nrsquoavions pas atteint la valeur 256 apregraves lrsquoeacutechange des 16 eacuteleacutements dela matrice nous aurions parcouru agrave nouveau le processus de substitution aveccomme matrice de deacutepart la matrice drsquoarriveacutee du premier cycle La puissance desordinateurs permet drsquoaffiner ce processus on utilise plusieurs matrices de deacutepart(une vingtaine) on parcourt plusieurs fois lrsquoalgorithme et on compare les matricesobtenues On prend la meilleurePour reacutesumer nous avons vu trois strateacutegies pour peser quatre objets Les reacutesultatssont les suivants

ndash Strateacutegie classique

=

1ndash Strateacutegie intermeacutediaire

=

16ndash Strateacutegie optimale

=

256


On ne traite pas souvent des cas aussi simples que celui des peseacutees En geacuteneacuteral ona un problegraveme qui met en jeu un modegravele une ou plusieurs reacuteponses plusieursfacteurs et leurs interactions Comment les plans optimaux sont-ils calculeacutes quandles modegraveles lineacuteaires sont impliqueacutes Supposons que nous ayons le modegravele lineacuteaire suivant

y

=

a

0

+ a

1

x

1

+ a

2

x

2

+ a

12

x

1

x

2

On deacutemarre avec deux facteurs et une interaction Pour utiliser lrsquoalgorithmedrsquoeacutechanges preacuteceacutedent on commence par construire la matrice du modegravele Crsquoestcette matrice qui est deacutesigneacutee par

X

Cette matrice se distingue de la matrice duplan drsquoexpeacuteriences (repeacutereacutee

F

dans ce chapitre) qui elle ne fait intervenir que lesniveaux des facteurs La matrice

X fait intervenir les niveaux des facteurs leursinteractions et une constanteOn commence par remplir la matrice drsquoexpeacuteriences de nombres ri choisis au hasard

X

1ndash 1ndash 1 11 1ndash 1 1ndash

1ndash 1 1 1ndash

1 1 1 1

=

XprimeX

XprimeXXprimeXXprimeX

F

r1 r2

r3 r4

r5 r6

r7 r8

=


230

114 Plans optimaux avec un modegravele lineacuteaire11 bull Notion de plan optimal

On bacirctit la matrice du modegravele en ajoutant une colonne de 1 pour la constante etune quatriegraveme colonne pour lrsquointeraction

Lrsquoalgorithme drsquoeacutechanges est appliqueacute agrave la matrice F Quand la matrice F est modifieacuteela matrice X est modifieacutee de la mecircme maniegravere Par exemple quand on remplace ler1 de F par +1 (ou minus1) on modifie le r1 de X dans les deuxiegraveme et quatriegravemecolonnes Le deacuteterminant correspondant est calculeacute ce qui permet de savoir srsquoilfaut conserver ou non le niveau testeacuteComme preacuteceacutedemment nous allons donner un exemple (Tableau 114) Soit F lamatrice drsquoexpeacuteriences agrave optimiser

Drsquoougrave la matrice

Drsquoougrave la matrice finale

Si lrsquoon regarde attentivement cette matrice on constate que les deux colonnescentrales forment un plan factoriel complet 22 plan que nous avons rencontreacute auchapitre 2Drsquoune maniegravere geacuteneacuterale lrsquoalgorithme drsquoeacutechanges permet de retrouver les plansclassiques Crsquoest donc un moyen puissant de construire rapidement un plan quisrsquoadapte aux exigences de lrsquoeacutetude en cours mecircme dans les cas simples

X

1 r1 r2 r1r2

1 r3 r4 r3r4

1 r5 r6 r5r6

1 r7 r8 r7r8

=

F

0736 04140239 01240328 07700318 0723

=

X

1 0736 0414 03051 0239 0124 00301 0328 0770 02521 0318 0723 0230

=

X

1 1ndash 1ndash 11 1ndash 1 1ndash

1 1 1ndash 1ndash

1 1 1 1

=


231


Tabl

eau

114

ndash D

eacutetai

l de

lrsquoalg

orit

hme

drsquoeacutec

hang

es (p

lan

de 2

fac

teur

s)

Iteacuter

atio

nF

|Xprime X

| ave

c minus1

|Xprime X

| ave

c +1

Vale

ur d

e su

bsti

tuti

onN

ouve

lle m

atri

ce X

11

6 times

10minus5

55

times 10

minus5minus1

25

6 times

10minus4

66

times 10

minus6minus1

hellipet

ain

si d

e su

ite

jusq

ursquoau

x de

ux d

erni

egraveres

lign

es

70

190

1

80

256

1

F

073

60

414

023

90

124

032

80

770

031

80

723

=X

1ndash

10

414

ndash 0

414

10

239

012

40

030

10

328

077

00

252

10

318

072

30

230

=

F

ndash

10

414

023

90

124

032

80

770

031

80

723

=X

1ndash

1ndash

11

10

239

012

40

030

10

328

077

00

252

10

318

072

30

230

=

F

ndash

1ndash

1ndash

11

1ndash

10

318

072

3

=X

1ndash

1ndash

11

1ndash

11

ndash

11

1ndash

1ndash

11

10

723

072

3

=

F

ndash

1ndash

1ndash

11

1ndash

11

072

3

=X

1ndash

1ndash

11

1ndash

11

ndash

11

1ndash

1ndash

11

11

1

=


232

115 Quand utiliser des plans optimaux



Les proprieacuteteacutes des plans optimaux font qursquoils sont toujours un bon choix qursquoilsrsquoagisse de criblage ou de modeacutelisation Ils permettent agrave lrsquoexpeacuterimentateur drsquoavoirle plan sur mesure qui srsquoadapte parfaitement aux contraintes de lrsquoeacutetude Les plansoptimaux permettent eacutegalement de traiter des situations difficiles et sont parfois laseule solution aux problegravemes poseacutes On les emploie lorsqursquoil faut ndash diminuer le nombre drsquoessais drsquoun plan classique pour srsquoadapter au budget et aux

deacutelais imposeacutes ndash adapter le plan aux objectifs de lrsquoeacutetude et aux moyens de lrsquoexpeacuterimentateur ndash traiter en mecircme temps des facteurs de meacutelanges et des facteurs de proceacutedeacute ndash obtenir une surface de reacuteponse en preacutesence de facteurs discrets ndash tenir compte des contraintes qui pegravesent sur le domaine drsquoeacutetude toutes les

combinaisons de facteurs ne sont pas possibles et le domaine drsquoeacutetude nrsquoest plusun carreacute un cube ou un hypercube

ndash assurer un blocking neacutecessaire agrave la qualiteacute des reacutesultats de lrsquoeacutetude et que lemodegravele ne srsquoy precircte pas

ndash compleacuteter par quelques essais suppleacutementaires une expeacuterimentation malconduite afin drsquoen tirer des conclusions valides (reacuteparation drsquoexpeacuterimentation)

116 Adaptabiliteacute des plans optimaux

Supposons que vous ayez une eacutetude faisant intervenir une reacuteponse et trois facteursVotre budget vous autorise 12 essais Votre choix naturel se porte sur un plan 2

3

de8 essais et il vous reste 4 essais que vous pouvez mettre au centre du domainedrsquoeacutetude pour veacuterifier la validiteacute du modegravele PDAI (modegravele du premier degreacute avecinteractions) et pour avoir une ideacutee de lrsquoerreur expeacuterimentale (Tableau 115)

Tableau 115

ndash Plan classique

Facteur 1 Facteur 2 Facteur 3

minus

1

minus

1

minus

1

1

minus

1

minus

1

minus

1 1

minus

1

1 1

minus

1

minus

1

minus

1 1

1

minus

1 1

minus

1 1 1

1 1 1



233

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


Si lrsquoeacutecart-type de la reacuteponse est 1 lrsquoeacutecart-type de chaque coefficient est 0125 Onretrouve ce reacutesultat avec la relation 51 du chapitre 5Si vous nrsquoavez pas besoin de veacuterifier la validiteacute du modegravele PDAI et de posseacuteder uneestimation de lrsquoerreur expeacuterimentale vous pouvez construire un plan optimal de12 essais (Tableau 116)

Si lrsquoeacutecart-type de la reacuteponse est 1 lrsquoeacutecart-type de chaque coefficient est 0094 Onretrouve aussi ce reacutesultat avec la relation 51 du chapitre 5 La variance des coef-ficients chute de 0125 agrave 0094 soit un gain de pregraves de 25 sur les variances et de14 sur les eacutecarts-typesLrsquointeacuterecirct drsquoun tel gain reacuteside dans le fait que les facteurs peu influents sont plusfacilement discrimineacutes de lrsquoerreur expeacuterimentale Cet avantage peut ecirctre tregraves impor-tant en fabrication ougrave une leacutegegravere ameacutelioration du rendement de production peutparfois entraicircner de grandes eacuteconomies


0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

Tableau 116

ndash Plan optimal pour 12 essais


minus

1

minus

1

minus

1

1

minus

1

minus

1

minus

1 1

minus

1

1 1

minus

1

minus

1

minus

1 1

minus1 minus1 1

1 minus1 1

1 minus1 1

minus1 1 1

minus1 1 1

1 1 1

1 1 1

Tableau 115 ndash Plan classique (Suite)


234

116 Adaptabiliteacute des plans optimaux11 bull Notion de plan optimal

Si vous deacutesirez eacutetablir tout de suite un modegravele du second degreacute il est possible enreacutepartissant convenablement les 12 points drsquoexpeacuteriences drsquoavoir une bonne preacutecisionsur les coefficients et drsquoestimer la courbure de la surface de reacuteponse (Tableau 117)On choisira un modegravele postuleacute du second degreacute


Comme on utilise un modegravele du second degreacute la variance varie drsquoun coefficient agravelrsquoautre (Tableau 118)

Le plan optimal a permis drsquoobtenir une variance faible et drsquoestimer les coefficientsdu second degreacute

Tableau 117 ndash Plan du second degreacute


1 minus1 minus1

minus1 minus1 1

minus1 1 minus1

0 1 0

1 1 1

minus1 0 1

1 minus1 1

minus1 1 1

1 0 0

1 1 minus1

minus1 minus1 minus1

0 0 minus1

Tableau 118 ndash Variance des coefficients du plan du second degreacute

Coefficient Variance Coefficient Variance

a0 0819 a13 0119

a1 0111 a23 0125

a2 0123 a11 0836

a3 0111 a22 0523

a12 0125 a33 0836

x12 x2

2 x32


117 Exemple 16 deacuteveloppementdrsquoun deacutetecteur de fissures

235

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


Avec le mecircme nombre drsquoessais il a eacuteteacute possible de traiter trois situations diffeacuterentes un plan classique avec veacuterification du modegravele PDAI un plan avec reacuteduction maxi-male de la variance des coefficients et un plan pour surfaces de reacuteponseNous allons maintenant examiner trois applications diffeacuterentes des plans optimauxen utilisant les trois exemples suivants

ndash Lrsquoexemple 16 laquo Deacuteveloppement drsquoun deacutetecteur de fissures raquo montre les proprieacuteteacutesdrsquoadaptabiliteacute des plans D-optimaux

ndash Lrsquoexemple 17 laquo Les comprimeacutes du pharmacien raquo souligne la reacuteduction du nombredes essais dans le cas des eacutetudes ougrave se cocirctoient les facteurs de meacutelanges et les facteursde proceacutedeacute

ndash Lrsquoexemple 18 laquo La cregraveme agrave bronzer raquo teacutemoigne de la puissance des plans D-opti-maux pour reacuteparer des expeacuterimentations mal conccedilues

117 Exemple 16 deacuteveloppement drsquoun deacutetecteur de fissures


m Preacutesentation de lrsquoeacutetude

Un chercheur deacuteveloppe un appareil portable pour deacutetecter les craquelures et lesfissures dans les meacutetaux Cet appareil ne deacutetruit pas lrsquoobjet examineacute et se reacutevegravele tregravesutile pour veacuterifier des produits comme les ailes drsquoavion les roues de voiture lesmateacuteriaux de construction ou les canalisations Le principe de ce deacutetecteur est baseacutesur les modifications du champ magneacutetique drsquoun soleacutenoiumlde dont on mesure lesvariations drsquoimpeacutedance Au cours de lrsquoeacutetude ces variations seront appeleacutees sensibi-liteacute de lrsquoappareil sensibiliteacute qui sera la reacuteponse mesureacutee par lrsquoexpeacuterimentateur


Lrsquoeacutetude porte essentiellement sur lrsquoenroulement des fils du soleacutenoiumlde Les troisfacteurs eacutetudieacutes sont (Tableau 119)

ndash Facteur 1 nombre drsquoenroulements des filsndash Facteur 2 distance des fils entre deux enroulementsndash Facteur 3 calibre des fils



Nombre drsquoenroulements (1) 90 135 180

Distance des enroulements (2) 038 076 114

Calibre des fils (3) 40 44 48


236



m Objectifs de lrsquoeacutetude

Pour cette eacutetude on peut reacutealiser 12 essais Nous allons consideacuterer deux expeacuterimen-tateurs ayant des objectifs diffeacuterents Selon lrsquoobjectif de lrsquoeacutetude on ne reacutealisera pasle mecircme plan drsquoexpeacuteriences Deux plans vont ecirctre reacutealiseacutes ayant chacun un objectifbien preacutecis mais diffeacuterent dans les deux cas Cet exemple va nous permettre decomprendre lrsquointeacuterecirct de bien preacuteciser lrsquoobjectif de lrsquoeacutetude avant de faire les essais Ilnous montrera aussi lrsquointeacuterecirct des plans classiques et des plans optimaux pour adapterle plan drsquoexpeacuteriences aux impeacuteratifs drsquoune eacutetudeLe premier expeacuterimentateur a pour objectif de modeacuteliser le pheacutenomegravene qursquoileacutetudie Il choisit donc un plan factoriel complet et dispose les quatre essais suppleacute-mentaires au centre du domaine drsquoeacutetude pour appreacutecier la courbure de la surfacede reacuteponse et lrsquoerreur expeacuterimentale Si besoin est il compleacutetera ce plan par des pointsen eacutetoile pour avoir un plan compositeLe second expeacuterimentateur a pour objectif de deacutetecter les facteurs influents etmecircme ceux qui sont peu influents Dans ce cas il preacutevoit de faire un plan decriblage en utilisant les quatre essais suppleacutementaires pour diminuer la variance descoefficients Il pourra ainsi mieux appreacutecier si un facteur est neacutegligeable ou non

1172 Plan factoriel 23 avec points au centre

m Expeacuterimentation

Dans ce premier cas lrsquoobjectif de lrsquoexpeacuterimentateur est de modeacuteliser le pheacutenomegraveneqursquoil eacutetudie Il commence donc par un plan factoriel complet avec 4 points decontrocircle au centre (Tableau 1110)


Essai n˚Nombre

drsquoenroulements(1)

Distance des enroulements

(2)

Calibre des fils

(3)Sensibiliteacute

1 minus1 minus1 minus1 17

2 +1 minus1 minus1 457

3 minus1 +1 minus1 055

4 +1 +1 minus1 339

5 minus1 minus1 +1 151

6 +1 minus1 +1 459

7 minus1 +1 +1 067

8 +1 +1 +1 429

9 0 0 0 27

10 0 0 0 276



237

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


m Interpreacutetation

Les 8 coefficients sont calculeacutes avec le modegravele A en consideacuterant les 8 points duplan factoriel et sans prendre en compte les points de controcircle

Modegravele A y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a12x1x2 + a13x1x3 + a23x2x3 + a123x1x2x3

La constante du modegravele est eacutegale agrave 2659 et il nrsquoy a aucune indication statistiquepuisque le plan est satureacute Les points au centre ont pour moyenne 266 avec uneacutecart-type de 051 La constante (reacuteponse calculeacutee au centre avec le modegravele) et lesreacuteponses mesureacutees au centre du domaine drsquoeacutetude sont statistiquement eacutegalesLe modegravele PDAI est donc valide ce nrsquoest pas la peine drsquoenvisager un plancomposite Comme on sait maintenant que les points au centre font partie dumodegravele PDAI on peut les incorporer aux calculs des coefficientsOn reprend donc les calculs en conservant le modegravele PDAI mais en prenant encompte les 12 reacutesultats expeacuterimentaux Le tableau 1111 indique les reacutesultats de cecalcul La constante est eacutegale agrave 2659 et il y a cette fois des indications statisti-ques Le facteur 1 (nombre drsquoenroulements) est influent et le facteur 2 est peut-ecirctre influent mais la conclusion nrsquoest pas nette car la p-value est de 005

Essai n˚Nombre



(2)

Calibre des fils

(3)Sensibiliteacute

11 0 0 0 321

12 0 0 0 197


Niveau +1 180 114 48

Tableau 1111 ndash Importance des coefficients du modegravele A calculeacutes avec les points au centre (uniteacutes codeacutees)


Constante 2659 0128 2073 lt 00001

Nombre drsquoenroulements (1) 1551 0157 987 00006

Distance des enroulements (2) minus0434 0157 minus276 00508

Calibre fils (3) 0106 0157 068 05360

a12 0064 0157 041 07057

a13 0124 0157 079 04750

a23 0149 0157 095 03974

a123 0071 0157 045 06738

Tableau 1110 ndash Matrice drsquoexpeacuteriences (Suite)


238



En examinant les reacutesultats on srsquoaperccediloit que les interactions sont neacutegligeables Onrefait les calculs avec un modegravele simplifieacute le modegravele B ne faisant intervenir queles facteurs principaux au premier degreacute

Modegravele B y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3

On gagne ainsi des degreacutes de liberteacute qui permettent de reacuteduire lrsquoerreur sur les coef-ficients On constate que le coefficient du facteur 2 (distance des enroulements) aune p-value de 00123 (Tableau 1112) Ce facteur est donc influent

On peut conclure que le modegravele est du premier degreacute et qursquoil y a deux facteursinfluents le facteur 1 le nombre drsquoenroulements et le facteur 2 la distance desenroulementsLrsquoobjectif de modeacutelisation du pheacutenomegravene est atteint

1173 Plan D-optimal avec reacutepeacutetitions

Dans ce second cas lrsquoobjectif de lrsquoexpeacuterimentateur est de deacutetecter les facteurs peuinfluents Il va donc faire un plan de criblage en utilisant un modegravele PDAI et enessayant de diminuer le plus possible la variance des coefficients pour bien appreacute-cier leur signification Pour cela il met tous les points sur les sommets du domainedrsquoeacutetude Il y aura donc des reacutepeacutetitions sur certains sommets


Le plan drsquoexpeacuteriences est calculeacute par le logiciel en demandant un plan D-optimalLes reacutesultats des essais figurent dans le tableau 1113

Tableau 1112 ndash Importance des coefficients du modegravele B (uniteacutes codeacutees)


Constante 2659 0110 2416 lt 00001

Nombre drsquoenroulements (1) 1551 0135 1151 lt 00001


Calibre fils (3) 0106 0135 079 04533


Essai n˚Nombre

drsquoenroulements (1)Distance des

enroulements (2)Calibre

des fils (3)Sensibiliteacute




4 minus1 1 minus1 0823



239

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



Les coefficients sont calculeacutes avec le modegravele A et leurs proprieacuteteacutes statistiques sontindiqueacutees dans le tableau 1114

Essai n˚Nombre





6 minus1 1 1 0670

7 1 minus1 minus1 4822


9 1 minus1 1 4590

10 1 1 minus1 3402

11 1 1 minus1 3378

12 1 1 1 4290


Niveau +1 180 114 48

Tableau 1114 ndash Importance des coefficients du modegravele A (uniteacutes codeacutees)


Constante 2659 0137 1946 lt 00001



Calibre des fils (3) 0106 0137 078 04802

a12 0064 0137 047 06651

a13 0124 0137 091 04163

a23 0149 0137 109 03375

a123 0071 0137 052 06296



240

118 Exemple 17 les comprimeacutes du pharmacien11 bull Notion de plan optimal

Les reacutesultats montrent qursquoil y a deux facteurs influents le facteur 1 (nombredrsquoenroulements) et le facteur 2 (distance des enroulements) Comme preacuteceacutedem-ment on constate que les interactions sont neacutegligeables et que lrsquoon peut reprendreles calculs en utilisant le modegravele B Les reacutesultats de ce dernier calcul figurent dansle tableau 1115 et confirment lrsquoinfluence du facteur 2 qui a maintenant une p-valuede 0003

Tous les essais du plan ont eacuteteacute utiliseacutes pour reacuteduire lrsquoeacutecart-type des coefficientspermettant ainsi de deacutecouvrir mecircme les facteurs peu influents

118 Exemple 17 les comprimeacutes du pharmacien

Ce plan drsquoexpeacuteriences a eacuteteacute deacutecrit dans le livre Plans drsquoexpeacuteriences les meacutelanges En cequi concerne les facteurs de meacutelanges les expeacuterimentateurs avaient deacutecideacute de reacutealiser11 essais localiseacutes comme lrsquoindique la figure 114 En ce qui concerne les facteursde proceacutedeacute les expeacuterimentateurs avaient deacutecideacute de reacutealiser un plan factorielcomplet avec point central Lrsquoensemble de lrsquoexpeacuterimentation avait conduit agrave 11fois 5 soit 55 essais Gracircce aux plans D-optimaux il est possible de reacuteduire consi-deacuterablement le nombre de ces essais tout en assurant une modeacutelisation drsquoaussibonne qualiteacute Nous allons rappeler les donneacutees de lrsquoeacutetude et nous comparerons lesreacutesultats obtenus avec 55 essais agrave ceux obtenus avec le plan D-optimal



Cette eacutetude concerne la mise au point de cachets pharmaceutiques Les expeacuteri-mentateurs ont chercheacute agrave atteindre plusieurs speacutecifications en eacutetudiant la composi-tion du cachet et la maniegravere de lrsquoobtenir Le cachet est preacutepareacute agrave partir drsquounepoudre contenant de lrsquoamidon du lactose et de la cellulose Cette poudre estsoumise agrave une pression importante pendant un laps de temps deacutetermineacute La poudreainsi traiteacutee devient sous lrsquoeffet de la pression un comprimeacute Le mot comprimeacute seradans la suite de cet exemple synonyme de cachet Le cachet ou le comprimeacute ainsiobtenu doit reacutepondre agrave plusieurs impeacuteratifs pour pouvoir ecirctre utiliseacute par le patient



Constante 2659 0122 2180 lt 00001



Calibre des fils (3) 0106 0122 087 04090



241

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


Il doit pouvoir ecirctre tenu avec les doigts sans se deacutesagreacuteger ne pas srsquoeffriter dans laboicircte lors des manipulations avoir une porositeacute donneacutee pour se dissoudre facile-ment et rapidement etc Lrsquoeacutetude de plusieurs meacutelanges amidon-lactose-celluloseen fonction de la pression et de la dureacutee de compression a pour objectif de deacuteter-miner les conditions drsquoobtention de comprimeacutes conformes aux speacutecifications

m Donneacutees du problegraveme

M Reacuteponses

Plusieurs reacuteponses deacutefinissent les qualiteacutes drsquoun cachet Nous nrsquoen utiliserons quedeux pour traiter cet exemple la coheacutesion et la porositeacute

bull CoheacutesionCette grandeur correspond agrave la reacutesistance agrave la rupture Elle est mesureacutee en exerccedilantune traction sur le cachet et en mesurant la force neacutecessaire pour le rompre Cetteforce ne doit pas ecirctre trop faible car sinon les cachets se casseraient sous la moindretraction Elle ne doit pas non plus ecirctre trop forte car il faut que le patient puissefacilement partager le comprimeacute en deux On recherche une coheacutesion compriseentre deux limites 3 times 106 et 5 times 106 Pa

bull PorositeacuteCette reacuteponse mesure le volume des vides du cachet Elle srsquoobtient en comparantle volume de la poudre initiale agrave celui du cachet compresseacute La porositeacute est donneacuteepar la diminution relative de volume lorsque la poudre devient un comprimeacuteLrsquoeau doit pouvoir peacuteneacutetrer facilement agrave lrsquointeacuterieur du comprimeacute pour le dissoudrerapidement par conseacutequent la porositeacute ne doit pas ecirctre trop faible Pour que lecachet ne srsquoeffrite pas la porositeacute ne doit pas ecirctre trop grande Un bon compromisest obtenu lorsque la porositeacute est comprise entre 17 et 22

M Facteurs de meacutelanges

Le meacutelange agrave eacutetudier comprend trois constituants ndash lrsquoamidon dont la teneur est x1 la teneur de ce produit est soumise agrave une

contrainte pas plus de 50 drsquoamidon dans la poudre agrave cachets x1 pound 050

ndash le lactose dont la teneur x2 nrsquoest soumise agrave aucune contrainte 0 pound x2 pound 1

ndash la cellulose mineacuterale dont la teneur x3 nrsquoest soumise agrave aucune contrainte 0 pound x3 pound 1

M Facteurs de proceacutedeacute

bull Cadence de fabricationCrsquoest le temps qui srsquoeacutecoule entre la compression drsquoun cachet et celle du suivant Cetemps est en relation directe avec la dureacutee de la pression exerceacutee sur le cachet On


242


remarquera eacutegalement que ce facteur agrave une forte reacutepercussion sur la productionEn effet plus la dureacutee de compression est courte plus la production est eacuteleveacutee Nousdeacutesignerons ce facteur par z1

bull PressionCrsquoest la pression appliqueacutee sur la poudre au moment de la fabrication du comprimeacuteNous deacutesignerons ce facteur par z2

M Domaine drsquoeacutetude

Il faut tenir compte de la contrainte pour deacutefinir le domaine drsquoeacutetude Seule la partieinfeacuterieure du triangle eacutequilateacuteral fait partie du domaine drsquoeacutetude (Figure 114)

1182 Plan drsquoexpeacuteriences

Pour construire le plan il faut drsquoabord deacutefinir le modegravele postuleacute On peut parexemple prendre le modegravele du second degreacute des plans de meacutelange

y = b1x1 + b2x2 + b3x3 + b12x1x2 + b13x1x3 + b23x2x3 Les coefficients de ce modegravele deacutependent des niveaux des facteurs de proceacutedeacute z1 et z2On suppose que les coefficients sont des fonctions du premier degreacute des facteurs z1et z2

bi = a0i + a1i z1 + a2i z2

Avec ces choix le modegravele postuleacute srsquoeacutecrit y = (a01 + a11 z1 + a21 z2)x1 + (a02 + a12 z1 + a22 z2)x2 + (a03 + a13 z1 + a23 z2)x3

+ (a012 + a112 z1 + a212 z2)x1x2 + (a013 + a113 z1 + a213 z2)x1x3 + (a023 + a123 z1 + a223 z2)x2x3

Figure 114 ndash Domaine drsquoeacutetude des meacutelanges de poudres pour fabriquer des comprimeacutes Position des meacutelanges reacutealiseacutes avec le plan de 55 essais

0

02

04

0802

04

06

08

1

0020406081

06

10

Amidon

Lactose Cellulose

10

1

5

32

7 6

48

9

11



243

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


Ce modegravele comporte 18 coefficients Il faut donc au moins 18 essais diffeacuterents pourlrsquoeacutetablir Mais on deacutesire pouvoir srsquoassurer de la qualiteacute du modegravele et on introduit10 essais suppleacutementaires On va reacutealiser 28 essais soit presque la moitieacute des essaisdu plan initial de 55 essais Ce plan de 28 essais ne peut pas ecirctre construit agrave la mainil faut utiliser un logiciel posseacutedant un module de calcul speacutecifique Lrsquoordinateurexeacutecute les calculs et fournit lrsquoun des plans optimaux possibles


Le tableau 116 indique le plan drsquoexpeacuteriences qui a eacuteteacute retenu par les expeacuterimentateurs

Tableau 1116 ndash Plan drsquoexpeacuteriences

Essai n˚Amidon

(x1)Lactose

(x2)Cellulose

(x3)Cadence

(z1)Pression

(z2)Coheacutesion Porositeacute

1 05 0 05 1 1 112 1943

2 05 025 025 0 0 047 2160

3 0 0 1 minus1 minus1 252 2545

4 0 1 0 1 1 346 1060

5 05 05 0 minus1 1 049 1588

6 05 05 0 1 minus1 042 2628

7 0 0 1 1 minus1 227 2796

8 025 035 04 minus1 minus1 051 2619

9 025 0375 0375 1 1 180 1456

10 0 1 0 1 minus1 042 2605

11 025 0 075 1 minus1 031 2810

12 025 0 075 0 1 287 1494

13 0 05 05 minus1 1 525 1266

14 025 075 0 0 minus1 019 2483

15 05 05 0 1 1 038 1820

16 0 1 0 minus1 minus1 091 2162

17 05 05 0 minus1 minus1 053 2182

18 0 1 0 minus1 1 312 901

19 05 0 05 1 minus1 041 2781

20 0 05 05 minus1 minus1 149 2437


244


1184 Interpreacutetation

Les calculs sont effectueacutes comme agrave lrsquoaccoutumeacutee et lrsquoon obtient les coefficients desmodegraveles Coheacutesion et Porositeacute Ces coefficients peuvent ecirctre compareacutes agrave ceux quiont eacuteteacute obtenus avec le plan de 55 essais On constate que pour les deux reacuteponsesles coefficients sont statistiquement eacutegaux (Tableau 1117) On peut aussicomparer les eacutecarts-types (RMSE) sur les reacuteponses individuelles 0223 pour lacoheacutesion et 0654 pour la porositeacute Ils eacutetaient de 0256 pour la coheacutesion et de0448 pour la porositeacute avec les modegraveles eacutetablis avec 55 essais On obtient donc lagraveaussi des reacutesultats tout agrave fait semblables drsquoun point de vue statistiqueAvec les plans optimaux il est donc possible de reacuteduire de maniegravere tregraves significativele nombre drsquoessais sans perdre les qualiteacutes statistiques des modegraveles eacutetablis

Essai n˚Amidon

(x1)Lactose

(x2)Cellulose

(x3)Cadence

(z1)Pression


21 05 0 05 minus1 minus1 007 2583

22 05 0 05 minus1 1 116 1693

23 0 05 05 1 1 535 959

24 0 0 1 minus1 1 709 832

25 0 0 1 1 1 739 1065

26 025 075 0 minus1 0 034 1849

27 0 05 05 1 minus1 149 2329

28 025 075 0 1 0 072 2055

Tableau 1117 ndash Comparaison des coefficients des modegraveles Coheacutesion et Porositeacute eacutetablis avec 55 ou 28 essais (uniteacutes codeacutees)

Coefficient Coheacutesion 55 Coheacutesion 28 Porositeacute 55 Porositeacute 28

a01 484 481 1804 1835

a02 199 199 1684 1684

a03 480 480 1810 1809

a012 minus1180 minus1171 1257 1193

a013 minus1669 minus1661 1766 1705

a023 minus001 003 011 -003

a11 005 012 734 715

Tableau 1116 ndash Plan drsquoexpeacuteriences (Suite)



245

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


On peut illustrer le tableau 1117 par des diagrammes agrave barres qui reacutevegravelent immeacute-diatement la concordance des reacutesultats (Figures 115 et 116) Les conclusions delrsquoeacutetude avec 28 essais seront donc les mecircmes que celles obtenues avec 55 essais


a12 004 000 154 152

a13 000 000 120 120

a112 minus010 minus024 minus1090 minus1047



a21 094 089 minus016 007

a22 131 131 minus704 minus702

a23 245 245 minus860 minus860

a212 minus467 minus458 034 minus020


a223 minus001 minus002 587 580

Figure 115 ndash Diagramme agrave barres comparant les coefficients des modegraveles Coheacutesion obtenus avec 55 essais (en blanc) et avec 28 essais (en gris)

Tableau 1117 ndash Comparaison des coefficients des modegraveles Coheacutesion et Porositeacute eacutetablis avec 55 ou 28 essais (uniteacutes codeacutees) (Suite)

Coheacutesion comparaison des coefficients des modegraveles eacutetablis avec 55 ou 28 essais

-20

-15

-10

-5

0

5

10

a01

a02

a03

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a01

2a0

13

a02

3a1

12

a11

3a1

23

a21

2a2

13

a22

3


Val

eur

des

co

effi

cien

ts


246



Gracircce aux modegraveles on peut tracer les diagrammes (cadence times pression) pour diffeacute-rentes compositions du meacutelange amidon-lactose-cellulose On srsquoaperccediloit que laporositeacute peut ecirctre comprise entre 17 et 22 pour toutes les compositions du meacutelange agravecondition de bien choisir les niveaux de la cadence et de la pression (Figure 117)

Figure 116 ndash Diagramme agrave barres comparant les coefficients des modegraveles Porositeacute obtenus avec 55 essais (en blanc) et avec 28 essais (en gris)

Figure 117 ndash Lrsquoobjectif de porositeacute (partie blanche) des diagrammes (cadence times pression) peut ecirctre atteint pour toutes les compositions du meacutelange

Porositeacute comparaison des coefficients des modegraveles eacutetablis avec 55 ou 28 essais

-2000

-1500

-1000

-500

000

500

1000

1500

2000

a01

a02

a03

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a01

2a0

13

a02

3a1

12

a11

3a1

23

a21

2a2

13

a22

3


Val

eur

des

co

effi

cien

ts

Amidon

Lactose CellulosePorositeacute

02

04 06

08

1

0020406081

17

22

17

22

17

22

17

22

17

22

17

22



247

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


On constate eacutegalement qursquoune coheacutesion comprise entre 3 et 5 ne peut ecirctre respecteacuteeque pour les faibles teneurs en amidon (Figure 118)

Plusieurs solutions sont possibles et lrsquoexpeacuterimentateur choisira celles qui par exemplediminuent les coucircts de fabrication en travaillant agrave cadence eacuteleveacutee Plusieurs meacutelangescaracteacuteriseacutes par une forte teneur en cellulose sont possibles pour maximiser laproduction Par exemple un meacutelange contenant 94 de cellulose 4 de lactoseet 2 drsquoamidon pourrait convenir Un meacutelange contenant 80 de cellulose 12 de lactose et 8 drsquoamidon conviendrait eacutegalement Lrsquoexpeacuterimentateur choisit deveacuterifier les conclusions de lrsquointerpreacutetation du plan drsquoexpeacuteriences avec le meacutelange 85 de cellulose 10 de lactose et 5 drsquoamidon

Figure 118 ndash Lrsquoobjectif de coheacutesion (partie blanche) des diagrammes (cadence times pression) ne peut ecirctre atteint que pour les basses teneurs en amidon

Figure 119 ndash Avec le meacutelange (85 de cellulose + 10 de lactose + 5 drsquoamidon) les objectifs sont atteints si la pression reste entre les niveaux +015 et minus040

Amidon

Lactose Cellulose

0

02

04 06

08

1

0020406081

5

35

3

Coheacutesion

3

Cadence

Pression

0 1ndash1

0

ndash1

1

17

22

5

3


248

119 Exemple 18 la cregraveme agrave bronzer11 bull Notion de plan optimal

Les expeacuteriences de veacuterification confirment les preacutevisions et lrsquoexpeacuterimentateur peutfaire ses recommandations en donnant la composition du meacutelange et les reacuteglagesdes facteurs de proceacutedeacute La cadence peut prendre tous les niveaux entre minus1 et +1mais la pression doit ecirctre controcircleacutee et rester entre les niveaux +015 et minus040

119 Exemple 18 la cregraveme agrave bronzerLes plans optimaux sont eacutegalement tregraves utiles pour sauver un plan mal conccedilu Cettesituation apparaicirct quand lrsquoexpeacuterimentateur nrsquoorganise pas ses essais convenablementLes points drsquoexpeacuteriences peuvent ecirctre disperseacutes de maniegravere aleacuteatoire ou suivre unelogique incompatible avec lrsquoobtention drsquoun modegravele permettant des preacutevisionsfiables Citons un cas extrecircme pour bien faire ressortir les conseacutequences drsquounemauvaise organisation des essais on suppose que les points sont disposeacutes commelrsquoindique la figure 1110

Lrsquoexpeacuterimentateur est inteacuteresseacute par un modegravele du premier degreacute y = a0 + a1x1 + a2x2

Mais cette disposition des points drsquoexpeacuteriences pose un gros problegraveme En effetles niveaux des deux facteurs sont lieacutes par la relation

Le modegravele devient y = a0 + (a1+ a2)x1

On ne peut estimer que la somme des coefficientsCet exemple caricatural montre les conseacutequences drsquoune correacutelation crsquoest-agrave-diredrsquoune relation lineacuteaire entre les niveaux des facteurs Si les points drsquoexpeacuteriences sontaligneacutes ou presque aligneacutes il y a une forte correacutelation entre les niveaux des facteurs etles coefficients sont tregraves fortement deacutependants les uns des autres et possegravedent deseacutecarts-types tregraves eacuteleveacutes Les modegraveles sont alors inutilisables pour faire des preacutevisionspreacutecises puisque les incertitudes sur les coefficients se transmettent aux reacuteponsescalculeacutees Faut-il pour autant ne pas utiliser les reacutesultats deacutejagrave obtenus

Figure 1110 ndash Disposition des points drsquoexpeacuteriences

+ 1

+ 10 Facteur 1

Facteur 2

0

x1

x2

---- 1=


119 Exemple 18 la cregraveme agrave bronzer

249

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


Cette introduction nous permettra de mieux comprendre lrsquoexemple suivant sur lamise au point drsquoune cregraveme de bronzage



Les cregravemes agrave bronzer sont preacutepareacutees agrave partir drsquoun sucre naturel dont on extrait unprincipe actif permettant de pigmenter la peau Le principe actif est la dihydroaceacute-tone (DHA) qui est preacutepareacutee industriellement par un proceacutedeacute de cristallisation LaDHA brute est dissoute dans un meacutelange eau-solvant organique Ce meacutelange estrefroidi lentement de 40 ˚C agrave ndash10 ˚C sous agitation Pendant le refroidissementles cristaux se forment et sont reacutecupeacutereacutes par filtration Le responsable de la fabricationavait constateacute que le rendement de fabrication eacutetait compris entre 40 et 48 Il auraitbien aimeacute augmenter ce rendement Il pouvait modifier le rapport eausolvant etla vitesse drsquoagitation qui eacutetaient respectivement eacutegaux dans les conditions normalesde fabrication agrave 70 et agrave 200 trminPour cela il deacutecida de faire quelques essais en modifiant le rapport eausolvantorganique entre 60 et 80 et la vitesse drsquoagitation entre 160 et 240 trmin Ileffectua quatre essais diffeacuterents et prit la preacutecaution de faire deux expeacuteriences pourchaque essai


Lrsquoexpeacuterimentateur retient donc les facteurs et les domaines suivants ndash Facteur 1 rapport eausolvant organique (entre 60 et 80 )ndash Facteur 2 agitation (entre 160 et 240 trmin)Il reacutealise les essais et mesure avec soin les rendements obtenus Pour ecirctre sucircr drsquoavoirune expeacuterimentation complegravete il ajoute deux expeacuteriences reacutealiseacutees dans les conditionsnormales de fabrication


Les reacutesultats expeacuterimentaux sont consigneacutes dans le tableau 1118

Tableau 1118 ndash Matrice drsquoexpeacuteriences (uniteacutes non codeacutees) et reacutesultats expeacuterimentaux

Essai n˚Rapport eausolvant organique ( drsquoeau)

Agitation (trmin) Rendement ()

0 70 200 455 43

1 80 240 44 395

2 75 224 41 40

3 61 160 46 49

4 60 160 45 495


250



m Premiegravere interpreacutetation

Lrsquoexpeacuterimentateur commence par calculer les coefficients du modegravele polynomialet leur eacutecart-type en utilisant les uniteacutes codeacutees Agrave sa grande deacuteception aucun descoefficients nrsquoest significatif Que se passe-t-il donc et pourquoi ces expeacuteriencesnrsquoapportent-elles pas une reacuteponse agrave la question poseacutee Le rendement serait-iltoujours agrave peu pregraves le mecircme malgreacute les changements de conditions opeacuteratoires

Pour essayer de comprendre lrsquoexpeacuterimentateur eacutecrit le modegravele y = 479 + 51 x1 ndash 79 x2 + 26 x1x2 modegravele 1

puis il calcule les reacuteponses preacutevues et regarde les intervalles de confiance agrave 95 Ces intervalles de confiance sont grands et il est statistiquement impossible dedistinguer les reacuteponses les unes des autres

Troubleacute lrsquoexpeacuterimentateur deacutecide drsquoaller voir lrsquoexpert en plans drsquoexpeacuteriences deson entreprise

m Consultation de lrsquoexpert en plans drsquoexpeacuteriences

Lrsquoexpert commence par regarder ougrave se localisent les expeacuteriences dans le domaineexpeacuterimental Il trace un diagramme analogue agrave la figure 1111 Par un hasard tout

Tableau 1119 ndash Importance des coefficients du modegravele de la reacuteponse rendement calculeacutee avec le modegravele 1 (uniteacutes codeacutees)


Constante 41875 3716 1127 00004

Rapport eausolvant organique (1) 5125 2186 023 08261

Agitation (2) minus7875 2199 minus037 07291

a12 2625 448 059 05898

Tableau 1120 ndash Intervalles de confiance des reacuteponses preacutevues (modegravele 1)

Essai n˚

Rapport eausolvant organique ( drsquoeau)

Agitation (trmin)

Rendement preacutevu

Intervalle de confiance agrave 95

1 80 240 417 332 agrave 503

2 75 224 405 319 agrave 49

3 61 160 475 389 agrave 560

4 60 160 4725 387 agrave 558



251

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


agrave fait malheureux les points drsquoexpeacuteriences sont presque aligneacutes La surface deacutelimiteacuteepar les points drsquoexpeacuteriences est toute petite Crsquoest lagrave que se trouve lrsquoorigine de tousles ennuis de lrsquoexpeacuterimentateur

Lrsquoexpert explique alors agrave lrsquoexpeacuterimentateur que le problegraveme est facile agrave corriger Ilsuffit drsquoagrandir le domaine drsquoeacutetude en incorporant des points drsquoexpeacuteriencessuppleacutementaires bien placeacutes Dans le cas de deux facteurs on peut reacutealiser cetteopeacuteration facilement Lorsqursquoil y a plus de deux facteurs lrsquoopeacuteration ne peut sefaire qursquoavec un logiciel qui sait comment agrandir un volume multidimensionnelavec le minimum de points drsquoexpeacuteriences le logiciel maximise le deacuteterminant dela matrice La reacuteparation du plan drsquoexpeacuteriences consiste donc agrave construire unplan D-optimal en ajoutant des points drsquoexpeacuteriences aux essais deacutejagrave reacutealiseacutesLrsquoexpert continue drsquoexpliquer qursquoavec deux facteurs il est facile de voir si les pointsdrsquoexpeacuteriences sont aligneacutes ou presque aligneacutes mais que pour les espaces multi-dimensionnels il faut utiliser les correacutelations entre les niveaux des facteurs Si lacorreacutelation entre les niveaux de deux facteurs est proche de 1 les points repreacutesen-tatifs sont aligneacutes Au fur et agrave mesure que la correacutelation diminue les points sont demoins en moins aligneacutes et lorsque la correacutelation est nulle les points ne sont plus

Figure 1111 ndash Emplacement des points drsquoexpeacuteriences et domaine expeacuterimental

Rapport Eausolvant (1)

Agitation (2)

200

240

160

220

180

756560 8070

XprimeX


252


du tout aligneacutes Les plans factoriels les plans pour surfaces de reacuteponse classiques etles plans D-optimaux reacutepondent agrave ces impeacuteratifs

m Essais reacuteparateurs et nouvelle interpreacutetation

Il faut expliqua lrsquoexpert utiliser tout le domaine expeacuterimental Puisque vous aviezdeacutecideacute de faire varier le rapport eausolvant organique entre 60 et 80 il fautreacutealiser les expeacuteriences agrave ces valeurs Il en est de mecircme pour la vitesse drsquoagitationqui doit ecirctre testeacutee agrave 160 et agrave 240 trmin Il suffit donc drsquoajouter deux essais agrave ceuxque vous avez deacutejagrave faits et vous devriez cette fois obtenir de bons reacutesultats Ces essaissont indiqueacutes dans le tableau 1121 et illustreacutes par la figure 1112

Figure 1112 ndash Emplacement des points drsquoexpeacuteriences suppleacutementaires et nouveau domaine expeacuterimental

Tableau 1121 ndash Les essais reacuteparateurs et leurs reacutesultats expeacuterimentaux (uniteacutes non codeacutees)



5 60 240 595 60

6 80 160 24 21


Agitation (2)

220

180

65 7570200

8060

240

160



253

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


Lrsquoexpeacuterimentateur reacutealise alors les deux essais suppleacutementaires et les reacutepegravete pourecirctre homogegravene avec la premiegravere seacuterie drsquoessais Il reprend les calculs en incorporanttous les essais reacutealiseacutes sauf les points de controcircle au centre Puis il consigne sesreacutesultats dans un tableau (Tableau 1122) et eacutecrit le modegravele correspondant

y = 426 ndash 111 x1 + 75 x2 + 17 x1x2 modegravele 2

Lrsquoexpeacuterimentateur utilise le modegravele 2 pour calculer les reacuteponses preacutevues et regardeles intervalles de confiance Ces intervalles sont plus petits que preacuteceacutedemment et ladiffeacuterence entre la plus faible et la plus forte valeur est significative Il sait maintenantqursquoil peut ameacuteliorer le rendement des cristaux de DHA en diminuant le rapporteausolvant organique et en augmentant la vitesse drsquoagitation Il peut espeacuterer unrendement de 60 avec un intervalle de confiance agrave 95 de plus ou moins 7

Lrsquoexpeacuterimentateur procegravede alors aux essais de veacuterification et constate que les preacutevi-sions sont bien en accord avec les reacutesultats expeacuterimentaux

Tableau 1122 ndash Importance des coefficients du modegravele 2 sur la reacuteponse laquo Rendement raquo (uniteacutes codeacutees)


Constante 4262 0659 6469 lt 00001

Rapport eausolvant organique (1) minus1107 0722 ndash1533 lt 00001

Agitation (2) 749 0702 1066 lt 00001

a12 175 0737 238 00447

Tableau 1123 ndash Intervalles de confiance des reacuteponses preacutevues avec le modegravele 2


Agitation (trmin)



1 80 240 4078 348 agrave 468

2 75 224 4210 366 agrave 476

3 61 160 467 41 agrave 524

4 60 160 479 422 agrave 537

5 60 240 594 532 agrave 657

6 60 160 223 16 agrave 285


254



La conclusion de lrsquoeacutetude est tregraves simple on peut ameacuteliorer de maniegravere significa-tive le rendement de fabrication de la DHA en choisissant un rapport eausolvantorganique de 60 et une vitesse drsquoagitation de 240 trmin Lrsquoexpeacuterimentateurmit immeacutediatement ces nouveaux reacuteglages en pratique

Figure 1113 ndash Le meilleur rendement est obtenu quand le rapport eausolvant est au niveau minus1 (60 ) et la vitesse drsquoagitation au niveau +1 (240 trmin)

60

40

20

Ren

dem

ent

Rapport EauSolvant (1)

ndash1 0 +1 ndash1 0 +1

Vitesse dagitation (2)

6 87 200 240160


255

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

12 bull CARREacuteS LATINS ET PLANS ASSOCIEacuteS

Les carreacutes latins figurent parmi les premiers plans drsquoexpeacuteriences introduits dans lrsquoexpeacute-rimentation Ils sont surtout utiliseacutes pour les variables discregravetes Le plus simple descarreacutes latins permet drsquoeacutetudier 3 facteurs prenant 3 niveaux en 9 essais au lieu de 27Il srsquoagit donc si lrsquoon eacutetend la notation des plans factoriels fractionnaires aux carreacuteslatins drsquoun plan 33-1 On appelle aussi carreacutes latins des plans ayant toujours 3 facteursmais posseacutedant 4 et 5 niveaux par facteurs On peut aussi imaginer des plans de4 facteurs ayant 4 niveaux par facteurs Il srsquoagit alors de plans greacuteco-latins ou plussimplement de plans 44-2 qui ne comprennent que 16 essais au lieu de 256 pour leplan complet 44 La deacutenomination carreacute latin vient du fait que les premiegraveres repreacute-sentations de ces plans utilisaient des lettres latines pour deacutesigner le troisiegraveme facteurLa deacutenomination greacuteco-latin vient du fait que les niveaux du troisiegraveme facteur eacutetaientdeacutesigneacutes par des lettres latines et ceux du quatriegraveme facteur par des lettres grec-ques Si le nombre de niveaux deacutepasse 5 on parle de carreacutes de Youden en hommageau chimiste qui les a introduits On peut avoir par exemple un plan de 2 facteursprenant 7 niveaux ou un plan de 3 facteurs prenant 8 niveaux On peut poursuivrelrsquoextension de ces plans agrave un nombre quelconque de facteurs et de niveauxLes variables discregravetes doivent ecirctre modeacuteliseacutees et interpreacuteteacutees drsquoune maniegravere parti-culiegravere En effet les facteurs ne forment plus un espace continu et la notion dedistance disparaicirct Il convient donc avant drsquoaborder les carreacutes latins et les plansassocieacutes de deacutefinir les modegraveles matheacutematiques employeacutes drsquointroduire la notion drsquoeffetdrsquoun facteur et drsquoexaminer les outils drsquointerpreacutetation

121 Exemple 19 les salaires ndash un facteur discret agrave plusieurs niveaux

Nous nous appuierons sur lrsquoexemple 19 sur les salaires pour commencer cette eacutetudedes plans pour facteurs discrets

1211 Modegravele matheacutematique

Prenons lrsquoexemple de trois personnes qui ont gagneacute des salaires diffeacuterents Jacquesa gagneacute 90 euro Lee 120 euro et Simon 180 euro Le salaire est modeacuteliseacute par la relation

121

ndash est le salaire de la personne i crsquoest la reacuteponsendash est la moyenne des trois salaires

yi y ai ei+ +=

yiy


256

121 Exemple 19 les salairesndash un facteur discret agrave plusieurs niveaux

12 bull Carreacutes latinset plans associeacutes

ndash est lrsquoeffet la personne indash est un terme drsquoeacutecartLrsquoeffet de Jacques est aJ lrsquoeffet de Lee aL et lrsquoeffet de Simon aS (Figure 121) Leseffets sont repeacutereacutes par rapport agrave la moyenne Il srsquoagit donc des reacuteponses corrigeacuteesde la moyenne que nous avons rencontreacutees au chapitre 5 (analyse de la variance)Ces effets ne sont pas indeacutependants et il existe la relation

aJ + aL + aS = 0

Quand on connaicirct deux effets on peut calculer le troisiegravemeLa relation 121 peut srsquoeacutecrire

On en deacuteduit que la somme des carreacutes des reacuteponses corrigeacutees de la moyenne esteacutegale agrave la somme des carreacutes des effets augmenteacutee de la somme des carreacutes des eacutecarts(le terme est eacutegal agrave 0)

Application numeacuterique

Reprenons lrsquoexemple des trois personnes qui ont gagneacute des salaires diffeacuterents La moyenne dessalaires est eacutegale agrave 130

Lrsquoeffet de Jacques est Lrsquoeffet de Lee est Lrsquoeffet de Simon est On a bien Dans cet exemple il y a trois eacutequations On peut calculer trois inconnues la moyenne et deuxeffets On peut en deacuteduire le troisiegraveme effet mais on ne peut pas calculer les eacutecarts qui sont alorseacutegaux agrave 0


Calculons la somme des carreacutes des reacuteponses corrigeacutees de la moyenne

aiei

yi y ai ei+ +=

aieisumyi yndash( )sum 2

ai2 ei

2sum+sum=

a

y

a

a

130

y

y

y

J

J

LL

s

s

120

90

180

Figure 121 ndash Deacutefinition des effets des variables discregravetes

y 13--- 90 120 180+ +( ) 130= =

aJ yJ yndash 90 130ndash 40ndash= = =

aL yL yndash 120 130ndash 10ndash= = =

aS yS yndash 180 130ndash 50= = =

aJ aL aS+ + 40ndash 10ndash 50+ 0= =

yJ yndash( )2yL yndash( )2

yS yndash( )2+ + 40ndash( )2 10ndash( )2 50( )2+ + 4 200= =


122 Suite de lrsquoexemple 19 ndash deux facteurs discretsagrave plusieurs niveaux

257

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


1212 Effet global drsquoun facteur

Lrsquoeffet global des salaires ne peut pas ecirctre deacutefini par la somme des effets qui esttoujours eacutegale agrave zeacutero Crsquoest pourquoi on utilise la moyenne quadratique Lrsquoeffetmoyen a des salaires est deacutefini par la relation

Drsquoune maniegravere plus geacuteneacuterale si un facteur prend n niveaux le carreacute de lrsquoeffetglobal est deacutefini par


122 Suite de lrsquoexemple 19 ndash deux facteurs discrets agrave plusieurs niveaux


Poursuivons avec le mecircme exemple sur les salaires mais supposons maintenant que lareacuteponse deacutepend de deux facteurs discrets prenant chacun trois niveaux la reacuteponselaquo salaire raquo deacutepend de la qualification de la personne (Jacques a un effet aJ Lee uneffet aL Simon un effet aS) et de lrsquoemployeur (lrsquoentreprise A a un effet bA lrsquoentre-prise B un effet bB lrsquoentreprise C un effet bC) Jacques a travailleacute chez A puis chezB et enfin chez C Il en est de mecircme pour Lee et pour Simon Les neuf pointsdrsquoexpeacuteriences sont disposeacutes comme lrsquoindique la figure 122 Il srsquoagit drsquoun plan 32

Figure 122 ndash Plan complet pour eacutetudier deux facteurs discrets ayant chacun trois niveaux

a2 13--- aJ

2 aL2 aS

2+ +[ ]=

a2 1n--- ai

2

i 1=

i n=

sum=

3 a2sum aJ2 aL

2 aS2+ + 40ndash( )2 10ndash( )2 50( )2+ + 4 200= = =

a2 13--- 4 200times 1 400= =

a 3741=

Personne

Employeur

Jacques SimonLee

B

A

C


258



Les salaires gagneacutes par les 3 personnes dans les 3 entreprises sont consigneacutes dans letableau 121 et illustreacutes par la figure 123


Les salaires sont modeacuteliseacutes par la relation

122

ndash est le salaire de la personne i qui a travailleacute dans lrsquoentreprise j


Essai n˚Personne

(1)Employeur

(2)Salaire

1 Jacques A 85

2 Jacques B 93

3 Jacques C 92

4 Lee A 116

5 Lee B 121

6 Lee C 123

7 Simon A 174

8 Simon B 182

9 Simon C 184

Figure 123 ndash Reacutepartition des reacuteponses autour des moyennes

a

y

a

a

130

y

y

y

J

J

L

L

s

s

120

90

180

184

174

182

116

121123

9293

85

Simon

Lee

Jacques

yi j y ai bj ei j+ + +=

yi j



259

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


ndash est la moyenne des neuf salairesndash ai est lrsquoeffet de la personne indash bj est lrsquoeffet de lrsquoentreprise jndash ei j est un terme drsquoeacutecart qui deacutepend de la personne et de lrsquoentrepriseComme les effets sont repeacutereacutes par rapport agrave la moyenne ils ne sont pas indeacutependantset on a les relations suivantes

aJ + aL + aS = 0bA + bB + bC = 0

On introduit les gains moyens de chaque personne Par exemple le gain moyen de Jacques est eacutegal agrave

123

On a donc la contrainte

On a de mecircme les contraintes suivantes pour Lee et Simon

Des contraintes analogues existent pour les entreprises puisqursquoon introduit eacutegalementles salaires moyens verseacutes par les entreprises

Lrsquointerpreacutetation est baseacutee drsquoune part sur les effets de chaque facteur et drsquoautre partsur lrsquoanalyse des carreacutes des reacuteponses corrigeacutees de la moyenne

1223 Effet des facteurs

On repegravere les effets agrave partir de la moyenne de toutes les reacuteponses

Lrsquoeffet de Jacques est la moyenne de ses gains par rapport agrave la moyenne geacuteneacuterale

Les effets de Lee et de Simon sont calculeacutes de la mecircme maniegravere On trouve aL = ndash10et aS = 50Lrsquoeffet de lrsquoentreprise A est la moyenne des salaires qursquoelle a distribueacutes par rapportagrave la moyenne geacuteneacuterale

y

yJ

yJ13--- yJ A yJ B yJ C+ +[ ]=

yJ A yJndash( ) yJ B yJndash( ) yJ C yJndash( )+ + 0=

yL A yLndash( ) yL B yLndash( ) yL C yLndash( )+ + 0=

yS A ySndash( ) yS B ySndash( ) yS C ySndash( )+ + 0=

yJ A yAndash( ) yL A yAndash( ) yS A yAndash( )+ + 0=

yJ B yBndash( ) yL B yBndash( ) yS B yBndash( )+ + 0=

yJ C yCndash( ) yL C yCndash( ) yS C yCndash( )+ + 0=

y

y 19--- 85 93 92 116 121 123 174 182 184+ + + + + + + +[ ] 130= =

yJ

aJ yJ yndash 13--- 85 92 93+ +( ) 130ndash 40ndash= = =

bA yA yndash 13--- 85 116 174+ +( ) 130ndash 5ndash= = =


260



Les effets des entreprises B et C sont calculeacutes de la mecircme maniegravere On trouve bB = 2et bC = 3On peut donc dresser le tableau des effets des deux facteurs eacutetudieacutes (Tableau 122)

1224 Analyse des sommes de carreacutes

Eacutelevons les relations 122 au carreacute et additionnons ces carreacutes

La somme des carreacutes des reacuteponses mesureacutees corrigeacutees de la moyenne est eacutegale auxsommes des carreacutes des effets augmenteacutees de la somme des carreacutes des eacutecarts

Tableau 122 ndash Effets des facteurs

Facteurs Valeurs

Moyenne 130

Jacques minus40

Lee minus10

Simon 50

Entreprise A minus5

Entreprise B 2

Entreprise C 3

Figure 124 ndash Diagramme agrave barres des effets des facteurs personnes et entreprises

Effets des deux facteurs

60

40

ndash

ndash

ndash

20

0

20

40

60

Jacques Lee Simon Entreprise A Entreprise B Entreprise C

Nom des effets

Val

eur

des

eff

ets

yi j yndash( )2sum ai2 bj

2sum ei j2sum+ +sum=



261

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



1 Calcul de Calculons les reacuteponses mesureacutees corrigeacutees de la moyenne et leurs carreacutes

(Tableau 123)

Puis additionnons ces carreacutes On trouve que la somme des carreacutes des reacuteponses mesureacutees corrigeacuteesde la moyenne est eacutegale agrave 12 720

2 Calcul de Calculons les effets des personnes et leurs carreacutes pour tous les essais (Tableau 124)

Tableau 123 ndash Calcul des carreacutes des reacuteponses mesureacutees corrigeacutees de la moyenne

Essai n˚Reacuteponses initiales

MoyenneReacuteponses corrigeacutees

de la moyenneCarreacute des reacuteponses

corrigeacutees de la moyenne

1 85 130 minus45 2 025

2 93 130 minus37 1 369

3 92 130 minus38 1 444

4 116 130 minus14 196

5 121 130 minus9 81

6 123 130 minus7 49

7 174 130 44 1 936

8 182 130 52 2 704

9 184 130 54 2 916

Tableau 124 ndash Calcul des carreacutes des effets des personnes

Essai n˚Moyennes des

salaires toucheacutesMoyenne geacuteneacuterale

Effets des individus

Carreacute des effets des individus

1 90 130 minus40 1 600

2 90 130 minus40 1 600

3 90 130 minus40 1 600

4 120 130 minus10 100

5 120 130 minus10 100

6 120 130 minus10 100

7 180 130 50 2 500

8 180 130 50 2 500

9 180 130 50 2 500

yi j yndash( )2sum

ai2sum


262



Additionnons ces carreacutes On trouve que la somme des carreacutes des effets des personnes est eacutegale agrave 12 600

3 Calcul de Lrsquoentreprise A a payeacute 85 euro agrave Jacques 166 euro agrave Lee et 174 euro agrave Simon soit en

moyenne 125 euro Lrsquoeffet de lrsquoentreprise A est donc de 125 minus 130 = minus5 euro De mecircme lrsquoeffet de lrsquoentre-prise B est de 132 minus 130 = 2 euro et celui de lrsquoentreprise C de 133 minus 130 = 3 euro

Calculons les carreacutes de ces effets des entreprises pour tous les essais (Tableau 125)

Additionnons ces carreacutes On trouve que la somme des carreacutes des effets des entreprises est eacutegale agrave 114

4 Calcul de Calculons la diffeacuterence entre les reacuteponses mesureacutees et les reacuteponses calculeacutees

Drsquoougrave la somme des carreacutes des reacutesidus

Tableau 125 ndash Calcul des carreacutes des effets des entreprises

Essai n˚Moyennes des salaires verseacutes

Moyenne geacuteneacuterale

Effets des entreprises

Carreacute des effets des entreprises

1 125 130 minus5 25

2 132 130 2 4

3 133 130 3 9

4 125 130 minus5 25

5 132 130 2 4

6 133 130 3 9

7 125 130 minus5 25

8 132 130 2 4

9 133 130 3 9

bj2sum

ei j2sum

eJ A yJ A y aJ bA+ +( )ndash 85 130 40ndash 5ndash( )ndash 0= = =

eJ B yJ B y aJ bB+ +( )ndash 93 130 40ndash 2+( )ndash 1= = =

eJ C yJ C y aJ bC+ +( )ndash 92 130 40ndash 3+( )ndash 1ndash= = =

eL A yL A y aL bA+ +( )ndash 116 130 10ndash 5ndash( )ndash 1= = =

eL B yL B y aL bB+ +( )ndash 121 130 10ndash 2+( )ndash 1= = =

eL C yL C y aL bC+ +( )ndash 123 130 10ndash 3+( )ndash 0= = =

eS A yS A y aS bA+ +( )ndash 174 130 50 5ndash+( )ndash 1= = =

eS B yS B y aS bB+ +( )ndash 182 130 50 2+ +( )ndash 0= = =

eS C yS C y aS bC+ +( )ndash 184 130 50 3+ +( )ndash 1ndash= = =

ei j2sum eJA

2 eJB2 eJC

2 eLA2 eLB

2 eLC2 eSA

2 eSB2 eSC

2+ + + + + + + +=

ei j2sum 02 12 1ndash( )2 12 12 02 12 02 1ndash( )2+ + + + + + + + 6= =



263

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


On rassemble tous les carreacutes que nous venons de calculer dans le tableau de lrsquoanalyse des sommes decarreacutes (Tableau 126) La somme des carreacutes des reacuteponses mesureacutees est deacutecomposeacutee en trois sommesde carreacutes celle due aux personnes celle due aux entreprises et celle due aux reacutesidus Le facteur quipossegravede la somme de carreacutes la plus eacuteleveacutee est le facteur le plus influent Dans le cas de cet exempleles reacutesultats montrent que la qualification des personnes est le facteur le plus influent sur les salairesreccedilus Le modegravele explique 12 714 sur les 12 720 agrave expliquer (R2 = 09995) Crsquoest un bon modegravele

On additionne les sommes des carreacutes des facteurs pour avoir la somme des carreacutes du modegravele Ici lasomme des carreacutes du modegravele est eacutegale agrave la somme des carreacutes des personnes augmenteacutee de celle desentreprises

Somme des carreacutes du modegravele = 12 600 + 114 = 12 714


Si lrsquoon introduit les degreacutes de liberteacute on peut transformer le tableau 126 en untableau drsquoanalyse de la variance En effet les variances sont les sommes des carreacutes desreacuteponses corrigeacutees de la moyenne diviseacutee par le nombre de degreacutes de liberteacute corres-pondantIl y a 9 reacuteponses mesureacutees qui sont matheacutematiquement indeacutependantes Les reacuteponsesmesureacutees corrigeacutees de la moyenne ne sont plus indeacutependantes puisqursquoon peutcalculer la derniegravere avec les 8 premiegraveres et la moyenne La somme des carreacutes desreacuteponses mesureacutees corrigeacutees de la moyenne ne possegravede plus que 8 degreacutes de liberteacuteLes effets des personnes ne possegravedent que 2 degreacutes de liberteacute puisqursquoon les repegraverepar rapport agrave leur moyenne Il en est de mecircme des effets des entreprises La sommedes carreacutes du modegravele possegravede donc 4 degreacutes de liberteacute En tenant compte descontraintes qui existent entre les reacuteponses et les moyennes qui servent agrave calculer lesreacutesidus on en conclut que le nombre de degreacutes de liberteacute des reacutesidus est de 4Ces eacuteleacutements permettent de dresser le tableau de lrsquoanalyse de la variance (Tableau 127)

Tableau 126 ndash Analyse des sommes de carreacutes

Source des variations Somme des carreacutes

Personnes 12 600

Entreprises 114

Reacutesidus 6

Total (reacuteponses mesureacutees) 12 720


Source des variations Somme des carreacutes ddl Carreacutes moyens F de Fisher moyens

Modegravele 12 714 4 3 17850 2 119

Reacutesidus 6 4 15 Prob F lt 00001

Total (reacuteponses mesureacutees corrigeacutees de la moyenne)

12 720 8


264

123 Carreacutes latins12 bull Carreacutes latinset plans associeacutes

Le F de Fisher est tregraves eacuteleveacute on peut en conclure que le modegravele explique bien lesreacuteponses mesureacutees

123 Carreacutes latins

Si lrsquoon veut eacutetudier 3 facteurs prenant chacun 3 niveaux il faudrait exeacutecuter33 = 27 essais dans le cas drsquoun plan complet Ce nombre drsquoessais est beaucoup tropimportant et les expeacuterimentateurs ont chercheacute agrave le reacuteduire Des plans fraction-naires ont eacuteteacute proposeacutes Au lieu de faire 27 essais on peut construire un plan de 9 essaisOn a ainsi un plan 33-1 Pour reacuteussir la construction drsquoun tel plan il ne faut pasdisposer les points drsquoexpeacuteriences au hasard On part drsquoun plan 32 et on attribue lestrois lettres latines a b et c aux points drsquoexpeacuteriences de telle maniegravere que lrsquoonretrouve a b et c sur toutes les lignes et sur toutes les rangeacutees sans qursquoil y ait deuxfois la mecircme lettre (Figure 125)

Il y a douze arrangements possibles des points drsquoexpeacuteriences qui respectent ladisposition de ces carreacutes latins Un moyen possible de randomiser les essais est dechoisir lrsquoun de ces arrangements au hasard comme plan drsquoexpeacuteriencesOn peut aussi donner une repreacutesentation tridimensionnelle de ce plan(Figure 126)Srsquoil y a 3 facteurs prenant chacun 4 niveaux il faudrait exeacutecuter 43 = 64 essais dansle cas drsquoun plan complet Le plan en carreacute latin propose de nrsquoexeacutecuter que 16essais Lagrave aussi les points ne sont pas disposeacutes au hasard (Figure 127)Ces plans sont surtout utiliseacutes pour les variables discregravetes et le modegravele matheacutema-tique est le suivant

Figure 125 ndash Carreacute latin pour eacutetudier trois facteurs ayant chacun trois niveaux

Facteur 1 (chiffres arabes)

Facteur 2(chiffres romains)

a

c

b

a

a

b

b

c

c

Facteur 3 (lettres latines)

1 2 3

I

I I

I I I

yi j k y ai bj ck ei j k + + + +=


124 Carreacutes greacuteco-latins

265

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



Les carreacutes greacuteco-latins sont des plans de 16 essais permettant drsquoeacutetudier 4 facteursayant chacun 4 niveaux Ce sont des plans 44-2 (Figure 128) Les emplacementsdes points expeacuterimentaux sont tels que chaque lettre latine ou grecque soit surtoutes les lignes et sur toutes les rangeacutees sans qursquoil nrsquoy ait deux fois la mecircme lettre

Figure 126 ndash Vue en trois dimensions drsquoun plan en carreacutes latins

Figure 127 ndash Carreacute latin pour eacutetudier 3 facteurs ayant chacun 4 niveaux



b

a

c

Facteur 3(lettres latines)

1 2 3I

I I

I I I

a

cba

a

b

b

c

c

d

d

d

d b

a

c




1 2 3

I

I I

I I I

IV

4


266

125 Carreacutes de Youden12 bull Carreacutes latinset plans associeacutes

Ces plans sont utiliseacutes pour les variables discregravetes et le modegravele matheacutematique est

125 Carreacutes de YoudenYouden a deacuteveloppeacute des plans pour deux ou plusieurs variables discregravetes prenantplus de quatre niveaux (Figure 129) Le principe est analogue agrave celui des carreacuteslatins On reacuteduit le nombre des essais en retirant des points au plan complet Lespoints expeacuterimentaux sont disposeacutes comme pour les carreacutes latins et les carreacutesgreacuteco-latins

a

cba

a

b

b

c

cd

d

d

d b

a

c

χδ α β

δα

β

χδα β

χ

δ α

β

χ

Facteur 4 lettres grecquesFacteur 3 lettres latines



1 2 3

I

I I

I I I

IV

4

Figure 128 ndash Carreacute greacuteco-latin pour eacutetudier 4 facteurs ayant chacun 4 niveaux

yi j k l y ai bj ck dl ei j k l + + + + +=



1 2 3I

I I

I I I

54 6 7

VI I

VI

V

IV

Figure 129 ndash Plan de Youden pour 2 facteurs prenant 7 niveaux


126 Exemple 20 eacutetude de la peacuteneacutetromeacutetrie

267

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


Au lieu drsquoavoir un essai par niveau on peut en avoir deux et plus (Figure 1210)

126 Exemple 20 eacutetude de la peacuteneacutetromeacutetrie1261 Preacuteparation du plan drsquoexpeacuteriences

Un expeacuterimentateur deacutesire seacutelectionner une meacutethode permettant de mesurer laconsistance drsquoun gel Il enfonce un stylet dans la matiegravere agrave une vitesse et agrave uneprofondeur donneacutees Il mesure la reacutesistance au mouvement opposeacutee par la matiegraveregeacutelifieacutee Il eacutetudie trois formes de stylet (cylindre cocircne et disque) trois vitesses (lentemoyenne et rapide) et trois profondeurs (faible moyenne et forte) (Tableau 128)Il effectue un plan en carreacute latin de 9 essais au lieu drsquoeffectuer les 27 combinaisonspossibles Lrsquoobjectif de lrsquoeacutetude est de trouver la forme de stylet et les conditionsdrsquoutilisation qui maximisent la reacutesistance au mouvement

Figure 1210 ndash Plan de Youden pour 2 facteurs ayant 2 essais pour chacun des 7 niveaux



Forme (1) Cylindre Cocircne Disque

Vitesse (2) Lente Moyenne Rapide

Profondeur (3) Faible Moyenne Forte



1 2 3

I

I I

I I I

54 6 7

VI I

IV

VI

V


268

126 Exemple 20 eacutetude de la peacuteneacutetromeacutetrie12 bull Carreacutes latinset plans associeacutes


Les reacutesultats de lrsquoexpeacuterimentation sont donneacutes dans le tableau 129


Lrsquointerpreacutetation est baseacutee sur le calcul des effets individuels des facteurs(Tableau 1210) et sur lrsquoanalyse de la variance (Tableau 1211) On constate que laforme est le facteur le plus influent Parmi les trois formes crsquoest le disque qui offrela reacutesistance la plus eacuteleveacutee

Tableau 129 ndash Matrice drsquoexpeacuteriences du plan en carreacute latin

Essai n˚Forme

(1)Vitesse

(2)Profondeur

(3)Reacutesistance

1 ndash ndash ndash 171

2 ndash 0 0 202

3 ndash + + 270

4 0 ndash 0 87

5 0 0 + 106

6 0 + ndash 74

7 + ndash + 623

8 + 0 ndash 708

9 + + 0 861

ndash Cylindre Lente Faible

0 Cocircne Moyenne Moyenne

+ Disque Rapide Forte

Tableau 1210 ndash Effet des facteurs

Facteurs Effet

Moyenne 345

Cocircne minus256

Cylindre minus13

Disque 386



269

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


Ce tableau peut prendre lrsquoaspect drsquoun graphique (Figure 1211)

Facteurs Effet

Vitesse lente minus51

Vitesse moyenne minus06

Vitesse rapide 57

Profondeur faible minus27

Profondeur moyenne 39

Profondeur forte minus12

Figure 1211 ndash La reacutesistance est la plus eacuteleveacutee lorsque la mesure est effectueacutee avec un disque agrave vitesse rapide et agrave profondeur moyenne



des carreacutesddl

Carreacutes moyens

F de Fisher

Probabiliteacute

Formes 6 9404467 2 3 47022335 6940 00142

Vitesse 1765800 2 8829 176 03616

Profondeur 708067 2 3540335 0708 05855


Total (reacuteponses mesureacutees) 7 2878400 8

Tableau 1210 ndash Effet des facteurs (Suite)

100

50

0

Reacutes

ista

nce

Vitesse (2)Forme (1) Profondeur (3)

Cocircn

e

Cyl

indr

e

Dis

que

For

te

Lent

e

Rap

ide

Moy

enne

Fai

ble

Moy

enne

25

75


270



On peut conclure que crsquoest le facteur laquo forme raquo qui contribue le plus aux variationsde la reacuteponse et crsquoest le disque qui oppose la plus grande reacutesistance au deacuteplacementdu stylet Pour faire les mesures on choisira donc un disque Les deux autres facteurslaquo vitesse raquo et laquo profondeur raquo ont peu drsquoinfluence La reacutesistance semble toutefoisecirctre augmenteacutee par une vitesse rapide Les essais de controcircle ont montreacute qursquoun disquetournant rapidement permettait effectivement drsquoobtenir une bonne preacutecision surles mesures


271

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

13 bull SYNTHEgraveSE ET CONSEILS

La meacutethodologie deacutecrite dans cet ouvrage pour conduire des recherches et organiserdes essais apporte souplesse preacutecision sucircreteacute gain de temps et eacuteconomie drsquoargentdans toute expeacuterimentation On peut se demander si elle nrsquoa que des qualiteacutes et srsquoilne faut pas se poser la question de ses limites et de son domaine de validiteacute Dansce chapitre nous voulons faire la synthegravese de toutes les connaissances acquises nous examinerons ce que la meacutethode des plans drsquoexpeacuteriences peut nous apporteret ce qursquoelle ne peut pas faire Nous en profiterons pour donner quelques conseilset montrer les deacuteveloppements que lrsquoon peut envisager pour approfondir lameacutethode des plans drsquoexpeacuteriencesLa deacutemarche utiliseacutee pour mener agrave bien et dans les meilleures conditions touteexpeacuterimentation peut ecirctre reacutesumeacutee dans un scheacutema de synthegravese (Figure 131)scheacutema que nous allons commenter et qui reprend les trois grandes parties de lameacutethodologie expeacuterimentale parfois appeleacutee expeacuterimentique

ndash Choix drsquoune meacutethode drsquoexpeacuterimentationndash Analyse des reacutesultatsndash Acquisition progressive des connaissances

131 Choix drsquoune meacutethode drsquoexpeacuterimentation

Ce choix doit ecirctre effectueacute apregraves une seacuterie de questions qui visent agrave bien poser leproblegraveme et agrave ne rien oublier avant de reacutealiser les premiegraveres expeacuteriences

1311 Bien poser le problegraveme

Cette phase de lrsquoeacutetude ne doit jamais ecirctre neacutegligeacutee Au contraire il ne faut pasheacutesiter agrave y consacrer du temps et agrave faire appel agrave tous les speacutecialistes concerneacutesToutes les connaissances du sujet traiteacute doivent ecirctre rassembleacutees analyseacutees critiqueacuteeset eacutevalueacutees Il arrive souvent que le problegraveme soit modifieacute apregraves une analyse enprofondeur des connaissances initiales Lrsquoessentiel est de deacutemarrer lrsquoeacutetude dans lesmeilleures conditions possibles en inteacutegrant tous les renseignements disponibles Crsquoestainsi que lrsquoon acceacutelegravere les recherches et que lrsquoon arrive rapidement agrave des conclusionsjustes et preacutecises Neacutegliger cette phase crsquoest aller au devant de mauvaises surpriseset se reacuteserver de cuisants deacuteboires


272

131 Choix drsquoune meacutethode drsquoexpeacuterimentation13 bull Synthegravese et conseils

Figure 131 ndash Scheacutema geacuteneacuteral de conduite drsquoune eacutetude

Choix dune meacutethode dexpeacuterimentation

Acquisition progressive des connaissances

Analyse des reacutesultats

Bien pose r le problegraveme

Facteurs

Existe-t-il des contraintes expeacuterimentales

Reacuteponse(s) Domaine

Questions preacutealables

Faut -il randomiser

Existe-t-il des risques derreur systeacutematiques

A- une estimation de lerreur expeacuterimentale

A-t-on preacutevu le point central

Eacutetudie-t-on

t-on

tout de suite tous les facteurs

Choix du plan

Nombre de facteurs

Interactions possibles

Ordre des essais

Deacutecoupage en plusieurs plans

Modegravele postuleacute

Examen critique

Suite agrave donner

Valeurs suspectes

Facteurs au bon niveau

Calcul des coefficients

Examen des reacutesultats

Est-on dans le domaine dinteacuterecirct

Validiteacute du modegravele postuleacute

Plan compleacutementaire

Nouveaux facteurs

Nouveau domaine

Nouveau modegravele

Nouveau domaine

Plancompleacutementaire

Nouveau modegravele

NON + NON + NON

OUI ou OUI ou OUI

Arrecirct

Expeacuterimentation



273

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

13 bull Synthegravese et conseils


Il est essentiel de bien preacuteciser lrsquoobjectif de lrsquoeacutetude Il y a des eacutetudes geacuteneacuteralesdrsquoacquisition de connaissances des eacutetudes particuliegraveres ougrave il faut atteindre un butpreacutecis des eacutetudes drsquooptimisation drsquoune ou plusieurs reacuteponses Selon lrsquoobjectif onne reacutealisera ni les mecircmes essais ni les mecircmes plans drsquoexpeacuteriences Il faut agrave chaquefois que lrsquoon peut deacutefinir lrsquoobjectif sous une forme quantifiable Ne pas dire parexemple laquo obtenir un bon rendement raquo mais laquo obtenir un rendement au moinseacutegal agrave 80 raquo Agrave la fin de lrsquoeacutetude il faut ecirctre capable de dire si lrsquoobjectif est atteintou non Dans ce dernier cas il faut pouvoir dire si lrsquoon est loin ou pregraves du but

m Facteurs

Il faut lister tous les facteurs pouvant intervenir sur le pheacutenomegravene eacutetudieacute sanssrsquoautocensurer Nous avons vu que le nombre de facteurs nrsquoest pas une limite agravelrsquoexpeacuterimentation et que les plans fractionnaires permettent de reacuteduire le nombredes expeacuteriences Il faut vaincre les mauvaises habitudes prises avec la meacutethode clas-sique du laquo un facteur agrave la fois raquo et ne pas heacutesiter agrave eacutetudier tous les facteurs pouvantinfluencer les reacuteponses Il faut abandonner les impasses et les hypothegraveses restric-tives Pour ne rien oublier on pourra utiliser le moyen mneacutemotechnique des 6Msupporteacute par le diagramme drsquoIshikawa

Meacutethodes Machines Main drsquoœuvre Milieu Matiegraveres Mesures

m Domaine

La deacutelimitation des niveaux de chaque facteur sera eacutegalement examineacutee avec atten-tion Le domaine ne doit pas ecirctre trop petit pour que les conclusions aient unecertaine geacuteneacuteraliteacute Il ne doit pas ecirctre trop grand non plus car les modegraveles matheacute-matiques postuleacutes risquent alors de ne plus ecirctre adapteacutes Le meilleur compromisest difficile agrave trouver si lrsquoon nrsquoa pas suffisamment de connaissances sur le pheacuteno-megravene eacutetudieacute Il est conseilleacute dans ce cas de proceacuteder agrave une eacutetude preacutealable pourorienter le choix des niveaux haut et bas de chaque facteur

m Reacuteponse(s)

Le choix de la ou des reacuteponses est une eacutetape capitale Toute lrsquoanalyse et toutes lesconclusions deacutependent de ce choix Une reacuteponse mal adapteacutee au problegraveme rendralrsquoexpeacuterimentation inutilisable ou conduira agrave des conclusions sans inteacuterecirct La reacuteponseseacutelectionneacutee doit permettre de reacutepondre sans ambiguiumlteacute agrave la question poseacutee Cechoix nrsquoest pas aussi simple que lrsquoon pourrait le croire et crsquoest parfois la principaledifficulteacute agrave laquelle on se heurte Par exemple nous avons passeacute beaucoup de temps etdeacutepenseacute des treacutesors drsquoimagination pour trouver une reacuteponse permettant de bienmesurer le peacutetillant drsquoune eau mineacuterale ou pour eacutevaluer le stress des controcircleurs du ciel

1312 Questions preacutealables

Avant de commencer les expeacuteriences il est neacutecessaire de se poser un certain nombrede questions pour orienter le choix du plan initial et des eacuteventuels plans (ou essais)compleacutementaires Voici une liste non limitative des questions agrave se poser


274


m Existe-t-il des contraintes expeacuterimentales

Si un reacuteglage est difficile ou si une mise en tempeacuterature est longue agrave atteindre ilfaudra envisager de conduire les essais par seacutequences On effectuera par exempleune seacuterie drsquoessais au niveau bas du reacuteglage (ou de la tempeacuterature) suivie drsquoune seacuteriedrsquoessais au niveau haut du reacuteglage (ou de la tempeacuterature) Un seul facteur pourra ecirctreeacutetudieacute de cette maniegravere Par exemple dans le cas drsquoun plan 23 crsquoest la colonne 3qursquoil faut choisir pour eacutetudier ce facteur particulier lorsque lrsquoordre des essais estlrsquoordre habituel Dans les matrices drsquoHadamard il y a toujours une colonne mais ilnrsquoy en a qursquoune qui est constitueacutee drsquoune seacuterie de signes moins suivie drsquoune seacuterie designes plus (ou inversement) La position de cette colonne deacutepend de lrsquoordre danslequel les essais ont eacuteteacute choisis

m Existe-t-il des risques drsquoerreurs systeacutematiques

Nous avons vu que les erreurs systeacutematiques (chapitre 8) avaient une reacutepercussionimportante sur lrsquoeacutevaluation des effets et des interactions Il est donc important dese preacutemunir contre ces erreurs et drsquoen atteacutenuer les conseacutequences en choisissantconvenablement lrsquoordre des essaisSi lrsquoerreur systeacutematique risque de modifier les coefficients du modegravele il faudra opeacutererun blocking Crsquoest le cas par exemple drsquoun plan effectueacute agrave deux peacuteriodes seacutepareacuteespar un long intervalle de temps ou drsquoun plan exeacutecuteacute en deux lieux diffeacuterents Leblocking permet drsquoobtenir les effets comme si la moyenne ne changeait pas entreles deux peacuteriodes ou les deux localisations Srsquoil y a risque de deacuterive il faudra

ndash soit choisir un ordre des essais tel que les effets principaux ne soient pas affecteacutesdrsquoun biais ducirc agrave cette erreur systeacutematique

ndash soit controcircler la deacuterive par des mesures au point central (ou autre point de controcircle)et corriger les reacuteponses en conseacutequence cette seconde solution est plus preacutecisemais plus coucircteuse en nombre drsquoexpeacuteriences

m Faut-il randomiser

Le but de la randomisation est drsquoessayer de reacutepartir au hasard les petites erreurssysteacutematiques et de pouvoir ainsi traiter lrsquoerreur expeacuterimentale comme si elle nrsquoavaitqursquoune composante lrsquoerreur aleacuteatoire Cette proceacutedure est donc utile pour pouvoirappliquer les tests statistiques cependant elle a lrsquoinconveacutenient de gonfler lrsquoerreurexpeacuterimentaleLa bonne deacutemarche consiste agrave tenir compte de toutes les contraintes et agrave effectuerles arbitrages en trois temps

ndash Premier temps on tient compte des contraintes expeacuterimentales seacutequence deniveaux basseacutequence de niveaux haut pour un facteur Agrave lrsquointeacuterieur de cesseacutequences il est encore possible de randomiser Tous les autres arrangementspermettant de simplifier les manipulations sont eacutevidemment possibles et peuventecirctre envisageacutes par lrsquoexpeacuterimentateur

ndash Deuxiegraveme temps on prend en compte les erreurs systeacutematiques on choisit unordre speacutecial pour tenir compte drsquoune deacuterive connue ou eacuteventuelle ou on deacutecoupele plan en plusieurs blocs (blocking)



275

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


ndash Troisiegraveme temps on randomise ce qui peut lrsquoecirctre encore Par exemple bull on peut tregraves bien randomiser les essais agrave lrsquointeacuterieur de chaque bloc apregraves avoir

effectueacute un blocking bull on peut eacutegalement choisir au hasard lrsquoun des ordres qui permet drsquoobtenir les

effets principaux non entacheacutes de lrsquoerreur de deacuterive bull srsquoil nrsquoy a pas de contraintes expeacuterimentales et srsquoil nrsquoy a pas de raison de choisir

un ordre particulier (deacuterive) ou drsquoeffectuer un blocking on randomisera tousles essais du plan

m A-t-on une estimation de lrsquoerreur expeacuterimentale

La connaissance de lrsquoerreur expeacuterimentale est importante pour pouvoir appreacuteciersi un effet est significatif ou non Lrsquoideacuteal est de posseacuteder une estimation de cetteerreur baseacutee sur un grand nombre de mesures Malheureusement cette situationnrsquoest pas souvent remplie et lrsquoon est contraint de faire des hypothegraveses pour obtenirune eacutevaluation approcheacutee de cette erreurLa comparaison effeteacutecart-type nrsquoest pas aussi simple que beaucoup de manuels lelaissent supposer et il ne faut pas oublier les nombreuses hypothegraveses la plupart dutemps cacheacutees pour faire cette comparaison valablement En effet aux hypothegravesesfaites pour calculer une erreur expeacuterimentale il faut ajouter celles que lrsquoon faitpour calculer les effets en particulier ndash La valeur des eacutecarts ne deacutepend pas de la valeur de la reacuteponse Cette hypothegravese

est rarement veacuterifieacuteendash La distribution des eacutecarts est une distribution normale Il existe des tests pour

veacuterifier si la distribution des eacutecarts est normalendash Les eacutecarts ne sont pas correacuteleacutes entre euxndash Absence drsquoerreurs systeacutematiques Cette hypothegravese est rarement veacuterifieacuteendash Lrsquoeacutecart-type est le mecircme dans tout le domaine drsquoeacutetude (homosceacutedasticiteacute) Cette

hypothegravese est rarement veacuterifieacuteendash Indeacutependance des variables Il peut arriver que deux variables paraissent indeacutepen-

dantes alors qursquoen reacutealiteacute il existe une relation cacheacutee qui les lie Cette liaisoncacheacutee peut ecirctre introduite par les proprieacuteteacutes physico-chimiques des compo-sants intervenant dans lrsquoeacutetude

ndash Le modegravele matheacutematique postuleacute nrsquoest qursquoune approximation du modegravele reacuteelde la nature

ndash Le modegravele matheacutematique associeacute aux plans factoriels est additifCette liste nrsquoest probablement pas complegravete mais elle montre la fragiliteacute des raison-nements que lrsquoon peut faire car dans la plupart des eacutetudes ces hypothegraveses ne sontpas toutes respecteacutees Lrsquoexpeacuterimentateur devra donc examiner avec soin la validiteacute descalculs drsquoerreur et se meacutefier des meacutethodes automatiques Il faut bien comprendreque pour obtenir une information utile tout en diminuant le nombre des essais il afallu faire des hypothegraveses simplificatrices Ces hypothegraveses sont utiles et mecircmeindispensables mais pour qui les oublie le danger est grand de commettre unebeacutevue ou pire une catastropheSi lrsquoon ne possegravede pas drsquoestimation de lrsquoerreur et si lrsquoon a la possibiliteacute drsquoeffectuerquelques reacutepeacutetitions la meilleure solution est de reacutealiser des expeacuteriences au point


276


central ou sur tout autre point drsquointeacuterecirct si le point central est inaccessible Nousnrsquoinsisterons jamais assez sur lrsquoutiliteacute de ces mesures

m Eacutetudie-t-on tout de suite tous les facteurs

Il se peut que la liste des facteurs agrave eacutetudier soit longue et que les moyens (temps etbudget) ne permettent pas de reacutealiser beaucoup drsquoessais Dans ce cas on commen-cera par seacutelectionner les facteurs qui risquent drsquoecirctre les plus influents Les autresfacteurs momentaneacutement non eacutetudieacutes se verront attribuer un niveau fixe pendanttoute lrsquoexpeacuterimentation Par exemple si lrsquoon a recenseacute dix facteurs et que lrsquoon nepeut reacutealiser que huit essais il faudra choisir un plan 27-4 pour eacutetudier sept facteurset assigner un niveau constant aux trois autres pendant tout le deacuteroulement desexpeacuteriences On se reacuteserve ainsi la possibiliteacute de les reacuteintroduire ensuite danslrsquoeacutetude sans perdre les huit premiers essais on leur attribue un niveau diffeacuterent decelui auquel ils avaient eacuteteacute fixeacutes et lrsquoon refait un plan analogue au premier Cetteopeacuteration est lrsquoinverse du fractionnement on part drsquoun plan 2k et on lui ajoute 12 3hellip p facteurs suppleacutementaires on reacutealise de cette maniegravere un plan 2k+p

m A-t-on preacutevu le point central

Le point central du domaine est un point privileacutegieacute Crsquoest en ce point que lesreacuteponses calculeacutees sont en geacuteneacuteral obtenues avec la meilleure preacutecision Crsquoestaussi le point ougrave la reacuteponse expeacuterimentale est eacutegale agrave la constante du modegraveleSi lrsquoon effectue plusieurs mesures au point central on pourra eacutegalement avoir uneideacutee de lrsquoerreur expeacuterimentalePour ces raisons nous conseillons fortement de reacutealiser quelques mesures au pointcentral degraves que cela est possible ou sur tout autre point de controcircle si le point centralnrsquoexiste pas Crsquoest une sage preacutecaution qui valide les hypothegraveses faites ou qui orientela suite de lrsquoexpeacuterimentation vers la bonne direction modegravele du second degreacute dansla majoriteacute des cas

1313 Choix du plan

Le choix du plan sera guideacute par la discussion de tous les points preacuteceacutedents

ndash le nombre de facteursndash les interactions pouvant ecirctre significativement diffeacuterentes de zeacuterondash plan complet ou plan fractionnaire en fonction des contraintes expeacuterimentalesndash lrsquoordre des essais qui sera deacutefinindash un point de controcircle qui sera le plus souvent preacutevu avec ou sans reacutepeacutetition

Ce plan sera eacuteventuellement deacutecoupeacute en sous-plans (blocking plans fractionnaires)pour ne pas engager tout le budget (temps etou argent) dans une seule voie derecherche On respectera ainsi le principe de lrsquoacquisition progressive des connais-sancesSi un facteur nrsquoest pas eacutetudieacute immeacutediatement mais risque de lrsquoecirctre par la suite ilfaut le maintenir agrave un niveau fixe On preacutepare ainsi la suite de lrsquoexpeacuterimentationIl suffira comme nous lrsquoavons deacutejagrave vu de lui donner un autre niveau et de reacutealiser



277

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


les nouvelles expeacuteriences correspondantes pour obtenir un plan ayant un (ou plusieurs)facteur de plusLa mise en forme du plan initial choisi par lrsquoexpeacuterimentateur sera faciliteacutee par lapreacutesentation que nous avons utiliseacutee dans tous nos exemples Elle rassemble toutes lesdonneacutees facteurs domaine et reacuteponses Elle facilitera le suivi de lrsquoexpeacuterimentationet lrsquoanalyse des reacutesultats

132 ExpeacuterimentationCrsquoest une phase tregraves importante de lrsquoeacutetude puisque crsquoest la collecte des donneacuteesLes expeacuterimentateurs apporteront donc comme ils en ont lrsquohabitude le plusgrand soin agrave reacutealiser les expeacuteriences La qualiteacute de leur travail et de leurs recom-mandations deacutepend de la qualiteacute des donneacutees collecteacutees Les plans drsquoexpeacuteriencesne les dispenseront pas de bien travaillerhellip au contraire Lrsquooutil est puissant lesrisques sont plus grands

133 Analyse des reacutesultatsAvant drsquoeffectuer les calculs lrsquoexpeacuterimentateur examinera les conditions drsquoexpeacuteri-mentation les reacutesultats de ses essais et deacutecidera drsquoune suite agrave donner

1331 Examen critique

m Les reacutesultats sont-ils coheacuterents Nrsquoy a-t-il pas de valeurs suspectes

Un reacutesultat faux se reacutepercutera sur tous les coefficients Il est donc prudent de srsquoassurerde la qualiteacute des reacutesultats avant de commencer les calculs et de faire lrsquointerpreacutetationUn reacutesultat suspect peut provenir drsquoerreurs de transcription drsquoerreurs de reacuteglagedrsquoun appareil de mesure deacutefectueux drsquoun niveau mal fixeacute etc

m Les niveaux des facteurs eacutetaient-ils bien fixeacutes aux valeurs preacutevues

Il peut tregraves bien arriver que pour un facteur le niveau minus1 (ou +1) soit respecteacutepour des essais et ne le soit pas pour drsquoautres Par exemple le niveau +1 du facteur3 a eacuteteacute reacutegleacute agrave +12 au cours des essais n˚ 2 et 5 Les expeacuteriences ne sont pasperdues car il suffit drsquoentrer les bons niveaux dans la matrice drsquoexpeacuteriences dutableur de lrsquoordinateur pour que les reacutesultats soient correctsLorsque lrsquoexamen critique des reacutesultats drsquoexpeacuteriences est termineacute et que lrsquoon est sucircrque tout est correct on procegravede aux calculs des coefficients et des principalesstatistiques courantes (eacutecarts-types p-values et R2) On pourra ensuite construireles graphiques et analyser les reacutesultats en profondeur


Cette analyse se fait en plusieurs eacutetapes Ne jamais oublier que les plans fraction-naires donnent des contrastes et non des effets Crsquoest par commoditeacute de langageque lrsquoon emploie souvent le mot effet agrave la place de contraste Le calcul preacutealable etlrsquoexamen des aliases eacuteviteront les conclusions hacirctives Lrsquoanalyse est une phase longue


278

133 Analyse des reacutesultats13 bull Synthegravese et conseils

et deacutelicate au cours de laquelle lrsquoexpeacuterimentateur se livre agrave un examen approfondides reacutesultats ndash Quels sont les facteurs influents ndash Quelles sont les interactions significatives ndash Existe-t-il des ambiguiumlteacutes dans les contrastes calculeacutes ndash Le modegravele matheacutematique associeacute aux plans peut-il orienter les futurs travaux ndash La comparaison laquo constante du modegravelereacuteponse mesureacutee au centre raquo valide-t-

elle ou non le modegravele PDAI ndash Est-il reacutealiste drsquoavoir supposeacute les effets additifs ndash Le domaine contient-il les solutions du problegraveme poseacute ndash Une analyse des reacutesidus a-t-elle eacuteteacute pratiqueacutee pour srsquoassurer que toute lrsquoinformation

restante a eacuteteacute extraite Lrsquoensemble de ces questions augmenteacute de celles qui pourraient se poser en fonc-tion de chaque eacutetude conduira lrsquoexpeacuterimentateur agrave reacutealiser des calculs des graphi-ques agrave revenir sur les reacutesultats agrave effectuer des comparaisons crsquoest-agrave-dire agrave faire unexamen critique et en profondeur de toute son expeacuterimentation Le pheacutenomegraveneeacutetudieacute aura deacutejagrave livreacute une grande partie de ses secrets et peut-ecirctre mecircme suffisam-ment pour que lrsquoeacutetude soit termineacutee apregraves un premier plan Mais il arrive que des expeacute-riences suppleacutementaires soient neacutecessaires pour avancer dans la connaissance duproblegraveme poseacute Plusieurs voies sont alors envisageables

1332 Suite agrave donner

En fonction des conclusions du premier plan lrsquoexpeacuterimentateur pourra se poserles questions suivantes ndash Faut-il envisager un changement de domaine ndash Faut-il envisager un plan compleacutementaire (ou des essais compleacutementaires) ndash Faut-il envisager un autre modegravele matheacutematique

m Domaine drsquointeacuterecirct

Une extension du domaine drsquoeacutetude est agrave envisager si les premiers reacutesultats montrentque la solution espeacutereacutee nrsquoest pas dans le domaine deacutefini au deacutepart Les reacutesultatsacquis orienteront les futurs essais vers le nouveau domaine qui devrait contenir lasolution espeacutereacutee

m Plans et essais compleacutementaires

Ce type de plan est envisageacute lorsqursquoil y a des effets principaux aliaseacutes avec des inter-actions que lrsquoon ne peut pas neacutegliger Il faut aussi envisager un plan compleacutementairequand le modegravele PDAI (modegravele du premier degreacute avec interactions) postuleacute nrsquoexpliquepas bien les reacutesultats du plan On passera alors agrave un modegravele du second degreacute

m Le modegravele postuleacute est-il valide

Srsquoil y a de tregraves fortes interactions ou si la constante du modegravele diffegravere de la reacuteponsemesureacutee au centre le modegravele matheacutematique postuleacute nrsquoest pas valide Il faut alorseacutetayer lrsquointerpreacutetation sur un modegravele matheacutematique du second degreacute Si cela nesuffit pas on construira un plan optimal adapteacute au modegravele matheacutematique quirepreacutesente le mieux le pheacutenomegravene eacutetudieacute


134 Acquisition progressive des connaissances

279

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


m Faut-il arrecircter les essais

En fonction des reacuteponses aux questions preacuteceacutedentes lrsquoexpeacuterimentateur pourra soitarrecircter les essais il en sait assez et peut faire des recommandations reacutepondant agravelrsquoobjectif de lrsquoeacutetude soit deacutesirer des informations suppleacutementaires il aborderaalors le processus drsquoacquisition progressif des connaissancesDrsquoapregraves la figure 131 ces situations se traduisent par

ndash Il faut trois NON pour arrecircterndash Srsquoil y a un seul OUI il faut parcourir agrave nouveau la boucle Celle-ci peut bien

sucircr ecirctre parcourue plusieurs fois


Si lrsquoexpeacuterimentateur deacutesire des informations suppleacutementaires il devra deacutefinir lesoutils et les meacutethodes agrave utiliser Crsquoest en fonction de lrsquoanalyse des reacutesultats et desquestions poseacutees qursquoil choisira sa strateacutegie

ndash Plans ou essais compleacutementaires ces essais sont neacutecessaires pour deacutesaliaser leseffets principaux de certaines interactions Ils sont aussi indispensables pourpasser drsquoun modegravele PDAI agrave un modegravele du second degreacute (points en eacutetoile) Ilfaut aussi envisager des essais suppleacutementaires pour effectuer une extension dudomaine drsquoeacutetude

ndash Nouveaux facteurs si lrsquoon a pris la preacutecaution de maintenir les facteurs laquo enattente drsquoexamen raquo agrave un niveau fixe on pourra les faire participer agrave un nouveauplan en leur assignant de nouveaux niveaux

ndash Optimisation le domaine drsquoeacutetude peut tregraves bien convenir mais la modeacutelisationpeut tregraves bien ecirctre insuffisante pour traiter le problegraveme poseacute Dans ce cas ilfaudra enrichir les premiegraveres expeacuteriences en deacutefinissant de nouveaux essais Lesemplacements des nouveaux points expeacuterimentaux dans le domaine expeacuteri-mental devront ecirctre choisis avec soin

La grande souplesse des plans drsquoexpeacuteriences permet sans jamais perdre aucun essai

ndash drsquoenrichir constamment par de nouvelles expeacuteriences les reacutesultats deacutejagrave trouveacutes les plans ou les essais compleacutementaires affinent lrsquoinformation apporteacutee par lespremiers plans

ndash drsquoajouter de nouveaux facteurs si on a eu la sagesse de les preacutevoir et de les main-tenir agrave un niveau fixe au cours du premier plan

Il reacutesulte des remarques preacuteceacutedentes que lrsquoon a souvent inteacuterecirct agrave commencer parun plan ayant peu drsquoessais Cela permettra drsquoobtenir rapidement de preacutecieuxrenseignements pour la suite de lrsquoeacutetude Puis en fonction des objectifs viseacutes oneffectuera les essais qui conviennent le mieux expeacuteriences compleacutementaires oufacteurs suppleacutementaires Le principe drsquoacquisition progressif des connaissancesprend sa source dans ces remarques et complegravete harmonieusement les deuxpremiegraveres parties de la meacutethodologie de lrsquoexpeacuterimentation choix de la meacutethodedrsquoexpeacuterimentation et analyse des reacutesultats


280

135 Recommandations13 bull Synthegravese et conseils

135 Recommandations

Les conclusions drsquoune eacutetude aboutissent agrave des recommandations dont lrsquoexpeacuteri-mentateur est le seul responsable Il doit donc srsquoentourer de toutes les preacutecautionspossibles pour ecirctre sucircr de ses conclusions Le reacuteglage des facteurs pour obtenir ousrsquoapprocher au mieux des objectifs de lrsquoeacutetude est drsquoabord deacutetermineacute par simplecalcul Il est donc sujet agrave caution Il faut absolument lever le doute et reacutealiser lesexpeacuteriences de controcircle Ces essais de validation sont indispensables et font partiede la bonne pratique des plans drsquoexpeacuteriences

136 Limites de lrsquoexpeacuterimentique

Lrsquoexpeacuterimentique est une deacutemarche meacutethodique pour conduire avec succegraves uneexpeacuterimentation preacutecise en optimisant les moyens agrave la disposition du chercheur temps et argent Mais cette meacutethode ne fera pas le travail de lrsquoexpeacuterimentateur etsurtout ne remplacera pas son intelligence et son geacutenie Crsquoest lui qui devra

ndash Deacutefinir lrsquoobjectif il est essentiel de bien preacuteciser et de quantifier lrsquoobjectif delrsquoeacutetude

ndash Bien poser le problegraveme un problegraveme mal poseacute ne sera pas redresseacute par lrsquoexpeacute-rimentique

ndash Ecirctre imaginatif et creacuteatif lrsquoexpeacuterimentique nrsquoest qursquoune technique elle aide agravelrsquointerpreacutetation des reacutesultats mais crsquoest lrsquoexpeacuterimentateur qui est responsable deses hypothegraveses et de ses conclusions

ndash Choisir les facteurs si lrsquoexpeacuterimentateur oublie un facteur important dans soneacutetude crsquoest lui qui sera responsable des anomalies et des conclusions erroneacutees

ndash Deacutefinir les limites du domaine crsquoest une des grandes difficulteacutes rencontreacuteespar lrsquoexpeacuterimentateur Si le domaine est trop petit les reacuteponses espeacutereacuteesrisquent de ne pas y ecirctre ce qui entraicircnera des essais suppleacutementaires Si ledomaine est trop grand le modegravele postuleacute sera mal adapteacute pour interpreacuteter lesreacutesultats expeacuterimentaux

ndash Bien conduire ses expeacuteriences des expeacuteriences mal conccedilues des facteurs noncontrocircleacutes des mesures impreacutecises des erreurs de notation de repeacuterage ou de trans-cription ne seront pas redresseacutes par les plans drsquoexpeacuteriences Au contraire ils exigentun grand soin dans lrsquoexpeacuterimentation elle-mecircme pour en tirer toute lrsquoessence

ndash Choisir les reacuteponses crsquoest eacutegalement un point capital pour la qualiteacute delrsquointerpreacutetation Toutes les reacuteponses ne sont pas eacutequivalentes Certaines ne sontpas assez preacutecises drsquoautres ne fournissent pas des effets suffisamment nets pour tirerdes conclusions Enfin il faut que les reacuteponses choisies permettent drsquoatteindrelrsquoobjectif de lrsquoeacutetude

En reacutesumeacute lrsquoexpeacuterimentique est une technique utile et puissante maisLa maicirctrise de lrsquoexpeacuterimentation et la responsabiliteacute des conclusions

restent entre les mains de lrsquoexpeacuterimentateur


281

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

14 bull PREacutePAREZ ET ANALYSEZVOS PLANS DrsquoEXPEacuteRIENCES AVEC JMPreg

JMPreg est un logiciel de statistique eacutelaboreacute par la socieacuteteacute SAS Institute Inc qui estparticuliegraverement bien adapteacute pour la construction et lrsquoanalyse des plans drsquoexpeacute-riences Il est conccedilu pour les ordinateurs personnels et possegravede des versions adap-teacutees agrave Windows Macintosh ou Linux Il utilise une interface laquo pointer-cliquer raquo etson ensemble tregraves complet drsquooutils statistiques permet la mise en forme lrsquoexplora-tion et lrsquoanalyse des donneacutees expeacuterimentales Le preacutesent chapitre est une courteintroduction agrave JMP que lrsquoon pourra compleacuteter de la maniegravere suivante ndash Allez sur le blog du livre httpwwwplansdexperiencescom Vous y trouverez

les exemples du livre accompagneacutes drsquoexplications suppleacutementaires et des fichiersde donneacutees teacuteleacutechargeables Vous pourrez aussi teacuteleacutecharger un manuel drsquointro-duction agrave JMP en franccedilais drsquoenviron 80 pages

ndash Si vous nrsquoavez pas reacutecupeacutereacute la documentation (version pdf) au moment de lrsquoinstal-lation de JMP allez sur le site httpwwwjmpcom sur lequel vous pourrez la teacuteleacute-charger En particulier les guides Design of Experiments et Statistics and GraphicsGuide fournissent de nombreux deacutetails sur les ressources et lrsquoutilisation de JMP

Nous allons deacutecrire les tacircches principales que vous pourrez effectuer avec JMPcomme construire un plan drsquoexpeacuteriences choisir un modegravele matheacutematique inter-preacuteter les reacutesultats expeacuterimentaux reacutecupeacuterer les sorties de JMP pour les utiliserdans drsquoautres logiciels ou pour les incorporer dans des documents

141 Construire un plan drsquoexpeacuteriencesDans certaines situations les plans sur mesure sont les mieux approprieacutes agrave lrsquoeacutetudeentreprise Le Custom Designer geacutenegravere alors un plan optimal adapteacute agrave votreproblegraveme et agrave vos moyens comme les plans eacutetudieacutes au cours de cet ouvrageCependant dans de nombreuses autres situations les plans classiques (comme laplupart de ceux deacutecrits dans ce livre) sont suffisants Dans ce cas on utilisedrsquoautres moyens de construction de plans (Screening Designer Full factorial Desi-gner Response Surface Designer et Mixture Designer) Nous allons voir successive-ment comment construire un plan avec le Screening Designer et le Custom DesignerCrsquoest lrsquoexemple n˚ 1 laquo Je maicirctrise la consommation de ma voiture raquo qui estutiliseacute exemple ougrave la reacuteponse est la consommation de carburant et ougrave les facteurssont la vitesse et la surcharge


282

141 Construire un plan drsquoexpeacuteriences14 bull Preacuteparez et analysez vosplans drsquoexpeacuteriences avec JMP

1411 Screening Designer (plan de criblage classique)

m Entrer les reacuteponses

Seacutelectionnez DOE gt Screening Design Lorsque la boicircte de dialogue apparaicirctdouble-cliquez sur le nom de la reacuteponse Y et entrez Consommation

m Entrer les facteurs

Dans la rubrique Factors entrez le chiffre 2 devant Continuous et cliquez sur lebouton Add pour introduire deux facteurs

m Modifier le nom des facteurs

Double-cliquez sur X1 et modifiez-le en Vitesse Entrez les niveaux bas (80) ethaut (120) de la Vitesse Reacutepeacutetez ces opeacuterations pour la Surcharge Cliquezsur le bouton Continue pour passer agrave la rubrique suivante


141 Construire un plan drsquoexpeacuteriences

283

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

14 bull Preacuteparez et analysez vosplans drsquoexpeacuteriences avec JMP

m Choisir le plan

JMP vous propose plusieurs plans classiques parmi lesquels vous pouvez choisircelui qui vous convient le mieux Vous pouvez aussi choisir drsquoexeacutecuter le plan en lesubdivisant en blocs Ici choisissez le premier plan de la liste Il possegravede 4 essais etnrsquoa aucun bloc Cliquez sur le bouton Continue

m Choisir les aliases et lrsquoordre des essais

Vous voyez maintenant le panneau de controcircle qui vous permet de modifier votreplan Par exemple pour changer les aliases ouvrez la rubrique Change GeneratingRules et utilisez les cases pour deacutefinir vos propres aliasesVous devez maintenant seacutelectionner lrsquoordre des essais Randomize est le choix pardeacutefaut Ici choisissez Sort Right to Left pour obtenir lrsquoordre de Yates

m Construire le plan

Cliquez sur le bouton Make Table pour geacuteneacuterer votre plan sous la forme drsquountableau les facteurs sont en colonnes et les essais en lignes La colonne desreacuteponses sera remplie apregraves lrsquoexeacutecution des expeacuteriences pour pouvoir effectuerlrsquoanalyse des reacutesultats


284


1412 Custom Designer


Seacutelectionnez DOE gt Custom Design Lorsque la boicircte de dialogue apparaicirctdouble-cliquez sur le nom de la reacuteponse et eacutecrivez Consommation


Puis cliquez sur le bouton Add Factor pour introduire un facteur ChoisissezContinuous Indiquez le nom du facteur et ses niveaux Reacutepeacutetez lrsquoopeacuteration pourintroduire le second facteurIl faut ensuite preacuteciser le modegravele matheacutematique JMP propose un modegravele avec laconstante et les facteurs principaux Vous pouvez si besoin est ajouter les interac-tions et les puissances



285

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


m Indiquer les interactions

Pour entrer une interaction surlignez le premier facteur concerneacute dans la rubriqueFactors et le second dans la rubrique Model puis cliquez sur Cross Si vous deacutesirezsimplement toutes les interactions drsquoun certain ordre seacutelectionnez cet ordre gracircce aubouton Interactions sans rien seacutelectionner drsquoautre JMP eacutecrira toutes les interactions

m Choisir le nombre drsquoessais

Le modegravele eacutetant speacutecifieacute JMP vous propose plusieurs choix pour le nombre drsquoessaisVous choisissez celui qui vous convient gracircce aux boutons radios ou vous imposezle vocirctre gracircce agrave la case Number of Runs Ici vous mettez 4 le nombre drsquoessais delrsquoexemple Cliquez sur Make Design pour geacuteneacuterer le plan

m Proprieacuteteacutes du plan

Maintenant vous pouvez voir le plan et quatre rubriques qui contiennent desinformations sur la qualiteacute du plan Deux de ces rubriques Prediction VarianceProfile et Relative Variance of Coefficients sont illustreacutees ici


286

142 Le tableur de JMP14 bull Preacuteparez et analysez vosplans drsquoexpeacuteriences avec JMP

Vous seacutelectionnez ensuite lrsquoordre des essais Randomize est le choix par deacutefaut Icichoisissez Sort Right to Left pour obtenir lrsquoordre de Yates Cliquez sur le boutonMake Table pour geacuteneacuterer votre plan sous forme de tableur

m Plan

Le plan est afficheacute dans un tableur Les facteurs sont en colonnes et les essais enlignes La colonne des reacuteponses sera remplie apregraves lrsquoexeacutecution des expeacuteriences pourpouvoir effectuer lrsquoanalyse des reacutesultats Il nrsquoy a pas de colonne Pattern

142 Le tableur de JMP

Lorsque vous cliquez sur Make Table vous obtenez un tableur (Figure 141) Il estdiviseacute en deux parties agrave gauche il y a une zone drsquoinformations agrave droite la grilledes donneacutees



287

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


1421 Zone drsquoinformation

La zone drsquoinformations est diviseacutee en plusieurs sections

ndash La section situeacutee en haut appeleacutee Tables indique le nom du fichier (ici Popcorn) elle contient un ou plusieurs scripts (ici un seul script appeleacute Fit Model) et peutfournir drsquoautres informations sur le tableur

ndash La deuxiegraveme section appeleacutee Columns indique les colonnes du tableur et letype de chaque variable Le type des variables est tregraves important car il est prisen compte par le logiciel pour effectuer les bonnes analyses et les bons graphi-ques Il est possible de changer le type des variables en cliquant sur lrsquoicocircne quiest situeacutee agrave gauche de lrsquointituleacute de la colonne et en seacutelectionnant le type quiconvient dans le menu qui apparaicirct Trois options sont disponibles pour letype des variables Continuous (deacutesigne une variable continue par un trianglebleu) ordinal (facteur discret ordonnable illustreacute par un diagramme agrave barresvert dont les marches sont croissantes) et nominal (facteur discret illustreacute parun diagramme agrave barres rouge dont les marches sont irreacuteguliegraveres) Lorsque lesvariables sont de type Continuous JMP prend la preacutecaution de bien preacutesenterles graphiques et les statistiques des facteurs continus Il en est de mecircme pourles variables ordinal et nominal qui gouvernent les graphiques et les statistiquescorrespondants

ndash La zone suivante appeleacutee Rows donne des informations sur les lignes dutableur Il est important de se souvenir surtout lorsqursquoon entre les donneacutees agrave lamain que chaque ligne du tableur repreacutesente un essai expeacuterimental Il en reacutesulteque la reacuteponse introduite par lrsquoexpeacuterimentateur doit parfaitement correspondreagrave lrsquoessai concerneacute

Figure 141 ndash Exemple de plan afficheacute dans le tableur de JMP

Zone de deacute-seacutelection

Numeacutero des essais

Nomdes facteurs

Variablesdiscregravetes

Variables continues

Variableordonnables


288

143 Choisir et utiliser un modegravele14 bull Preacuteparez et analysez vosplans drsquoexpeacuteriences avec JMP

1422 Grille des donneacutees

Il srsquoagit du plan proprement dit repreacutesenteacute sous forme drsquoun tableur Les facteurssont disposeacutes en colonnes et les essais expeacuterimentaux en lignesLes lignes et les colonnes peuvent ecirctre seacutelectionneacutees avec la souris Pour deacuteseacutelec-tionner les lignes ou les colonnes il faut cliquer dans la zone de deacuteseacutelection qui setrouve agrave gauche des titres de colonnes (Figure 141) Si lrsquoon clique au-dessus de ladiagonale on deacuteseacutelectionne les colonnes et si lrsquoon clique au-dessous de la diagonaleon deacuteseacutelectionne les lignes On peut aussi ajouter ou supprimer des lignes ou descolonnes

143 Choisir et utiliser un modegravele

Si vous avez construit votre plan agrave la main ou si vous voulez rester maicirctre de votreanalyse vous devez remplir vous-mecircme la fenecirctre de modeacutelisation (Figure 142)

ndash Surlignez la (ou les) reacuteponse(s) dans la plage Select Columns et cliquez sur lebouton Y qui se trouve dans la plage Pick Role Variables Vous pouvez aussiutiliser le laquo tirer-deacuteposer raquo en prenant le nom drsquoune reacuteponse et en le deacuteposant dansla plage voulue

ndash Surlignez le (ou les) facteur(s) dans la plage Select Columns et cliquez sur lebouton Add qui se trouve dans la plage Construct Model Effects

ndash Si vous voulez ajouter des interactions au modegravele surlignez les facteurs impliqueacutesdans lrsquointeraction dans Select Columns et cliquez sur le bouton Cross Pourseacutelectionner plusieurs facteurs en mecircme temps maintenez appuyeacutee la touche

Figure 142 ndash Fenecirctre de modeacutelisation de JMP



289

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


Control (Windows et Linux) ou (Macintosh) puis cliquez sur le nom desfacteurs

ndash Apregraves avoir introduit les facteurs les reacuteponses deacutefini le modegravele et choisilrsquoanalyse statistique cliquez sur le bouton Run Model pour lancer les calculs delrsquoanalyse statistique

Voici quelques conseils suppleacutementaires pour utiliser au mieux la boicircte de dialogueFit Model

ndash Pour enlever un facteur du modegravele double-cliquez sur ce facteur Vous pouvezaussi seacutelectionner le facteur et cliquer sur le bouton Remove

ndash Contrairement agrave beaucoup de boicirctes de dialogue de JMP la boicircte Fit Model nedisparaicirct pas apregraves avoir cliqueacute sur Run Model Cela vous permet drsquoexaminersuccessivement plusieurs modegraveles Les reacutesultats drsquoun premier modegravele guidentvotre analyse vers un autre modegravele peut-ecirctre meilleur Par exemple si vous constatezqursquoun modegravele de plan complet possegravede des termes drsquointeraction qui sont neacutegli-geables vous pouvez les retirer du modegravele et relancer lrsquoanalyse en utilisant lebouton Run Model

ndash Certains modegraveles sont freacutequemment utiliseacutes Par exemple si vous avez troisfacteurs A B et C et si vous deacutesirez faire lrsquoanalyse avec le modegravele ayant toutesles interactions il serait peacutenible drsquoentrer toutes les interactions car il faudraitseacutelectionner beaucoup de colonnes et effectuer de nombreux clics Ces manœu-vres sont simplifieacutees par lrsquoutilisation du menu Macros qui propose les modegravelesles plus courants Par exemple pour entrer un modegravele polynomial completpour trois facteurs commencez par seacutelectionner les trois facteurs dans la plageSelect Columns et cliquez sur Macros gt Full Factorial ou sur Macros gt FactorialSorted Vous obtiendrez directement un modegravele comprenant les facteurs prin-cipaux toutes les interactions drsquoordre deux et lrsquointeraction drsquoordre trois Demecircme Factorial to degree fournit un modegravele avec tous les facteurs et toutes lespuissances jusqursquoagrave celle speacutecifieacutee dans le champ Degree situeacute sous le menuMacros Par deacutefaut le degreacute est 2

ndash Le menu Attributes permet de deacutefinir la nature des facteurs Dans le livre nousavons rencontreacute deux facteurs de natures diffeacuterentes les facteurs de meacutelanges(Mixture) (la somme des concentrations est eacutegale agrave lrsquouniteacute) et les facteurs poursurface de reacuteponse (Response Surface) dont les valeurs sont utiliseacutees pourdeacutecouvrir des maxima etou des minima de la reacuteponse Le moyen le plus simplede construire les modegraveles correspondants est drsquoemployer le menu Macros Sivous avez des facteurs qui doivent ecirctre analyseacutes comme ceux des modegraveles poursurface de reacuteponse seacutelectionnez-les et cliquez sur Response Surface du menuMacros Tous les termes principaux toutes les interactions drsquoordre 2 et tous lestermes de puissance seront automatiquement ajouteacutes Cela est eacutegalement vrai pourles facteurs de meacutelanges

ndash Par deacutefaut JMP centre tous les facteurs Ce centrage est utile pour certainesanalyses statistiques Cependant dans le domaine des plans drsquoexpeacuteriences il estpreacutefeacuterable drsquoemployer des donneacutees non centreacutees Pour lancer une analyse avecdes variables non centreacutees cliquez sur le triangle rouge situeacute agrave gauche de Model


290

144 Examiner et analyser les reacutesultats14 bull Preacuteparez et analysez vosplans drsquoexpeacuteriences avec JMP

Specification et deacutecochez Center Polynomials Pour ecirctre sucircr de toujours obtenirdes analyses avec des facteurs non centreacutes agrave partir du menu principal suivez lechemin FilePreferencesPlatfomsModel Dialog et dans les options deacutecochezCenter Polynomials [default on]

En haut et agrave droite de la boicircte de dialogue Fit Model il y a deux listes deacuteroulantesdeacutenommeacutees Personality et Emphasis Si vous obtenez un rapport drsquoanalyse quine vous convient pas lorsque vous cliquez sur le bouton Run Model veacuterifiez lesindications de ces deux listes

ndash Les indications de Personality indiquent les meacutethodes drsquoanalyses statistiquesqui vont ecirctre effectueacutees par JMP Il apparaicirct par deacutefaut des seacutelections baseacutees surle type des facteurs Dans ce livre la plupart des exemples utilisent des variablescontinues et lrsquoanalyse correspondante est la reacutegression baseacutee sur le critegravere desmoindres carreacutes soit une personality Standard Least Squares Drsquoautres optionscomme Stepwise ou Manova sont eacutegalement preacutevues pour des variables continueset peuvent ecirctre choisies agrave lrsquoaide de cette liste deacuteroulante Les analyses NominalLogistic (reacutegression logistique pour variables discregravetes) et Ordinal Logistic(reacutegression logistique pour variables ordinales) sont des choix par deacutefaut drsquoautrestypes de variables Elles ne sont pas abordeacutees ici

ndash Les indications de Emphasis indiquent les reacutesultats drsquoanalyses qui seront preacutesenteacutesLe choix effectueacute ne modifie pas les calculs mais la preacutesentation et le type de sortiesIl y a trois genres de preacutesentation Effect Leverage qui fournit les graphiques etles rapports concernant les coefficients et lrsquoinfluence de chaque facteur surla reacuteponse Effect Screening qui est conccedilu pour les plans ayant beaucoup defacteurs et pour lesquels lrsquointeacuterecirct reacuteside dans la deacutecouverte des facteurs influentsMinimal Report qui sert quand on souhaite nrsquoobtenir que des reacutesultats numeacute-riques sans graphiques Dans toutes les situations il est possible de demander agraveJMP des analyses suppleacutementaires quelle que soit la personality choisie

144 Examiner et analyser les reacutesultats

Degraves que vous avez cliqueacute sur Run Model JMP affiche un rapport drsquoanalyse dontla preacutesentation est analogue agrave celle de la figure 143Plusieurs rubriques sont importantes agrave consulter La rubrique Analysis of Variance(analyse de la variance) affiche le rapport F de Fisher et la p-value associeacutee (noteacuteeProb gt F) pour lrsquoensemble du modegravele Une petite p-value indique un modegravele ayantau moins un facteur significatif La rubrique Parameter Estimates (estimation descoefficients) indique les valeurs des coefficients du modegravele La rubrique Effect Testsindique le rapport F de Fisher et la p-value pour chacun des facteurs du modegraveleAgrave gauche du titre de chaque rubrique il y a un petit triangle bleu qui permet drsquounclic drsquoouvrir ou de fermer la rubriqueEn plus de ce triangle bleu signalons le triangle rouge agrave gauche du titre Response Y enhaut du rapport drsquoanalyse Ces triangles rouges sont importants car ils ouvrent desmenus donnant accegraves agrave des analyses statistiques suppleacutementaires et agrave de nombreuxgraphiques On peut ainsi obtenir parmi de nombreuses autres informations la valeur


145 Principaux graphiques et rapports drsquoanalyse

291

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


des coefficients les reacutesidus des graphiques sur les effets des facteurs les correacutelationsentre les niveaux des facteurs les coefficients ou les reacuteponses etc


Pour les plans drsquoexpeacuteriences les renseignements les plus importants se trouventdans les sous-menus Effect Screening ou Factor Profiling On pourra y consulterde nombreuses informations dont les suivantesLe Normal Plot est le diagramme de Daniel (Figure 144) Il indique les coeffi-cients les plus significatifs On peut aussi obtenir le Half-normal Plot qui est unepreacutesentation particuliegravere du diagramme de Daniel au lieu des valeurs algeacutebriquesdes coefficients il utilise les valeurs absoluesLe Profiler est un graphique interactif permettant de voir lrsquoinfluence des varia-tions des niveaux des facteurs sur les reacuteponses (Figure 145) Cliquez (ou tirez) leslignes rouges verticales pour voir comment les variations de niveaux des facteursmodifient la reacuteponseLe triangle rouge agrave gauche de la rubrique Prediction Profiler donne accegraves agrave unmenu qui contient la fonction deacutesirabiliteacute (Desirability Functions) vous permet-tant drsquooptimiser gracircce agrave la commande Maximize Desirability une ou plusieursreacuteponses (voir chapitre 4)La commande Contour Profiler fait apparaicirctre un graphique interactif vouspermettant drsquoeacutetudier les courbes drsquoisoreacuteponses (courbes de niveaux) drsquoune surface

Figure 143 ndash Exemple de rapport drsquoanalyse statistique


292

145 Principaux graphiques et rapports drsquoanalyse14 bull Preacuteparez et analysez vosplans drsquoexpeacuteriences avec JMP

Figure 144 ndash Diagramme de Daniel et menus deacuteroulants associeacutes au triangle rouge du titre de la fenecirctre de rapport drsquoanalyse

Figure 145 ndash Illustration du Prediction Profiler


146 Transfeacuterer et sauvegarderles reacutesultats et les analyses

293

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


de reacuteponse (Figure 146) On peut aussi acceacuteder avec le Surface Profiler agrave ungraphique permettant drsquoeacutetudier des surfaces de reacuteponse en trois dimensions

146 Transfeacuterer et sauvegarder les reacutesultats et les analyses

Agrave la fin drsquoune analyse statistique il peut ecirctre neacutecessaire de transfeacuterer les reacutesultats etles graphiques de JMP vers drsquoautres applications telles qursquoun traitement de texteou un logiciel de preacutesentation On peut aussi vouloir envoyer ces renseignementssur un site web pour une large diffusion Il existe deux principaux moyens detransfeacuterer ces reacutesultatsVous pouvez drsquoabord couper et coller les rapports de JMP dans une autre applica-tion en utilisant lrsquooutil de seacutelection Cet outil se trouve dans la barre drsquooutils oudans le menu Tools Cliquez sur lrsquooutil et utilisez-le pour surligner la partie durapport drsquoanalyse qui vous inteacuteresse Srsquoil y a plusieurs parties agrave transfeacuterer opeacuterez demecircme mais en maintenant enfonceacutee la touche Control (PC ou Linux) ou la touche

(Macintosh) pour seacutelectionner les diffeacuterentes parties qui vous inteacuteressent Puis agravelrsquoaide des commandes Copier et Coller de vos applications informatiques (que lrsquoontrouvera la plupart du temps dans le menu Eacutedition) effectuez le transfert Les textessont transfeacutereacutes comme textes et les graphiques comme graphiquesSi vous devez transfeacuterer un rapport drsquoanalyse ou le convertir au format HTMLeffectuez les deacutemarches suivantes

ndash Seacutelectionnez Edit gt Journal Vous obtenez ainsi une copie du rapport drsquoanalysedans le journal de JMP Ce journal est utile pour concateacutener plusieurs rapports

Figure 146 ndash Illustration des graphiques Contour Profiler (agrave gauche) et Surface Profiler (agrave droite)


294



diffeacuterents dans une seule fenecirctre La copie ainsi effectueacutee peut ecirctre sauvegardeacuteesous plusieurs formats

ndash Le journal eacutetant ouvert seacutelectionnez File gt Save As ou File gt Export (Macintosh)Vous obtenez une fenecirctre standard de sauvegarde dans laquelle plusieurs formatsvous sont proposeacutes (Figure 147) Utilisez le format RTF si vous destinez lerapport agrave un eacutediteur de texte et HTML si vous voulez publier une page sur leweb et dont les graphiques sont stockeacutes dans un dossier seacutepareacute

Figure 147 ndash Fenecirctre de sauvegarde du journal


Annexes



297

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

A bull ORIGINE DES EXEMPLES

Exemple n˚ Chap Titre Origine

1 2Je maicirctrise la consom-mation de ma voiture

J Goupy

2 3

Des bijoux en or L Chalumeau et coll Application of a Doehlert design to the optimization of an Au-Co plating electrolyte J of Applied Electrochemistry vol 34 2004 p 1177-1184

3 4La galette des rois Eacutetude proposeacutee par une socieacuteteacute industrielle Les

donneacutees ont eacuteteacute leacutegegraverement modifieacutees pour assu-rer la confidentialiteacute du proceacutedeacute de fabrication

4 5Dureacutee de vie des outils de coupe jetables

Donneacutees aimablement communiqueacutees la socieacuteteacute MINITAB Les uniteacutes ne sont pas indiqueacutees pour ne pas divulguer des renseignements confidentiels

5 6

Le tellure M Grotti E Magi et R Leardi Study of interferen-ces in graphite furnace atomic absorption spectro-metry by means of experimental design Analytica Chimica Acta 327 1996 p 47-51

6 7La sulfonation Eacutetude extraite de la thegravese de chimie reacutealiseacutee par

Madame Kamoun-Messedi en 2000 agrave lrsquoUniversiteacute de Sfax (Tunisie)

7 7

Le spectrofluorimegravetre G Sado et J Goupy La meacutethodologie des plans drsquoexpeacuteriences appliqueacutee agrave lrsquooptimisation du reacuteglage drsquoun spectrofluorimegravetre Analusis vol 14 n˚ 8 1986 p 389-400

8 7Les pommes de terre chips

Donneacutees aimablement communiqueacutees par la socieacuteteacute MINITAB


298

A bull Origine des exemplesAnnexes


9 8

Le Penicillium chryso-genum

1 OL Davies The Design and Analysis of Indus-trial Experiments Oliver and Boyd Eacutedimbourg 19712 C Daniel Applications of Statistics to Industrial Expeacuterimentation John Wiley New York 1976

10 8Les haricots de Yates F Yates The Design and Analysis of Factorial Expe-

riments Bulletin 35 Hafner (MacMillan) Imperial Bureau of Soil Science Harpenden Herts 1937

11 8Le broyeur J Goupy Introduction aux plans drsquoexpeacuteriences

Dunod 2e eacutedition 2001

12 9La rectification du contremaicirctre

J Goupy Plans drsquoexpeacuteriences pour surfaces de reacuteponse Dunod 1999 Plan aimablement communiqueacute par le Professeur P Lanteacuteri

13 9Un yoghourt doux J Goupy Plans drsquoexpeacuteriences pour surfaces

de reacuteponse Dunod 1999

14 9Lrsquoinsecticide J Goupy Plans drsquoexpeacuteriences pour surfaces

de reacuteponse Dunod 1999 Plan aimablement communiqueacute par le Docteur Tralongo

15 10Les trois polymegraveres J Goupy Plans drsquoexpeacuteriences pour surfaces


16 11

Deacuteveloppement drsquoun deacutetecteur de fissures

TE Capobianco JD Splett et HK Iyer Eddy Cur-rent Probe Sensitivity as a Function of Coil Cons-truction Parameters Research in Nondestructive Evaluation vol 2 1990 p 169-186

17 11Les comprimeacutes du pharmacien

J Goupy Plans drsquoexpeacuteriences les meacutelanges Dunod 2000

18 11

La cregraveme agrave bronzer A Delacroix C Porte et D Youssef Application drsquoune meacutethode chimiomeacutetrique dans lrsquoeacutetude de la cristallisation de la dihydroceacutetone (DHA) congregraves Chimiomeacutetrie Paris 1999

19 12 Les salaires J Goupy

20 12Eacutetude de la peacuteneacutetro-meacutetrie

J Goupy


299

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

B bull COMPARAISONDE DEUX MOYENNES INDEacutePENDANTES

On veut comparer les moyennes de deux seacuteries de mesures

m Premiegravere moyenne

On effectue n1 reacutepeacutetitions au mecircme point expeacuterimental On obtient une premiegravere

seacuterie de mesures y1 i dont la moyenne est telle que

La variance des mesures y1 i est

m Deuxiegraveme moyenne

On effectue n2 reacutepeacutetitions au mecircme point expeacuterimental On obtient une deuxiegraveme

seacuterie de mesures y2i dont la moyenne est La variance des mesures y2j est telle que

Pour comparer et on calcule

ndash la valeur absolue de la diffeacuterence

ndash la variance de la diffeacuterence

ndash lrsquoeacutecart-type de la diffeacuterence soit la racine carreacutee de la variance

y1

y11n1

----- y1 i

i 1=

i n1=

sum=

V y1 i( ) 1n1 1ndash-------------- y1 i y1ndash( )2

i 1=

i n1=

sum=

y2

V y2 j( ) 1n2 1ndash-------------- y2 j y2ndash( )2

j 1=

j n2=

sum=

y1 y2

∆ y1 y2ndash=

V ∆( ) V y2( ) V y1( )+=

σ∆ V ∆( ) V y2( ) V y1( )+= =


300

B bull Comparaison de deux moyennes indeacutependantesAnnexes

ndash le rapport de la diffeacuterence agrave lrsquoeacutecart-type de la diffeacuterence

Ce rapport suit une loi de Student agrave v = (n1 ndash 1) + (n2 ndash 1) degreacutes de liberteacute

m Hypothegraveses

1 Les deux seacuteries sont issues drsquoune mecircme population Elles ont donc theacuteorique-ment la mecircme moyenne et le mecircme eacutecart-type2 Les reacuteponses sont issues drsquoune population ayant une distribution normale

∆σ∆------

y1 y2ndash

V y1 y2ndash( )----------------------------=


301

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

C bull SEacuteRIES DrsquoESSAIS LAISSANTLES FACTEURS PRINCIPAUX INSENSIBLES

Agrave UNE DEacuteRIVE LINEacuteAIRE

Seacuterie n˚ Ordre des 8 essais de chaque seacuterie

1 1 4 6 7 8 5 3 2

2 1 4 7 6 8 5 2 3

3 1 4 8 5 6 7 3 2

4 1 4 8 5 7 6 2 3

5 1 6 4 7 8 3 5 2

6 1 6 7 4 8 3 2 5

7 1 6 8 3 4 7 5 2

8 1 6 8 3 7 4 2 5

9 1 7 4 6 8 2 5 3

10 1 7 6 4 8 2 3 5

11 1 7 8 2 4 6 5 3

12 1 7 8 2 6 4 3 5

13 1 8 4 5 6 3 7 2

14 1 8 4 5 7 2 6 3

15 1 8 6 3 4 5 7 2

16 1 8 6 3 7 2 4 5

17 1 8 7 2 4 5 6 3

18 1 8 7 2 6 3 4 5

19 2 3 5 8 7 6 4 1

20 2 3 7 6 5 8 4 1

21 2 3 7 6 8 5 1 4

22 2 3 8 5 7 6 1 4


302

C bull Seacuteries drsquoessais laissant les facteurs principauxinsensibles agrave une deacuterive lineacuteaire

Annexes


23 2 5 3 8 7 4 6 1

24 2 5 7 4 3 8 6 1

25 2 5 7 4 8 3 1 6

26 2 5 8 3 7 4 1 6

27 2 7 3 6 5 4 8 1

28 2 7 3 6 8 1 5 4

29 2 7 5 4 3 6 8 1

30 2 7 5 4 8 1 3 6

31 2 7 8 1 3 6 5 4

32 2 7 8 1 5 4 3 6

33 2 8 3 5 7 1 6 4

34 2 8 5 3 7 1 4 6

35 2 8 7 1 3 5 6 4

36 2 8 7 1 5 3 4 6

37 3 2 5 8 6 7 4 1

38 3 2 6 7 5 8 4 1

39 3 2 6 7 8 5 1 4

40 3 2 8 5 6 7 1 4

41 3 5 2 8 6 4 7 1

42 3 5 6 4 2 8 7 1

43 3 5 6 4 8 2 1 7

44 3 5 8 2 6 4 1 7

45 3 6 2 7 5 4 8 1

46 3 6 2 7 8 1 5 4

47 3 6 5 4 2 7 8 1

48 3 6 5 4 8 1 2 7

49 3 6 8 1 2 7 5 4

50 3 6 8 1 5 4 2 7

51 3 8 2 5 6 1 7 4

52 3 8 5 2 6 1 4 7

53 3 8 6 1 2 5 7 4

54 3 8 6 1 5 2 4 7



303

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

Annexes


55 4 1 5 8 6 7 3 2

56 4 1 5 8 7 6 2 3

57 4 1 6 7 5 8 3 2

58 4 1 7 6 5 8 2 3

59 4 5 1 8 6 3 7 2

60 4 5 1 8 7 2 6 3

61 4 5 6 3 1 8 7 2

62 4 5 6 3 7 2 1 8

63 4 5 7 2 1 8 6 3

64 4 5 7 2 6 3 1 8

65 4 6 1 7 5 3 8 2

66 4 6 5 3 1 7 8 2

67 4 6 5 3 7 1 2 8

68 4 6 7 1 5 3 2 8

69 4 7 1 6 5 2 8 3

70 4 7 5 2 1 6 8 3

71 4 7 5 2 6 1 3 8

72 4 7 6 1 5 2 3 8

73 5 2 3 8 4 7 6 1

74 5 2 4 7 3 8 6 1

75 5 2 4 7 8 3 1 6

76 5 2 8 3 4 7 1 6

77 5 3 2 8 4 6 7 1

78 5 3 4 6 2 8 7 1

79 5 3 4 6 8 2 1 7

80 5 3 8 2 4 6 1 7

81 5 4 2 7 3 6 8 1

82 5 4 2 7 8 1 3 6

83 5 4 3 6 2 7 8 1

84 5 4 3 6 8 1 2 7

85 5 4 8 1 2 7 3 6

86 5 4 8 1 3 6 2 7


304


Annexes


87 5 8 2 3 4 1 7 6

88 5 8 3 2 4 1 6 7

89 5 8 4 1 2 3 7 6

90 5 8 4 1 3 2 6 7

91 6 1 3 8 4 7 5 2

92 6 1 3 8 7 4 2 5

93 6 1 4 7 3 8 5 2

94 6 1 7 4 3 8 2 5

95 6 3 1 8 4 5 7 2

96 6 3 1 8 7 2 4 5

97 6 3 4 5 1 8 7 2

98 6 3 4 5 7 2 1 8

99 6 3 7 2 1 8 4 5

100 6 3 7 2 4 5 1 8

101 6 4 1 7 3 5 8 2

102 6 4 3 5 1 7 8 2

103 6 4 3 5 7 1 2 8

104 6 4 7 1 3 5 2 8

105 6 7 1 4 3 2 8 5

106 6 7 3 2 1 4 8 5

107 6 7 3 2 4 1 5 8

108 6 7 4 1 3 2 5 8

109 7 1 2 8 4 6 5 3

110 7 1 2 8 6 4 3 5

111 7 1 4 6 2 8 5 3

112 7 1 6 4 2 8 3 5

113 7 2 1 8 4 5 6 3

114 7 2 1 8 6 3 4 5

115 7 2 4 5 1 8 6 3

116 7 2 4 5 6 3 1 8

117 7 2 6 3 1 8 4 5

118 7 2 6 3 4 5 1 8



305

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

Annexes

Ces seacuteries drsquoessais peuvent ecirctre utiliseacutees dans plusieurs cas

ndash Pour srsquoaffranchir drsquoune deacuterivendash Pour deacuteceler une deacuterive Srsquoil nrsquoy a pas drsquoautres sources drsquoerreur les interactions

sont comme les nombres (en valeurs absolues) 0 1 2 4ndash Pour construire un plan 24-1 Lrsquoune des interactions nrsquoeacutetant pas fausseacutee par la

deacuterive crsquoest elle que lrsquoon choisira pour aliaser le quatriegraveme facteurndash Pour reacutealiser un blocking et une eacutelimination de la deacuterive sur un plan 24


119 7 4 1 6 2 5 8 3

120 7 4 2 5 1 6 8 3

121 7 4 2 5 6 1 3 8

122 7 4 6 1 2 5 3 8

123 7 6 1 4 2 3 8 5

124 7 6 2 3 1 4 8 5

125 7 6 2 3 4 1 5 8

126 7 6 4 1 2 3 5 8

127 8 1 2 7 3 6 5 4

128 8 1 2 7 5 4 3 6

129 8 1 3 6 2 7 5 4

130 8 1 3 6 5 4 2 7

131 8 1 5 4 2 7 3 6

132 8 1 5 4 3 6 2 7

133 8 2 1 7 3 5 6 4

134 8 2 1 7 5 3 4 6

135 8 2 3 5 1 7 6 4

136 8 2 5 3 1 7 4 6

137 8 3 1 6 2 5 7 4

138 8 3 1 6 5 2 4 7

139 8 3 2 5 1 6 7 4

140 8 3 5 2 1 6 4 7

141 8 5 1 4 2 3 7 6

142 8 5 1 4 3 2 6 7

143 8 5 2 3 1 4 7 6

144 8 5 3 2 1 4 6 7


306


Annexes

On peut srsquoaffranchir agrave la fois pour les facteurs principaux ndash drsquoune variation globale de la moyenne entre deux seacuteries de huit essais (blocking) ndash drsquoune deacuterive lineacuteaire portant sur les 16 essais drsquoun plan 24 Pour cela on utilise

2 seacuteries miroir de 8 essais chacune par exemple 64713528 et 82531746Voici un exemple illustrant cette technique

Seacuteries miroir

Facteur(1)

Facteur(2)

Facteur(3)

Facteur(4)

Blockingsur 134

6 + ndash + ndash ndash

4 + + ndash + ndash

7 ndash + + + ndash

1 ndash ndash ndash ndash ndash

3 ndash + ndash ndash ndash


2 + ndash ndash + ndash

8 + + + ndash ndash

8 + + + + +

2 + ndash ndash ndash +

5 ndash ndash + ndash +

3 ndash + ndash + +


7 ndash + + ndash +

4 + + ndash ndash +

6 + ndash + + +


307

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

D bull INTRODUCTION AU CALCUL MATRICIEL

Les matrices sont des tableaux qui permettent de faire tregraves simplement des calculstregraves complexes Les calculs eacutetant reacutealiseacutes par une machine les utilisateurs doiventsimplement ecirctre capables de comprendre la signification des opeacuterations et drsquointer-preacuteter les reacutesultats

m Deacutefinitions

M Matrice

Une matrice est un tableau entre deux crochets constitueacute drsquoeacuteleacutements disposeacutes enlignes et en colonnes

Les eacuteleacutements sont a b c d e et fLa premiegravere ligne est a b cLa deuxiegraveme ligne est d e fLa premiegravere colonne est a dLa deuxiegraveme colonne est b eLa troisiegraveme colonne est c f

M Ordre drsquoune matrice

Une matrice drsquoordre m par n est un tableau de m lignes et de n colonnes Lamatrice preacuteceacutedente est une matrice (2 3) On indique drsquoabord le nombre delignes puis seacutepareacute par une virgule le nombre de colonnes Les deux chiffres sontplaceacutes entre parenthegraveses

M Matrice carreacutee

Crsquoest un tableau dans lequel le nombre de lignes est eacutegal au nombre de colonnes

M Matrice ligne

Crsquoest une matrice nrsquoayant qursquoune ligne (1 n)

M Matrice colonne

Crsquoest une matrice nrsquoayant qursquoune colonne (m 1)

a b cd e f


308

D bull Introduction au calcul matriciel

Annexes

M

Notation des eacuteleacutements

Les numeacuteros de ligne et de colonne seront indiqueacutes en indice Par exemple lamatrice preacuteceacutedente srsquoeacutecrira

M

Eacuteleacutements homologues

Ce sont les eacuteleacutements qui occupent la mecircme place dans deux matrices de mecircme ordre

M

Nature des eacuteleacutements

Les eacuteleacutements drsquoune matrice peuvent ecirctre de nature tregraves diffeacuterente nombres reacuteelsnombres complexes polynocircmes fonctions opeacuterateurs et mecircme matrices

m

Deacutefinitions concernant les matrices carreacutees

M

Diagonale principale

La diagonale principale drsquoune matrice carreacutee est formeacutee de lrsquoensemble deseacuteleacutements

a

ii

dont le numeacutero de ligne est eacutegal au numeacutero de colonne Cette diago-nale principale est signaleacutee en gras dans la matrice suivante

M

Matrice symeacutetrique

Crsquoest une symeacutetrie par rapport agrave la diagonale principale Les eacuteleacutements

a

ij

sont eacutegauxaux eacuteleacutements

a

ji

a

ij

=

a

ji

Exemple

M

Matrice antisymeacutetrique

Les eacuteleacutements

a

ij

sont eacutegaux aux eacuteleacutements

a

ji

changeacutes de signe

a

ij

=

ndash

a

ji

Exemple

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

1 2 3

2 1 4 3 4 1

0 2 3 2 ndash 0 4

3 ndash 4 ndash 0



309

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

Annexes

M

Matrice uniteacute

Crsquoest une matrice carreacutee dont tous les eacuteleacutements sont nuls sauf ceux de la diagonaleprincipale qui sont eacutegaux agrave 1

I

=

M

Deacuteterminant drsquoune matrice

Le deacuteterminant drsquoune matrice est un nombre Il ne faut pas confondre matrice etdeacuteterminant mecircme srsquoils se ressemblent beaucoup Une matrice est un tableauconstitueacute drsquoeacuteleacutements Un deacuteterminant se preacutesente comme un tableau mais quelrsquoon transforme en un nombre agrave lrsquoaide de regravegles de calcul bien deacutefinies Dans ledomaine des plans drsquoexpeacuteriences les deacuteterminants interviennent dans le calcul dela matrice inverse et dans la construction des plans D-optimaux

M

Trace drsquoune matrice

La trace drsquoune matrice est la somme de ses eacuteleacutements diagonaux

M

Matrice diagonale

Une matrice diagonale a tous ses eacuteleacutements eacutegaux agrave 0 sauf ceux de la diagonaleprincipale

m

Opeacuterations sur les matrices

M

Eacutegaliteacute de deux matrices

Deux matrices de mecircme ordre sont eacutegales si les eacuteleacutements homologues sont eacutegaux

M

Addition de deux matrices

On ne peut additionner que des matrices de mecircme ordre On obtient une matricede mecircme ordre Les eacuteleacutements de la matrice somme sont les sommes des eacuteleacutementshomologues des matrices que lrsquoon additionnePar exemple soit deux matrices

et

Leur somme est

La matrice

M

3

est la somme des matrices

M

1

et

M

2

M 1 + M 2 = M 3

1 0 0

0 1 0 0 0 1

M1a11 a12 a13

a21 a22 a23

= M2b11 b12 b13

b21 b22 b23

=

M1 M2+a11 b11+ a 12 b 12 + a 13 b 13 +

a

21

b

21

+ a 22 b 22 + a 23 b 23 + M

3

= =


310


Annexes

M

Soustraction

On ne peut soustraire que des matrices de mecircme ordre On obtient une matrice demecircme ordre Les eacuteleacutements de la matrice diffeacuterence sont les diffeacuterences des eacuteleacutementshomologues des matrices que lrsquoon soustrait

M

Matrice zeacutero

La matrice zeacutero a tous ses eacuteleacutements nuls

M

Multiplication drsquoune matrice par un scalaire

Tous les eacuteleacutements de la matrice sont multiplieacutes par ce scalaire

M

Multiplication drsquoune matrice par une matrice

Crsquoest une opeacuteration importante La multiplication drsquoune matrice

A

par une matrice

B

donne une matrice

C

A B

=

C

La multiplication nrsquoest possible que si le nombre de colonnes de

A

est eacutegal aunombre de lignes de

B

Si lrsquoordre de

A

est (

m

p

) et celui de

B

(

p

n

) lrsquoordre de

C

sera (

m

n

)La multiplication de deux matrices se fait

ligne par colonne

de telle maniegravere quelrsquoeacuteleacutement

c

ij

de la matrice produit soit eacutegal agrave

c

ij

=

a

i

1

b

1

j

+

a

i

2

b

2

j

+ hellip +

a

ip

b

pj

La multiplication matricielle nrsquoest pas commutative

A B

π

B A

M

Matrice inverse

Seules les matrices carreacutees ont des matrices inversesLa matrice

B

est inverse de la matrice

A si leur produit est eacutegal agrave la matrice uniteacute A B = I

La matrice B inverse de A se note Andash1 La matrice Andash1 existe si le deacuteterminant deA nrsquoest pas nul Si le deacuteterminant de A est nul A est dite singuliegravere ou deacutegeacuteneacutereacutee

M Transposition drsquoune matrice

La matrice transposeacutee Acent de A srsquoobtient en eacutecrivant en colonnes les lignes de A Lapremiegravere ligne de A devient la premiegravere colonne de Acent La deuxiegraveme ligne de Adevient la deuxiegraveme colonne de Acent etc

M1 M2ndasha11 b11ndash a 12 b 12 ndash a 13 b 13 ndash

a

21

b

21

ndash a 22 b 22 ndash a 23 b 23 ndash=

λ Mtimes 1λa11 λa12 λa13

λa21 λa22 λa23

=



311

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

Annexes

m

Algegravebre sur les matrices

Agrave partir des deacutefinitions et des opeacuterations qui viennent drsquoecirctre indiqueacutees il est possiblede construire une algegravebre des matrices

M

Transposeacutee drsquoun produit

M

Inverse drsquoun produit

M

Transposeacutee drsquoune transposeacutee

M

Inverse drsquoune inverse

m

Matrices particuliegraveres

M

Matrices orthogonales

Une matrice est orthogonale si les produits scalaires de ses colonnes sont tous nulsLa transposeacutee drsquoune matrice orthogonale est eacutegale agrave son inverse

M

Matrices drsquoHadamard

Ce sont des matrices carreacutees dont les eacuteleacutements sont +1 ou

minus

1 et telles que

Elles satisfont aux relations

Exemples

H

2

=

Aa11 a12 a13

a21 a22 a23

= Aprimea11 a21

a12 a22

a13 a23

=

X1 X 2 ( )prime X prime 2 X prime 1 =

X1 X 2 X 3 ( )prime X prime 3 X prime 2 X prime 1 =

X1 X 2 ( ) 1

ndash

X 21

ndash X 1

1 ndash =

X1 X 2 X 3 ( ) 1

ndash

X 31

ndash

X 21

ndash

X 1 1

ndash =

Xprime( )prime X=

X 1ndash( )1ndash

X=

Xprime X 1ndash=

Xprime X n I =

Xprime X X Xprime= Xprime n X 1

ndash = X 1ndash 1

n---Xprime=

1 1

1 ndash 1


312


Annexes

H

4

=

Ces matrices

H

n

existent pour toute valeur de

n

multiple de 4 soit 8 12 16 20hellipLes matrices drsquoHadamard sont les matrices utiliseacutees pour construire les plans drsquoexpeacute-riences factoriels complets les plans factoriels fractionnaires les plans de Plackettet Burman les tables de Taguchi et la partie factorielle des plans composites

1 1 ndash 1 ndash 1

1 1 1 ndash 1 ndash

1 1 ndash 1 1 ndash 1 1 1 1


313

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

BIBLIOGRAPHIE

m

Lecture conseilleacutee

B

OX

GEP H

UNTER

WG H

UNTER

JS

Statistics for Experimenters

John WileyNew York 2

e

eacutedition 2005

B

OX

GEP B

EHNKEN

DW Some new three level designs for the study of quan-titative variables

Technometrics

vol 2 1960 p 455-475

C

ORNELL

JA

Experiment with Mixtures

John Wiley New York 1981

D

ANIEL

C Use of half-normal plots in interpreting factorial two-level experiments

Technometrics

vol 1 1959 p 311-341

D

ERRINGER

D S

UICH

R Simultaneous optimisation of several response variables

J of Quality Technology

12 1980 p 214-219

D

OEHLERT

DH Uniform Shell Design

Appl Stat

n˚ 19 1970 p 231

D

RAPER

NR J

OHN

JA Responses Surfaces Designs for Quantitative andQualitative Variables

Technometrics

vol 30 n˚ 4 novembre 1988

D

RAPER

NR S

CHMITT

H

Applied Regression Analysis

John Wiley New York1981

F

ISHER

RA

Statistical Methods for Research Workers

Oliver and Boyd Eacutedimbourg

F

ISHER

RA

The Design of Experiments

Oliver and Boyd Eacutedimbourg 1935

F

REUND

R L

ITTLE

R C

REIGHTON

L

Regression using JMP

SAS Publishing2003

G

OUPY

J

Methods for Experimental Design

ndash

Principles and Applications for Physi-cists and Chemists

Elsevier Amsterdam 1993

G

OUPY

J

Plans drsquoexpeacuteriences pour surfaces de reacuteponse

Dunod Paris 1999

G

OUPY

J


Dunod Paris 2000

H

OTELLING

H Some problems in weighing and other experimental techniques

Am Math Stat

vol 15 n˚ 4 1944 p 297-306

M

ITCHELL

TJ An algorithm for Construction of D-Optimal Experimental DesignsTechnometrics vol 16 n˚ 2 1974

PLACKETT RL BURMAN JP The design of optimum multifactorial experimentsBiometrika n˚ 33 1946


314

BibliographieBibliographie

SALL J CREIGHTON L LEHMAN A JMP Start Statistics Thomson BrookCole2005

YATES F Experimental Design Selected papers Darien Connecticut Hafner 1970

YOUDEN WJ Statistical Methods for Chemists John Wiley New York 1951

m Ouvrages et articles geacuteneacuteraux

AFNOR ISO 9001 Systegravemes qualiteacute ndash Modegravele pour lrsquoassurance de la qualiteacute enconceptiondeacuteveloppement production installation et soutien apregraves vente 1987

AFNOR ISO 9002 Systegravemes qualiteacute ndash Modegravele pour lrsquoassurance de la qualiteacute enproduction et installation 1987

AFNOR ISO 9003 Systegravemes qualiteacute ndash Modegravele pour lrsquoassurance de la qualiteacute encontrocircle et essais finals 1987

AFNOR X 02-110 Symboles et vocabulaire du calcul matriciel juin 1982

AFNOR X 06-080 Application de la statistique ndash Plan drsquoexpeacuteriences ndash Vocabulaireet indications geacuteneacuterales novembre 1989

ALEXIS J Pratique industrielle de la meacutethode Taguchi les plans drsquoexpeacuteriencesAFNOR 1995

ATKINSON AC The Usefulness of Optimum Experimental Designs J of theRoyal Statistical Society B vol 58 n˚ 1 1996 p 59-76

BALEO J-N BOURGES B COURCOUX P FAUR-BRASQUET C LE CLOIREC PMeacutethodologie expeacuterimentale Tec amp Doc Paris 2003

BENOIST D TOURBIER Y GERMAIN-TOURBIER S Plans drsquoexpeacuteriences constructionet analyse Lavoisier ndash Tec amp Doc Paris 1994

BLAQUIEgraveRE A Calcul matriciel (2 tomes) Hachette Paris 1960

BOX GEP DRAPER NR Empirical Model-Building and Response Surface JohnWiley New York 1987

BOX GEP DRAPER NR Evolutionaty Operation A Statistical Method for ProcessImprovement John Wiley New York 1969

BOX GEP JONES S Split-plot designs for robust product experimentation J ofApplied Statistics 1992 p 3-26

BRERETON RG Multilevel multifactor designs for multivariate calibrationAnalyst vol 122 n˚ 12 1997 p 1521-1529

CARLSON R Preludes to a screening experiment A tutorial Chemometrics andIntelligent Laboratory Systems 14 1992 p 103-114

CARLSON R Design and Optimisation in organic synthesis Elsevier Amsterdam1992

CORNELL JA DENG JC Combining Process Variables and Ingredient Compo-nents in Mixing Experiments J of Food Science vol 47 1982 p 836-843 et 848


Bibliographie

315

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

Bibliographie

CORNELL JA Embedding Mixture Experiments Inside Factorial ExperimentsJ of Quality Technology vol 23 n˚ 4 1990 p 265-276

CORNELL JA Analysing Data from Mixture Experiments containing ProcessVariables A split-Plot Approach J of Quality Technology vol 20 n˚ 1 1988p 2-23

CZITROM V Mixture Experiments with Process Variables D-Optimal Ortho-gonal Experimental Designs Communications in Statistics Theory and Methodsvol 17 n˚ 1 1988 p 105-121

DAGNELIE P Principes drsquoexpeacuterimentation Presses agronomiques de Gembloux 2003

DANIEL C Applications of Statistics to Industrial Experimentation John WileyNew York 1976

DRAPER NR HERZBERG On lack of fit Technometrics vol 13 1971 p 231-241

DRAPER NR Small composite Designs Technometrics vol 27 1985 p 173-180

DROESBEKE J-J FINE J SAPORTA G Plans drsquoexpeacuteriences applications agrave lrsquoentre-prise Technip 1997

DUINEVELD CAA SMILDE AK DOORNBOS DA Comparison of Experi-mental designs combining Process and Mixture variables Part I Design construc-tion and theorical evaluation et Part II Design and evaluation on mesured dataChem Intel Lab Syst vol 19 1993 p 295-308 et 309-318

FEDOROV VV Theory of Optimal Experiments Academic Press New York 1972

GENETAY M La coloration des mateacuteriaux Hermes Paris 2000

GOUPY J Chemometrics Experimental Designs Encyclopedia of AnalyticalSciences Academic Press Londres 1995 p 659-666

GOUPY J Boolean Experimental Designs Analusis vol 28 n˚ 7 2000 p 563-570

GOUPY JL Unconventional experimental designs Theory and ApplicationChem Intel Lab Syst vol 33 1996 p 3-16

GOUPY J Outliers and Experimental Designs Chem Intel Lab Syst vol 351996 p 145-156

GOUPY J Plans drsquoexpeacuteriences Traiteacute Analyse chimique et caracteacuterisation Techniquesde lrsquoingeacutenieur P230 1992 p 1-20

GOUPY J Erreur de deacuterive et choix de lrsquoordre des essais drsquoun plan drsquoexpeacuteriencesfactoriel Revue de statistique appliqueacutee vol 37 n˚ 1 1989 p 5-22

GOUPY J Plans drsquoexpeacuteriences non conventionnels theacuteorie et applications (oucomment sauver un plan rateacute) Analusis 23 1995 p 152-158

GOUPY J Modeacutelisation par les plans drsquoexpeacuteriences Traiteacute Mesures et controcircleTechniques de lrsquoingeacutenieur R275 2000 p 1-23

GORMAN JW HINMAN JE Simplex-Lattice Designs for multicomponent systemsTechnometrics n˚ 4 1962 p 463-488


316


ISO 5725-2 Accuracy (trueness and precision) of measurement methods and resultspartie 2 Basic method for the determination of repeatability and reproducibility of astandard measurement method 1994

ISO 5725-3 Accuracy (trueness and precision) of measurement methods and resultspartie 3 Intermediate mesures of the precision of a standard measurement method1994

ISO 3534-3 Statistique vocabulaire et symboles partie 3 Plans drsquoexpeacuteriences 1998

KHURI AI CORNELL JA Response surfaces Design and Analyses Marcel DekkerNew York 1996

LENTH RV Quick and Easy Analysis of unreplicated Fractional Factorials Tech-nometrics vol 31 n˚ 4 1989 p 469-473

LIANG YZ FANG KT XU QS Uniform design and its applications inchemistry and chemical engineering Chemometrics and Intelligent LaboratorySystems vol 58 n˚ 1 2001 p 43-57

LUNDSTEDT T SEIFERT E ABRAMO L THELIN B NYSTROumlM Aring PETTERSEN JBERGMAN R Experimental design and optimisation Chemometrics and IntelligentLaboratory Systems 42 1998 p 3-40

MCLEAN RA ANDERSON VL Extreme vertices design of mixture experimentsTechnometrics 8 1966 p 447-454

MEAD R The Design of Experiments Statistical Principles for Practical applicationCambridge University Press Cambridge 1988

MEE RW BATES RL Split-lot designs Experiments for multistage batchprocesses Technometrics vol 40 n˚ 2 1998 p 127-140

MONTGOMERY DC Design and Analysis of Experiments John Wiley New York1984

MORGAN ED Chemometrics Experimental Design John Wiley New York1995

MYERS RH KHURI AI CARTER WH Response Surface Methodology 1966-1988 Technometrics vol 31 n˚ 2 1989

PIEPEL GF CORNELL JA Mixture Experiments Approach Examples Discus-sion and Recommandations J of Quality Technology vol 26 n˚ 3 1994 p 177-195

PILLET M Introduction aux plans drsquoexpeacuteriences par la meacutethode Taguchi LesEacuteditions drsquoorganisation Paris 1992

RECHTSCHAFFNER RL Satured Fractions of 2n and 3 Factorial Designs Techno-metrics vol 9 1967 p 569-575

ROQUEMORE KG Hybrid Designs for Quadratic Response Surfaces Techno-metrics vol 18 n˚ 4 1976 p 419-423

SADO G SADO M-C Les plans drsquoexpeacuteriences de lrsquoexpeacuterimentation agrave lrsquoassurancequaliteacute AFNOR 1991


Bibliographie

317

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

Bibliographie

SALL JP Leverage Plots for General Linear Hypotheses American Statisticianvol 44 n˚ 4 1990 p 303-315

SCHEFFE H Experiments with mixtures J of the Royal Statistical Society Bvol 20 1958 p 344-360

SCHEFFE H The simplex centroid design for Experiments with mixtures J of theRoyal Statistical Society B vol 25 1963 p 235-263

SCIBILIA B KOBI A CHASSAGNON R BARREAU A Plans compleacutementaires etplans imbriqueacutes Revue de statistique appliqueacutee vol XLVIII n˚ 1 2000

SCHIMMERLING P SISSON J-C ZAIDI A Pratique des plans drsquoexpeacuteriences Lavoi-sier ndash Tec amp Doc 1998

SHELTON JT KHURI AI CORNELL JA Selecting check points for testing lackof fit in response surface models Technometrics 25 1983 p 357-365

SILVEY SD Optimal Design Chapman and Hall Londres 1980

SMITH AT Comparison of information-yield from different experimental designsused in algal toxicity testing of chemical mixtures Environmental Pollution 1021998 p 205-212

SNEE RD Experimenting with mixtures Chemtech 9 1979 p 702-710

SNEE RD Developing Blending Models for Gasoline and Other Mixtures Techno-metrics 23 n˚ 2 1981 p 119-130

STANSBURY WF Development of experimental designs for organic syntheticreactions Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems 36 1997 p 199-206

STUDENT The probable error of a mean Biometrika 6 1908 p 1-25

SUNDBERG R Interpretation of unreplicated two-level factorial experiments byexamples Chem Intel Lab Syst vol 24 1994 p 1-17

TOMASSONE R AUDRAIN S LESQUOY-TURCKHEIM E MILIER C La reacutegressionnouveaux regards sur une ancienne meacutethode statistique Masson Paris 1992

VANDER HEYDEN Y QUESTIER F MASSART DL Ruggedness testing of chro-matographic methods selection of factors and levels J of Pharmaceutical andBiomedical Analysis vol 18 1998 p 43-56

VANDER HEYDEN Y QUESTIER F MASSART DL A ruggedness test strategy forprocedure related factors experimental set-up and interpretation J of Pharma-ceutical and Biomedical Analysis vol 17 1998 p 153-168

VANDER HEYDEN Y BOURGEOIS A MASSART DL Influence of the sequenceof experiments in a ruggedness test when drift occurs Analytica Chimica Acta347 1997 p 369-384

VANDER HEYDEN Y LUYPAERT K HARTMANN C MASSART DL HOOGMAR-TENS J DE BEER J Ruggedness tests on the HPLC assay of the United StatesPharmacopeia XXII for tetracycline hydrochloride A comparison of experimentaldesigns and statistical interprettion Analytica Chimica Acta 312 1995 p 245-262


318


WOLTERS R KATEMAN G The construction of simultaneous optimal experi-mental designs for several polynomials in the calibration of analytical methodsJ of Chemometrics 4 1990 p 171-185


YUZHU H Program for Doehlert matrix design of Experiment Tr Anal Chemvol 8 n˚ 4 1989

m Application des plans drsquoexpeacuteriences

AZUBEL M FERNANDEZ FM TUDINO MB TROCCOLI OE Novel applica-tion and comparison of multivariate calibration for the simultaneous determina-tion of Cu Zn and Mn at trace levels using flow injection diode arrayspectrophotometry Analytica Chimica Acta vol 398 n˚ 1 1999 p 93-102

DORTHE AM RAMBERTI JL THIENPON T Experimental designs optimiza-tion of chromatographic separation for polycyclic aromatic hydrocarbons in vege-table oils Analusis vol 28 n˚ 7 2000 p 587591

FOURNIER J-L EL HOURCH M TAGLIONI J-P FOURNIER J Application desplans drsquoexpeacuteriences agrave lrsquoanalyse de pesticides dans lrsquoeau par chromatographie enphase gazeuse coupleacutee agrave la spectromeacutetrie de masse Analusis vol 26 n˚ 8 1998p M44-M52

GUERVENOU J GIAMARCHI P COULOUARN C GUERDA M LE LEZ COBOYET T Experimental design methodology and data analysis technique applied tooptimise an organic synthesis Chem Intel Lab Syst vol 63 2002 p 81-89

GUNDUZ U Partitioning of bovine serum albumin in an aqueous two-phasesystem optimisation of partition coefficient J Chromatogr B Biomed Appliedvol 743 n˚ 1-2 2000 p 259-262

HECK G MILEHAM C MARTIN GJ Hydrogen exchange in aromatic compounds substituent effects studied by experimental designs Analusis vol 25 1997p 202-206

MASSUMI A NAJAFI NM BARZEGARI H Speciation of Cr(VI)Cr(III) in environ-mental waters by fluorimetric method using central composite full and fractionalfactorial design Microchemical Journal 72 2002 p 93-101

MORAND P VAULLERIN M ESPAGNACQ A MORIN-ALLORY L Explosive formu-lation by experimental design Analusis vol 26 1998 p 291-294

MORITA K KUBOTA K AISHIMA T Sensory characteristics and volatile compo-nents in aromas of boiled prawns prepared according to experimental designsFood Research International vol 34 n˚ 6 2001 p 473-481

MATHIA P OUADOU M LANTERI P LONGERAY R CLAVAUD B Optimisationdesign in abrasive resistance of refractory concretes Applied Mechanics and Engi-neering vol 1 n˚ 3 1996 p 367-380

MORITA K KUBOTA K AISHIMA T Investigating influence of pH and parts onsensory characteristics and volatile components in boiled squid using experimentaldesigns J of Food Science vol 67 n˚ 2 2002 p 848-854


Bibliographie

319

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

Bibliographie

MOTAMED B BOHM JL HENNEQUIN D TEXIER H MOSRATI R BARILLIER DDevelopment of an HPLC method for the determination of phenolic by-products optimisation of the separation by means of the experimental designsmethodology Analusis vol 28 n˚ 7 2000 p 592-599

ROGOWSKI I TABONI A LONGERAY R MIDOL A LANTERI P Les plansdrsquoexpeacuteriences pour eacutetudier lrsquousure du mateacuteriel sportif application agrave lrsquoeacutetude de la pertede tension de cordage de raquettes de tennis Chimiomeacutetrie 2000 Paris 2000

RUDAZ S CHERKAOUI S GAUVRIT J-Y LANTERI P VEUTHEY J-L Experi-mental designs to investigate capillary electrophoresis-electrospray ionization-massspectrometry enantioseparation with the partial-filling technique Electrophoresisvol 22 n˚ 15 2001 p 3316-3326

VEUTHEY J-L LANTERI P-E LONGERAY J-R GAUVRIT J-Y VARESIO ECentral composite design in the chiral analysis of amphetamines by capillary elec-trophoresis Electrophoresis vol 18 1997 p 931-937

XU QS LIANG YZ FANG KT The effects of different experimental designs onparameter estimation in the kinetics of a reversible chemical reaction Chemometricsand Intelligent Laboratory Systems vol 52 n˚ 2 2000 p 155-166

m Principaux logiciels pour plans drsquoexpeacuteriences

JMP httpwwwjmpcom

MINITAB httpwwwminitabfr

Statistica httpwwwintesoftcomproduitstechstatistica

Statgraphics httpwwwsigmaplusfr

Unscrambler httpwwwcamocom

Pirouette httpwwwinfometrixcom

Modde httpwwwumetricscom



321

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

Aa 188aliase 97 104analyse

de la variance 82 256 263 290des reacutesidus 89

Augmented Simplex-centroid designs 214

Bblocking 149 151 161 305Box (calcul de) 99 102Behnken (plan de) 180 194

Ccalcul de Box 99 102carreacutes

de Youden 255 266greacuteco-latins 265latins 255 264moyens des reacutesidus 84

coefficients 13 81de deacutetermination R2 85

concomitance 104confusion 104contraste 97 104custom designs 221

DDaniel (diagramme de) 121degreacutes de liberteacute 74 83deacuterive 149deacutesirabiliteacute 60diagramme

de Daniel 121de Pareto 121des effets 39des interactions 39

distribution 67 74de Laplace-Gauss 74normale 74

Doehlert (plan de) 181 199domaine 273

drsquoeacutetude 6drsquoun facteur 6

D-optimaliteacute 225droite de Henry 121

Eeacutecarts 83

agrave la moyenne 82 83eacutecart-type 67 71 72eacutechantillon 67 72effet du facteur 22erreurs expeacuterimentales 13 71 148 275espace expeacuterimental 5expeacuteriences de controcircle 46extrapolation maicirctriseacutee 66

FF de Fisher 84facteurs 4 81 273

booleacuteens 4continus 4controcircleacutes 34 148de blocking 152de proceacutedeacute 241discrets 4 255indeacutependants 207influents 121ordonnables 4

formule de passage 8

Ggeacuteneacuterateur drsquoaliases 104GGA 110

HHadamard (matrice de) 142 188 311Henry (droite de) 121histogramme 73hypothegraveses drsquointerpreacutetation 98

INDEX


322

IndexIndex

Iinteraction 27intervalle de confiance des reacuteponses 79isovariance par rotation 188

L-Mlack of fit 13 81Laplace-Gauss (distribution de) 74manque drsquoajustement 13 81matrice

drsquoexpeacuteriences 17drsquoexpeacuterimentation 17drsquoHadamard 142 188 311drsquoinformation 14de calcul des coefficients 13de dispersion 14du modegravele 13orthogonale 311

modegraveledes plans de meacutelanges 215du second degreacute 179PDAI 21 35 54postuleacute 20

modeacutelisation matheacutematique 12 215 255moyenne 67 71

Nniveau 6

Ooptimaliteacute 225ordre de Yates 53 283orthogonaliteacute 142 188 311

PPareto (diagramme de) 121Pas 8Plackett et Burman (plan de) 142plan

compleacutementaire 133 134composite 179 184drsquoexpeacuteriences 17de base 102de Box-Behnken 180 194de Doehlert 181 199de meacutelange 207

centreacute 214augmenteacute 214

de Plackett et Burman 142de Scheffeacute 212en eacutetoile 188

en reacuteseaux 212factoriel

complet 49 142fractionnaire 93

greacuteco-latin 255satureacute 115sur mesure 221

pointsau centre 70 188 214 276de controcircle 70 147de meacutelange 208en eacutetoile 179 188expeacuterimentaux 9

population 67 72pure error 13p-value 88

RR carreacute 85randomisation 150 175 274relation

drsquoeacutequivalence 102de deacutefinition 111

reacuteponse 4 273corrigeacutee de la moyenne 82

reacutesidus 82 83RMSE 84

SScheffeacute (plan de) 212Simplex lattice designs 212Simplex-centroid designs 214surface de reacuteponse 12 179systegraveme drsquoeacutequations 13

Ttableau drsquoexpeacuterimentation 17transmission des erreurs 78

Vvariables centreacutees reacuteduites 8variance 72 78vecteur

des coefficients 13des eacutecarts 13des reacuteponses 13

YYates 53 161 283Youden (carreacutes de) 255 266


049744 - (I) - (08) - CSBM90deg - TYP - CDDImprimerie CHIRAT - 42540 Saint-Just-la-Pendue

Deacutepocirct leacutegal Novembre 2006 - Ndeg 2418Deacutepocirct leacutegal de la 2e eacutedition Juin 2001

Imprimeacute en France

2418_PM_323 280906 1028 Page 1

324

INSTRUCTIONS POUR UTILISER LE LOGICIEL JMPreg

Avant lrsquoinstallation du logiciel JMPreg veuillez lire soigneusement ces premiegraveresinstructions puis consulter le blog du livre (httpwwwplansdexperiencescom)dans lequel elles sont largement deacutetailleacuteesVeillez eacutegalement agrave bien conserver le numeacutero qui figure sur le sticker qui accom-pagne le CD-Rom Il vous servira de numeacutero de seacuterie (serial number) et de numeacuterodrsquoactivation (activation number)Pour utiliser le logiciel vous devez effectuer les opeacuterations suivantes

1 Veuillez introduire le CD-Rom dans le lecteur de votre ordinateur Cliquez surInstall JMP 6 dans la fenecirctre drsquoinstallation La fenecirctre drsquoinstallation apparaicirctCliquez sur Install JMP 6 et suivez les instructions Cette premiegravere opeacuterationinstalle le logiciel sur le disque dur de votre ordinateur

Nota bene

Si une version anteacuterieure de JMPreg est deacutejagrave installeacutee sur votre ordinateur lrsquoinstallateur procegravededrsquoabord agrave une opeacuteration de mise agrave jour Dans la fenecirctre InstallShield Wizard qui apparaicirct alorschoisissez le bouton radio Remove Cliquez sur OK dans la fenecirctre Confirm Uninstall puis sur Nodans la fenecirctre Caution Alert Pour terminer la maintenance cliquez sur Finish dans la fenecirctreInstallShield Wizard La fenecirctre drsquoinstallation reacuteapparaicirct Cliquez de nouveau sur Install JMP 6 etsuivez les instructions

2 Vous pouvez alors utiliser immeacutediatement le logiciel Ce logiciel fonctionnerapendant un mois

3 Pour eacutetendre la dureacutee drsquoutilisation vous devez activer le logiciel soit immeacutediate-ment soit plus tard Conservez de toute faccedilon le numeacutero du sticker agrave porteacutee demain

4 Une fenecirctre vous invite agrave activer le logiciel Vous ecirctes mis en relation avec le sitede la socieacuteteacute SAS Institute Inc apregraves avoir saisi en face de Serial Numberle numeacutero drsquoactivation qui figure sur le sticker accompagnant le CD-Rom Lelogiciel sera alors disponible pendant six mois

5 Vous trouverez les principales indications pour bien deacutemarrer et utiliser JMPreg

dans le chapitre 14 de cet ouvrage Pour compleacuteter vos connaissances vouspouvez aller sur le blog du livre (httpwwwplansdexperiencescom) Vous ytrouverez un manuel teacuteleacutechargeable (en franccedilais) drsquointroduction au logiciel

Afin de reacuteussir lrsquoinstallation et lrsquoactivation nous vous conseillons de consulternotre blog ougrave nous vous indiquons tous les deacutetails des proceacutedures agrave suivreVous y trouverez eacutegalement des explications suppleacutementaires sur les exemples denouveaux exemples et des reacuteponses aux questions poseacutees par les lecteurs du livreles utilisateurs du logiciel et les expeacuterimentateurs utilisant des plans drsquoexpeacuteriences

Ce CD-Rom drsquoaccompagnement de lrsquoouvrage de Jacques Goupy et Lee Creighton Introductionaux plans drsquoexpeacuteriences (3e eacutedition 2006) est offert par DUNOD et SAS Institute Inc Il ne peutecirctre vendu seacutepareacutement ni repris ni eacutechangeacute






CONCEPTION



CHIMIE


EEA




3 e eacutedition

JACQUES GOUPY


LEE CREIGHTON







9 7 8 2 1 0 0 4 9 7 4 4 7


INTR

OD

UC

TION

AU

X PLA

NS D

rsquoEXPEacuteR

IENC

ESJ G

OU

PYL C

REIG

HTO

N

3e eacutedition

Table des Matiegraveres

Avant-propos

1 - Faites connaissance avec la meacutethode des plans dexpeacuteriences

11 Processus dacquisition des connaissances

12 Eacutetude dun pheacutenomegravene

13 Terminologie



16 Plans dexpeacuteriences

2 - Votre premier plan dexpeacuteriences


3 - Plan dexpeacuteriences pour 3 facteurs


32 Conclusion de leacutetude

4 - Plans factoriels complets agrave 4 facteurs



43 Application agrave lexemple 03


5 - Notions de statistique appliqueacutees aux plans dexpeacuteriences

51 Exemple 04 dureacutee de vie des outils de coupe jetables

52 Notions de statistique appliqueacutees aux plans dexpeacuteriences





6 - Plans factoriels fractionnaires



63 Calcul de Box

64 Relation deacutequivalence

65 Geacuteneacuterateurs daliases

66 Construction pratique dun plan fractionnaire

67 Nombre maximal de facteurs eacutetudieacutes sur un plan de base

68 Application de la theacuteorie des aliases agrave lexemple 05


7 - Exemples de plans factoriels fractionnaires




8 - Ordre des essais


82 Exemple 09 le Penicillium chrysogenum ( exemple de blocking)


84 Exemple 11 le broyeur ( exemple de plan anti- deacuterive)


9 - Plans pour surfaces de reacuteponse


92 Preacutesentation des plans de Box- Behnken


94 Exemple 12 la rectification du contremaicirctre ( exemple de plan composite)

95 Exemple 13 un yoghourt doux ( exemple de plan de Box- Behnken)

96 Exemple 14 linsecticide ( exemple de plan de Doehlert)

10 - Plans de meacutelanges

101 Contrainte fondamentale des meacutelanges





11 - Notion de plan optimal

111 Exemple dHotelling

112 Peseacutees et plans dexpeacuteriences

113 Optimaliteacute




117 Exemple 16 deacuteveloppement dun deacutetecteur de fissures



12 - Carreacutes latins et plans associeacutes

121 Exemple 19 les salaires - un facteur discret agrave plusieurs niveaux

122 Suite de lexemple 19 - deux facteurs discrets agrave plusieurs niveaux



125 Carreacutes de Youden


13 - Synthegravese et conseils

131 Choix dune meacutethode dexpeacuterimentation




135 Recommandations

136 Limites de lexpeacuterimentique

14 - Preacuteparez et analyser vos plans dexpeacuteriences avec JMPreg

141 Construire un plan dexpeacuteriences




145 Principaux graphiques et rapports danalyse


A - Origine des exemples

B - Comparaison de deux moyennes indeacutependantes

C - Seacuteries dessais laissant les facteurs principaux insensibles agrave une deacuterive lineacuteaire

D - Introduction au calcul matriciel

Bibliographie

Index

Instruction pour utiliser le logiciel JMPreg

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages All Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CalCMYKProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Warning CompatibilityLevel 14 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJDFFile false CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends true ColorConversionStrategy LeaveColorUnchanged DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams false MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveEPSInfo true PreserveHalftoneInfo false PreserveOPIComments false PreserveOverprintSettings true StartPage 1 SubsetFonts true TransferFunctionInfo Apply UCRandBGInfo Preserve UsePrologue false ColorSettingsFile () AlwaysEmbed [ true ] NeverEmbed [ true ] AntiAliasColorImages false DownsampleColorImages true ColorImageDownsampleType Bicubic ColorImageResolution 300 ColorImageDepth -1 ColorImageDownsampleThreshold 150000 EncodeColorImages true ColorImageFilter DCTEncode AutoFilterColorImages true ColorImageAutoFilterStrategy JPEG ColorACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt ColorImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000ColorACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000ColorImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasGrayImages false DownsampleGrayImages true GrayImageDownsampleType Bicubic GrayImageResolution 300 GrayImageDepth -1 GrayImageDownsampleThreshold 150000 EncodeGrayImages true GrayImageFilter DCTEncode AutoFilterGrayImages true GrayImageAutoFilterStrategy JPEG GrayACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt GrayImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000GrayACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000GrayImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasMonoImages false DownsampleMonoImages true MonoImageDownsampleType Bicubic MonoImageResolution 1200 MonoImageDepth -1 MonoImageDownsampleThreshold 150000 EncodeMonoImages true MonoImageFilter CCITTFaxEncode MonoImageDict ltlt K -1 gtgt AllowPSXObjects false PDFX1aCheck false PDFX3Check false PDFXCompliantPDFOnly false PDFXNoTrimBoxError true PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXSetBleedBoxToMediaBox true PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXOutputIntentProfile () PDFXOutputCondition () PDFXRegistryName (httpwwwcolororg) PDFXTrapped Unknown Description ltlt FRA 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 ENU (Use these settings to create PDF documents with higher image resolution for improved printing quality The PDF documents can be opened with Acrobat and Reader 50 and later) JPN ltFEFF3053306e8a2d5b9a306f30019ad889e350cf5ea6753b50cf3092542b308000200050004400460020658766f830924f5c62103059308b3068304d306b4f7f75283057307e30593002537052376642306e753b8cea3092670059279650306b4fdd306430533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103057305f00200050004400460020658766f8306f0020004100630072006f0062006100740020304a30883073002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d30678868793a3067304d307e30593002gt DEU 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 PTB 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 DAN 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 NLD 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 ESP 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 SUO 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 ITA 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 NOR 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 SVE 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 gtgtgtgt setdistillerparamsltlt HWResolution [2400 2400] PageSize [612000 792000]gtgt setpagedevice

I



prelim Goupy Page I Mardi 26 septembre 2006 1153 11


Jacques G

OUPY


(avec CD-Rom)568 p

Jacques G

OUPY


304 p

Reneacutee V

EYSSEYRE


2

e

eacutedition 320 p



I



3

e

eacutedition


Du mecircme auteur


(avec CD-Rom)

Dunod

2005


Dunod 2000



re

eacutedition

ISBN 2 10 049744 8



V


Avant-propos IX




13 Terminologie 4






















VI




63 Calcul de Box 99































VII

































Annexes





Bibliographie 313

Index 321



IX

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

AVANT-PROPOS






1

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







par hectare raquo



2










3

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit











4





13 Terminologie




m Facteurs continus


m Facteurs discrets







13 Terminologie

5

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit








6









80 kmh

niveau bas


niveau haut


ndash 1 + 1

120 kmh


13 Terminologie

7

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






+ 1

+ 11 Facteur 1

Facteur 2

Domaine deacutetude

Vitesse

Surcharge

80 kmh

0 kg

300 kg

120 kmh

ndash

1ndash

+ 1

+ 11

1

Vitesse ( kmh)

Surcharge (kg)

Domaine deacutetude

300

0

80 120

Zone exclue

ndash

ndash


8







11


Application 1






xA A0ndash

Pas---------------=


2---------------------- 120 80ndash

2--------------------- 20= = =

A0A+1 A 1ndash+

2---------------------- 120 80+

2--------------------- 100= = =

xA A0ndash

Pas--------------- 90 100ndash

20--------------------- 05ndash= = =



9

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


Application 2






x1i = 90 kmhx2j = 250 kg




+05 A 100ndash20

------------------=

Facteur 2

Facteur 1


x2 j

x1 i

Vitesse

Surcharge

90 km h

250 kg


10








+ 1

+ 1 1

1

Facteur 1

Facteur 2

ndash

ndash



11

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit





+ 1

+ 1 1

1

Vitesse

Surcharge (kg)

1 000

0

80 120

Facteur 1

Facteur 2

ndash

ndash

(kmh)

+ 1

+ 1 1

1

Vitesse (kmh)

Surcharge (kg)

1 000

0

80 120

Facteur 1

Facteur 2

ndash

ndash


12










13


A B

1 +1

1

Facteur 2

Facteur 1

Reacuteponse

D+1

ndash

ndash




13

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


ougrave










y = X a + e 15

ougrave




14






15

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit













16
















17

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







18






Essai n˚Vitesse


1 (A) 80 kmh 0 kg

2 (B) 120 kmh 0 kg

3 (C) 80 kmh 300 kg

4 (D) 120 kmh1 300 kg


Essai n˚Vitesse


1 (A) minus1 minus1

2 (B) +1 minus1

3 (C) minus1 +1

4 (D) +1 +1



+ 1

+ 1 1

1

Facteur 1

Facteur 2

Domaine deacutetude

Vitesse

Surcharge

80 kmh

0 kg

300 kg

120 kmh

A

DC

B

ndash

ndash



19

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






N˚ essaiVitesse




2 (B) +1 minus1 107

3 (C) minus1 +1 97

4 (D) +1 +1 123




20






y = a0 + a1x1 + a2x2 + a12x1x2 21

ougrave






+ 1

+ 1 1

1

Facteur 1

Facteur 2

Vitesse (kmh)

Surcharge (kg)

80

0

300

120

A

DC

B

0

0

100

150

83

12397

107

ndash

ndash



21

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit












+ 1

+ 1 1

1

Facteur 1

Facteur 2

Vitesse (kmh)

Surcharge (kg)

80

0

300

120

A

DC

B

0

0

100

1500

43

21

yy

y

yy

ndash

ndash

Bx1 +1=

x2 1ndash=D

x1 +1=

x2 +1=


22








y2 + y4 = 2(a0 + a1)


y1 + y3 = 2(+a0 ndash a1)









Application



a112---

y2 y4+

2---------------

y1 y3+

2---------------ndash=

y2 y4+

2---------------

y+y1 y3+

2---------------

yndash


y+ yndashndash[ ]


a114--- 83 + 107 ndash 97 + 123 ndash [ ] 125 = =



23

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


m



+



ndash




a

1

Figure 24


et

y+

M+x1 +1=

x2 0=

Mndashx1 ndash1=

x2 0=

Facteur 1

Facteur 2

Reacuteponse

B

+ 1

+ 1

ndash 1

ndash 1

0

0

y1

A

DC

y4

y3

y2

+y

yndash

M -

M +

y0

Dcent

Ccent

Acent

Bcent

Mcent+

M-

(Consommation)

(123)

(97)

(83) (107)

(9)

(115)

(Vitesse)

(Surch

arge)

(80) (100) (120)

(0)

(300)

(150)

y+ y+

y+ yndashy+ yndash


24



Le coefficient

a

1


y

0


a

1


a

1


m




Application

Figure 25


Figure 26




Facteur 1

Effet du Facteur 1

Reacuteponse

+ 1ndash 1 0

+y

yndash

M ndash M +

y0

Mcentndash

Mcent+


M ndash M +

Mcentndash

Mcent+115

9

1025





25

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






m



a

2


Application


a

2


Figure 27


y+y2 y4+

2--------------- 107 + 123

2 --------------------------- 115 = = =

yndashy1 y3+

2--------------- 83 + 97

2 --------------------- 9 = = =


a214--- 83 ndash 107 + 97 + 123 ndash [ ] 075 = =


M ndash M +

Mcent-

Mcent+11

95

1025




26







m


a

12


a

12


a

1

et

a

2


a

12




y

4

et

y

3


prime

D

prime




y

2

et

y

1


prime

B

prime


a

12


Figure 28


y+y3 y4+

2--------------- 97 + 123

2 ------------------------ 11 = = =

yndashy1 y2+

2--------------- 83 + 107

2 ------------------------ 95 = = =

a1212---

y4 y3ndash

2---------------

y2 y1ndash

2---------------ndash=

y4 y3ndash

2---------------

Facteur 1


Reacuteponse

+ 1ndash 1 0


y1

y4

y3

y2

Dcent

Ccent

Acent

Bcent

y2 y1ndash

2---------------



27

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


Le coefficient

a

12


a

12


prime

B

prime


prime

D

prime


prime

B

prime

et C

prime

D

prime


Application




Figure 29



a1214--- +83 ndash 107 ndash 97 + 123 [ ] 005 = =

Vitesse (kmh)



12080 100


Dprime

Cprime

Aprime

Bprime

123

83

107

97 120 l 100 km

130 l 100 km


28





a

0

=


a

1

=


a

2

=


a

12


a

12

=


y

=

1025 + 125

x

1

+ 075

x

2

+ 005

x

1

x

2

22


x

1

et

x

2


Facteur 1 (vitesse)



y

=

35 + 006A

1

+ 00033A

2

+ 00000167A

1

A

2

23


Application


y

=

35 + 006

times

90 + 000333

times

100 + 00000167

times

90

times

100

y

=

35 + 54 + 0333 + 0150

=

9383

xA A0ndash

Pas---------------=

x1A1 A0ndash

Pas1------------------

A1 100ndash

20---------------------= =

x2A2 A0ndash

Pas2------------------

A2 150ndash

150---------------------= =

y 1025 + 125A

1

20 ------ 100

20 ---------ndash ⎝ ⎠

⎛ ⎞ 075A

2

150 --------- 150

150 ---------ndash ⎝ ⎠

⎛ ⎞ 005A

1

20 ------ 100

20 ---------ndash ⎝ ⎠

⎛ ⎞ A

2

150 --------- 150

150 ---------ndash ⎝ ⎠

⎛ ⎞ + +=

y 1025 12520---------ndash 075ndash

125A1

20----------------

075A2

150-----------------

005A1

20----------------- 5

20------ndash⎝ ⎠

⎛ ⎞ A2

150--------- 1ndash⎝ ⎠

⎛ ⎞+ + +=

y 325 520------ 125

20---------- 005

20----------ndash A1

075150---------- 5

20 150times---------------------ndash A2

005A1

20----------------

A

2 150

---------+ + + +=



29

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



Application


80 kmh = niveau

minus

1

100 kmh = niveau 0

150 kg = niveau 0


y

=

1025 + 125

times

(ndash1) + 075

times

(0) + 005(ndash1

times

0)

y

=

1025 ndash 125

=

9


minus


y

=

1025 + 125

times

(0) + 075

times

(0) + 005(0

times

0)

y

=

1025





30




Figure 210


Figure 211


80

123

938

90 120

83

Vitesse

Reacutep

onse

0 100 300

Surcharge

12

11

105

10

115

85

9

95

Surcharge

Vitesse80 120

0

300

200

1079


31

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

3







32

















33

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







Meacutethodes

Agitation Forme

Reacuteacteur

Tempeacuterature

Voltage

Intensiteacute


Habileteacute

Nature

Concentration



Eacuteclairage

Pression


AddidifSels

Moyens


Mesures

Meacutethodes

Milieu

Tempeacuterature

Origine Nature

Reacuteacteur

Voltmegravetre



Eau

Humiditeacute

Or

Cobalt

Support



Teneuren Cobalt


34


















35

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit









Concentration en Or


(Facteur 3)

(Facteur 1)

(Facteur 2)



36




en or (gl)Facteur 1


Facteur 2


Facteur 3

Vitesse (mgmin)


1 2 5 05

2 15 5 05

3 2 25 05

4 15 25 05

5 2 5 15

6 15 5 15

7 2 25 15

8 15 25 15



en orFacteur 1


Facteur 2


Vitesse (mgmin)



2 +1 minus1 minus1

3 minus1 +1 minus1

4 +1 +1 minus1

5 minus1 minus1 +1

6 +1 minus1 +1

7 minus1 +1 +1

8 +1 +1 +1





37

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit












en orFacteur 1


Facteur 2


Vitesse (mgmin)



2 +1 minus1 minus1 122 3 510

3 minus1 +1 minus1 20 3 950

4 +1 +1 minus1 125 1 270

5 minus1 minus1 +1 48 4 870

6 +1 minus1 +1 70 2 810

7 minus1 +1 +1 68 7 750

8 +1 +1 +1 134 3 580




38








Effet Valeur

Constante 80




Interaction 12 10


Interaction 23 1425

Interaction 123 1

Concentration en Or


(3)

(1)

(2)


122

20 125

4870

68

53

134



39

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit









ndash

ndash

ndash

ndash

20

15

10

5

0

5

10

15

20

25

30

35

Or (1) Courant (2) Co (3) 12 13 23 123


Val

eur

des

co

effi

cien

ts

2

134

80

85 15

20

Vit

esse


05 1 15


40







2

Or

0


Vite

sse

150

75

0

150

75

25

15

5

152 5 25



41

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






2

Or

0


Vite

sse

150

75

0

150

75

25

15

5

152 5 25

2

15

25

5

05

1505

15 Cobalt

05 15

0

150

75

2

133

85 15

20

Vit

esse

5 15 25


Or Cobalt

05 1 15


42







Effet Valeur

Constante 3 980






Interaction 23 755



Concentration en Or


(3)

(1)

(2)

3510

3950 1270

4870

2810

7750

4100

3580



43

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







1 200

1 000

800

600

400

ndash

ndash

ndash

ndash

ndash

ndash

200

0

200

400

600

800

1 000

Or (1) Courant(2)

Co (3) 12 13 23 123


Val

eur

des

co

effi

cien

ts


44






2Or

0


Co

ba

lt d

an

s la

llia

ge

8 000

4 000

0

8 000

4 000

25

5

152 5 25

2

15

25

5

05

15

05

15

Cobalt

05 15

0

8 000

4 000

15

4500


Co

nce

ntr

atio

n C

ob

alt

(3)

05

15

4000


3500



4000

4000

4000


4000

4000





35003500

4500 4500

2 2



45

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







Co

nce

ntr

atio

n C

ob

alt

05

15





80

Vitesse

4000

80

Vitesse


3500

3500


4000 3500

Vitesse

4500

80


2


46








100

Vitesse

3500


Co

nce

ntr

atio

n C

ob

alt

05

15




Vitesse


100

2 2



4000

3500

Vitesse

4500


100

2

12

13

Co

nce

ntr

atio

n C

ob

alt

05

15



4000

3500

4500

100

Vitesse

2




47

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






49

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit




50








m Reacuteponses




51

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

















52







des abaisses(1)

Nombre de trous

(2)

Chauffage du four

(3)


(4)




4 + + ndash ndash


6 + ndash + ndash

7 ndash + + ndash

8 + + + ndash


10 + ndash ndash +

11 ndash + ndash +

12 + + ndash +

13 ndash ndash + +

14 + ndash + +

15 ndash + + +

16 + + + +





53

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







(1)

Nombre de trous

(2)

Chauffage(3)











54















(1)

Nombre de trous

(2)

Chauffage(3)



8 + + + ndash 24 22




12 + + ndash + 16 3


14 + ndash + + 26 3

15 ndash + + + 3 18

16 + + + + 28 3






55

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit









Moyenne 24 216

















56







Deacutecollement

Val

eur

des

co

effi

cien

ts


1 2 3

06

04

02

0

ndash 02

ndash 04

ndash 064 12 13 14 23 24 34 123 124 134 234 1234



57

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit





FecircleV

aleu

r d

es c

oef

fici

ents


1 2 3

06

04

02

0

ndash 02

ndash 04

ndash 064 12 13 14 23 24 34 123 124 134 234 1234


3

24

0 +1

08

Deacutec

olle

men

t

Poids (1)

1 0 +1 1 0 +1 1 0 +1


1

3

21625

0 +1

08Fecircl

e

Poids (1)

1 0 +1 1 0 +1 1 0 +1




58






ndash1

326

0 +1

08Deacutec

olle

men

t

Poids (1)



ndash1

327

0 +1

08

Fecircl

e

Poids (1)



ndash


ndash ndash ndash1

32747

0 +1

08

Deacutec

olle

men

t

1 0 +1 1 0 +1 1 0 +1

1

32696

0 +1

08

Fecircl

e

Poids (1)

1 0 +1 1 0 +1 1 0 +1




59

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit





ndash


ndash ndash ndash1

329

0 +1

08

Deacutec

olle

men

t

1 0 +1 1 0 +1 1 0 +1

1

329

0 +1

08

Fecircl

e

Poids (1)

1 0 +1 1 0 +1 1 0 +1


ndash

ndash ndash ndash

ndash ndash1

328

0 +1

08

Deacutec

olle

men

t

1 0 +11 0 +1

1

3

0 +1

08

Fecircl

e

1 0 +11 0 +1

Cuisson 31 min

3

28

29

29

29 min 30 min


60










61

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






Deacutecollement



21

22

23

25

26

24

28

27




Deacutecollement



21

22

23

25

26

24

28

27





62











Reacuteponse




ybon

ymauvais



63

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






Reacuteponse





Reacuteponse





64














D n d1d2hellipdn=

ndash1

326

0

08Deacutec

olle

men

t


ndash1 0 +1 0 +1+1

252




65

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit








ndash1

329

0

08

Fecircl

e


ndash1 0 +1 0 +1+1

2528


-1

1

0Deacutes

irab

iliteacute

-1 067+1-1 0 +1


Chauffage (3)

0996


66





67

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit




68















Deacutebit (1) 650 725 800


Profondeur (3) 005 0125 020




69

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






Essai n˚Deacutebit

(1)

Vitesse de coupe

(2)

Profondeur(3)


(4)









8 +1 +1 +1 minus1 56


10 +1 minus1 minus1 +1 201


12 +1 +1 minus1 +1 37


14 +1 minus1 +1 +1 134

15 minus1 +1 +1 +1 05

16 +1 +1 +1 +1 17

17 0 0 0 0 111

18 0 0 0 0 126

19 0 0 0 0 104

20 0 0 0 0 119

minus1 650 10 005 05

0 725 18 0125 075

+1 800 26 02 1


70









Constante 1155 03609 32 lt 00001





12 064 03609 177 01376

13 032 03609 090 04091

14 035 03609 097 03767

23 159 03609 440 00070

24 minus111 03609 minus308 00274

34 060 03609 166 01573



71

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






m Moyenne


m Eacutecart-type





(ndash04)2 + (11)2 + (ndash11)2 + (04)2 = +016 + 121 + 121 + 016 = +274

y 14--- 111 + 126 + 104 + 119( ) 115= =

yi yndash( )i 1=

i n=

sum yi

i 1=

i n=

sum yi 1=

i n=

sumndash nn--- yi

i 1=

i n=



72







522 Population




2744 1ndash------------ 09133=

09133



73

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit




=






y

y 1n--- yi

i 1=

i n=

sum


8

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

9 10 11 12 13 14 15

Eff

ecti

f


74













m Distribution



y


i 1=

i n=

sum

f y( ) 1

σpopulation 2π----------------------------------e

y microndash( )2

2σpopulation2

--------------------------

=



75

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit








0

005

01

015

02

025

03

035

04

045


Eacutecart-type

Den

siteacute

de

freacuteq

uen

ce


0

005

01

015

02

025

03

035

04

045


Eacutecart-type

Den

siteacute

de

freacuteq

uen

ce

12


76








0

005

01

015

02

025

03

035

04

045


Eacutecart-type

Den

siteacute

de

freacuteq

uen

ce

08


0

005

01

015

02

025

03

035

04

045


Eacutecart-type

Den

siteacute

de

freacuteq

uen

ce

15ndash 05



77

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







0

005

01

015

02

025

03

035

04

045


Eacutecart-type

Den

siteacute

de

freacuteq

uen

ce


0

005

01

015

02

025

03

035

04

045


Eacutecart-type

Den

siteacute

de

freacuteq

uen

ce


78





=





0

005

01

015

02

025

03

035

04

045


Eacutecart-type

Den

siteacute

de

freacuteq

uen

ce

y 14--- +y1 y2 y3 y4+ + +[ ]

σy2

sy2

sy2 V yi( ) 1


i 1=

i n=

sum= =



79

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



V(+y1 + y2 + y3 + y4) = V(y1) + V(y2) + V(y3) + V(y4)



V( ) = V(y1 + y2 + y3 + y4) = [V(y1) + V(y2) + V(y3) + V(y4)]


V( ) = [V(y1) + V(y2) + V(y3) + V(y4)] = V(yi)

V( ) = V(yi)


soit

51




y 14---⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 14---⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2

y 14---⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 416------⎝ ⎠

⎛ ⎞

y 14---

V y( )V yi( )

n------------=

σy

σyi

n-------=


i 1=

i n=

sum=


80






On a





2 3 4 5 10 20 bull



70 196 138 125 119 110 106 103

90 631 292 235 213 183 173 164

95 1271 43 318 278 226 206 196

99 6366 992 584 460 325 286 258



81

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit




a1 gtgt sa1


a1 ltlt sa1


a1 sa1



V(ai) = K V(e)


V(ai) = V(e)


e = + D + e

σai

2

1n---


82


Et que lrsquoon a

V(e) = V(D) + V(e)







yi = + ri





52




yi

yiˆ

yi


y



2sum+=

ri2sum = ei




83

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






V(ai) = V(e) = V(ri) 53


Remarque 1




Remarque 2


V(r) = V(∆) + V(σ)


Remarque 3





ri = yi ndash

1n pndash----------- ri

2

i 1=

i n=

sum

1n--- 1

n---

yi yndash

y i yndash

y i


84



Remarque 4






y y i yndash



85

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit




Dans cet exemple







des carreacutesddl

Carreacute moyen

Fisher





R2 9653097572---------------- 09893= =


86










1 261 25825 0275

2 222 23 minus08

3 101 11025 minus0925

4 122 1075 145

5 142 1395 025

6 127 12425 0275

7 59 55 04

8 56 6525 minus0925

9 23 22 1

10 201 20575 minus0475

11 24 275 minus035

12 37 3875 minus0175

13 11 12525 minus1525

14 134 124 1

15 05 minus0375 0875

16 17 205 minus035

y



87

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit















+0075 625 + 064 + hellip + 0765 625 + 0122 5 = +1042

9653011 1ndash---------------- 9653=

ri yi yindash=


88







m p-value




104216 11ndash------------------ 2084=

V ai( ) 1n---V ri( ) 1

16------2084 0130 25= = =

σai0130 25 0360 9= =



89

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






Constante 1155 0360 9 32 lt 0000 1





Interaction (12) 0637 5 0360 9 177 0137 6

Interaction (13) 0325 0360 9 090 0409 1

Interaction (14) 035 0360 9 097 0376 7

Interaction (23) 1587 5 0360 9 440 0007 0


Interaction (34) 06 0360 9 166 0157 3



0 30252015105

3

0

ndash 3

Reacutes

idu

s


90





-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

0 5 10 15 20 25 30 35


Reacutes

idu

s

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 5 10 15 20 25 30 35


Reacutes

idu

s

Seacuterie 1



91

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit








10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26005

006

007

008

009

01

011

012

013

014

015

016

017

018

019

02

Vitesse de coupe

Pro

fon

deu

r


15

10

20

5


92




Essai n˚Deacutebit

(1)

Vitesse de coupe

(2)

Profondeur(3)


Reacuteponses

1 650 10 005 05 261

2 800 10 005 05 222

9 650 10 005 1 23

10 800 10 005 1 201


Essai n˚Deacutebit

(1)

Vitesse de coupe

(2)

Profondeur(3)


(4)



21 725 10 005 075 2286 231

22 725 13 005 075 1990 202

23 725 10 009 075 2018 198


1

0Deacutes

irab

iliteacute

11 +1



93

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit









94













95

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit








Niveau +1(mgml)






Essai n˚Na(1)

K(2)

Ca(3)

Mg(4)

Reacuteponse








8 +1 +1 +1 +1 96



+1 Log 250 Log 250 Log 250 Log 250


96









Effet Valeur

Constante 109

Na (1) 13

K (2) minus10

Ca (3) minus1975

Mg (4) 075

Na K (12) + Ca Mg (34) 1

Na Ca (13) + K Mg (24) 025

K Ca (23) + Na Mg (14) 175



97

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit










98






1 = a1 + a234


12 = 34 = a12 + a34










63 Calcul de Box

99

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



63 Calcul de Box


631 Notation de Box


1

1ndash

+11ndash

+1

=


100










2

1ndash

1ndash

+1+1

=

I

+1+1+1+1

= Indash

1ndash

1ndash

1ndash

1ndash

=

1 2times

1ndash

+11ndash

+1

1ndash

1ndash

+1+1

times

+11ndash

1ndash

+1

= =

1 1times

1ndash

+11ndash

+1

1ndash

+11ndash

+1

times

+1+1+1+1

I= = =


63 Calcul de Box

101

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit









On a




2 Itimes

1ndash

1ndash

+1+1

+1+1+1+1

times

1ndash

1ndash

+1+1

2= = =

2 Indash( )times

1ndash

1ndash

+1+1

1ndash

1ndash

1ndash

1ndash

times

+1+1

1ndash

1ndash

2ndash= = =

I Itimes

+1+1+1+1

+1+1+1+1

times

+1+1+1+1

I= = =

1 2times

1ndash

+11ndash

+1

1ndash

1ndash

+1+1

times

+11ndash

1ndash

+1

1ndash

1ndash

+1+1

1ndash

+11ndash

+1



102







I I = I





Essai n˚ I 1 2 3 12 13 23 123








8 + + + + + + + +



103

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit





1 = 23 = a1 + a23






Essai n˚ I 1 2 3 12 13 23 123




8 + + + + + + + +






104






Remarque








2 = 133 = 12



105

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

















106








Essai n˚ I 1 2 12

1 + ndash ndash +

2 + + ndash ndash

3 + ndash + ndash

4 + + + +


Essai n˚ 1 2 3

1 ndash ndash +

2 + ndash ndash

3 ndash + ndash

4 + + +


Essai n˚ 1 2 3

1 ndash ndash ndash

2 + ndash +

3 ndash + +

4 + + ndash



107

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit









661 Plan complet 23



Essai n˚ I 1 2 3 12 13 23 123








8 + + + + + + + +


108





Essai n˚ 1 2 3

1 ndash ndash ndash

2 + ndash ndash

3 ndash + ndash

4 + + ndash

5 ndash ndash +

6 + ndash +

7 ndash + +

8 + + +


Essai n˚ 1 2 3 4 = 123


2 + ndash ndash +

3 ndash + ndash +

4 + + ndash ndash

5 ndash ndash + +

6 + ndash + ndash

7 ndash + + ndash

8 + + + +



109

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






















110





II = 124135I = 2345



1I = 1124 = 1135 = 12345En simplifiant


1 = 24 = 35 = 12345 = a1 + a24 + a35 + a12345


Essai n˚ 1 2 3 4 = 12 5 = 13




4 + + ndash + ndash


6 + ndash + ndash +


8 + + + + +



111

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit




Remarque





4 = 123 5 = 126 = 13 7 = 23



Essai n˚ 1 2 3 4 = 123 5 = 12 6 = 13 7 = 23








8 + + + + + + +


112








1 = a1 2 = a2 et 3 = a3




Plan de base




22 2 1 3

23 3 4 7

24 4 11 15

25 5 26 31

26 6 57 63

27 7 120 127



113

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit










20

15

ndash

ndash

ndash

10

ndash5

0

5

10

15

20

Na (1) K (2) Ca (3) Mg (4) 12 + 34 13 + 24 23 + 14


Val

eur

des

co

effi

cien

ts


114







115

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit




116













-----------------------------------------------------------------=



117

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







5 = 1246 = 234







SO3 dans SO4H2 (2) 0 10






118



Essai n˚Dureacutee

1SO3

2Tempeacuterature

3Eau

4Acide

5 = 124Rapport6 = 234

Reacuteponse






6 +1 minus1 + 1 minus1 +1 +1 1398






12 +1 +1 minus1 +1 +1 minus1 891



15 minus1 +1 +1 +1 minus1 +1 1109

16 +1 +1 +1 +1 +1 +1 986





119

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit








m Confusions


5 = 124 6 = 234

drsquoougrave

I = 1245 I = 2346


I = 1245 = 2346 = 1356


12 = 45 = a12 + a45

13 = 56 = a13 + a56

14 = 25 = a14 + a25

15 = 24 = 36 = a15 + a24 + a36

16 = 35 = a16 + a35

23 = 46 = a23 + a46

26 = 34 = a26 + a34


120


m Valeur des effets



Effet Valeur

Constante 1139







12 = a12 + a45 minus040

13 = a13 + a56 046

14 = a14 + a25 minus045

15 = a15 + a24 + a36 018

16 = a16 + a35 minus011

23 = a23 + a46 minus026

26 = a26 + a34 minus0003



25

15

ndash

ndash

ndash

05

05

15

25

1 2 3 4 5 6

12 +

45

13 +

56

14 +

24

+ 36

16 +

35

23 +

46

26 +

34


Val

eur

des

co

effi

cien

ts



121

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit





122





0 05 1 15 2 25

2

4

5

13 +56

14+25

3

12+35

23+46

1

15+24+36

6

16+35

26+34

No

m d

es c

oef

fici

ents



-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2


Effet

No

rmit

2

4

Droite de Henry



123

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







161

1139

725

Rap

po

rt d

e su

lfo

nat

ion





124






m Reacuteponses





125

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit










Eacutechantillon

Lampe au Xeacutenon




Photomultiplicateur

Enregistreur


B

C

A


126








4 = 123







Gain (5) 1 10

Tension (6) 310 V 460 V




127

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



5 = 12

6 = 23

7 = 13


I = 1234 = 125 = 236 = 137




m Confusions





1234 times 236 times 137 = 3467

125 times 236 times 137 = 567



Essai n˚ 1 2 3 4 = 123 5 = 12 6 = 23 7 = 13








8 + + + + + + +


128



I = 1234 = 125 = 236 = 137 = 345 = 146 = 247 = 12356 = 2357 = 1267 = 2456 = 1457 = 3467 = 567 = 1234567


I = 234 = 125 = 236 = 137 = 345 = 146 = 247 = 567


1 = a1 + a25 + a37 + a46

2 = a2 + a15 + a36 + a47

3 = a3 + a17 + a26 + a45

4 = a4 + a16 + a27 + a35

5 = a5 + a12 + a34 + a67

6 = a6 + a14 + a23 + a57

7 = a7 + a13 + a24 + a56





1 122 55 minus147

2 09 9 minus147

3 533 20 23

4 564 12 minus069

5 389 75 069

6 388 8 04

7 282 13 026

8 233 23 minus391



129

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit











Effet Valeur

0 (constante) 325

1 minus006

2 078

3 minus002

4 minus014

5 0018

6 minus143

7 minus006


130









ndash2

15

ndash1

ndash

ndash

05

0

05

1

15

2

1+25

+37+

46

2+15

+36+

47

3+17

+26+

45

4+16

+27+

35

5+12

+34+

67

6+14

+23+

57

7+13

+24+

56

Nom des aliases

Val

eur

des

alia

ses

564

325

09

Sen

sib

iliteacute






131

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






Effet Valeur


1 minus0931

2 minus0024

3 minus0154

4 minus0111

5 minus0858

6 minus1161

7 minus0183



ndash

ndash

ndash

ndash

2

15

1

05

0

05

1

15

2

1+25+37+46

2+15+36+47

3+17+26+45

4+16+27+35

5+12+34+67

6+14+23+57

7+13+24+56

Nom des aliases

Val

eur

des

alia

ses


132












23

ndash 048

ndash 391

Bru

it d

e fo

nd



Gain (5)


1 0 +1



133

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







Effet Valeur

0 (constante) 1225

1 075

2 475

3 0625

4 2625

5 minus025

6 0375

7 1875



-2

-1

0

1

2

3

4

5

1+25+37+46

2+15+36+47

3+17+26+45

4+16+27+35

5+12+34+67

6+14+23+57

7+13+24+56

Nom des aliases

Val

eur

des

alia

ses


134



















Gain (5) +

Tension (6) ndash +

Amortissement (7)



135

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







2 = a2 + a15 + a36 + a47
















l2 prime2+

2----------------- a2=2 + cent2 l2 prime2+

2----------------- a15 a36 a47+ +=2 ndash cent2


136






12 = a12 + a34 + a67

13 = a13 + a24 + a56

14 = a14 + a23 + a57

15 = a15 + a36 + a47

16 = a16 + a35 + a27

17 = a17 + a26 + a45

25 = a25 + a37 + a46




9 414 35 356

10 318 12 minus241

11 282 14 139

12 274 14 minus19

13 244 8 minus062

14 098 6 minus322

15 566 14 002

16 563 14 minus161



137

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit















12 = 12 + 34 + 67 015 minus020 minus053

13 = 13 + 24 + 56 minus0058 022 028

14 = 14 + 23 + 57 minus0115 minus034 028

15 = 15 + 36 + 47 0007 minus005 072

16 = 16 + 27 + 35 minus010 005 066

17 = 17 + 26 + 45 minus012 030 041

25 = 25 + 37 + 46 0126 038 minus003


138








-2

-1

0

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6 7

12+34+67

13+24+56

14+23+57

15+36+47

16+27+35

17+26+45

25+37+46


Val

eur

des

eff

ets

et d

es

alia

ses


23

114

ndash 35

Seacutel

ecti

viteacute



Balayage (4)

Amortissement (7)

1 0 +1



139

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


















Gain (5) +

Tension (6) ndash +



140






m Reacuteponses








141

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

















Sel (7) g 0 1




142












6 1 1 1 minus1 1 1 minus1 1 1









143

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit












1 504 8

2 539 1

3 458 5

4 554 1

5 533 4

6 501 2

7 504 7

8 498 7

9 492 3

10 506 7

11 449 9

12 457 5



144












Sel (7) minus006 06674


Type (9) minus009 05153


Huile

ndash 25

ndash 15

ndash 05

05

15

25

1 2 3 4 5 6 7 8 9


Va

leu

r d

es

co

effi

cie

nts



145

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







Constante 49 00003







Sel (7) 208 00016

Taille (8) 008 04226

Type (9) minus025 00955


Goucirct

25

15

ndash

ndash

ndash

05

05

15

25

1 2 3 4 5 6 7 8 9


Val

eur

des

co

effi

cien

ts


146




147

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit




148






811 Blocking



1 32 4 75 6 8Essai

Niveau +1

Niveau ndash1



149

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







1 32 4 75 6 8

Niveau a

Niveau b

1 32 4 75 6 8


150








1 32 4 75 6 8

a

bc

f

h

g

de

Essai

1 32 4 75 6 8

a

bc

f

h

g

de

Essai



151

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







m Reacuteponses



1 32 4 75 6 8

a

b

c

Essai



152





m Facteurs








6 = 12345




Lactose (2) 2 3



Glucose (5) 0 05




153

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



m Confusion


6 = 12345 = a6 + a12345


16 = a16 + a2345 26 = a26 + a1345 etc





Essai n˚ 1 2 3 4 5 Bloc = 12345










154



Essai n˚ 1 2 3 4 5 Bloc = 12345

























32 1 1 1 1 1 1





155

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit









Val

eur

des

co

effi

cien

ts



156





Essai n˚Maiumls(1)

Lactose(2)

Preacutecurseur(3)

Nitrate(4)

Glucose(5)

Reacuteponse








24 (3) 1 1 1 minus1 1 79




28 (15) 1 1 minus1 1 1 72


30 (14) 1 minus1 1 1 1 83

31 (8) minus1 1 1 1 1 145

16 (12) 1 1 1 1 minus1 118




157

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






Essai n˚Maiumls(1)

Lactose(2)

Preacutecurseur(3)

Nitrate(4)

Glucose(5)

Reacuteponse




20 (28) 1 1 minus1 minus1 1 98


22 (17) 1 minus1 1 minus1 1 88

23 (30) minus1 1 1 minus1 1 166

8 (20) 1 1 1 minus1 minus1 172


26 (22) 1 minus1 minus1 1 1 114

27 (19) minus1 1 minus1 1 1 140

12 (32) 1 1 minus1 1 minus1 95

29 (21) minus1 minus1 1 1 1 130

14 (27) 1 minus1 1 1 minus1 164

15 (24) minus1 1 1 1 minus1 215

32 (29) 1 1 1 1 1 110



158





Constante 12956

123 minus131






234 minus262

12 minus594 235 275

13 minus606 245 231

14 minus5 345 056

15 262 1234 4

23 444 1235 262

24 minus1 1245 181

25 3 1345 419

34 minus1 2345 106

35 minus105

45 219 12345 631



25

20

15

ndash

ndash

ndash

ndash

ndash

10

5

0

5

10

15

20

25

1 2 3 4 5

12 13 14 15 23 24 25 34 35 45

123

124

125

134

135

145

234

235

245

345

123

4

123

5

124

5

134

5

234

5

123

45


Val

eur

des

co

eff

icie

nts




159

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit





0 5 10 15 20 25

513

3512345

13121423

1345123413525

124145235

123523415

24545

1245134125123

23453424

4345

2



160




6 = 12345


6 = 12345 = a6 + a12345








Peacutenicilline

ndash25

ndash2

ndash15

ndash1

-05

0

05

1

15

2

25


Effet

No

rmit

12345

351

5

3

Effet




161

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







ndash ndash ndash

ndash ndash

1

215

72

0 +1

Po

ids

Maiumls (1)

1 0 +1 1 0 +1

1 0 +1


Nitrate (4)

1 0 +1

Glucose (5)

215

72

Po

ids


162



m Reacuteponses




m Facteurs















163

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



6 = 124 7 = 135


I = 1246 = 1357 = 234567





Terrain 124 135


Bloc 2 +1 minus1

Bloc 3 minus 1 +1

Bloc 4 +1 +1


164













6

4

ndash

ndash

ndash

2

0

2

4

6

1 2 3 4 5

12 13 14 15 23 24 25 34 35 45 123

124

125

134

135

145

234

235

245

345

1234

1235

1245

1345

2345

1234

5


Val

eur

des

co

effi

cie

nts



165

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit











12 1 1 minus1 1 minus1 1 1 4 498




16 1 1 1 1 minus1 1 minus1 2 646






22 1 minus1 1 minus1 1 1 1 4 605


24 1 1 1 minus1 1 minus1 1 3 925




28 1 1 minus1 1 1 1 minus1 2 563


30 1 minus1 1 1 1 minus1 1 3 479


32 1 1 1 1 1 1 1 4 613



166








Constante 5891

123 099



Nitrate (3) 162 134 045



234 054

12 252 235 112

13 166 245 minus087

14 147 345 minus242

15 437 1234 minus031

23 257 1235 minus102



34 minus258 2345 156

35 2175

45 minus021 12345 239



167

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit














-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

1 2 3 4 512 13 14 15 23 24 25 34 35 45

123

124

125

134

135

145

234

235

245

345

1234

1235

1245

1345

2345

1234

5


Val

eur

des

co

effi

cien

ts


168






841 Introduction






Fumure

(Facteur 5)

(Facteur 1)

(Facteur 2)

Potasse

656 716

591

345

706

588

561

547



169

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit










2 y2 ycent2 = y2 + 2h

3 y3 ycent3 = y3 + 3h

4 y4 ycent4 = y4 + 4h

5 y5 ycent5 = y5 + 5h

6 y6 ycent6 = y6 + 6h

7 y7 ycent7 = y7 + 7h

8 y8 ycent8 = y8 + 8h










8 (8) +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 8 h



170














8 (8) +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 8 h




171

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit









m Reacuteponses


m Facteurs






172









(1)Pression

(2)Entrefer

(3)Reacuteponses

01 0 0 0 500

6 (1) + minus + 493

02 0 0 0 460

7 (2) minus + + 410

03 0 0 0 426


04 0 0 0 393


05 0 0 0 363

4 (5) + + minus 434

06 0 0 0 335


07 0 0 0 309


08 0 0 0 285

8 (8) + + + 338

09 0 0 0 263


Niveau 0 50 6 025

Niveau + 60 8 030



173

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






Effet Valeur

Constante 3705


Pression (2) 255


12 minus5825

13 3

23 minus1575

123 minus29

Broyeur

200

250

300

350

400

450

500

550

01 6 02 7 03 3 04 2 05 4 06 1 07 5 08 8 09

Nom de lessai

Po

ids


174







(g)

6 513

7 467

3 492

2 530

4 584

1 438

5 420

8 566


Effet Valeur

Constante 50125


Pression (2) 26


12 075

13 1

23 minus1

123 075



175

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit








(1)Pression

(2)Entrefer

(3)Reacuteponses

1 (1) + ndash + 415

5 (2) ndash + + 358



176




(1)Pression

(2)Entrefer

(3)Reacuteponses


4 (5) + + ndash 433



3 (8) + + + 259


Niveau 0 50 6 025

Niveau + 60 8 030


Effet Valeur

Constante 36875


Pression (2) 825

Entrefer (3) 9

12 5125

13 25

23 22

123 minus13




177

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






Constante 3705 50125 36875


Pression (2) 255 26 825


12 minus5825 075 5125

13 3 1 25





60

40

ndash

ndash

ndash

20

0

20

40

60

1 2 3 12 13 23 123

Nom des effets

Val

eur

des

eff

ets




179

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit




y = a0 + a1x1 + a2x2 + a12x1x2 + a11 + a22 + e






x12 x2

2

x12 x2

2 x32


180





n = nf + na + n0





+1ndash1

+1

ndash1

Facteur 2

Facteur 1

+ α

+α

minus α

minus α



181

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






12

3 4

8

10

7

9

6

11

5

12

13 agrave 15

Facteur 1

Facteur 3

Facteur 2_

__

+

+

+


182






0866 =

1 0 0

2 + 1 0

3 + 05 + 0866

4 minus 05 + 0866

5 minus 1 0


7 + 05 minus 0866

+ 1

ndash 1

+ 1

- 1

ndash 0866

+ 1

+ 0866

ndash 05 + 051

5

6

4 3

2

7

x2

x1

32

--------



183

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







8 +15 minus0866

9 +2 0

10 +15 +0866

ndash 1

+ 1+ 1

- 1ndash 0866

+ 1

+ 08661

5

6

4

3

2

7

x1

x2


184








+ 1

ndash 1

- 1

ndash 0866

+ 1

+ 0866

ndash 05 + 051

5

6

43

2

7

10

9

8

x2

x1



185

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit








m Facteurs








AvanceMeule

Rotation

Rugositeacute

Pic


186












Niveaundash1

Niveau0

Niveau+1

Niveau+121


Vitesse de coupe (2) 1395 15 20 25 2605


Essai n˚Avance

(1)Coupe



2 +1 minus1 282 684

3 minus1 +1 120 653

4 +1 +1 91 961

5 0 0 233 638

6 0 0 235 619

Niveau ndash1 09 15

Niveau 0 165 20

Niveau 1 24 25



187

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit








y0 = = 234 plusmn 3 = 234 plusmn 424




Constante 17175 769

Avance (1) 1475 535


12 minus2925 1005


2

4-------times

233 235+2

------------------------ 2

2-------times

0

005

01

015

02

025

03

035

04

045

160 165 170 175 180 185 190 195 200 205 210 215 220 225 230 235 240 245 250

Reacuteponses

Den

siteacute

de

freacuteq

uenc

e


188









tacirc0 y0ndash

σa0

2 σy0

2+------------------------ 17175 ndash 234

1 2

+------------------------------- 6225

1732 ------------- 3594 = = = =

α nf1 4frasl=


2

4--------------------------------------------------------------

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

14---

=



189

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit




α

=


Tableau 96

ndash Valeur de

α


n

f

) en eacutetoile (

n

α

) et centraux (

n

0


Nombre de facteurs

2 3 4 5 5 6 6

Plan

2

2

2

3

2

4

2

5-1

2

5

2

6-1

2

6

n

f

4 8 16 16 32 32 64

n

α

4 6 8 10 10 12 12

n

0

= 1

1 1215 1414 1547 1596 1724 1761

n

0

= 2

1078 1287 1483 1607 1662 1784 1824

n

0

= 3

1147 1353 1547 1664 1724 1841 1885

n

0

= 4

1210 1414 1607 1719 1784 1896 1943

Tableau 97


Essai n˚Avance

1Coupe

2Rugositeacute

times

1 000 Pics

7

minus

121 0 154 523

8 +121 0 195 604

9 0

minus

121 278 870

10 0 +121 122 957

11 0 0 232 615

12 0 0 230 605


Niveau 0 165 20

Niveau +121 256 2605


190





m

Modeacutelisation


y

= a0 + a1x1 + a2x2 + a12x1x2 + a11 + a22 + e



yPics = 621 + 45x1 + 37x2 + 100x1x2 ndash 43 + 196








a1 157 45

a2 minus655 37

a12 minus292 10


a22 minus218 196

x12 x2

2

x12 x2

2

x12 x2

2



191

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit





Nombre de pics

3

25

2

15

ndash

ndash

ndash

ndash

ndash

ndash

1

ndash

ndash

ndash

05

0

05

1

15

2

25

3

50 60 70 80 90 100


Reacutes

idu

sR

eacutesid

us

Rugositeacute

3

25

2

15

1

ndash

ndash

ndash

05

0

05

1

15

2

25

3

80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300



192








Avance (1)ndash15

ndash1

ndash05

0

05

1

Coupe (2)

50100150

200250Rugositeacute


50100

100 150

200

250

ndash15

ndash1

ndash05

0

05

1Avance (1)

ndash15

ndash1

ndash05

0

05

1

Coupe (2)

40

60

80

100

120

140Pics

40

60

80

100

120

140 Pics

50

70

70

90

90110

130



193

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit












Avance (1)

ndash12

ndash08

ndash04

0

04

08

12

Vitessede coupe

(2)

14

16

18

20

22

24

26

075 09 105 12 135 15 165 18 195 21 225 24 255

50

100100

150

200

250

50

60

60

70

70

80

80

90100


194














EAU

LACTOSE

+EAU

STABILISANT




195

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



m Facteurs







m Reacuteponses






Dilution (1) 05 2

pH (2) 6 5



196






Essai n˚Dilution

(1)pH(2)

Concentration(3)

Reacuteponses


2 (9) + ndash 0 426

3 (7) ndash + 0 422

4 (12) + + 0 504


6 (2) ndash 0 + 415

7 (13) + 0 ndash 413

8 (10) + 0 + 408

9 (4) 0 ndash + 352

10 (11) 0 + ndash 353


12 (14) 0 + + 398

13 (1) 0 0 0 508

14 (8) 0 0 0 501

15 (15) 0 0 0 494


Niveau 0 125 55 2

Niveau +1 2 5 25



197

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



m Modeacutelisation











a13 minus032

a1 minus007 a23 220

a2 minus011 a11 007

a3 006 a22 minus355

a33 minus910






x12 x2

2 x32

x12 x2

2 x32


198











ndash1

075

ndash05

ndash

ndash

025

0

025

05

075

1

30 35 40 45 50 55


Reacute

sid

us

x2 = 061ndash

x3 = 005ndash



199

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit













Dilution 05

ndash 1

ndash 05

0

05

1

Co

nce

ntr

atio

n (

3)

3540

4040

4550


200









m Reacuteponses











Knock down (2) 01 04 07




201

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







(1)Knock down

(2)Synergiste

(3)KT50 M24

1 0 0 0 11 75

2 +1 0 0 15 57

3 +05 +0866 0 11 56

4 minus05 +0866 0 6 65

5 minus1 0 0 8 60

6 minus05 minus0866 0 14 66

7 +05 minus0866 0 15 72

8 0 0 0 10 75

9 minus05 +0289 +0816 2 91

10 0 minus0577 +0816 8 99

11 +05 +0289 +0816 10 81


13 0 +0577 minus0816 8 81

14 +05 minus0289 minus0816 11 80

15 0 0 0 12 74


Niveau 0 003 04 1

Niveau +1 005 07 2


202





Constante a0 747 11

a1 minus14 35

a2 minus48 minus332

a3 77 minus204

a12 minus87 231

a13 minus79 408

a23 minus98 071

a11 minus162 050

a22 minus78 050

a33 20 minus425


M 24

KT 50

2

ndash 5

ndash 4

ndash 3

ndash 2

ndash 1

0

1

2

3

4

5

0

15

ndash

ndash

ndash

10

ndash5

0

5

10

15

20

1 2 3 12 13 23

23

11 22 33

1 2 3 12 13 11 22 33


Val

eur

des

co

effi

cien

ts



203

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


m Modeacutelisation





+ 050 + 050 ndash 425



x12 x2

2 x32

x12 x2

2 x32

ndash ndash ndash1

100

0 1

50

M 2

4

1 0 1 08 08

75

0

ndash ndash ndash1

15

0 1

5

KT

50

1 0 1


08 08

10

0


204












yKT50 = 66 + 68x1 ndash 27x2 + 23x1x2


M 24

ndash1

ndash 075

ndash 05

ndash 02 5

0

025

05

075

1

50 60 70 80 90 100

KT 50

ndash 10

ndash 05

00

05

10

0 5 10 15 20


Reacutes

idu

s

x12 x2

2



205

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit





ndash 1

ndash 05

0

05Insecticide (1)

ndash 1

ndash 05

0

05

Knock down (2)

40

60

80

100M24

40

60

80

100 M24

5060

70

80

90

ndash1

ndash05

0

05Insecticide (1)

ndash1

ndash05

0

05

Knock down (2)

ndash10

ndash5

5

10

15KT50

ndash10

ndash5

5

10

15 KT50-4-2

024

6 8 10 12


206







Insecticide (1)

ndash 1

ndash 05

0

05

1

Knock down (2)

01

02

03

04

05

06

07

001 002 003 004 005

0

5 10

50

60

7080

90


207

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit





208











xi

i 1=

i n=

sum 100 =

xi

i 1=

i n=

sum 1=

Produit A

Meacutelange

Produit B

050025 075 100000

050

025

075

100

x a

xb



209

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit









Produit B

Produit A

Meacutelange 1

Meacutelange 2

000 050025 075 100

050

025

075

100B

A




000 050025 075 100

000025050075100

AB


210









000 050025 075 100

000025050075100

Meacutelange 1

Meacutelange 2

AB



211

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit











Meacutelange

050 025075100 000

100

075

050

050

025

025075

100000

000A

B C

M



ax

xb

cx

b

c

a

Produit A

Produit B

Produit D

Produit C

Meacutelange


212








A

B C



213

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







A

B C

4 5

6


m( ) q 1ndash( )------------------------------=

A

B C


214






N = 2q ndash 1


N = 23 ndash 1 = 8 ndash 1 = 7





A

B C

4 5

6

7



215

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 101


x1 + x2 + x3 = 1


y = a0(x1 + x2 + x3) + a1x1 + a2x2 + a3x3


y = (a0 + a1)x1 + (a0 + a2)x2 + (a0 + a3)x3


b1 = a1 + a0 b2 = a2 + a0 b3 = a3 + a0


y = b1x1 + b2x2 + b3x3 102



A

B C

4 5

6

9

8

10

7


216





y = a1x1 + a2x2 + a12x1x2 + a11 + a22 103


x1 + x2 = 1


x1 = 1 ndash x2


= x1(1 ndash x2)

= x1 ndash x1x2


y = b1x1 + b2x2 + b12x1x2 104









x12 x2

2

x12

x12



217

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






m Reacuteponse




m Plan



1

32

4 5

6

7

8

9 10




218









(1)Polystyregravene


(3)Reacuteponses

1 1 0 0 32

2 0 1 0 25

3 0 0 1 42

4 12 12 0 38

5 12 0 12 39

6 0 12 12 305

7 13 13 13 37

8 23 16 16 37

9 16 23 16 32

10 16 16 23 38


Coefficient Valeur

b1 32

b2 25

b3 42

b12 38

b13 8

b23 minus12

b123 6



219

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit











8 37 3738

9 32 3222

10 38 3822


0

02

04

0802

04

06

08

1

0020406081

06

10



40

38

38

36

36

32

28


220





221

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







222



ma = p1 + s


mb = p2 + s




ma + mb = p1

ma ndash mb = p2

drsquoougrave


ma12--- p1 p2+( )=




223

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit








+pa _____ 0 _____ minuspa

+1 _____ 0 _____ minus1


V ma( ) 14--- V p1( ) V p2( )+[ ]=

14--- σ2 σ2+[ ]=

12---σ2=

σ 2frasl


224



+pb _____ 0 _____ minuspb






111






Essai n˚A

Facteur 1B


1 +1 0 10

2 0 +1 25

Effet 10 g 25 g

X 1 00 1

=

X 1 11ndash 1

=


113 Optimaliteacute

225

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






et


Essai n˚A

Facteur 1B


1 +1 +1 35 g

2 ndash1 +1 15 g

Effet 10 g 25 g


A

XprimeX XprimeX

XprimeX

X 1 00 1

= XprimeX 1=


226

113 Optimaliteacute



et









x

minus

1 ou +1 la matrice

de rang

n



X 1 11ndash 1

= XprimeX 4=

XprimeX

X

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

=

XprimeXXprimeX 1=

X

1 1 0 01ndash 1 0 0

0 0 1 10 0 1ndash 1

=

XprimeXXprimeX 16=

XprimeXXprimeX nn=


113 Optimaliteacute

227

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit












Dans ce cas


XprimeX

XprimeX

XprimeX nn=

X

0556 0696 0346 07870607 0039 0499 00170267 0975 0770 06380409 0368 0061 0421

=

XprimeX 0001 6=



228

113 Optimaliteacute

Tabl

eau

113

ndash D

eacutetai

l de

lrsquoalg

orit

hme

drsquoeacutec

hang

es (p

eseacutee

s de

4 o

bjet

s)

Iteacuter

atio

nM

atri

ce X

|Xprime X

| ave

c minus1

|Xprime X

| ave

c +1

Vale

ur d

e su

bsti

tuti

onN

ouve

lle m

atri

ce X

10

027

2 times

10minus5

minus1

20

332

000

8minus1

30

187

041

81

40

024

049

71

hellipet

ain

si d

e su

ite

jusq

ursquoau

x de

ux d

erni

egraveres

lign

es

1532

187

1

1664

256

1

X

055

60

696

034

60

787

060

70

039

049

90

017

026

70

975

077

00

638

040

90

368

006

10

421

=X

ndash

10

696

034

60

787

060

70

039

049

90

017

026

70

975

077

00

638

040

90

368

006

10

421

=

X

ndash

10

696

034

60

787

060

70

039

049

90

017

026

70

975

077

00

638

040

90

368

006

10

421

=X

ndash 1

ndash

10

346

078

70

607

003

90

499

001

70

267

097

50

770

063

80

409

036

80

061

042

1

=

X

ndash

1ndash

10

346

078

70

607

003

90

499

001

70

267

097

50

770

063

80

409

036

80

061

042

1

=X

ndash

1ndash

11

078

70

607

003

90

499

001

70

267

097

50

770

063

80

409

036

80

061

042

1

=

X

ndash

1ndash

11

078

70

607

003

90

499

001

70

267

097

50

770

063

80

409

036

80

061

042

1

=X

ndash

1ndash

11

10

607

003

90

499

001

70

267

097

50

770

063

80

409

036

80

061

042

1

=

X

ndash

1ndash

11

11

ndash

11

ndash

1ndash

11

1ndash

11

10

061

042

1

=X

ndash

1ndash

11

11

ndash

11

ndash

1ndash

11

1ndash

11

11

042

1

=

X

ndash

1ndash

11

11

ndash

11

ndash

1ndash

11

1ndash

11

11

042

1

=X

ndash

1ndash

11

11

ndash

11

ndash

1ndash

11

1ndash

11

11

1

=



229

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



4



=



=


=


=

256



y

=

a

0

+ a

1

x

1

+ a

2

x

2

+ a

12

x

1

x

2


X


F



X


1ndash 1 1 1ndash

1 1 1 1

=

XprimeX


F

r1 r2

r3 r4

r5 r6

r7 r8

=


230







X

1 r1 r2 r1r2

1 r3 r4 r3r4

1 r5 r6 r5r6

1 r7 r8 r7r8

=

F

0736 04140239 01240328 07700318 0723

=

X

1 0736 0414 03051 0239 0124 00301 0328 0770 02521 0318 0723 0230

=

X


1 1 1ndash 1ndash

1 1 1 1

=


231


Tabl

eau

114

ndash D

eacutetai

l de

lrsquoalg

orit

hme

drsquoeacutec

hang

es (p

lan

de 2

fac

teur

s)

Iteacuter

atio

nF

|Xprime X

| ave

c minus1

|Xprime X

| ave

c +1

Vale

ur d

e su

bsti

tuti

onN

ouve

lle m

atri

ce X

11

6 times

10minus5

55

times 10

minus5minus1

25

6 times

10minus4

66

times 10

minus6minus1

hellipet

ain

si d

e su

ite

jusq

ursquoau

x de

ux d

erni

egraveres

lign

es

70

190

1

80

256

1

F

073

60

414

023

90

124

032

80

770

031

80

723

=X

1ndash

10

414

ndash 0

414

10

239

012

40

030

10

328

077

00

252

10

318

072

30

230

=

F

ndash

10

414

023

90

124

032

80

770

031

80

723

=X

1ndash

1ndash

11

10

239

012

40

030

10

328

077

00

252

10

318

072

30

230

=

F

ndash

1ndash

1ndash

11

1ndash

10

318

072

3

=X

1ndash

1ndash

11

1ndash

11

ndash

11

1ndash

1ndash

11

10

723

072

3

=

F

ndash

1ndash

1ndash

11

1ndash

11

072

3

=X

1ndash

1ndash

11

1ndash

11

ndash

11

1ndash

1ndash

11

11

1

=


232











3


Tableau 115



minus

1

minus

1

minus

1

1

minus

1

minus

1

minus

1 1

minus

1

1 1

minus

1

minus

1

minus

1 1

1

minus

1 1

minus

1 1 1

1 1 1



233

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit





0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

Tableau 116



minus

1

minus

1

minus

1

1

minus

1

minus

1

minus

1 1

minus

1

1 1

minus

1

minus

1

minus

1 1

minus1 minus1 1

1 minus1 1

1 minus1 1

minus1 1 1

minus1 1 1

1 1 1

1 1 1



234








1 minus1 minus1

minus1 minus1 1

minus1 1 minus1

0 1 0

1 1 1

minus1 0 1

1 minus1 1

minus1 1 1

1 0 0

1 1 minus1


0 0 minus1



a0 0819 a13 0119

a1 0111 a23 0125

a2 0123 a11 0836

a3 0111 a22 0523

a12 0125 a33 0836

x12 x2

2 x32



235

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



















236









Essai n˚Nombre



(2)

Calibre des fils

(3)Sensibiliteacute




4 +1 +1 minus1 339


6 +1 minus1 +1 459

7 minus1 +1 +1 067

8 +1 +1 +1 429

9 0 0 0 27

10 0 0 0 276



237

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






Essai n˚Nombre



(2)

Calibre des fils

(3)Sensibiliteacute

11 0 0 0 321

12 0 0 0 197


Niveau +1 180 114 48



Constante 2659 0128 2073 lt 00001



Calibre fils (3) 0106 0157 068 05360

a12 0064 0157 041 07057

a13 0124 0157 079 04750

a23 0149 0157 095 03974

a123 0071 0157 045 06738



238













Constante 2659 0110 2416 lt 00001



Calibre fils (3) 0106 0135 079 04533


Essai n˚Nombre










239

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit




Essai n˚Nombre





6 minus1 1 1 0670



9 1 minus1 1 4590

10 1 1 minus1 3402

11 1 1 minus1 3378

12 1 1 1 4290


Niveau +1 180 114 48



Constante 2659 0137 1946 lt 00001



Calibre des fils (3) 0106 0137 078 04802

a12 0064 0137 047 06651

a13 0124 0137 091 04163

a23 0149 0137 109 03375

a123 0071 0137 052 06296



240











Constante 2659 0122 2180 lt 00001



Calibre des fils (3) 0106 0122 087 04090



241

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit




M Reacuteponses












242









bi = a0i + a1i z1 + a2i z2




0

02

04

0802

04

06

08

1

0020406081

06

10

Amidon

Lactose Cellulose

10

1

5

32

7 6

48

9

11



243

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






Essai n˚Amidon

(x1)Lactose

(x2)Cellulose

(x3)Cadence

(z1)Pression


1 05 0 05 1 1 112 1943

2 05 025 025 0 0 047 2160

3 0 0 1 minus1 minus1 252 2545

4 0 1 0 1 1 346 1060

5 05 05 0 minus1 1 049 1588

6 05 05 0 1 minus1 042 2628

7 0 0 1 1 minus1 227 2796

8 025 035 04 minus1 minus1 051 2619

9 025 0375 0375 1 1 180 1456

10 0 1 0 1 minus1 042 2605

11 025 0 075 1 minus1 031 2810

12 025 0 075 0 1 287 1494

13 0 05 05 minus1 1 525 1266

14 025 075 0 0 minus1 019 2483

15 05 05 0 1 1 038 1820

16 0 1 0 minus1 minus1 091 2162

17 05 05 0 minus1 minus1 053 2182

18 0 1 0 minus1 1 312 901

19 05 0 05 1 minus1 041 2781

20 0 05 05 minus1 minus1 149 2437


244




Essai n˚Amidon

(x1)Lactose

(x2)Cellulose

(x3)Cadence

(z1)Pression


21 05 0 05 minus1 minus1 007 2583

22 05 0 05 minus1 1 116 1693

23 0 05 05 1 1 535 959

24 0 0 1 minus1 1 709 832

25 0 0 1 1 1 739 1065

26 025 075 0 minus1 0 034 1849

27 0 05 05 1 minus1 149 2329

28 025 075 0 1 0 072 2055



a01 484 481 1804 1835

a02 199 199 1684 1684

a03 480 480 1810 1809

a012 minus1180 minus1171 1257 1193

a013 minus1669 minus1661 1766 1705

a023 minus001 003 011 -003

a11 005 012 734 715




245

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit




a12 004 000 154 152

a13 000 000 120 120




a21 094 089 minus016 007

a22 131 131 minus704 minus702

a23 245 245 minus860 minus860



a223 minus001 minus002 587 580




-20

-15

-10

-5

0

5

10

a01

a02

a03

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a01

2a0

13

a02

3a1

12

a11

3a1

23

a21

2a2

13

a22

3


Val

eur

des

co

effi

cien

ts


246







-2000

-1500

-1000

-500

000

500

1000

1500

2000

a01

a02

a03

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a01

2a0

13

a02

3a1

12

a11

3a1

23

a21

2a2

13

a22

3


Val

eur

des

co

effi

cien

ts

Amidon


02

04 06

08

1

0020406081

17

22

17

22

17

22

17

22

17

22

17

22



247

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






Amidon

Lactose Cellulose

0

02

04 06

08

1

0020406081

5

35

3

Coheacutesion

3

Cadence

Pression

0 1ndash1

0

ndash1

1

17

22

5

3


248









+ 1

+ 10 Facteur 1

Facteur 2

0

x1

x2

---- 1=



249

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit













0 70 200 455 43

1 80 240 44 395

2 75 224 41 40

3 61 160 46 49

4 60 160 45 495


250












Constante 41875 3716 1127 00004



a12 2625 448 059 05898


Essai n˚


Agitation (trmin)



1 80 240 417 332 agrave 503

2 75 224 405 319 agrave 49

3 61 160 475 389 agrave 560

4 60 160 4725 387 agrave 558



251

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






Agitation (2)

200

240

160

220

180

756560 8070

XprimeX


252









5 60 240 595 60

6 80 160 24 21


Agitation (2)

220

180

65 7570200

8060

240

160



253

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit








Constante 4262 0659 6469 lt 00001


Agitation (2) 749 0702 1066 lt 00001

a12 175 0737 238 00447



Agitation (trmin)



1 80 240 4078 348 agrave 468

2 75 224 4210 366 agrave 476

3 61 160 467 41 agrave 524

4 60 160 479 422 agrave 537

5 60 240 594 532 agrave 657

6 60 160 223 16 agrave 285


254





60

40

20

Ren

dem

ent




6 87 200 240160


255

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







121


yi y ai ei+ +=

yiy


256




aJ + aL + aS = 0








aiei

yi y ai ei+ +=


ai2 ei

2sum+sum=

a

y

a

a

130

y

y

y

J

J

LL

s

s

120

90

180


y 13--- 90 120 180+ +( ) 130= =









257

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit










a2 13--- aJ

2 aL2 aS

2+ +[ ]=

a2 1n--- ai

2

i 1=

i n=

sum=

3 a2sum aJ2 aL

2 aS2+ + 40ndash( )2 10ndash( )2 50( )2+ + 4 200= = =

a2 13--- 4 200times 1 400= =

a 3741=

Personne

Employeur

Jacques SimonLee

B

A

C


258






122



Essai n˚Personne

(1)Employeur

(2)Salaire

1 Jacques A 85

2 Jacques B 93

3 Jacques C 92

4 Lee A 116

5 Lee B 121

6 Lee C 123

7 Simon A 174

8 Simon B 182

9 Simon C 184


a

y

a

a

130

y

y

y

J

J

L

L

s

s

120

90

180

184

174

182

116

121123

9293

85

Simon

Lee

Jacques


yi j



259

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



aJ + aL + aS = 0bA + bB + bC = 0


123









y

yJ

yJ13--- yJ A yJ B yJ C+ +[ ]=







y

y 19--- 85 93 92 116 121 123 174 182 184+ + + + + + + +[ ] 130= =

yJ




260








Facteurs Valeurs

Moyenne 130

Jacques minus40

Lee minus10

Simon 50

Entreprise A minus5

Entreprise B 2

Entreprise C 3



60

40

ndash

ndash

ndash

20

0

20

40

60


Nom des effets

Val

eur

des

eff

ets





261

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit




(Tableau 123)








1 85 130 minus45 2 025

2 93 130 minus37 1 369

3 92 130 minus38 1 444

4 116 130 minus14 196

5 121 130 minus9 81

6 123 130 minus7 49

7 174 130 44 1 936

8 182 130 52 2 704

9 184 130 54 2 916






1 90 130 minus40 1 600

2 90 130 minus40 1 600

3 90 130 minus40 1 600

4 120 130 minus10 100

5 120 130 minus10 100

6 120 130 minus10 100

7 180 130 50 2 500

8 180 130 50 2 500

9 180 130 50 2 500

yi j yndash( )2sum

ai2sum


262















1 125 130 minus5 25

2 132 130 2 4

3 133 130 3 9

4 125 130 minus5 25

5 132 130 2 4

6 133 130 3 9

7 125 130 minus5 25

8 132 130 2 4

9 133 130 3 9

bj2sum

ei j2sum










ei j2sum eJA

2 eJB2 eJC

2 eLA2 eLB

2 eLC2 eSA

2 eSB2 eSC

2+ + + + + + + +=




263

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit









Personnes 12 600

Entreprises 114

Reacutesidus 6




Modegravele 12 714 4 3 17850 2 119



12 720 8


264









a

c

b

a

a

b

b

c

c


1 2 3

I

I I

I I I




265

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit








b

a

c


1 2 3I

I I

I I I

a

cba

a

b

b

c

c

d

d

d

d b

a

c




1 2 3

I

I I

I I I

IV

4


266




a

cba

a

b

b

c

cd

d

d

d b

a

c

χδ α β

δα

β

χδα β

χ

δ α

β

χ




1 2 3

I

I I

I I I

IV

4





1 2 3I

I I

I I I

54 6 7

VI I

VI

V

IV




267

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit













1 2 3

I

I I

I I I

54 6 7

VI I

IV

VI

V


268







Essai n˚Forme

(1)Vitesse

(2)Profondeur

(3)Reacutesistance


2 ndash 0 0 202

3 ndash + + 270

4 0 ndash 0 87

5 0 0 + 106

6 0 + ndash 74

7 + ndash + 623

8 + 0 ndash 708

9 + + 0 861





Facteurs Effet

Moyenne 345

Cocircne minus256

Cylindre minus13

Disque 386



269

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



Facteurs Effet



Vitesse rapide 57







des carreacutesddl

Carreacutes moyens

F de Fisher

Probabiliteacute

Formes 6 9404467 2 3 47022335 6940 00142

Vitesse 1765800 2 8829 176 03616

Profondeur 708067 2 3540335 0708 05855




100

50

0

Reacutes

ista

nce


Cocircn

e

Cyl

indr

e

Dis

que

For

te

Lent

e

Rap

ide

Moy

enne

Fai

ble

Moy

enne

25

75


270





271

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit









272







Facteurs




Faut -il randomiser




Eacutetudie-t-on

t-on


Choix du plan

Nombre de facteurs


Ordre des essais



Examen critique

Suite agrave donner

Valeurs suspectes







Nouveaux facteurs

Nouveau domaine

Nouveau modegravele

Nouveau domaine


Nouveau modegravele

NON + NON + NON

OUI ou OUI ou OUI

Arrecirct




273

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit




m Facteurs



m Domaine


m Reacuteponse(s)





274














275

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit















276







1313 Choix du plan






277

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit













278















279

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit
















280


135 Recommandations














281

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit








282











283

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


m Choisir le plan







284









285

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit









286



m Plan






287

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit










Nomdes facteurs


Variables continues

Variableordonnables


288












289

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit











290










291

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







292






293

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit









294







Annexes



297

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit




J Goupy

2 3






5 6




7 7





298



9 8















16 11





18 11




J Goupy


299

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit














y1

y11n1

----- y1 i

i 1=

i n1=

sum=


i 1=

i n1=

sum=

y2


j 1=

j n2=

sum=

y1 y2

∆ y1 y2ndash=

V ∆( ) V y2( ) V y1( )+=

σ∆ V ∆( ) V y2( ) V y1( )+= =


300




m Hypothegraveses


∆σ∆------

y1 y2ndash

V y1 y2ndash( )----------------------------=


301

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit




1 1 4 6 7 8 5 3 2

2 1 4 7 6 8 5 2 3

3 1 4 8 5 6 7 3 2

4 1 4 8 5 7 6 2 3

5 1 6 4 7 8 3 5 2

6 1 6 7 4 8 3 2 5

7 1 6 8 3 4 7 5 2

8 1 6 8 3 7 4 2 5

9 1 7 4 6 8 2 5 3

10 1 7 6 4 8 2 3 5

11 1 7 8 2 4 6 5 3

12 1 7 8 2 6 4 3 5

13 1 8 4 5 6 3 7 2

14 1 8 4 5 7 2 6 3

15 1 8 6 3 4 5 7 2

16 1 8 6 3 7 2 4 5

17 1 8 7 2 4 5 6 3

18 1 8 7 2 6 3 4 5

19 2 3 5 8 7 6 4 1

20 2 3 7 6 5 8 4 1

21 2 3 7 6 8 5 1 4

22 2 3 8 5 7 6 1 4


302


Annexes


23 2 5 3 8 7 4 6 1

24 2 5 7 4 3 8 6 1

25 2 5 7 4 8 3 1 6

26 2 5 8 3 7 4 1 6

27 2 7 3 6 5 4 8 1

28 2 7 3 6 8 1 5 4

29 2 7 5 4 3 6 8 1

30 2 7 5 4 8 1 3 6

31 2 7 8 1 3 6 5 4

32 2 7 8 1 5 4 3 6

33 2 8 3 5 7 1 6 4

34 2 8 5 3 7 1 4 6

35 2 8 7 1 3 5 6 4

36 2 8 7 1 5 3 4 6

37 3 2 5 8 6 7 4 1

38 3 2 6 7 5 8 4 1

39 3 2 6 7 8 5 1 4

40 3 2 8 5 6 7 1 4

41 3 5 2 8 6 4 7 1

42 3 5 6 4 2 8 7 1

43 3 5 6 4 8 2 1 7

44 3 5 8 2 6 4 1 7

45 3 6 2 7 5 4 8 1

46 3 6 2 7 8 1 5 4

47 3 6 5 4 2 7 8 1

48 3 6 5 4 8 1 2 7

49 3 6 8 1 2 7 5 4

50 3 6 8 1 5 4 2 7

51 3 8 2 5 6 1 7 4

52 3 8 5 2 6 1 4 7

53 3 8 6 1 2 5 7 4

54 3 8 6 1 5 2 4 7



303

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

Annexes


55 4 1 5 8 6 7 3 2

56 4 1 5 8 7 6 2 3

57 4 1 6 7 5 8 3 2

58 4 1 7 6 5 8 2 3

59 4 5 1 8 6 3 7 2

60 4 5 1 8 7 2 6 3

61 4 5 6 3 1 8 7 2

62 4 5 6 3 7 2 1 8

63 4 5 7 2 1 8 6 3

64 4 5 7 2 6 3 1 8

65 4 6 1 7 5 3 8 2

66 4 6 5 3 1 7 8 2

67 4 6 5 3 7 1 2 8

68 4 6 7 1 5 3 2 8

69 4 7 1 6 5 2 8 3

70 4 7 5 2 1 6 8 3

71 4 7 5 2 6 1 3 8

72 4 7 6 1 5 2 3 8

73 5 2 3 8 4 7 6 1

74 5 2 4 7 3 8 6 1

75 5 2 4 7 8 3 1 6

76 5 2 8 3 4 7 1 6

77 5 3 2 8 4 6 7 1

78 5 3 4 6 2 8 7 1

79 5 3 4 6 8 2 1 7

80 5 3 8 2 4 6 1 7

81 5 4 2 7 3 6 8 1

82 5 4 2 7 8 1 3 6

83 5 4 3 6 2 7 8 1

84 5 4 3 6 8 1 2 7

85 5 4 8 1 2 7 3 6

86 5 4 8 1 3 6 2 7


304


Annexes


87 5 8 2 3 4 1 7 6

88 5 8 3 2 4 1 6 7

89 5 8 4 1 2 3 7 6

90 5 8 4 1 3 2 6 7

91 6 1 3 8 4 7 5 2

92 6 1 3 8 7 4 2 5

93 6 1 4 7 3 8 5 2

94 6 1 7 4 3 8 2 5

95 6 3 1 8 4 5 7 2

96 6 3 1 8 7 2 4 5

97 6 3 4 5 1 8 7 2

98 6 3 4 5 7 2 1 8

99 6 3 7 2 1 8 4 5

100 6 3 7 2 4 5 1 8

101 6 4 1 7 3 5 8 2

102 6 4 3 5 1 7 8 2

103 6 4 3 5 7 1 2 8

104 6 4 7 1 3 5 2 8

105 6 7 1 4 3 2 8 5

106 6 7 3 2 1 4 8 5

107 6 7 3 2 4 1 5 8

108 6 7 4 1 3 2 5 8

109 7 1 2 8 4 6 5 3

110 7 1 2 8 6 4 3 5

111 7 1 4 6 2 8 5 3

112 7 1 6 4 2 8 3 5

113 7 2 1 8 4 5 6 3

114 7 2 1 8 6 3 4 5

115 7 2 4 5 1 8 6 3

116 7 2 4 5 6 3 1 8

117 7 2 6 3 1 8 4 5

118 7 2 6 3 4 5 1 8



305

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

Annexes






119 7 4 1 6 2 5 8 3

120 7 4 2 5 1 6 8 3

121 7 4 2 5 6 1 3 8

122 7 4 6 1 2 5 3 8

123 7 6 1 4 2 3 8 5

124 7 6 2 3 1 4 8 5

125 7 6 2 3 4 1 5 8

126 7 6 4 1 2 3 5 8

127 8 1 2 7 3 6 5 4

128 8 1 2 7 5 4 3 6

129 8 1 3 6 2 7 5 4

130 8 1 3 6 5 4 2 7

131 8 1 5 4 2 7 3 6

132 8 1 5 4 3 6 2 7

133 8 2 1 7 3 5 6 4

134 8 2 1 7 5 3 4 6

135 8 2 3 5 1 7 6 4

136 8 2 5 3 1 7 4 6

137 8 3 1 6 2 5 7 4

138 8 3 1 6 5 2 4 7

139 8 3 2 5 1 6 7 4

140 8 3 5 2 1 6 4 7

141 8 5 1 4 2 3 7 6

142 8 5 1 4 3 2 6 7

143 8 5 2 3 1 4 7 6

144 8 5 3 2 1 4 6 7


306


Annexes



Seacuteries miroir

Facteur(1)

Facteur(2)

Facteur(3)

Facteur(4)

Blockingsur 134


4 + + ndash + ndash

7 ndash + + + ndash





8 + + + ndash ndash

8 + + + + +



3 ndash + ndash + +


7 ndash + + ndash +

4 + + ndash ndash +

6 + ndash + + +


307

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



m Deacutefinitions

M Matrice







M Matrice ligne


M Matrice colonne


a b cd e f


308


Annexes

M



M



M



m


M



a

ii


M



a

ij


a

ji

a

ij

=

a

ji

Exemple

M



a

ij


a

ji


a

ij

=

ndash

a

ji

Exemple

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

1 2 3

2 1 4 3 4 1

0 2 3 2 ndash 0 4

3 ndash 4 ndash 0



309

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

Annexes

M

Matrice uniteacute


I

=

M



M



M

Matrice diagonale


m


M



M



et

Leur somme est

La matrice

M

3


M

1

et

M

2

M 1 + M 2 = M 3

1 0 0

0 1 0 0 0 1

M1a11 a12 a13

a21 a22 a23

= M2b11 b12 b13

b21 b22 b23

=

M1 M2+a11 b11+ a 12 b 12 + a 13 b 13 +

a

21

b

21

+ a 22 b 22 + a 23 b 23 + M

3

= =


310


Annexes

M

Soustraction


M

Matrice zeacutero


M



M



A

par une matrice

B

donne une matrice

C

A B

=

C


A


B

Si lrsquoordre de

A

est (

m

p

) et celui de

B

(

p

n

) lrsquoordre de

C

sera (

m

n


ligne par colonne


c

ij


c

ij

=

a

i

1

b

1

j

+

a

i

2

b

2

j

+ hellip +

a

ip

b

pj


A B

π

B A

M

Matrice inverse


B







a

21

b

21



λa21 λa22 λa23

=



311

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

Annexes

m



M


M


M


M


m


M



M



minus

1 et telles que


Exemples

H

2

=

Aa11 a12 a13

a21 a22 a23

= Aprimea11 a21

a12 a22

a13 a23

=



X1 X 2 ( ) 1

ndash

X 21

ndash X 1

1 ndash =

X1 X 2 X 3 ( ) 1

ndash

X 31

ndash

X 21

ndash

X 1 1

ndash =

Xprime( )prime X=

X 1ndash( )1ndash

X=

Xprime X 1ndash=

Xprime X n I =


ndash = X 1ndash 1

n---Xprime=

1 1

1 ndash 1


312


Annexes

H

4

=

Ces matrices

H

n


n


1 1 ndash 1 ndash 1

1 1 1 ndash 1 ndash

1 1 ndash 1 1 ndash 1 1 1 1


313

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

BIBLIOGRAPHIE

m


B

OX

GEP H

UNTER

WG H

UNTER

JS



e

eacutedition 2005

B

OX

GEP B

EHNKEN


Technometrics

vol 2 1960 p 455-475

C

ORNELL

JA



D

ANIEL


Technometrics

vol 1 1959 p 311-341

D

ERRINGER

D S

UICH



12 1980 p 214-219

D

OEHLERT


Appl Stat

n˚ 19 1970 p 231

D

RAPER

NR J

OHN


Technometrics


D

RAPER

NR S

CHMITT

H



F

ISHER

RA



F

ISHER

RA



F

REUND

R L

ITTLE

R C

REIGHTON

L


SAS Publishing2003

G

OUPY

J


ndash



G

OUPY

J


Dunod Paris 1999

G

OUPY

J


Dunod Paris 2000

H

OTELLING


Am Math Stat

vol 15 n˚ 4 1944 p 297-306

M

ITCHELL




314
























Bibliographie

315

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

Bibliographie






















316





















Bibliographie

317

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

Bibliographie




















318


















Bibliographie

319

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

Bibliographie







JMP httpwwwjmpcom









321

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit















Eeacutecarts 83







INDEX


322

IndexIndex






Nniveau 6
























2418_PM_323 280906 1028 Page 1

324




Nota bene














CONCEPTION



CHIMIE


EEA




3 e eacutedition

JACQUES GOUPY


LEE CREIGHTON







9 7 8 2 1 0 0 4 9 7 4 4 7


INTR

OD

UC

TION

AU

X PLA

NS D

rsquoEXPEacuteR

IENC

ESJ G

OU

PYL C

REIG

HTO

N

3e eacutedition


Avant-propos




13 Terminologie
























63 Calcul de Box

































113 Optimaliteacute



















135 Recommandations













Bibliographie

Index




Jacques G

OUPY


(avec CD-Rom)568 p

Jacques G

OUPY


304 p

Reneacutee V

EYSSEYRE


2

e

eacutedition 320 p



I



3

e

eacutedition


Du mecircme auteur


(avec CD-Rom)

Dunod

2005


Dunod 2000



re

eacutedition

ISBN 2 10 049744 8



V


Avant-propos IX




13 Terminologie 4






















VI




63 Calcul de Box 99































VII

































Annexes





Bibliographie 313

Index 321



IX

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

AVANT-PROPOS






1

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







par hectare raquo



2










3

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit











4





13 Terminologie




m Facteurs continus


m Facteurs discrets







13 Terminologie

5

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit








6









80 kmh

niveau bas


niveau haut


ndash 1 + 1

120 kmh


13 Terminologie

7

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






+ 1

+ 11 Facteur 1

Facteur 2

Domaine deacutetude

Vitesse

Surcharge

80 kmh

0 kg

300 kg

120 kmh

ndash

1ndash

+ 1

+ 11

1

Vitesse ( kmh)

Surcharge (kg)

Domaine deacutetude

300

0

80 120

Zone exclue

ndash

ndash


8







11


Application 1






xA A0ndash

Pas---------------=


2---------------------- 120 80ndash

2--------------------- 20= = =

A0A+1 A 1ndash+

2---------------------- 120 80+

2--------------------- 100= = =

xA A0ndash

Pas--------------- 90 100ndash

20--------------------- 05ndash= = =



9

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


Application 2






x1i = 90 kmhx2j = 250 kg




+05 A 100ndash20

------------------=

Facteur 2

Facteur 1


x2 j

x1 i

Vitesse

Surcharge

90 km h

250 kg


10








+ 1

+ 1 1

1

Facteur 1

Facteur 2

ndash

ndash



11

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit





+ 1

+ 1 1

1

Vitesse

Surcharge (kg)

1 000

0

80 120

Facteur 1

Facteur 2

ndash

ndash

(kmh)

+ 1

+ 1 1

1

Vitesse (kmh)

Surcharge (kg)

1 000

0

80 120

Facteur 1

Facteur 2

ndash

ndash


12










13


A B

1 +1

1

Facteur 2

Facteur 1

Reacuteponse

D+1

ndash

ndash




13

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


ougrave










y = X a + e 15

ougrave




14






15

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit













16
















17

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







18






Essai n˚Vitesse


1 (A) 80 kmh 0 kg

2 (B) 120 kmh 0 kg

3 (C) 80 kmh 300 kg

4 (D) 120 kmh1 300 kg


Essai n˚Vitesse


1 (A) minus1 minus1

2 (B) +1 minus1

3 (C) minus1 +1

4 (D) +1 +1



+ 1

+ 1 1

1

Facteur 1

Facteur 2

Domaine deacutetude

Vitesse

Surcharge

80 kmh

0 kg

300 kg

120 kmh

A

DC

B

ndash

ndash



19

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






N˚ essaiVitesse




2 (B) +1 minus1 107

3 (C) minus1 +1 97

4 (D) +1 +1 123




20






y = a0 + a1x1 + a2x2 + a12x1x2 21

ougrave






+ 1

+ 1 1

1

Facteur 1

Facteur 2

Vitesse (kmh)

Surcharge (kg)

80

0

300

120

A

DC

B

0

0

100

150

83

12397

107

ndash

ndash



21

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit












+ 1

+ 1 1

1

Facteur 1

Facteur 2

Vitesse (kmh)

Surcharge (kg)

80

0

300

120

A

DC

B

0

0

100

1500

43

21

yy

y

yy

ndash

ndash

Bx1 +1=

x2 1ndash=D

x1 +1=

x2 +1=


22








y2 + y4 = 2(a0 + a1)


y1 + y3 = 2(+a0 ndash a1)









Application



a112---

y2 y4+

2---------------

y1 y3+

2---------------ndash=

y2 y4+

2---------------

y+y1 y3+

2---------------

yndash


y+ yndashndash[ ]


a114--- 83 + 107 ndash 97 + 123 ndash [ ] 125 = =



23

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


m



+



ndash




a

1

Figure 24


et

y+

M+x1 +1=

x2 0=

Mndashx1 ndash1=

x2 0=

Facteur 1

Facteur 2

Reacuteponse

B

+ 1

+ 1

ndash 1

ndash 1

0

0

y1

A

DC

y4

y3

y2

+y

yndash

M -

M +

y0

Dcent

Ccent

Acent

Bcent

Mcent+

M-

(Consommation)

(123)

(97)

(83) (107)

(9)

(115)

(Vitesse)

(Surch

arge)

(80) (100) (120)

(0)

(300)

(150)

y+ y+

y+ yndashy+ yndash


24



Le coefficient

a

1


y

0


a

1


a

1


m




Application

Figure 25


Figure 26




Facteur 1

Effet du Facteur 1

Reacuteponse

+ 1ndash 1 0

+y

yndash

M ndash M +

y0

Mcentndash

Mcent+


M ndash M +

Mcentndash

Mcent+115

9

1025





25

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






m



a

2


Application


a

2


Figure 27


y+y2 y4+

2--------------- 107 + 123

2 --------------------------- 115 = = =

yndashy1 y3+

2--------------- 83 + 97

2 --------------------- 9 = = =


a214--- 83 ndash 107 + 97 + 123 ndash [ ] 075 = =


M ndash M +

Mcent-

Mcent+11

95

1025




26







m


a

12


a

12


a

1

et

a

2


a

12




y

4

et

y

3


prime

D

prime




y

2

et

y

1


prime

B

prime


a

12


Figure 28


y+y3 y4+

2--------------- 97 + 123

2 ------------------------ 11 = = =

yndashy1 y2+

2--------------- 83 + 107

2 ------------------------ 95 = = =

a1212---

y4 y3ndash

2---------------

y2 y1ndash

2---------------ndash=

y4 y3ndash

2---------------

Facteur 1


Reacuteponse

+ 1ndash 1 0


y1

y4

y3

y2

Dcent

Ccent

Acent

Bcent

y2 y1ndash

2---------------



27

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


Le coefficient

a

12


a

12


prime

B

prime


prime

D

prime


prime

B

prime

et C

prime

D

prime


Application




Figure 29



a1214--- +83 ndash 107 ndash 97 + 123 [ ] 005 = =

Vitesse (kmh)



12080 100


Dprime

Cprime

Aprime

Bprime

123

83

107

97 120 l 100 km

130 l 100 km


28





a

0

=


a

1

=


a

2

=


a

12


a

12

=


y

=

1025 + 125

x

1

+ 075

x

2

+ 005

x

1

x

2

22


x

1

et

x

2


Facteur 1 (vitesse)



y

=

35 + 006A

1

+ 00033A

2

+ 00000167A

1

A

2

23


Application


y

=

35 + 006

times

90 + 000333

times

100 + 00000167

times

90

times

100

y

=

35 + 54 + 0333 + 0150

=

9383

xA A0ndash

Pas---------------=

x1A1 A0ndash

Pas1------------------

A1 100ndash

20---------------------= =

x2A2 A0ndash

Pas2------------------

A2 150ndash

150---------------------= =

y 1025 + 125A

1

20 ------ 100

20 ---------ndash ⎝ ⎠

⎛ ⎞ 075A

2

150 --------- 150

150 ---------ndash ⎝ ⎠

⎛ ⎞ 005A

1

20 ------ 100

20 ---------ndash ⎝ ⎠

⎛ ⎞ A

2

150 --------- 150

150 ---------ndash ⎝ ⎠

⎛ ⎞ + +=

y 1025 12520---------ndash 075ndash

125A1

20----------------

075A2

150-----------------

005A1

20----------------- 5

20------ndash⎝ ⎠

⎛ ⎞ A2

150--------- 1ndash⎝ ⎠

⎛ ⎞+ + +=

y 325 520------ 125

20---------- 005

20----------ndash A1

075150---------- 5

20 150times---------------------ndash A2

005A1

20----------------

A

2 150

---------+ + + +=



29

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



Application


80 kmh = niveau

minus

1

100 kmh = niveau 0

150 kg = niveau 0


y

=

1025 + 125

times

(ndash1) + 075

times

(0) + 005(ndash1

times

0)

y

=

1025 ndash 125

=

9


minus


y

=

1025 + 125

times

(0) + 075

times

(0) + 005(0

times

0)

y

=

1025





30




Figure 210


Figure 211


80

123

938

90 120

83

Vitesse

Reacutep

onse

0 100 300

Surcharge

12

11

105

10

115

85

9

95

Surcharge

Vitesse80 120

0

300

200

1079


31

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

3







32

















33

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







Meacutethodes

Agitation Forme

Reacuteacteur

Tempeacuterature

Voltage

Intensiteacute


Habileteacute

Nature

Concentration



Eacuteclairage

Pression


AddidifSels

Moyens


Mesures

Meacutethodes

Milieu

Tempeacuterature

Origine Nature

Reacuteacteur

Voltmegravetre



Eau

Humiditeacute

Or

Cobalt

Support



Teneuren Cobalt


34


















35

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit









Concentration en Or


(Facteur 3)

(Facteur 1)

(Facteur 2)



36




en or (gl)Facteur 1


Facteur 2


Facteur 3

Vitesse (mgmin)


1 2 5 05

2 15 5 05

3 2 25 05

4 15 25 05

5 2 5 15

6 15 5 15

7 2 25 15

8 15 25 15



en orFacteur 1


Facteur 2


Vitesse (mgmin)



2 +1 minus1 minus1

3 minus1 +1 minus1

4 +1 +1 minus1

5 minus1 minus1 +1

6 +1 minus1 +1

7 minus1 +1 +1

8 +1 +1 +1





37

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit












en orFacteur 1


Facteur 2


Vitesse (mgmin)



2 +1 minus1 minus1 122 3 510

3 minus1 +1 minus1 20 3 950

4 +1 +1 minus1 125 1 270

5 minus1 minus1 +1 48 4 870

6 +1 minus1 +1 70 2 810

7 minus1 +1 +1 68 7 750

8 +1 +1 +1 134 3 580




38








Effet Valeur

Constante 80




Interaction 12 10


Interaction 23 1425

Interaction 123 1

Concentration en Or


(3)

(1)

(2)


122

20 125

4870

68

53

134



39

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit









ndash

ndash

ndash

ndash

20

15

10

5

0

5

10

15

20

25

30

35

Or (1) Courant (2) Co (3) 12 13 23 123


Val

eur

des

co

effi

cien

ts

2

134

80

85 15

20

Vit

esse


05 1 15


40







2

Or

0


Vite

sse

150

75

0

150

75

25

15

5

152 5 25



41

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






2

Or

0


Vite

sse

150

75

0

150

75

25

15

5

152 5 25

2

15

25

5

05

1505

15 Cobalt

05 15

0

150

75

2

133

85 15

20

Vit

esse

5 15 25


Or Cobalt

05 1 15


42







Effet Valeur

Constante 3 980






Interaction 23 755



Concentration en Or


(3)

(1)

(2)

3510

3950 1270

4870

2810

7750

4100

3580



43

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







1 200

1 000

800

600

400

ndash

ndash

ndash

ndash

ndash

ndash

200

0

200

400

600

800

1 000

Or (1) Courant(2)

Co (3) 12 13 23 123


Val

eur

des

co

effi

cien

ts


44






2Or

0


Co

ba

lt d

an

s la

llia

ge

8 000

4 000

0

8 000

4 000

25

5

152 5 25

2

15

25

5

05

15

05

15

Cobalt

05 15

0

8 000

4 000

15

4500


Co

nce

ntr

atio

n C

ob

alt

(3)

05

15

4000


3500



4000

4000

4000


4000

4000





35003500

4500 4500

2 2



45

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







Co

nce

ntr

atio

n C

ob

alt

05

15





80

Vitesse

4000

80

Vitesse


3500

3500


4000 3500

Vitesse

4500

80


2


46








100

Vitesse

3500


Co

nce

ntr

atio

n C

ob

alt

05

15




Vitesse


100

2 2



4000

3500

Vitesse

4500


100

2

12

13

Co

nce

ntr

atio

n C

ob

alt

05

15



4000

3500

4500

100

Vitesse

2




47

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






49

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit




50








m Reacuteponses




51

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

















52







des abaisses(1)

Nombre de trous

(2)

Chauffage du four

(3)


(4)




4 + + ndash ndash


6 + ndash + ndash

7 ndash + + ndash

8 + + + ndash


10 + ndash ndash +

11 ndash + ndash +

12 + + ndash +

13 ndash ndash + +

14 + ndash + +

15 ndash + + +

16 + + + +





53

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







(1)

Nombre de trous

(2)

Chauffage(3)











54















(1)

Nombre de trous

(2)

Chauffage(3)



8 + + + ndash 24 22




12 + + ndash + 16 3


14 + ndash + + 26 3

15 ndash + + + 3 18

16 + + + + 28 3






55

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit









Moyenne 24 216

















56







Deacutecollement

Val

eur

des

co

effi

cien

ts


1 2 3

06

04

02

0

ndash 02

ndash 04

ndash 064 12 13 14 23 24 34 123 124 134 234 1234



57

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit





FecircleV

aleu

r d

es c

oef

fici

ents


1 2 3

06

04

02

0

ndash 02

ndash 04

ndash 064 12 13 14 23 24 34 123 124 134 234 1234


3

24

0 +1

08

Deacutec

olle

men

t

Poids (1)

1 0 +1 1 0 +1 1 0 +1


1

3

21625

0 +1

08Fecircl

e

Poids (1)

1 0 +1 1 0 +1 1 0 +1




58






ndash1

326

0 +1

08Deacutec

olle

men

t

Poids (1)



ndash1

327

0 +1

08

Fecircl

e

Poids (1)



ndash


ndash ndash ndash1

32747

0 +1

08

Deacutec

olle

men

t

1 0 +1 1 0 +1 1 0 +1

1

32696

0 +1

08

Fecircl

e

Poids (1)

1 0 +1 1 0 +1 1 0 +1




59

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit





ndash


ndash ndash ndash1

329

0 +1

08

Deacutec

olle

men

t

1 0 +1 1 0 +1 1 0 +1

1

329

0 +1

08

Fecircl

e

Poids (1)

1 0 +1 1 0 +1 1 0 +1


ndash

ndash ndash ndash

ndash ndash1

328

0 +1

08

Deacutec

olle

men

t

1 0 +11 0 +1

1

3

0 +1

08

Fecircl

e

1 0 +11 0 +1

Cuisson 31 min

3

28

29

29

29 min 30 min


60










61

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






Deacutecollement



21

22

23

25

26

24

28

27




Deacutecollement



21

22

23

25

26

24

28

27





62











Reacuteponse




ybon

ymauvais



63

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






Reacuteponse





Reacuteponse





64














D n d1d2hellipdn=

ndash1

326

0

08Deacutec

olle

men

t


ndash1 0 +1 0 +1+1

252




65

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit








ndash1

329

0

08

Fecircl

e


ndash1 0 +1 0 +1+1

2528


-1

1

0Deacutes

irab

iliteacute

-1 067+1-1 0 +1


Chauffage (3)

0996


66





67

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit




68















Deacutebit (1) 650 725 800


Profondeur (3) 005 0125 020




69

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






Essai n˚Deacutebit

(1)

Vitesse de coupe

(2)

Profondeur(3)


(4)









8 +1 +1 +1 minus1 56


10 +1 minus1 minus1 +1 201


12 +1 +1 minus1 +1 37


14 +1 minus1 +1 +1 134

15 minus1 +1 +1 +1 05

16 +1 +1 +1 +1 17

17 0 0 0 0 111

18 0 0 0 0 126

19 0 0 0 0 104

20 0 0 0 0 119

minus1 650 10 005 05

0 725 18 0125 075

+1 800 26 02 1


70









Constante 1155 03609 32 lt 00001





12 064 03609 177 01376

13 032 03609 090 04091

14 035 03609 097 03767

23 159 03609 440 00070

24 minus111 03609 minus308 00274

34 060 03609 166 01573



71

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






m Moyenne


m Eacutecart-type





(ndash04)2 + (11)2 + (ndash11)2 + (04)2 = +016 + 121 + 121 + 016 = +274

y 14--- 111 + 126 + 104 + 119( ) 115= =

yi yndash( )i 1=

i n=

sum yi

i 1=

i n=

sum yi 1=

i n=

sumndash nn--- yi

i 1=

i n=



72







522 Population




2744 1ndash------------ 09133=

09133



73

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit




=






y

y 1n--- yi

i 1=

i n=

sum


8

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

9 10 11 12 13 14 15

Eff

ecti

f


74













m Distribution



y


i 1=

i n=

sum

f y( ) 1

σpopulation 2π----------------------------------e

y microndash( )2

2σpopulation2

--------------------------

=



75

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit








0

005

01

015

02

025

03

035

04

045


Eacutecart-type

Den

siteacute

de

freacuteq

uen

ce


0

005

01

015

02

025

03

035

04

045


Eacutecart-type

Den

siteacute

de

freacuteq

uen

ce

12


76








0

005

01

015

02

025

03

035

04

045


Eacutecart-type

Den

siteacute

de

freacuteq

uen

ce

08


0

005

01

015

02

025

03

035

04

045


Eacutecart-type

Den

siteacute

de

freacuteq

uen

ce

15ndash 05



77

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







0

005

01

015

02

025

03

035

04

045


Eacutecart-type

Den

siteacute

de

freacuteq

uen

ce


0

005

01

015

02

025

03

035

04

045


Eacutecart-type

Den

siteacute

de

freacuteq

uen

ce


78





=





0

005

01

015

02

025

03

035

04

045


Eacutecart-type

Den

siteacute

de

freacuteq

uen

ce

y 14--- +y1 y2 y3 y4+ + +[ ]

σy2

sy2

sy2 V yi( ) 1


i 1=

i n=

sum= =



79

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



V(+y1 + y2 + y3 + y4) = V(y1) + V(y2) + V(y3) + V(y4)



V( ) = V(y1 + y2 + y3 + y4) = [V(y1) + V(y2) + V(y3) + V(y4)]


V( ) = [V(y1) + V(y2) + V(y3) + V(y4)] = V(yi)

V( ) = V(yi)


soit

51




y 14---⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 14---⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2

y 14---⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 416------⎝ ⎠

⎛ ⎞

y 14---

V y( )V yi( )

n------------=

σy

σyi

n-------=


i 1=

i n=

sum=


80






On a





2 3 4 5 10 20 bull



70 196 138 125 119 110 106 103

90 631 292 235 213 183 173 164

95 1271 43 318 278 226 206 196

99 6366 992 584 460 325 286 258



81

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit




a1 gtgt sa1


a1 ltlt sa1


a1 sa1



V(ai) = K V(e)


V(ai) = V(e)


e = + D + e

σai

2

1n---


82


Et que lrsquoon a

V(e) = V(D) + V(e)







yi = + ri





52




yi

yiˆ

yi


y



2sum+=

ri2sum = ei




83

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






V(ai) = V(e) = V(ri) 53


Remarque 1




Remarque 2


V(r) = V(∆) + V(σ)


Remarque 3





ri = yi ndash

1n pndash----------- ri

2

i 1=

i n=

sum

1n--- 1

n---

yi yndash

y i yndash

y i


84



Remarque 4






y y i yndash



85

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit




Dans cet exemple







des carreacutesddl

Carreacute moyen

Fisher





R2 9653097572---------------- 09893= =


86










1 261 25825 0275

2 222 23 minus08

3 101 11025 minus0925

4 122 1075 145

5 142 1395 025

6 127 12425 0275

7 59 55 04

8 56 6525 minus0925

9 23 22 1

10 201 20575 minus0475

11 24 275 minus035

12 37 3875 minus0175

13 11 12525 minus1525

14 134 124 1

15 05 minus0375 0875

16 17 205 minus035

y



87

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit















+0075 625 + 064 + hellip + 0765 625 + 0122 5 = +1042

9653011 1ndash---------------- 9653=

ri yi yindash=


88







m p-value




104216 11ndash------------------ 2084=

V ai( ) 1n---V ri( ) 1

16------2084 0130 25= = =

σai0130 25 0360 9= =



89

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






Constante 1155 0360 9 32 lt 0000 1





Interaction (12) 0637 5 0360 9 177 0137 6

Interaction (13) 0325 0360 9 090 0409 1

Interaction (14) 035 0360 9 097 0376 7

Interaction (23) 1587 5 0360 9 440 0007 0


Interaction (34) 06 0360 9 166 0157 3



0 30252015105

3

0

ndash 3

Reacutes

idu

s


90





-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

0 5 10 15 20 25 30 35


Reacutes

idu

s

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 5 10 15 20 25 30 35


Reacutes

idu

s

Seacuterie 1



91

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit








10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26005

006

007

008

009

01

011

012

013

014

015

016

017

018

019

02

Vitesse de coupe

Pro

fon

deu

r


15

10

20

5


92




Essai n˚Deacutebit

(1)

Vitesse de coupe

(2)

Profondeur(3)


Reacuteponses

1 650 10 005 05 261

2 800 10 005 05 222

9 650 10 005 1 23

10 800 10 005 1 201


Essai n˚Deacutebit

(1)

Vitesse de coupe

(2)

Profondeur(3)


(4)



21 725 10 005 075 2286 231

22 725 13 005 075 1990 202

23 725 10 009 075 2018 198


1

0Deacutes

irab

iliteacute

11 +1



93

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit









94













95

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit








Niveau +1(mgml)






Essai n˚Na(1)

K(2)

Ca(3)

Mg(4)

Reacuteponse








8 +1 +1 +1 +1 96



+1 Log 250 Log 250 Log 250 Log 250


96









Effet Valeur

Constante 109

Na (1) 13

K (2) minus10

Ca (3) minus1975

Mg (4) 075

Na K (12) + Ca Mg (34) 1

Na Ca (13) + K Mg (24) 025

K Ca (23) + Na Mg (14) 175



97

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit










98






1 = a1 + a234


12 = 34 = a12 + a34










63 Calcul de Box

99

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



63 Calcul de Box


631 Notation de Box


1

1ndash

+11ndash

+1

=


100










2

1ndash

1ndash

+1+1

=

I

+1+1+1+1

= Indash

1ndash

1ndash

1ndash

1ndash

=

1 2times

1ndash

+11ndash

+1

1ndash

1ndash

+1+1

times

+11ndash

1ndash

+1

= =

1 1times

1ndash

+11ndash

+1

1ndash

+11ndash

+1

times

+1+1+1+1

I= = =


63 Calcul de Box

101

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit









On a




2 Itimes

1ndash

1ndash

+1+1

+1+1+1+1

times

1ndash

1ndash

+1+1

2= = =

2 Indash( )times

1ndash

1ndash

+1+1

1ndash

1ndash

1ndash

1ndash

times

+1+1

1ndash

1ndash

2ndash= = =

I Itimes

+1+1+1+1

+1+1+1+1

times

+1+1+1+1

I= = =

1 2times

1ndash

+11ndash

+1

1ndash

1ndash

+1+1

times

+11ndash

1ndash

+1

1ndash

1ndash

+1+1

1ndash

+11ndash

+1



102







I I = I





Essai n˚ I 1 2 3 12 13 23 123








8 + + + + + + + +



103

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit





1 = 23 = a1 + a23






Essai n˚ I 1 2 3 12 13 23 123




8 + + + + + + + +






104






Remarque








2 = 133 = 12



105

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

















106








Essai n˚ I 1 2 12

1 + ndash ndash +

2 + + ndash ndash

3 + ndash + ndash

4 + + + +


Essai n˚ 1 2 3

1 ndash ndash +

2 + ndash ndash

3 ndash + ndash

4 + + +


Essai n˚ 1 2 3

1 ndash ndash ndash

2 + ndash +

3 ndash + +

4 + + ndash



107

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit









661 Plan complet 23



Essai n˚ I 1 2 3 12 13 23 123








8 + + + + + + + +


108





Essai n˚ 1 2 3

1 ndash ndash ndash

2 + ndash ndash

3 ndash + ndash

4 + + ndash

5 ndash ndash +

6 + ndash +

7 ndash + +

8 + + +


Essai n˚ 1 2 3 4 = 123


2 + ndash ndash +

3 ndash + ndash +

4 + + ndash ndash

5 ndash ndash + +

6 + ndash + ndash

7 ndash + + ndash

8 + + + +



109

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






















110





II = 124135I = 2345



1I = 1124 = 1135 = 12345En simplifiant


1 = 24 = 35 = 12345 = a1 + a24 + a35 + a12345


Essai n˚ 1 2 3 4 = 12 5 = 13




4 + + ndash + ndash


6 + ndash + ndash +


8 + + + + +



111

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit




Remarque





4 = 123 5 = 126 = 13 7 = 23



Essai n˚ 1 2 3 4 = 123 5 = 12 6 = 13 7 = 23








8 + + + + + + +


112








1 = a1 2 = a2 et 3 = a3




Plan de base




22 2 1 3

23 3 4 7

24 4 11 15

25 5 26 31

26 6 57 63

27 7 120 127



113

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit










20

15

ndash

ndash

ndash

10

ndash5

0

5

10

15

20

Na (1) K (2) Ca (3) Mg (4) 12 + 34 13 + 24 23 + 14


Val

eur

des

co

effi

cien

ts


114







115

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit




116













-----------------------------------------------------------------=



117

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







5 = 1246 = 234







SO3 dans SO4H2 (2) 0 10






118



Essai n˚Dureacutee

1SO3

2Tempeacuterature

3Eau

4Acide

5 = 124Rapport6 = 234

Reacuteponse






6 +1 minus1 + 1 minus1 +1 +1 1398






12 +1 +1 minus1 +1 +1 minus1 891



15 minus1 +1 +1 +1 minus1 +1 1109

16 +1 +1 +1 +1 +1 +1 986





119

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit








m Confusions


5 = 124 6 = 234

drsquoougrave

I = 1245 I = 2346


I = 1245 = 2346 = 1356


12 = 45 = a12 + a45

13 = 56 = a13 + a56

14 = 25 = a14 + a25

15 = 24 = 36 = a15 + a24 + a36

16 = 35 = a16 + a35

23 = 46 = a23 + a46

26 = 34 = a26 + a34


120


m Valeur des effets



Effet Valeur

Constante 1139







12 = a12 + a45 minus040

13 = a13 + a56 046

14 = a14 + a25 minus045

15 = a15 + a24 + a36 018

16 = a16 + a35 minus011

23 = a23 + a46 minus026

26 = a26 + a34 minus0003



25

15

ndash

ndash

ndash

05

05

15

25

1 2 3 4 5 6

12 +

45

13 +

56

14 +

24

+ 36

16 +

35

23 +

46

26 +

34


Val

eur

des

co

effi

cien

ts



121

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit





122





0 05 1 15 2 25

2

4

5

13 +56

14+25

3

12+35

23+46

1

15+24+36

6

16+35

26+34

No

m d

es c

oef

fici

ents



-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2


Effet

No

rmit

2

4

Droite de Henry



123

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







161

1139

725

Rap

po

rt d

e su

lfo

nat

ion





124






m Reacuteponses





125

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit










Eacutechantillon

Lampe au Xeacutenon




Photomultiplicateur

Enregistreur


B

C

A


126








4 = 123







Gain (5) 1 10

Tension (6) 310 V 460 V




127

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



5 = 12

6 = 23

7 = 13


I = 1234 = 125 = 236 = 137




m Confusions





1234 times 236 times 137 = 3467

125 times 236 times 137 = 567



Essai n˚ 1 2 3 4 = 123 5 = 12 6 = 23 7 = 13








8 + + + + + + +


128



I = 1234 = 125 = 236 = 137 = 345 = 146 = 247 = 12356 = 2357 = 1267 = 2456 = 1457 = 3467 = 567 = 1234567


I = 234 = 125 = 236 = 137 = 345 = 146 = 247 = 567


1 = a1 + a25 + a37 + a46

2 = a2 + a15 + a36 + a47

3 = a3 + a17 + a26 + a45

4 = a4 + a16 + a27 + a35

5 = a5 + a12 + a34 + a67

6 = a6 + a14 + a23 + a57

7 = a7 + a13 + a24 + a56





1 122 55 minus147

2 09 9 minus147

3 533 20 23

4 564 12 minus069

5 389 75 069

6 388 8 04

7 282 13 026

8 233 23 minus391



129

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit











Effet Valeur

0 (constante) 325

1 minus006

2 078

3 minus002

4 minus014

5 0018

6 minus143

7 minus006


130









ndash2

15

ndash1

ndash

ndash

05

0

05

1

15

2

1+25

+37+

46

2+15

+36+

47

3+17

+26+

45

4+16

+27+

35

5+12

+34+

67

6+14

+23+

57

7+13

+24+

56

Nom des aliases

Val

eur

des

alia

ses

564

325

09

Sen

sib

iliteacute






131

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






Effet Valeur


1 minus0931

2 minus0024

3 minus0154

4 minus0111

5 minus0858

6 minus1161

7 minus0183



ndash

ndash

ndash

ndash

2

15

1

05

0

05

1

15

2

1+25+37+46

2+15+36+47

3+17+26+45

4+16+27+35

5+12+34+67

6+14+23+57

7+13+24+56

Nom des aliases

Val

eur

des

alia

ses


132












23

ndash 048

ndash 391

Bru

it d

e fo

nd



Gain (5)


1 0 +1



133

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







Effet Valeur

0 (constante) 1225

1 075

2 475

3 0625

4 2625

5 minus025

6 0375

7 1875



-2

-1

0

1

2

3

4

5

1+25+37+46

2+15+36+47

3+17+26+45

4+16+27+35

5+12+34+67

6+14+23+57

7+13+24+56

Nom des aliases

Val

eur

des

alia

ses


134



















Gain (5) +

Tension (6) ndash +

Amortissement (7)



135

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







2 = a2 + a15 + a36 + a47
















l2 prime2+

2----------------- a2=2 + cent2 l2 prime2+

2----------------- a15 a36 a47+ +=2 ndash cent2


136






12 = a12 + a34 + a67

13 = a13 + a24 + a56

14 = a14 + a23 + a57

15 = a15 + a36 + a47

16 = a16 + a35 + a27

17 = a17 + a26 + a45

25 = a25 + a37 + a46




9 414 35 356

10 318 12 minus241

11 282 14 139

12 274 14 minus19

13 244 8 minus062

14 098 6 minus322

15 566 14 002

16 563 14 minus161



137

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit















12 = 12 + 34 + 67 015 minus020 minus053

13 = 13 + 24 + 56 minus0058 022 028

14 = 14 + 23 + 57 minus0115 minus034 028

15 = 15 + 36 + 47 0007 minus005 072

16 = 16 + 27 + 35 minus010 005 066

17 = 17 + 26 + 45 minus012 030 041

25 = 25 + 37 + 46 0126 038 minus003


138








-2

-1

0

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6 7

12+34+67

13+24+56

14+23+57

15+36+47

16+27+35

17+26+45

25+37+46


Val

eur

des

eff

ets

et d

es

alia

ses


23

114

ndash 35

Seacutel

ecti

viteacute



Balayage (4)

Amortissement (7)

1 0 +1



139

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


















Gain (5) +

Tension (6) ndash +



140






m Reacuteponses








141

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

















Sel (7) g 0 1




142












6 1 1 1 minus1 1 1 minus1 1 1









143

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit












1 504 8

2 539 1

3 458 5

4 554 1

5 533 4

6 501 2

7 504 7

8 498 7

9 492 3

10 506 7

11 449 9

12 457 5



144












Sel (7) minus006 06674


Type (9) minus009 05153


Huile

ndash 25

ndash 15

ndash 05

05

15

25

1 2 3 4 5 6 7 8 9


Va

leu

r d

es

co

effi

cie

nts



145

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







Constante 49 00003







Sel (7) 208 00016

Taille (8) 008 04226

Type (9) minus025 00955


Goucirct

25

15

ndash

ndash

ndash

05

05

15

25

1 2 3 4 5 6 7 8 9


Val

eur

des

co

effi

cien

ts


146




147

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit




148






811 Blocking



1 32 4 75 6 8Essai

Niveau +1

Niveau ndash1



149

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







1 32 4 75 6 8

Niveau a

Niveau b

1 32 4 75 6 8


150








1 32 4 75 6 8

a

bc

f

h

g

de

Essai

1 32 4 75 6 8

a

bc

f

h

g

de

Essai



151

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







m Reacuteponses



1 32 4 75 6 8

a

b

c

Essai



152





m Facteurs








6 = 12345




Lactose (2) 2 3



Glucose (5) 0 05




153

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



m Confusion


6 = 12345 = a6 + a12345


16 = a16 + a2345 26 = a26 + a1345 etc





Essai n˚ 1 2 3 4 5 Bloc = 12345










154



Essai n˚ 1 2 3 4 5 Bloc = 12345

























32 1 1 1 1 1 1





155

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit









Val

eur

des

co

effi

cien

ts



156





Essai n˚Maiumls(1)

Lactose(2)

Preacutecurseur(3)

Nitrate(4)

Glucose(5)

Reacuteponse








24 (3) 1 1 1 minus1 1 79




28 (15) 1 1 minus1 1 1 72


30 (14) 1 minus1 1 1 1 83

31 (8) minus1 1 1 1 1 145

16 (12) 1 1 1 1 minus1 118




157

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






Essai n˚Maiumls(1)

Lactose(2)

Preacutecurseur(3)

Nitrate(4)

Glucose(5)

Reacuteponse




20 (28) 1 1 minus1 minus1 1 98


22 (17) 1 minus1 1 minus1 1 88

23 (30) minus1 1 1 minus1 1 166

8 (20) 1 1 1 minus1 minus1 172


26 (22) 1 minus1 minus1 1 1 114

27 (19) minus1 1 minus1 1 1 140

12 (32) 1 1 minus1 1 minus1 95

29 (21) minus1 minus1 1 1 1 130

14 (27) 1 minus1 1 1 minus1 164

15 (24) minus1 1 1 1 minus1 215

32 (29) 1 1 1 1 1 110



158





Constante 12956

123 minus131






234 minus262

12 minus594 235 275

13 minus606 245 231

14 minus5 345 056

15 262 1234 4

23 444 1235 262

24 minus1 1245 181

25 3 1345 419

34 minus1 2345 106

35 minus105

45 219 12345 631



25

20

15

ndash

ndash

ndash

ndash

ndash

10

5

0

5

10

15

20

25

1 2 3 4 5

12 13 14 15 23 24 25 34 35 45

123

124

125

134

135

145

234

235

245

345

123

4

123

5

124

5

134

5

234

5

123

45


Val

eur

des

co

eff

icie

nts




159

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit





0 5 10 15 20 25

513

3512345

13121423

1345123413525

124145235

123523415

24545

1245134125123

23453424

4345

2



160




6 = 12345


6 = 12345 = a6 + a12345








Peacutenicilline

ndash25

ndash2

ndash15

ndash1

-05

0

05

1

15

2

25


Effet

No

rmit

12345

351

5

3

Effet




161

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







ndash ndash ndash

ndash ndash

1

215

72

0 +1

Po

ids

Maiumls (1)

1 0 +1 1 0 +1

1 0 +1


Nitrate (4)

1 0 +1

Glucose (5)

215

72

Po

ids


162



m Reacuteponses




m Facteurs















163

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



6 = 124 7 = 135


I = 1246 = 1357 = 234567





Terrain 124 135


Bloc 2 +1 minus1

Bloc 3 minus 1 +1

Bloc 4 +1 +1


164













6

4

ndash

ndash

ndash

2

0

2

4

6

1 2 3 4 5

12 13 14 15 23 24 25 34 35 45 123

124

125

134

135

145

234

235

245

345

1234

1235

1245

1345

2345

1234

5


Val

eur

des

co

effi

cie

nts



165

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit











12 1 1 minus1 1 minus1 1 1 4 498




16 1 1 1 1 minus1 1 minus1 2 646






22 1 minus1 1 minus1 1 1 1 4 605


24 1 1 1 minus1 1 minus1 1 3 925




28 1 1 minus1 1 1 1 minus1 2 563


30 1 minus1 1 1 1 minus1 1 3 479


32 1 1 1 1 1 1 1 4 613



166








Constante 5891

123 099



Nitrate (3) 162 134 045



234 054

12 252 235 112

13 166 245 minus087

14 147 345 minus242

15 437 1234 minus031

23 257 1235 minus102



34 minus258 2345 156

35 2175

45 minus021 12345 239



167

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit














-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

1 2 3 4 512 13 14 15 23 24 25 34 35 45

123

124

125

134

135

145

234

235

245

345

1234

1235

1245

1345

2345

1234

5


Val

eur

des

co

effi

cien

ts


168






841 Introduction






Fumure

(Facteur 5)

(Facteur 1)

(Facteur 2)

Potasse

656 716

591

345

706

588

561

547



169

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit










2 y2 ycent2 = y2 + 2h

3 y3 ycent3 = y3 + 3h

4 y4 ycent4 = y4 + 4h

5 y5 ycent5 = y5 + 5h

6 y6 ycent6 = y6 + 6h

7 y7 ycent7 = y7 + 7h

8 y8 ycent8 = y8 + 8h










8 (8) +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 8 h



170














8 (8) +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 8 h




171

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit









m Reacuteponses


m Facteurs






172









(1)Pression

(2)Entrefer

(3)Reacuteponses

01 0 0 0 500

6 (1) + minus + 493

02 0 0 0 460

7 (2) minus + + 410

03 0 0 0 426


04 0 0 0 393


05 0 0 0 363

4 (5) + + minus 434

06 0 0 0 335


07 0 0 0 309


08 0 0 0 285

8 (8) + + + 338

09 0 0 0 263


Niveau 0 50 6 025

Niveau + 60 8 030



173

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






Effet Valeur

Constante 3705


Pression (2) 255


12 minus5825

13 3

23 minus1575

123 minus29

Broyeur

200

250

300

350

400

450

500

550

01 6 02 7 03 3 04 2 05 4 06 1 07 5 08 8 09

Nom de lessai

Po

ids


174







(g)

6 513

7 467

3 492

2 530

4 584

1 438

5 420

8 566


Effet Valeur

Constante 50125


Pression (2) 26


12 075

13 1

23 minus1

123 075



175

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit








(1)Pression

(2)Entrefer

(3)Reacuteponses

1 (1) + ndash + 415

5 (2) ndash + + 358



176




(1)Pression

(2)Entrefer

(3)Reacuteponses


4 (5) + + ndash 433



3 (8) + + + 259


Niveau 0 50 6 025

Niveau + 60 8 030


Effet Valeur

Constante 36875


Pression (2) 825

Entrefer (3) 9

12 5125

13 25

23 22

123 minus13




177

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






Constante 3705 50125 36875


Pression (2) 255 26 825


12 minus5825 075 5125

13 3 1 25





60

40

ndash

ndash

ndash

20

0

20

40

60

1 2 3 12 13 23 123

Nom des effets

Val

eur

des

eff

ets




179

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit




y = a0 + a1x1 + a2x2 + a12x1x2 + a11 + a22 + e






x12 x2

2

x12 x2

2 x32


180





n = nf + na + n0





+1ndash1

+1

ndash1

Facteur 2

Facteur 1

+ α

+α

minus α

minus α



181

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






12

3 4

8

10

7

9

6

11

5

12

13 agrave 15

Facteur 1

Facteur 3

Facteur 2_

__

+

+

+


182






0866 =

1 0 0

2 + 1 0

3 + 05 + 0866

4 minus 05 + 0866

5 minus 1 0


7 + 05 minus 0866

+ 1

ndash 1

+ 1

- 1

ndash 0866

+ 1

+ 0866

ndash 05 + 051

5

6

4 3

2

7

x2

x1

32

--------



183

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







8 +15 minus0866

9 +2 0

10 +15 +0866

ndash 1

+ 1+ 1

- 1ndash 0866

+ 1

+ 08661

5

6

4

3

2

7

x1

x2


184








+ 1

ndash 1

- 1

ndash 0866

+ 1

+ 0866

ndash 05 + 051

5

6

43

2

7

10

9

8

x2

x1



185

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit








m Facteurs








AvanceMeule

Rotation

Rugositeacute

Pic


186












Niveaundash1

Niveau0

Niveau+1

Niveau+121


Vitesse de coupe (2) 1395 15 20 25 2605


Essai n˚Avance

(1)Coupe



2 +1 minus1 282 684

3 minus1 +1 120 653

4 +1 +1 91 961

5 0 0 233 638

6 0 0 235 619

Niveau ndash1 09 15

Niveau 0 165 20

Niveau 1 24 25



187

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit








y0 = = 234 plusmn 3 = 234 plusmn 424




Constante 17175 769

Avance (1) 1475 535


12 minus2925 1005


2

4-------times

233 235+2

------------------------ 2

2-------times

0

005

01

015

02

025

03

035

04

045

160 165 170 175 180 185 190 195 200 205 210 215 220 225 230 235 240 245 250

Reacuteponses

Den

siteacute

de

freacuteq

uenc

e


188









tacirc0 y0ndash

σa0

2 σy0

2+------------------------ 17175 ndash 234

1 2

+------------------------------- 6225

1732 ------------- 3594 = = = =

α nf1 4frasl=


2

4--------------------------------------------------------------

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

14---

=



189

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit




α

=


Tableau 96

ndash Valeur de

α


n

f

) en eacutetoile (

n

α

) et centraux (

n

0


Nombre de facteurs

2 3 4 5 5 6 6

Plan

2

2

2

3

2

4

2

5-1

2

5

2

6-1

2

6

n

f

4 8 16 16 32 32 64

n

α

4 6 8 10 10 12 12

n

0

= 1

1 1215 1414 1547 1596 1724 1761

n

0

= 2

1078 1287 1483 1607 1662 1784 1824

n

0

= 3

1147 1353 1547 1664 1724 1841 1885

n

0

= 4

1210 1414 1607 1719 1784 1896 1943

Tableau 97


Essai n˚Avance

1Coupe

2Rugositeacute

times

1 000 Pics

7

minus

121 0 154 523

8 +121 0 195 604

9 0

minus

121 278 870

10 0 +121 122 957

11 0 0 232 615

12 0 0 230 605


Niveau 0 165 20

Niveau +121 256 2605


190





m

Modeacutelisation


y

= a0 + a1x1 + a2x2 + a12x1x2 + a11 + a22 + e



yPics = 621 + 45x1 + 37x2 + 100x1x2 ndash 43 + 196








a1 157 45

a2 minus655 37

a12 minus292 10


a22 minus218 196

x12 x2

2

x12 x2

2

x12 x2

2



191

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit





Nombre de pics

3

25

2

15

ndash

ndash

ndash

ndash

ndash

ndash

1

ndash

ndash

ndash

05

0

05

1

15

2

25

3

50 60 70 80 90 100


Reacutes

idu

sR

eacutesid

us

Rugositeacute

3

25

2

15

1

ndash

ndash

ndash

05

0

05

1

15

2

25

3

80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300



192








Avance (1)ndash15

ndash1

ndash05

0

05

1

Coupe (2)

50100150

200250Rugositeacute


50100

100 150

200

250

ndash15

ndash1

ndash05

0

05

1Avance (1)

ndash15

ndash1

ndash05

0

05

1

Coupe (2)

40

60

80

100

120

140Pics

40

60

80

100

120

140 Pics

50

70

70

90

90110

130



193

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit












Avance (1)

ndash12

ndash08

ndash04

0

04

08

12

Vitessede coupe

(2)

14

16

18

20

22

24

26

075 09 105 12 135 15 165 18 195 21 225 24 255

50

100100

150

200

250

50

60

60

70

70

80

80

90100


194














EAU

LACTOSE

+EAU

STABILISANT




195

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



m Facteurs







m Reacuteponses






Dilution (1) 05 2

pH (2) 6 5



196






Essai n˚Dilution

(1)pH(2)

Concentration(3)

Reacuteponses


2 (9) + ndash 0 426

3 (7) ndash + 0 422

4 (12) + + 0 504


6 (2) ndash 0 + 415

7 (13) + 0 ndash 413

8 (10) + 0 + 408

9 (4) 0 ndash + 352

10 (11) 0 + ndash 353


12 (14) 0 + + 398

13 (1) 0 0 0 508

14 (8) 0 0 0 501

15 (15) 0 0 0 494


Niveau 0 125 55 2

Niveau +1 2 5 25



197

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



m Modeacutelisation











a13 minus032

a1 minus007 a23 220

a2 minus011 a11 007

a3 006 a22 minus355

a33 minus910






x12 x2

2 x32

x12 x2

2 x32


198











ndash1

075

ndash05

ndash

ndash

025

0

025

05

075

1

30 35 40 45 50 55


Reacute

sid

us

x2 = 061ndash

x3 = 005ndash



199

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit













Dilution 05

ndash 1

ndash 05

0

05

1

Co

nce

ntr

atio

n (

3)

3540

4040

4550


200









m Reacuteponses











Knock down (2) 01 04 07




201

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







(1)Knock down

(2)Synergiste

(3)KT50 M24

1 0 0 0 11 75

2 +1 0 0 15 57

3 +05 +0866 0 11 56

4 minus05 +0866 0 6 65

5 minus1 0 0 8 60

6 minus05 minus0866 0 14 66

7 +05 minus0866 0 15 72

8 0 0 0 10 75

9 minus05 +0289 +0816 2 91

10 0 minus0577 +0816 8 99

11 +05 +0289 +0816 10 81


13 0 +0577 minus0816 8 81

14 +05 minus0289 minus0816 11 80

15 0 0 0 12 74


Niveau 0 003 04 1

Niveau +1 005 07 2


202





Constante a0 747 11

a1 minus14 35

a2 minus48 minus332

a3 77 minus204

a12 minus87 231

a13 minus79 408

a23 minus98 071

a11 minus162 050

a22 minus78 050

a33 20 minus425


M 24

KT 50

2

ndash 5

ndash 4

ndash 3

ndash 2

ndash 1

0

1

2

3

4

5

0

15

ndash

ndash

ndash

10

ndash5

0

5

10

15

20

1 2 3 12 13 23

23

11 22 33

1 2 3 12 13 11 22 33


Val

eur

des

co

effi

cien

ts



203

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


m Modeacutelisation





+ 050 + 050 ndash 425



x12 x2

2 x32

x12 x2

2 x32

ndash ndash ndash1

100

0 1

50

M 2

4

1 0 1 08 08

75

0

ndash ndash ndash1

15

0 1

5

KT

50

1 0 1


08 08

10

0


204












yKT50 = 66 + 68x1 ndash 27x2 + 23x1x2


M 24

ndash1

ndash 075

ndash 05

ndash 02 5

0

025

05

075

1

50 60 70 80 90 100

KT 50

ndash 10

ndash 05

00

05

10

0 5 10 15 20


Reacutes

idu

s

x12 x2

2



205

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit





ndash 1

ndash 05

0

05Insecticide (1)

ndash 1

ndash 05

0

05

Knock down (2)

40

60

80

100M24

40

60

80

100 M24

5060

70

80

90

ndash1

ndash05

0

05Insecticide (1)

ndash1

ndash05

0

05

Knock down (2)

ndash10

ndash5

5

10

15KT50

ndash10

ndash5

5

10

15 KT50-4-2

024

6 8 10 12


206







Insecticide (1)

ndash 1

ndash 05

0

05

1

Knock down (2)

01

02

03

04

05

06

07

001 002 003 004 005

0

5 10

50

60

7080

90


207

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit





208











xi

i 1=

i n=

sum 100 =

xi

i 1=

i n=

sum 1=

Produit A

Meacutelange

Produit B

050025 075 100000

050

025

075

100

x a

xb



209

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit









Produit B

Produit A

Meacutelange 1

Meacutelange 2

000 050025 075 100

050

025

075

100B

A




000 050025 075 100

000025050075100

AB


210









000 050025 075 100

000025050075100

Meacutelange 1

Meacutelange 2

AB



211

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit











Meacutelange

050 025075100 000

100

075

050

050

025

025075

100000

000A

B C

M



ax

xb

cx

b

c

a

Produit A

Produit B

Produit D

Produit C

Meacutelange


212








A

B C



213

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







A

B C

4 5

6


m( ) q 1ndash( )------------------------------=

A

B C


214






N = 2q ndash 1


N = 23 ndash 1 = 8 ndash 1 = 7





A

B C

4 5

6

7



215

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 101


x1 + x2 + x3 = 1


y = a0(x1 + x2 + x3) + a1x1 + a2x2 + a3x3


y = (a0 + a1)x1 + (a0 + a2)x2 + (a0 + a3)x3


b1 = a1 + a0 b2 = a2 + a0 b3 = a3 + a0


y = b1x1 + b2x2 + b3x3 102



A

B C

4 5

6

9

8

10

7


216





y = a1x1 + a2x2 + a12x1x2 + a11 + a22 103


x1 + x2 = 1


x1 = 1 ndash x2


= x1(1 ndash x2)

= x1 ndash x1x2


y = b1x1 + b2x2 + b12x1x2 104









x12 x2

2

x12

x12



217

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






m Reacuteponse




m Plan



1

32

4 5

6

7

8

9 10




218









(1)Polystyregravene


(3)Reacuteponses

1 1 0 0 32

2 0 1 0 25

3 0 0 1 42

4 12 12 0 38

5 12 0 12 39

6 0 12 12 305

7 13 13 13 37

8 23 16 16 37

9 16 23 16 32

10 16 16 23 38


Coefficient Valeur

b1 32

b2 25

b3 42

b12 38

b13 8

b23 minus12

b123 6



219

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit











8 37 3738

9 32 3222

10 38 3822


0

02

04

0802

04

06

08

1

0020406081

06

10



40

38

38

36

36

32

28


220





221

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







222



ma = p1 + s


mb = p2 + s




ma + mb = p1

ma ndash mb = p2

drsquoougrave


ma12--- p1 p2+( )=




223

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit








+pa _____ 0 _____ minuspa

+1 _____ 0 _____ minus1


V ma( ) 14--- V p1( ) V p2( )+[ ]=

14--- σ2 σ2+[ ]=

12---σ2=

σ 2frasl


224



+pb _____ 0 _____ minuspb






111






Essai n˚A

Facteur 1B


1 +1 0 10

2 0 +1 25

Effet 10 g 25 g

X 1 00 1

=

X 1 11ndash 1

=


113 Optimaliteacute

225

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






et


Essai n˚A

Facteur 1B


1 +1 +1 35 g

2 ndash1 +1 15 g

Effet 10 g 25 g


A

XprimeX XprimeX

XprimeX

X 1 00 1

= XprimeX 1=


226

113 Optimaliteacute



et









x

minus

1 ou +1 la matrice

de rang

n



X 1 11ndash 1

= XprimeX 4=

XprimeX

X

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

=

XprimeXXprimeX 1=

X

1 1 0 01ndash 1 0 0

0 0 1 10 0 1ndash 1

=

XprimeXXprimeX 16=

XprimeXXprimeX nn=


113 Optimaliteacute

227

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit












Dans ce cas


XprimeX

XprimeX

XprimeX nn=

X

0556 0696 0346 07870607 0039 0499 00170267 0975 0770 06380409 0368 0061 0421

=

XprimeX 0001 6=



228

113 Optimaliteacute

Tabl

eau

113

ndash D

eacutetai

l de

lrsquoalg

orit

hme

drsquoeacutec

hang

es (p

eseacutee

s de

4 o

bjet

s)

Iteacuter

atio

nM

atri

ce X

|Xprime X

| ave

c minus1

|Xprime X

| ave

c +1

Vale

ur d

e su

bsti

tuti

onN

ouve

lle m

atri

ce X

10

027

2 times

10minus5

minus1

20

332

000

8minus1

30

187

041

81

40

024

049

71

hellipet

ain

si d

e su

ite

jusq

ursquoau

x de

ux d

erni

egraveres

lign

es

1532

187

1

1664

256

1

X

055

60

696

034

60

787

060

70

039

049

90

017

026

70

975

077

00

638

040

90

368

006

10

421

=X

ndash

10

696

034

60

787

060

70

039

049

90

017

026

70

975

077

00

638

040

90

368

006

10

421

=

X

ndash

10

696

034

60

787

060

70

039

049

90

017

026

70

975

077

00

638

040

90

368

006

10

421

=X

ndash 1

ndash

10

346

078

70

607

003

90

499

001

70

267

097

50

770

063

80

409

036

80

061

042

1

=

X

ndash

1ndash

10

346

078

70

607

003

90

499

001

70

267

097

50

770

063

80

409

036

80

061

042

1

=X

ndash

1ndash

11

078

70

607

003

90

499

001

70

267

097

50

770

063

80

409

036

80

061

042

1

=

X

ndash

1ndash

11

078

70

607

003

90

499

001

70

267

097

50

770

063

80

409

036

80

061

042

1

=X

ndash

1ndash

11

10

607

003

90

499

001

70

267

097

50

770

063

80

409

036

80

061

042

1

=

X

ndash

1ndash

11

11

ndash

11

ndash

1ndash

11

1ndash

11

10

061

042

1

=X

ndash

1ndash

11

11

ndash

11

ndash

1ndash

11

1ndash

11

11

042

1

=

X

ndash

1ndash

11

11

ndash

11

ndash

1ndash

11

1ndash

11

11

042

1

=X

ndash

1ndash

11

11

ndash

11

ndash

1ndash

11

1ndash

11

11

1

=



229

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



4



=



=


=


=

256



y

=

a

0

+ a

1

x

1

+ a

2

x

2

+ a

12

x

1

x

2


X


F



X


1ndash 1 1 1ndash

1 1 1 1

=

XprimeX


F

r1 r2

r3 r4

r5 r6

r7 r8

=


230







X

1 r1 r2 r1r2

1 r3 r4 r3r4

1 r5 r6 r5r6

1 r7 r8 r7r8

=

F

0736 04140239 01240328 07700318 0723

=

X

1 0736 0414 03051 0239 0124 00301 0328 0770 02521 0318 0723 0230

=

X


1 1 1ndash 1ndash

1 1 1 1

=


231


Tabl

eau

114

ndash D

eacutetai

l de

lrsquoalg

orit

hme

drsquoeacutec

hang

es (p

lan

de 2

fac

teur

s)

Iteacuter

atio

nF

|Xprime X

| ave

c minus1

|Xprime X

| ave

c +1

Vale

ur d

e su

bsti

tuti

onN

ouve

lle m

atri

ce X

11

6 times

10minus5

55

times 10

minus5minus1

25

6 times

10minus4

66

times 10

minus6minus1

hellipet

ain

si d

e su

ite

jusq

ursquoau

x de

ux d

erni

egraveres

lign

es

70

190

1

80

256

1

F

073

60

414

023

90

124

032

80

770

031

80

723

=X

1ndash

10

414

ndash 0

414

10

239

012

40

030

10

328

077

00

252

10

318

072

30

230

=

F

ndash

10

414

023

90

124

032

80

770

031

80

723

=X

1ndash

1ndash

11

10

239

012

40

030

10

328

077

00

252

10

318

072

30

230

=

F

ndash

1ndash

1ndash

11

1ndash

10

318

072

3

=X

1ndash

1ndash

11

1ndash

11

ndash

11

1ndash

1ndash

11

10

723

072

3

=

F

ndash

1ndash

1ndash

11

1ndash

11

072

3

=X

1ndash

1ndash

11

1ndash

11

ndash

11

1ndash

1ndash

11

11

1

=


232











3


Tableau 115



minus

1

minus

1

minus

1

1

minus

1

minus

1

minus

1 1

minus

1

1 1

minus

1

minus

1

minus

1 1

1

minus

1 1

minus

1 1 1

1 1 1



233

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit





0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

Tableau 116



minus

1

minus

1

minus

1

1

minus

1

minus

1

minus

1 1

minus

1

1 1

minus

1

minus

1

minus

1 1

minus1 minus1 1

1 minus1 1

1 minus1 1

minus1 1 1

minus1 1 1

1 1 1

1 1 1



234








1 minus1 minus1

minus1 minus1 1

minus1 1 minus1

0 1 0

1 1 1

minus1 0 1

1 minus1 1

minus1 1 1

1 0 0

1 1 minus1


0 0 minus1



a0 0819 a13 0119

a1 0111 a23 0125

a2 0123 a11 0836

a3 0111 a22 0523

a12 0125 a33 0836

x12 x2

2 x32



235

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



















236









Essai n˚Nombre



(2)

Calibre des fils

(3)Sensibiliteacute




4 +1 +1 minus1 339


6 +1 minus1 +1 459

7 minus1 +1 +1 067

8 +1 +1 +1 429

9 0 0 0 27

10 0 0 0 276



237

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






Essai n˚Nombre



(2)

Calibre des fils

(3)Sensibiliteacute

11 0 0 0 321

12 0 0 0 197


Niveau +1 180 114 48



Constante 2659 0128 2073 lt 00001



Calibre fils (3) 0106 0157 068 05360

a12 0064 0157 041 07057

a13 0124 0157 079 04750

a23 0149 0157 095 03974

a123 0071 0157 045 06738



238













Constante 2659 0110 2416 lt 00001



Calibre fils (3) 0106 0135 079 04533


Essai n˚Nombre










239

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit




Essai n˚Nombre





6 minus1 1 1 0670



9 1 minus1 1 4590

10 1 1 minus1 3402

11 1 1 minus1 3378

12 1 1 1 4290


Niveau +1 180 114 48



Constante 2659 0137 1946 lt 00001



Calibre des fils (3) 0106 0137 078 04802

a12 0064 0137 047 06651

a13 0124 0137 091 04163

a23 0149 0137 109 03375

a123 0071 0137 052 06296



240











Constante 2659 0122 2180 lt 00001



Calibre des fils (3) 0106 0122 087 04090



241

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit




M Reacuteponses












242









bi = a0i + a1i z1 + a2i z2




0

02

04

0802

04

06

08

1

0020406081

06

10

Amidon

Lactose Cellulose

10

1

5

32

7 6

48

9

11



243

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






Essai n˚Amidon

(x1)Lactose

(x2)Cellulose

(x3)Cadence

(z1)Pression


1 05 0 05 1 1 112 1943

2 05 025 025 0 0 047 2160

3 0 0 1 minus1 minus1 252 2545

4 0 1 0 1 1 346 1060

5 05 05 0 minus1 1 049 1588

6 05 05 0 1 minus1 042 2628

7 0 0 1 1 minus1 227 2796

8 025 035 04 minus1 minus1 051 2619

9 025 0375 0375 1 1 180 1456

10 0 1 0 1 minus1 042 2605

11 025 0 075 1 minus1 031 2810

12 025 0 075 0 1 287 1494

13 0 05 05 minus1 1 525 1266

14 025 075 0 0 minus1 019 2483

15 05 05 0 1 1 038 1820

16 0 1 0 minus1 minus1 091 2162

17 05 05 0 minus1 minus1 053 2182

18 0 1 0 minus1 1 312 901

19 05 0 05 1 minus1 041 2781

20 0 05 05 minus1 minus1 149 2437


244




Essai n˚Amidon

(x1)Lactose

(x2)Cellulose

(x3)Cadence

(z1)Pression


21 05 0 05 minus1 minus1 007 2583

22 05 0 05 minus1 1 116 1693

23 0 05 05 1 1 535 959

24 0 0 1 minus1 1 709 832

25 0 0 1 1 1 739 1065

26 025 075 0 minus1 0 034 1849

27 0 05 05 1 minus1 149 2329

28 025 075 0 1 0 072 2055



a01 484 481 1804 1835

a02 199 199 1684 1684

a03 480 480 1810 1809

a012 minus1180 minus1171 1257 1193

a013 minus1669 minus1661 1766 1705

a023 minus001 003 011 -003

a11 005 012 734 715




245

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit




a12 004 000 154 152

a13 000 000 120 120




a21 094 089 minus016 007

a22 131 131 minus704 minus702

a23 245 245 minus860 minus860



a223 minus001 minus002 587 580




-20

-15

-10

-5

0

5

10

a01

a02

a03

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a01

2a0

13

a02

3a1

12

a11

3a1

23

a21

2a2

13

a22

3


Val

eur

des

co

effi

cien

ts


246







-2000

-1500

-1000

-500

000

500

1000

1500

2000

a01

a02

a03

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a01

2a0

13

a02

3a1

12

a11

3a1

23

a21

2a2

13

a22

3


Val

eur

des

co

effi

cien

ts

Amidon


02

04 06

08

1

0020406081

17

22

17

22

17

22

17

22

17

22

17

22



247

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






Amidon

Lactose Cellulose

0

02

04 06

08

1

0020406081

5

35

3

Coheacutesion

3

Cadence

Pression

0 1ndash1

0

ndash1

1

17

22

5

3


248









+ 1

+ 10 Facteur 1

Facteur 2

0

x1

x2

---- 1=



249

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit













0 70 200 455 43

1 80 240 44 395

2 75 224 41 40

3 61 160 46 49

4 60 160 45 495


250












Constante 41875 3716 1127 00004



a12 2625 448 059 05898


Essai n˚


Agitation (trmin)



1 80 240 417 332 agrave 503

2 75 224 405 319 agrave 49

3 61 160 475 389 agrave 560

4 60 160 4725 387 agrave 558



251

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit






Agitation (2)

200

240

160

220

180

756560 8070

XprimeX


252









5 60 240 595 60

6 80 160 24 21


Agitation (2)

220

180

65 7570200

8060

240

160



253

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit








Constante 4262 0659 6469 lt 00001


Agitation (2) 749 0702 1066 lt 00001

a12 175 0737 238 00447



Agitation (trmin)



1 80 240 4078 348 agrave 468

2 75 224 4210 366 agrave 476

3 61 160 467 41 agrave 524

4 60 160 479 422 agrave 537

5 60 240 594 532 agrave 657

6 60 160 223 16 agrave 285


254





60

40

20

Ren

dem

ent




6 87 200 240160


255

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







121


yi y ai ei+ +=

yiy


256




aJ + aL + aS = 0








aiei

yi y ai ei+ +=


ai2 ei

2sum+sum=

a

y

a

a

130

y

y

y

J

J

LL

s

s

120

90

180


y 13--- 90 120 180+ +( ) 130= =









257

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit










a2 13--- aJ

2 aL2 aS

2+ +[ ]=

a2 1n--- ai

2

i 1=

i n=

sum=

3 a2sum aJ2 aL

2 aS2+ + 40ndash( )2 10ndash( )2 50( )2+ + 4 200= = =

a2 13--- 4 200times 1 400= =

a 3741=

Personne

Employeur

Jacques SimonLee

B

A

C


258






122



Essai n˚Personne

(1)Employeur

(2)Salaire

1 Jacques A 85

2 Jacques B 93

3 Jacques C 92

4 Lee A 116

5 Lee B 121

6 Lee C 123

7 Simon A 174

8 Simon B 182

9 Simon C 184


a

y

a

a

130

y

y

y

J

J

L

L

s

s

120

90

180

184

174

182

116

121123

9293

85

Simon

Lee

Jacques


yi j



259

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



aJ + aL + aS = 0bA + bB + bC = 0


123









y

yJ

yJ13--- yJ A yJ B yJ C+ +[ ]=







y

y 19--- 85 93 92 116 121 123 174 182 184+ + + + + + + +[ ] 130= =

yJ




260








Facteurs Valeurs

Moyenne 130

Jacques minus40

Lee minus10

Simon 50

Entreprise A minus5

Entreprise B 2

Entreprise C 3



60

40

ndash

ndash

ndash

20

0

20

40

60


Nom des effets

Val

eur

des

eff

ets





261

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit




(Tableau 123)








1 85 130 minus45 2 025

2 93 130 minus37 1 369

3 92 130 minus38 1 444

4 116 130 minus14 196

5 121 130 minus9 81

6 123 130 minus7 49

7 174 130 44 1 936

8 182 130 52 2 704

9 184 130 54 2 916






1 90 130 minus40 1 600

2 90 130 minus40 1 600

3 90 130 minus40 1 600

4 120 130 minus10 100

5 120 130 minus10 100

6 120 130 minus10 100

7 180 130 50 2 500

8 180 130 50 2 500

9 180 130 50 2 500

yi j yndash( )2sum

ai2sum


262















1 125 130 minus5 25

2 132 130 2 4

3 133 130 3 9

4 125 130 minus5 25

5 132 130 2 4

6 133 130 3 9

7 125 130 minus5 25

8 132 130 2 4

9 133 130 3 9

bj2sum

ei j2sum










ei j2sum eJA

2 eJB2 eJC

2 eLA2 eLB

2 eLC2 eSA

2 eSB2 eSC

2+ + + + + + + +=




263

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit









Personnes 12 600

Entreprises 114

Reacutesidus 6




Modegravele 12 714 4 3 17850 2 119



12 720 8


264









a

c

b

a

a

b

b

c

c


1 2 3

I

I I

I I I




265

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit








b

a

c


1 2 3I

I I

I I I

a

cba

a

b

b

c

c

d

d

d

d b

a

c




1 2 3

I

I I

I I I

IV

4


266




a

cba

a

b

b

c

cd

d

d

d b

a

c

χδ α β

δα

β

χδα β

χ

δ α

β

χ




1 2 3

I

I I

I I I

IV

4





1 2 3I

I I

I I I

54 6 7

VI I

VI

V

IV




267

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit













1 2 3

I

I I

I I I

54 6 7

VI I

IV

VI

V


268







Essai n˚Forme

(1)Vitesse

(2)Profondeur

(3)Reacutesistance


2 ndash 0 0 202

3 ndash + + 270

4 0 ndash 0 87

5 0 0 + 106

6 0 + ndash 74

7 + ndash + 623

8 + 0 ndash 708

9 + + 0 861





Facteurs Effet

Moyenne 345

Cocircne minus256

Cylindre minus13

Disque 386



269

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



Facteurs Effet



Vitesse rapide 57







des carreacutesddl

Carreacutes moyens

F de Fisher

Probabiliteacute

Formes 6 9404467 2 3 47022335 6940 00142

Vitesse 1765800 2 8829 176 03616

Profondeur 708067 2 3540335 0708 05855




100

50

0

Reacutes

ista

nce


Cocircn

e

Cyl

indr

e

Dis

que

For

te

Lent

e

Rap

ide

Moy

enne

Fai

ble

Moy

enne

25

75


270





271

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit









272







Facteurs




Faut -il randomiser




Eacutetudie-t-on

t-on


Choix du plan

Nombre de facteurs


Ordre des essais



Examen critique

Suite agrave donner

Valeurs suspectes







Nouveaux facteurs

Nouveau domaine

Nouveau modegravele

Nouveau domaine


Nouveau modegravele

NON + NON + NON

OUI ou OUI ou OUI

Arrecirct




273

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit




m Facteurs



m Domaine


m Reacuteponse(s)





274














275

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit















276







1313 Choix du plan






277

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit













278















279

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit
















280


135 Recommandations














281

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit








282











283

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit


m Choisir le plan







284









285

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit









286



m Plan






287

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit










Nomdes facteurs


Variables continues

Variableordonnables


288












289

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit











290










291

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit







292






293

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit









294







Annexes



297

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit




J Goupy

2 3






5 6




7 7





298



9 8















16 11





18 11




J Goupy


299

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit














y1

y11n1

----- y1 i

i 1=

i n1=

sum=


i 1=

i n1=

sum=

y2


j 1=

j n2=

sum=

y1 y2

∆ y1 y2ndash=

V ∆( ) V y2( ) V y1( )+=

σ∆ V ∆( ) V y2( ) V y1( )+= =


300




m Hypothegraveses


∆σ∆------

y1 y2ndash

V y1 y2ndash( )----------------------------=


301

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit




1 1 4 6 7 8 5 3 2

2 1 4 7 6 8 5 2 3

3 1 4 8 5 6 7 3 2

4 1 4 8 5 7 6 2 3

5 1 6 4 7 8 3 5 2

6 1 6 7 4 8 3 2 5

7 1 6 8 3 4 7 5 2

8 1 6 8 3 7 4 2 5

9 1 7 4 6 8 2 5 3

10 1 7 6 4 8 2 3 5

11 1 7 8 2 4 6 5 3

12 1 7 8 2 6 4 3 5

13 1 8 4 5 6 3 7 2

14 1 8 4 5 7 2 6 3

15 1 8 6 3 4 5 7 2

16 1 8 6 3 7 2 4 5

17 1 8 7 2 4 5 6 3

18 1 8 7 2 6 3 4 5

19 2 3 5 8 7 6 4 1

20 2 3 7 6 5 8 4 1

21 2 3 7 6 8 5 1 4

22 2 3 8 5 7 6 1 4


302


Annexes


23 2 5 3 8 7 4 6 1

24 2 5 7 4 3 8 6 1

25 2 5 7 4 8 3 1 6

26 2 5 8 3 7 4 1 6

27 2 7 3 6 5 4 8 1

28 2 7 3 6 8 1 5 4

29 2 7 5 4 3 6 8 1

30 2 7 5 4 8 1 3 6

31 2 7 8 1 3 6 5 4

32 2 7 8 1 5 4 3 6

33 2 8 3 5 7 1 6 4

34 2 8 5 3 7 1 4 6

35 2 8 7 1 3 5 6 4

36 2 8 7 1 5 3 4 6

37 3 2 5 8 6 7 4 1

38 3 2 6 7 5 8 4 1

39 3 2 6 7 8 5 1 4

40 3 2 8 5 6 7 1 4

41 3 5 2 8 6 4 7 1

42 3 5 6 4 2 8 7 1

43 3 5 6 4 8 2 1 7

44 3 5 8 2 6 4 1 7

45 3 6 2 7 5 4 8 1

46 3 6 2 7 8 1 5 4

47 3 6 5 4 2 7 8 1

48 3 6 5 4 8 1 2 7

49 3 6 8 1 2 7 5 4

50 3 6 8 1 5 4 2 7

51 3 8 2 5 6 1 7 4

52 3 8 5 2 6 1 4 7

53 3 8 6 1 2 5 7 4

54 3 8 6 1 5 2 4 7



303

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

Annexes


55 4 1 5 8 6 7 3 2

56 4 1 5 8 7 6 2 3

57 4 1 6 7 5 8 3 2

58 4 1 7 6 5 8 2 3

59 4 5 1 8 6 3 7 2

60 4 5 1 8 7 2 6 3

61 4 5 6 3 1 8 7 2

62 4 5 6 3 7 2 1 8

63 4 5 7 2 1 8 6 3

64 4 5 7 2 6 3 1 8

65 4 6 1 7 5 3 8 2

66 4 6 5 3 1 7 8 2

67 4 6 5 3 7 1 2 8

68 4 6 7 1 5 3 2 8

69 4 7 1 6 5 2 8 3

70 4 7 5 2 1 6 8 3

71 4 7 5 2 6 1 3 8

72 4 7 6 1 5 2 3 8

73 5 2 3 8 4 7 6 1

74 5 2 4 7 3 8 6 1

75 5 2 4 7 8 3 1 6

76 5 2 8 3 4 7 1 6

77 5 3 2 8 4 6 7 1

78 5 3 4 6 2 8 7 1

79 5 3 4 6 8 2 1 7

80 5 3 8 2 4 6 1 7

81 5 4 2 7 3 6 8 1

82 5 4 2 7 8 1 3 6

83 5 4 3 6 2 7 8 1

84 5 4 3 6 8 1 2 7

85 5 4 8 1 2 7 3 6

86 5 4 8 1 3 6 2 7


304


Annexes


87 5 8 2 3 4 1 7 6

88 5 8 3 2 4 1 6 7

89 5 8 4 1 2 3 7 6

90 5 8 4 1 3 2 6 7

91 6 1 3 8 4 7 5 2

92 6 1 3 8 7 4 2 5

93 6 1 4 7 3 8 5 2

94 6 1 7 4 3 8 2 5

95 6 3 1 8 4 5 7 2

96 6 3 1 8 7 2 4 5

97 6 3 4 5 1 8 7 2

98 6 3 4 5 7 2 1 8

99 6 3 7 2 1 8 4 5

100 6 3 7 2 4 5 1 8

101 6 4 1 7 3 5 8 2

102 6 4 3 5 1 7 8 2

103 6 4 3 5 7 1 2 8

104 6 4 7 1 3 5 2 8

105 6 7 1 4 3 2 8 5

106 6 7 3 2 1 4 8 5

107 6 7 3 2 4 1 5 8

108 6 7 4 1 3 2 5 8

109 7 1 2 8 4 6 5 3

110 7 1 2 8 6 4 3 5

111 7 1 4 6 2 8 5 3

112 7 1 6 4 2 8 3 5

113 7 2 1 8 4 5 6 3

114 7 2 1 8 6 3 4 5

115 7 2 4 5 1 8 6 3

116 7 2 4 5 6 3 1 8

117 7 2 6 3 1 8 4 5

118 7 2 6 3 4 5 1 8



305

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

Annexes






119 7 4 1 6 2 5 8 3

120 7 4 2 5 1 6 8 3

121 7 4 2 5 6 1 3 8

122 7 4 6 1 2 5 3 8

123 7 6 1 4 2 3 8 5

124 7 6 2 3 1 4 8 5

125 7 6 2 3 4 1 5 8

126 7 6 4 1 2 3 5 8

127 8 1 2 7 3 6 5 4

128 8 1 2 7 5 4 3 6

129 8 1 3 6 2 7 5 4

130 8 1 3 6 5 4 2 7

131 8 1 5 4 2 7 3 6

132 8 1 5 4 3 6 2 7

133 8 2 1 7 3 5 6 4

134 8 2 1 7 5 3 4 6

135 8 2 3 5 1 7 6 4

136 8 2 5 3 1 7 4 6

137 8 3 1 6 2 5 7 4

138 8 3 1 6 5 2 4 7

139 8 3 2 5 1 6 7 4

140 8 3 5 2 1 6 4 7

141 8 5 1 4 2 3 7 6

142 8 5 1 4 3 2 6 7

143 8 5 2 3 1 4 7 6

144 8 5 3 2 1 4 6 7


306


Annexes



Seacuteries miroir

Facteur(1)

Facteur(2)

Facteur(3)

Facteur(4)

Blockingsur 134


4 + + ndash + ndash

7 ndash + + + ndash





8 + + + ndash ndash

8 + + + + +



3 ndash + ndash + +


7 ndash + + ndash +

4 + + ndash ndash +

6 + ndash + + +


307

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit



m Deacutefinitions

M Matrice







M Matrice ligne


M Matrice colonne


a b cd e f


308


Annexes

M



M



M



m


M



a

ii


M



a

ij


a

ji

a

ij

=

a

ji

Exemple

M



a

ij


a

ji


a

ij

=

ndash

a

ji

Exemple

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

1 2 3

2 1 4 3 4 1

0 2 3 2 ndash 0 4

3 ndash 4 ndash 0



309

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

Annexes

M

Matrice uniteacute


I

=

M



M



M

Matrice diagonale


m


M



M



et

Leur somme est

La matrice

M

3


M

1

et

M

2

M 1 + M 2 = M 3

1 0 0

0 1 0 0 0 1

M1a11 a12 a13

a21 a22 a23

= M2b11 b12 b13

b21 b22 b23

=

M1 M2+a11 b11+ a 12 b 12 + a 13 b 13 +

a

21

b

21

+ a 22 b 22 + a 23 b 23 + M

3

= =


310


Annexes

M

Soustraction


M

Matrice zeacutero


M



M



A

par une matrice

B

donne une matrice

C

A B

=

C


A


B

Si lrsquoordre de

A

est (

m

p

) et celui de

B

(

p

n

) lrsquoordre de

C

sera (

m

n


ligne par colonne


c

ij


c

ij

=

a

i

1

b

1

j

+

a

i

2

b

2

j

+ hellip +

a

ip

b

pj


A B

π

B A

M

Matrice inverse


B







a

21

b

21



λa21 λa22 λa23

=



311

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

Annexes

m



M


M


M


M


m


M



M



minus

1 et telles que


Exemples

H

2

=

Aa11 a12 a13

a21 a22 a23

= Aprimea11 a21

a12 a22

a13 a23

=



X1 X 2 ( ) 1

ndash

X 21

ndash X 1

1 ndash =

X1 X 2 X 3 ( ) 1

ndash

X 31

ndash

X 21

ndash

X 1 1

ndash =

Xprime( )prime X=

X 1ndash( )1ndash

X=

Xprime X 1ndash=

Xprime X n I =


ndash = X 1ndash 1

n---Xprime=

1 1

1 ndash 1


312


Annexes

H

4

=

Ces matrices

H

n


n


1 1 ndash 1 ndash 1

1 1 1 ndash 1 ndash

1 1 ndash 1 1 ndash 1 1 1 1


313

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

BIBLIOGRAPHIE

m


B

OX

GEP H

UNTER

WG H

UNTER

JS



e

eacutedition 2005

B

OX

GEP B

EHNKEN


Technometrics

vol 2 1960 p 455-475

C

ORNELL

JA



D

ANIEL


Technometrics

vol 1 1959 p 311-341

D

ERRINGER

D S

UICH



12 1980 p 214-219

D

OEHLERT


Appl Stat

n˚ 19 1970 p 231

D

RAPER

NR J

OHN


Technometrics


D

RAPER

NR S

CHMITT

H



F

ISHER

RA



F

ISHER

RA



F

REUND

R L

ITTLE

R C

REIGHTON

L


SAS Publishing2003

G

OUPY

J


ndash



G

OUPY

J


Dunod Paris 1999

G

OUPY

J


Dunod Paris 2000

H

OTELLING


Am Math Stat

vol 15 n˚ 4 1944 p 297-306

M

ITCHELL




314
























Bibliographie

315

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

Bibliographie






















316





















Bibliographie

317

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

Bibliographie




















318


















Bibliographie

319

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit

Bibliographie







JMP httpwwwjmpcom









321

copy D

unod

ndash L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

eacutee e

st u

n deacute

lit















Eeacutecarts 83







INDEX


322

IndexIndex






Nniveau 6
























2418_PM_323 280906 1028 Page 1

324




Nota bene














CONCEPTION



CHIMIE


EEA




3 e eacutedition

JACQUES GOUPY


LEE CREIGHTON







9 7 8 2 1 0 0 4 9 7 4 4 7


INTR

OD

UC

TION

AU

X PLA

NS D

rsquoEXPEacuteR

IENC

ESJ G

OU

PYL C

REIG

HTO

N

3e eacutedition


Avant-propos




13 Terminologie
























63 Calcul de Box

































113 Optimaliteacute



















135 Recommandations













Bibliographie

Index



technique et ingÉnierie

Documents