techniques opératoires
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techniques opératoires. Les techniques posées. matériel pour travailler le sens des opérations. l'addition. A. B. a+b. a. Addition aspects mathématiques. Aspect cardinal : A et B ensembles finis disjoints cardinal (A B) = cardinal (A)+cardinal (B) - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
techniques opératoires
CP CE1- Produire et reconnaître les décompositions additives des nombres inférieurs à 20 (“table d’addition”).- Connaître les doubles des nombres inférieurs à 10 et les moitiés des nombres pairs inférieurs à 20.- Connaître la table de multiplication par 2.- Calculer mentalement des sommes et des différences.- Calculer en ligne des sommes, des différences, des opérations à trous.- Connaître et utiliser les techniques opératoires de l’addition et commencer à utliser celles de la soustraction (sur les nombres inférieurs à 100).- Résoudre des problèmes simples à une opération.
- Écrire ou dire des suites de nombres de 10 en 10, de 100 en 100, etc.- Connaître les doubles et moitiés de nombres d’usage courant.- Mémoriser les tables de multiplication par 2, 3, 4 et 5.- Connaître et utiliser des procédures de calcul mental pour calculer des sommes, des différences et des produits.- Calculer en ligne des suites d’opérations.- Connaître et utiliser les techniques opératoires de l’addition et de la soustraction (sur les nombres inférieurs à 1 000).- Connaître une technique opératoire de la multiplication et l’utiliser pour effectuer des multiplications par un nombre à un chiffre.- Diviser par 2 ou 5 des nombres inférieurs à 100 (quotient exact entier).- Résoudre des problèmes relevant de l’addition, de la soustraction et de la multiplication.- Approcher la division de deux nombres entiers à partir d’un problème de partage ou de groupements.- Utiliser les fonctions de base de la calculatrice.
CE2 CM1 CM2
Calcul sur des nombres entiersCalculer mentalement- Mémoriser et mobiliser les résultats des tables d’addition et de multiplication.- Calculer mentalement des sommes, des différences, des produits.Effectuer un calcul posé- Addition, soustraction et multiplication.- Connaître une technique opératoire de la division et la mettre en œuvre avec un diviseur à un chiffre.- Organiser ses calculs pour trouver un résultat par calcul mental, posé, où à l’aide de la calculatrice.- Utiliser les touches des opérations de la calculatrice.Problèmes- Résoudre des problèmes relevant des quatre opérations.
CalculCalculer mentalement- Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers.- Multiplier mentalement un nombre entier ou décimal par 10, 100, 1 000.- Estimer mentalement un ordre de grandeur du résultat.Effectuer un calcul posé- Addition et soustraction de deux nombres décimaux.- Multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier.- Division euclidienne de deux entiers.- Division décimale de deux entiers.- Connaître quelques fonctionnalités de la calculatrice utiles pour effectuer une suite de calculs.Problèmes- Résoudre des problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes.
CalculCalculer mentalement- Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers et décimaux.- Diviser un nombre entier ou décimal par 10, 100, 1 000.Effectuer un calcul posé- Addition, soustraction, multiplication de deux nombres entiers ou décimaux.- Division d’un nombre décimal par un nombre entier.- Utiliser sa calculatrice à bon escient.Problèmes- Résoudre des problèmes de plus en plus complexes.
Les techniques poséesaddition soustraction multiplication division
CP somme de deux entiers < 100, avec un total < 100, sans puis avec retenue
différence de deux entiers < 100, sans puis avec retenue
- -
CE1 somme de deux puis plusieurs entiers < 1000, avec un total < 1000, sans et avec retenue
différence de deux entiers < 1000, sans puis avec retenue
produit d'un entier par un entier à 1 chiffreseules les tables de 1 à 5 sont connues
-
CE2 plusieurs entiers <100 000 avec un total < 100 000
différence de deux entiers < 100 000, sans ou avec retenue
produit d'un entier par un entier avec un total < 100 000
quotient de deux entiers, avec un résultat entier
CM1
somme d'un entier et d'un décimal puis de deux ou plusieurs décimaux, sans retenue sur les dixièmes, puis avec retenue
différence d'un entier et d'un décimal puis de deux décimaux, sans retenue sur les dixièmes, puis avec retenue
produit d'un décimal par un entier
quotient de deux entiers, avec résultat décimal
CM2
somme de décimaux différence de deux décimaux
produit de deux décimaux
quotient d'un décimal par un entier, avec résultat décimal
matériel pour travailler le sens des opérations
l'addition
Addition aspects mathématiques
-Aspect cardinal : A et B ensembles finis disjoints cardinal (AB) = cardinal (A)+cardinal (B)
-Aspect ordinal (surcomptage)l’entier a+b est celui obtenu en comptant b fois 1 après a a a+b
A B
Addition : programmes
•l'addition posée est apprise au CP, avec des sommes de deux nombres à 2 chiffres, d'abord sans, puis avec retenue
•les élèves auront déjà été confrontés à des situations additives : ils savent déjà additionner sur leurs doigts ou dans leur tête dans des cas simples (somme de deux nombres à 1 chiffre), et la technique posée permet d'effectuer des calculs plus difficiles.
addition : manipulation•situation avec le matériel distribuérassembler 24 points et 37 points pour
déterminer la somme totale de points- comment avez-vous fait ?- quelles propriétés mathématiques y a-t-il
derrière la manipulation effectuée ?- posez maintenant l'opération que vous
avez faite : la technique correspond-elle à la manipulation ?
Addition : technique
2 4+ 1 7
1 2 4+ 1 7
11 unités et 3
dizaines= 1 unité
et 4 dizaines
= 41
poser et effectuer 24 + 37
Addition : connaissances nécessaires- la numération décimale (position,
échange)- les tables d'additions
1 2 4+ 1 7 4 1
la soustraction
Soustractionaspects mathématiques-Aspect cardinal : A et B ensembles et B inclus dans Acard (pas dans B) = card(A) – card(B)
-Aspect ordinal : Décomptage : on enlève b fois 1 à partir de a
A B
aa - b
Soustraction posée : programmes
•la soustraction posée est apprise au CP, sans retenue.
•on soustrait toujours le plus petit nombre du plus grand (le cas du résultat négatif ne sera vu qu'au collège)
• il existe plusieurs techniques utilisées en France.
soustraction : manipulation•situation avec le matériel distribuéVous avez 34 points (3 fois 10 points et 4 fois
1 points), vous devez en retirer 16 et déterminer combien il en reste
- comment avez-vous fait ?- quelles propriétés mathématiques y a-t-il
derrière la manipulation effectuée ?- posez maintenant l'opération que vous avez
faite : la technique correspond-elle à la manipulation ?
Soustraction : technique française
Je veux retirer 16 de
34
Je n'ai pas assez d'unités, donc je
donne 10 unités et je reprendrai 1 dizaine en plus
3 14- 11 6 1 8
poser et effectuer 34 - 16
Soustraction : technique française•pour la retenue : s'agit-il du même type
d'échange que dans l'addition ?• ici il s'agit d'une méthode reposant sur
l'écart constant (on ne modifie pas une soustraction en ajoutant une même quantité aux deux termes)
34 – 16 = (34 + 10 unités) – (16 + 1 dizaine)
3 14- 11 6 1 8
difficile à justifier sans le
recours à l'algèbre
il s'agit d'une situation de
différence plus que de retrait
Jean a 62 € :
6 2
3 8
-
Quelle est la différence entre les deux sommes d’argent ?
?
Paul a 38 € :
méthode de soustraction posée à la française : exemple de situation avec des euros
Jean et Paul ont chacun 10€ de plus.
La différence n’a pas changé.
Jean a 62 € :
6 2
3 8
-
?
Paul a 38 € :
Éric donne 10€ à Jean
Éric donne 10€ à Paul
1
La différence n’a pas changé
1
Jean a 62 € :
6 2
3 8
-Paul a 38 € :
1
1
La différence
vaut : 24 €
42
Jean a 62 € :
6 2
Jean doit donner 38 € à Paul.
3 8
-
Combien restera-t-il d’argent à Jean ?
?
que fait-on réellement pour retrancher 38€ de 62€ ?
Jean a 62 € :
6 2
3 8
-Jean doit donner 38 € à Paul.
Combien restera-t-il d’argent à Jean ?
Jean va faire de la monnaie.
5
1
Argent de Jean :
6 2
5
Argent de Jeanà la fin :
2 4
3 8
-Jean donne 38 € à Paul :
1
Je veux retirer 16 de
34
Je n'ai pas assez
d'unités, donc je
"casse" une des 3
dizaines
23 14- 1 6 1 8
Soustraction : technique anglaiseposer et effectuer 34 - 16
Soustraction : technique anglaise•ici on opère un échange 1 contre 10 : on
échange 1 dizaine contre 10 unités (dans l'addition avec retenue, on opère un échange 10 contre 1).
23 14- 1 6 1 8
mais que se passe-t-il s'il y a une zéro dans le nombre du
haut ?
Soustraction : technique anglaise•dans ce cas, on emprunte 1 dizaine aux 3
centaines, donc aux 30 dizaines du nombre du haut
2 9 3 O 14- 1 4 6 1 5 8
travail préalable nécessaire sur chiffre
des dizaines et nombre de dizaines
Soustraction : comparaison des deux méthodesméthode française anglaise
avantages c'est celle qui est le plus enseignée (c'est celle qui a été apprise par les enseignants actuels quand ils étaient élèves)
continuité avec la technique d'addition poséepossibilité de donner du sens par la manipulation
inconvénients
difficile de donner du sens par la manipulationpas d'échange lors des retenues
gestion des ratures dans les retenues si présence d'un zéro dans le nombre du haut
autre possibilité : l'addition à trou(= calcul du complément)
Soustraction : verbalisation•la verbalisation de la technique joue un
rôle important : - "6 ôté de 14" (soustraction) - ou "de 6 pour aller à 14" (complément)
23 14- 1 6 1 8
3 14- 11 6 1 8
Les retenues et les échanges•Il y a deux types d'échanges à travailler :
- 10 unités contre 1 dizaine (addition)- 1 dizaine contre 10 unités (soustraction à
l'anglaise)
•10 unités contre 1 dizaine- Demander d'écrire la somme totale
représentée par un tas de billets, en essayant de changer la monnaie de manière à avoir le moins de pièces et de billets possible.
- Donner des jetons de 1 et de 10, avec un petit nombre de jetons de 1, les élèves gagnent des jetons en lançant un dé par exemple. Lorsque les jetons de 1 viennent à manquer, il faut en échanger dix contre un jeton de 10 pour pouvoir continuer à jouer
Les retenues et les échanges
•1 dizaine contre 10 unités- Faire la monnaie- Partager 12 (un jeton de 10 et deux
jetons de 1) en deux parts égales
Le lien peut-être fait avec les unités de mesure usuelles
Les retenues et les échanges
Addition et soustraction : quelle progression ?la progression se fait sur :- le fait de devoir poser ou seulement effectuer
l'opération- la présence ou non de retenues- la taille des nombres- le nombre de nombres pour l'addition- le fait que les nombres aient ou non le même
nombre de chiffres- la présence d'un zéro (surtout pour la soustraction)- la nature des nombres (décimaux à partir du CM1)
Evaluations en CE2 - additions posées
91,5%
- 530 : 76,5%- 420 ou 430 ou 520 : 6,3%- Autre : 13%
- 608 : 88,4%- Autre : 10,1%
Evaluations en CE2 - soustractions posées
16 : 22,1%24 : 24,7%Autre : 39%
16 : 30,3%24 : 20,2%Autre : 44,1%
quelques exemples d'erreurs d'élèves
le zéro ne sert à rien (comme dans l'addition)
ou bien :
on enlève toujours le plus petit chiffre du plus grand, (puisqu'on enlève toujours le plus petit nombre du plus grand)
quelques exemples d'erreurs d'élèves
soustraction à la française : confusion entre les différentes retenues : celles du bas doivent être additionnées au chiffres du bas, et non considérées comme des chiffres de l'ordre du dessus
la multiplication
Multiplication : programmes
•la multiplication est introduite dès le CE1 (produit par un nombre à 1 chiffre), puis au CE2 (produit par un nombre à 2 chiffres ou plus).
• la multiplication est introduite par le biais de l'addition répétée (3 fois 5 c'est 5+5+5)
•une seule technique est enseignée en France
Multiplicationaspects mathématiquesmultiplication introduite comme une
addition répétée un certain nombre de fois :
5 fois 8 c'est 8 + 8 + 8 + 8 + 8
problème : les élèves ont du mal à passer de l'addition (qu'ils connaissent et maîtrisent déjà) à la multiplication (qui est nouvelle)
Multiplicationaspects mathématiquesmultiplication introduite comme une
addition répétée un certain nombre de fois :
5 fois 8 c'est 8 + 8 + 8 + 8 + 8
Multiplicationaspects mathématiques•pour passer de l'addition répétée à la
multiplication, on peut s'appuyer :- sur la commutativité : 10 fois 3, c'est
aussi 3 fois 10 - sur la calculatrice : ici c'est un outil de
calcul moins pertinent que le calcul à la main
multiplication : manipulation ?•poser et effectuer 23 x 47•trouver une situation avec le matériel
distribué :- quelles sont les propriétés mathématiques
qui sont mises en oeuvre dans la multiplication posée ?
- quel problème avec les points pourrait-on proposer qui amène les élèves à une manipulation qui corresponde à la technique posée ?
Multiplication d’un nombre à 2 chiffres par un nombre à 1 chiffre :
Combien vaut 3 fois 42 ?
42 c’est :
4 dizaines et 2 unités
Si on sait combien vaut 4 x 6, alors on sait calculer 4 × 60
car 4 fois 60 c’est 4 fois six paquets de 10
donc 4 fois 60 c’est 24 paquets de 10
donc 4 × 60 vaut 240
Rappels sur la multiplication
3 fois 42 c’est :
Pour calculer
3 × 42on va calculer 3 × 40 et calculer 3×2
3 x 40 c’est 3 fois 4 paquets de dix
donc c’est 12 paquets de dix donc
c’est 120
3 x 40 = 120
3 × 2 = 6
3 × 42 = 120 + 6 = 126
On a utilisé la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition.
Multiplication d’un nombre à 2 chiffres par un nombre à 2 chiffres :
Combien vaut 34 x 23 ?
34 × 23 c’est le nombre de carreaux de ce quadrillage :23
34
Pour trouver le nombre de carreaux du quadrillage, on décompose 23 et 34 :
23 = 20 + 3
34 = 30 + 4On aura donc quatre calculs à faire :
4×3
4×34×20
4×20
30×3
30×3
30×20
30×20
Et pour trouver combien vaut 34 × 23 on ajoutera les quatre résultats trouvés.
20 3
4
30
4×34×20
30×2030×3
23
320
4
3034
2 3
× 3 4
1 2 8 0
9 06 0 0
7 8 2
34 × 23 = 782
Approche de la disposition habituelle des calculs
Comme on a appris à calculer rapidement le résultat quand on multiplie un nombre à deux chiffres par un nombre à un chiffre, on peut aller plus vite
23
34
4
30
4 × 23
30 × 23
2 3
× 3 4
9 2
6 9 0
7 8 2
Multiplication : technique posée
Multiplication : méthode ancienne
31 x 24unité x unité =
unité
unité x dizaine = dizaine 14
dizaine x dizaine = centaine 6
total = 4 unités + 14 dizaines + 6 centaines
= 744
3 1 x 2 4 4 (unité x unité)1 2 0 (unité x dizaine) 2 0 (dizaine x unité)6 0 0 (dizaine x dizaine)7 4 4
Multiplication : connaissances nécessaires • numération (décomposition, échange)• tables de multiplication• multiplication par 10, 100, 1000• addition posée
rupture avec les opérations précédentes ?- on a plusieurs opérations en une- difficulté de la gestion des retenues successives- mélange entre les différents ordres de grandeur
(unités multipliées avec les unités mais aussi avec les dizaines)
la division
Dans la division, le dividende est divisé par le diviseur.Le résultat comporte un quotient et un resteDans la division euclidienne le dividende, le diviseur, le reste et le quotient entiers)
le reste est toujours plus petit que le diviseur (sinon on aurait pu diviser plus)
dividende = diviseur x quotient + reste
Divisionaspects mathématiques
La division peut intervenir dans des situations de partage, de distribution, … situations où on est amené à chercher « la valeur d’une part » (« Combien dans chaque paquet ? »).
On parle alors de division-quotition.exemple : on dispose de 45 bonbons à partager équitablement entre 6 enfants ? Combien chaque enfant aura-t-il de bonbons ?
? ?? ???
6 « paquets ». « Combien dans chaque paquet ? »
Divisionaspects mathématiques
La division peut intervenir dans des situations de regroupement, …, situations où on est amené à chercher « le nombre de parts » (« Combien de paquets ? »).
On parle alors de division-partition.exemple : on dispose de 45 bonbons. On désire fabriquer des paquets de 6 bonbons. Combien peut-on fabriquer de paquets ?
6 6 6 … ?
Des « paquets » de 6. « Combien de paquets »
Divisionaspects mathématiques
division : manipulation• situation avec le matériel distribuéVous avez 435 points (4 fois 100 points, 3 fois 10
points et 5 fois 1 points), à partager en 3 parts égales. Quelle sera le nombre de points de chaque part ?
- comment avez-vous fait ?- quelles propriétés mathématiques y a-t-il
derrière la manipulation effectuée ?- posez maintenant l'opération que vous avez faite
: la technique correspond-elle à la manipulation ?
Je veux partager 435
en 3 parts égales
Division : technique poséeposer et effectuer 435 : 3
Je partage d'abord les centaines,
j'en distribue 1 à chacun, et il en reste
1
Division : technique poséeposer et effectuer 435 : 3
J'échange la centaine qui reste contre 10 dizaines, qui viennent s'ajouter aux 3 dizaines à
partager
Division : technique poséeposer et effectuer 435 : 3
Je partage ensuite les
13 dizaines : j'en distribue 4 à chacun
et il en reste 1
Division : technique poséeposer et effectuer 435 : 3
J'échange la dizaine qui reste contre 10 unités,
qui viennent s'ajouter aux 5 à partager
Division : technique poséeposer et effectuer 435 : 3
Je partage les 15 dizaines,
j'en distribue 5 à chacun et il ne reste rien. J'ai distribué 1
centaine, 4 dizaines et 5
unités à chacun, soit
145
Division : technique poséeposer et effectuer 435 : 3
4 3 5 3- 3 1x100 1 3- 1 2 4x10 1 5 - 1 5 5x1 0 145
Division : technique poséeposer et effectuer 435 : 3
4 3 5 3- 3 100 1 3- 1 2 40 1 5 - 1 5 5 0 145
Division : technique poséeposer et effectuer 435 : 3
Division : technique poséeposer et effectuer 435 : 3
4 3 5 3- 3 0 0 100 1 3 5- 1 2 0 40 1 5 - 1 5 5 0 145
4 3 5 3 1 3 145 1 5 0
Division : technique poséeposer et effectuer 435 : 3
23 × 1 = 2323 × 10 = 23023 × 100 = 230023 ×1000 = 23000
On veut partager équitablement 4237 bonbons entre 23 enfants.
. . .
4237
Chaque enfant recevra entre 100 et 1000 bonbons : cela nous donne le nombre de chiffres du quotient
4237 23
Division : technique posée
On cherche combien de paquets de 100 bonbons, on peut donnerà chaque enfant :
23×100 = 230023×200 = 460023×300 = 690023×400 = 920023×500 =1150023×600 =1380023×700 =1610023×800 =1840023×900 =20700
4237
On peut donner 1 paquet de 100 bonbons à chaque enfant.
4237 23
1 . .-
2300
1937
Après avoir donné 1 paquet de 100 bonbons à chaque enfant, il reste 1937 bonbons.
Division : technique posée
On cherche combien de paquets de 10 bonbons, on peut encore donner à chaque enfant :
23×10 = 230 23×20 = 460
23×30 = 690 23×40 = 920 23×50 =1150 23×60 =1380 23×70 =1610 23×80 =1840 23×90 =2070
1937
On peut encoredonner 8 paquetsde 10 bonbonsà chaque enfant.
Après avoir donné 1 paquet de 100 bonbons puis 8 paquets de 10 bonbons à chaque enfant, il reste 97 bonbons.
4237 23
2300 1 8 *
1937
1840
97
Division : technique posée
97
On peut encore donner 4 bonbons à chaque enfant
On cherche combien de bonbons, on peut encore donner à chaque enfant :
23×1 = 2323×2 = 4623×3 = 6923×4 = 9223×5 =11523×6 =13823×7 =16123×8 =18423×9 =207
On a pu donner 184 bonbons à chaque enfant (le quotient est égal à 184)
Il reste 5 bonbons (le reste est égal à 5)
4237 23
2300 1 8 4
1937
1840
97
92
5
Division : technique posée
Division et ordre de grandeur•division : évaluer l'ordre de grandeur du
quotient (calcul mental et aspect ordinal)
Multiplication : connaissances nécessaires • numération (décomposition, échange)• tables de multiplication• multiplication par 10, 100, 1000• addition posée
rupture avec les opérations précédentes ?- on a plusieurs opérations en une- difficulté de la gestion des retenues successives- mélange entre les différents ordres de grandeur
(unités multipliées avec les unités mais aussi avec les dizaines)
oubli des zéros résultant de la multiplication par 10 et par 100 : la décomposition et le calcul effectué à chaque étape ne sont pas compris ici
quelques exemples d'erreurs d'élèves
quelques exemples d'erreurs d'élèves
oubli d'un zéro entre les deux chiffres du quotient : la taille du résultat n'a pas été évaluée ici.il semblerait que l'élève ait mélangé une méthode intuitive (les calculs à gauche) avec la présentation généralement attendue (au quotient)
ces techniques ne sont pas celles attendues par l'institution mais elles sont néanmoins correctes : elles reposent sur des calculs plus intuitifs
- incompréhension de ce que représentent la virgule et la partie décimale (difficultés avec les nombres décimaux)
- incompréhension de ce que représentent les deux résultats : quotient et reste (difficultés avec la division posée
=> le manque de sens donné à la technique opératoire avec les entiers va se révéler lorsqu'on passe aux décimaux
3 4 7 1 2- 2 4 2 8 1 0 7 - 9 6 1 1
erreur d'élève : quotient décimal
347 divisé par 12 est égal à 28,11