tÉcnicas de codificaÇÃo de sinais cÓdigos cÍclicos evelio m. g. fernández - 2010
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TÉCNICAS DE CODIFICAÇÃO DE SINAIS
CÓDIGOS CÍCLICOS
Evelio M. G. Fernández - 2010
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Códigos Cíclicos: Definição
• Um código de bloco linear é um código cíclico se cada deslocamento cíclico das palavras-código é também uma palavra-código. Vantagens:
– Descrição algébrica elegante
• c(x) = m(x)g(x), g(x) polinômio gerador• c(x)h(x) = 0 mod (xn 1) h(x) polinômio de verificação de paridade• c(β1) = 0, ..., c(βt) = 0, onde βi GF(pm)
– Codificação e cálculo de síndromes utilizando registradores de deslocamento
– Correção de surtos de erros– Correção de erros aleatórios através da solução de equações de
polinômios
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C: (n, k), C: SubEsp Vn
Se Cvvvv n 110 ,,, : código cíclico, então deslocamentos
cíclicos de v também pertencem a C, isto é:
C
vvvvv
vvvvv
vvvvv
nn
nnn
nn
01221
31012
22101
,,,,
,,,,,
,,,,,
Representação Polinomial:
110 ,,, nvvvv ↔ 11
2210
n
n xvxvxvvxv
onde: x = variável auxiliar
vi GF(q); q primo.
Deslocamentos Cíclicos de n-uplas e Polinômios
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x·v(x): deslocamento cíclico no tempo ou rotação à direita sujeita à condição,
01ou 1 nn xx
Cxvxvxvxvv
xxvxvxvxvx
nnn
nn
11
22
101
1
11
210
multiplicação módulo 1nx
Cíclico Código :2
13
31
2012
12
13
31
201
12
Cxv
xvxvxvxvv
xvxvxvxvxv
xxvxvx
nnnn
nn
nnn
Cxxvxxxvxv n 1mod,,, 2
Isto é, para i o polinômio Cxxvx ni 1mod .
Deslocamentos Cíclicos de n-uplas e Polinômios
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Corpos Finitos
• Um corpo finito com q elementos é chamado de GF(q) (Galois Field)
• GF(p) = inteiros com aritmética módulo um número primo, p
• GF(pm) = polinômios sobre GF(p) com aritmética módulo um polinômio primo de grau m (extension field)
• Todo corpo finito é o espaço vetorial de m-uplas sobre o corpo GF(p) de inteiros com aritmética módulo um número primo p. Portanto, GF(q) = GF(pm)
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Corpos Finitos
• Teorema: A característica, λ, de um corpo finito é um número primo
• Teorema: Seja a um elemento diferente de zero em GF(q). Então, a(q1) = 1
• Teorema: Seja a um elemento diferente de zero em GF(q). Seja n a ordem de a. Então, n divide q1
• Resultado: Se a ordem de a for q1, então a é um elemento primitivo de GF(q)
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Aritmética de Corpos Finitos
• Polinômios com uma variável X e coeficientes em um corpo F (denotados por F[x]), são expressões da forma
• O grau de f(X) é a maior potência de X (com coeficiente de X ≠ 0)
• Polinômio mônico: O coeficiente da maior potência de X é 1 Todos os polinômios diferentes de zero sobre GF(2) são mônicos
• Para qualquer dividendo f(X) F[x] e divisor diferente de zero, g(X) F[x] existirão um par de polinômios únicos q(X), cociente e r(X), resto, tal que
nn XfXfXffXf 2
210
XgXrXrXgXqXf degdegonde,
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Definição:
Seja p(X) um polinômio de grau m sobre GF(2). Se p(X) não for divisível por nenhum polinômio sobre GF(2) de grau m – 1 ou menos, então p(X) é irredutível sobre GF(2).
Resultado:
Qualquer polinômio irredutível sobre GF(2) de grau m divide
112 m
X
Aritmética de Corpos Finitos
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Definição:
Seja p(X) um polinômio irredutível de grau m sobre GF(2);
então, p(X) divide Xn + 1 para n = 2m – 1. Se este valor de n
for o menor inteiro positivo para o qual p(X) divide xn + 1,
então p(X) é um polinômio primitivo de grau m sobre GF(2)
Aritmética de Corpos Finitos
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+ 0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 1 2 3 4 5 6 7
1 1 2 3 4 5 6 7 0
2 2 3 4 5 6 7 0 1
3 3 4 5 6 7 0 1 2
4 4 5 6 7 0 1 2 3
5 5 6 7 0 1 2 3 4
6 6 7 0 1 2 3 4 5
7 7 0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7
2 0 2 4 6 0 2 4 6
3 0 3 6 1 0 3 6 1
4 0 4 0 4 0 4 0 4
5 0 5 2 7 4 1 6 3
6 0 6 4 2 0 6 4 2
7 0 7 6 5 4 3 2 1
Soma Módulo-8 Produto Módulo-8
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000 001 010 011 100 101 110 111
000 000 001 010 011 100 101 110 111
001 001 000 011 010 101 100 111 110
010 010 011 000 001 110 111 100 101
011 011 010 001 000 111 110 101 100
100 100 101 110 111 000 001 010 011
101 101 100 111 110 001 000 011 010
110 110 111 100 101 010 011 000 001
111 111 110 101 100 011 010 001 000
Soma Módulo-2 (Bit-a-Bit)
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001 010 011 100 101 110 111
001 001 010 011 100 101 110 111
010 010 100 110 011 001 111 101
011 011 110 101 111 100 001 010
100 100 011 111 110 010 101 001
101 101 001 100 010 111 011 110
110 110 111 001 101 011 010 100
111 111 101 010 001 110 100 011
Operação de “Multiplicação” das 3-uplas
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0000
1001
010
1011
100
1101
110
1111
2
2
2
2
Representação
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Definição:
Um elemento de GF(2m) de ordem 2m – 1 é um elemento primitivo. se é um elemento primitivo em GF(2m), então as potências distintas de geram todos os elementos (diferentes de zero) de GF(2m).
Definição:
Um polinômio irredutível, p(x), de grau m sobre GF(2) é um polinômio primitivo se tiver como raiz um elemento primitivo de GF(2m)
Construção de GF(2m)
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Teorema:
Seja f(X) um polinômio com coeficientes em GF(2). Seja um elemento de GF(2m). Se é uma raiz de f(X), então para qualquer l ≥ 0 ,
é também uma raiz de f(X)
O elemento é chamado de conjugado de . l2
l2
Propriedades de GF(2m)
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Teorema:
Os 2m – 1 elementos diferentes de zero de GF(2m) compõem
todas as raízes de
O elemento 0 de GF(2m) é a raiz de X. Portanto,
Corolário:
Os elementos de GF(2m) compõem todas as raízes de
β pode ser uma raiz de um polinômio sobre GF(2) de grau
menor que 2m
112 m
X
Propriedades de GF(2m)
XXm
2
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Definição:
Seja um elemento de GF(2m). O polinômio minimal, (X), de é o polinômio de menor grau com coeficientes em GF(2) tal que () = 0.
Teorema:
Sejam (X) o polinômio minimal de um elemento em GF(2m) e e o menor inteiro tal que . Então:
e2
1
0
2e
i
i
XX
Propriedades de GF(2m)
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Polinômio Gerador
Seja C um código cíclico (n, k) sobre GF(q)
• Existe um polinômio mônico g(x), chamado de polinômio gerador, tal que uma n-upla c(x) é uma palavra-código se e somente se g(x) for um divisor de c(x).
• O polinômio gerador é único.• O grau do polinômio gerador é n k.• g(x) é o polinômio código de menor grau entre todos os
polinômios código.• O polinômio gerador é um divisor de xn 1.
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knkn xgxgxgxg
2211
),(:1mod)()()( knCxxgxaxc n
onde:
Grau [c(x)] n – 1.
Grau [g(x)] = n – k.
Grau [a(x)] k – 1.
a(x): polinômio em x associado à mensagem a ser codificada em c(x).
Seja 11
2210)(
kk xaxaxaaxa
C
kk
CC
xgxaxxgaxgaxgxa
)()()()()( 1110
Portanto:
a(x)g(x) = combinação linear de palavras código que resulta em uma outra
palavra código de C.
Polinômio Gerador
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Matriz Geradora não Sistemática
• Código cíclico C: (n, k) gerado por g(x) de grau r = n k
r
r
r
r
k
k
gggggg
gggggg
xgxxgx
xxgxg
G
10
10
10
10
1
2
00000000
00000000
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mensagemdebitsk
k
paridadedechequedebitskn
kn mmmbbbv 110110 ,,,,,,,
Seja m(x): polinômio-mensagem,
1110)(
kk xmxmmxm
v(x): polinômio código de código sistemático.
)(
11
110
)(
1110)(
xmx
kk
knkn
xb
knkn
kn
xmxmxmxbxbbxv
Se v(x) = a(x)g(x)
)(
)()(
)(
)(
xg
xbxa
xg
xmx kn
Código Cíclico Sistemático
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1. ?)( knxxm
2. Resto da divisão ?)()(
)(xb
xg
xmx kn
3. )()()( xvxmxxb kn
EXEMPLO:
31)( xxm , 31)( xxxg , código cíclico C: (7, 4).
Palavra código correspondente à m(x)?
a(x) tal que a(x)g(x) = v(x)?
Procedimento para Codificação Sistemática
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)()(1 xgxhxn
ou: 01mod)()( nxxgxh
g(x): polinômio gerador de C: (n, k)
h(x): polinômio de verificação de paridade de C: (n, k)
Grau [g(x)] = n – k
Grau [h(x)] = k
Teorema 4.7 (Lin & Costelo, pág. 94):
Seja C: (n, k) um código cíclico q-ário com polinômio gerador g(x), em
GF(q). O código dual de C é também cíclico e é gerado pelo polinômio
1)( xhxxh kk , onde )(xhk é o polinômio recíproco do polinômio de
verificação de paridade do código C.
Polinômio de Verificação de Paridade
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Codificador de um Código Cíclico (n, k)
b0 b1 b2 bn-k-1bn-k-2
xmx kn
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Codificador do Código Cíclico (7, 4)
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Circuito de Cálculo das Síndromes
s0 s1sn-k-1
r(x)
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Cálculo de Síndromes Código (7, 4)
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• Um código cíclico (n, k) é capaz de detectar qualquer surto de erros de comprimento n k ou menor, incluindo surtos do tipo end-around.
• A fração de surtos não detectáveis de comprimento n k +1 é 2 (n k 1)
• Para l > n k +1, a fração de surtos não detectáveis de comprimento l é 2 (n k)
Capacidade de Detecção de Erros
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Decodificação de Códigos Cíclicos
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• Passo 1: Calcular a síndrome de r(x) e armazenar r(x) no registrador
• Passo 2: Determinar padrão de erro. A saída do detector é 1 se e somente se a síndrome no registrador corresponde a um padrão de erro corrigível contendo um erro na posição xn 1
• Passo 3: O buffer e o registrador de síndrome são deslocados uma posição à direita. A saída do detector faz a correção do primeiro símbolo (se en 1 = 1) e também é realimentada no registrador de síndrome. Nova síndrome corresponde à r(x) deslocado
• Passo 4: Detectar se xn 2 (agora na última posição) é um símbolo errado. Repetir passos 2 e 3. O segundo símbolo é corrigido da mesma forma que o anterior.
• Passo 5: Decodificar o vetor recebido símbolo a símbolo da forma descrita anteriormente
Decodificação de Códigos Cíclicos
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Decodificador de Meggitt para o Código Cíclico (7, 4)
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Processo de Correção de Erros
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Códigos Cíclicos Binários vistos a partir de GF(2m)
• Teorema: Seja g(x) o polinômio gerador de um código cíclico binário de comprimento n = 2m 1 com zeros 1,..., r em GF(2m). O polinômio c(x) sobre GF(2) é um polinômio código se e somente se
c(1) = c(2) = ··· = c(r) = 0
onde c(i) é avaliado em GF(2m)
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BCH bound
Se um código cíclico linear é construído de forma que:
• Cada palavra-código tem n bits; é um elemento de ordem n em GF(2m);
• O polinômio gerador do código, g(x), inclui, entre suas raízes, ( - 1) potências consecutivas de .
Então,
• É garantido que o código tem distância mínima igual a ou maior.
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Construção de Códigos BCH
• Para cada raiz r incluída em g(x), existe um polinômio minimal f(r)(x) que tem r como raiz [i.e., f(r)(r) = 0] e com coeficientes em GF(2).
• O polinômio gerador, com coeficientes binários, que contém todas as raízes necessárias pode ser obtido como sendo o mínimo comum múltiplo (LCM) de todos os polinômios minimais correspondentes às raízes utilizadas:
g(x) = LCM{f(b+1)(x), f(b+2)(x), ..., f(b+-1)(x)}
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Tipos de Códigos BCH
• Se é um elemento primitivo de GF(2m), o código BCH resultante é chamado de código BCH primitivo e as suas palavras-código têm comprimento 2m – 1 bits.
• Se não é um elemento primitivo de GF(2m), o código BCH resultante é chamado de código BCH não primitivo e as suas palavras-código têm comprimento igual à ordem de .
• Se b = 0, a primeira das ( - 1) potências de será 1 = , código BCH no sentido estrito.
• Se b 0, código BCH no sentido amplo.
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Códigos BCH Binários Primitivos
Para qualquer m 3 e t 2m 1, existe um código BCH com os seguinte parâmetros:
n = 2m 1, n k mt,dmin 2t + 1
O polinômio gerador do código, g(x), é o polinômio de menor grau sobre GF(2) contendo
como raízes, onde α é um elemento primitivo de GF(2m)
t232 ,,,,
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Elementos de GF(24)
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Decodificação de Códigos BCH
1. Computar as síndromes S = (S1, S2, ..., S2t) a partir de r(x)
2. Determinar σ(x) a partir de S1, S2, ..., S2t
3. Determinar as localizações dos erros, 1, 2, ..., υ
encontrando as raízes de σ(x) e corrigir os erros em r(x)
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Códigos BCH Primitivos sobre GF(q)
Seja α um elemento primitivo em GF(qm ).
O polinômio gerador, g(x), de um código BCH q-ário primitivo corretor de t erros é o polinômio de menor grau sobre GF(q) contendo
como raízes. Seja i(x) o polinômio minimal de αi, 1 i 2t. Então,
g(x) = LCM{1(x), 2(x), ..., 2t(x)}
t232 ,,,,
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Códigos de Reed-Solomon
Um código de Reed-Solomon (ou código RS) é um código BCH primitivo (não binário) de comprimento n = q – 1 sobre GF(q). O polinômio gerador desse código tem a forma
onde é um elemento primitivo de GF(q), d é a distância mínima do código e gi GF(q)
tt
t
t
xxgxgxggxxxxg
21212
2210
22
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Desempenho de Códigos RS sobre GF(26) comn = 31, considerando modulação 32-FSK
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Desempenho de Códigos RS sobre GF(26) comn = 31, considerando modulação 32-FSK
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Desempenho de Códigos RS com R = 7/8
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Desempenho de Códigos RS com n = 64
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Desempenho de Códigos RS com n = 31 e Modulação BPSK
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Decodificador de Códigos BCH q-ários
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Desempenho de Códigos de Reed-Solomon