1

2

“La combinatoria trata, ante

todo, de contar el número de

maneras en que unos objetos

dados pueden organizarse de

una determinada forma.”

Introducción a la combinatoria

Ian Anderson

“La tercera prioridad de la

campaña es dar la primera

prioridad a la enseñanza.”

Web oficial de George W. Bush

CombinatoriaEl arte de contar

¿Qué es la Combinatoria?

La Combinatoria es la parte de las Matemáticas que estudia el número de formas de seleccionar u ordenar una parte de un grupo de objetos siguiendo ciertas reglas.

Las reglas principales en las que nos vamos a fijar son:

¿Influye el orden en que se seleccionan los objetos?

¿Puede haber objetos repetidos?

4

En 1858 el egiptólogo escocés

A. Henry Rhind compró en

Luxor (Egipto) el papiro que

actualmente se conoce como

papiro Rhind o de Ahmes,

encontrado en las ruinas de un

antiguo edificio de Tebas. Fue

escrito por el escriba Ahmes

aproximadamente en el año

1650 antes de nuestra era.

Comienza con la frase:

“Cálculo exacto para entrar en

conocimiento de todas las cosas

existentes y de todos los oscuros

secretos y misterios.”

El papiro mide unos 6 m de largo y 33 cm

de ancho. Representa la mejor fuente de

información sobre matemática egipcia

antigua conocida.

El papiro Rhind

5

Escrito en hierático, consta de 87 problemas y su resolución.

Nos da información sobre cuestiones aritméticas básicas,

fracciones, cálculo de áreas, volúmenes, progresiones,

repartos proporcionales, reglas de tres, ecuaciones lineales

y trigonometría básica. El problema 79 es de combinatoria.

Veamos una versión “moderna”...

El papiro Rhind (problema 79)

6

Según iba a St. Ives

me crucé con un hombre con 7 esposas.

Cada esposa tenía 7 sacos,

cada saco tenía 7 gatos,

cada gato tenía 7 gatitos.

Gatitos, gatos, sacos y esposas.

¿Cuántos iban a St. Ives?

St. Ives Mother Goose

(La mamá oca de San Ives)

La regla del producto

La respuesta es ninguno

Pero cruzarme, me cruce en total con

7 esposas. 7sacos. 7gatos. 7gatitos

Total =74

¿Cuál es el número de posibles ordenaciones

de una baraja de póker de 52 cartas?

El resultado es 52!, que es aproximadamente 8 × 1067.

Si por cada ordenación tomamos un granito de arena tan pequeño que caben 10 en un mm3

¿Cuantas planetas como la Tierra huecos, necesitamos para meter la arena?

Explosión combinatoria

Principio de la multiplicación

Si hay n1 opciones para elegir un objeto, n2 opciones para elegir un segundo objeto, n3 opciones para un tercer objeto, …, el número total de maneras de elegir los

distintos objetos es n1·n2·n3·…

¿De cuántas maneras podemos vestirnos con 5 camisas y 2 pantalones?

5·2 = 10 maneras diferentes

Permutaciones (sin repetición)

Queremos contar de cuantas maneras se pueden ordenar n objetos distintos (por tanto influye el orden y no hay repeticiones), hablamos entonces de permutaciones (sin repetición) u ordenaciones. El número de estas permutaciones se escribe Pn

¿De cuántas maneras podemos ordenar 3 fichas de distinto color?

Estamos preguntando por el valor de P3. Como tenemos 3 posibilidades para elegir la 1ª ficha, 2 posibilidades para elegir la 2ª y 1 única posibilidad para la 3ª, el número de permutaciones es

P3=3·2·1=6

Permutaciones

¿Cuántos números de 5 cifras distintas se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5?

Como tenemos justo 5 dígitos (distintos de 0) distintos y queremos formar números de 5 cifras distintas, nos preguntamos por el valor de P5. Tenemos 5 posibilidades para elegir la 1ª cifra, 4 posibilidades para elegir la 2ª cifra, 3 para la 3ª, 2 para la 4ª y 1 para la 5ª, así el número buscado es

P5 = 5·4·3·2·1 = 120

En general, el número de permutaciones de n elementos es

Pn = n·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1

Permutaciones

Las expresiones 5·4·3·2·1 ó n·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1 son engorrosas de escribir, por eso se utiliza la notación

5! = 5·4·3·2·1

De este modo, el número de permutaciones de n elementos es

Pn = n!

1! = 1 6! = 6·5·4·3·2·1 = 7202! = 2·1 = 2 7! = 7·6·5·4·3·2·1 = 50403! = 3·2·1 = 6 8! = 8·7·6·5·4·3·2·1 = 403204! = 4·3·2·1 = 24 9! = 9·8·7·6·5·4·3·2·1 = 3628805! = 5·4·3·2·1 = 120 10! = 10·9·8·7·6·5·4·3·2·1 = 3628800

Por razones técnicas se define 0! = 1

n! = n·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1

Permutaciones

Ejercicio 1: Calcula de cuantas maneras distintas se pueden ordenar 15 libros en una estantería.

Ejercicio 2: ¿Cuántas permutaciones del conjunto de números 1, 2, 3, 4, 5 y 6, satisfacen la condición: el 1 está en primera posición y el 4 en la tercera?

Ejercicio 3: Calcula cuantos números de 6 cifras distintas se pueden construir con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4 y 5.

Ejercicio 4: ¿De cuántas maneras se pueden sentar 5 personas en una mesa circular?

Permutaciones con repetición

¿Cuántos números de 7 cifras se pueden formar con tres 5, dos 7, un 8 y un 9?

En este caso hablamos de permutaciones con repetición.

Se llama permutaciones con repetición de n elementos tomados de a en a, de b en b, de c en c, etc, cuando en los n elementos existen elementos repetidos (un elemento aparece a veces, otro b veces, otro c veces, etc) verificándose que a+b+c+...=n.El número de estas permutaciones será:

En nuestro ejemplo tenemos por tanto que se pueden formar

3,2,1,1

7

7!420 números

3!·2!·1!·1!PR

, , !

!· !· !

a b c

n

nPR

a b c

Permutaciones con repetición

Ejercicio 1: Calcula cuántas palabras diferentes de cuatro letras distintas pueden formarse con las letras de la palabra MUSA. Después escríbelas ordenadamente.

Ejercicio 2: ¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra AMASAS?

Ejercicio 3: En una urna hay 9 bolas, 3 blancas, 2 rojas y 4 negras. ¿De cuantas formas distintas se pueden extraer las bolas de la urna?

Variaciones (sin repetición)

Queremos contar ahora cuantas agrupaciones de p elementos distintos, elegidos de entre n elementos de que disponemos, podemos formar, considerando una agrupación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden.

Se habla entonces de variaciones (sin repetición) de n elementos tomados de p en p,

denotado Vn,p

¿Cuántas palabras de 3 letras distintas se pueden formar con las letras A, B, C, D y F?

Tenemos que elegir 3 letras entre las 5 disponibles y claramente importa el orden

(no es lo mismo la palabra AB que la BA), es decir, queremos calcular V5,3

Tenemos 5 posibilidades para elegir la 1ª letra de la palabra, 4 posibilidades para la 2ª letra y 3 para la 3ª, así el número de palabras es

V5,3 = 5·4·3 = 60

Variaciones

En general

Vn,p =

p factores

n · (n-1) · … · (n-p+1)

Usando los factoriales podemos escribir esta fórmula de otra manera. Multiplicando y dividiendo por (n-p) · (n-p-1) · … · 3 · 2 · 1 tenemos

Vn,p = !

( )!

n

n p

Observemos que Vn,n = Pn

Variaciones

Ejercicio 1: Una organización estudiantil tiene que elegir un delegado y un subdelegado. Hay 7 candidatos. ¿De cuántas maneras se pueden hacer la selección?

Ejercicio 2: En una carrera participan 10 caballos. En las apuestas hay que acertar quién va a quedar primero, quién segundo y quién tercero. ¿Cuántas apuestas distintas se pueden hacer?

Ejercicio 3: Consideremos un alfabeto con 5 vocales y 21 consonantes. ¿Cuántas palabras de 5 letras distintas pueden formarse de modo que la primera y la última letras sean vocales y las otras tres sean consonantes?

Ejercicio 4: ¿Cuántas permutaciones del conjunto de números {1,2,3,4,6,9} satisfacen la condición de que en la primera posición y en la última haya un múltiplo de 3?

Variaciones con repetición

¿Cuántos números de 5 cifras se pueden formar con los dígitos del 1 al 9?

En este caso queremos seleccionar 5 cifras de 9 posibles, nos importa el orden (no es lo mismo 13 que 31) y puede haber repeticiones (el enunciado no lo descarta).

Hablamos por tanto de variaciones repetición de 9 elementos tomados de 5 en 5,

denotado VR9,5

Observemos que la primera cifra se puede seleccionar de 9 maneras, al igual que la 2ª, 3ª, etc. Por tanto el número buscado es

VR9,5 = 9·9·9·9·9 = 95 = 59049

En general, las variaciones con repetición de n elementos tomados de p en p, es

VRn,p = np

Variaciones con repetición

Ejercicio 1: ¿Cuántos números de 5 cifras se pueden formar con los dígitos del 0 al 9?

Ejercicio 2: Tengo 7 anillos distintos ¿De cuántas maneras los puedo colocar en los dedos de mi mano derecha?

Ejercicio 3: Consideremos un alfabeto con 5 vocales y 21 consonantes. ¿Cuántas palabras de 5 letras pueden formarse de modo que la primera y la última letras sean vocales y las otras tres sean consonantes?

Ejercicio 4: ¿Cuántas números de 4 cifras puedo formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 6 y 9 de modo que en la primera posición y en la última haya un múltiplo de 3?

Combinaciones (sin repetición)

Una combinación (sin repetición) de n elementos tomados de p en p, es un grupo de p elementos distintos escogidos entre n disponibles sin que importe el orden de

elección. El número de combinaciones se escribe Cn,p

¿De cuántas formas se pueden elegir 3 asignaturas optativas entre 5 posibles?

Combinaciones

El nº de formas de elegir las optativas es C5,3. Para calcularlo consideremos las elecciones ordenadas, es decir, V5,3, cada una da lugar a 3 optativas ordenadas, como el orden no importa tenemos que dividir entre las posibles ordenaciones de estas optativas, es decir entre P3, así

5,3

5,3

3

5!10

3!·(5 3)!

VC

P

En general

,

,

!

!·( )!

n p

n p

p

V nC

P p n p

Combinaciones

Ejercicio 1: En una clase de 20 alumnos hay que elegir 4 representantes para el consejo escolar ¿De cuántas maneras puede hacerse la selección?

Ejercicio 2: En una carrera en la que participan 10 caballos existen dos tipos de apuesta: en la primera hay que acertar quién va a quedar primero, quién segundo y quién tercero; en la segunda hay que acertar cuáles van a ser los cuatro primeros caballos en llegar, pero no su clasificación. ¿Cuál de los dos tipos de apuesta crees que es más sencilla?

Ejercicio 3: ¿De cuántas maneras se pueden formar un equipo de baloncesto de 5 jugadores, si en la plantilla hay 12 jugadores. (No se tiene en cuenta el puesto de cada jugador)?

24

¿Cuántas palabras distintas (con o sin sentido)

podemos construir utilizando todas las letras de

MISSISSIPPI ?

S = { 1M, 4I, 4S, 2P }

Llenemos las 11 casillas:

25

S = { 1M, 4I, 4S, 2P }

M

1

11# de posibilidades para M:

II I I

4

10 # de posibilidades para I:

S S S

4

6

S

# de posibilidades para S:

P P

2

2 # de posibilidades para P:

34.650

Resumiendo

Resumiendo

Sin repetición Con repetición

Permutaciones !nP n , , !

!· !· !

a b c

n

nPR

a b c

Variaciones ,

!

( )!n p

nV

n p

,

p

n pVR n

Combinaciones ,

!

!·( )!n p

nC

p n p

, 1,n p n p pCR C

Números combinatorios

La fórmula encontrada para las combinaciones de n elementos tomados de p en p,

también se escribe en la forma

que se lee n sobre p.

!

!·( )!

n

p n p

n

p

Propiedades de los números combinatorios

Propiedad 1:

Propiedad 2:

Propiedad 3:

10

n n

n

n n

p n p

1

1

n n n

p p p

Triángulo de Tartaglia (o de Pascal)

Binomio de Newton

0 1 1 1 1 0... ...0 1 1

n n n n p p n nn n n n n

a b a b a b a b a b a bp n n

1 1 0 0 1

1 1

0 1a b a b a b a b

2 2 0 1 1 0 2 2 2

2 2 22

0 1 2a b a b a b a b a ab b

3 3 0 2 1 1 2 0 3 3 2 2 3

3 3 3 33 3

0 1 2 3a b a b a b a b a b a a b ab b

4 4 0 3 1 2 2 1 3 0 4 4 3 2 2 3 4

4 4 4 4 44 6 4

0 1 2 3 4a b a b a b a b a b a b a a b a b ab b

Fórmula del binomio de Newton

Binomio de Newton

Ejercicio 1: Desarrollar

a) b) c)

d) e) f)

Ejercicio 2: Calcula el 9º término del desarrollo de

Ejercicio 3: Calcula el coeficiente central del desarrollo de

Ejercicio 4: Calcula el término correspondiente a a5 del desarrollo de

Ejercicio 5: Comprueba que

7ba 5ba

42nm

82a

5

2 2x

9

1a

12yx

8

2x y

10

2 a

5 5 5 5 5 532

0 1 2 3 4 5

33

Ejercicios de

combinatoria

34

¿Cuántos números de 4 dígitos pueden formarse con los 10 números 0, 1, 2, ..., 9 si: a) se permiten repeticiones, b) no se permiten repeticiones, c) el último número debe ser cero y no se permiten repeticiones?

a) El primer número puede ser cualesquiera de los 9 dígitos (el cero no es significativo como primera cifra). El segundo, tercero y cuarto número pueden ser siempre cualquiera de los 10. Por lo tanto habrá: 9·10·10·10 = 9.000 números posibles.

b) El primer número puede cualquiera de los 9 (excepto el cero). El segundo puede ser cualquiera de los 9 restantes (ahora el cero se permite). El tercero tendrá 8 posibilidades y el cuarto 7. Por lo que resultan: 9·9·8·7 = 4.536 números.

35

c) Análogamente a antes, el primer dígito se puede escoger de 9 maneras, el segundo de 9 y el tercero de 8. El cuarto, sin embargo, solo tiene una posibilidad: el cero.

Entonces, por la regla del producto:

Configuraciones posibles = 9·9·8·1 = 648 números.

_ _ _ 0

36

¿De cuántas maneras posibles se pueden sentar 10 personas en una banca si solamente hay 4 puestos disponibles?

El primer puesto libre puede ocuparse de 10 maneras, luego el segundo de 9 maneras, el tercero de 8 y el cuarto de 7. El número de ordenaciones de 10 personas tomadas de 4 a la vez será:

50407·8·9·104,10 V

37

• Tenemos 6 alumnos de primer curso, 5 de segundo, 4 de tercero, 3 de cuarto, 2 de quinto, 1 de sexto, como candidatos a recibir 5 premios de la Facultad, uno al alumno menos charlatán, otro al más atento, otro al que tiene mejor letra, otro al que asiste más a tutorías y otro al que mejor aparca el coche. Suponiendo que ningún alumno puede recibir más de un premio, se pide: ¿De cuántas maneras se pueden distribuir los premios?

Solución:

21 candidatos a 5 premios. Como ningún alumno puede recibir más de un premio, tenemos 21 candidatos para el primer premio, 20 para el segundo...

En total 21x20x19x18x17=2.441.880 (distribuciones posibles).

38

En una estantería se quieren colocar 4 libros diferentes de matemáticas, 6 de física y 2 de química. ¿De cuántas maneras distintas se pueden colocar si: a) los libros de cada materia deben quedar juntos, b) sólo los libros de matemáticas deben quedar juntos?

a) Por un lado, los libros de matemáticas se pueden colocar de 4! maneras, los de física de 6! y los de química de 2!. Los tres grupos de libros se podrán colocar de 3! maneras. Por consiguiente se obtienen: 4!·6!·2!·3! = 207.360 distintas configuraciones.

b) Si consideramos los 4 libros de matemáticas como si fuesen uno solo,entonces tenemos 9 libros, que pueden colocarse de 9! maneras. En todas estas configuraciones los libros de matemáticas estarían juntos. Pero a su vez, éstos se pueden colocar de 4! maneras, por lo que en total se obtienen: 9!·4!= 8.709.120 maneras

39

¿Cuántas permutaciones pueden formarse con las letras

de la palabra BONDAD?

Respuesta: 6!/2!

¿De dónde sale ese 2!?

Supón que para distinguir la D repetida utilizamos una tilde:

BONDAD’

Ahora todas las letras son distintas, luego hay 6!

permutaciones posibles. Pero cada par de permutaciones:

- - - D - D’

- - - D’- D

en realidad son la misma. Por lo tanto debemos dividir por 2 el

número total de permutaciones.

¿Y por qué por 2!?

Piensa que ocurriría si hubieran tres D's...

40

Ahora este es fácil: una generalización del anterior. ¿Cuántas palabras distintas de 11 letras podemos formar con la palabra CACATUA?

La palabra CACATUA consta de 7 letras de las cuales sólo hay 4 tipos distinguibles: 2C, 3A, 1T y 1U. Tendremos entonces que repetir elementos dentro de cada tipo. Por lo tanto se trata de una permutación con repetición:

!1!1!3!2

!77

1,1,3,2 PR

41

En una línea están acomodadas cinco canicas rojas, dos blancas y tres azules. Si las canicas del mismo color no pueden diferenciarseentre sí, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden ordenar?

Por razonar de otra manera, usemos un astuto truco: Supongamos que la respuesta es N configuraciones distintas. Observa que dada una de esas configuraciones, si cambiamos bolas del mismo color entre sí, como son indistinguibles, la configuración se mantiene.

Entonces, multiplicando N por el número de maneras de colocar las 5 canicas rojas entre ellas, las 2 blancas y las 3 azules, es decir: N·5!2!3!, obtenemos las posibles configuraciones si se diferenciasen entre sí todas las bolas. Pero si todas las bolas fueran diferentes, el número de configuraciones sería: 10!. Entonces:(5!2!3!)N = 10! y despejando N tendremos la respuesta:N = 10!(5!2!3!).

42

¿De cuántas maneras se pueden dividir 10 objetos en dos gruposque contengan 4 y 6 objetos respectivamente?

Esto es lo mismo que el número de ordenaciones de 10 objetos, de los cuales 4 son indistinguibles entre sí y los otros 6 también. Se trata entonces de una permutación con repetición: 10!/(4!6!) = 210.

El problema también equivale a encontrar el número de selecciones de 4 de 10 objetos (ó 6 de 10), siendo irrelevante el orden de selección. Se trata por lo tanto de combinaciones sin repetición:

210!6!4

!10

)!410(!4

!1010

44,10

C

43

Se necesitan sentar 5 hombres y 4 mujeres en fila, de manera quelas mujeres ocupen los lugares pares. ¿De cuántas maneras pueden sentarse?

La configuración general pedida será:

H M H M H M H M

Los hombres se pueden sentar de 5! maneras, y las mujeres de 4!. Cada configuración de los hombres puede darse con cada configuración de las mujeres. Entonces se tendrán:

Nº maneras = 5!4!= 2.880

44

¿De cuántas maneras posibles se pueden sentar 7 personas alrededor de una mesa redonda si: a) se pueden sentar en cualquierlugar, b) 2 personas en particular no se pueden sentar juntas?

a) Empecemos con una persona sentada encualquier lugar. Entonces las 6 personas restantesse pueden sentar de 6! = 720 maneras. Y esta es la respuesta, puesto que si la persona inicial se hubiera sentado en cualquier otro sitio, bastaría un giro para alcanzar alguna de las configuraciones contadas.

b) Consideremos a 2 personas en particular como si fuesen una sola. Entonces, hay 6 personas en total, que se pueden colocar de 5! maneras.A parte, las 2 personas que consideramos como si fueran una, pueden ordenarse de 2! maneras. Por consiguiente, el número de maneras de organizar a 7 personas con 2 en particular sentadas juntas es: 5!·2! = 240.Usando a), las maneras pedidas serán: 730 - 240 = 480 maneras.

45

¿De cuántas maneras se puede formar un comité de 5 personas a partir de un grupo de 9?

126)!59(!5

!99

55,9

C

Si quiero alquilar tres pelis, ¿cuántas posibilidades tengo si en elvideoclub sólo hay 200 películas?

1313400)!3200(!3

!200200

33,200

C

46

Desde un grupo de 5 matemáticos y 7 físicos se quiere formar un comité de 2 matemáticos y 3 físicos. ¿De cuántas maneras se puede hacer si: a) se puede incluir cualquier matemático y cualquier físico, b) un físico en particular debe estar en el comité y c) dos matemáticos en particular no pueden pertenecer al comité?

a) Se pueden seleccionar 2 matemáticos de 5 de C(5,2) maneras y a los 3 físicos de C(7,3) maneras. El número total es el producto = 10·35 = 350.

b) Análogamente: los posibles matemáticos coinciden con los de antes:C(5,2); y los físicos esta vez se cogen 2 de los 6 que quedan: C(6,2). Por lo tanto, el total será: C(5,2)·C(6,2) = 10·15 = 150.

c) Ahora sólo tendremos dos matemáticos a escoger entre 3: C(3,2). Los físicos serán como en a). En total tendremos: C(3,2)·C(7,3) = 3·35 = 105.

47

¿Cuántas ensaladas diferentes puedo hacer con lechuga, tomate,cebolla, aceitunas y atún?

1ª Forma: Se pueden seleccionar 1 de los 5 ingredientes, 2 de los 5, ...hasta coger 5 de los 5. El número de ensaladas distintas es: C(5,1)++C(5,2)+C(5,3)+C(5,4)+C(5,5)=5+10+10+5+1=31.

2ª Forma: Cada ingrediente puede tratarse de 2 maneras, se puede escoger o rechazar. Puesto que cada 2 formas de tratar a un ingredienteestá asociada con las 2 formas de tratar a cada uno de los otros vegetales, el número de maneras de tratar a los 5 ingredientes es 25. Pero dentro de las 25 maneras se incluye el caso de no coger ningún ingrediente. Por lo tanto:

Número de ensaladas = 25-1 = 31.

48

¿Cuántas palabras de 4 consonantes diferentes y 3 vocales distintas se pueden formar a partir de 7 consonantes y 5 vocales?(No hace falta que tengan sentido)

Se pueden seleccionar 4 consonantes diferentes de C(7,4) maneras y las 3 vocales de C(5,3) maneras. Además, las 7 letras resultantes (4 consonantes y 3 vocales) pueden ordenarse entre sí de 7! maneras. Por lo tanto:

# de palabras = C(7,4)·C(5,3)·7! = 35·10·5040 = 1764000

49

50

51

¿De cuántas formas distintas se pueden acertar 9 resultados en una quiniela futbolística de 15 resultados?

SOLUCIÓN:

1

15 resultados X (3 valores)

2

Los 9 resultados acertados se pueden elegir de formas distintas. En cada

resultado, las opciones de fallo son 2, por lo que para cada una de las formas de acierto, los seis resultados se pueden fallar de 2·2·2·2·2·2=26 formas distintas.

En total tendremos formas distintas de acertar 9 resultados = 320320 formas

50059

15

62·9

15

52

53

54

Sigue en la siguiente diapositiva

55

56

Sigue en la siguiente diapositiva

57

58

Se distribuyen 100 sillas auxiliares entre 5 aulas de modo que las dos mayores, reciben, entre las dos, 50 sillas ¿De cuántas formas distintas se puede hacer el reparto?

SOLUCIÓN:

A y B : aulas mayores.

50 sillas: asignación de las letras A o B a cada una de las 50 sillas. Como las sillas son iguales no hay orden en esta asignación y cada distribución es una combinación con repetición de orden 50 con los elementos A y B.

Análogamente, las formas de distribuir las otras 50 sillas son:

y el reparto se puede efectuar de 51·1326= 67626 formas distintas.

5150

51

50

150250,2

RC

13262

52

50

150350,3

RC

59

Un banco tiene que elegir 5 cargos directivos: director, subdirector, interventor, tesorero y gerente, entre 8 personas, de las cuales 3 son hombres (A,E,O) y 5 mujeres (X,Y,Z,V,W).

Se pide averiguar de cuántas formas puede hacerse la elección si:

a) Los hombre A y E no pueden estar juntos en la misma elección.

b) Entran los 3 hombres.

c) Entran 3 mujeres y 2 hombres.

d) Entran al menos 3 mujeres.

SOLUCIÓN:

a) Contamos las elecciones: - A pero no con E.

- E pero no con A.

- sin A ni E.

Elecciones con A = ( Elecciones con E) : hay que elegir otra 4 de entre 6 de= 15 formas distintas. Ahora debemos asignas cargos. Cada asignación de cargos a los directivos elegidos es una permutación de las cinco personas elegidas. Por tanto, el número de elecciones con A es:

4

6

1800!5·4

6

60

Elecciones sin A ni E: de forma análoga

Por tanto las opciones sin A ni E juntos es:

b) Si entran los 3 hombres quedan 2 puestos para las 5 mujeres, que se pueden elegir de

maneras. Considerando la asignación de cargos directivos resultan

c) Los hombres se eligen de formas y las mujeres de formas. Por tanto el número de elecciones en este caso es:

d) Contamos separadamente cuando entran 3 mujeres, cuando entran cuatro y cuando entran cinco:

720!5·5

6

posibles. elecciones 1200!5·2

5

4320!5·5

6!5·

4

6!5·

4

6

552012018003600!5!5·4

5

1

3!5·

3

5

2

3

2

5

3600!5·3

5

2

3

2

3

3

5

61

Un equipo de baloncesto dispone de 12 jugadores: 3 bases, 4 aleros y 5 pívots. ¿Cuántos equipos diferentes puede presentar el entrenador como quinteto titular? Se recuerda que de forma simplificada un equipo de baloncesto consta de un base, dos aleros y dos pívots.

SOLUCIÓN:

Hay que elegir 1 base, 2 aleros y 2 pívots de un total de 3 bases, 4 aleros y 5 pivots, donde el orden no influye en cada uno de los puestos correspondientes sino las personas en juego.

El entrenador puede presentar:

3·6·10= 180 equipos ó quintetos titulares.

pívotsC

alerosC

basesC

102

5

62

4

31

3

2,5

2,4

1,3

62

Calcular el número de sucesiones que se pueden formar con 3 aes, 5 bes y 8 ces. ¿ Y si no puede haber dos bes consecutivas? ¿Y si no hay dos iguales consecutivas?

SOLUCIÓN:

A) Cada una de las sucesiones sin condiciones adicionales es una permutación de aaabbbbbcccccccc, por lo que su número es:

Para que las letras b no aparezcan consecutivas, deben colocarse, entre dos términos de una de las sucesiones de aes y ces. Como hay 11 símbolos en esas sucesiones el número de huecos donde se pueden colocar las bes es 12. Debemos elegir 5 de estos 12 huecos.

Se puede hacer de

720720!8!5!3

!16,8,5,3

16 P

formas 130680!8!3

!11

5

12

:por tanto es, sucesiones de número El

distintas. formas 7925

12

63

c) No se permiten letras iguales consecutivas. Fijémonos en la colocación de las ces. El número de ces es la suma del nº de aes y bes. 2 opciones:

- Si c sólo aparece en uno de los extremos:

c-c-c-c-c-c-c-c-

eligiendo 3 huecos de los 8 posibles para colocar las 3 aes, tendremos la sucesión descrita:

El nº de sucesiones de este tipo es

- Si c aparece en los 2 extremos, una colocación será:

c- -c-c-c-c-c-c-c

donde en las posiciones – podemos colocar a o b.

El doble hueco - - puede aparecer en 7 posiciones y se puede llenar con ab o con ba, es decir, se presenta 2·7 posibilidades. Luego hay que elegir dos huecos entre seis para colocar las restantes aes. En total, el nº de sucesiones en este caso es

El nº de sucesiones sin letras iguales consecutivas es:

3

8·2

2

6·7·2

3322101122

6·14

3

8·2

64

65

66

67

68

Un borracho camina por una acera. Todos los pasos que da son de la misma longitud. Sabiendo que tiene la misma probabilidad de avanzar que de retroceder. ¿De cuántas formas puede dar 2n pasos que le devuelvan a la puerta del bar?

Nota: Usar como notación 1 = paso adelante, -1 = paso atrás.