técnicas de prova

CMP601 - Algoritmos e Teoria da Computao (INF-UFRGS)

Tcnicas de ProvaCMP601 - Algoritmos e Teoria da Computao

1


Conjuntos

Colees de elementos: sem ordem

sem repetio

descritos por extenso ou compreenso


Operaes sobre Conjuntos

pertinncia: x C continncia: C1 C2 unio: C1 C2 interseco: C1 C2 diferena: C1 - C2 produto cartesiano: C1 C2 potncia: C2 ou P(C)


Relaes e Funes

Uma relao uma associao entre elementos de um conjunto A e de um conjunto B, ou seja, um subconjunto de A B.

Uma relao chamada de funo se cada elemento de A est associado a no mximo um elemento de B.

1

2

3

A B

F

1

2

3

A B

R


Funes Uma funo pode ser total/parcial

injetora

sobrejetora

bijetora

1

2

3

1

2

3

123

1

2

3


Operaes sobre Funes funo inversa (somente para injetoras): f-1

composio: f1 f2

1

2

3

1

2

3

f f -1

1

2

3

f2

abc

f1 f2

f1


Conjuntos Infinitos(Funes Infinitas)

Conjuntos definidos por enumerao so finitos. Conjuntos definidos atravs de produto cartesiano

ou unio sero infinitos se um dos componentes for infinito.

Mas como definir um conjunto infinito sem usar outro conjunto infinito como base?


Problema: Como definir conjuntos infinitos?

Queremos definir um conjunto infinito

... de maneira finita;

... sem usar outro conjunto infinito na definio;

...de forma a tornar fcil trabalhar com/verificar propriedades dos elementos deste conjunto.


Exemplo: Conj. dos Naturais

N1 = {1, 2, 3, ...}

no uma definio precisa


Exemplo: Conj. dos Pares

no uma definio precisase o conj. dos naturais no

for definido

Par = {x|x = 2n e n N1}


Como definir estes conjuntos?


Induo e Recurso

INDUO RECURSO


Induo e Recurso

INDUO RECURSO

tcnica de prova tcnica de definio


Recurso

Definir algo em termos de si prprio. Porm, no uma definio desorganizada. Uma definio recursiva tem 3 partes:

(1)Base

(2)Passo

(3)Clusula de excluso


Conj. Naturais O conjunto dos nmeros naturais pode ser definido

pela 3 regras a seguir:

R1. 1 2 N1

R2. Se n 2 N1, o sucessor de n pertence a N1

R3. Somente elementos obtidos a partir dasregras R1 e R2 pertencem a N1




R1. 1 2 N1



BASE




R1. 1 2 N1



PASSO




R1. 1 2 N1



EXCLUSO


Conj. Naturais

1 BASE (regra R1)


Conj. Naturais

1

PASSO (regra R2)22 o sucessor de 1


Conj. Naturais

1

PASSO (regra R2)

23 o sucessor de 2

3


Conj. Naturais

1

PASSO (regra R2)

2

3

4

n

Usando a regra 2, conseguimos colocar

qualquer natural n no conjunto!

Portanto, este um conjunto infinito!!!


Conj. Naturais

1

EXCLUSO(regra R3)

2

3

4

Usando a regra 3, exclumos do conjunto elementos que no so

nmeros naturais.

... 2.1

A


Definio Recursiva Permite descrever conjuntos infinitos Constri conjuntos estruturados: existe sempre pelo menos um elemento

mnimo (base)

existe uma relao de ordem (parcial) entre os elementos do conjunto (dada pelo passo - ou passos)


Definio Recursiva

O fato do conjunto construdo ser estruturado tem muitas vantagens:

permite sabermos se algum elemento est ou no no conjunto, sem termos que varrer todo o conjunto;

nos d uma maneira de construir programas que considerem todos os elementos do conjunto, ou, visto de outra forma,

nos d uma maneira de provar propriedades dos elementos do conjunto.


Definio Recursiva

O fato do conjunto construdo ser estruturado tem muitas vantagens:

permite sabermos se algum elemento est ou no no conjunto, sem termos que varrer todo o conjunto;

nos d uma maneira de construir programas que considerem todos os elementos do conjunto, ou, visto de outra forma,

nos d uma maneira de provar propriedades dos elementos do conjunto.

programas recursivos

provas por induo


Outro exemplo: Conj. Par O conjunto dos nmeros pares pode ser definido


R1. 2 2 Par

R2. Se n1 2 Par e n2 2 Par, entao n1 + n2 2 Par

R3. Somente elementos obtidos a partir dasregras R1 e R2 pertencem a Par


Conj. Par

2 BASE (regra R1)


Conj. Par

2

PASSO (regra R2)44=2+2


Conj. Par

2

PASSO (regra R2)

44=2+2

88=4+4


Conj. Par

2

PASSO (regra R2)44=2+2

88=4+4

66=4+2


Conj. Par

2

44=2+2

88=4+4

66=4+2

...


Def. Recursiva

Uma definio recursiva pode ter vrias bases e vrios passos...


Conj. AB O conjunto dos AB definido pela 5 regras a seguir:

R1. a 2 AB

R2. b 2 AB

R3. Se X 2 AB e Y 2 AB, entao XYX 2 AB

R4. Se X 2 AB e Y 2 AB, entao XXYXX 2 AB

R5. Somente elementos obtidos a partir dasregras R1 a R4 pertencem a AB


Conj. AB O conjunto dos AB definido pela 5 regras a seguir:

R1. a 2 AB

R2. b 2 AB

R3. Se X 2 AB e Y 2 AB, entao XYX 2 AB

R4. Se X 2 AB e Y 2 AB, entao XXYXX 2 AB

R5. Somente elementos obtidos a partir dasregras R1 a R4 pertencem a AB

BASES

PASSOS


Tcnicas Bsicas de Prova

Provas Condicionais: Para provar que uma propriedade do tipo Se P ento Q verdade pode-se

(i) Assumir que P verdade.(ii) Deduzir Q a partir de (i).

Provas por Contradio: Para provar que P verdade pode-se

(i) Assumir que P verdade (ou seja, P falsa).(ii) Deduzir falso a partir de (i) (ou seja, chegar a uma

contradio)


Provar ou Refutar...(A) Se C1 C2 e a propriedade P vale para C1,

ento P vale para C2.

(B) Se C1 C2 e a propriedade P vale para C2, ento P vale para C1.

(C) Todo nmero par divisvel por 4.

(D) No existe um nmero mpar que seja divisvel por 4.


Provas Usando a Estrutura do Conjunto

Como provar propriedades dos elementos de um conjunto infinito construdo usando recurso?

Por exemplo, como provar a propriedade:Todos os elementos do conjunto AB

tem um nmero mpar de letras.


Induo Uma prova por induo pode ser realizada sobre um

conjunto construdo por recurso.

Para provar que a propriedade P vale para qualquer elemento de um conjunto C prova-se:

(1)que todas as bases de C possuem a propriedade P;

(2)que todos os passos utilizados para construir novos elementos de C a partir de elementos j existentes preservam a propriedade P, ou seja, dados elementos de C que possuem a propriedade P, utilizando-se as operaes definidas nos passos somente se constri elementos que possuem a propriedade P.


Induo

Por que provar esses 2 tens suficiente,

se o conjunto infinito?


Induo

Por que provar esses 2 tens suficiente,

se o conjunto infinito?

Porque qualquer elemento de C ou uma base ou foi obtido a partir das bases por

sucessivas aplicaes das operaes definidas nos passos.


Provando Propriedades...

Todos os elementos do conjunto AB tem um nmero mpar de letras.

BASES: (regras R1 e R2)

(i) a tem um nmero mpar de letras?

(ii) b tem um nmero mpar de letras?


Provando Propriedades...

Todos os elementos do conjunto AB tem um nmero mpar de letras.

BASES: (regras R1 e R2)

(i) a tem um nmero mpar de letras?

(ii) b tem um nmero mpar de letras?Verdadeiro!

Verdadeiro!


Provando Propriedades...PASSOS: (regras R3 e R4)

(i) assumindo que X e Y tem um nmero mpar de letras, XYX tem um nmero mpar de letras?

hiptese de induo

(ii) assumindo que X e Y tem um nmero mpar de letras, XXYXX tem um nmero mpar de letras?


Provando Propriedades...PASSOS: (regras R3 e R4)

(i) assumindo que X e Y tem um nmero mpar de letras, XYX tem um nmero mpar de letras?

Verdadeiro!

Verdadeiro!

hiptese de induo

(ii) assumindo que X e Y tem um nmero mpar de letras, XXYXX tem um nmero mpar de letras?


Induo Natural (Matemtica)

Induo sobre o conjunto dos nmeros naturais.R1. 1 2 N1



Obs: + Pode-se usar o conjunto dos naturais iniciando no zero ( ). + um caso especial de induo estrutural.


Exerccios1. Prove que

2. Dadas as funes f,g: abaixo, prove que f = g.

3. Considere o conjunto L (de listas de nmeros) definido porR1. empty L.R2. Se n e l L, ento nl L.R3. Nada mais pertence a L.

Prove que a soma dos elementos de uma lista de L maior ou igual ao seu tamanho.

4. Considerando a incluso da regra a seguir na definio de L, prove que o nmero de *s (asteriscos) em listas no vazias de L sempre par.

R2,5. Se l L, ento **l L.

nX

i=1

i =n(n+ 1)

2

f(n) =

5 se n = 0f(n 1) + 3 caso contrario g(n) = 5 + 3n

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