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✐✮ ♣❡1 ♦❣♥✐ &♦♣✐❝✱ ❧❡ ♣1♦❜❛❜✐❧✐&= ♣❡1 ♦❣♥✐ ♣❛1♦❧❛ ❞❡❧ ✈♦❝❛❜♦❧❛1✐♦ ✭❞❛✲

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✈❡&&♦1❡ ~wj = (wj,1, wj,2, . . . ) ❞♦✈❡ wj,i E ❧❛ ♣1♦❜❛❜✐❧✐&= ❝❤❡ ❤❛

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✐♥1❡/❢❛❝❝❡✿ ❏❙❖◆✱ ❝❤❡ ♣/❡✈❡❞❡ ❧❛ ❝♦❞✐✜❝❛ ❞❡❧❧❛ 8❡❛/❝❤ /❡2✉❡81 ♥❡❧❧✬❯❘▲ ❡

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♥♦81/♦ ❝❛8♦ 8✐ > ♣/❡❢❡/✐1♦ ✉8✉❢/✉✐/❡ ❞❡❧❧✬✐♥1❡/❢❛❝❝✐❛ ❏❙❖◆ ❞❛1❛ ❧❛ 8❡♠♣❧✐❝✐17

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❙♦♥♦ 81❛1❡ ❡✛❡11✉❛1❡ ❞✉❡ 8❡/✐❡ ❞✐ 8❡❛/❝❤ /❡2✉❡81✿ ✭✐✮ ❧❛ ♣/✐♠❛ ♣❡/

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▲❛ ♠❡,5✐❝❛ ♣❡5 ✈❛❧✉,❛5❡ ❧❡ ♣5❡$,❛③✐♦♥✐ ❞❡❧❧❡ ,❡❝♥✐❝❤❡ $✈✐❧✉♣♣❛,❡ A ❧✬❛❝❝✉#❛❝②✱

❞❡✜♥✐,❛ ❝♦♠❡ ❧❛ ♣❡5❝❡♥,✉❛❧❡✿

accuracy =★ ❛5,✐❝♦❧✐ ❞✐ A ❝♦♥ 5❛❝❝♦♠❛♥❞❛③✐♦♥❡ ❝♦55❡,,❛

★ ❛5,✐❝♦❧✐ ❞✐ A· 100%

■♥ <✉❡$,❛ ,❡$✐ ❧✬❛❝❝✉5❛❝② ✈✐❡♥❡ ❝❛❧❝♦❧❛,❛ $❡❝♦♥❞♦ ❞✉❡ ♠♦❞❛❧✐,4 ❝❤❡ ❞✐❢✲

❢❡5✐$❝♦♥♦ ✐♥ ❜❛$❡ ❛❧ $✐❣♥✐✜❝❛,♦ ❝❤❡ $✐ ❛$$❡❣♥❛ ❛❧❧❡ ♣❛5♦❧❡ ✏5❛❝❝♦♠❛♥❞❛③✐♦♥❡

❝♦55❡,,❛✑✿

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♠❛♥❞❛③✐♦♥❡ ❝♦**❡&&❛ ♣❡' ❧✬❛'8✐❝♦❧♦ a ,❡ ❛❧♠❡♥♦ ✉♥❛ ❞❡❧❧❡ n '❛❝❝♦♠❛♥✲

❞❛③✐♦♥✐ '✐❝❡✈✉8❡ ♥❡❧❧❛ '❡❝♦♠♠❡♥❞✐♥❣ ♣❤❛,❡ ❝♦''✐,♣♦♥❞❡ ❛❧❧❛ ❝♦♥❢❡'❡♥③❛

❞✐ ♣'♦✈❡♥✐❡♥③❛ ❞✐ a✱ ❝❤✐❛♠❛8❛ v(a)✳ ■♥ ❛❧8'❡ ♣❛'♦❧❡✱ ,❡ ,✐ ❞❡✜♥✐,❝❡ ❧❛

❢✉♥③✐♦♥❡ ❞✐ *❛❝❝♦♠❛♥❞❛③✐♦♥❡ ❝♦**❡&&❛ ❞✐ a✿

f✈♠

(a) =

{

1 ,❡ v(a) ∈ Va

0 ❛❧8'✐♠❡♥8✐

❝❤❡ ❡,♣'✐♠❡ ❧❛ ❝♦♥❞✐③✐♦♥❡ ❝❤❡ 8'❛ ❣❧✐ n '✐,✉❧8❛8✐ Va = {v1, . . . , vn} ❞❡❧❧❛

'❡❝♦♠♠❡♥❞✐♥❣ ♣❤❛,❡ ,✐❛ ♣'❡,❡♥8❡ ❧❛ ❝♦♥❢❡'❡♥③❛ v(a)✱ ❛❧❧♦'❛ ❧✬❛❝❝✉'❛❝②

♣✉1 ❡,,❡'❡ ❞❡✜♥✐8❛ ❝♦♠❡✿

accuracy✈♠

=

∑

a∈A f✈♠

(a)

|A|· 100%

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,✉❜❞♦♠❛✐♥ ✭8'❛ ✐ 24 ❞❡✜♥✐8✐ ✐♥ ▼✐❝'♦,♦❢8 ❆❝❛❞❡♠✐❝ ❙❡❛'❝❤

✼

✮ ❝❛'❛88❡'✐③✲

③❛♥♦ ❧❡ n '❛❝❝♦♠❛♥❞❛③✐♦♥✐ ❡ ✈❡'✐✜❝❛ ,❡ ❛❧♠❡♥♦ ✉♥♦ ❞✐ @✉❡,8✐ ❝♦✐♥❝✐❞❡

❝♦♥ ❛❧♠❡♥♦ ✉♥♦ ❞❡✐ ,✉❜❞♦♠❛✐♥ ❝❛'❛88❡'✐③③❛♥8✐ ❧❛ ❝♦♥❢❡'❡♥③❛ ❞✐ ♣'♦✈❡✲

♥✐❡♥③❛ ❞✐ a✱ v(a)✳ ❙❡ ❧❛ ✈❡'✐✜❝❛ ❞E ❡,✐8♦ ♣♦,✐8✐✈♦✱ ✈✐❡♥❡ ❛,,❡❣♥❛8❛ ❛❞

a ✉♥❛ '❛❝❝♦♠❛♥❞❛③✐♦♥❡ ❝♦**❡&&❛✳

❖'❛✱ ♣♦✐❝❤G ♦❣♥✐ ❝♦♥❢❡'❡♥③❛ ❞❡❧ ❞❛8❛,❡8 H ❝❛'❛88❡'✐③③❛8❛ ❞❛ ✉♥ ♥✉♠❡'♦

❞✐ ,✉❜❞♦♠❛✐♥ ❝❤❡ ✈❛ ❞❛ 0 ❛ 3 ❡ ✐ ❞✐✈❡',✐ ,✉❜❞♦♠❛✐♥ s ♣♦,,♦♥♦ ❡,,❡'❡

✐❞❡♥8✐✜❝❛8✐ ❝♦♥ ❞❡❣❧✐ ✐♥8❡'✐ ❞❛ 1 ❛ 24✱ ,✐ ♣✉1 ❞❡✜♥✐'❡ ❧✬✐♥,✐❡♠❡ ❞❡✐

,✉❜❞♦♠❛✐♥ ❞❡❧❧❛ ❣❡♥❡'✐❝❛ ❝♦♥❢❡'❡♥③❛ v ❝♦♠❡ Sv = {s1, . . . , sq}✱ 0 ≤q ≤ 3✳ ❉❛8✐ ❧✬✐♥,✐❡♠❡ ❞❡✐ ,✉❜❞♦♠❛✐♥ ❞✐ v(a)✱ Sv(a)✱ ❡ ❣❧✐ n ✐♥,✐❡♠✐ ❞❡✐

,✉❜❞♦♠❛✐♥ ❞❡❧❧❡ '❛❝❝♦♠❛♥❞❛③✐♦♥✐ S1, . . . , Sn✱ ,✐ ❞❡✜♥✐,❝❡ ❧❛ ❢✉♥③✐♦♥❡

❞✐ *❛❝❝♦♠❛♥❞❛③✐♦♥❡ ❝♦**❡&&❛ ❞✐ a✿

f#♠

(a) =

{

1 ,❡ Sv(a) ∩⋃n

i=1 Si 6= ∅

0 ❛❧8'✐♠❡♥8✐

❊,,❛ ❡,♣'✐♠❡ ✐❧ ❢❛88♦ ❝❤❡ H ,✉✣❝✐❡♥8❡ ❧❛ ♣'❡,❡♥③❛ ❞✐ ✉♥ ,♦❧♦ ,✉❜❞♦♠❛✐♥

✐♥ ❝♦♠✉♥❡ 8'❛ ❧❛ ❝♦♥❢❡'❡♥③❛ ❞❡❧❧✬❛'8✐❝♦❧♦ a ❡ ❧✬✉♥✐♦♥❡ ❞❡❧❧❡ ❝♦♥❢❡'❡♥③❡

'❛❝❝♦♠❛♥❞❛8❡ ♣❡'❝❤G ✈✐ ,✐❛ ✉♥❛ '❛❝❝♦♠❛♥❞❛③✐♦♥❡ ❝♦''❡88❛✳ ❆❧❧♦'❛ ,✐

♣✉1 ❞❡✜♥✐'❡ ❧✬❛❝❝✉'❛❝②✿

accuracy#♠

=

∑

a∈A f#♠

(a)

|A|· 100%

✼

❙✐ "✐❝♦"❞❛ ❧❛ (♣✐❡❣❛③✐♦♥❡ ❢♦"♥✐/❛ ❛❧ ❝❛♣✐/♦❧♦ ✸✳✸✳

✹✳ ❱❛❧✉&❛③✐♦♥❡ ,♣❡.✐♠❡♥&❛❧❡ ✷✻

▲❛ ♥❡❝❡''✐)* ❞✐ ❞✉❡ ❞✐')✐♥)❡ ❢♦/♠✉❧❛③✐♦♥✐ ❞❡❧❧✬❛❝❝✉/❛❝② 5 ♠♦)✐✈❛)❛ ❞❛❧

❢❛))♦ ❝❤❡ ❧❛ ♣/✐♠❛ ❢♦/♥✐'❝❡ ✉♥ ❧✐♠✐)❡ ✐♥❢❡/✐♦/❡ ♣❡/ )✉))✐ ✐ ✈❛❧♦/✐ ❞✐ ❛❝❝✉/❛✲

❝②✱ ♠❡♥)/❡ ❧❛ '❡❝♦♥❞❛ ❢♦/♥✐'❝❡ ✉♥ ✐♥❞✐❝❡ ❞✐ ♣/❡')❛③✐♦♥✐ ♣✐; ❛))✐♥❡♥)❡ ❝♦♥

❧✬✉)✐❧✐③③♦ ♣/❛)✐❝♦ ❞❡❧ '✐')❡♠❛✳

▲❛ ♣/✐♠❛ ♠♦❞❛❧✐)* ✐♥❢❛))✐ ❞❡'❝/✐✈❡ ❧❛ '✐)✉❛③✐♦♥❡ ✐♥ ❝✉✐ '✐ ❞❡'✐❞❡/❛ ❛'✲

'❡❣♥❛/❡ ✉♥ ❛/)✐❝♦❧♦ ❡!❛##❛♠❡♥#❡ ❛❧❧❛ ❝♦♥❢❡/❡♥③❛ ✐♥ ❝✉✐ 5 ')❛)♦ ♣✉❜❜❧✐❝❛)♦✳

➮ ✉♥ ❝♦♠♣✐)♦ ❞✐✣❝✐❧❡ ✐♥ ❢❛'❡ ❞✐ )❡')✱ ✈✐')❛ ❧❛ )✐♣♦❧♦❣✐❛ ❞❡✐ ❞❛)✐ /✐❝❤✐❡')✐

♣❡/ ❧❛ /❛❝❝♦♠❛♥❞❛③✐♦♥❡✱ ❛✐ ❝♦♥❝❡))✐ ♠❛)❡♠❛)✐❝✐ ❛❞♦))❛)✐ ❡ ❛❧ ❣/❛♥ ♥✉♠❡/♦

❞✐ ♣♦''✐❜✐❧✐ /❛❝❝♦♠❛♥❞❛③✐♦♥✐✱ ♠❛ '♦♣/❛))✉))♦ 5 ✉♥ ❝♦♠♣✐)♦ ✐♥✈❡/♦'✐♠✐❧❡

♥❡❧❧✬✉)✐❧✐③③♦ /❡❛❧❡✿ ❧❛ ❝♦♥❢❡/❡♥③❛ ❞✐ ♣/❡'❡♥)❛③✐♦♥❡ ❞❡❧❧✬❛/)✐❝♦❧♦ '♦))♦♠❡''♦

'❛/* ✐❧ &✐!✉❧#❛#♦ ❞❡❧❧❛ /❛❝❝♦♠❛♥❞❛③✐♦♥❡✱ ♥♦♥ ✉♥ ❞❛)♦ ♥♦)♦ ❛❧ '✐')❡♠❛ ❛

♣/✐♦/✐✳ ■♥❢❛))✐ ✐♥ C✉❡')♦ ❝❛'♦ 5 ✐♠♣♦''✐❜✐❧❡ ❞❡)❡/♠✐♥❛/❡ '❡ ❧❛ ❝♦♥❢❡/❡♥③❛

/❛❝❝♦♠❛♥❞❛)❛ 5 C✉❡❧❧❛ ❣✐✉')❛✱ ✈✐')♦ ❝❤❡ ❧✬❛/)✐❝♦❧♦ ♥♦♥ 5 ❛♥❝♦/❛ ')❛)♦ ♣✉❜✲

❜❧✐❝❛)♦ ❛❞ ❛❧❝✉♥❛ ❝♦♥❢❡/❡♥③❛❀ ❞✬❛❧)/♦ ❝❛♥)♦ ❧✬♦❜✐❡))✐✈♦ ❞✐ C✉❡')❛ )❡'✐ 5 ❝❤❡

❧❛ ❝♦♥❢❡/❡♥③❛ /❛❝❝♦♠❛♥❞❛)❛ '✐❛ ❧❛ ♠✐❣❧✐♦&❡ ✐♥ ❜❛'❡ ❛✐ ❝/✐)❡/✐ '✈✐❧✉♣♣❛)✐

♣❡/ ❧❡ )/❡ )❡❝♥✐❝❤❡✳

▲❛ '❡❝♦♥❞❛ ♠♦❞❛❧✐)* ❢♦/♥✐'❝❡ ✐♥✈❡❝❡ ✉♥ ✐♥❞✐❝❡ ❞✐ ♣/❡')❛③✐♦♥✐ ♣✐; ✈❡✲

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❧❡ ❝♦♥❢❡/❡♥③❡ /❛❝❝♦♠❛♥❞❛)❡ ❝♦♥ C✉❡❧❧✐ ❞❡❧❧❛ ❝♦♥❢❡/❡♥③❛ ❞✐ ♣/❡'❡♥)❛③✐♦♥❡

❞❡❧❧✬❛/)✐❝♦❧♦✳ ■♥)✉✐)✐✈❛♠❡♥)❡✱ ❝♦✐♥❝✐❞❡ ❝♦♥ ❧♦ '❝❡♥❛/✐♦ ❞✐ ✉)✐❧✐③③♦ ♣/❛)✐❝♦

❞❡❧ '✐')❡♠❛✱ ❝❤❡ ❝♦♥'✐')❡ ♥❡❧❧✬✐♥❞✐/✐③③❛/❡ ❧✬❛/)✐❝♦❧♦ ✈❡/'♦ ❝♦♥❢❡/❡♥③❡ ❝❤❡

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✹✳✷✳✸ ❇❛&❡❧✐♥❡

◆❡❧❧✬■♥)/♦❞✉③✐♦♥❡ '✐ 5 '❝/✐))♦ ❝❤❡ ♥♦♥ ❡'✐')♦♥♦ ✐♥ ❧❡))❡/❛)✉/❛ ❞❡❧❧❡ ❜❛'❡❧✐♥❡

❝❤❡ ♣❡/♠❡))❛♥♦ ❞✐ ✈❡/✐✜❝❛/❡ ❧❛ C✉❛❧✐)* ❞❡❧❧❡ '♦❧✉③✐♦♥✐ ❛❧ ♣/♦❜❧❡♠❛✳ ■♥❢❛)✲

)✐✱ ✐❧ ♣/♦❜❧❡♠❛ ❞❡❧❧❛ /❛❝❝♦♠❛♥❞❛③✐♦♥❡ ❞✐ ❝♦♥❢❡/❡♥③❡ ❛✛/♦♥)❛)♦ ♥❡❧ ♠♦❞♦

❞❡'❝/✐))♦ ✐♥ C✉❡')❛ )❡'✐ 5 ♥✉♦✈♦ ❡ ❤❛ /✐❝❤✐❡')♦ ❞✐ ❞❡✜♥✐/❡ ❞❛ ③❡/♦ ❞❡❧❧❡ ❜❛'❡✲

❧✐♥❡ '✐❣♥✐✜❝❛)✐✈❡✳ ❆ )❛❧ ♣/♦♣♦'✐)♦ '✐ 5 ❞❡❝✐'♦ ❞✐ ❝♦♥'✐❞❡/❛/❡ ❝♦♠❡ ❜❛'❡❧✐♥❡

❧❡ ♣/♦❜❛❜✐❧✐)* ❡ ❧❡ ❛❝❝✉/❛❝② ❞✐ ✉♥❛ '❝❡❧)❛ ❝❛'✉❛❧❡ ❞❡❧❧❡ /❛❝❝♦♠❛♥❞❛③✐♦♥✐✱

♦ &❛❝❝♦♠❛♥❞❛③✐♦♥❡ ❝❛!✉❛❧❡✱ ♣❡/ ❡♥)/❛♠❜❡ ❧❡ ♠♦❞❛❧✐)* ♦''❡/✈❛)❡✳

❛✮ ◆❡❧❧❛ ♠♦❞❛❧✐)* ✈❡♥✉❡ ♠❛)❝❤✱ ❧❛ ♣/♦❜❛❜✐❧✐)* 5 /❛♣♣/❡'❡♥)❛)❛ ❞❛ ✉♥❛

'❡♠♣❧✐❝❡ ❞✐')/✐❜✉③✐♦♥❡ ❞✐'❝/❡)❛ ✉♥✐❢♦/♠❡

✽

✳

• ❙❡ '✐ /❛❝❝♦♠❛♥❞❛ ✉♥❛ '♦❧❛ ❝♦♥❢❡/❡♥③❛ ❛❞ ✉♥ ❛/)✐❝♦❧♦✱ ❧❛ ♣/♦❜❛❜✐✲

❧✐)* ❞✐ '❝❡❧)❛ ❝❛'✉❛❧❡ ✈❛❧❡

P (/❛❝❝♦♠❛♥❞❛③✐♦♥❡ ❝❛'✉❛❧❡) =1

300= 0.003̄

❝✐♦5 ✉♥✬❛❝❝✉/❛❝② ❞❡❧❧♦ 0.3̄%✳

✽

❙✐ ✈❡❞❛ ❛❧ '✐❣✉❛'❞♦ ❤!!♣✿✴✴✐!✳✇✐❦✐♣❡❞✐❛✳♦-❣✴✇✐❦✐✴❉✐0!-✐❜✉③✐♦♥❡❴❞✐0❝-❡!❛❴✉♥✐❢♦-♠❡

✷✼ ❛"❛♠❡%"✐ ❞❡❧❧❛ ✈❛❧✉%❛③✐♦♥❡

• ❙❡ ✐♥✈❡❝❡✱ ❝♦♠❡ +✉❝❝❡❞❡ ♥❡✐ ♠❡.♦❞✐ ✈❛❧✉.❛.✐ ♥❡❧ +❡❣✉✐.♦✱ +✐ 2❛❝✲

❝♦♠❛♥❞❛♥♦ n = 3 ❝♦♥❢❡2❡♥③❡✱ ❧❛ ♣2♦❜❛❜✐❧✐.8 ❞✐ +❝❡❧.❛ ❝❛+✉❛❧❡

✈❛❧❡

P (2❛❝❝♦♠❛♥❞❛③✐♦♥❡ ❝❛+✉❛❧❡) =3

300= 0.01

❡ ❧✬❛❝❝✉2❛❝② ❞✐✈❡♥.❛ ❞❡❧❧✬1%✳

• ■♥ ❣❡♥❡2❛❧❡✱ ✐♥✜♥❡✱ +❡ +✐ 2❛❝❝♦♠❛♥❞❛♥♦ n ≤ N ❝♦♥❢❡2❡♥③❡✱ ❧❛

♣2♦❜❛❜✐❧✐.8 ❞✐ +❝❡❧.❛ ❝❛+✉❛❧❡ ✈❛❧❡

P (2❛❝❝♦♠❛♥❞❛③✐♦♥❡ ❝❛+✉❛❧❡) =n

N

❡ ❧✬❛❝❝✉2❛❝② ❞✐✈❡♥.❛

nN

· 100%✳

❜✮ ◆❡❧❧❛ ♠♦❞❛❧✐.8 +✉❜❞♦♠❛✐♥ ♠❛.❝❤ ✐❧ ❝❛❧❝♦❧♦ A ❞❡❝✐+❛♠❡♥.❡ ♣✐B ❝♦♠♣❧❡+✲

+♦✱ ♣❡2❝❤A v(a) ♣✉C ❛♣♣❛2.❡♥❡2❡ ❛ 0, 1, 2 ♦♣♣✉2❡ 3 +✉❜❞♦♠❛✐♥✱ ❝♦♠❡

❞❡❧ 2❡+.♦ ❧❡ n ❝♦♥❢❡2❡♥③❡ 2❛❝❝♦♠❛♥❞❛.❡ ❛❞ a❀ ✐♥♦❧.2❡ ✐ +✉❜❞♦♠❛✐♥ ❞❡❧❧❡

2❛❝❝♦♠❛♥❞❛③✐♦♥✐ ♣♦++♦♥♦ ❡++❡2❡ 2✐♣❡.✉.✐✱ ❝✐♦A ✐❧ +✉❜❞♦♠❛✐♥ s ❛++♦❝✐❛✲

.♦ ❛❞ ✉♥❛ 2❛❝❝♦♠❛♥❞❛③✐♦♥❡ ♣✉C ❝❛2❛..❡2✐③③❛2❡ ❛♥❝❤❡ ❛❧.2❡ ❝♦♥❢❡2❡♥③❡

2❛❝❝♦♠❛♥❞❛.❡✳

■♥♥❛♥③✐.✉..♦ A ♥❡❝❡++❛2✐♦ ❝♦♥+✐❞❡2❛2❡ ❧❛ +❡❣✉❡♥.❡ ❛♣♣2♦++✐♠❛③✐♦♥❡✿

♦❣♥✐ ❝♦♥❢❡2❡♥③❛ ❞❡❧ ❞❛.❛+❡. A ❛++♦❝✐❛.❛ ❛ 0, 1, 2 ♦♣♣✉2❡ 3 +✉❜❞♦♠❛✐♥❀

❞❛❧❧❛ .❛❜❡❧❧❛ ✹✳✶ +✐ ♥♦.❛ ♣❡2C ❝❤❡ ❜✉♦♥❛ ♣❛2.❡ ❞❡❧❧❡ ❝♦♥❢❡2❡♥③❡ ❤❛ ✉♥ +♦✲

❧♦ +✉❜❞♦♠❛✐♥ ❛++❡❣♥❛.♦ ❞❛ ▼✐❝2♦+♦❢. ❆❝❛❞❡♠✐ ❙❡❛2❝❤✱ ♣❡2 ❝✉✐ +✐ ❛++✉✲

♠❡ ❝❤❡ ♦❣♥✐ ❝♦♥❢❡2❡♥③❛ ❞❡❧ ❞❛.❛+❡. ❛♣♣❛2.❡♥❣❛ ❛❞ ✉♥ +♦❧♦ +✉❜❞♦♠❛✐♥✳

★ !✉❜❞♦♠❛✐♥ ★ ❝♦♥❢❡-❡♥③❡

✵ ✷✹

✶ ✷✹✷

✷ ✸✵

✸ ✹

❚❖❚❆▲❊✿ ✸✵✵

❚❛❜❡❧❧❛ ✹✳✶✿ ❈♦♥❢❡"❡♥③❡ ♣❡" ♥✉♠❡"♦ ❞✐ 1✉❜❞♦♠❛✐♥ ❛11♦❝✐❛%✐ ♥❡❧ ❞❛%❛1❡%✳

❙✐ ✈♦❣❧✐♦♥♦ .❡♥❡2❡ ✐♥ ❝♦♥+✐❞❡2❛③✐♦♥❡ .✉..✐ ✐ ❝❛+✐ ♣♦++✐❜✐❧✐✿ ✶ 2❛❝❝♦✲

♠❛♥❞❛③✐♦♥❡ ❝♦22❡..❛ +✉ n✱ ✷ 2❛❝❝♦♠❛♥❞❛③✐♦♥✐ ❝♦22❡..❡ +✉ n✱ ✜♥♦ ❛ n2❛❝❝♦♠❛♥❞❛③✐♦♥✐ ❝♦22❡..❡ +✉ n✳ ❉✐ ❝♦♥+❡❣✉❡♥③❛ ❧❛ ♣2♦❜❛❜✐❧✐.8 A ❞❛.❛

❞❛✿

P (2❛❝❝♦♠❛♥❞❛③✐♦♥❡ ❝❛+✉❛❧❡) =n∑

k=1

P (k 2❛❝❝♦♠✳ ❝♦22❡..❡ +✉ n)

❡ ♦❣♥✐ ❛❞❞❡♥❞♦ +❡❣✉❡ ✉♥❛ ❞✐+.2✐❜✉③✐♦♥❡ ❞✐ ♣2♦❜❛❜✐❧✐.8 ❜✐♥♦♠✐❛❧❡ B(n, p)✳❊++❛ 2✐❝❤✐❡❞❡ .2❡ ♣❛2❛♠❡.2✐✿ p ❝✐♦A ❧❛ ♣2♦❜❛❜✐❧✐.8 ❞✐ +✉❝❝❡++♦ ❞❡❧❧❛ +✐♥✲

❣♦❧❛ ♣2♦✈❛✱ n ❝✐♦A ✐❧ ♥✉♠❡2♦ ❞✐ ♣2♦✈❡ ❡✛❡..✉❛.❡✱ k ❝✐♦A ✐❧ ♥✉♠❡2♦ ❞✐

✹✳ ❱❛❧✉&❛③✐♦♥❡ ,♣❡.✐♠❡♥&❛❧❡ ✷✽

"✉❝❝❡""✐ ♥❡❧❧❡ ♣*♦✈❡ ❡✛❡..✉❛.❡❀ ♥♦.❡ 1✉❡".❡ 1✉❛♥.✐.2✱ ❧❛ ❞✐".*✐❜✉③✐♦♥❡

❞✐ ♣*♦❜❛❜✐❧✐.2 ✈❛❧❡ P (k) =(

nk

)

pkqn−k✳

◆❡❧ ♥♦".*♦ ❝❛"♦ n = 3 ❡ k = 1, 2, 3✳ p 9 ❝❛❧❝♦❧❛.❛ ❝♦♠❡ ♠❡❞✐❛✱ "✉❧

♥✉♠❡*♦ .♦.❛❧❡ ❞✐ "✉❜❞♦♠❛✐♥✱ ❞❡✐ *❛♣♣♦*.✐ .*❛ ✐♥❞✐❝❡ ❞❡❧ &✉❜❞♦♠❛✐♥ ❡

♥✉♠❡*♦ .♦.❛❧❡ ❞✐ ❝♦♥❢❡*❡♥③❡ N ✳ ▲✬✐♥❞✐❝❡ ❞❡❧ "✉❜❞♦♠❛✐♥ 9 ❞❡✜♥✐.♦ ♣❡*

♦❣♥✐ "✉❜❞♦♠❛✐♥ s ❝♦♠❡✿

index(s) =

N∑

i=1

a(s ∈ Svi)

❞♦✈❡ ✐ .❡*♠✐♥✐ a(s ∈ Sv) ❝♦**✐"♣♦♥❞♦♥♦ ❛❧❧❡ ✏❛♣♣❛*.❡♥❡♥③❡ ♥♦*♠❛❧✐③✲

③❛.❡✑ ❞❡❧❧❡ "✐♥❣♦❧❡ ❝♦♥❢❡*❡♥③❡ ❛ 1✉❡❧ "✉❜❞♦♠❛✐♥ ✭Sv 9 ❧✬✐♥"✐❡♠❡ ❞❡✐

"✉❜❞♦♠❛✐♥ ❞❡❧❧❛ ❝♦♥❢❡*❡♥③❛ v✮✿

a(s ∈ Sv) =

{

1q

"❡ s ∈ Sv ❡ |Sv| = q

0 "❡ s /∈ Sv

■♥.✉✐.✐✈❛♠❡♥.❡✱ ✉♥❛ ❝♦♥❢❡*❡♥③❛ v ♣✉G ❛♣♣❛*.❡♥❡*❡ ❛❞ ✉♥ "✉❜❞♦♠❛✐♥

s ♣❡* ✉♥❛ ❝❡*.❛ ❢*❛③✐♦♥❡

1q✱ q ♥✉♠❡*♦ ❞✐ "✉❜❞♦♠❛✐♥ ❛""❡❣♥❛.✐ ❛ v ♥❡❧

❞❛.❛"❡.✳ ■♥ .❛❜❡❧❧❛ ✹✳✷ "✐ ✈❡❞♦♥♦ ✐ ✈❛❧♦*✐ ❞❡❣❧✐ ✐♥❞✐❝✐ ❞❡✐ 24 "✉❜❞♦♠❛✐♥

❞❡❧ ❞❛.❛"❡.✳

❆❧❧♦*❛✿

p =

∑24j=1

index(sj)300

24❡ ❝♦✐ ❞❛.✐ ❞✐ .❛❜❡❧❧❛ ✹✳✷ "✐ ♦..✐❡♥❡ p = 0.038333✳

■♥✜♥❡ "✐ ♣♦""♦♥♦ ❝❛❧❝♦❧❛*❡ ♣*♦❜❛❜✐❧✐.2 ❞✐ *❛❝❝♦♠❛♥❞❛③✐♦♥❡ ❝❛"✉❛❧❡ ❡

❛❝❝✉*❛❝②✿

• "❡ "✐ *❛❝❝♦♠❛♥❞❛ ✉♥❛ "♦❧❛ ❝♦♥❢❡*❡♥③❛ ❛❞ ✉♥ ❛*.✐❝♦❧♦✿

P (*❛❝❝♦♠❛♥❞❛③✐♦♥❡ ❝❛"✉❛❧❡) =

(

1

1

)

p1q0 = p = 0.038333

❡ ❧✬❛❝❝✉*❛❝② 9 3.83%✳

• ❙❡ ✐♥✈❡❝❡✱ ❝♦♠❡ "✉❝❝❡❞❡ ♥❡✐ ♠❡.♦❞✐ ✈❛❧✉.❛.✐ ♥❡❧ "❡❣✉✐.♦✱ "✐ *❛❝✲

❝♦♠❛♥❞❛♥♦ n = 3 ❝♦♥❢❡*❡♥③❡✱ ❧❛ ♣*♦❜❛❜✐❧✐.2 ❞✐ "❝❡❧.❛ ❝❛"✉❛❧❡

✈❛❧❡✿

P (*❛❝❝♦♠❛♥❞❛③✐♦♥❡ ❝❛"✉❛❧❡) =3

∑

k=1

P (k *❛❝❝♦♠✳ ❝♦**❡..❡ "✉ 3)

=

(

3

1

)

p1q2 +

(

3

2

)

p2q1 +

(

3

3

)

p3q0

= 0.10635147 + 0.00423927 + 0.00005633

= 0.11064707

✷✾ ❛"❛♠❡%"✐ ❞❡❧❧❛ ✈❛❧✉%❛③✐♦♥❡

❙✉❜❞♦♠❛✐♥ index(s)

✶ 14.50✷ 26.33✸ 21.67✹ 26.00✺ 21.50✻ 7.50✼ 6.67✽ 4.83✾ 7.83✶✵ 3.33✶✶ 5.00✶✷ 17.00✶✸ 7.50✶✹ 30.50✶✺ 6.00✶✻ 24.50✶✼ 6.33✶✽ 14.33✶✾ 6.17✷✵ 1.50✷✶ 4.00✷✷ 1.00✷✸ 2.00✷✹ 10.00

❚❛❜❡❧❧❛ ✹✳✷✿ ■♥❞✐❝✐ ❞❡✐ 24 0✉❜❞♦♠❛✐♥ ❞❡❧ ❞❛%❛0❡%✳

❡ ❧✬❛❝❝✉(❛❝② ❞✐✈❡♥.❛ ❞❡❧❧✬11.06%✳

• ■♥ ❣❡♥❡(❛❧❡✱ ✐♥✜♥❡✱ 4❡ 4✐ (❛❝❝♦♠❛♥❞❛♥♦ n ≤ N ❝♦♥❢❡(❡♥③❡✱ ❧❛

♣(♦❜❛❜✐❧✐.; ❞✐ 4❝❡❧.❛ ❝❛4✉❛❧❡ ✈❛❧❡✿

P ((❛❝❝♦♠❛♥❞❛③✐♦♥❡ ❝❛4✉❛❧❡) =n∑

k=1

P (k (❛❝❝♦♠✳ ❝♦((❡..❡ 4✉ n)

=

n∑

k=1

(

n

k

)

pkqn−k

❡ ❧✬❛❝❝✉(❛❝② ❞✐✈❡♥.❛

∑nk=1

(

nk

)

pkqn−k · 100%✳

■ 4✉❞❞❡..✐ ✈❛❧♦(✐ ❝♦4.✐.✉✐4❝♦♥♦ ❧❛ ❜❛4❡❧✐♥❡ ♣❡( ❧❛ ✈❛❧✉.❛③✐♦♥❡ ❞❡❧❧❡ ♣(❡✲

4.❛③✐♦♥✐ ❞❡❧❧❡ .❡❝♥✐❝❤❡ 4✈✐❧✉♣♣❛.❡✱ ✐♥ ?✉❛♥.♦ ♥♦♥ 4✐ ❞✐4♣♦♥❡ ❞✐ (✐4✉❧.❛.✐ ♦

✈❛❧✉.❛③✐♦♥✐ ❞✐ ❛❧.(✐ ♠❡.♦❞✐ ♣❡( ?✉❡4.♦ 4♣❡❝✐✜❝♦ ❝♦♠♣✐.♦ ❞✐ (❛❝❝♦♠❛♥❞❛✲

③✐♦♥❡✳ ■♥ ❛❧.(✐ .❡(♠✐♥✐✱ @ ✐♥❞✐4♣❡♥4❛❜✐❧❡ ❝❤❡ ❧❡ .❡❝♥✐❝❤❡ ❞❡4❝(✐..❡ ✐♥ ?✉❡4.❛

.❡4✐ 4✉♣❡(✐♥♦ ❧✬❛❝❝✉(❛❝② ❞❡❧❧❡ (❛❝❝♦♠❛♥❞❛③✐♦♥✐ ❝❛4✉❛❧✐✳

✹✳ ❱❛❧✉&❛③✐♦♥❡ ,♣❡.✐♠❡♥&❛❧❡ ✸✵

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❝♦♥❞♦ ❈❛✈♥❛)✲❚)❡♥❦❧❡

◗✉❡#$♦ ❛♣♣+♦❝❝✐♦ ❛❧❧❛ ❝❛$❡❣♦+✐③③❛③✐♦♥❡ ❞❡❧ $❡#$♦ ❢❛ ✉#♦ ❞❡❣❧✐ ♥✲❣+❛♠♠✐✳

❊##✐ #♦♥♦ #♦$$♦#❡6✉❡♥③❡ ❝♦♥$✐❣✉❡ ❞✐ n ❡❧❡♠❡♥$✐ ❞✐ ✉♥❛ ❞❛$❛ #❡6✉❡♥③❛❀#❡❝♦♥❞♦ ❧✬❛♣♣❧✐❝❛③✐♦♥❡✱ ♣♦##♦♥♦ ❡##❡+❡ ❧❡$$❡+❡✱ #✐❧❧❛❜❡✱ ❢♦♥❡♠✐✱ ♣❛+♦❧❡✱

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❝♦♥ n = 2, . . . , 4✿

❜✐❣#❛♠♠✐ ❴❚✱ ❚❊✱ ❊❙✱ ❙❚✱ ❚❖✱ ❖❴

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✹✲❣#❛♠♠✐ ❴❚❊❙✱ ❚❊❙❚✱ ❊❙❚❖✱ ❙❚❖❴✱ ❚❖❴❴✱ ❖❴❴❴

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❚❛❜❡❧❧❛ ❆✳✶✿ ♥✲❣#❛♠♠✐ ❞❡❧❧❛ ♣❛#♦❧❛ ✏❚❊❙❚❖✑✳

✸✾

❆✳ ❈♦♥❝❡''✐ ♠❛'❡♠❛'✐❝✐ ✹✵

■♥ ❣❡♥❡&❛❧❡✱ ✉♥❛ +❡,✉❡♥③❛ ❞✐ ❧✉♥❣❤❡③③❛ k✱ ❞❡❧✐♠✐2❛2❛ ❞❛ ✉♥ +✐♠❜♦❧♦

❜❧❛♥❦ ✭♥❡❧ ❝❛+♦ ♣&❡❝❡❞❡♥2❡✱ ✐❧ +✐♠❜♦❧♦ ❵❴✬✮✱ ❤❛ k + 1 ❜✐❣&❛♠♠✐✱ k + 12&✐❣&❛♠♠✐✱ k + 1 ✹✲❣&❛♠♠✐✱ ❡ ❝♦+> ✈✐❛✳

▲✬❛♣♣&♦❝❝✐♦ ❞✐ ❈❛✈♥❛& ❡ ❚&❡♥❦❧❡ ❬✹❪ +✐ ❜❛+❛ +✉❧ ❝❛❧❝♦❧♦ ❡ +✉❧ ❝♦♥❢&♦♥2♦

❞❡✐ ♣&♦✜❧✐ ❞❡❧❧❡ ❢&❡,✉❡♥③❡ ❞❡❣❧✐ ♥✲❣&❛♠♠✐ ❣❡♥❡&❛2✐ ♣❡& ♦❣♥✐ 2❡+2♦ ❡ ♣❡&

♦❣♥✐ ❝❛2❡❣♦&✐❛ ✭♦ ❧✐♥❣✉❛❣❣✐♦✮✱ ✐♥ ♠♦❞♦ ❞❛ &✐✉+❝✐&❡ ❛ ❝❧❛++✐✜❝❛&❡ ❝✐❛+❝✉♥

2❡+2♦ ✐♥ ✉♥✬✉♥✐❝❛ ❝❛2❡❣♦&✐❛✳

■❧ ♣&✐♠♦ ♣❛++♦ ❝♦♥+✐+2❡ ♥❡❧❧✬❛❞❞❡+2&❛&❡ ✐❧ +✐+2❡♠❛ ❝❛❧❝♦❧❛♥❞♦ ✐ ♣&♦✜❧✐

❞❡❧❧❡ ❝❛2❡❣♦&✐❡ +✉❧ 2&❛✐♥✐♥❣ +❡2✱ ❝✐♦H +✉ ✉♥ ✐♥+✐❡♠❡ ❞✐ 2❡+2✐ ❣✐I ❝❛2❡❣♦&✐③✲

③❛2✐✳ ❙✐ ♣&♦❝❡❞❡ ❝✐♦H ❛ ❝♦♥2❛&❡✱ ♣❡& ♦❣♥✐ ❝❛2❡❣♦&✐❛✱ ❧❡ ♦❝❝♦&&❡♥③❡ ❞❡❣❧✐

♥✲❣&❛♠♠✐ ✭❝♦♥ n = 1, . . . , 5✮ +✉ 2✉22✐ ✐ 2❡+2✐ ❞❡❧ 2&❛✐♥✐♥❣ +❡2 ❛♣♣❛&2❡♥❡♥2✐

❛❧❧❛ ❝❛2❡❣♦&✐❛ ✐♥ ❡+❛♠❡✳ ❙✐ ♦&❞✐♥❛♥♦ ♣♦✐ ❣❧✐ ♥✲❣&❛♠♠✐ ✐♥ ♦&❞✐♥❡ ❞❡❝&❡+❝❡♥✲

2❡ ❞✐ ❢&❡,✉❡♥③❛ ❡ +✐ +❛❧✈❛♥♦ +♦❧2❛♥2♦ ✐ ♣&✐♠✐ ✸✵✵✱ ✐ ,✉❛❧✐ ✈❛♥♥♦ ❛ ❝♦♠♣♦&&❡

✐❧ ♣!♦✜❧♦ ❞❡❧❧❛ ❝❛2❡❣♦&✐❛✳

L❡& 2❡+2❛&❡ ✐❧ +✐+2❡♠❛✱ +✐ +♦22♦♣♦♥❡ ✉♥ ♥✉♦✈♦ ❞♦❝✉♠❡♥2♦ ♣❡& ✐❧ ,✉❛❧❡

✈✐❡♥❡ ❝❛❧❝♦❧❛2♦ ✉♥ ♣&♦✜❧♦ ✐♥ ♠❛♥✐❡&❛ ❛♥❛❧♦❣❛ ❛ ,✉❛♥2♦ ✈✐+2♦ ♥❡❧ ♣&❡❝❡❞❡♥2❡

♣❛&❛❣&❛❢♦✳ ❱✐❡♥❡ ♠✐+✉&❛2❛ ❧❛ ❞✐+2❛♥③❛ 2&❛ ✐❧ ♣&♦✜❧♦ ❞❡❧ ❞♦❝✉♠❡♥2♦ ❡ ✐❧

♣&♦✜❧♦ ❞✐ ♦❣♥✐ ❝❛2❡❣♦&✐❛✿ ❛✮ ♣❡& ♦❣♥✐ ♥✲❣&❛♠♠❛ ♥❡❧ ♣&♦✜❧♦ ❞❡❧ ❞♦❝✉♠❡♥2♦

+✐ ❝❡&❝❛ ❧❛ +✉❛ ❝♦♥2&♦♣❛&2❡ ♥❡❧ ♣&♦✜❧♦ ❞❡❧❧❛ ❝❛2❡❣♦&✐❛ ❡ +✐ ❝❛❧❝♦❧❛ ❞✐ ,✉❛♥2❡

♣♦+✐③✐♦♥✐ ❞✐✛❡&✐+❝♦♥♦ ✭♦✉&✲♦❢✲♣❧❛❝❡ ♠❡❛-✉!❡✮❀ ❜✮ +❡ ✉♥ ♥✲❣&❛♠♠❛ ♥♦♥ H

♣&❡+❡♥2❡ ♥❡❧ ♣&♦✜❧♦ ❞❡❧❧❛ ❝❛2❡❣♦&✐❛✱ ❣❧✐ +✐ ❛++❡❣♥❛ ✉♥ ✈❛❧♦&❡ ♠❛++✐♠♦ ❞✐

♦✉2✲♦❢✲♣❧❛❝❡ ♠❡❛+✉&❡❀ ❝✮ ❧❛ +♦♠♠❛ ❞✐ 2✉22❡ ❧❡ ♦✉2✲♦❢✲♣❧❛❝❡ ♠❡❛+✉&❡ H ❧❛

❞✐+2❛♥③❛ 2&❛ ✐ ♣&♦✜❧✐ ❞❡❧ ❞♦❝✉♠❡♥2♦ ❡ ❞❡❧❧❛ ❝❛2❡❣♦&✐❛✳

■❧ +✐+2❡♠❛ ✐♥✜♥❡ ❛++❡❣♥❛ ❛❧ ❞♦❝✉♠❡♥2♦ ❧❛ ❝❛2❡❣♦&✐❛ ❛❧❧❛ ♠✐♥♦& ❞✐+2❛♥③❛

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❱❛❧✉2❛③✐♦♥✐ +♣❡&✐♠❡♥2❛❧✐ ❡+♣♦+2❡ ✐♥ ❬✹❪ &✐♣♦&2❛♥♦ ✉♥✬❛❝❝✉&❛2❡③③❛ ♣❛&✐

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&❛2✐✈♦ ♣❡& ❝♦❧❧❡③✐♦♥✐ ❞✐ ❞❛2✐✱ ♥❡❧❧❛ ❢❛22✐+♣❡❝✐❡ ♣❡& ❝♦❧❧❡③✐♦♥✐ ✕♦ ❝♦&♣♦&❛✕

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❣❡♥❡&❛2✐✈✐ ❞✐ 2♦♣✐❝✱ ♠❡2♦❞✐ +2❛2✐+2✐❝✐ ❝❤❡ ❛♥❛❧✐③③❛♥♦ ❧❡ ♣❛&♦❧❡ ❞❡✐ 2❡+2✐ ♣❡&

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▲❛ ❞❡❝&✐③✐♦♥❡ ❞❡❧ ♠♦❞❡❧❧♦✱ ❝♦♠❡ ✐❧ &❡+2♦ ❞❡❧❧❛ ♥♦2❛③✐♦♥❡ ❛❞♦22❛2❛ ♥❡❧

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✉♥ ❛&2✐❝♦❧♦ ❝❤❡ &✐♣♦&2❛ ❧❛ ❞❡✜♥✐③✐♦♥❡ ❞✐ ▲❛2❡♥2 ❉✐&✐❝❤❧❡2 ❆❧❧♦❝❛2✐♦♥ ❝♦♥

2❡&♠✐♥♦❧♦❣✐❛ ❡ ♥♦2❛③✐♦♥❡ ♣✐^ ❝♦♥❝✐+❡ ❡ ❢❛❝✐❧♠❡♥2❡ ❝♦♠♣&❡♥+✐❜✐❧✐ &✐+♣❡22♦

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*+❛+✐*+✐❝❤❡ ❛✈❛♥③❛+❡✱ ♥♦♥ ♥❡❝❡**❛:✐❛ ♣❡: ❧✬✉+✐❧✐③③♦ ❢❛++♦ ✐♥ '✉❡*+❛ +❡*✐✳

■❧ ♠♦❞❡❧❧♦ ❢❛ ✉*♦ ❞❡❧ +❡:♠✐♥❡ ✏+♦♣✐❝✑✱ ❝❤❡ *+❛ ❛❞ ✐♥❞✐❝❛:❡ ✉♥ ❛:❣♦♠❡♥+♦

♦ ✉♥ +❡♠❛ +:❛++❛+♦ ♥❡❧ +❡*+♦✳ ◆❡❧ ❝❛*♦ ❞✐ ▲❉❆✱ ✉♥ +♦♣✐❝ ✈✐❡♥❡ ❛**✐♠✐❧❛+♦

❛❞ ✉♥❛ ❞✐*+✐❜✉③✐♦♥❡ ❞✐ ♣:♦❜❛❜✐❧✐+E *✉ ✉♥ ✈♦❝❛❜♦❧❛:✐♦ ❞✐ ♣❛:♦❧❡ ✜**❛+♦✳

▲❉❆ *✐ ❜❛*❛ *✉❧❧✬✐❞❡❛ ❝❤❡ +✉++✐ ✐ ❞♦❝✉♠❡♥+✐ ♠❛♥✐❢❡*+✐♥♦ ✉♥❛ ❞✐*+:✐✲

❜✉③✐♦♥❡ ❞✐ ♣:♦❜❛❜✐❧✐+E *✉✐ +♦♣✐❝ ✭♣♦✐❝❤I *✐ ❛**✉♠❡ ❝❤❡ +✉++✐ ✐ ❞♦❝✉♠❡♥+✐

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■❧ +❡:♠✐♥❡ ✏❣❡♥❡:❛+✐✈♦✑ ✐♥❞✐❝❛ '✉✐♥❞✐ ❝❤❡ ✐❧ ♠♦❞❡❧❧♦ ♣❡:♠❡++❡ ❧❛ ❝:❡❛③✐♦♥❡

❞✐ ✉♥ ❞♦❝✉♠❡♥+♦ *❡❝♦♥❞♦ ✉♥ ♣:♦❝❡**♦ ✐♥ ❞✉❡ ♣❛**✐✿

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✷✳ O❡: ♦❣♥✐ ♣❛:♦❧❛ ♥❡❧ ❞♦❝✉♠❡♥+♦✿

❛✮ *❝❡❣❧✐❡:❡ ❝❛*✉❛❧♠❡♥+❡ ✉♥ +♦♣✐❝ ❞❛❧❧❛ ❞✐*+:✐❜✉③✐♦♥❡ *✉✐ +♦♣✐❝ ❞❡❧

♣✉♥+♦ ✶✳❀

❜✮ *❝❡❣❧✐❡:❡ ❝❛*✉❛❧♠❡♥+❡ ✉♥❛ ♣❛:♦❧❛ ❞❛❧ +♦♣✐❝ *❝❡❧+♦ ✭❝❤❡ I ✉♥❛

❞✐*+:✐❜✉③✐♦♥❡ *✉❧ ✈♦❝❛❜♦❧❛:✐♦✮✳

O✐P ❢♦:♠❛❧♠❡♥+❡✱ *❡ *✐ ❝♦♥*✐❞❡:❛♥♦ ❧❡ *❡❣✉❡♥+✐ ❞❡✜♥✐③✐♦♥✐✿

• D I ✐❧ ♥✉♠❡:♦ ❞✐ ❞♦❝✉♠❡♥+✐ ❞❡❧ ❝♦:♣✉*❀

• K I ✐❧ ♥✉♠❡:♦ ❞✐ +♦♣✐❝❀

• N I ✐❧ ♥✉♠❡:♦ ❞✐ ♣❛:♦❧❡ ❞❡❧ ✈♦❝❛❜♦❧❛:✐♦ ✜**❛+♦❀

• β1:K *♦♥♦ ✐ +♦♣✐❝ ♦ ❞✐*+:✐❜✉③✐♦♥✐ *✉❧ ✈♦❝❛❜♦❧❛:✐♦❀

• θd I ❧❛ ❞✐*+:✐❜✉③✐♦♥❡ *✉✐ +♦♣✐❝ ❞❡❧ ❞♦❝✉♠❡♥+♦ d✱ d = 1, . . . , D❀

• zd,n :❛♣♣:❡*❡♥+❛ ✐❧ +♦♣✐❝ *❝❡❧+♦ ♣❡: ❧❛ n✲❡*✐♠❛ ♣❛:♦❧❛ ❞❡❧ ❞♦❝✉♠❡♥+♦

d✱ ❞✐ ❝♦♥*❡❣✉❡♥③❛ zd :❛♣♣:❡*❡♥+❛ ✐ +♦♣✐❝ *❝❡❧+✐ ♣❡: ♦❣♥✐ ♣❛:♦❧❛ ❞❡❧

❞♦❝✉♠❡♥+♦ d❀

• wd *♦♥♦ ❧❡ ♣❛:♦❧❡ ❞❡❧ ❞♦❝✉♠❡♥+♦ d ❡ wd,n I ❧✬n✲❡*✐♠❛ ♣❛:♦❧❛ ❞❡❧

❞♦❝✉♠❡♥+♦ d✳

*✐ ♣✉Q ❞❡*❝:✐✈❡:❡ ✐❧ ♣:♦❝❡**♦ ❣❡♥❡:❛+✐✈♦ ♣❡: ▲❉❆ ❝♦♠❡ ❧❛ ❞✐*+:✐❜✉③✐♦♥❡

❝♦♥❣✐✉♥+❛✿

p(β1:K , θ1:D, z1:D, w1:D) =

K∏

i=1

p(βi)D∏

d=1

p(θd)N∏

n=1

p(zd,n|θd)p(wd,n|β1:K , zd,n)

❆✳ ❈♦♥❝❡''✐ ♠❛'❡♠❛'✐❝✐ ✹✷

◗✉❡%&♦ ❡❧❛❜♦+❛&♦ ❤❛ ❢❛&&♦ ✉%♦ ♥♦♥ &❛♥&♦ ❞❡❧ ♣+♦❝❡%%♦ ❣❡♥❡+❛&✐✈♦ ❞✐

▲❉❆✱ 9✉❛♥&♦ ♣✐✉&&♦%&♦ ❞❡❧ ❝❛❧❝♦❧♦ ❞❡❧❧❛ ❞✐%&+✐❜✉③✐♦♥❡ ❝♦♥❞✐③✐♦♥❛&❛ ❝❤❡

❞❡♥♦&❛ ❧❛ %&+✉&&✉+❛ ❞❡✐ &♦♣✐❝✱ ❞❛&✐ ✐ ❞♦❝✉♠❡♥&✐ ♦%%❡+✈❛&✐✳ ❙✐ ❝❤✐❛♠❛ ♣+♦✲

❜❛❜✐❧✐&? ❛ ♣♦#$❡&✐♦&✐ ❡ %✐ ❝❛❧❝♦❧❛ ❝♦♥ ❧✬✐♥❢❡+❡♥③❛ %&❛&✐%&✐❝❛✳ ❘✐❝♦+❞❛♥❞♦ ❧❡

❞❡✜♥✐③✐♦♥✐ ❞❛&❡ ♥❡❧ ♣❛+❛❣+❛❢♦ ♣+❡❝❡❞❡♥&❡✱ &❛❧❡ ♣+♦❜❛❜✐❧✐&? C ❞❛&❛ ❞❛✿

p(β1:K , θ1:D, z1:D|w1:D) =p(β1:K , θ1:D, z1:D, w1:D)

p(w1:D)

❞♦✈❡ ✐❧ ♥✉♠❡+❛&♦+❡ C ❧❛ ♣+♦❜❛❜✐❧✐&? ❝♦♥❣✐✉♥&❛ ❞✐ &✉&&❡ ❧❡ ✈❛+✐❛❜✐❧✐ ❛❧❡❛&♦+✐❡✱

♠❡♥&+❡ ✐❧ ❞❡♥♦♠✐♥❛&♦+❡ C ❧❛ ♣+♦❜❛❜✐❧✐&? ♠❛+❣✐♥❛❧❡ ❞❡❧❧❡ ♦%%❡+✈❛③✐♦♥✐✱ ❝✐♦C

❧❛ ♣+♦❜❛❜✐❧✐&? ❞❡❧❧✬♦%%❡+✈❛③✐♦♥❡ ❞❡❧ ❝♦+♣✉% %♦&&♦ ♦❣♥✐ ❞✐%&+✐❜✉③✐♦♥❡ %✉✐

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