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Tecnologia em Construções de Edifícios
Aula 9Geometria Analítica
Professor Luciano Nóbrega
2º Bimestre
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2Professor Luciano Nóbrega
GEOMETRIA ANALÍTICA
INTRODUÇÃO
A geometria avançou muito pouco desde o final da era grega até a Idade Média. René Descartes, em 1637, revolucionou a MATEMÁTICA ao criar uma conexão entre a GEOMETRIA e a ÁLGEBRA, ele demonstrou como aplicar os métodos de uma disciplina na outra. Este é o fundamento da geometria analítica, na qual representam-se as figuras através de expressões algébricas.
x2 = 4py
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COORDENADAS CARTESIANAS
Todo ponto possui uma coordenada dada por um par ordenado (x, y).
1º Quadrante2º Quadrante
3º Quadrante 4º Quadrante
P(x, y)Q(x, y)
R(x, y)S(x, y)
x → Eixo das abscissas
y → Eixo das ordenadas
⟶ x > 0 y > 0
x < 0 ⟵ y > 0
x < 0 y < 0 ⟵
⟶ x > 0 y < 0
Vejamos o comportamento das coordenadas em cada quadrante:
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COORDENADAS CARTESIANAS
EXEMPLO:Dados os pontos A(–3,–2), C(2,–2), E(4, 2), G(2, 5), I(0, 3), J(–1, 4) e L(–5, 3).a) Marque no plano cartesiano abaixo os pontos supra citados.b) Determine as coordenadas dos pontos B, D, F, H, K e M.c) Ligue os pontos na ordem alfabética. Feche a figura, ligando os pontos M e A.
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DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
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Qual a distância entre os pontos:
a) A e B ?
A(3, 2)
x
y
B(7, 2)
C(7, 5)
b) B e C ?
c) A e C ?
=C(xB, yA)
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DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
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Generalizando:
A(xA, yA)
x
y B(xB, yB)
Sempre é possível pegarmos um ponto C, de tal maneira que o triângulo ABC seja um triângulo retângulo.
C(xC, yC)
Pelo Teorema de Pitágoras:
(dAB)² = (dAC)² + (dBC)² (dAB)² = (xC – xA)² + (yB – yC)²
(dAB)² = (xB – xA)² + (yB – yA)²
dAB = √(xB – xA)² + (yB – yA)²
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DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
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EXEMPLO:Um ponto P (a, 2) é equidistante dos pontos A (3, 1) e B (2, 4). Qual o valor de “a” ?
PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO DE RETAConsidere o segmento de reta com extremos A (xA, yA) e B (xB, yB), e o ponto médio M (xm, ym). Sendo assim, temos:
Pelo teorema de Tales:
AM = MB AD = CD
M
D
xm – xA = xB – xm
2xm = xA + xB
xm = xA + xB
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Analogamente, fica como exercício que vocês mostrem que ym = yA + yB
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PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO DE RETA
EXEMPLO:Determine o comprimento da mediana AM do triângulo cujos vértices são os pontos A (2, 3), B (4, –2) e C (0, –6)
EXEMPLO:Dado o ponto A (–1, 1), determine as coordenadas do ponto B, sabendo que M (–1, –1) é o ponto médio do segmento AB.
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CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS
Observe o gráfico:
x
y
xBxCxA
yA
yC
yBB
C
A
ED
Os triângulos ABE e ACD são
semelhantes, pois possuem os mesmos ângulos.
Segue que:
AE = BE
AD CD
xB – xA = yB – yA
xC – xA yC – yA
(xB – xA)(yC – yA) = (yB – yA)(xC – xA)
(xB – xA)(yC – yA) – (yB – yA)(xC – xA) = 0
Vamos guardar esse resultado!
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Condição de
alinhamento de três pontos
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CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS
(xB – xA)(yC – yA) – (yB – yA)(xC – xA) = 0
Vamos guardar esse resultado!
Desenvolvendo o seguinte determinante:
xA yA 1
xB yB 1 = 0
xC yC 1
Repetimos as duas 1ªs colunas:
xA yA 1 xA yA
xB yB 1 xB yB = 0
xC yC 1 xC yC
xA.yB+yA.xC +xB.yC
xC.yB +yC.xA +xB.yA
(continuação) Daí, temos que:
DP – DS = 0
xA.yB+ yA.xC+ xB.yC
– xC.yB – yC.xA – xB.yA = 0
Ora, desenvolvendo a expressão “guardada”,obtemos o mesmo resultado.
Podemos concluir que:xA yA 1
xB yB 1 = 0
xC yC 1
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CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS
EXEMPLO:Determine os valores de “k” para que os pontos A (k, 7), B (2, –3) e C (k, –1) sejam os vértices de um triângulo.
EXEMPLO:Determine dois pontos que estejam alinhados com os pontos A (1, 4) e B (0, 3)
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x
y
A(xA, yA)
B(xB, yB)
Pegando um terceiro ponto, um ponto P(x, y) qualquer sobre a reta, temos pela condição de alinhamento de três pontos que:
xA yA 1
xB yB 1 = 0
x y 1
Resolvendo o determinante, temos:
xA yA 1 xA yA
xB yB 1 xB yB = 0
x y 1 x y
xA.yB +yA.x +xB.y
x.yB +y.xA +xB.yA
(continuação) Daí, temos que:
DP – DS = 0
xA.yB + yA.x + xB.y
– x.yB –y.xA –xB.yA = 0
(yA – yB).x + (xB – xA).y + (xA.yB -xB.yA) = 0
Ax+By+ C = 0
EQUAÇÃO DA RETA
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EQUAÇÃO DA RETA
EXEMPLO:Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos A(-1, 3) e B(3, 2).
EXEMPLO:Considere uma reta r que passa pelos pontos (-1, -2) e (4, 2) e
intercepta o eixo das ordenadas no ponto P. Determine as
coordenadas do ponto P.
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EQUAÇÃO DA RETA
INCLINAÇÃO DA RETAA inclinação de uma reta ou, em outras palavras, o
coeficiente angular de uma reta é dado por:
x
y
x0 x1
y0
y1
01
01
xx
yytg
Passando o denominador
para o outro lado e fazendo tg Θ = m, temos:
y1 – y0 = m.(x1 – x0)
Θ
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EQUAÇÃO DA RETA
EXEMPLO:Sabendo que a inclinação da reta que passa pelos pontos A (k, 2) e
B (–1, 3) é de 45º. Determine o valor de “k”, a equação da reta e as
coordenadas do ponto em que a reta intercepta o eixo das
abscissas.
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EQUAÇÃO DA RETASabendo que a equação da reta pode ser obtida por:
y – yP = m.(x – xP)
Ela intercepta o eixo y no ponto P (0, n). Daí, temos:
y – n = m.(x – 0) y – n = m.x y = m.x – nEQUAÇÃO reduzida DA RETA
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS
PARALELAS ⟶ m1 = m2 e n1 ≠ n2
COINCIDENTES ⟶ m1 = m2 e n1 = n2
CONCORRENTES ⟶ m1 ≠ m2
PERPENDICULARES ⟶ m1 . m2 = –1
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EQUAÇÃO DA RETA
EXEMPLO:Dado o ponto A (3, 5) e a reta “r” de equação x + y – 2 = 0,
determine a equação da reta “s” que passa por “A” e é
perpendicular a reta “r”.
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DISTÂNCIA ENTRE O PONTO E A RETA
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Vejamos SEM a fórmula:Considere o ponto P (4, 6) e a reta r de equação x + y – 1 = 0,
determine a distância entre o ponto P e a reta r. Para isso, faça o
que se pede em cada item, determine:
a) o coeficiente angular da reta r;b) o coeficiente angular de uma reta perpendicular a reta r;c) a equação de uma reta “s” perpendicular a reta r e que
passe pelo ponto P;d) a interseção entre as retas “s” e “r”;e) a distância entre o ponto P e a reta r.f) Agora, utilize a fórmula
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EQUAÇÃO DA RETA
EXEMPLO:Qual a distância do ponto P (–2, 3) à reta r de equação 3x + 4y – 8 = 0?
EXEMPLO:Qual a distância entre as retas de equações 4x – 3y + 9 = 0 e
4x – 3y – 6 = 0 ?
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