Tehniska matematika 5aOsnove vektorskega racuna

Avtorji: Gordana Radic, Peter Kitak, Tine Zoric

1 Uvod

Ko bomo v naslednjih stevilkah Elektrotehniske revije pokazali, kako uporabimo matematicne ope-racije v tehniki, bomo sele tedaj povsem razumeli, kako pomembno vlogo ima vektorski racun takov razumevanju fizikalnih pojavov kot v resevanju tehniskih problemov. Mnogo fizikalnih pojavovvsebinsko nismo sposobni razumeti, kaj sele obladati, ce ne razumemo osnovnega bistva vektorskegaracuna. Zato bomo osnovne operacije nad vektorji, kljub temu da smo jih v reviji ze definirali, nakratko ponovili in jim pripisali uporabo osnovnih tehniskih zakonitosti.

Ker pa bomo uporabo v stroki prikazali sele v nadaljevanjih TM7 do TM15 in v spletnih stranehTM7a do TM15a, bo vsebinski doprinos teh zgledov v celoti razviden sele po obravnavi teh poglavij.

2 Skalarji in vektorji

V tehniki je kljucno, da dobro poznamo razliko med fizikalnimi velicinami, s katerimi se v danemprocesu srecujemo.

Skalarji so vse tiste velicine, ki veljajo za celoten prostor; pravtako pa so to tudi snovne lastnosti,ki veljajo v tocki prostora. Ce poenostavimo, to so tiste velicine, ki imajo zgolj neko vrednost(recemo tudi velikost ali dolzino).

Medtem ko je v prostorski geometriji zgolj prostornina skalarna velicina, si splaca zapomniti, daje ena izmed skalarnih velicin v fizikalnih pojavih obicajno povzrocitelj fizikalnega pojava, drugaskalarna velicina pa je posledica delovanja tega povzrocitelja (navadno je to nek pretok).

Vektorji so tiste velicine, ki imajo ob velikosti (ali dolzini) se smer in usmerjenost. Nastejmovektorje, ki jih bomo srecevali:

• sila ~F in navor ~M ;

• dolzina ~l in kot ~ϕ;

• ploskev ~A;

• pospeski vseh vrst (linijski ~α in kotni ~β);

• hitrosti vseh vrst (linijska ~ν in kotna ~ω);

• gibalna kolicina ~G in vrtilna kolicina ~Γ;

• vse fizikalne velicine, ki podajajo spremembo skalarne velicine po dolzini ali ploskvi.

1

Primeri.

(1) V elektricnih vezjih je povzrocitelj pojava napetost U , zato je to skalar. Njej pripadajoci vektor

je elektricna poljska jakost ~E, ki pove , koliksen del napetosti se porabi na dolzinsko enoto poti,t.j. 1 meter.

(2) V elektricnem vezju je posledica napetosti U elektricni tok I, zato je tudi to skalar. Kolicino

pretoka skozi vodnik s povrsino 1 m2 je gostota elektricnega toka ~J , ki je vektor.

Iz teh primerov vidimo, da je povezava med skalarno velicino in njej pripadajoco vektorsko velicinov elektricnem vodniku

E =∆U

∆l

∣∣∣∣max

in J =∆I

∆S

∣∣∣∣max

.

Torej najvecji mozni spremembi skalarne velicine pri spremembi lege dolzine ali ploskve. Obe skalarnivelicini sta povezani z njuno diferencialno velicino, in sicer kot

U = ~E ·~l in I = ~J · ~S

Skalarni velicini sta podani s skalarnim produktom pripadajocih vektorjev, in je njuna vrednostnajvecja, ce imata oba vektorja isto smer (usmerjenost je v tem primeru nepomembna).

2.1 Zapis vektorja

Povsem formalno moramo dolzino vektorja ~a zapisati kot |~a|, vendar smo ze v reviji napovedali, dazaradi enostavnosti zapisov dolzino vektorja ~a zapisemo samo kot a.

Spomnimo se tudi, da ce je vektor ~a podan v ravnini,

ga lahko zapisemo s pomocjo projekcije vektorja ~a na obe koordinatni osi ter z enotskima vektorjema~i in ~j, ki kazeta v pozitivni smeri obeh koordinatnih osi

~a = ax ·~i+ ay ·~j,

kjer sta ax = a · cosα in ay = a · sinα. Krajsa in elegantnejsa varianta pa je, da vektor preprostozapisemo samo z njegovo dolzino in kotom, ki ga vektor oklepa z abscisno osjo x. Ta oblika se imenujenormalna oblika zapisa vektorja in je

~a = a∠α.

Preko Pitagorovega izreka je potem prehod iz ene oblike v drugo obliko (in nazaj) povsem enostaven,kar lahko razberemo tudi iz prilozene slike.

2

3 Osnovne operacije nad vektorji

3.1 Produkt vektorja s skalarjem

Produkt vektorja ~a s skalarjem λ, zapisemo λ · ~a ali krajse λ~a, je vektor, ki ima isto smer kot samvektor ~a in je usmerjen v isto smer kot ~a, ce je λ > 0, in v nasprotno od ~a, ce je λ < 0. Dolzinavektorja λ · ~a pa je enaka |λ| · a.

Iz matematicnega zornega kota je operacija vektorja pomnozenega s skalarjem tako preprosta racunskaoperacija, da ji ne pripisujemo posebne pozornosti, pa vendar jo bomo v fizikalnih izracunih pogos-to srecevali, kajti dolocene diferencialne enacbe bodo povezane s skalarji, ki predstavljajo dejanskosnovne lastnosti snovi.

Primeri.

(1) Gostota toplotnega polja ~Jt je definirana kot produkt toplotne poljske jakosti ~∆T∆l

s snovnolastnostjo toplotne prevodnosti snovi λ.

~Jt = λ ·~∆T

∆l

(2) Gostota elektricnega pretoka ~D je definirana kot produkt elektricne poljske jakosti ~E s snovnolastnostjo elektrostaticnega polja dielektricnostjo ε.

~D = ε · ~E

(3) Gostota elektricnega toka ~J je definirana kot produkt elektricne poljske jakosti ~E s snovnolastnostjo prevodnika svojske prevodnosti γ.

~J = γ · ~E

(4) Gostota magnetnega pretoka ~B je definirana kot produkt magnetne poljske jakosti ~H s snovnomagnetno lastnostjo snovi permeabilnosti ν.

~B = ν · ~H

Pravkar zapisane enacbe predstavljajo temeljne zakonitosti posameznih fizikalnih podrocij v dife-rencialni obliki, kar pomeni, da opisujejo stanje v dani tocki prostora. Ce pa sedaj vsako diferen-cialno vektorsko velicino nadomestimo s pripadajoco skalarno velicino (posledico in povzrociteljem),snovno lastnost pa s snovno-geometrijsko lastnostjo, dobimo pripadajoce temeljne zakonitosti vintegralni obliki, ki veljajo za ves obravnavani prostor.

Pr = Λ ·∆U, Q = C · U, I = G · U in Φm = Gm ·Θ.

Ko bomo v nadaljevanju obravnavali zakonitosti v fizikalnih pojavih, ki so vezani na prostor (polje),si se enkrat preberite te vrstice, ki vam bodo v izdatni meri olajsale razumevanje fizikalnega procesa,se zlasti njihovo strukturno povezanost nastopajocih velicin.

3

3.2 Sestevanje in odstevanje vektorjev

Vsota in razlika vektorjev je vektor. Ker pa ti operaciji dobimo na geometrijski nacin, moramovektorje nujno zapisati v komponentni obliki in nato sestevati oziroma odstevati po komponentah.

Primeri.

(1) Izracunaj vsoto in razliko vektorjev ~a = 3∠30◦ in ~b = 4∠90◦ ter ju zapisi v normalni obliki.

Resitev: Najprej moramo oba vektorja zapisati s komponentami

~a = 3(

cos 30◦ ·~i+ sin 30◦ ·~j)

= 2, 598~i+ 1, 5~j

~b = 4(

cos 90◦ ·~i+ sin 90◦ ·~j)

= 4~j

Potem pa je

~c = ~a+~b = 2, 598~i+ 1, 5~j + 4~j = 2, 598~i+ 5, 5~j~d = ~a−~b = 2, 598~i+ 1, 5~j − 4~j = 2, 598~i− 2, 5~j

Zdaj pa s pomocjo Pitagorovega izreka najprej dolocimo dolzini vektorjev vsote in razlike,

c =√c2x + c2

y =√

2, 5982 + 5, 52 = 6, 08

d =√d2x + d2

y =√

2, 5982 + 2, 52 = 3, 61

nato pa se kota, ki ga vektorja oklepata z abscisno osjo

tan γ =cycx

= 2, 12 ⇒ γ = 64, 72◦

tan δ =dydx

= 1, 04 ⇒ δ = 46, 12◦

Tako je~a+~b = 6, 08∠64, 72◦ in ~a−~b = 3, 61∠46, 12.

(2) Naj bodo ~a = 6~i+ 4~j, ~b = −4~i+ 6~j in c = 2~i−8~j. Izracunaj∣∣∣~a+~b+ ~c

∣∣∣, ∣∣∣~a−~b+ ~c∣∣∣, ∣∣∣~a+~b− ~c

∣∣∣in∣∣∣−~a+~b+ ~c

∣∣∣.Resitev: Najprej sestejmo oz. odstejmo vektorje po komponentah

~a+~b+ ~c =(

6~i+ 4~j)

+(−4~i+ 6~j

)+(

2~i− 8~j)

= 4~i+ 2~j

~a−~b+ ~c =(

6~i+ 4~j)−(−4~i+ 6~j

)+(

2~i− 8~j)

= 12~i− 10~j

~a+~b− ~c =(

6~i+ 4~j)

+(−4~i+ 6~j

)−(

2~i− 8~j)

= −4~i+ 18~j

−~a+~b+ ~c = −(

6~i+ 4~j)

+(−4~i+ 6~j

)+(

2~i− 8~j)

= −8~i− 6~j

Ko imamo vektorje zapisane v komponentni obliki, s pomocjo Pitagorovega izreka izracunamodolzine teh vektorjev. ∣∣∣~a+~b+ ~c

∣∣∣ =√

42 + 22 =√

20 = 4, 472∣∣∣~a−~b+ ~c∣∣∣ =

√122 + 102 =

√244 = 15, 62∣∣∣~a+~b− ~c

∣∣∣ =√

42 + 182 =√

340 = 18, 439∣∣∣−~a+~b+ ~c∣∣∣ =

√82 + 62 =

√100 = 10

4

(3) Stranice pokoncne prizme so podane z vektorji ~a = 8~i, ~b = 5~j in ~c = 10~k. Koliksna je dolzinadiagonale osnovne ploskve d in prostorske diagonale D?

Resitev: Za lazjo predstavo, najprej narisimo skico:

Iz skice je takoj jasno, da bomo diagonali najprej zapisali z vektorji, in sicer kot vsoto vektorjev

~d = ~a+~b = 8~i+ 5~j~D = ~a+~b+ ~c = 8~i+ 5~j + 10~k

Zdaj pa s Pitagorovim izrekom izracunamo iskani dolzini

d =√a2 + b2 =

√82 + 52 =

√89 = 9, 43

D =√a2 + b2 + c2 =

√82 + 52 + 102 =

√189 = 13, 75

3.3 Skalarni produkt dveh vektorjev

Skalarni produkt vektorjev ~a in ~b, oznacimo ~a ·~b, je skalar.

Ce z γ oznacimo kot, ki ga vektorja ~a in ~b oklepata, potem se skalarni produkt izracuna po formuli

~a ·~b = a · b · cos γ.

Skalarni produkt je v tehniki pomemben predvsem zaradi dveh lepih lastnosti:

(i) ce sta vektorja medseboj pravokotna, potem je njun skalarni produkt enak 0, in je zato

~i ·~j =~i · ~k = ~j · ~k = 0;

5

(ii) s pomocjo skalarnega produkta izracunamo dolzino vektorja, in sicer kot

a =√~a · ~a =

√a2x + a2

y + a2z.

Zgled. Stranici v enakokrakem trapezu sta podani z vektorjema ~a = 12~i in ~b = −3~i+ 6~j.

(a) Poisci dolzine stranic.

(b) Doloci dolzine diagonal.

Preden se lotimo resevanja, si je smiselno omisliti skico:

(a) Ker imamo opravka z enakokrakim trapezom, je ocitno

~d = 3~i+ 6~j.

Zdaj pa uporabimo geometrijski pristop za sestevanje oz. odstevanje vektorjev in izrazimovektor ~c.

~c = −~d+ ~a+~b = −3~i− 6~j + 12~i− 3~i+ 6~j = 6~i

Ko poznamo komponentno obliko vektorjev, ki napenjajo trapez, lahko izracunamo dolzinevseh stranic

a =√~a · ~a =

√122 = 12

b =√~b ·~b =

√(−3)2 + 62 =

√45 = 6, 71

c =√~c · ~c =

√62 = 6

d =√~d · ~d =

√32 + 62 =

√45 = 6, 71

Vidimo, da je trapez res enakokrak, saj je b = d.

(b) Ponovno si pomagajmo z geometrijskim pristopom in izrazimo diagonale s pomocjo vektorjev.Tako iz

~e = ~a+~b = 8~i+ 6~j in ~f = −~d+ ~a = −8~i+ 6~j

takoj sledie =

√~e · ~e =

√82 + 62 =

√100 = 10

f =

√~f · ~f =

√(−8)2 + 62 =

√100 = 10

Ker je trapez enakokrak, bi bilo dovolj izracunati dolzino zgolj ene diagonale, saj sta v enako-krakem trapezu diagonali enako dolgi.

6

3.4 Vektorski produkt dveh vektorjev

Vektorski produkt vektorjev ~a in ~b, oznacimo ~a×~b, je vektor, zato ima dolzino, smer in usmerjenost.Bolj natancno:

(i) njegova dolzina je enaka ploscini paralelograma, ki ga vektorja napenjata;

(ii) pravokoten je tako na ~a kot na ~b;

(iii) njegova usmerjenost je dolocena s pravilom desnosucnega vijaka.

Zapisimo se dve pomembni lastnosti vektorskega produkta, ki ju v tehniki neprestano uporabljamo:

(i) ce sta vektorja vzporedna, potem je njun vektorski produkt enak nic in je zato

~i×~i = ~j ×~j = ~k × ~k = 0;

(ii) s pomocjo vektorskega produkta izracunamo ploscino paralelograma, ki ga vektorja ~a in ~bnapenjata, in sicer kot

p =∣∣∣~a×~b∣∣∣ = |a · b · sinα| ,

kjer je α kot, ki ga oklepata vektorja ~a in ~b.

Iz tocke (ii) sledi tudi nov pristop, kako dolociti ploscino trikotnika, ki ga napenjata vektorja ~a in ~b.Namrec,

p∆ =1

2

∣∣∣~a×~b∣∣∣ .Primeri.

(1) Poisci ploscino paralelograma, ki ga napenjata vektorja ~a = 20~i in ~b = 5~i+ 12~j.

Resitev: Ploscino bomo dolocili direktno z vektorskim produktom,

~a×~b = 20~i×(

5~i+ 12~j)

= 20~i× 5~j + 20~i× 12~j = 240~i×~j = 240~k,

pri tem smo upostevali, da je ~i×~i = 0 in ~i×~j = ~k. Potem pa je

p =∣∣∣~a×~b∣∣∣ =

∣∣∣240~k∣∣∣ =√

2402 = 240.

(2) V palici, ki precka magnetno polje z gostoto magnetnega pretoka ~B = 0, 6~j [T] s hitrostjo

~ν = 10~i [m/s] izracunaj velikost inducirane elektricne poljske napetosti ~Ei.

Resitev: Elektricna poljska napetost je vektor, ki se izracuna s pomocjo vektorskega produktakot

~Ei = ~ν × ~B

zato je~Ei = 10~i× 0, 6~j = 6~i×~j = 6~k.

Potem pa je velikost inducirane napetost Ei = 6 V/m. Velikost bi lahko dobili tudi iz direktneformule za dolzino vektorja, in sicer kot

Ei = ν ·B · sin 90◦ = 10 · 0, 6 · 1 = 6.

Glede na lastnosti vektorskega produkta je ocitno, da ce sta vektorja ~ν in ~B vzporedna, potemje inducirana elektricna poljska jakost enaka nic.

7

3.5 Mesani ali psevdoskalarni produkt treh vektorjev

Mesani produkt treh vektorjev ~a, ~b in ~c, oznacimo(~a,~b,~c

), je skalar, ki ga dobimo tako, da naj-

prej prva dva vektorja zmnozimo vektorsko, nato pa dobljen vektor skalarno pomnozimo s tretjimvektorjem, (

~a,~b,~c)

=(~a×~b

)· ~c.

Mesani produkt je za tehnika zanimiv, saj

(i) ce so vektorji komplanarni, potem je njihov mesani produkt enak nic;

(ii) lahko izracunamo prostornino geometrijskih teles, ki ga napenjajo vektorji ~a, ~b in ~c,

V = k ·∣∣∣(~a,~b,~c)∣∣∣ .

Ce je telo prizma, potem je k = 1, in ce je piramida, je k = 1/6.

Kot zanimivost povejmo, da se z uporabo mesanega produkta dokaze Cavalierjevo pravilo, kipravi, da imata geometrijski telesi, ki imata enaki osnovni ploskvi in enaki visini, tudi enaki prostor-nini.

Zgled. Dve piramidi imata za osnovno ploskev enak enakostranicni trikotnik z a = 10 cm. Prvapiramida je tetraeder, druga pa ima en stranski rob pravokoten na osnovno ploskev in visino enakovisini tetraedra. Izracunaj volumen in povrsino obeh teles in pokazi pravilnost Cavalierjevega pravila.

(a) Najprej naj bo telo tetraeder. Ker bomo delali z vektorji, si ga za lazjo predstavo skicirajmo vnamisljenem koordinatnem sistemu

Glede na skico je~a = 10~i in ~b = 10∠60◦ = 5~i+ 8, 66~j

Za zacetek potrebujemo

~a×~b = 10~i×(

5~i+ 8, 66~j)

= 86, 6~k.

Potem pa lahko izracunamo ploscino osnovne ploskve

O =1

2·∣∣∣~a×~b∣∣∣ =

1

2· 86, 6 = 43, 3

[cm2

]8

in povrsinoP = 4 ·O = 173, 2

[cm2

].

Ce bi zeleli volumen tetraedra dolociti z mesanim produktom, bi morali dolociti vektor ~c. Dase temu izognemo bomo prostornino telesa izracunali po klasicni poti z visino piramide.

V TM4a smo zapisali, da je

x =2

3· va =

2

3· a√

3

2=

10√

3

3= 5, 77

od koder po Pitagorovem izreku sledi

v =√a2 − x2 =

√66, 67 = 8, 165.

Prostornina tetraedra je potem

V =O · v

3=

43, 3 · 8, 165

3= 117, 85

[cm3

].

(b) Ponovno narisimo skico piramide, pri tem pazimo, da je en stranski rob pravokoten na osnovnoploskev

Vektorja ~a in ~b sta enaka kot v prejsnjem primeru, iz skice pa lahko v tem primeru tudi takojodcitamo vektor ~c

~a = 10~i, ~b = 5~i+ 8, 66~j in ~c = 8, 165~k.

9

Prostornini piramide se po Cavalierijevem pravilu ne bi smeli razlikovati, vendar za vsak slucajpreverimo. Iz (

~a,~b,~c)

=(~a×~b

)· ~c = 86, 6~k · 8, 165~k = 707, 089

takoj sledi

V =1

6

(~a,~b,~c

)=

1

6· 707, 089 = 117, 85

[cm3

].

Prostornini se torej ne razlikujeta, kar pa ne velja nujno za povrsini piramid. Ocitno tolepiramido sestavljajo stirje trikotniki, in sicer ∆ABC, ∆ABD, ∆ACD ter ∆BCD. Potem paje

P = p∆ABC + p∆ABD + p∆ACD + p∆BCD

= 43, 3 + 40, 82 + 40, 82 + 59, 51= 184, 45 [cm2]

saj iz

~a×~b = 10~i×(

5~i+ 8, 66~j)

= 86, 6~k dobimo p∆ABC = 43, 3

~a× ~c = 10~i× 8, 165~k = −81, 65~j dobimo p∆ABD = 40, 82~b× ~c =

(5~i+ 8, 66~j

)× 8, 165~k = −40, 825~j + 70, 709~i dobimo p∆ABC = 40, 82

Skica nam tudi pove, da trikotnik ∆BCD napenjata vektorja ~BC = −~a+~b in ~BD = −~a+~b,zato iz (

−~a+~b)×(−~a+~b

)= 70, 709~i+ 40, 825~j + 86, 6~k

dobimo p∆BCD = 12

√70, 7092 + 40, 8252 + 86, 62 = 59, 51.

4 Uporaba vektorjev v tehniki

Uporaba skalarnega produkta dveh vektorjev je resnicno pomembna za izracun skalarne integralnevelicine, ki je definirana kot skalarni produkt dveh diferencialnih vektorskih velicin. Ceprav se tehniksrecuje s kopico izracunov te vrste, si za obcutek oglejmo le nekaj teh primerov.

4.1 Mehanika

Pri premem gibanju je delo A definirano kot premagovanje sile ~F na doloceni poti ~l, zato je

A = ~F ·~l = F · l · cosα,

kjer je α kot, ki ga vektorja sile in poti oklepata. Ker pa imamo v mehaniki dve osnovni oblikigibanja, premo in krivocrtno (krozenje), je pri krozenju delo A definirano kot skalarni produkt

navora sile ~M in kota zasuka ~ϕ

A = ~M · ~ϕ.

Dodajmo, da je pri tem navor podan kot vektorski produkt rocice ~r s silo ~F , in je tako ~M = ~r × ~F .Posledicno se delo A lahko predstavi tudi z mesanim (psevdoskalarnim) produktom kot

A =(~r × ~F

)· ~ϕ =

(~r, ~F , ~ϕ

).

10

4.2 Toplota

Pri prevajanju toplote je toplotna napetost (sprememba temperature ∆T ) povezana v homogenem

tempereturnem polju s toplotno jakostjo~∆T

∆lna dolzini ~l s skalarnim produktom

∆T =~(

∆T

∆l

)·~l.

Gostota toplotnega toka Jt je pri podani toplotni poljski jakosti~∆T

∆lin svojski prevodnosti snovi

~γ podana kot

Jt = ~γ ·~∆T

∆l.

Toplotni tok Pt je definiran s skalarnim produktom gostote toplotnega toka ~Jt s ploskvijo ~A, insicer

Pt = ~Jt · ~A.

4.3 Tokovno polje

Tokovno polje definiramo kot prostor, v katerem se premikajo elektrine. Povzrocitelj gibanja elektrinje elektricna napetost U , posledica pa elektricni tok I v snovi z gibljivimi elektrinami. Napetost nadolzinsko enoto je definirana kot elektricna poljska jakost ~E. Na dolzini ~l je padec napetosti U dans skalarnim produktom

U = ~E ·~l.

Gostota elektricnega toka ~J je potem dana s produktom skalarja γ (svojska prevodnost) z vektorjem

elektricne poljske jakosti ~E

~J = γ · ~E.

in za homogeno tokovno polje elektricni tok I s skalarnim produktom vektorja gostote elektricnegatoka ~J z vektorjem ploskve ~A

I = ~J · ~A.

Enote velicin smo v teh primerih izpustili, saj zelimo poudariti zaporedje in vrsto operacije. Celavrsta fizikalnih pojavov ima znanega povzrocitelja, bolj natancno vrednost (velikost) povzrociteljana dolzinsko enoto in pomen poljske jakosti. Ta v snovi z znano snovno konstanto povzroci gostotopretoka. Ce tega pomnozimo s ploskvijo, dobimo pretok kot posledico.

11

Povsem enake zakonitosti kot v tokovnem polju veljajo tudi za magnetno polje.

Zgled. Koliksen je magnetni pretok skozi pravokotno zanko s ploskvijo A = 200 cm2, ce imamo vprostoru magnetno poljsko jakost H = 3000 A/m.Ker je magnetno polje v zraku, se gostota magnetnega pretoka B izracuna kot

B = γ0 ·H = 4π · 10−7 · 3000 = 3, 77 · 10−3 [T ]

Naj je ploskev najprej postavljena tako, da nobena gostotnica ne vstopa v ploskev:

Tedaj je magnetni pretok skozi ploskev enak nic, saj je

Φm = ~B · ~A = B · A · cos 90◦ = 0.

Sedaj pa ploskev zasukajmo za 30◦.

Tedaj je magnetni pretok

Φm = ~B · ~A = B · A · cos 60◦ = 3, 77 · 10−3 · 200 · 0, 5 = 37, 7 [νV s]

Najveck napak pri izracunu pretokov nastane, ker vecina pozablja, da vektor ~A stojipravokotno na ploskev.

Literatura

[1] A. Blaznik, A. Cokan, G. Pavlic: Matematicni prirocnik, DZS, Ljubljana, 1990.

[2] R. Brilej: Resene naloge iz matematike, Ataja, Ljubljana, 1996.

[3] I. Stalec: Matematika 2, DZS, Ljubljana, 2000.

12