tehnicka mehanika 2 - osnovne akademske studije, iii · pdf filegeometrija mase krutog tela...
TRANSCRIPT
Geometrija mase krutog tela
TEHNI�KA MEHANIKA 2
Osnovne akademske studije, III semestar
Prof. dr Stanko Br£i¢Prof. dr Rastislav Mandi¢Doc. dr Stanko �ori¢
email: [email protected]
Gra�evinski fakultetUniverzitet u Beogradu
�k. god. 2017/18
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sadrºaj
1 Geometrija mase krutog telaSredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Sadrºaj
1 Geometrija mase krutog telaSredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Speci�£na teºina i gustina mase tela
Posmatra se proizvoljno kruto telo zapremine V i teºine G
Posmatra se proizvoljna ta£ka P u sastavu tela
∞ bliska okolina ta£ke P ima elementarnu zapreminu dV
U toj zapremini dV je sadrºana elementarna masa dm
U gravitacionom polju (Zemlje) masa dm sadrºana uzapremini dV ima elementarnu teºinu dG
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Speci�£na teºina i gustina mase tela
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Gustina mase tela
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Speci�£na teºina i gustina mase tela
Koli£nik elementarne teºine i elementarne zapremine jespeci�£na teºina tela
γ =dG
dV
Koli£nik elementarne mase i elementarne zapremine je gustinamase tela
ρ =dm
dV
Na£elno, i speci�£na teºina i gustina mase su zavisni odpoloºaja posmatrane ta£ke u telu
γ = γ(ξ, η, ζ) ρ = ρ(ξ, η, ζ)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Gustina mase tela
Homogeno telo je telo kod koga je gustina mase konstantna:
ρ =dm
dV= const
Ukupna masa tela je data sa
m =
∫mdm =
∫Vρ(ξ, η, ζ) dV
Za homogeno telo je ρ = const, pa je
m = ρ
∫VdV ⇒ m = ρ V
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Gustina mase i speci�£na teºina
Za homogeno telo gustina mase je jednaka koli£niku ukupnemase i ukupne zapremine:
ρ =m
V
Speci�£na teºina je jednaka proizvodu gustine mase i ubrzanjazemljine teºe ~g:
~γ = ~g ρ
ili, u skalarnom obliku, podrazumevaju¢i smer vertikale (odn.ubrzanja Zemljine teºe)
γ = g ρ gde je g = 9.81m
s2
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Momenti mase tela prvog reda
De�ni²u se momenti mase tela prvog reda u odnosu nakoordinatne ose materijalnog sistema:
Sξ =
∫mξ dm Sη =
∫mη dm
Sζ =
∫mζ dm
Momenat mase prvog reda za proizvoljnu osu n krozkoordinatni sistem, sa jedini£nim vektorom ~n, je
Sn =
∫m~ρ · ~n dm
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Momenti mase prvog reda
Prema tome, momenti mase prvog reda u odnosu na osematerijalnog sistema Aξηζ su dati sa:
Sξ =
∫m~ρ · ~λ dm =
∫mξ dm
Sη =
∫m~ρ · ~µ dm =
∫mη dm
Sζ =
∫m~ρ · ~ν dm =
∫mζ dm
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Momenti mase prvog reda i sredi²te mase
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Momenti mase prvog reda i sredi²te mase
Sredi²te mase tela je ta£ka tela S sa koordinatama:S(ξS , ηS , ζS)
Proizvod koordinate sredi²ta mase za neku osu i ukupne masetela jednak je momentu mase prvog reda za tu osu:
ξS ·m =
∫mξ dm = Sξ
ηS ·m =
∫mη dm = Sη
ζS ·m =
∫mζ dm = Sζ
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Momenti mase prvog reda i sredi²te mase
Koordinate sredi²ta mase su, alternativno, date sa:
ξS =1
m
∫mξ dm = Sξ ηS =
1
m
∫mη dm = Sη
ζS =1
m
∫mζ dm = Sζ
Kako je m =∫m dm, to je∫
m(ξ − ξS) dm = 0
∫m
(η − ηS) dm = 0∫m
(ζ − ζS) dm = 0
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Momenti mase prvog reda i sredi²te mase
Momenti mase prvog reda za ose kroz sredi²te mase su jednakinuli
Sredi²te mase u vektorskom obliku (u odnosu na materijalneose) je dato sa:
~ρS =1
m
∫m~ρ dm (1)
Zbog relacije dm = ρdV (gde je ρ gustina mase), zahomogeno telo se dobija:
~ρS =1
V
∫V~ρ dV (2)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Teºi²te i sredi²te mase
Sredi²te mase i teºi²te se poklapaju ukoliko je teloHOMOGENO i ukoliko je ubrzanje g konstantno u prostoru ukome se kre¢e telo
Vaºe osobine simetrije u odnosu na ravan, osu ili ta£ku
Naime, ako je masa tela raspore�ena simetri£no u odnosu naravan, osu ili ta£ku, onda se sredi²te mase nalazi u ravni, osi ilita£ki simetrije
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase tela sloºenog oblika
Za tela pravilnog oblika mogu (lako?) da se odrede integrali(1) ili (2)
Sredi²te mase dato sa (1) zna£i SABIRANJE izraza ~ρ dm pozapremini tela, odn. po ukupnoj masi tela
Prema tome, vaºi princip superpozicije
Ako je telo nepravilnog oblika, moºe da se PODELI na Ndelova kona£ne veli£ine i (relativno) pravilnog oblika
Za svaki od delova, zbog pravilnog oblika, mogu da se odredemasa tog dela mk, kao i poloºaj sredi²ta mase tog dela ~ρk (ilizapremina dela Vk)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase tela sloºenog oblika
Integrali (1) ili (2) mogu da se aproksimiraju sa kona£nimzbirovima, tako da je sredi²te mase dato sa:
~ρS =1
m
N∑k=1
~ρkmk ili ~ρS =1
m
N∑k=1
~ρk Vk
gde su ~ρk i mk, odn. Vk, vektori poloºaja teºi²ta i ukupnamasa, odn. zapremina, svakog od pojedinih delova na koje jetelo diskretizovano
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Sadrºaj
1 Geometrija mase krutog telaSredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Momenti mase drugog reda - momenti inercije
Momenti mase drugog reda za ose materijalnog sistema ξηζmogu da budu:
- Aksijalni momenti inercije za ose
- Centrifugalni momenti inercije za parove ⊥ osa
Aksijalni (ekvatorijalni) momenti inercije za koordinatne ose su:
Jξ =
∫m
(η2 + ζ2) dm
Jη =
∫m
(ζ2 + ξ2) dm
Jζ =
∫m
(ξ2 + η2) dm
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Momenti inercije mase homegenih tela
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Momenti inercije mase homegenih tela
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Momenti mase drugog reda- momenti inercije
Centrifugalni (devijacioni) momenti inercije (proizvodi inercije)za parove koordinatnih (ortogonalnih) osa:
Jξη = −∫mξη dm = Jηξ Jηζ = −
∫mηζ dm = Jζη
Jζξ = −∫mζξ dm = Jξζ
Ako su materijalne koordinatne ose sme²tene u sredi²te mase(A ≡ S), onda se odgovaraju¢i momenti inercije nazivajucentralni momenti inercije
Dimenzije momenata inercije su masa x duºina2 [m× L2]
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Matrica inercije za koordinatne ose
Momenti inercije za koordinatne ose Aξηζ mogu da se prikaºupreko matrice inercije za koordinatne ose u referentnoj ta£ki A:
[J ](A) =
Jξ Jξη JξζJηξ Jη JηζJζξ Jζη Jζ
(A)
Matrica inercije je simetri£na i pozitivno de�nitna matrica redatri
Kvadratna matrica [aij ] reda n je simetri£na ako je aij = aji ,a poztitvno de�nitna ukoliko za bilo koji netrivijalni vektor
{xi} reda n vaºi {x}T [a]{x} > 0
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Momenat inercije za proizvoljnu osu
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Momenat inercije za proizvoljnu osu
Poznata je matrica inercije za referentnu ta£ku A i koordinatneose Aξηζ
Traºi se momenat inercije za proizvoljnu osu n kroz koordinatnipo£etak, koja je data sa ortom ~n = {cosα, cosβ, cos γ}Aksijalni momenat inercije za osu n je de�nisan sa:
Jn =
∫m
(~n× ~ρ)2 dm =
∫mp2 dm (3)
jer je|~n× ~ρ| = |~n||~ρ| sin(~n, ~ρ) = p
gde je p normalno rastojanje proizvoljne ta£ke tela do ose n
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Momenat inercije za proizvoljnu osu
Kako je
~n× ~ρ =
∣∣∣∣∣∣~λ ~µ ~ν
cosα cosβ cos γξ η ζ
∣∣∣∣∣∣odnosno, razijanjem determinante,
~n× ~ρ = ~λ(ζ cosβ − η cos γ)
+ ~µ(ξ cos γ − ζ cosα)
+ ~ν(η cosα− ξ cosβ)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Momenat inercije za proizvoljnu osu
to se dobija
p2 = (~n× ~ρ)2 = (ζ cosβ − η cos γ)2
+ (ξ cos γ − ζ cosα)2
+ (η cosα− ξ cosβ)2
Ovo se unosi u integral (3)
Jn =
∫mp2dm
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Momenat inercije za proizvoljnu osu
Integral (3) postaje
Jn =
∫m
(ζ2 cos2 β − 2ζη cosβ cos γ + η2 cos2 γ)dm
+
∫m
(ξ2 cos2 γ − 2ξζ cosα cos γ + ζ2 cos2 α)dm
+
∫m
(η2 cos2 α− 2ηξ cosβ cosα+ ξ2 cos2 β)dm
U ovim integralima cosα, cosβ i cos γ su nezavisni odintegracije po masi tela i mogu da se izvuku ispred integrala
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Momenat inercije za proizvoljnu osu
Dobija se
Jn = cos2 α
∫m
(ζ2 + η2)dm+ cos2 β
∫m
(ζ2 + ξ2)dm
+ cos2 γ
∫m
(η2 + ξ2)dm− 2 cosβ cos γ
∫mζηdm
− 2 cos γ cosα
∫mξζdm− 2 cosα cosβ
∫mηξdm
Integrali koji preostaju posle izdvajanja kosinusa ispredintegrala su odgovaraju¢i momenti inercije
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Momenat inercije za proizvoljnu osu
Imaju¢i u vidu de�niciju momenata inercije za koordinatne ose,dobija se izraz:
Jn = Jξ cos2 α+ Jη cos2 β + Jζ cos2 γ
+ 2Jξη cosα cosβ + 2Jηζ cosβ cos γ + 2Jζξ cos γ cosα
Aksijalni momenti inercije su uvek pozitivni, dok centrifugalnimomenti inercije mogu da imaju bilo kakav znak, uklju£uju¢i ida budu jednaki nuli (za neke parove osa)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Momenat inercije za proizvoljnu osu
Izraz za momenat inercije Jn za proizvoljnu osu n moºe da seprikaºe u matri£nom obliku:
Jn = { cosα cosβ cos γ }
Jξ Jξη JξζJηξ Jη JηζJζξ Jζη Jζ
cosαcosβcos γ
(4)
ili u skra¢enom obliku (sa o£iglednim oznakama)
Jn = {n}T [J ](A){n}
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Momenat inercije za par ⊥ osa
Traºi se momenat inercije za par proizvoljnih i me�usobnoortogonalnih osa n i m kroz koordinatni po£etak sistemaAξηζ, koje su date sa ortovima
~n = {cosα, cosβ, cos γ} ~m = {cosα1, cosβ1, cos γ1}
pri £emu je ~n · ~m = 0
Centrifugalni momenat inercije za par ortogonalnih osa n i mje de�nisan sa:
Jnm =
∫m
(~n× ~ρ) · (~m× ~ρ) dm = Jmn
(nema minusa u ovoj de�niciji!)S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Momenat inercije za par ⊥ osa
Posle sli£nih transformacija kao i za Jn, dobija se kona£anizraz:
Jnm = Jξ cosα cosα1 + Jη cosβ cosβ1 + Jζ cos γ cos γ1
+ Jξη(cosα cosβ1 + cosβ cosα1)
+ Jηζ(cosβ cos γ1 + cos γ cosβ1)
+ Jζξ(cos γ cosα+ cosα cos γ1)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Momenat inercije za par ⊥ osa
Izraz za momenat inercije Jnm za dve proizvoljne me�usobnoortogonalne ose n i m moºe da se prikaºe u matri£nom obliku:
Jnm =
{ cosα cosβ cos γ }
Jξ Jξη JξζJηξ Jη JηζJζξ Jζη Jζ
cosα1
cosβ1
cos γ1
ili u skra¢enom obliku
Jnm = {n}T [J ](A){m} = {m}T [J ](A){n} = Jmn
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Sadrºaj
1 Geometrija mase krutog telaSredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Glavni momenti inercije - elipsoid inercije
Za prikazivanje promene aksijalnih momenata inercije uzavisnosti od pravca ose n kroz referentnu ta£ku, koristi segeometrijska interpretacija preko elipsoida inercije
Aksijalni moment inercije za proizvoljnu osu n kroz ta£ku A,de�nisanu sa ortom ~n, je
Jn =
∫m
(~n× ~ρ)2 dm
Kolinearno sa pravcem ~n se de�ni²e vektor poloºaja ~r dat sa:
~r =1√Jn
~n = {ξ, η, ζ}
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Glavni momenti inercije - elipsoid inercije
�to je ve¢i momenat inercije Jn za osu ~n, to je manjiintenzitet vektora ~rnIz de�nicije vektora ~r se dobija
ξ =cosα√Jn
η =cosβ√Jn
ζ =cos γ√Jn
odakle je
cosα = ξ√Jn cosβ = η
√Jn cos γ = ζ
√Jn
Izrazi za kosinuse se unose u izraz (4) za momenat inercije Jn
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Glavni momenti inercije - elipsoid inercije
Posle transformacija i skra¢ivanjem sa Jn, dolazi se do relacije:
ξ2Jξ + η2Jη + ζ2Jζ + 2(ξηJξη + ηζJηζ + ζξJζξ) = 1
Relacija predstavlja geometrijsko mesto ta£aka krajeva vektora~r u prostoru Aξηζ - povr² elipsoid inercije
Poluose elipsoida odre�uju glavne pravce inercije i ekstremnevrednosti aksijalnih momenata inercije
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Glavni momenti inercije - elipsoid inercije
Najmanja poluosa elipsoida odgovara najve¢em aksijalnommomentu J1, srednja poluosa momentu J2 a najve¢a poluosaelipsoida odgovara najmanjem aksijalnom momentu inercije J3
Ako se poluose elipsoida inercije usvoje za novi materijalnisistem osa, ξ̄, η̄, ζ̄, to su glavni pravci, onda su odgovaraju¢icentrifugalni momenti inercije jednaki nuli (matrica inercije zatakav sistem je dijagonalna)
Jedna£ina elipsoida inercije u sistemu Aξ̄η̄ζ̄ je data sa
ξ̄2 J1 + η̄2 J2 + ζ̄2 J3 = 1
(nema centrifugalnih momenata inercije)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Glavni momenti inercije - elipsoid inercije
Za ortogonalni trijedar glavnih pravaca u ta£ki A, centrifugalnimomenti inercije za parove glavnih osa su jednaki nuli
Iz izraza koji de�ni²u proizvode inercije (Jξη = −∫ξηdm itd)
se vidi da su proizvodi inercije jednaki nuli ako je telogeometrijski simetri£no u odnosu na ravan (npr. ξη) i ako jegustina mase parna funkcija u pravcu ose upravno na ravansimetrije (za homogeno telo je dovoljna simetrija)
⇒ Ako postoji ravan simetrije (geometrije i mase) kroz ta£kuA, onda je normala na ravan simetrije kroz ta£ku A jedna odglavnih osa inercije
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Glavni momenti inercije - elipsoid inercije
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Odre�ivanje glavnih momenata inercije
Aksijalni momenat inercije za proizvoljnu osu kroz referentnuta£ku je dat sa
Jn = Jξ cos2 α+ Jη cos2 β + Jζ cos2 γ
+ 2Jξη cosα cosβ + 2Jηζ cosβ cos γ + 2Jζξ cos γ cosα
Traºi se ekstremum funkcije Jn = Jn(cosα, cosβ, cos γ), pri£emu mora da bude zadovoljena relacija (jedna£ina veze)
cos2 α+ cos2 β + cos2 γ = 1
Problem vezanog ekstremuma funkcije vi²e promenljivih
Koristi se postupak Lagranºevih multiplikatora veza
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Odre�ivanje glavnih momenata inercije
Traºi se ekstremum funkcije vi²e promenljivih
Jn = Jn(cosα, cosβ, cos γ)
uz uslovϕ(cosα, cosβ, cos γ) = 0
gde je ϕ = 1− (cos2 α+ cos2 β + cos2 γ)
Traºi se ekstremum nove funkcije
J∗n(cosα, cosβ, cos γ) = Jn + λϕ
gde je λ nepoznat parametar (Lagranºev multiplikator veze)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Odre�ivanje glavnih momenata inercije
Eekstremum funkcije vi²e promenljivih
J∗n(cosα, cosβ, cos γ) = Jn + λϕ
se dobija iz potrebnog uslova da su parcijalni izvodi funkcije J∗n
po promenljivima cosα, cosβ, cos γ jednaki nuli:
∂J∗n
∂ cosα= 0
∂J∗n
∂ cosβ= 0
∂J∗n
∂ cos γ= 0
Dobija se homogen linearan sistem algebarskih jedna£ina popromenljivima cosα, cosβ, cos γ, u kome �guri²e i nepoznatskalarni parametar λ
Ovaj sistem jedna£ina se prikazuje u matri£nom oblikuS.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Odre�ivanje glavnih momenata inercije
Odre�ivanje ekstremuma funkcije J∗n se svodi na Standardni
problem svojstvenih vrednosti matrice inercije: (Jξ − λ) Jξη JξζJξη (Jη − λ) JηζJξζ Jηζ (Jζ − λ)
cosαcosβcos γ
=
000
Dobija se homogen sistem linearnih algebarskih jedna£ina pokosinusima uglova, uz prisustvo nepoznatog parametra λ
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Odre�ivanje glavnih momenata inercije
Uslov za egzistenciju netrivijalnog re²enja je da jedeterminanta sistema jednaka nuli:
det
(Jξ − λ) Jξη JξζJξη (Jη − λ) JηζJξζ Jηζ (Jζ − λ)
= 0
Dobija se kubna jedna£ina (sekularna jedna£ina, ilikarakteristi£na jedna£ina) po nepoznatom parametru λ:
λ3 − JIλ2 + JIIλ− JIII = 0
gde su koe�cijenti u kubnoj jedna£ini invarijante matriceinercije
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Odre�ivanje glavnih momenata inercije
Invarijante matrice inercije (u odnosu na rotaciju koordinatnogsistema u ta£ki A) su date sa:
JI = Jξ + Jη + Jζ
JII =
∣∣∣∣ Jη JηζJηζ Jζ
∣∣∣∣+
∣∣∣∣ Jξ JξζJξζ Jζ
∣∣∣∣+
∣∣∣∣ Jξ JξηJξη Jη
∣∣∣∣JIII =
∣∣∣∣∣∣Jξ Jξη JξζJξη Jη JηζJξζ Jηζ Jζ
∣∣∣∣∣∣S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Odre�ivanje glavnih momenata inercije
Zbog simetrije matrice inercije i njene pozitivne de�nitnostire²enja sekularne jedna£ine su realni i pozitivni brojevi λi,(i = 1, 2, 3) -to su svojstveni brojevi
Pore�ani po veli£ini pretstavljaju glavne momente inercije:(λ1 = J1) > (λ2 = J2) > (λ3 = J3)
Odgovaraju¢i glavni pravci se dobijaju re²avanjem homogenihjedna£ina uno²enjem svojstvenih brojeva (za i = 1, 2, 3):
cosαi∣∣∣∣ Jη − λi JηζJηζ Jζ − λi
∣∣∣∣ =cosβi∣∣∣∣ Jηζ Jξη
Jζ − λi Jξζ
∣∣∣∣ =cos γi∣∣∣∣ Jξη Jη − λi
Jξζ Jηζ
∣∣∣∣S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Odre�ivanje glavnih momenata inercije
Ima dve jedna£ne za svako i, a tri nepoznata kosinusa, tako dase koristi i uslov veze:
cos2 αi + cos2 βi + cos2 γi = 1 (i = 1, 2, 3)
Za izabranu referentnu ta£ku A i za bilo koje izabrane pravcematerijalnih osa Aξηζ uvek se dobije ista karakteristi£nakubna jedna£ina, odn. uvek se dobiju isti glavni momentiinercije i glavni pravci
(koe�cijenti u karakteristi£noj jedna£ini su invarijante matriceinercije)
Ako je za referentnu ta£ku izabrano sredi²te mase, onda sedobijaju glavni centralni momenti inercije
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Sadrºaj
1 Geometrija mase krutog telaSredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Hajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Dva materijalna koordinatna sistema sa ‖ osama- u sredi²tu mase: Sξηζ- u proizvoljnoj ta£ki: Aξ̄η̄ζ̄
Mereno iz sredi²ta mase (sistem Sξηζ):- referentna ta£ka A . . . ~ρA = {a, b, c}- proizvoljna ta£ka P . . . ~ρ = {ξ, η, ζ}
Mereno iz referentne ta£ke A (sistem Aξ̄η̄ζ̄)- proizvoljna ta£ka P . . . ~̄ρ = {ξ̄, η̄, ζ̄}
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Hajgens-�tajnerova teorema
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Hajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Poloºaj ta£ke P u odnosu na sistem Sξηζ
~ρ = ~ρA + ~̄ρ
ili u skalarnom obliku:
ξ = a+ ξ̄
η = b+ η̄
ζ = c+ ζ̄
Transformacija koordinata za slu£aj translacije
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Hajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Momenat inercije za osu ξ̄ u ta£ki A:
Jξ̄ =
∫m
(η̄2 + ζ̄2) dm =
∫m
[(η − b)2 + (ζ − c)2] dm
odn. razvijanjem binoma,
Jξ̄ =
∫m
(η2 + ζ2) dm− 2b
∫mη dm− 2c
∫mζ dm
+ (b2 + c2)
∫mdm
Kako je S sredi²te mase, to je∫m ξdm = 0,
∫m ηdm = 0,
∫m ζdm = 0
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Hajgens-�tajnerova teorema
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Hajgens-�tajnerova teorema
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Hajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Izraz za Jξ̄ postaje
Jξ̄ =
∫m
(η2 + ζ2) dm+ (b2 + c2)m
odn. skra¢eno,Jξ̄ = Jsop + Jpol
gde su
- sopstveni aksijalni momenat inercije: Jsop =∫m(η2 + ζ2) dm
- poloºajni aksijalni momenat inercije: Jpol = (b2 + c2)m
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Hajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Sli£no, centrifugalni momenat inercije za ose ξ̄η̄ je dat sa:
Jξ̄η̄ = −∫m
(ξ − a)(η − b) dm
tako da se dobija
Jξ̄η̄ = −∫mξη dm− a bm odn. Jξ̄η̄ = Jsop + Jpol
gde su
- sopstveni centrifugalni momenat inercije: Jsop = −∫m ξη dm
- poloºajni centrifugalni momenat inercije: Jpol = −a bm
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Hajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Aksijalni moment inercije
Hajgens-�tajnerova teorema: Aksijalni momenat inercijeza proizvoljnu osu kroz ta£ku A jednak je zbiru sopstvenogi poloºajnog momenta inercije. Sopstveni momenatinercije je momenat inercije za paralelnu osu u sredi²tumase S, a poloºajni momenat inercije je jednak proizvodumase tela i kvadrata rastojanja izme�u osa.
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Geometrija mase krutog tela
Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Geometrija mase krutog tela
Hajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata
Centrifugalni momenat inercije
Hajgens-�tajnerova teorema: Centrifugalni momenatinercije za dve ortogonalne ose kroz ta£ku A jednak jezbiru sopstvenog i poloºajnog momenta inercije. Sopstvenimomenat inercije je momenat inercije za dve paralelne oseu sredi²tu mase S, a poloºajni momenat inercije je jednaknegativnom proizvodu mase tela i proizvoda rastojanjaizme�u osa.
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2