tehniČke mehanike ii - rc5.gaf.ni.ac.rsrc5.gaf.ni.ac.rs/dec/mehanika/homes/mehanika/tehnicka...

Predavanja iz Tehničke mehanike II školska 2009/2010

dr Marina Mijalković, vanredni profesor 1

AUTORIZOVANA PREDAVANJA

IZ

TEHNIČKE MEHANIKE II ZA STUDENTE ARHITEKTURE

Marina Mijalković



TEHNIČKA MEHANIKA II

UVOD

1. ZADATAK STATIKE Delatnost građevinskog inženjera i inženjera arhitekture je usredsređena na građevinske objekte. U nastajanju i trajanju objekta postoje četiri faze i to:

• planiranje, • projektovanje, • građenje i • održavanje.

Svaka od ovih faza podrazumeva timski rad u kome je inženjer saradnik ili rukovodioc. Svi građevinski objekti imaju glavne celine kao što su noseći sistem, završni radovi i oprema. Poznavanje nosećeg sistema ili konstrukcije je potrebno za delovanje inženjera u bilo kojoj od navedene četiri faze. Najsloženiji zadatak je planiranje i proračun konstrukcije što se zajedno naziva projektovanje konstrukcije. Projektovanje konstrukcije podrazumeva:

• Kreiranje geometrijskog oblika ujedno i vrste konstrukcije, • Osiguranje geometrijske nepromenljivosti, odnosno kinematičke stabilnosti, • Predviđanje opterećenja, • Izbor početnih dimenzija, • Proračun mehaničke otpornosti i stabilnosti, • Potvrđivanje dimenzija i rešenje detalja.

Današnje doba je obeleženo čitavim nizom impresivnih konstrukcija kao što su:

• Most Akashi Kaikyo u Japanu, • Most Oresund između Danske i Švedske, • Sustav morskih brana u Holandiji, • Brana na Žutoj rjeci u Kini, • Niz solitera u SAD, Hong Kongu, Kuala Lumpuru, • Televizijski tornjevi u Torontu i Moskvi, • Podmorski tunel ispod kanala La Manša.



2. VRSTE KONSTRUKCIJA

Izraz konstrukcija u najužem tehničkom smislu podrazumeva mehanički sklop koji je sposoban da prihvati i stabilno prenese opterećenja na referentnu podlogu. Dakle konstrukciju čine njena geometrija i njeno opterećenje. Geometriju konstrukcije čine prostorni položaj, elementi i njihovi preseci i svojstva materijala, način spajanja, vezivanja i oslonci. U geometriju konstrukcije spada i svojstvo linearnosti i nelinearnosti a sa tim u vezi i konzervativnost i nekonzervativnost. Poseban segment geometrije konstrukcije je kinematika konstrukcije. Pod kinematikom konstrukcije podrazumeva se svojstvo kinematičke stabilnosti i labilnosti. Do tih svojstava se dolazi idealizacijom konstrukcije na kinematički kruta tela, materijalne tačke, zatim idealizacijom veza i kinematičkom analizom takvog sklopa. Pod opterećenjem konstrukcije podrazumeva se prostorni raspored, nošenje opterećenja i promene izazvane deformisanjem konstrukcije kao i svojstvo konzervativnosti i nekonzervativnosti opterećenja. Konstrukcije se razlikuju: (1) prema obliku osnovnih dlova konstrukcije, (2) prema nivou kinematičke stabilnosti, (3) prema položaju konstrukcije u prostoru i (4) prema iskoristivosti delova konstrukcije. Podela konstrukcija prema obliku nosivih delova U tom smislu razlikuju se linijske, površinske, masivne i složene konstrukcije. Pod linijskim konstrukcijama podrazumevaju se one koje se sastoje iz delova čije se dve dimenzije (dimenzije poprečnog presjeka) mogu zanemariti u odnosu na treću dimenziju tj. dužinu. Šematski prikaz pojedinog dela konstrukcije je linija. U ove konstrukcije spadaju lančanice, lančani poligoni, rešetke, grede, stubovi, okviri, lukovi, roštilji i njihove kombinacije. Primeri linijskih konstrukcija prikazani su na crtežu



U površinske konstrukcije spadaju one čija se jedna dimenzija, debljina, može zanemariti u odnosu na druge dve. To su ploče, membrane i ljuske kao i njihove kombinacije. Primeri površinskih konstrukcija prikazani su na sledećoj slici.

U masivne konstrukcije spadaju sve one čiji su delovi takvi da su im sve tri dimenzije istoga reda veličine. Primeri masivnih konstrukcija prikazani su na sledećoj slici.



Složene konstrukcije odnosno mešovite konstrukcije nastaju kao kombinacija prethodnih vrsta. Primeri složenih konstrukcija prikazani su na slici.

Podela konstrukcija prema stepenu kinematičke stabilnosti U ovoj podeli razlikuju se statički određene i statički neodređene konstrukcije. Statički određene konstrukcije su one koje su kinematički stabilne, ali uz minimalni broj veza. Statički neodređene konstrukcije su one koje su kinematički stabilne, ali imaju više od minimalnog broja veza. U tradicionalnoj statici ova podela bila je veoma važna jer su se metode proračuna razvijale različito za određene i neodređene konstrukcije. Zahvaljujući pojavi računara i prikladnih metoda, razlika u postupcima proračuna se izgubila jer se one jednako primijenjuju na statički određene i statički neodređene konstrukcije.



Važnost ove podele ostaje aktuelna zbog dokazivanja nivoa kinematičke stabilnosti, i zbog bitno različitih posledica delovanja nekih vrsta posrednih opterećenja na statički određene i neodređene konstrukcije. Podela konstrukcija prema dimenzionalnosti u prostoru U ovoj podeli razlikuju se konstrukcije u ravni i konstrukcije u prostoru. Kada su svi elementi konstrukcije u jednoj ravni kao i sva opterećenja, tada se obično takav zadatak posmatra kao ravanski. Podela konstrukcija prema iskoristivosti njihovih delova U zavisnosti od rasporeda naprezanja u elementima konstrukcije pri delovanju dominantnih opterećenja razlikuju se: (1) konstrukcije s jednolikim naprezanjima i (2) konstrukcije s nejednolikim naprezanjima. U konstrukcije s jednolikim naprezanjima spadaju konstrukcije s lančanicama i kablovima, lukovi, rešetke, ljuske i membrane, kod kojih je dominantno uzdužno naprezanje. U konstrukcije s nejednolikim naprezanjima spadaju grede, okviri, ploče i platna. Kod njih je dominantno naprezanje izazvano savijanjem.

3. STATIČKA DEJSTVA Pod dejstvom na konstrukcije podrazumeva se opterećenje silama, temperaturni uticaji, pomeranje oslonaca, dinamička i požarna dejstva. Sile u klasičnom smislu je moguće razvrstavati po više osnova, kao što je fizičko poreklo, promenjivost u toku vremena, geometrijski način delovanja i redosled nanošenja itd. U odnosu na promijenjivost u toku vremena, sile se dile na statičke i dinamičke. Zbog složenosti dinamičkih analiza vrlo često se dinamička delovanja na konstrukcije pojednostavnjuju i svode na ekvivalentna statička. Što se tiče geometrijskog načina djelovanja, sile se dijelimo na koncentrisane i raspodijeljene po linijama, na površinama i po zapremini. Sveukupna dejstva u praktičnom inženjerskom smislu se dele na: (1) stalna dejstva, (2) promenljiva dejstva i (3) udarna dejstva. Stalna dejstva predstavljaju opterećenja silama sopstvene težine i svih nepokretnih delova koja se nalaze na konstrukciji. Određuju se iz geometrije i vrste materijala od



koga je konstrukcija i opreme. Zapreminske težine pojedinih materijala su sastavni deo tehničkih propisa i normi. Promenljiva dejstva predstavljaju opterećenja koja menjaju svoj položaj ili intenzitet, ili jedno i drugo, ali nemaju dinamički karakter. U promenljiva dejstva se ubrajaju: (1) vozila na putničkim mostovima, (2) opterećenja na železničkim mostovima, (3) pokretne sile u zgradama, (4) udarna opterećenja (vertikalna promenljiva dejstva koje izaziva pokretni teret, (5) opterećenje od vetra, snega i leda, (6) pritisci tla, (7) hidrostatički pritisci, (8) temperaturna dejstva. Udarna dejstva se događaju retko odnosno verovatnoća njihove pojave je mala. To su: (1) potresna dejstva, (2) požarna dejstva, eksplozije i udar vozila.

4. STRUKTURA KONSTRUKCIJE

Delovi konstrukcije su: (1) štapovi, (2) užad, (3) platna, (4) ploče, (5) membrane, (6) tela, (7) čvorovi i oslonci. Štap u širem smislu predstavlja element koji se može predstaviti kao jednodimenzionalni. (1) Štap prenosi samo podužne sile, zbog čega je pravolinijski, (2) greda kao element koji prenosi sile i momente pri čemu su podužne sile sekundarne, (3) stub kao element koji prenosi sile i momente pri čemu dominiraju podužne sile. Primeri štapova prikazani su na sledećoj slici.



(a) štapovi (b) stub (c) greda

Užad su jednodimenzionalni elementi, promenljive geometrije koji prenose samo podužne zatežuće sile. To su lančanice i lančani poligoni, delovi kablovskih konstrukcija ili užad koja pridržavaju visoke stubove i jarbole. Primeri užadi prikazani su na sledećoj slici.

(a) lančanica (b) lančani poligon (c) stub sa užadima

Platna su delovi konstrukcije koji mogu da se predstave kao dvodimenzionalni elementi kod kojih su sva bitna opterećenja i vezivanja u ravni: konzolni zid, zid sa otvorima i slično.

(a) platno (b) zid (c) zid s otvorima



Ploče predstavljaju dvodimenzionalne konstruktivne delove kod kojih su opterećenja uvek upravna na ravan ploče. U pogledu vezivanja, ploče se tretiraju isto kao i kruta tela. Primeri ploča prikazani su na sledećoj slici.

(a) pravougla konzolna (b) kružna na stubu (c) kontinualna ploča Membrane predstavljaju površinske elemente koji su zakrivljeni i dvodimenzionalni, promenljive su geometrije i prenose samo podužne sile zatezanja. Primeri membrana prikazani su na sledećoj slici.

(a) viseće platno (b) balon pod pritiskom (c) jedro na jarbolu

Ljuske predstavljaju površinske elemente koji su zakrivljeni i dvodimenzionalni, stalne geometrije. Kupole su posebne osnosimetrične ljuske. Ljuske i ploče su delovi kontinuuma.

(a) ljuska (b) kupola



Tela predstavljaju trodimenzionalne elemente kod kojih opterećenja i vezivanja mogu biti u bilo kom pravcu. Tela su delovi trodimnezionalnog kontinuuma.

(a) valjak (b) kvadar (c) kugla Čvorovi i oslonci Čvorovi predstavljaju mesta i delove gde se vezuju (spajaju) delovi konstrukcije. Kad se vezuju jednodimenzionalni delovi, čvorovi su diskretni. Ako se vezuju dvodimenzionalni ili trodimenzionalni delovi bez jednodimenzionalnih, vezivanje je raspodeljeno. Kada se delovi konstrukcije vezuju za referentnu podlogu takva mjesta se nazivaju osloncima. U ravni se razlikuju čvorovi sa: (1) zglobnim vezivanjem, jednostrukim i višestrukim, (2) krutim vezivanjem, jednostrukim i višestrukim, (3) štapnom vezom. Primeri čvorova mogu se videti na sledećim crtežima.

(a) štap (klizna veza), (b) zglob, (c) trostruki zglob



Kruti čvorovi: (a) u pravcu, (b) pod uglom, (c) trostruki U prostoru se razlikuju čvorovi s diskretnim i raspodeljenim vezivanjem. Diskretno vezivanje javlja se kao: zglobno, kruto i slobodni dodir. Slobodni dodir, dok postoji, funkcioniše kao zglobna veza. Primeri diskretnih prostornih čvorova prikazani su na sledećem crtežu. Raspodeljene veze su: linijski klizni zglob, linijski zglob i linijsko uklještenje.

Prostorni diskretni čvorovi: (a) zglobni (b) kruti

Prostorni raspodeljeni čvorovi: (a) linijski klizni zglob, (b) linijski zglob i (c) linijsko uklještenje



U pogledu oslonaca u ravni razlikuju se: (1) klizni ili pokretni, (2) nepokretni, (3) uklještenje.

Oslonci u ravni: (a) klizni (b) nepokretni (c) uklješteni U prostoru se razlikuju diskretni i kontinualni oslonci. Diskretni oslonci su: (1) prostorni zglob, (2) diskretno uklještenje i (3) slobodni dodir. Slobodni dodir dok postoji, funkcioniše kao prostorni diskretni zglob. Primeri prostornih diskretnih oslonaca prikazani su na slici:

Prostorni diskretni oslonci: (a) zglobni i (b) uklješteni Raspodeljeni prostorni oslonci su: (1) linijski klizni, (2) linijski zglobni, (3) linijsko uklještenje i (4) oslonci sa slobodnim dodirom. Dok postoji, slobodni dodir funkcioniše kao linijski klizni ili puni zglob. Primeri prostornih oslonaca vide se na sledećem crtežu.



Raspodeljeni oslonci u prostoru : (a) linijski klizni (b) linijski zglobni i (c) linijski uklješteni S kinematičkog gledišta, delovi konstrukcije su tela i veze. Veze su elementi koji sprečavaju kretanje vezanih delova. Veze koje sprečavaju kretanje unutar konstrukcije, poput čvorova, zovu se unutrašnjim vezama, a veze koje sprečavaju kretanje između delova konstrukcije i podloge, poput oslonaca, nazivaju se spoljašnjim vezama. Veza koja sprečava kretanje u jednom pravcu ili rotaciju oko pravca naziva se jednostrukom vezom. Jednostrana veza koja sprečava kretanje samo u jednom smeru, poput užeta, naziva se jednostrukom jednostranom vezom. Jednostruka veza koja sprečava kretanje u oba smera poput štapa, naziva se jednostrukom dvostranom vezom. Veza koja sprečava kretanje u n pravaca naziva se n-tostrukom vezom. Diskretno i kontinualno vezivanje. Ako su u vezanom paru veza ili vezano telo jednodimenzionalni, tada je vezivanje diskretno. Diskretno vezivanje znači da je broj pravaca u kojima je sprečeno kretanje poznat i konačan. Ako u vezanom paru nema jednodimenzionalnih elemenata, vezivanje je raspodeljeno, a broj pravaca u kojima je sprečeno kretanje je beskonačan.



5. KINEMATIČKA I STATIČKA STABILNOST

Stepeni slobode kretanja U kinematičkom smislu tela se mogu posmatrati kao materijalne tačke i tela. U zavisnosti od dimenzionalnosti prostora u kome se posmatra moguće kretanje, broj stepeni slobode kretanja materijalne tačke i tela je: Broj stepeni slobode s Dimenzionalnost prostora Materijalna tačka Kruto telo

1D s=1 (translacija) s=1 (translacija)

2D s=2 (dve translacije) s=3(dve translacije +rotacija)

3D s=3 (tri translacije) s=6(tri translacije +tri rotacije)

U jednom sistemu slobodnih materijalnih tačaka (M) i krutih tela (T) ukupni broj stepeni slobode kretanja je:

u 1D prostoru s = 1M +1T, u 2D prostoru s = 2M + 3T, u 3D prostoru s = 3M + 6T, uopšteno s = iM + jT. (1)

Vezivanjem tela međusobno ili za podlogu smanjuje se broj stepeni slobode. Ako nema veza koje se preklapaju tj. sprečavaju kretanje u istom pravcu, tada se broj stepeni slobode kretanja određuje prema izrazu:

s=iM+jT−v. (2)

gde je v broj jednostrukih veza.



KINEMATIČKA STABILNOST U slučaju kada se postigne

s≤ 0, (3)

a nema preklapanja veza, nastupa potpuno održanje sistema, odnosno geometrijska nepromenjivost koja se još naziva i kinematička stabilnost. Relacija (3) predstavlja potreban uslov kinematičke stabilnosti. Dovoljan uslov je nepreklapanje veza. Grafički prikaz kinematički stabilne materijalne tačke i krutog tela, zavisno od dimenzionalnosti prostora, dat je na slikama 1, 2 i 3. Jednodimenzionalni prostor ima samo teorijsko značenje jer takav prostor praktično ne postoji. U takvom prostoru slobodna tačka i telo mogu da se kreću u jednom pravcu, dakle imaju jedan stepen slobode kretanja. U matematičkom obliku položaj im se može opisati jednom jednačinom x=x(t). Tačka, odnosno telo, biće kinematički stabilni vezivanjem jednom vezom.

Slika1 Kinematička stabilnost u jednom pravcu (u 1D prostoru)

U dvodimenzionalnom prostoru tačka može nezavisno da se kreće u dva pravca pa ima dva stepena slobode kretanja. Matematički se položaj tačke opisuje jednačinama x= x(t) i y = y(t). Tačka treba da se veže sa dve veze koje nisu na istom pravcu. Nepreklapanje veza znači da one nisu na istom pravcu. U protivnom, kada su dve veze na istom pravcu postoji mogućnost bar diferencijanog pomeranja tačke. U ravni (2D prostoru) kretanje tela može da se posmatra kao kretanje referentne tačke, npr. pola, i kretanje bilo koje druge tačke oko referentne tačke. Kretanje referentne tačke je u dva pravca i opisuje se sa dve jednačine kao i kod materijalne tačke, dok je kretanje bilo koje druge tačke oko referentne tačke rotacija oko te referentne tačke. Dakle još jedan stepen slobode kretanja, a matematički se opisuje kao rotacija oko ose z po zakonu φ =φ (t) . Dakle, telo u ravni ima tri stepena slobode kretanja. Telo u ravni može potpuno da se veže sa tri veze. Nepreklapanje veza podrazumeva da se tri veze ne seku u jednoj tački. Isključuju se i tri paralelene veze jer se seku u beskonačnosti. To će biti geometrijski ostvareno ako je udaljenost bilo kog štapa od



preseka preostala dva ( na slici 2 veličina a) različita od nule. U protivnom, kada bi se tri štapa sekla u istoj tački bila bi moguća rotacija oko te tačke. Ako je ta tačka u beskonačnosti, znači da su tri štapa paralelna pa je moguća translacija tela.

Slika 2 Kinematička stabilnost u ravni (u 2D prostoru) U prostoru tačka može nezavisno da se kreće u tri pravca i ima tri stepena slobode kretanja. Matematički položaj tačke može da se opiše jednačinama x = x(t), y = y(t) i z= z(t). Tačka treba da se veže sa tri veze koje nisu u istoj ravni. Nepreklapanje veza znači da one nisu u istoj ravni. U protivnom, kada su tri veze u istoj ravni postoji mogućnost, barem diferencijanog pomeranja tačke upravno na ravan. U prostoru kretanje tela se može posmatrati kao kretanje referentne tačke, npr. pola i kretanje bilo koje druge tačke oko pola. Kretanje pola vrši se u tri pravca i opisuje sa tri jednačine kao i kod materijalne tačke, dok se kretanje bilo koje druge tačke oko pola prati kao rotacija oko tog pola. Rotacija oko pola daje još tri stepena slobode kretanja, a matematički se opisuje kao tri rotacije oko tri ose po zakonima φ=φ(t), θ=θ(t) i ω=ω(t). Znači da telo u prostoru ima šest stepena slobode kretanja. Potpuno se može vezati sa šest veza. Nepreklapanje veza podrazumeva da ne postoji pravac koji preseca sve veze. To je geometrijski ostvareno ako je površina trougla a, b, c na slici 3 konačna i različita od nule.



Maca 3/10/2010

Slika 3 Kinematička stabilnost u prostoru

Kinematička stabilnost se može još opisati kao stanje sistema u kome nisu moguća pomeranja sistema kao skupa krutih tela, odnosno nije moguće pomeranje ni jedne tačke sistema bez deformacije bar jednog elementa ili pomeranja bar jednog oslonca. Ako je

s > 0 (4) sistem je kinematički labilan. Tada se radi o mehanizmu sa s stepeni slobode kretanja. Dokazati prethodnu pretpostavku o nepreklapanju veza kao dovoljni uslov uz relaciju (3) jedan je od najsloženijih zadataka inženjerskog posla. U njemu je vrlo važan osećaj za prostor i geometriju konstrukcije i njenih delova. Kada je broj stepeni slobode u relaciji (3)

s = 0 (5) sistem je statički određen. Suprotno tome, kada je

s< 0 (6)

sistem je statički neodređen. Sistem u tom slučaju ima upravo (s) prekobrojnih veza. Ujedno je sistem neodređen (s) puta. Geometrijska stabilnost konstrukcije obuhvata uticaj deformacija i pomeranja na stabilnost konstrukcije. Kada se kod neke konstrukcije zanemaruje uticaj deformacija na geometriju konstrukcije, tada geometrijska stabilnost prelazi u kinematičku stabilnost.



STATIČKA STABILNOST Statička stabilnost konstrukcije je posledica stabilnosti ravnoteže konstrukcije, pri čemu postoje konstrukcije koje su stabilne za bilo koja konačna opterećenja, ali postoje i konstrukcije koje su stabilne samo za neke vrste opterećenja. Prve se nazivaju bezuslovno stabilnim, a druge uslovno stabilnim. Gubitak stabilnosti neke konstrukcije može nastati usled: (1) gubitka stabilnosti ravnotežnog oblika (deformacijske forme), (2) gubitka stabilnosti geometrijskog položaja ili (3) kombinacije prva dva slučaja. Ako za sva moguća opterećenja na konstrukciju mogu da se zanemare deformacije, tada za sve kinematički stabilne konstrukcije, dakle geometrijski stabilne, važi da su bezuslovno statički stabilne. U slučaju prisutnih deformacija, kinematička stabilnost ne osigurava geometrijsku stabilnost pa nema ni bezuslovne stabilnosti statičke ravnoteže odnosno stabilnosti konstrukcije, jer ona zavisi i od deformabilnih svojstava elemenata i od opterećenja. Takve konstrukcije su uslovno stabilne. Stabilnost ovakvih konstrukcija mora da se dokaže za svako opterećenje. Druga vrsta uslovno stabilnih konstrukcija su kinematički labilne konstrukcije koje, zahvaljujući načinu opterećivanja, mogu zauzeti stabilan geometrijski položaj prilagođavajući ga vrsti opterećenja. Iako sistem nije kinematički stabilan, zbog mogućnosti stabilnog prenosa opterećenja zove se konstrukcija. Tipični predstavnici ovakvih konstrukcija su lančanice, kablovske konstrukcije i membrane. Stabilnost ravnoteže kinematički labilnih konstrukcija U posebnim slučajevima čak i kinematički labilni sistemi, odnosno geometrijski promijenljivi, mogu primiti i preneti opterećenje. Pri tome može se raditi samo o: (a) labilnoj ravnoteži ili (b) stabilnoj ravnoteži. Na primer, svi mehanizmi s jednim stepenom slobode mogu da prenesu optererećenje koncentrisanim silama čiji pravci delovanja prolaze kroz apsolutne polove rotacija tela mehanizma. Međutim, samo deo tih sistema zadržaće geometrijski položaj i stabilnu ravnotežu. U primeru sa crteža 4 ravnoteža postoji za sve sile koje prolaze kroz apsolutni pol 2. Međutim, stabilnu ravnotežu stvaraju sile koje u svim štapovima stvaraju sile zatezanja. To je ispunjeno za sve sile koje djeluju pod uglom 0 < α < αs.



Slika 4 Uslovno stabilan sistem sa jednim stepenom slobode

Sa druge strane, neki mehanizmi i sa više stepeni slobode, npr. lančani poligon sa slike 5, pod delovanjem odgovarajućih opterećenja menjaju geometriju (kao kruta tela) i zauzimaju stabilan ravnotežni položaj. Mogu se nazvati uslovno stabilnim. Oni su uslovno konstrukcije, jer funkcionišu samo za određena opterećenja.

Slika 5 Uslovno stabilan sistem sa dva stepena slobode

trougao sila

Stabilna ravnoteža za sva opterećenja koja izazivaju sile zatezanja u štapovima



SILE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA

Definicije presečnih sila

Greda ili gredni nosač je telo kod koga je jedna dimenzija - dužina izraženija u odnosu na druge dve. Gredni nosač je osnovni konstruktivni element u najvećem broju konstruktivnih sistema. Projektovanje bilo kog konstruktivnog elemenata podrazumeva određivanje unutrašnjih sila u tom elementu da bi se obezbedilo da materijal od koga je element napravljen može da nosi dato spoljašnje opterećenje. Unutrašnje sile se mogu odrediti primenom metode preseka. Da bi se ilustrovao ovaj postupak posmatraće se gredni nosač opterećen silama F1, F2, F3, F4 i F5 i reakcijama veza RA i RB. Ako je potrebno odrediti unutrašnje sile koje deluju na poprečni presek u tački C, zamisli se presek α-α, upravan na osu štapa, odnosno upravan na tengentu na mestu preseka, kojim se nosač podeli na dva dela (deo I i deo II). Osa štapa je geometrijsko mesto težišta poprečnih preseka. Ako se ovo uradi, unutrašnje sile u preseku postaju spoljašne na osnovu aksiome pet. Ako je gredni nosač bio u ravnoteži, onda je i svaki njegov izdvojeni deo u ravnoteži.



Ako se zamisli da je deo II uklonjen, na mestu preseka će se pojaviti uticaj izdvojenog dela II na deo I u vidu unutrašnjih sila. U opštem slučaju te sile obrazuju prostorni sistem sila, pa ako se izvrši njegova redukcija na težište poprečnog preseka dobija se redukciona rezultanta i redukcioni spreg sila L LR i M

r. Takođe, deo I deluje na

deo II unutrašnjim silama istog pravca, a suprotnog smera na osnovu aksiome šest.

D L D L

D L

R = -R , R =R ,M =M =M.

r r

Redukciona rezultanta D LR , odnosno Rr r

može se razložiti u dve komponente:

– u pravcu ose štapa – normale na presek (N);

– u pravcu upravnom na normalu preseka ( osu štapa).

Komponenta redukcione rezultante N, koja je u pravcu normale na presek α-α, i komponenta T, koja je u pravcu upravnom na normalu, nazivaju se normalna ili aksijalna sila i transverzalna ili poprečna sila. Moment redukcionog sprega M je moment unutrašnjih sila obzirom na težište preseka i naziva se napadni moment ili moment savijanja.

Normalna i transverzalna sila, N i T, su komponente redukcione rezultante unutrašnjih sila u pravcu ose štapa i upravno na pravac ose štapa, a moment savijanja M je moment redukcionog sprega unutrašnjih sila kada se težište preseka uzme za redukcionu tačku.

Konvencija o znaku presečnih sila

Usvoji se jedna strana nosača za donju stranu i označi se isprekidanom linijom. Kod vertikalnih elemenata (stubova) to je leva ili desna strana. Iz nosača se izdvoji element beskonačno male širine, čije su stranice normalne na osu nosača i uticaj uklonjenih delova nosača se nadoknadi unutrašnjim silama − silama u preseku. Za moment



savijanja, normalnu i transverzalnu silu usvojeno je pravilo za pozitivan smer, koje važi koje važi za sve nosače:

Normalna sila je pozitivna ako zateže element štapa, a negativna ako ga pritiska.

Transverzalna sila je pozitivna ako nastoji da obrne element grede u smeru kretanja kazaljke na časovniku.

Moment savijanja je pozitivan ako zateže donju stranu nosača.

Proračun sila u preseku

Vrednosti momenta savijanja, transverzalne i normalne sile u preseku nosača određuju se iz uslova ravnoteže otsečenog dela štapa.

Ravnoteža levog dela štapa

Posmatra se deo I (levi deo štapa) i postavi koordinatni sistem u težište poprečnog preseka, tačku C, tako da je osa x u pravcu ose štapa, odnosno da tangira osu štapa, a osa y bude upravna na nju. Odredi se sada algebarski zbir projekcija svih spoljašnjih sila i reakcija veza koje deluju na deo I na ose xL i yL:

L 1 1 2 2 3 3 A

L 1 1 2 2 3 3 A

X F cos F cos F cos R cos ,

Y F sin F sin F sin R sin ,

= − α + α − α + α

= − α + α − α + α

∑

∑

kao i algebarski zbir momenata svih spoljašnjih sila koje deluju na deo I obzirom na tačku C:

CL 1 1 2 2 3 3 A AM F r F r F r R r .= − + − +∑

Jednačine ravnoteže levog dela glase:

L L

L L

C CL CL

X 0 X N 0 N X ,Y 0 Y T 0 T Y , (1)M 0 M M 0 M M .

= ⇒ − = ⇒ =

= ⇒ − = ⇒ =

= ⇒ − = ⇒ =

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑

Ravnoteža desnog dela štapa

Posmatra se deo II (desni deo štapa) i postavi koordinatni sistem u težište poprečnog preseka, tačku C, tako da je osa x u pravcu ose štapa, odnosno da tangira osu štapa, a



osa y bude upravna na nju. Odredi se sada algebarski zbir projekcija svih spoljašnjih sila i reakcija veza koje deluju na deo II na ose xD i yD:

D 4 4 5 5 B

D 4 4 5 5 B

X F cos F cos R cos ,

Y F sin F sin R sin ,

= α − α − β

= α − α + β

∑

∑

kao i algebarski zbir momenata svih spoljašnjih sila koje deluju na deo II obzirom na tačku C:

CD 4 4 5 5 B BM F r F r R r .= − +∑

Jednačine ravnoteže desnog dela glase:

D D

D D

C CD CD

X 0 X N 0 N X ,Y 0 Y T 0 T Y , (2)M 0 M M 0 M M .

= ⇒ − = ⇒ =

= ⇒ − = ⇒ =

= ⇒ − = ⇒ =

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑

Iz (1) i (2) sledi:

L D

L D

CL CD

N X X ,T Y Y , (3)M M M .

= =

= =

= =

∑ ∑∑ ∑∑ ∑

Normalna (aksijalna) sila N u proizvoljnom poprečnom preseku štapa jednaka je algebarskom zbiru projekcija svih sila na osu normalnu na presek bilo s leve, bilo s desne strane preseka.

Transverzalna (poprečna sila) T u proizvoljnom preseku jednaka je algebarskom zbiru projekcija svih sila s jedne ili druge strane preseka na osu upravnu na normal preseka.

Moment savijanja M u proizvoljnom preseku štapa je jednak algebarskom zbiru momenata svih sila s jedne ili druge strane preseka obzirom na težište poprečnog preseka.



Diferencijalne zavisnosti između transverzalnih sila T, momenta savijanja M i kontinualnog opterećenja q

Ako je nosač u ravnoteži, onda je i svaki njegov izdvojeni deo u ravnoteži. Uslovi ravnoteže elementa grede:

1C

Y 0 T dT T ( )d 0,dT( ) , (1)d

dM 0 M dM M Td ( )d 0,2

dMT= . (2)d

= ⇒ + − + =

= −

= ⇒ + − − − =

∑

∑

q x x

q xx

xx q x x

x

Član d( )d2xq x x se zanemaruje kao mala veličina višeg reda.

Kada na gredu deluje kontinualno opterećenje izvod transverzalne sile po apscisi preseka jednak je intenzitetu kontinualnog opterećenja sa znakom minus.

Izvod momenta savijanja po apscisi preseka jednak je transverzalnoj sili u tom preseku.

Ekstremne vrednosti momenta savijanja

Uslov ekstremuma funkcije glasi:

d dM0, 0, (2) T 0.d d

= = ⇒ =yx x

Moment savijanja ima ekstremnu vrednost u preseku u kome je transverzalna sila jednaka nuli, što je posledica uslova ekstremuma funkcije i diferencijalne zavisnosti između momenta i transverzalne sile u preseku nosača.



Dijagrami sila u preseku

Konstrukcije su u opštem slučaju izložene raznim spoljašnjim opterećenjima, čija su posledica unutrašnje sile – normalne, transverzalne i momenti savijanja u svim delovima konstrukcije. Na primer, ako se izvrši presek rama kao na slici, u tačkama H, G i F pojavljuju se unutrašnje sile, kao posledica uklonjenih delova rama. Unutrašnje sile u ovim presecima se ne mogu odrediti primenom uslova ravnoteže. Da bi se rešio problem potrebno je osloboditi se veza, raščlaniti sistem na tela i odrediti sve reakcije veza. Svako telo je sada moguće seći u odgovarajućim tačkama i primenom uslova ravnoteže (1), (2), odnosno primenom (3) odrediti N, T i M. U preseku G unutrašnje sile se određuju posmatrajući deo DG, pod uslovom da su reakcije HD i VD već određene.

Unutrašnje sile sračunate analitičkim putem mogu se grafički predstaviti u vidu dijagrama momenta savijanja, dijagrama transverzalnih sila i dijagrama normalnih sila.

Postupak određivanja dijagrama M, T i N:

• Odrede se reakcije veza i razlože sve sile na komponente u pravcu ose štapa i u pravcu upravnom na pravac ose štapa;

• Sastave se analitički izrazi, kao zakoni promene momenta savijanja, transverzalne i normalne sile u zavisnosti od apscise preseka, definišući početak ose x na levom kraju štapa, uzimajući pozitivan smer ose x s leva na desno, a kraj na delu između koncentrisanih sila i/ili koncentrisanih momenata, odnosno na delu na kome nema diskontinuiteta u kontinualnom opterećenju;

• U karakterističnim presecima (seče se štap upravno na osu) se sračunaju vrednosti M, T i N, a zatim se u odabranoj razmeri nanesu upravno na osu grede, vodeći računa o znaku (šablon za pozitivan znak). Pozitivne vrednosti



momenta savijanja se crtaju na strani zategnutog dela grede, a negativne na strani pritisnutog dela grede;

• Nanešene ordinate, koje predstavljaju vrednosti M, T i N u karakterističnim presecima se linijski povežu imajući u vidu M=M(x), T=T(x) i N=N(x). Dobijeni grafici se nazivaju dijagrami momenata, transverzalnih i normalnih sila. Zbog bolje preglednosti je dobro da se dijagrami crtaju ispod štapa.

Primer:

Odrediti sile u presecima za datu prostu gredu i nacrtati dijagrame momenata savijanja, transverzalnih i normalnih sila.

A

A B

A B

A

B

A

1 A

1 A

1 A

A

C

X 0 H Fcos 0, (1)

Y 0 V V Fsin 0, (2)

M 0 V 2a Fsin a 0, (3)(1) H Fcos ,

Fsin(3) V ,2

Fsin(2) V .2

presek 1 1 0 x aN H Fcos ,

FsinT =V ,2

FsinM V x x,2

x 0, M 0,Fsinx a, M a,

2presek 2 2 0 x

= ⇒ − + α =

= ⇒ + − α =

= ⇒ ⋅ − α⋅ =

⇒ = α

α⇒ =

α⇒ =

− ≤ ≤= = α

α=

α= ⋅ =

= =

α= =

′− ≤

∑∑∑

2

2 B

2 B

A

C

aN 0,

FsinT = V ,2

FsinM V x x ,2

x 0, M 0,Fsinx a, M a.

2

≤=

α− = −

α′ ′= ⋅ =

′ = =

α= =



OSNOVI GRAFIČKE STATIKE

Grafičko slaganje sila u ravni pomoću poligona i Verižnog poligona Grafičko određivanje rezultante dveju sila Veličina i položaj rezultante grafičkim putem se određuje konstruisanjem poligona sila i verižnog poligona. Neka na kruto telo deluju dve sile 1 2i .F F

r r Konstruiše se u izabranoj razmeri poligon

sila abc. Njegova poslednja strana određuje po pravcu, smeru i veličini rezultantu Rr

. Da bi se odredio položaj rezultante na telu, spoje se temena poligona sila a, b, c sa proizvoljnim polom O i konstruiše verižni poligon B0B1B2 povlačeći paralelne prave 0'II0, 1'II1, 2'II2. Rezultanta ovih sila prolazi kroz tačku u kojoj se seku pravci 0' i 2'. Ako se konstruiše verižni poligon i produže prva i poslednja strana verižnog poligona, u preseku ovih pravaca dobija se tačka B3, kroz koju prolazi rezultanta datih sila. Ako se kroz tačku B3 povuče prava paralelna završnom stranom poligona sila i ako se u bilo kojoj tački ove prave nanese sila R

r dobija se rezultanta.



1 0 1 2 1 2 1 1

1 2 0 1 1 2 0 2

, , ( , ) 0,

( , ) ( , , , ) ( , ).

F S S F S S S S

R F F S S S S S S

′ ′ ′= + = + =

′ ′ ′= = =

r r r r r rr r

r r r r r rr r r

Grafičko određivanje rezultante prizvoljnog sistema sila Završna strana poligona sila određuje veličinu, pravac i smer rezultante; kroz presečnu tačku krajnjih strana verižnog poligona prolazi napadna linija rezultante.

1 0 1 2 1 2 3 2 3 4 3 4

1 1 2 2 3 3

1 2 3 4 0 1 1 2 2 3 3 4 0 4

, , ,

( , ) 0, ( , ) 0, ( , ) 0,

( , , , ) ( , , , , , , , ) ( , ).

F S S F S S F S S F S S

S S S S S S

R F F F F S S S S S S S S S S

′ ′ ′ ′= + = + = + = +

′ ′ ′= = =

′ ′ ′ ′ ′= = =

r r r r r r r rr r r r

r r r r r r

r r r r r r r r r rr r r r r



Svođenje ravnog sistema sila na spreg sila Ako je poligon sila, konstruisan od datog sistema sila, zatvoren, a veržni poligon otvoren, onda se takav sistem sila svodi na jedan rezultujući spreg.

Ako je poligon sila A0A1A2 konstruisan za sile 1 2 3, iF F F

r r r zatvoren, kao na slici, onda

se zraci 0 i 3 poklapaju. Tada su krajnje strane verižnog poligona 0' i 3', ako on nije zatvoren, paralelne među sobom. Svaka od sila sistema, povlačenjem zrakova 0, 1, 2, 3 se razlaže na dve sile, pošto je:

1 0 1 0 1 2 1 2 1 2 3 2 0 2 3A A , A A , A A .F S S F S S F S S′ ′ ′= = + = = + = = +uuuuur uuuuur uuuuuurr r r r r rr r r

Sile 0 1iS S ′r r

zamenjuju silu 1Fr

ako se nanesu u bilo kojoj tački njene napadne linije. Nanesimo ih u tačku B1, koja je dobijena pri konstrukciji verižnog poligona. Isto tako se zamene sile 2 3 1 2 2 3i silama , , odnosno , ,F F S S S S′ ′

r r r rr rnanošenjem u tačkama B2 i B3.

Sile 1 1 2 2i , odnosno iS S S S′ ′r r r r

na pravama 1' i 2' se uzajamno uravnotežuju što se vidi sa slike plana sila, pa se na osnovu aksiome tri mogu ukloniti. Prema tome, dati sistem se može zameniti dvema silama 0 3,S S ′

r r, koje su istog intenziteta i pravca, a

suprotnog smera i leže na paralelnim pravama 0' i 3'. Dakle, dati sistem se zamenjuje spregom 0 3,S S ′

r rs krakom d:

1 2 3 0 1 1 2 2 3 0 3

1 1 2 2

( , , ) ( , , , , , ) ( , ).

( , ) 0, ( , ) 0.

F F F S S S S S S S S

S S S S

′ ′ ′ ′= =

′ ′= =

r r r r r r r rr r r

r r r r



Grafički uslovi ravnoteže ravnog sistema sila Za ravnotežu ravnog sistema sila, koji deluje na kruto telo, je potrebno i dovoljno da poligon sila i verižni poligon, konstruisani za dati sistem sila budu zatvoreni (grafički uslovi ravnoteže).

Ako je bilo koji od ovih poligona otvoren, onda se sistem sila ili svodi na rezultantu ili na spreg sila, i tada telo nije u ravnoteži. Ako su oba poligona zatvorena, sistem sila, koji deluje na kruto telo, svodi se na dve sile istih intenziteta, koje deluju duž iste prave, ali su suprotno usmerene i telo se u tom slučaju nalazi u ravnoteži.

1 2 3 0 1 1 2 2 3( , , ) ( , , , , , ) 0.F F F S S S S S S′ ′ ′= =r r r r r rr r r

Određivanje reakcija oslonaca Odredimo grafičkim putem reakcije oslonaca A i B rešetke, prikazane na slici. Najpre u izabranoj razmeri za dužine treba nacrtati rešetku i naneti sile 1 2 3, ,F F F

r r r, koje deluju

na nju. Pravac reakcije veze u A nije unapred poznat, dok je pravac reakcije veze u B poznat. Sada, u izabranoj razmeri za sile se konstruiše poligon od sila koje deluju na rešetku. Na tačku d se nanese pravac napadne linije reakcije u B, ali kako se ne zna njen intenzitet, konstrukcija poligona se ovde prekida, dok se ne odredi pravac reakcije veze u A. Izabere se pol O i povuku zraci 0, 1, 2, 3. Zatim se konstruiše verižni poligon, počinjući njegovu konstrukciju od tačke A u kojoj deluje reakcija

ARr

, čiji je pravac nepoznat. Kroz tačku A se povuče zrak 0 do preseka sa napadnom linijom sile 1F

r, pa zrak 1 do preseka sa napadnom linijom sile 2F

r, zrak 2 do preseka

sa napadnom linijom sile 3Fr

i na kraju zrak 3 do preseka sa napadnom linijom reakcije BR

r u tački E. Sada treba zatvoriti verižni poligon pravcem EA, koji

predstavlja pravac zraka 4. Sada se iz tačke O povlači pravac 4 paralelan pravcu EA. U preseku tog pravca i pravca napadne linije reakcije BR

r nalazi se traženo teme e

poligona sila. Prema tome vektor deuur

predstavlja traženu reakciju BRr

, a vektor eauur

reakciju AR

r.



U slučaju dejstva paralelnih sila konstrukcija verižnog poligona može se započeti iz bilo koje tačke, jer su pravci napadnih linija obeju reakcija unapred poznati.



Razlaganje sile pomoću poligona i verižnog poligona

Datu silu je moguće razložiti na dve komponente grafičkim putem pomoću poligona i verižnog poligona ako je poznata napadna tačka jedne i napadna linija druge komponente. Silu F

r treba razložiti na komponente 1 2iF F

r r ako je poznata napadna

tačka C1 prve komponente i napadna linija L2 druge komponente. Odabere se proizvoljna tačka O za pol poligona sila i spoje se početak i vrh sile sa polom, čime se dobijaju zraci 1 i 2. Kroz tačku C1 se povuče zrak verižnog poligona 1’ paralelan sa zrakom 1, do preseka sa napadnom linijom sile F

r, tačkom C, a zatim kroz tačku C

zrak 2’ paralelan sa zrakom 2, do preseka sa napadnom linijom L2 druge komponente (tačka C2). Sada treba spojiti tačke C1 i C2. Dobijena prava z predstavlja završnu stranu verižnog poligona. Sada se kroz tačku O povlači zrak z’ paralelan sa zrakom z, a iz tačke A2 pravac paralelan sa L2. Presek ove dve prave daje tačku A3 kojom je definisana druga komponenta 2F

r, jer je 3 2 2A A F=

uuuuuur r, a samim tim i prva komponenta

1 3 1A A .F=uuuuur r



TRENJE

U svim dosadašnjim primerima gde se radilo o reakcijama neke površine, do

sada se uvek pretpostavljala savršeno glatka površina koja isključuje trenje pa zato daje samo rektivnu upravnu silu. Ovakva pretpostavka je u mnogim slučajevima i potrebna i opravdana ali ima slučajeva gde to nije tako. Ponekad će otpor klizanja jedne dodirne površine po drugoj biti čak i dominantan faktor pri održavanju ravnoteže. U takvim slučajevima trenje ne može biti zanemareno.

Da bi se prisililo telo da klizi po površini drugog tela ili po površini podloge treba da se savlada sila otpora protiv relativnog klizanja tela. Ova sila nastaje u ravni dodira oba tela i zove se sila trenja klizanja.

Problem trenja između čistih, suvih površina prvi je proučavao Kulon (Coulomb) koji je 1781. godine objavio rezultate većeg broja svojih eksperimenata. Za date suve površine u dodiru, ovi rezultati se mogu ukratko sumirati u sledeće zakone o trenju:

1. Ukupno trenje nezavisno je od veličine dodirnih površina; 2. Ukupno trenje srazmerno je veličini normalne sile; 3. Za male brzine klizanja, ukupno trenje je praktično nezavisno od brzine.

Eksperimenti su pokazali da je za pokretanje tela potrebna veća početna sila nego

što je kasnije dovoljna sila za održavanje već započetog klizanja. a) Sila potrebna za pokretanje klizanja

Kada se neko telo prisiljava da se pomera po površini drugog tela, onda u dodirnoj površini nastaje sila trenja, čija veličina može da ima vrednosti od nula do Fgr – granična sila trenja.

Sila trenja je usmerena uvek u suprotnom smeru od smera u kome spoljašnje sile teže da pomere telo.

Veličina granične sile trenja je jednaka proizvodu iz statičkog koeficijenta trenja i normalnog pritiska (normalne reakcije):



Fgr=µ N,

gde je µ statički koeficijent trenja − neimenovan broj koji se utvrđuje eksperimentalnim putem i zavisi od materijala tela koja se dodiruju, kao i od stanja dodirnih površina (karaktera obrade, temperature, elastičnosti, podmazivanja itd.).

Pri ravnoteži sila trenja mirovanja je:

Fµ ≤ Fgr ili Fµ ≤ µ N,

grF.

Nµ =

Sila trenja dostiže veličinu µN, (Fgr) samo u graničnom položaju ravnoteže, tj. neposredno pre nego što teret počne da se kreće. b) Sila trenja pri kretanju

Pri kretanju je sila trenja usmerena u suprotnom smeru od smera u kome se kreće telo i jednaka je proizvodu koeficijenta trenja µ (dinamički koeficijent trenja klizanja) i normalnog pritiska:

Fµ ≤ µ N.

Dinamički koeficijent trenja klizanja je neimenovan broj koji se određuje eksperimentalno. Veličina ovog koeficijenta ne zavisi samo od materijala i stanja dodirnih površina, već takođe, u izvesnom stepenu i od brzine kretanja tela. Najčešće sa povećanjem brzine se najpre veličina koeficijenta trenja neznatno smanjuje, a zatim zadržava konstantnu veličinu.

U tablici su date približne vrednosti koeficijenta trenja za različite materijale. Materijali µ - statičko trenje µ - kinetičko trenje Metal po metalu 0.15-0.25 oko 0.1 Metal po drvetu 0.4-0.6 0.3-0.5 Konopac po drvetu 0.5-0.8 Oko 0.5 Kamen po kamenu 0.6-0.7 - Kamen po drvetu Oko 0.4 - Drvo po drvetu 0.4-0.7 oko 0.3 Čelik po ledu Oko 0.03 0.015



Reakcija hrapave podloge. Ugao trenja

Reakcija jedne hrapave veze se sastoji od dve komponente: normalne reakcije

veze Nr

i sile trenja Fµ

r koja je upravna na nju. Prema tome ukupna reakcija F

r gradi

sa pravcem normale na površinu neki ugao. Pri promeni sile trenja od 0 do grFr

sila Fr

se menja od Nr

do grF ′r

, dok ugao sa normalom raste od 0 do neke granične vrednosti ϕ0.

Najveći ugao koji ukupna reakcija hrapave veze zaklapa sa normalom na površinu zove se ugao trenja.

Sa slike sledi:

gr0

Ftg .

Nϕ =

Kako je grF N= µ , to se dolazi do sledeće veze između ugla trenja i koeficijenta trenja:

0tg .ϕ = µ Pri ravnoteži ukupna reakcija F

r može da ima različite položaje unutar ugla

trenja. U graničnom položaju ravnoteže ukupna reakcija odstupa od normale za ugao ϕ0.



Ravnoteža pri trenju

Proučavanje ravnoteže kada se uzima u obzir i trenje obično se svodi na

razmatranje graničnog položaja ravnoteže kada sila trenja dostiže svoju najveću veličinu grF

r.

Pri analitičkom rešavanju zadatka reakcija hrapave površine se prikazuje dvema komponentama N

r i grF

r, gde je Fgr=µN. Zatim se postavljaju jednačine ravnoteže i

određuju tražene veličine. Ako je potrebno odrediti sve moguće položaje ravnoteže tada za rešavanje takvih zadataka treba proučiti samo slučaj graničnog položaja ravnoteže. Ostali položaji ravnoteže biće određeni ako se, u rezultatima koji su dobijeni za granični slučaj, smanjuje koeficijent trenja µ do nule. Ovo je posledica toga što je u ravnotežnom položaju Fµ=Fgr=µN. U ostalim položajima ravnoteže je F Nµ ⟨ µ . Prema tome, ti položaji mogu da se odrede ako se u jednačini Fµ=µN smanjuje veličina µ. Pri µ=0 dobija se položaj ravnoteže koji odgovara slučaju kada je veza idealna, tj. kada je glatka. Primer 1. Odrediti kolikom silom F usmerenom pod uglom α=300 prema horizontali treba delovati na teret težine G=10kN koji leži na horizontalnoj ravni, da bi se telo pomerilo sa mesta, ako statički koeficijent trenja tereta o ravan iznosi µ=0.6.

Prema uslovima zadatka treba proučiti granični slučaj ravnoteže:



( )( )

( ) ( )( ) ( )

gr

gr

X 0 Fcos F 0 1

Y 0 N G Fsin 0 2

2 N G Fsin 3

1 F Fcos 4

= ⇒ α − =

= ⇒ − + α =

⇒ = − α

⇒ = α

∑∑

Kako je ( ) ( )gr grF N F G Fsin 5= µ ⇒ = µ − α

( ) ( ) ( )4 , 5 Fcos G FsinFcos G FsinFcos Fsin G

G 0.6 10F 5.2 N.cos sin 3 10.6

2 2

⇒ α = µ − α

α = µ − µ αα + µ α = µ

µ ⋅= = =

α + µ α+

Ako se na teret deluje manjom silom, na primer F'=4N, onda će projekcija ove sile na horizontalnu ravan biti:

0 3F cos 4cos30 4 2 3 3.46N.2

′ α = = = =

Maksimalna sila trenja koja u tom slučaju može da nastane je:

( ) 1F G F sin 0.6 10 4 4.8N.2µ

′= µ − α = − =

Prema tome, teret se neće pomeriti, tj. ostaće u miru. Tom prilikom, sila trenja koja teret održava u ravnoteži je: F cos 3.46N′ α = a ne F 4.8N.µ = Sila grF se u svim proračunima određuje iz grF N= µ pri čemu se normalna sila pritiska N određuje iz uslova ravnoteže.



Primer 2 Odrediti pri kojim vrednostima ugla nagiba strme ravni α teret koji se nalazi na njoj ostaje u ravnoteži ako je koeficijent trenja klizanja o ravan µ0.

U zadatku treba odrediti sve položaje ravnoteže. Granični položaj ravnoteže je položaj kome odgovara ugao gr .α = α U tom položaju na teret deluju sila teže G, normalna reakcija N i granična sila trenja Fgr. Iz trougla sila sledi:

gr 0gr 0

F Ntg .N N

µα = = = µ

Ako se u dobijenoj jednačini smanji veličina 0µ , onda će se i veličina grα takođe smanjivati. Odavde se zaključuje da je ravnoteža moguća i pri gr.α ⟨ α Teret je u ravnoteži za sve vrednosti ugla α za koje je 0tg .α ⟨ µ Ako ne postoji trenje (µ0=0) ravnoteža je moguća samo u slučaju α = 0. Prema tome − dok je pri postojanju trenja ravnoteža moguća pri bilo kojim veličinama ugla α koji se kreću u granicama 0 ≤ α ≤ αgr, dotle je pri odsustvu trenja ravnoteža moguća jedino kada je ugao α = 0



Primer 3 Sanduk na slici ima masu 20kg, a na njega se deluje silom P=80kN pod uglom od 300. Koliki treba da bude statički koeficijent trenja µ da bi sanduk ostao u ravnoteži?

( )

( )

0gr

0

X 0 Pcos30 F 0 1

Y 0 N G Psin30 0 2

= ⇒ − =

= ⇒ − − =

∑∑

( )

( )gr

2

F N, 3

G mg 20 10 200kgm /s 200N 4

= µ

= = ⋅ = =

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

0gr

0

31 F Pcos30 80 40 3 N 52

12 N G Psin30 200 80 240 N 62

3 , 6 40 3 240 0.28

⇒ = = =

⇒ = + = + =

⇒ = µ ⇒ µ =

0.28µ = odgovara graničnom slučaju ravnoteže. Telo će biti u ravnoteži za bilo koju

vrednost statičkog koeficijenta trenja veću od 0.28.



LANČANICE

Lančanice su linijski savitljivi konstruktivni elementi – kablovi ili lanci, pričvršćeni svojim krajevima i obešeni o nepomične oslonce, a opterećene po svojoj dužini raspodeljenim teretom.

U mehanici se pod tim pojmom podrazumeva sistem od velikog broja ili beskonačno mnogo neistegljivih štapova međusobno povezanih zglobovima koji dozvoljavaju da štapovi mogu zauzeti različite položaje pri različitom delovanju sila. Zbog toga se lančani sistemi mogu smatrati deformabilnim telima, a zavisno od toga kakav oblik pod opterećenjem zauzimaju, mogu biti parabolične, hiperbolične, kubne itd. Pri analiziranju lančanica je prevashodno potrebno odrediti njihov oblik ravnoteže, tj. ravnotežnu liniju. Lančanice se dele na dve grupe:

1. sa konačnim brojem štapova – lančani poligoni, 2. sa beskonačno mnogo štapova beskonačno malih dužina – lančanica.

U zavisnosti od vrste i pozicije opterećenja oblik kabla je različit što je ilustrovano na sledećim slikama:



Teret može biti ravnomerno raspoređen, a može da ima i neku drugu raspodelu. Dva najčešća slučaja opterećenja su prikazana na slici:



Crtež (a) prikazuje jedan savitljiv lanac slobodno obešen u polju teže i izložen jedino dejstvu sopstvene težine. Ovakvo opterećenje je prirodno – ravnomerno raspodeljeno po dužini samog lanca. Drugi crtež (b) prikazuje slučaj užeta ili čeličnog kabla, opterećenog teretom, ravnomerno raspodeljenim po horizontali, koje je obešeno o kabl pomoću vešaljki. Ako je ovaj teret znatno veći od težine samog kabla, onda se može uzeti da je i celokupno opterećenje ravnomerno raspodeljeno duž horizontalnog raspona. Na slici (c) je prikazan viseći most oblika lančanice.

(c) Lančanice su uvek zategnute. One mogu da prime samo sile zatezanja, nikako momente savijanja. Pri analiziranju ovakvih kablova treba odrediti:

1) kakav je oblik krive koji će uže ili kabl zauzeti u svom ravnotežnom stanju? 2) kako se menja zatežuća sila po dužini kabla?

Da bi se odgovorilo na ova pitanja, posmatraće se lančanica ACDB, obešena svojim krajevima o oslonce A i B, opterećena vertikalnim teretima, raspodeljenim proizvoljno po horizontali. Opterećenje je prikazano dijagramom A′abB′. Uzeće se za koordinatni početak najniža tačka C krive. Lančanica mora da bude u ravnoteži, kao i svaki njen izdvojen deo. Izdvojeni deo CD će se posmatrati kao slobodno telo pretpostavljajući da je ovaj deo zamrznut u svom obliku pre nego što je izdvojen iz celine. Na ovaj način je zadovoljen uslov krutosti posmatranog dela. To telo se nalazi u ravnoteži pod dejstvom triju sila: vertikalne sile Q koja predstavlja onaj deo raspodeljenog tereta koji pripada delu CD kao i dveju zatežućih sila H i S koje predstavljaju reakcije dva preostala dela lanca, levo i desno od posmatranog, isečenog dela CD. Sile H i S tangiraju krivu u C i D, a vertikalna sila Q prolazi kroz težište onog dela dijagrama opterećenja koji se odnosi na deo CD.



Ove tri sile moraju da zadovolje uslov ravnoteže triju sila a to znači da se njihove napadne linije seku u jednoj tački i da one čine zatvoreni poligon, pa može da se napiše:

Qtg ,H

θ =

a pošto je:

dytg ,dx

θ =

sledi: ( )dy Q . adx H

= diferencijalna jednačina krive ravnoteže koju zauzima lančanica

Sa druge strane, iz trougla sila sledi:

( )2 2S Q H . b= + zatežuća sila u bilo kom delu lančanice.



Jednačina (a) je diferencijalna jednačina krive ravnoteže koju zauzima lančanica pod dejstvom datog opterećenja. Jednačina (b) određuje zatežuću silu u bilo kom delu lančanice. Parabolična lančanica Uže je približno paraboličnog oblika ukoliko je opterećeno jednoliko kontinualno duž horizontalne projekcije lančanice

( ) Qq q x const ql

= = =

Neka je vertikalni teret q ravnomerno raspoređen duž horizontalnog raspona l, tada jednačina (a) glasi:

( )dy qx , cdx H

=

pri čemu je q const.H

=

Integrišući diferencijalnu jednačinu (c) se dobija: 2qxy C,

2H= +

pri čemu je integraciona konstanta C jednaka nuli, jer je za izabrani koordinatni sistem x=0 i y=0, pa je:

( )2qxy . d

2H=

Jednačina (d) je jednačina ravnoteže krive koju zauzima lančanica pod dejstvom ravnomernog opterećenja duž horizontalnog raspona. Iz njenog oblika vidi se da je to



parabola sa vertikalnom osom koja odgovara ravnomerno raspodeljenom opterećenju po paraboli. Iz jednačine (b) sledi:

( ) ( )22S H qx . e= + Na osnovu ove jednačine je očigledno da je zatezanje minimalno u najnižoj tački C gde je S=H, a da je idući prema osloncima zatežuća sila sve veća, dostižući svoj maksimum na višem osloncu. Sile zatezanja na krajevima kabla, u oslonačkim tačkama su na osnovu (e):

( ) ( ) ( )2 22 2a bS H qa , S H qb . f= + = +

Da bi se odredile dužine a i b i mesto najniže tačke C u odnosu na oslonce A i B treba iskoristiti jednačinu (d) prvo za deo AC, za koji je x=−a, y=f1, a zatim za deo CB, za koji je x=a, y=f 2 :

( )2 2

1 2qa qbf , f . g2H 2H

= =

Oduzimajući prvu jednačinu od druge, uzimajući u obzir da je: 2 1f f h,− = dobija se: ( )2 22hH q b a .= −

Isto tako, imamo da je: a b+ = l

pa se iz zadnje dve jednačine dobija:

( )hH hHa , b . h2 ql 2 ql

= − = +l l

Za h=0, tj. za slučaj da su oslonci na istom nivou, parabola je simetrična, odnosno a=b=l/2. Zamenom (h) u (g) dobija se jednačina za izračunavanje veličine H:

2 2 42

22

2q h qH f H 0,h 2 4h

− − + = 2

l l

odnosno:

( )2

2 1 22

q hH f f f . ih 2

= − ±

l

Znak minus u jednačini (i) je u slučajevima kada teme parabole leži između oslonaca kao što je na slici 2 prikazano, dok znak plus treba uzeti za one slučajeve kada teme leži na istoj strani od oba oslonca. Ako su oslonci na istom nivou 1 2f f f , a b ,

2= = = =

l pa iz (g) sledi:



( )

2

2qq2f , H . j

2H 8f

= ⇒ =

ll

Kriterijum za paraboličnu lančanicu je f ≤ l / 5. U većini praktičnih problema su poznati podaci: raspon l, strele f1 i f2, kao i intenzitet raspodeljenog opterećenja q, tako da primenom jednačina (i) ili (j) može da se odredi horizontalna sila H, posle čega može da se odredi bilo koja od ostalih veličina izražena preko H.

B A AqM 0 V q 0 V

2 2l ll l= → − = ⇒ =∑

C A A AqM 0 V H f q 0 H

2 2 4 8f

2l l l l= → − ⋅ − = ⇒ =∑

Iz zadnjeg izraza sledi da je kod pliće lančanice (f malo) horizontalna sila veća, a ako je strela velika horizontalna sila je mala. Ravnoteža unutrašnjih sila kod lančanice:



A B

A B

H HH H H

== =

U bilo kom preseku lančanice mora biti:

2 2 2 2A A A B B B

A

S H V , S H V ,HS .

cos

= + = +

=α

Oslonci A i B nisu na istoj visini. Ravnoteža unutrašnjih sila mora da postoji kod lančanice:

( )A B

2

A

B A

V q V q b

q 2qH ,8f 8f

H H H

2

a

al

= ⋅ = ⋅

′= =

= =



Lančanica opterećena samo svojom sopstvenom težinom Uže je opterećeno jednoliko kontinualno duž celog luka lančanice

( ) Qq q s const qL

= = =

Kriterijum za ovu lančanicu je f ≥ l / 5. Ako kabl slobodno visi u polju teže i na njega deluje samo njegova sopstvena težina, ravnomerno raspoređena po dužini jednačina (a) postaje:

( )dy Q dy qs, Q qs kdx H dx H

= = ⇒ =

gde je q težina kabla po jedinici njegove dužine, a s je dužina luka CD. Pre integrisanja ive jednačine treba izraziti dužinu luka s kao funkciju koordinata x i y primenom Pitagorine teoreme na trougao stranica dx i dy:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2ds dx dy , ds dx dy ,= + = + a deljenjem i leve i desne strane sa dx se dobija:

2ds dy1 ;dx dx

= +

unoseći u ovaj izraz vrednost dy/dx iz jednačine (k), dobija se: 2qsds 1 dx.

H = +

Integracijom ove jednačine, uz početne uslove za usvojen koordinatni sistem s=0, x=0, dobija se:

( )H qxs sinh . 1q H

=

Unoseći s iz (1) u (k), dobija se:



2H qxy cosh C .q H

= +

Za usvojen koordinatni sistem je y=0 za x=0, pa je C2=−H/q, tako da sa ovom vrednošću gornja jednačina dobija oblik:

( )H qxy cosh 1 . nq H

= −

Ovo je jednačina krive ravnoteže koju zauzima kabl ili lanac slobodno obešen i izložen dejstvu samo svoje sopstvene težine − to je u stvari obična lančanica sa vertikalnom osom. Imajući u vidu da je Q=qs i primenjujući jednačinu (1), dobija se:

qxQ Hsinh ,H

=

što uvedeno u jednačinu (b) daje: 2 2 qxS H Q H cosh .

H= + =

Unoseći u gornju jednačinu izraz za qxcoshH

koji se može dobiti iz jednačine (n),

dobija se: S H qy. (o)= +

Posmatrajući jednačinu (o) uočava se da se, kao i kod paraboličnog kabla, minimalno zatezanje se javlja u najnižoj tački C, gde je S=H, a zatežuća sila se povećava sa približavanjem krajevima kabla, dostižući svoj maksimum na samim osloncima, ili ako oni nisu na isto nivou onda na višem od njih. Izrazi za zatežuću silu glase:

a 1 b 2S H qf i S H qf . (p)= + = + Da bi se dobila vrednost H, koristi se sada jednačina (n), prvo za deo AC, a zatim za deo BC lančanice, dobijajući tako jednačine:

( )1 2H qa H qbf cosh 1 , f cosh 1 . qq H q H

= − = −

Ove jednačine se mogu napisati na sledeći način:

( )1 2qf qfH Ha cosh 1 , b cosh 1 . rq H q H

= + = +

Sabiranjem ovih dveju jednačina i imajući u vidu da je a+b=l, dobija se:

( )1 2qf qfq arccosh 1 arccosh 1 . sH H H

= + + +

l



Iz ove jednačine se određuje minimalno zatezanje H u kablu, ukoliko je poznato l, f1, f2 i q. Posle toga se mogu odrediti sve ostale veličine izražene pomoću H. Zadatak 1 Lančanica je glavni nosač mosta na slici, raspona L=100m (dve paralelne lančanice nose okačenu konstrukciju mosta). Lančanice su na oba kraja vezane za betonske prizmatične blokove dimenzija a x b x h=10 x 10 x 30m. Zapreminska težina blokova je γ=25kN/m3, pri čemu blokovi slobodno ležena horizontalnoj hrapavoj podlozi sa koeficijentom trenja µ=0.10. Ako se lančanica posmatra kaoplitka (parabolična), i ako je ravnomerno opterećenje po projekciji luka jedne lančanice q=20kN/m, dok je maksimalni ugib (strela) lančanice jednak f=10m, odrediti reakcije veza između oslonaca i lančanice, kao i koeficijente sigurnosti protiv klizanja i protiv preturanja oslonačkih blokova.



Kako se lančanica posmatra u skladu sa paraboličnom teorijom i kako je zadata strela lančanice, reakcije veza mogu da se odrede iz uslova ravnoteže jedne polovine lančanice:

A A

2 2

A

1 1 1Y 0 V qL 0, V qL 20 100 1000kN2 2 2

1 L q L 1 100M 0 H f qL 0 H 2500kN.2 4 8f 8 10

= → − = ⇒ = = ⋅ ⋅ =

= → ⋅ − ⋅ = ⇒ = = =

∑

∑

Znači, lančanice deluju na oslonačke blokove silama VA i H.

Kako su za svaki oslonački blok vezane po dve lančanice, to se ili dobijene reakcije udvoje, ili se posmatra uticaj jedne lančanice na polovinu težine bloka. Dakle, težina oslonačkog bloka je:

1 1G b h 10 10 30 25 37500kN.2 2

a= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ γ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

Normalna komponenta reakcije podloge posmatranog bloka (odnosno polovine bloka) je:

A AY 0 N G V 0 N G V 37500 1000 38500kN,= → − − = ⇒ = + = + =∑ Dok je granična sila trenja jednaka:

grT N 0.1 38500 3850kN.= µ ⋅ = ⋅ =



Imajući u vidu jedinu horizontalnu silu koja deluje na blok, vidi se da je koeficijent sigurnosti protiv klizanja bloka jednak:

grk

T 3850 1.54 1.0H 2500

γ = = = ⟩

Moment preturanja bloka oko prednje ivice je jednak

pretM H h 2500 30 75000kNm= ⋅ = ⋅ = dok je moment stabilnosti bloka:

stabM G 37500 5 187500kNma= ⋅ = ⋅ = Prema tome, koeficijent sigurnosti protiv preturanja bloka je:

stabp

pret

M 187500 2.5 1.0M 75000

γ = = = ⟩



SLAGANJE SILA U PROSTORU

1. Redukcija sile na tačku Sila, koja deluje na kruto telo, se može zameniti jednom silom, koja deluje u proizvoljnoj tački, i spregom sila.

Na kruto telo deluje sila Fr

, čija je napadna tačka A. Dejstvo ove sile se ne menja, ako se u bilo kojoj tački O doda uravnoteženi sistem sila, FF ′

rri1 , na osnovu aksiome tri,

takve da je 1,F F F F′ = = −r r r r

, a njihova napadna linija paralelna datoj sili. Dobijeni sistem od tri sile predstavlja silu 'F

r, koja je jednaka sili F

r, sa napadnom tačkom u

tački O i spreg sila ),( 1FFrr

, čiji je moment r

M . Iz definicije momenta sprega r

M i momenta sile obzirom na tačku, sledi da su ta dva momenta jednaka:

( ).=r r r

OM FM

Sila Fr

, koja deluje u tački A, ekvivalentna je sili 'Fr

, koja je ,F F′ =r r

a deluje u proizvoljnoj tački O, (redukciona tačka), i spregu sila (redukcioni spreg), čiji je moment

rM jednak momentu sile F

r obzirom na redukcionu tačku O.



2. Redukcija prostornog sistema sila na tačku a) Definicije glavnog vektora i glavnog momenta Geometrijski zbir svih sila sistema je glavni vektor datog sistema sila:

1. (1)

n

ii

R F=

′ = ∑r r

Geometrijski zbir momenata svih sila sistema za proizvoljnu tačku O naziva se glavni moment sistema sila za tačku O:

1 1( ) . (2)

= == = ×∑ ∑

r r r rrn n

o o i i ii i

M M F r F

gde je rir vektor položaja sile riF u odnosu na tačku O.

b) Redukcija prostornog sistema sila na tačku Proizvoljan sistem sila u prostoru, koji deluje na kruto telo, statički je ekvivalentan jednoj sili *R

r (redukciona rezultanta), koja je jednaka glavnom

vektoru datog sistema sila R′r

, sa napadnom tačkom u tački O i spregom sila (rezultujući redukcioni spreg) čiji je moment

rM jednak glavnom momentu

sistema sila za tačku O.

Na kruto telo deluje proizvoljan sistem sila 1 2, ,..., nF F Fr r r

u tačkama A1, A2,..., An. Odabere se proizvoljna tačka O, koja se naziva redukciona tačka. Korišćenjem teoreme o redukciji sile na tačku, premeste se sve sile u tačku O. Posle toga na telo deluju sile:

1 1 2 2, , ..., , ( )n nF F F F F F a′ ′ ′= = =r r r r r r



sa napadnom tačkom u tački O, kao i sistem spregova:

1 1 2 2 n( ), ( ), ..., ( ). ( )= = =r r rr r r r r r

o o o nM F M F M F bM M M

Sile koje deluju u tački O mogu se složiti u njihovu rezultantu *Rr

, koja se naziva redukciona rezultanta:

1 21

... . ( )n

n ii

R F F F F c∗

=

′ ′ ′ ′= + + + = ∑r r r r r

Uzevši u obzir (a), (1) i (c):

1. (3)

n

ii

R R F∗

=′= = ∑

r r r

Na osnovu teoreme o slaganju spregova, svi spregovi se mogu zameniti jednim spregom, čiji je moment

rM - moment rezultujućeg redukcionog sprega:

1 2 n1

... . ( )=

+ + + = ∑r r r r rn

ii

dM M M M M=

Iz (b), (2) i (d) sledi:

1( ). (4)

== ∑

r r r rn

o o ii

M M FM =

c) Analitički izrazi za glavni vektor i glavni moment Kako je geometrijsko predstavljanje nepodesno za prostorni sistem vektora, određivanje glavnog vektora i glavnog momenta vrši se analitičkim putem na osnovu pravila o projekciji vektorskog zbira Projekcije glavnog vektora, na osnovu teoreme o projekciji vektorskog zbira, su:

, , , (5)R i R i R iX X Y Y Z Z′ ′ ′= = =∑ ∑ ∑

a intenzitet glavnog vektora, odnosno pravac:

2 2 2( ) ( ) ( ) , (6)

cos , cos , cos . (7)

R R R

R R RR R R

R X Y Z

X Y ZR R R

α β γ

′ ′ ′= + +

′ ′ ′= = =

′ ′ ′

Ove formule omogućavaju da se reši problem slaganja sila analitičkim putem.

Projekcije glavnog momenta oMr

na koordinatne ose , ,Ox Oy OzM M M su na osnovu (2) i teoreme o projekciji vektorskog zbira:



1( ),

n

Ox Ox ii

M M F=

= ∑r

a kako je:

( ) ( ),Ox i x iM F M F=r r

onda:

1

1

1

( ).

( ), (8)

( ),

n

Ox x ii

n

Oy y iin

Oz z ii

M M F

M M F

M M F

=

=

=

=

=

=

∑

∑

∑

r

r

r

Intenzitet i pravac glavnog momenta je:

2 2 2( ) ( ) ( ) , (9)

cos , cos , cos . (10)

O Ox Oy Oz

OyOx Oz

O O O

M M M M

MM MM M M

α β γ

= + +

′ ′ ′= = =

Na ovaj način dejstvo proizvoljnog sistema sila na telo zamenjeno je jednom silom koja je jednaka glavnom vektoru datog sistema sila R′

r, sa napadnom

tačkom u tački O i spregom sila (rezultujući redukcioni spreg) čiji je moment r

M jednak glavnom momentu sistema sila za tačku O. Ovakav statički element naziva se torzer. Ugao između glavnog vektora i glavnog momenta naziva se ugao torzera, a ravan koju čine ova dva vektora zove se ravan torzera.



3. Svođenje prostornog sistema sila na prostiji oblik Analizom međusobnog odnosa glavnog vektora i glavnog momenta može da se ustanovi na kakav najprostiji oblik može da se svede prostorni sistem sila. Pri svođenju proizvoljnog prostornog sistema sila na torzer mogu se javiti sledeći slučajevi:

1) 0, 0.′ = =r r

OR M Kada su glavni vektor i glavni moment jednaki nuli proizvoljni prostorni sistem sila koji dejstvuje na kruto telo je u ravnoteži. Glavni vektor i glavni moment će biti u tom slučaju jednaki nuli bez obzira koja je tačka tela izabrana za redukcionu tačku. Ovi vektori mogu da budu istovremeno jednaki nuli samo kada su jednovremeno jednake nuli sve njihove projekcije na koordinatne ose, tj. kada je:

0, 0, 0,0, 0, 0,

R R R

Ox Oy Oz

X Y ZM M M

′ ′ ′= = =

= = =

odnosno, kada dati sistem sila zadovoljava uslove:

1 1 1

0, 0, 0,

( ) 0, ( ) 0, ( ) 0.= = =

= = =

= = =

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑r r r

i i in n n

x i y i z ii i i

X Y Z

M F M F M F

Prema tome, da bi proizvoljan prostorni sistem sila bio u ravnoteži, potrebno je i dovoljno da suma projekcija svih sila na svaku od tri koordinatne ose i suma momenata za te ose bude jednaka nuli. Prve tri jednačine izražavaju potrebne uslove da se telo ne pomera u pravcu koordinatnih osa, a druga tri uslova izražavaju potrebne uslove da se telo ne obrće oko tih osa.

2) 0, 0.′ = ≠r r

OR M Kada je glavni vektor jednak nuli, a glavni moment različit od nule proizvoljni prostorni sistem sila se svodi na spreg. U slučaju promene redukcione tačke vektor sprega ostaje nepromenjen:

1( ).

== ∑

r r r rn

o o ii

M M FM =

Slobodno kruto telo pod dejstvom ovakvog sistema sila može da vrši čisto obrtanje.



3) 0, 0.′ ≠ =r r

OR M Kada je glavni vektor različit od nule, a glavni moment jednak nuli onda se dati sistem sila svodi na rezultantu ,R R′=

r r koja prolazi kroz tačku O.

Slobodno telo pod dejstvom takvog sistema sila može da vrši čisto translatorno kretanje (ako se tačka O poklapa sa težištem tela). Pri promeni redukcione tačke, glavni vektor se neće promeniti, ali će glavni moment biti:

11 .′= ×

uuurr roM OO R

Pod pretpostavkom da tačke O i O1 ne leže na napadnoj liniji glavnog vektora, glavni moment će sada biti različit od nule, ali upravan na glavni vektor. Dakle ugao između glavnog vektora i glavnog momenta je prav, pa je torzer u redukcionoj tački O1 ortogonalan, a glavni vektor leži u ravni dejstva glavnog momenta, što je posebno opisano u 4).

4) Ako je za dati sistem sila 0, 0,OR M′ ≠ ≠r r

ali je pri tome O ,M R′⊥r r r

M = onda se takođe dati sistem sila svodi na rezultantu koja je jednaka ,R R′=

r r ali koja ne prolazi

kroz tačku O. Ako je O ,M R′⊥r r r

M = spreg koji je prikazan vektorom r

M i redukciona rezultanta koja je jednaka glavnom vektoru leže u istoj ravni. Ako se redukcioni spreg predstavi silama 1i ,R R

r r koje su istog intenziteta kao R′

r i postavi

tako da jedna od sila sprega, na primer 1Rr

deluje u tački O i njena napadna linija se poklapa sa napadnom linijom redukcione rezultante R R∗ ′=

r r, dobija se uravnoteženi

sistem sila u tački O 1( , ) 0,R R′ ≡r r

koji se može na osnovu aksiome tri ukloniti. Sistem sila se svodi na rezultantu koja deluje u tački O1. Rastojanje OO1=d određuje se iz

.OMdR

=′

Ovaj slučaj u stvarnosti nastaje kod proizvoljnog sistema paralelnih sila, ili kad su sve sile u jednoj ravni , ako je njihova redukciona rezultanata, odnosno glavni vektor različit od nule 0R′ ≠

r;



5) Ako je za dati sistem sila 0, 0,OR M′ ≠ ≠rr r

M = i ako je pri tome vektor

O ,M R′r r r

PM = onda se dati sistem svodi na silu R R∗ ′=r r

i spreg sila ( , ),F F′r r

koji leži u ravni normalnoj na silu R R∗ ′=

r r. Dobijeni sistem sila se zove dinamički zavrtanj

ili dinama, a prava duž koje je usmeren vektor R R∗ ′=r r

naziva se osa diname. Dalje uprošćenje ovakvog sistema sila nije moguće, jer ga je nemoguće svesti na jednu silu-rezultantu, ili na jedan spreg. Slobodno kruto telo pod dejstvom takvog sistema sila može da vrši samo složeno (zavojno) kretanje.

Ako se jedna od sila sprega, recimo ,F ′

r složi sa R R∗ ′=

r r, tada se dati sistem sila svodi

na dve ukrštene sile 1 iF Fr r

, koje ne leže u jednoj ravni. Ovakav sistem sila se zove ukrst sila, ekvivalentan je dinami, što znači da se ni on ne može zameniti samo jednom silom (rezultantom);

6) Ako je za dati sistem sila 0, 0,OR M′ ≠ ≠

rr rM = i ako pri tome vektori

O i ,M R′r r r

M = nisu međusobno ni normalni, ni paralelni, onda se dati sistem sila svodi na dinamu, čija osa ne prolazi kroz tačku O.



4. Varinjonova teorema o momentu rezultante obzirom na osu Ako se dati sistem sila svodi samo na rezultantu, onda je moment te rezultante za bilo koju osu jednak algebarskoj sumi momenata komponentnih sila za istu osu.

Na kruto telo deluje sistem sila 1 2, , ... , nF F Fr r r

, koji se svodi na rezultantu ,Rr

čija napadna linija prolazi kroz tačku C. Da bi se ova teorema dokazala treba dodati u tački C silu 1R R= −

r r. Tada će sistem sila 1 2 1, , ... , ,nF F F R

r r r r biti u ravnoteži i za njega će

biti ispunjeni uslovi ravnoteže proizvoljnog sistema sila u prostoru:

1 1 1

0, 0, 0,

( ) 0, ( ) 0, ( ) 0.

i i in n n

x i y i z ii i i

X Y Z

M F M F M F= = =

= = =

= = =

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑r r r

Za bilo koju osu, recimo Ox biće tada:

1( ) ( ) 0. ( )x i xM F M R a+ =∑r r

Kako je 1R R= −r r

i kako su one na istoj pravoj, to je :

1( ) ( ). ( )x xM R M R b= −r r

Zamenom (b) u (a) dobija se:

( ) ( ) 0,

( ) ( ).x i x

x x i

M F M R

M R M F

− =

=

∑∑

r r

r r



Prostorni linijski nosači. Sile u preseku kod prostornih linijskih nosača Opšte pretpostavke o nosačima Prostorni linijski nosači su nosači koji opterećenja prenose putem uzdužnih sila, poprečnih sila, momenata uvrtanja i momenata savijanja. Uobičajene su slijedeće pretpostavke za ovakve nosače: (1) sistem je sastavljen iz pretežno pravolinijskih štapova, ali može biti i krivolinijskih štapova male zakrivljenosti, (2) štapovi su prizmatični uglavnom konstantnog poprečnog preseka, ali mogu biti i promenljivog preseka, (3) materijal je homogen i idealno elastičan, (4) važi pretpostavka o malim pomeranjima i malim deformacijama, (5) ravnoteža se uspostavlja na idealnom (početnom) stanju. Sistem oznaka Da bi se konstrukcija kvalitetno analizirala i proračunala usvojen je sistem oznaka i prikaza za: (1) geometriju konstrukcije, (2) opterećenja, (3) reakcije, unutrašnje sile. Danas, kad se u proračunima isključivo primjenjuju računari, usvojen je sistem oznaka koji odgovara njihovoj upotrebi. Geometrija konstrukcije se prikazuje u globalnom koordinatnom sistemu (g.k.s.) i lokalnom koordinatnom sistemu (l.k.s.). Globalna geometrija daje podatke o čvorovima i štapovima. Podaci o čvorovima sadrže redni broj čvora i njegove koordinate u g.k.s. (po pravilu desni pravougli koordinatni sistem), slika 1. Koordinatni početak g.k.s. bira se proizvoljno. Veze konstrukcije, odnosno sprečena pomeranja u nekim čvorovima takođe se opisuju u g.k.s. Položaj štapova zadaje se u globalnom, ali i u lokalnim sistemima. U g.k.s. štapu se pridružuje redni broj štapa, ali se još zadaje podatak između kojih se čvorova štap nalazi. Po pravilu prvi čvor i se smatra početkom štapa, a drugi čvor k krajem štapa. Lokalni koordinatni sistem pridružuje se svakom štapu tako što se koordinatni početak postavlja u prvom čvoru, a osa x usmerava prema drugom čvoru, slika 1. Ako presek štapa ima dve glavne ose, tada se lokalna osa y bira da sa lokalnom osom x čini desni koordinatni sistem, a ravan xOy se poklapa sa glavnom ravni preseka elementa. Svojstva prizmatičnog preseka zadaju se u l.k.s.



Postavljanje lokalnog sistema štapa Osnovno pravilo je podudaranje lokalnih osa štapa y i z sa glavnim osima poprečnog preseka štapa. Postavljanje lokalnog sistema štapa prikazano je na slici 1.

Slika 1 Štap u globalnom i lokalnom sistemu Opterećenje konstrukcije se zadaje preko čvorova i štapova. Opterećenja čvorova prikazuju se u globalnom sistemu, dok se opterećenja štapova prikazuju u lokalnom sistemu. Opterećenje u lokalnom sistemu se u najopštijem slučaju sastoji od raspodeljenih sila u sva tri pravca i raspodeljenih momenata oko sve tri ose: qx, qy, qz, mx, my, mz. Pozitivni smerovi opterećenja u lokalnom sistemu elementa prikazani su na slici 2. Reakcije veza se prikazuju kao koncentrirane sile u osloncima i to u globalnom sistemu. Predznaci reakcija su u skladu sa predznacima osa koordinatnog sistema.



Slika 2 Pozitivni smerovi opterećenja u lokalnom sistemu Unutrašnje sile. Prikazivanje stanja unutrašnjeg delovanja, odnosno delovanja između čestica tela izloženog spoljašnjim silama, svodi se na prikaz međusobnog delovanja preseka upravno na osu štapa. Međusobno delovanje se sastoji od glavnog vektora i glavnog momenta. Posmatrano telo − štapni element izloženo je delovanju spoljašnjih sila i nalazi se u ravnoteži. Ako se štap preseče na proizvoljnom mestu x na dva dela i razdvoji, tada je ravnotežu svakog dela moguće uspostaviti nadomeštanjem delovanja odsečenog dela odgovarajućim silama. U nastavku se posmatra levi deo odsečenog štapa kao što je prikazano na slici 3. Delovanje odbačenog desnog dela predstavljaju dva vektora − glavni vektor i glavni moment, koji mogu da se razlože na po tri komponente u pravcima osa lokalnog koordinatnog sistema: N, Ty, Tz, Mx, My, Mz.

Slika 3 Prikaz unutrašnjih sila u preseku štapa

Levi deo tela deluje na desni deo istim torzerom suprotnog predznaka. U situaciji kada se delovi tela ponovo spoje, dejstva odbačenih delova postaju međudelovanja tj. unutrašnje sile u posmatranom preseku. Posmatrani presek u geometrijskom smislu je definisan: (1) normalom preseka n koja u stvari leži na tangenti na uzdužnu osu štapa, (2) tangentom preseka t, koja je upravna na normalu, dakle na osu štapa, (3) binormalom preseka b, koja sa tangentom i normalom čini desni koordinatni sistem.



Komponente glavnog vektora i glavnog momenta nazivaju se: N - uzdužna ili normalna sila, Ty - poprečna sila u ravni xOy ili transverzalna sila u y pravcu, Tz - poprečna sila u ravni xOz ili transverzalna sila u z pravcu, Mx - moment uvrtanja ili moment torzije, My - moment savijanja u ravni xOz, tj. oko ose y, Mz- moment savijanja u ravni xOy, tj. oko ose z. Posmatrajući ravnotežu levog ili desnog dela tela sa slike 3, iz uslova ravnoteže sledi : Normalna sila N jednaka je algebarskom zbiru projekcija u pravcu normale preseka svih sila sa jedne ili druge strane preseka. Poprečna sila Ty jednaka je algebarskom zbiru projekcija u pravcu tangente preseka svih sila sa jedne ili druge strane preseka. Poprečna sila Tz jednaka je algebarskom zbiru projekcija u pravcu binormale preseka svih sila sa jedne ili druge strane preseka. Moment uvrtanja Mx jednak je algebarskom zbiru projekcija u pravcu normale preseka svih momenata sa jedne ili druge strane preseka. Moment savijanja My jednak je algebarskom zbiru projekcija u pravcu tangente preseka svih momenata sa jedne ili druge strane preseka. Moment savijanja Mz jednak je algebarskom zbiru projekcija u pravcu binormale preseka svih momenata sa jedne ili druge strane preseka. Unutrašnje sile prikazuju se kao relativne veličine u lokalnom sistemu. Za razliku od štapa rešetkaste konstrukcije, kod štapa u prostoru dogovor o predznacima kao i način njihovog grafičkog prikaza nije moguće jednoznačno uspostaviti među svim autorima. U nastavku je izložena konvencija kompatibilna računarskim metodama pomeranja zasnovanim na desnom koordinatnom sistemu. Pozitivni smerovi presečnih sila na elementu štapa prikazani su na slici 4.



Slika 4 Pozitivni smerovi unutrašnjih sila u štapu

Usvajanje pozitivnih smerova utemeljeno je na smerovima lokalnog sistema u preseku čija se normala podudara sa pozitivnim smerom lokalne ose x. Ovi smerovi kompatibilni su sa smerovima opterećenja i pomeranja. Pozitivni smerovi opterećenja i presečnih sila kao i načini projektovanja i grafičkog prikaza pri savijanju štapa opterećenjem u lokalnoj ravni xy, prikazani su na slici 5. Projektovanje se vrši iz smera treće ose.

Slika 5 Savijanje štapa u ravni xy: (a) pozitivni smerovi sila, (b) smerovi crtanja pozitivnih

veličina Pozitivni smerovi opterećenja i presečnih sila kao i načini projektovanja i grafičkog prikaza pri savijanju štapa opterećenjem u lokalnoj ravni xz, prikazani su na slici 6.

Slika 6 Savijanje štapa u ravni xz: (a) pozitivni smerovi sila, (b) smerovi crtanja pozitivnih

veličina



Diferencijalne veze između spoljašnjih i unutrašnjih sila Veze se posmatraju na diferencijalnom elementu pravolinijskog štapa prikazanog na slici 7.

Slika 7 Diferencijalni element štapa u prostoru

Ako se zanemare diferencijalne veličine drugoga reda, iz šest skalarnih uslova ravnoteže sledi:

( )( )( )

( )( )( )

x

y y y y

z z z z

x x x x x

y y y y z y

z z z z y z

X 0 N dN N q dx 0, 1

Y 0 T dT T q dx 0, 2

Z 0 T dT T q dx 0, 3

M 0 M dM M m dx 0, 4

M 0 M dM M T dx m dx 0, 5

M 0 M dM M T dx m dx 0, 6

= ⇒ + − + =

= ⇒ + − + =

= ⇒ + − + =

= ⇒ + − + =

= ⇒ + − − + =

= ⇒ + − + + =

∑∑∑∑∑∑

odnosno: y z

x y z

yx zx z y y z

dT dTdN q , q , q ,dx dx dx

dMdM dMm , T m , T m .dx dx dx

= − = − = −

= − − = − + = −



Primer: Prostorni linijski nosač ABC, uklješten na kraju A, dimenzija datih na slici, opterećen je koncentrisanom silom F=10kN. Napadna linija sile prolazi kroz slobodan kraj C i paralelna je sa osom z. Odrediti reakcije uklještenja i nacrtati dijagrame transverzalnih sila, aksijalnih sila, momenata savijanja i momenata torzije.



Iz uslova ravnoteže proizvoljnog prostornog sistema sila dobija se:

x

y

z

x y z

x

y

z

x A

y A

z A

x y z

A A A

X 0 A 0, (1)

Y 0 A 0, (2)

Z 0 A F 0, (3)

M 0 M F 5 0, (4)

M 0 M F 3 0, (5)

M 0 M 0, (6)

(1) A 0, (2) A 0, (3) A F 10kN,

(4) M F 5 50kNm, (5) M F 3 30kNm, (6) M 0.

= ⇒ =

= ⇒ =

= ⇒ − =

= ⇒ − ⋅ =

= ⇒ + ⋅ =

= ⇒ =

⇒ = ⇒ = ⇒ = =

⇒ = ⋅ = ⇒ = − ⋅ = − ⇒ =

∑∑∑∑∑∑

Koordinatni sistem xyz se naziva globalni koordinatni sistem i u odnosu na njega su određene reakcije veza. Za svaki deo linijskog nosača vezan je lokalni koordinatni sistem x1y1z1 (deo AB) i x2y2z2 (deo BC), pri čemu se osa x1, odnosno x2 poklapa sa geometrijskom osom štapa, dok su ose y i z lokalnog koordinatnog sistema postavljene tako da sa osom x čine koordinatni sistem desne orjentacije, (videti sliku). Smatraće se da je koordinatni početak svakog od lokalnih koordinatnih sistema na levom kraju nosača. Određivanje sila u presecima se može izvršiti presecanjem u tačkama 1, 2, 3 i 4, pri čemu se uticaj odbačenog dela zamenjuje redukcionom rezultantom i rezultujućim spregom sila koje na taj presek deluju. Nepoznate veličine u svakom od preseka ovde će se odrediti posmatrajući desno od preseka, a znak na osnovu slika 5 i 6:

1

1

2

2

1z

2z

3z

4z

M F 5 50kNm,

M F 0 0,

M F 3 30kNm,

M F 0 0,

= − ⋅ = −

= − ⋅ =

= − ⋅ = −

= − ⋅ =

1

1

2

2

1x

2x

3x

4x

M F 3 30kNm,

M F 3 30kNm,

M 0,

M 0,

= ⋅ =

= ⋅ =

=

=

1

1

2

2

1y

2y

3y

4y

M 0,

M 0,

M 0,

M 0,

=

=

=

=

1

1

2

2

1y

2y

3y

4y

T F 10kN,

T F 10kN,

T 10kN,

T 10kN,

= = −

= = −

= −

= −

1

1

2

2

1z

2z

3z

4z

T 0,

T 0,

T 0,

T 0,

=

=

=

=

1

2

3

4

N 0,N 0,

N 0,N 0.

=

=

=

=



-

-

10kN



PRINCIP VIRTUALNOG RADA

Statika je nauka koja se bavi problemom ravnoteže krutog tela ili sistema povezanih krutih tela, delimično ograničenih ili potpuno sprečenih u pogledu pomerljivosti putem raznih veza ili oslonaca, izloženih dejstvu aktivnih sila. Ovakvi problemi mogu da se podele u dve grupe:

1) koristeći dve osnovne mere mehaničkog dejstva silu i spreg, određuju su uslovi ravnoteže krutog tela i sistema krutih tela. Ova oblast je vektorska statika. Pri određivanju uslova ravnoteže prisutne su sve aktivne sile, spregovi i reakcije veza. Rešavanjem ovih jednačina, proisteklih iz uslova ravnoteže određuju se sve reakcije veza u zavisnosti od aktivnih sila i spregova, kod tela koja su vezana tako da su pomeranja potpuno isključena.

2) određivanje stanja ravnoteže datog sistema kod koga postoji izvesna sloboda pomeranja (videti poglavlje 1, kinematička i statička stabilnost), kao što su mehanizmi sa jednim ili više stepeni slobode. Veoma često je za složene sisteme određivanje uslova ravnoteže za svako kruto telo, postupak koji je manje koristan, jer je potrebno postaviti po šest uslovnih jednačina ravnoteže za svako telo. Rešavanje tako velikog broja jednačina za sistem od više tela može da bude složen. Sa druge strane prevashodni zadatak pri ovim analizama je određivanje ravnoteže i veza između aktivnih sila i spregova u konkretnom položaju sistema, bez određivanja reakcija veza.

Metode analitičke statike omogućavaju određivanje veza između aktivnih sila i spregova, kao i položaj sistema krutih tela pri ravnoteži, ali bez određivanja reakcija idealnih veza. Metode analitičke statike pružaju mogućnost proučavanja i svojstava ravnotežnih položaja, deleći ih na stabilne i nestabilne. U vektorskoj statici se ne koristi pojam kretanja, dok je u analitičkoj statici pojam kretanja, odnosno malih pomeranja od velikog značaja, jer se pomoću njih određuje rad sile i sprega. Osnovna mera mehaničkog dejstva u analitičkoj statici (mehanici) je rad sile ili sprega. Rad je mera mehaničkog dejstva sile i sprega koji nastaje zbog promene položaja tela u prostoru. I vektorska statika i analitička statika određuju uslove ravnoteže sistema krutih tela, s tim što u vektorskoj učestvuju reakcije veza, dok u analitičkoj one ne učestvuju. Kako su to dva različita načina proučavanja problema ravnoteže, njihovi rezultati moraju biti isti. Za određivanje položaja ravnoteže sistema krutih tela, koriste se Dekartove koordinate, uglovi, dužine lukova itd. Veličine koje određuju ravnotežni položaj ili



kretanje sistema krutih tela u prostoru se zovu parametri. Broj nezavisnih parametara koji jednoznačno određuju položaj sistema krutih tela u prostoru zove se broj stepeni slobode kretanja. Ovaj broj je istovremeno i broj međusobno nezavisnih pomeranja sistema krutih tela u prostoru. Ukoliko je položaj tela određen sa više parametara od broja stepeni slobode kretanja, onda mora da postoje analitičke relacije međusobne zavisnosti tih parametara. Takve relacije između parametara koje su međusobno zavisne nazivaju se jednačinama veza. Jednačine veza se definišu najčešće preko posledice krutosti tela, nerastegljivosti užeta ili postojanja raznih geometrijskih veza u sistemu. Tako štap može biti definisan kao duž sa dve tačke. Ako se kreće u ravni svaka tačka ima dve koordinate, odnosno dva parametra, tj. dva stepena slobode, pa je broj nezavisnih parametara za štap četiri. Kako je dužina AB konstantna, jer je štap krut, to je dužina jednačina veze, pa je broj stepeni slobode kretanja štapa u ravni tri (4-1=3). Nezavisni parametri koji jednoznačno određuju položaj posmatranog sistema krutih tela u prostoru, čiji je broj jednak broju stepeni slobode kretanja nazivaju se generalisane (uopštene) koordinate. Pojam virtualnog pomeranja i virtualnog obrtanja Sistem prikazan na slici 1 je poluga AB, zglobno vezana u O, tako da može da se okreće oko ose z koja prolazi kroz O i upravna je na ravan crteža. Na polugu deluju sile P i Q koje leže u ravni crteža. Položaj poluge je potpuno određen uglom θ koji njena osa zaklapa sa osom x, a problem se sastoji u tome da se odredi ugao θ pri kom će poluga biti u ravnoteži pod dejstvom sila P i Q.

Slika 1



Pošto je okretanje oko ose z jedino kretanje koje poluga može da vrši, to znači da telo ima jedan stepen slobode. Ugao θ koji definiše kretanje poluge se naziva koordinatom sistema. Dozvoliće se štapu beskonačno mala pomeranja van položaja koji je određen uglom θ. Ova pomeranja će se dobiti tako što će se dozvoliti da koordinata θ poraste za beskrajno malu vrednost δθ. Kada se to dogodi svaka tačka D poluge, koja se nalazi na rastojanju r od tačke O, opisaće neki beskrajno mali luk r δθ za koji se može smatrati da je prav i upravan na polugu AB. Ovakva pomeranja se nazivaju virtualna pomeranja (reč virtualno znači mogućno, što može biti). Virtualnim kretanjem se zove zamišljeno, veoma malo i od vremena nezavisno, dakle čisto geometrijsko kretanje sistema, koje njegove veze dopuštaju.

Slika 2

Virtualna pomeranja tačaka A i B su:

A Bs , s ,δ = δθ δ = δθa b

upravna su na polugu AB i usmerena u suprotne strane, a δθ je virtualno ili moguće obrtanje tela oko ose z. Virtualni rad Ako se napadna tačka neke sile Fi pomeri za neko beskonačno malo odstojanje δsi, slika 3, sila Fi vrši rad koji je jednak proizvodu pomeranja δsi i projekcije te sile Ficosαi na pravac pomeranja:



i i i iA F cos s .δ = α δ

Slika 3

Virtualni rad je skalarna veličina, ima dimenziju sila × dužina i pozitivan je ako su sila, odnosno projekcija sile i pomeranje istog smera. Virtualni rad je rad sile ili sprega usled virtualnog pomeranja ili obrtanja. Sila vrši rad na virtualnom pomeranju njene napadne tačke, a spreg vrši rad na virtualnom obrtanju krutog tela. Virtualni rad sile je jednak proizvodu virtualnog pomeranja napadne tačke sile i projekcije sile na pravac pomeranja, dok je virtualni rad sprega jednak proizvodu momenta sprega i virtualne rotacije krutog tela na koje deluje spreg:

A .δ = ± ⋅ δθM

Pozitivan je ako su moment sprega i virtualna rotacija istog smera, a negativan ukoliko su suprotnog smera. Virtualnim radom se meri dejstvo sila i spregova na promeni položaja tela u prostoru. Kada veze dozvoljavaju neka mala zamišljena pomeranja tačaka sistema, onda se napadne tačke sila koje deluju na mehanizam pomeraju, a sile vrše rad na tim pomeranjima. Pri proučavanju ovakvih sistema pretpostavlja se da nema trenja u zglobovima, u osloncima, kao i da su svi delovi sistema kruti. Takve veze se nazivaju idealnim vezama, a sistemi idealnim sistemima. U tom slučaju rad vrše samo aktivne sile na virtualnim pomeranjima njihovih napadnih tačaka, a da bi sistem bio u ravnoteži potrebno je da je ukupan rad svih aktivnih sila na odgovarajućim virtualnim pomeranjima sistema bude jednak nuli. Ovo je čuveni Lagranž-Dalamberov princip virtualnog rada i on glasi: pri ravnoteži sistema krutih tela, zbir svih virtualnih radova aktivnih sila i aktivnih spregova jednak je nuli:

n n

i i i ii 1 i 1

A A F cos s 0.= =

δ = δ = α δ =∑ ∑

Prema tome, sistem krutih tela je u nekom položaju u ravnoteži, ako je u tom položaju virtualni rad sistema jednak nuli.



Primenjujući princip virtualnog rada na polugu sa slike 1, dobija se: Pcos Qsin 0,

Podakle sledi : tg .Q

θ δθ − θ δθ =

θ =

a bab

Ako su poznate sile P i Q i rastojanja a i b, onda je ovim izrazom određen ugao θ za koji je poluga u ravnoteži. Princip virtualnog rada je primenio među prvima Galilej pri proučavanju ravnoteže dveju čestica, međusobno povezanih nerastegljivim, savršeno savitljivim koncem koje leže na dve glatke nagnute ravni (slika 4). Ako teret P pređe mali put δs1 po nagnutoj ravni, to znači da će se i teret Q pomeriti za isto toliko na svojoj kosoj ravni. pri izračunavanju rada koji su pri ovom pomeranju izvršile sile P i Q na virtualnim pomeranjima, treba uzeti projekcije svake sile na pravac odgovarajućeg pomeranja.

Slika 4

Princip virtualnog rada u ovom slučaju je:

1 1P s sin Q s sin 0,− δ α + δ β =

a iz ove jednačine sledi: P sin .Q sin

β=

α

Za mnogo manji ugao α od ugla β, može se dići mnogo veći teret P znatno manjom silom Q − to jest vertikalni uspon tereta P će biti u istoj srazmeri manji od spuštanja tereta Q u kojoj je teret P veći od tereta Q. U prethodnim slučajevima posmatrali su se primeri u kojima su sistemi imali izvesnu slobodu kretanja. U ovakvim problemima princip virtualnog rada se primenjuje da bi se definisao položaj ravnoteže sistema krutih tela, ako su poznate spoljašnje sile i spregovi; odnosno da bi se odredili uslovi koje treba da zadovolje sile i spregovi, da bi posmatrani sistem bio u ravnoteži. Međutim, princip virtualnog rada može da se primeni i na potpuno nepokretne sisteme.



Na slici 5 je prikazana statički određena, kinematički stabilna greda, koja je u A vezana nepokretnim osloncem, a u B pokretnim osloncem. Treba odrediti reakciju veze u B, prouzrokovane dejstvom aktivne sile P.

Slika 5

Da bi se pomoću virtualnog rada odredila reakcija Vb koja mora da bude vertikalna, treba ukloniti oslonac B i zameniti ga silom Vb, čime je dobijen pokretan sistem sa jednim stepenom slobode. Ako se sistemu zada virtualna rotacija δθ oko ose z koja prolazi kroz A, napadna tačka sile P će se pomeriti za virtualno pomeranje xδθ, a tačka B za lδθ. Prema tome jednačina virtualnog rada glasi:

b b

xP x R 0, R P .− δθ + δθ = ⇒ =ll

Dve grede AC i CD povezane su zglobom C, opterećene su i vezane kao na slici 6. Primenom principa virtualnog rada odrediti reakciju Vb pri bilo kom položaju sile P.



Slika 6

Da bi se dobio pokretan sistem (mehanizam) sa jednim stepenom slobode, uklanja se pokretan oslonac B i na tom mestu postavlja vertikalna reakcija Vb. Sada je virtualno pomeranje ovog sistema, u skladu sa ostalim vezama sistema, definisano virtualno vertikalno pomeranje δsc zgloba C. Odgovarajuća vertikalna pomeranja tačaka B i E su:

c cb e

1 2

s ss i s ,δ δδ = δ =

a xl l

pa jednačina virtualnog rada glasi:

b b eV s P s 0,δ − δ =

odnosno, zamenom δsb i δse: 1

b2

V P .a

=xll

tehniČke mehanike ii - rc5.gaf.ni.ac.rsrc5.gaf.ni.ac.rs/dec/mehanika/homes/mehanika/tehnicka...

Documents