tehniČka mehanika · 2017-12-26 · otpornost materijala uvijanje Štapa kruŽnog popreČnog...
TRANSCRIPT
UNIVERZITET U NIŠU
FAKULTET ZAŠTITE NA RADU U NIŠU
TEHNIČKA MEHANIKA - PREZENTACIJA PREDAVANJA -
Dr Darko Mihajlov, doc.
- 11. PREDAVANJE -
OTPORNOST MATERIJALA
1. ČAS
UVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG POPREČNOG PRESEKA:
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
Osnovni pojmovi i pretpostavke u slučaju uvijanja;
Deformacija usled uvijanja štapa kružnog preseka;
Napon usled uvijanja štapa kružnog preseka;
Dimenzionisanje štapa kružnog i prstenastog poprečnog preseka
napregnutog na uvijanje;
OTPORNOST MATERIJALA
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
2. ČAS
ČISTO SAVIJANJE:
Osnovni pojmovi i pretpostavke u slučaju čistog savijanja;
Deformacija usled čistog savijanja;
Glavne jednačine u slučaju čistog savijanja.
POPREČNO SAVIJANJE:
Osnovni pojmovi i pretpostavke u slučaju poprečnog savijanja;
Deformacija usled poprečnog savijanja;
Normalni napon u slučaju poprečnog savijanja:
Tangencijalni napon u slučaju poprečnog savijanja;
Dimenzionisanje poprečnog preseka štapa koji je opterećen na
poprečno savijanje.
Uvijanje (torzija) je naprezanje štapa pod dejstvom spoljašnjih spregova
sila koji dejstvuju u ravnima upravnim na osu štapa.
Čisto uvijanje je naprezanje štapa na čijim krajevima dejstvuju sile koje se
redukuju na spregove sila u ravnima krajeva štapa, jednakih momenata a
suprotnih smerova.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
UVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG POPREČNOG PRESEKA
Osnovni pojmovi i pretpostavke u slučaju uvijanja (1/4)
Momenti ovih spregova sila se
nazivaju momenti uvijanja ili
momenti torzije i obeležavaju se MT.
Opterećenje nosača suprotno
usmerenim momentima uvijanja
izaziva međusobno zakretanje
poprečnih preseka nosača za
ugao uvijanja . Čisto uvijanje štapa pod dejstvom
koncentrisanih momenata uvijanja
T1
T2
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
UVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG POPREČNOG PRESEKA
Osnovni pojmovi i pretpostavke u slučaju uvijanja (2/4)
Momenti uvijanja mogu biti koncentrisani ili raspodeljeni duž štapa.
Uvijanje štapa pod dejstvom koncentrisanih momenata uvijanja
Unutrašnje sile u poprečnim presecima štapa se prilikom uvijanja redukuju
samo na spegove sila u ravnima preseka štapa. Ostale komponente
unutrašnjih sila - moment savijanja, transverzalna sila i normalna sila,
jednake su nuli:
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
UVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG POPREČNOG PRESEKA
Osnovni pojmovi i pretpostavke u slučaju uvijanja (3/4)
Presečne sile su u svim presecima jednake, pa se može pretpostaviti da su
i naponi u svim presecima jednaki, tj. da ne zavise od koordinate duž ose
štapa.
0; 0; 0; 0.TM M T N
Analiza napregnutog nosača opterećenog na uvijanje se zasniva na
sledećim pretpostavkama:
1. Poprečni preseci štapa se u procesu deformacije zaokreću kao kruta
tela i ostaju ravni i normalni na uzdužnu osu štapa;
2. Osa štapa ostaje prava i posle deformacije;
3. Rastojanja između poprečnih preseka se ne menjaju usled deformacije;
4. Poluprečnici u proizvoljnom poprečnom preseku u procesu deformacije
ostaju pravi (neiskrivljeni) i zaokreću se za isti ugao;
5. U poprečnim presecima štapa se u procesu deformacije javljaju samo
tangencijalni (smičući) naponi; Normalni naponi su jednaki nuli.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
UVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG POPREČNOG PRESEKA
Osnovni pojmovi i pretpostavke u slučaju uvijanja (4/4)
Ako je štap AB, dužine l, kružnog poprečnog preseka, poluprečnika R, u
levoj osnovi A uklješten, a na slobodnom kraju B opterećen spregom sila
koji dejstvuje u samoj ravni poprečnog preseka, onda je izložen uvijanju
usled momenta uvijanja.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
UVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG POPREČNOG PRESEKA
Deformacija usled uvijanja štapa kružnog preseka (1/4)
Vlakno ab na omotaču cilindra zaokrenuće se oko tačke a za neki ugao 1 i
preći će u položaj ab’. Poluprečnik Ob preseka B će se tom prilikom
zaokrenuti za mali ugao koji se naziva ugao uvijanja štapa.
Vlakno cd na rastojanju r od geometrijske ose Ax zaokrenuće se takođe za
neki mali ugao kome odgovara luk dd’ preseka B.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
UVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG POPREČNOG PRESEKA
Deformacija usled uvijanja štapa kružnog preseka (2/4)
- ugao uvijanja štapa (ugao zaokretanja poluprečnika);
i 1 - uglovi klizanja (uglovi zaokretanja podužnih vlakana
koja su paralelna uzdužnoj osi štapa);
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
UVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG POPREČNOG PRESEKA
Deformacija usled uvijanja štapa kružnog preseka (3/4)
Odnos uglova klizanja i 1 srazmeran je
odnosu udaljenja vlakana od ose štapa;
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
UVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG POPREČNOG PRESEKA
Deformacija usled uvijanja štapa kružnog preseka (4/4)
1 1 1
1
0 1 max
'
'
0 0; ;
r
s bb l R R
s dd l r l l
R r
r r R
Vlakno ose štapa
se ne deformiše;
Najviše se deformišu vlakna
na cilindičnom omotaču štapa;
Najviše se deformiše poprečni presek na
slobodnom kraju štapa;
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
UVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG POPREČNOG PRESEKA
Napon usled uvijanja štapa kružnog preseka (1/11)
Veza između napona i klizanja (1/5)
Radi uspostavljanja odnosa između napona i deformacije, izdvoji se
element dužine dx iz štapa. Element je ograničen bliskim koaksijalnim
cilindrima poluprečnika r i r +dr, i dvema bliskim meridijanskim ravnima.
Izdvojeni element se može smatrati elementarnom zapreminom.
Elementarna zapremina štapa
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
UVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG POPREČNOG PRESEKA
Vlakna koja su paralelna osi vratila prelaze u nove položaje posle
deformacije, tako da pravougaoni deo spoljašnjeg cilindra postaje
paralelogram, odn. pravi uglovi su se promenili (smanjili ili povećali) za
ugao . Taj ugao promene pravog ugla predstavlja klizanje ovog
pravougaonika koji je napregnut na smicanje.
Prema tome, u bočnim ravnima će dejstvovati tangencijalni naponi.
Deformacija elementarne zapremine usled uvijanja
B
D
A
C D
B
C
A
dx
0
MT
x r1d
dx
B
D
A
C
B
C
Napon usled uvijanja štapa kružnog preseka (2/11)
Veza između napona i klizanja (2/5)
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
UVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG POPREČNOG PRESEKA
Prema zakonu o konjugovanosti napona, tangencijalni naponi će
dejstvovati i u ravnima osnova elementarne zapremine.
Na ovaj način se problem uvijanja svodi na problem čistog smicanja.
Deformacija elementarne zapremine usled uvijanja
B
D
A
C D
B
C
A
dx
0
MT
x r1d
dx
B
D
A
C
B
C
Napon usled uvijanja štapa kružnog preseka (3/11)
Veza između napona i klizanja (3/5)
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
UVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG POPREČNOG PRESEKA
Budući da je odnos uglova klizanja i 1 srazmeran odnosu udaljenja
vlakana od ose štapa: , i da za čisto smicanje važe relacije:
i ,
može se napisati da je .
G 1
r
R
1 1G
1 max
1 1
r r r
R R R
Napon usled uvijanja štapa kružnog preseka (4/11)
Veza između napona i klizanja (4/5)
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
UVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG POPREČNOG PRESEKA
Dakle, centralna vlakna (r = 0) nisu napregnuta i ne deformišu se, a
periferna vlakna (r = R) su najnapregnutija. Tangencijalni napon se linearno
menja sa radijusom.
1 max
1 max
0 0,:
.
rr r
r RR R
Napon usled uvijanja štapa kružnog preseka (5/11)
Veza između napona i klizanja (5/5)
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
UVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG POPREČNOG PRESEKA
Metoda preseka: Štap se preseče proizvoljnom ravni, upravnom na
uzdužnu osu štapa, i posmatra ravnoteža odsečenog dela. Uticaj
uklonjenog dela se zameni silama koje se redukuju tako da se suprotstave
dejstvu momenta uvijanja.
U poprečnom preseku štapa, element površine dA,
na rastojanju r od ose vratila, napada unutrašnja
sila dA. Poprečni presek sadrži beskonačno
mnogo elementarnih površina dA, na različitim
rastojanjima od ose x, i svaku napada unutrašnja
sila.
Napon usled uvijanja štapa kružnog preseka (6/11)
Veza između napona i spoljašnjeg opterećenja – momenta uvijanja (1/5)
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
UVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG POPREČNOG PRESEKA
Elementarne unutrašnje sile leže u ravni poprečnog preseka, a pravci su im
upravni na odgovarajući radijus r. Moment dMT elementarne unutrašnje
sile dA u odnosu na osu vratila je .
Rezultujući moment je u ravnoteži sa spoljašnjim
momentom uvijanja.
Jednačina ravnoteže zbira momenata spoljašnjih i
unutrašnjih sila za osu x:
TdM r dA
0x T
A
M M r dA
Napon usled uvijanja štapa kružnog preseka (7/11)
Veza između napona i spoljašnjeg opterećenja – momenta uvijanja (2/5)
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
UVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG POPREČNOG PRESEKA
0
max
max
( )
2max max0
( )
max
0
Σ 0,
0
x T
A
T
A
T T
A
I
T
rM M r dA
R
rM r dA
R
M r dA M IR R
MR
I
Najveća vrednost tangencijalnog napona
koji se javlja u vlaknima na obodu
cilindrične povši radijusa R
Napon usled uvijanja štapa kružnog preseka (8/11)
Veza između napona i spoljašnjeg opterećenja – momenta uvijanja (3/5)
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
UVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG POPREČNOG PRESEKA
0max 0
00 0
; ;T T TIM M M
R WII W R
R
W0 [cm3] - Polarni otporni moment kružnog poprečnog preseka;
Uslov otpornosti: Najveća vrednost napona ne sme da bude veća od
odgovarajuće dozvoljene vrednosti napona:
max
0
TM
dtW
Dozvoljeni napon na uvijanje dt zavisi od vrste materijala i od stepena
sigurnosti.
Napon usled uvijanja štapa kružnog preseka (9/11)
Veza između napona i spoljašnjeg opterećenja – momenta uvijanja (4/5)
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
UVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG POPREČNOG PRESEKA
Tangencijalni napon u bilo kom vlaknu preseka na rastojanju r od ose
štapa, a u preseku štapa gde je poznat spoljašnji moment uvijanja:
max
1
0 0max
0
T T
T
r
R M Mr rR r
M R R I IR
I
0
TM
rI
Veza između tangencijalnog napona i spoljašnjeg opterećenja
(momenta uvijanja) - druga glavna jednačina uvijanja.
Napon usled uvijanja štapa kružnog preseka (10/11)
Veza između napona i spoljašnjeg opterećenja – momenta uvijanja (5/5)
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
UVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG POPREČNOG PRESEKA
0 0
0
;T T
T
GM M
G r rMr I GI
I
0
T TM M
l lGI
Veza između ugla uvijanja i spoljašnjeg opterećenja
(momenta uvijanja) - prva glavna jednačina uvijanja.
0GI - krutost pri uvijanju
(torziona krutost)
[Nm2] 0
T
l
r
Mr
GI
* TM
l
- redukovani ugao uvijanja u odnosu na
jedinicu dužine (relativni ugao uvijanja)
Napon usled uvijanja štapa kružnog preseka (11/11)
Veza između ugla uvijanja i spoljašnjeg opterećenja – momenta uvijanja
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
UVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG POPREČNOG PRESEKA
Dimenzionisanje štapa kružnog poprečnog preseka
napregnutog na uvijanje
Za dimenzionisanje poprečnog preseka štapa se bira presek u kome je
moment uvijanja najveći.
max maxmax 0
0
4 3 3
00 0 0
3
max max3
0
;
, ; =2 2 16 2
16;
16
T Tdt
dt
T T
dt dt
M MW
W
I R R d dW I W R
R
M MdW d
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
UVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG POPREČNOG PRESEKA
Dimenzionisanje štapa prstenastog poprečnog preseka
napregnutog na uvijanje
max maxmax 0
0
4 4
1 2
0 0 00
3 34 4
34 max
0
max3 4
;
2 2
1 1 ;2 16
116
16;
1
T Tdt
dt
T
dt
T
dt
M MW
W
R rI I I
WR R R
R D
MDW
Md
r d
R D
Čisto savijanje je naprezanje štapa pod dejstvom spoljašnjih spregova sila
jednakih momenata i suprotnih smerova, ili naprezanje štapa pod
simetričnim dejstvom koncentrisanih sila jednakih intenziteta u ravni koja
prolazi kroz podužnu osu štapa.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
ČISTO SAVIJANJE
Osnovni pojmovi i pretpostavke u slučaju čistog savijanja (1/4)
Čisto savijanje proste grede opterećene
koncentrisanim silama jednakih intenziteta,
simetrično (čisto savijanje u polju b)
Čisto savijanje proste grede opterećene
spregovima sila jednakih momenata nad
osloncima
Čisto savijanje je takav slučaj naprezanja štapa kada je u poprečnim
presecima štapa glavni vektor jednak nuli, a glavni moment ima konstantnu
vrednost. Zbog diferencijalne zavisnosti između momenta i transverzalne
sile, ako je transverzalna sila jednaka nuli, tada napadni moment ima
konstantnu vrednost:
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
ČISTO SAVIJANJE
Osnovni pojmovi i pretpostavke u slučaju čistog savijanja (2/4)
0, 0, 0; 0 .dM
T N M T M constdx
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
ČISTO SAVIJANJE
Osnovni pojmovi i pretpostavke u slučaju čistog savijanja (3/4)
Ravan opterećenja je ravan u kojoj leže sve spoljašnje sile;
Glavne ravni štapa su ravni u kojima leže
centralne ose inercije poprečnih preseka;
Linija sile je linija preseka ravni
opterećenja i poprečnog preseka.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
ČISTO SAVIJANJE
Osnovni pojmovi i pretpostavke u slučaju čistog savijanja (4/4)
Izučavanje naponskog i deformacionog stanja u slučaju čistog savijanja se
sprovodi uz pomoć sledećih pretpostavki:
Tačke koje se nalaze u ravnima upravnim na osu
štapa pre deformacije ostaju i posle deformacije
u ravnima upravnim na deformisanu (savijenu)
osu štapa - hipoteza ravnih preseka (Bernulijeva
hipoteza).
Podužna vlakna ne dejstvuju jedna na druge, tj. zanemaruju se naponi koji
dejstvuju bočno na vlakna;
Jedna od glavnih centralnih osa inercije leži u ravni opterećenja, tj. linija
sile se poklapa sa jednom od glavnih centralnih osa inercije poprečnog
preseka štapa.
1.
2.
3.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
ČISTO SAVIJANJE
Deformacija u slučaju čistog savijanja (1/4)
Posmatra se prosta greda koja je opterećena spregovima sila nad
osloncima. U zavisnosti od smera spregova sila, jedna vlakna se izdužuju, a
druga skraćuju. Kako je prelaz od izduženih ka skraćenim vlaknima
kontinualan, unutar grede mora da postoji sloj vlakana koja ne menjaju
dužinu, ali se deformišu, i to tako što se pomeraju u odnosu na prvobitni
ravan položaj i iskrivljuju se. Njihova dilatacija je jednaka nuli. Ova vlakna
se zovu neutralna vlakna i ona obrazuju neutralnu površ ili tzv. neutralni
sloj. Presek neutralne površi sa poprečnim presekom grede zove se
neutralna osa. Savijena osa štapa, koja je presek neutralne površi i ravni
opterećenja, zove se elastična linija.
Elastične linije proste grede usled naprezanja na čisto savijanje
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
ČISTO SAVIJANJE
Deformacija u slučaju čistog savijanja (2/4)
Dilatacija uočenog vlakna AB, kao relativna promena dužine vlakna, može
da se odredi na osnovu geometrijskog uslova i primenom Hukovog zakona.
Metoda preseka: Štap se preseče dvema
paralelnim ravnima upravno na njegovu osu
na beskonačno malom rastojanju dx i uoči
vlakno AB.
Deformacija elemenarnog dela grede
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
ČISTO SAVIJANJE
Deformacija u slučaju čistog savijanja (3/4)
Uočeni element ima posle deformacije savijeni oblik. Preseci su se
zaokrenuli za ugao d , a vlakno AB se izdužilo.
Dužina vlakna AB pre deformacije jednaka je dužini neutralnog vlakna C1C2
pre i posle deformacije:
Deformacija elemenarnog dela grede
1 2 ;AB C C d
Dužina vlakna posle deformacije jednaka je
;A B y d
Apsolutna promena
dužine posmatranog
vlakna jednaka je
razlici ovih dužina:
;l A B AB
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
ČISTO SAVIJANJE
Deformacija u slučaju čistog savijanja (4/4)
Relativna promena dužine (dilatacija) vlakna :
Deformacija elemenarnog dela grede
;
y d dA B AB y
AB d
Normalni napon, po Hukovom zakonu,
u ovom slučaju ima oblik:
yE
E
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
ČISTO SAVIJANJE
Glavne jednačine u slučaju čistog savijanja (1/8)
Za određivanje glavnih jednačina čistog savijanja, koje se odnose na
krivinu elastične linije i normalni napon, koristi se Metoda preseka i
jednačine ravnoteže spoljašnjih i unutrašnjih sila za posmatrani deo:
( )
Σ 0: 0;A
X dA
( )
Σ 0: 0;y
A
M z dA
( )
Σ 0: 0;z
A
M M y dA
1.
2.
3.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
ČISTO SAVIJANJE
Glavne jednačine u slučaju čistog savijanja (2/8)
( )
( ) ( )
( )
Σ 0: 0
0 0
;
z
A
z z
A A
S
z
A
X dA
E E Ey dA y dA S S
EE y
y dA S
Da bi statički moment za z-osu bio
jednak nuli, ona mora da bude
centralna osa, pa se zaključuje da se
težište poprečnog preseka nalazi u
koordinatnom početku, tj. 0 C.
1.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
ČISTO SAVIJANJE
Glavne jednačine u slučaju čistog savijanja (3/8)
( )
( )
Σ 0: 0
0 0
;
zy
y
A
zy zy
A A
I
zy
A
M z dA
E E Ez y dA zy dA I I
EE y
zy dA I
Centrifugalni moment inercije jednak je nuli
ako je bar jedna od osa glavna centralna osa,
tako da je osa 0z glavna centralna osa: 0z Cz.
Tada je:
tako da vlakna ose Cx nisu napreguta:
,E
y y y
0 0.y
2.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
ČISTO SAVIJANJE
Glavne jednačine u slučaju čistog savijanja (4/8)
. .
( ) 2
2
. . . .
Σ 0
0
;
N O
z
A
A A
I
N O Z N O
A
M M y dA
E EM y ydA M y dA
EE y
EM I y dA I I
Krivina elastične linije k, odn. recipročna vrednost poluprečnika krivine :
3.
1
Bz
M Mk
EI
- prva glavna jednačina
savijanja
zEIB - krutost pri savijanju (savojna krutost) [Nm2]
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
ČISTO SAVIJANJE
Glavne jednačine u slučaju čistog savijanja (5/8)
1
Bz
M Mk
EI
- prva glavna jednačina
savijanja
Poluprečnik krivine elastične linije u slučaju čistog savijanja je direktno
proporcionalan aksijalnom momentu inercije i modulu elastičnosti, a
obrnuto proporcionalan momentu savijanja, pa se štap manje savija ako su
modul elastičnosti i aksijalni moment veći, a napadni moment manji.
Ako je štap konstantnog poprečnog preseka od istog materijala, a napadni
moment je inače konstantan, tada je poluprečnik krivine elastične linije
konstantan i elastična linija je kružni luk.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
ČISTO SAVIJANJE
Glavne jednačine u slučaju čistog savijanja (6/8)
Druga glavna jednačina savijanja pokazuje linearnu zavisnost normalnog
napona od rastojanja posmatrane tačke od neutralne ose.
Normalni napon se menja linearno po preseku u zavisnosti od rastojanja
vlakna od neutralne ose, a na neutralnoj osi je jednak nuli.
Normalni napon je proporcionalan napadnom momentu i obrnuto
proporcinalan aksijalnom momentu inercije poprečnog preseka za
neutralnu osu. Dijagram napona je u svim presecima isti ako je štap
konstantnog poprečnog preseka i od istog materijala.
1
z z
E Ey
y
M E Mk
EI I
z
My
I
- druga glavna jednačina
savijanja
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
ČISTO SAVIJANJE
Glavne jednačine u slučaju čistog savijanja (7/8)
Ekstremne vrednosti normalnog napona se javljaju u tačkama koje su na
najvećem rastojanju od neutralne ose:
Dijagram normalnog napona u poprečnom
preseku štapa pri čistom savijanju
max max ;z
My
I ;minmin y
I
M
z
1 max 1
1
;z
M Mh
I W
2 min 2
2z
M Mh
I W
1
1h
IW z
2
2h
IW z
Otporni momenti
preseka u odnosu
na krajnja vlakna
[cm3]
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
ČISTO SAVIJANJE
Glavne jednačine u slučaju čistog savijanja (8/8)
Za manje vrednosti otpornog momenta veća je vrednost normalnog napona
i obrnuto. Najveći napon po apsolutnoj vrednosti nastaje u vlaknu koje je na
najvećem rastojanju od neutralne ose, te se zbog toga za određivanje
najvećeg napona koristi izraz za najmanji otporni moment:
Otporni moment površine preseka zove se količnik momenta inercije te
površine u odnosu na neutralnu osu i rastojanja maksimalno udaljenog
vlakna od neutralne ose:
1 max 1
1
1
;zz
M M Mh
II W
h
2 min 2
2
2
;zz
M M Mh
II W
h
.max
zz
IW
h
max
.NONO
IW
h
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
ČISTO SAVIJANJE
Dimenzionisanje poprečnog preseka štapa koji je opterećen na
čisto savijanje
Dimenzionisanje poprečnog preseka štapa koji je opterećen na čisto
savijanje vrši se na osnovu uslova da najveća vrednost normalnog napona
bude manja od dozvoljene vrednosti normalnog napona koji zavisi od vrste
materijala.
max max df z
z df
M My W
I
Poprečno savijanje (savijanje silama) je
slučaj savijanja izazvan silama čije su
napadne linije upravne na podužnu osu
grede (poprečne sile).
Poprečno savijanje je takav slučaj
naprezanja pri kome u poprečnim
presecima grede glavni vektor
unutrašnjih sila leži u ravni poprečnog
preseka. Glavni moment unutrašnjih sila
nije jednak nuli, a nije ni konstantan.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
POPREČNO SAVIJANJE
Osnovni pojmovi i pretpostavke u slučaju poprečnog savijanja (1/2)
Poprečno savijanje proste grede
opterećene koncentrisanom silom
Na osnovu diferencijalne zavisnosti
između napadnog momenta i
transverzalne sile, sledi da ako je
transverzalna sila različita od nule, onda
je i glavni moment različit od nule i
njegova funkcionalna zavisnost od
koordinate duž ose grede je za jedan
stepen veća od funkcionalne zavisnosti
transverzalne sile.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
POPREČNO SAVIJANJE
Osnovni pojmovi i pretpostavke u slučaju poprečnog savijanja (2/2)
Poprečno savijanje proste grede
opterećene koncentrisanom silom
.0;0;0 MNT
U poprečnim presecima grede u
slučaju poprečnog savijanja nastaju
napadni moment M i poprečna sila T.
Usled nastanka napadnog momenta M, u
preseku grede se javlja normalni napon.
Poprečna sila T predstavlja rezultantu
neprekidno raspoređenih elementarnih
unutrašnjih sila koje leže u ravni
poprečnog preseka. One izazivaju u
poprečnom preseku grede pojavu
tangencijalnog (smičućeg) napona.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
POPREČNO SAVIJANJE
Deformacija u slučaju poprečnog savijanja (1/2)
Metoda preseka - unutrašnje
elementarne sile u poprečnom
preseku štapa u slučaju
poprečnog savijanja
Tangencijalni naponi izazivaju ugaonu
deformaciju (klizanje) svakog elementa
poprečnog preseka. Pošto su
tangencijalni naponi neravnomerno
raspoređeni po preseku, to je i ugaona
deformacija neravnomerno raspoređena
po preseku. Za razliku od čistog
savijanja, kod poprečnog savijanja se
poprečni preseci krive, ne ostaju ravni.
Teorijska i eksperimentalna ispitivanja su
pokazala da je uticaj klizanja na dilataciju
neznatan, pa se uticaj klizanja pri analizi
normalnog napona može zanemariti .
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
POPREČNO SAVIJANJE
Deformacija u slučaju poprečnog savijanja (2/2)
Deformacija elementarnog dela
grede usled poprečnog savijanja
Normalni napon se za slučaj poprečnog
savijanja određuje na isti način kao i kod
čistog savijanja. Prva i druga glavna
jednačina čistog savijanja se primenjuju
u istom obliku i za slučaj poprečnog
savijanja. Jednačina ravnoteže za
moment sile za z-osu, gde je sa M
obeležen moment spoljašnje sile F za dati
presek, glasi:
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
POPREČNO SAVIJANJE
Normalni napon u slučaju poprečnog savijanja (1/2)
Metoda preseka - unutrašnje
elementarne sile u poprečnom
preseku štapa u slučaju
poprečnog savijanja
0zM M dA y
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
POPREČNO SAVIJANJE
Normalni napon u slučaju poprečnog savijanja (2/2)
( ) 2 2
Σ 0
0
1
z
z
A
A A
I
z
z
M M dA y
E EM y dA M y dA
Ey
E MM I
EI
prva glavna
jednačina
savijanja
1
z z
E Ey
y
M E Mk
EI I
z
My
I
druga glavna
jednačina
savijanja
Dijagram normalnog napona
Za određivanje tangencijalnog napona u poprečnom preseku se koriste
Metoda preseka i sledeće pretpostavke:
1. Tangencijalni naponi su jednaki u svim tačkama na istom rastojanju od
neutralne ose;
2. Tangencijalni napon je paralelan poprečnoj (transverzalnoj) sili.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
POPREČNO SAVIJANJE
Tangencijalni napon u slučaju poprečnog savijanja (1/8)
Po Metodi preseka se iz grede izdvoji elementarna prizma ABCD tako što se
odseče deo između dve poprečne i jedne podužne ravni.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
POPREČNO SAVIJANJE
Tangencijalni napon u slučaju poprečnog savijanja (2/8)
Metoda preseka - raspored komponentnih napona
y
Za određivanje izraza za tangencijalni napon u tačkama na istom rastojanju
od neutralne ose i u datom poprečnom preseku grede se koristi uslov
ravnoteže o algebarskom zbiru projekcija spoljašnjih i unutrašnjih sila na
pravac podužne ose x:
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
POPREČNO SAVIJANJE
Tangencijalni napon u slučaju poprečnog savijanja (3/8)
Raspored sila i komponentnih napona
0 0;X R R b y dx ; ;ods odsA A
R dA R dA
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
POPREČNO SAVIJANJE
Tangencijalni napon u slučaju poprečnog savijanja (4/8)
Raspored sila i komponentnih napona
Σ 0 0 :
; ;
; ;
ods ods
ods ods
z zA A
z z zA A
X R R b y dx
M MR dA R dA
I I
M M dM M dMR dA R dA
I I I
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
POPREČNO SAVIJANJE
Tangencijalni napon u slučaju poprečnog savijanja (5/8)
ods
ods ods
0 0odsz zA A
z zA A
M M dMX dA dA b y dx
I I
M MdA dA
I I
ods
. .
. .
. .
0 ;
;
odsz
ods
z A
S
ods ods
Z N O
A
odsods odsods N OZ ZZ
Z Z Z N O
T
dMdA b y dx
I
S S dA
TSS TSdM dMS b y dx
I dx I b y I b y I b y
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
POPREČNO SAVIJANJE
Tangencijalni napon u slučaju poprečnog savijanja (6/8)
. .
. .
odsods
N OZ
Z N O
T ST S
I b y I b y
- treća glavna jednačina savijanja
(formula Žuravskog)
Veličina tangencijalnog napona je direktno proporcionalna veličini
transverzalne sile u datom preseku i statičkom momentu odsečene
površine poprečnog preseka za neutralnu osu, a obrnuto proporcionalna
aksijalnom momentu inercije poprečnog preseka za neutralnu osu i širini
poprečnog preseka b paralelnoj neutralnoj osi, a na rastojanju y od nje.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
POPREČNO SAVIJANJE
Tangencijalni napon u slučaju poprečnog savijanja (7/8)
Odsečena površina predstavlja površinu
poprečnog preseka koja se prostire od
vlakana u kojima se traži napon i dalje od
neutralne ose.
Najveći tangencijalni napon je u poprečnom
preseku u kome je najveća transverzalna sila
i u vlaknima poprečnog preseka za koji je
odnos najveći. . . /ods
N OS b y
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
POPREČNO SAVIJANJE
Tangencijalni napon u slučaju poprečnog savijanja (8/8)
Tangencijalni napon pravougaonog preseka
2 3
2
1 1
2 2 2 2 2 2
; ; ;2 2 12
ods
ods ods
Z C
A
Z
h h h hS dA y A y y b y b y y
b h bhy b y b I
Dijagram tangencijalnog napona
pravougaonog preseka
2
2
2
2
3 3
2 2 6;
2
12
b hy
T T hy
bh b bh
0
3 3;
2 2max y
T T
bh A
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
POPREČNO SAVIJANJE
Dimenzionisanje poprečnog preseka štapa
koji je opterećen na poprečno savijanje
U slučaju poprečnog savijanja se javlja složeno naprezanje s obzirom na to
da postoje i normalni i tangencijalni naponi. Tangencijalni napon se u
većini slučajeva zanemaruje. Za dimenzionisanje poprečnog preseka u
slučaju poprečnog savijanja se koristi kriterijum kao i u slučaju čistog
savijanja – uzima se najveća vrednost momenta savijanja i dozvoljeni
napon na savijanje i sračunava vrednost otpornog momenta savijanja Wz, a
na osnovu te vrednosti i jedna dimenzija poprečnog preseka:
Usvaja se prva veća vrednost koja je određena po standardima ili pogodna
za izradu preseka štapa.
.max max max
max max df z
Z z df
M M My W
I W
1. Objasniti opšte pojmove i pretpostavke u slučaju uvijanja štapa kružnog
poprečnog preseka.
2. Deformacija u slučaju uvijanja štapa kružnog poprečnog preseka;
3. Izvesti relaciju koja predstavlja vezu između ugla uvijanja i ugla klizanja.
4. Na osnovu veze između napona i klizanja (Hukovog zakona kod
smicanja), izvesti izraz za tangencijalni napon u funkciji od poluprečnika
poprečnog preseka i to grafički prikazati.
5. Napisati glavne jednačine uvijanja i objasniti ih.
6. Objasniti način dimenzionisanja štapa kružnog i prstenastog poprečnog
preseka napregnutog na uvijanje.
Kontrolna pitanja 11
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
7. Objasniti opšte pojmove i pretpostavke u slučaju čistog savijanja.
8. Deformacija u slučaju čistog savijanja.
9. Napisati izraze za prvu i drugu glavnu jednačinu savijanja i objasniti.
10. Objasniti osnovne pojmove i pretpostavke u slučaju poprečnog savijanja.
11. Deformacija u slučaju poprečnog savijanja.
12. Normalni napon u slučaju poprečnog savijanja.
13. Tangencijalni napon u slučaju poprečnog savijanja.
14. Dimenzionisanje poprečnog preseka štapa koji je opterećen na
poprečno savijanje.
Kontrolna pitanja 11
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA