Seminar: Astroteilchenphysik

TeilchenbeschleunigerVortrag: Andreas Stabaginski

Betreuer: Prof. Dr. Ch. Berger

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 31.1 Bedarf an hoheren Teilchenenergien . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Erzeugung von Sekundarstrahlen . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Linearbeschleuniger (1929) 4

3 Zyklotron (1932) 4

4 Synchrotron (1949) 64.1 Dipolmagnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.1.1 konventionelle Eisenmagnete . . . . . . . . . . . . . . . 64.1.2 Supraleitende Magnete . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.2 Fokussierende Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2.1 Quadrupolmagnete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2.2 Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2.3 Transformationsmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2.4 Quadrupol als dunne Linse . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2.5 Bahn des Teilchenpaketes . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2.6 Arbeitspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.3 Hohlraumresonatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.3.1 Phasenfokussierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.4 Speicherringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.5 Verwendete Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.6 Synchrotronstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5 Luminositat 215.1 Einzelereignis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.2 Integrierte Luminositat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.2.1 N fur e+e− → µ+µ− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6 Colliderprinzip 23

7 Ausblick 24

8 Literaturverzeichnis 24

2

1 Einleitung

1.1 Bedarf an hoheren Teilchenenergien

Die ersten Versuche mit Teilchen wurden von 1911 Rutherford durchgefuhrt,hierbei handelte es sich um α-Teilchen des naturlichen Zerfalls. Die Ener-gie der Teilchen wurde gebraucht, um den Coulombwall der Goldatome zuuberwinden.

Die Energie der Teilchen ist seit dem enorm gestiegen, und man hat immernoch den Bedarf. diese weiter zu steigern. Zum einen braucht man zur Erzeu-gung neuer Teilchen eine Energie im CMS, die mindestens der Ruheenergiedes neuen Teilchen entspricht. Bei einem Speicherring berechnet sich die-se Masse nach E = m1, allgemein gilt ECMS

ges =√

(E1 + E2)2 − (p1 + p2)2,hierbei sind Ei bzw. pi die Energien bzw. Impulse im Laborsystem. Bei-spielsweise hat das t-Quark eine Masse von mt = 174, 3 ± 5, 1GeV, somitmuss ECMS

ges > 2 ·mt = 350GeV sein.Zum anderen kann man mit hoheren Energien kleinere Strukturen auflosen.

Wichtig hierbei ist, dass man nicht mit der de Broglie - Wellenlange argumen-tieren kann. (Die relativistische Langenkontraktion wirkt der gewonnenenWellenlangenverkurzung genau entgegen.) Eine richtige Abschatzung erhaltman aber mit Hilfe der Heisenbergschen Unscharferelation ∆x ·∆p ≥ h: Dader Impuls großer als seine Unscharfe ist, und da bei v ≈ c = 1, p ≈ Egilt, erhalt man ∆x = h/E. Somit verringert man die Ortsunscharfe ∆x beiErhohung von E.

1.2 Erzeugung von Sekundarstrahlen

Ein weiterer Grund fur den Bau und Betrieb von Teilchenbeschleunigernist die Erzeugung von Sekundarstrahlen, etwa der Synchrotronstrahlung. Sowird zum Beispiel im Bereich der Festkorperphysik die sogenannte Synchro-tronstrahlung verwendet, um Proben zu untersuchen. Diese Strahlung wirdin Undulator- und Wigglermagneten erzeugt. Ebenso konnen mit Beschleu-nigern etwa Neutronenstrahlen erzeugt werden, die sich, da ungeladen, nichtdirekt erzeugen lassen.

1Mit der Konvention c = 1.

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Abbildung 1: : Linearbeschleuniger (Wideroe, 1928)

2 Linearbeschleuniger (1929)

Der erste Linearbeschleuniger wurde 1928 von Wideroe gebaut. Der Aufbaueines solchen Beschleunigers ist in Bild 1 gezeigt, er besteht aus Driftrohren,die abwechselnd mit den beiden Polen einer Hochfrequenzquelle verbundensind.

Die zu beschleunigenden Teilchen verlassen die Quelle und werden zurersten Driftrohre hin beschleunigt, sofern die Polung stimmt. Die Rohre istgerade so lang, dass die Spannung umgepolt ist, wenn die Teilchen das Rohrverlassen, dadurch sehen sie wieder eine beschleunigende Spannung. Der Vor-gang wiederholt sich von Rohre zu Rohre, der Energiegewinn zwischen zweiSpalten betragt ∆E = Uq, U ist hierbei die Spannung zwischen zwei Rohren,q die Teilchenladung.

Man sieht sofort, dass die Rohren zunachst immer langer werden: li = vi

2f,

bei v ≈ c allerdings ist die Lange konstant. Mit den damaligen Werten furdie maximale Frequenz von etwa 10MHz erhalt man schließlich lend ≈ 15m.Im Spalt konnen lediglich Spannungen von wenigen kV angelegt werden, daes sonst zu Spannungsuberschlagen kommt. Somit wird die gesamte Anlagesehr lang, man hat einen linearen Langenzuwachs bei Steigerung der Energie.Das ist ein großer Nachteil dieses Bautyps.

3 Zyklotron (1932)

Wenige Jahre nach dem Linearbeschleuniger wurde das erste Zyklotron ge-baut, die Idee geht auf Lawrence zuruck. Das Zyklotron besteht aus zwei

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Abbildung 2: : Zyklotron

D-Formigen Dosen (siehe Abbildung 2), die senkrecht von einem Magnetfelddurchsetzt werden. Zwischen den beiden Dosen liegt die Beschleunigungs-spannung U an, die wieder von einer Hochfrequenzquelle geliefert wird. Auchhier wird umgepolt, wahrend sich die Teilchen in einer Dose befinden, damitimmer eine beschleunigende Spannung anliegt. Die geladenen Teilchen wer-den in der Mitte freigesetzt, wegen des Magnetfeldes wirkt die LorentzkraftFL = qωRB, hierbei bezeichnet ω die Umlauffrequenz des Teilchens und Rden Bahnradius. Diese Kraft entspricht der Zentripetalkraft Fz = γmω2R,γ = E/m ist der Lorentzfaktor. Somit erhalt man fur die Umlauffrequenzder Teilchen in einem Zyklotron:

ω =e

γmB.

Im nichtrelativistischen Bereich, d.h. fur kleine Energien, ist γ nahe bei 1und konstant. Demnach ist also die Umlauffrequenz bei festem B konstant.Das bedeutet, dass die Frequenz der Hochfrequenzquelle konstant gehaltenwerden kann.

Allerdings hat das Zyklotron zwei große Nachteile. Zum einen ist bei re-

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lativistischen Energien γ > 1 6= const., damit kann entweder das Magnetfeldoder die Frequenz nicht mehr homogen gelassen werden, ein Anpassen bzw.Synchronisieren ist sehr aufwendig und teuer. Außerdem verringert sich hier-bei der erzeugte Teilchenstrom, denn es werden nun nicht mehr kontinuierlich(im Takt der Hochfrequenzquelle) Teilchen beschleunigt, sondern nur nochim Takt der Synchronisierung.

Der andere Nachteil ist die benotigte Magnetgroße. Sollen etwa Protonenauf 1GeV/c beschleunigt werden, so ist bei einer fur Protonen typischenFrequenz von fP = 15, 28MHz ein Durchmesser des Magneten von 6, 6mnotig. Solche Magnete sind sehr teuer, und die Endenergie ist hierbei nochnichtmal sehr groß. Deswegen benutzt man Zyklotrone nur bis zu bestimmtenEnergien.

4 Synchrotron (1949)

Wie man beim Zyklotron sieht, wird der Radius der Teilchenbahn zunehmendgroß. Bei Synchrotron hingegen wahlt man einen sehr großen, konstantenBahnradius. Anstelle des einen Magneten treten nun viele kleine Ablenk-magnete (siehe Abb. 3), die Bahn ist damit aus vielen kleine Kreisbogenzusammengesetzt. Mit FZ = γmv2/R = qvB = FL folgt sofort

p = qBR.

Da R = const., muss somit bei steigendem Teilchenimpuls das Magnetfeldsynchron miterhoht werden, man sieht aber auch, dass bei großen Radi-en verhaltnismaßig kleine Magnetfelder schon ausreichen, um Teilchen mitgroßem Impuls um die Kreisbahn zu lenken.

Die wichtigsten Elemente eines Synchrotrons sind:

• Dipolmagnete, die die Teilchen in die Kreisbahn zwingen

• Fokussierende Magnete um den Teilchenstrahl zu bundeln

• Hohlraumresonatoren zur Energiezufuhrung

4.1 Dipolmagnet

4.1.1 konventionelle Eisenmagnete

Fur die Ablenkung der Teilchen in einem Kreisbogen verwendet man Di-polmagnete. In Abbildung 4 ist ein klassischer Eisenmagnet dargestellt. Das

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Abbildung 3: Synchrotron

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Abbildung 4: Dipolmagnet aus Eisen

Magnetfeld in dem Spalt mit der Hohe h betragt

B =µ0nI

h.

Man sieht, dass sich das Magnetfeld einfach uber die Stromstarke I regulierenlasst. In der Praxis benutzt man den Netzstrom, hier ist f = 50Hz, d. h. essteht eine Zeit von hochstens 5ms zur Beschleunigung zur Verfugung, wennman auf Vormagnetisierung verzichtet. Andererseits werden pro Sekunde 50Teilchenpakete beschleunigt. Hierbei wird allerdings nicht bei I = 0 mitder Beschleunigung begonnen, da der Magnet noch eine Restmagnetisierungaufweist. Somit mussen die Teilchen eine gewisse Mindestenergie bei Eintrittin den Synchrotron haben. Das wird mit Vorbeschleunigern erreicht, etwaeinem Linearbeschleuniger (vgl. Abb. 3).

Bei der Beziehung fur B wird von µr = ∞ ausgegangen, das allerdingsnur der Fall fur kleine Magnetfelder ist. Wachst das Feld uber 1T an, istB nicht mehr proportional zu I, da die Sattigung des Eisens B schließlichasymptotisch gegen BMax laufen lasst. In der Praxis sind Felder großer als1T nur sehr schwer mit Eisenmagneten zu erzeugen.

4.1.2 Supraleitende Magnete

Die Alternative zu Eisenmagneten besteht in Luftspulen, da hier keine Satti-gung auftritt. Jedoch besteht hier nicht die Moglichkeit, durch Formgebungder Pole bestimmte Magnetfelder zu erzeugen. Bei Betrachtung der Strom-verteilung eines Zylindermantels stellt man aber fest, dass sich ein Magnet-feld m-ter Ordnung durch eine Stromverteilung des Mantels gemaß I(φ) =

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Abbildung 5: Erzeugung eines Dipolfeldes via Luftspule

I0 cos(mφ) erzeugen lasst. Somit erhalt man zum Beispiel fur m = 1 (Dipol-feld) I(φ) = I0 cos(φ), und hierbei ist:

Bz = −µ0I0

2a, By = Bx = 0.

Die Stromverteilung ist links in Abb. 5 dargestellt, rechts ist die technischeRealisierung dargestellt. Die kontinuierliche Stromverteilung wird durch dieeinzelnen Spulenstrange angenahert, hierbei verwendet man zwei Lagen undAbstandsstucke, in denen kein Strom fließt. Mit dieser einfachen Methodeist es moglich, sehr genaue Felder zu erzeugen, die Feldfehler sind kleiner als10−4.

Eine weitere Schwierigkeit bei der Verwendung von Luftspulen besteht inden erforderlichen hohen Stromdichten. Da Felder die großer als 1T sinderzeugt werden sollen, sind hohe Stromdichten erforderlich: Soll etwa imAbstand von 5cm ein Feld von 5T erzeugt werden, so ist ein Strom vonI = 1, 2 · 106A notig, bei einem Leiterdurchmesser von 3cm betragt dieStromdichte dI/da ≈ 1700A/mm2. Selbst gut gekuhlte Kupferspulen aller-dings verkraften keine Stromdichten uber 100A/mm2.

Somit verwendet man supraleitende Spulen, in denen der Strom verlust-frei fließen kann. Hier muss die Spule auf eine Temperatur unterhalb derSprungtemperatur des Spulenmaterials gebracht werden, man verwendet zumKuhlen flussiges Helium. Als Supraleiter kommt Niob-Titan zum Einsatz, die

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Betriebstemperatur betragt 4, 6K. Wegen des Meissner-Ochsenfeld-Effektesfließt der Strom nur an der Oberflache des Leiters, somit vergroßert manden Querschnitt, indem viele kleine (einige tausend) Filamente zu einem Lei-ter gebundelt werden, diese Leiter werden zu den rechteckformigen Kabelnzusammengefasst die in Abb. 5 erkennbar sind.

4.2 Fokussierende Elemente

Oben wurde als Beispiel der Betrieb der Magnete mit Netzstrom genannt,es steht dann eine Zeit von 5ms zur Verfugung. In dieser Zeit legen die Teil-chen mit v ≈ c (diese Geschwindigkeit wird sehr schnell erreicht sein) eineStrecke von 1500km zuruck. Hierbei wurden selbst kleinste Abweichungendazu fuhren, dass die Teilchen auf die Rohre treffen und damit verloren ge-hen.

4.2.1 Quadrupolmagnete

Zur Fokussierung des Teilchenstrahles verwendet man Quadruplomagnete,der Feldverlauf ist in Abb. 6 skizziert. Es gilt: Bx = gy, By = gx, Bz = 0,,wobei g der Feldgradient ist, fur ihn gilt g = 2µ0nI/a2 bei einem Eisen-magneten mit n Windungen, und g = µ0I0

2a2 bei einer supraleitenden Spule.Hierbei bezeichnet a im ersten Fall den Abstand des Pols vom Ursprung, imzweiten den Durchmesser des Zylinders. Mit der Lorentzkraft FL = qv ×Berhalt man somit als Kraft auf die Teilchen:

FL,x = −qcBy, FL,y = qcBx, FL,z = 0.

FL,x und FL,y haben unterschiedliche Vorzeichen, FL,x sorgt somit bei positivgeladenen Teilchen fur eine Fokussierung, gleichzeitig fuhrt FL,y zur Defo-kussierung. Um also einen Teilchenstrahl sowohl in der x− z als auch in dery−z-Ebene zu fokussieren, bedarf es immer zwei hintereinander geschaltetenQuadrupolmagneten. Hierbei wirken zwei gleichstarke nacheinander geschal-tete Magnete insgesamt noch fokussierend, ihre Wirkungen heben sich alsonicht auf. Da FL,z = 0, beeinflusst der Quadrupolmagnet die Teilchen nichtin Flugrichtung.

4.2.2 Bewegungsgleichung

Im folgenden wird nun die Bewegungsgleichung der Teilchen im Beschleu-niger hergeleitet, dabei werden nur Quadrupolfelder berucksichtigt. Aus der

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Abbildung 6: Feld eines Quadrupolmagneten

Abbildung 7: Ablenkung der Teilchenbahn

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Lorentzkraft folgt px = −qcgx. Fur die Steigung x′ der Teilchenbahn (vgl.Abb. 7) gilt:

x′ =px

pz

≈ px

|p|,

da in guter Naherung der Impuls in Flugrichtung dem Betrag des Gesam-timpulses entspricht. Mit dz = vdt ≈ cdt erhalt man schließlich

px = cdpx

dz= c|p|d

2x

dz2= −ecgx,

und mit k = eg/|p|x′′(z) = −kx(z).

Die Bewegungsgleichung entspricht in der Optik der Gleichung einer Zylin-derlinse in der achsennahen Naherung (d.h. tan ϕ = ϕ). Sofern man hohereMagnetfeldordnungen nicht vernachlassigt, hat die Bewegungsgleichung fol-gende Struktur:

x′′ = −kx + k1x2 + k2xx′ + k3x

′2 + · · ·︸ ︷︷ ︸Linsenfehler

+kc∆p

p.

Der ∆p/p-Term ist in der Optik fur die chromatischen Linsenfehler verant-wortlich, und wird dort so gut wie immer korrigiert.

4.2.3 Transformationsmatrizen

Die Losung der Bewegungsgleichung lasst sich elegant in Form einer Matrixausdrucken: (

xx′

)= M

(x0

x′0

),

wobei die Matrix M fur eine freie Strecke folgende Struktur hat:

M0 =

(1 l0 1

),

wie man durch Einsetzten sofort sehen kann. Die Bewegungsgleichung istleicht zu losen, da es sich um die Schwingungsgleichung handelt. Fur einen fo-kussierenden Quadrupolmagneten der Lange L erhalt man mit der AbkurzungΩ = L

√|k| also:

Mf =

(cos Ω 1√

ksin Ω

−√

k sin Ω cos Ω

),

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und fur einen defokussierenden

Md =

(cosh Ω 1√

|k|sinh Ω

−√|k| sinh Ω cosh Ω

).

Das Magnetfeld in einem Dipolmagneten lenkt die Teilchen nur um die Kurve,deshalb legt man das Koordinatensystem entlang dieser Sollbahn bzw. Orbit.Damit ist die Matrix fur einen Dipolmagneten identisch mit der der freienWegstrecke. Die Koordinaten fur eine aus verschiedenen Teilen zusammen-gesetzte Strecke erhalt man durch einfache Matrix-Matrix-Multiplikationen:M = Mf ·M0 ·Md · · · · . Damit lassen sich komplette Beschleunigerstruk-turen ausrechnen. Oftmals teilt man zum Berechnen den Beschleuniger inidentische Zellen auf, um die Anzahl der Matrizenmultiplikationen zur redu-zieren. Im ersten Schritt berechnet man die Matrix der einzelnen Zelle, imzweiten dann die Gesamtmatrix uber die Zellenmatrix.

Bei den obigen Matrizen handelt es sich um 2 × 2 Matrizen, um beideEbenen (x − z und y − z) in einer Matrix darzustellen, muss man 4 × 4Matrizen verwenden.

4.2.4 Quadrupol als dunne Linse

Wie oben bereits angedeutet, hat der Quadrupolmagnet in der Optik seinAnalogon in der dicken Zylinderlinse. Man stellt fest, dass Ω klein ist. Beieinem Teilchenimpuls von |p| = 10GeV/c und einem Feldgradienten vong = 1T/m erhalt man bei einem 1m langem Magneten:

k =eg

p=

e · 3 · 108m/s

10 · 109eV· 1T

m= 3 · 10−2/m2 ⇒ Ω =

√kL ≈ 0, 17

Somit gilt naherungsweise fur Mf :

Mf =

(1 L

−kL 1

).

Die Matrix lasst sich, unter der Annahme Ω2 ≈ 0 wie folgt als Produkt dreierMatrizen schreiben:

=

(1 L/20 1

)(1 0

−1/f 1

)(1 L/20 1

),

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hierbei bezeichnet 1/f = kL. Die mittlere Matrix entspricht der einer dunnenLinse, die beiden außeren sorgen dafur, dass diese dunne Linse eine Breite vonzweimal L/2 hat. Zur Verdeutlichung, dass es sich bei der mittleren Matrixum eine dunner Linse handelt, kann man die Punkt-zu-Punkt Abbildungbetrachten. Hier gilt fur das Matrixelement M12 = 0, da x = M11x1 + M12x

′1

und x darf bei einer Punkt-zu-Punkt Abbildung nicht von x′1 abhangen. Nun

gilt bei Abstand a vor und b hinter der Linse:

M12 = a + b− ba/f = 0 ⇒ 1

f=

1

a+

1

b.

Das ist gerade die Linsengleichung, somit wirkt ein Quadrupolmagnet insge-samt tatsachlich wie eine dunne Linse.

4.2.5 Bahn des Teilchenpaketes

Von Interesse beim Teilchenbeschleuniger ist die Bahn des gesamten Teil-chenpaketes. Seine Bewegungsgleichung erhalt man aus der Gleichung furein Teilchen, wenn man den Parameter k abhangig von z macht:

x′′(z) + k(z)x(z) = 0.

Das ist eine Bewegungsgleichung vom Hill’schen Typ, deren Losung lautet:

x(z) =√

εβ(z) cos (Ψ(z) + Φ).

Hierbei ist Ψ(z) =z∫0

dσβ(σ)

, ε und Φ sind Integrationskonstanten.√

εβ(z) ist

Einhullende aller Teilchenbahnen, siehe Abb.8. Diese Einhullende gibt so-mit auch den geforderten Rohrenquerschnitt vor, denn in

√εβ(z) ist die 1σ

Breite, d.h. in dieser Flache liegen 68% des Teilchenpaketes. Damit nach denzahlreichen Umlaufen so gut wie keine Teilchen verloren gehen, muss man denQuerschnitt mindestens 7-mal so groß wahlen wie die Einhullende vorgibt.Da die Betafunktion bezuglich des Umfanges periodisch ist, β(z) = β(z+U),wandert die Einhullende nicht.

Die Bahnfunktion x(z) fuhrt also Schwingungen um den Orbit aus, dieEinhullende aller dieser Schwingungen laßt sich uber die Betafunktion β(z)berechnen. Im allgemeinen Fall gibt es zwar keine Losung fur β(z), aberbei einer periodischen Anordnung der Magnete schon. Somit kann man dieBetafunktion bei einem Kreisbeschleuniger berechnen, das Ergebnis kann mit

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Abbildung 8: Betafunktion als Einhullende

Hilfe der Teilchenbahnmatrizen ausgedruckt werden. Die Berechnung wird imWille durchgefuhrt ([2]), das Ergebnis lautet:

B1 = M ·B0 ·MT ,

wobei B0 die Matrix am Ort 0 ist, etwa beim Eintritt in den Beschleuniger.Sie hat folgende Struktur:

B =

(β −α−α γ

),

hier ist α = β′/2 und γ = (1 + α2)/β. B0 ist durch den Vorbeschleunigervorgegeben, somit kann man dann die B an jedem Ort des Beschleunigersermitteln, eine alternative Darstellung des Ergebnisses benutzt die Matrix-elemente der Teilchenbahnmatrizen:

β = m211β0 − 2m12m11α0 + m2

12γ0.

Ebenso kann man α und γ durch die Matrixelemente ausdrucken, man erhaltdann eine neue Matrix T, so dass gilt: β

αγ

= T

β0

α0

γ0

.

Um den Beschleuniger zu entwerfen, hat man als Vorgaben jedoch die Be-tafunktionen am Anfang (durch den Vorbeschleuniger) und am Ende (etwa

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durch den Eintritt in einen Speicherring) vorgegeben. Dafur ist es komforta-bel, die Teilchenbahnmatrix in Abhangigkeit der Betafunktion zu schreiben:

M =

( √β/β0(cos Ψ + α0 sin Ψ)

√ββ0

(α0−α) cosΨ−(1+α0α) sin Ψ√ββ0

√β0/β(cos Ψ + α sin Ψ)

).

4.2.6 Arbeitspunkt

Das Teilchepaket hat eine Betatronschwingung durchgefuhrt, wenn Ψ(s) ge-rade um 2π gestiegen ist, dann ist der Cosinus eine Periode durchlaufen. DieAnzahl der Betatronschwingungen pro Umlauf berechnet sich wie folgt:

Q =1

2π

∫ s+U

s

dσ

β(σ).

Die Zahl Q nennt man Arbeitspunkt des Beschleunigers, sie ist eine sehrwichtige Große im Beschleunigerbau. Man kann leicht einsehen, dass derArbeitspunkt nicht ganzzahlig sein sollte, da sich sonst Feldfehler verstarken:

x(z + U) =√

εβ(z + U) cos(Q · 2π + Ψ(z) + Φ).

Da β(z + U) = β(z), und da Q · 2π keine Anderung des Cosinus bewirkt,ist dann x(z + U) = x(z). Dadurch allerdings addieren sich Abweichungenbei jedem Umlauf auf, und selbst kleinste Feldfehler wurden durch die ex-trem vielen Umlaufe zu Teilchenverlust fuhren. Man kann allgemein zeigen,dass Q/m = 1, 2, 3, . . . gerade Feldfehler der m-ten Ordnung verstarken. DerArbeitspunkt ist also eine wichtige Große, um Teilchenverlust zu vermeiden.Erschwerend kommt hinzu, dass sich bei hohen Raumladungsdichten der Ar-beitspunkt verschiebt, der sogenannte Q-Shift, und damit ein anfangs stabileKonfiguration instabil wird und verloren geht.

Den Arbeitspunkt gibt es naturlich auch fur die y-Koordinate, insgesamtspricht man vom horizontalen und vertikalen Arbeitspunkt. Diese sind imNormalfall nicht identisch, ebenso gibt es Kopplungen zwischen den beidenBetatronschwingungen. Die zu Teilchenverlust fuhrende Resonanzbedingunglasst sich schreiben als

mQx + nQy = i,

hier sind m, n und i naturliche Zahlen. Die Summe o = |m|+|n| bestimmt dieOrdnung der Resonanz. Die Starke der Resonanzen nimmt mit wachsendemo schnell ab, es reicht i. Allg., die ersten funf zu berucksichtigen.

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Abbildung 9: TM01-Mode bei einem rundem Hohlleiter

4.3 Hohlraumresonatoren

Schließlich will man den Teilchen noch Energie zufuhren, was mit Hohlraum-resonatoren (engl. Cavities) geschieht. Bei hoheren Frequenzen ist die Be-trachtung der Beschleunigungsstrecke als Kondensator einer Hochfrequenz-quelle nicht ausreichend, denn bei hohen Frequenzen entstehen elektroma-gnetische Wellen. Ein Hohlleiter besteht aus einem meist rechteckigem oderrundem Metallrohr, in dem sich die elektromagnetischen Wellen ausbreiten.Durch die Randbedingungen fur die Welle (die senkrecht zur Wand stehendenelektrischen Felder mussen verschwinden) erhalt man verschiedene Feldkon-figurationen (oder Moden) fur die Welle. Im Beschleunigerbau verwendetman meistens die TM01-Mode, siehe Abb. 9. TM steht hier fur Transversal-Magnetisch, das heißt insbesondere, dass das elektrische Feld in Ausbrei-tungsrichtung ausgerichtet ist.

Wenn man nun den Hohlleiter an den Enden verschließt, kommt es zuResonanzen und es bilden sich stehende Wellen aus. In Abb. 10 ist ein Hohl-raumresonator skizziert, man benutzt das senkrecht zur Ausbreitungsrich-tung stehende elektrische Feld, um die Teilchen zu beschleunigen. Bei einemrunden Resonator betragt die Resonanzwellenlange λ = πD/2, 4048, damitkann uber c = f ·λ die Frequenz errechnet werden. Die 2, 4048 ist die ersteNullstelle der Besselfunktion, sie erhalt man durch losen der Wellengleichungdes runden Hohlleiters, die Lange des Resonators kann frei gewahlt werden.Die zugefuhrte Energie berechnet sich hier wieder uber ∆E = qU .

Beim DESY etwa hat man einen Durchmesser von D = 462mm gewahlt.Damit erhalt man eine Frequenz von f = 497MHz, sie liegt unter der gewun-schten Arbeitsfrequenz von 500MHz. Die Feineinstellung erreicht man ubersogenannte Abstimmstempel, die in den Resonator hineingefahren werden

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Abbildung 10: Prinzip eines Hohlraumresonators

konnen. Das macht man, da der Durchmesser beim Bau des Resonators nichtso exakt gemacht werden kann. Der Energietransport zum Holraumresonatorgeschieht oft mit Rechteckhohlleitern, da hier die Verluste am kleinsten sind.

In Bild 11 ist ein Mehrkammerhohrraumresonator dargestellt. Dieser be-steht aus funf Beschleunigungsstrecken, wobei nur an einer Stelle die Hoch-frequenz eingekoppelt wird, und ist komplett aus Kupfer hergestellt. DieAusbreitung zu den anderen Zellen geschieht uber die Koppelschlitze. ZweiZellen sind mit Abstimmstempeln ausgestattet, damit kann die Arbeitsfre-quenz des Resonators eingestellt werden. Trotz des komplizierteren Aufbausist der technische Aufwand viel kleiner, als bei der Verwendung von funfeinzelligen Resonatoren. Die Arbeitsfrequenz betragt 500MHz, die LeistungPHF = 125kW.

4.3.1 Phasenfokussierung

Mit Hilfe der beschleunigenden Bauelemente wird eine weitere Art der Teil-chenstrahlfokussierung realisiert, die sogenannte Phasenfokussierung. Die Pha-senfokussierung korrigiert ∆p/p-Abweichungen, so dass der Teilchenstrahlnicht verschmiert. Da der Resonator schwingt, gilt fur die zugefuhrte Ener-gie allgemein E = qU sin θ, hier ist θ die Phase der Spannung. Nun wahltman fur die Teilchen auf der Sollbahn, also diejenigen mit ∆p/p = 0, denWinkel θS nicht π (was ja maximalem Energiezuwachs entsprache), sondernπ < θS < 2π. Teilchen mit weniger Energie, also solche mit ∆p/p < 0,durchfliegen gemaß R = p

eBeine Bahn mit kleinerem Radius und sind somit

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Abbildung 11: Mehrkammerhohlraumresonator

Abbildung 12: Phasenfokussierung

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eher beim Resonator. Damit ist der Energiezuwachs E = eU sin θ fur dieseTeilchen hoher, und die Impulsabweichung wird korrigiert, siehe Abb. 12.Die Teilchen mit ∆p/p > 0 bekommen analog weniger Energie. Insgesamtschwingen die Teilchen damit um die Sollbahn, diese Schwingung heißt Syn-chrotronschwingung. Diese Schwingungen halt das Teilchenpaket stabil imBeschleuniger, und sorgt dafur, dass das Magnetfeld unkompliziert erhohtwerden kann.

4.4 Speicherringe

In einem Speicherring verweilen die Teilchen mehrere Stunden, und an be-stimmten Wechselwirkungspunkten kommt es bei jedem Umlauf der Teilchenzu Kollisionen. Um die Teilchen so lange in der Maschine zu halten, ist esnotig ein Ultrahochvakuum zu erzeugen, damit die Teilchen nicht mit Resta-tomen in der Rohre zusammenstoßen und verloren gehen. Das ist der Grund,warum die Speicherringe erst ab 1961 gebaut werden konnten, die Druckemussen kleiner als 10−7Pa sein. Die andere Schwierigkeit ist die notige Fo-kussierung, auch hier ist eine viel hohere Genauigkeit als beim Synchrotronerforderlich. Beim Speicherring wird den Teilchen nur noch die Energie zu-gefuhrt, die sie bei ihrem Umlauf verloren haben, es findet keine Steigerungder Energie statt. Haufig macht man es sich zunutze, dass man im gleichenRing Teilchen und Antiteilchen umlaufen lassen kann. Sie umkreisen denRing dann gegenlaufig, da ja ihre Ladungen gerade umgekehrt sind.

4.5 Verwendete Technik

Die Tabelle 1 zeigt fur einige Beschleuniger die verwendete Technik.

4.6 Synchrotronstrahlung

Es wurde erwahnt, dass bei einem Speicherring nur die pro Umlauf verlorengegangene Energie nachgefuhrt wird. Die Energie geht dadurch verloren, dassdie geladenen Teilchen durch die Kreisbahn beschleunigt werden, und deshalbEnergie abstrahlen.Die abgestrahlte Energie pro Umlauf berechnet sich nach

∆E =4παhc

3· γ

4

R.

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Name VerwendeteTeilchen

Technik Endenergie

HERA Elektronen &Protonen

e-Ring konven-tionell, p-Ringsupraleitend

e: 30GeV, p:820GeV

LEP Elektronen &Positronen

konventionelleMagnete, Cavi-ties supraleitend

e+ − e− mit je100GeV

LHC Protonen komplett supra-leitend

p−p mit je 7TeV

Tabelle 1: Ubersicht uber einige Beschleuniger

E ∆E70GeV 708MeV100GeV 3GeV

Tabelle 2: Energieverlust bei LEP

Die Synchrotronstrahlung spielt nur bei Elektronen eine wichtige Rolle, dasie eine sehr geringe Masse haben. Bei Protonen etwa, die eine knapp 2000-mal hohere Masse besitzen, ist die Abstrahlung um etwa ∆EP

∆Ee= 1, 1 · 1013

unterdruckt. Bei der Synchrotronstrahlung geht die Teilchenenergie zur vier-ten Potenz ein, und eine Vergrosserung des Radius hat keinen großen Nutzen.Im Tabelle 2 sind Werte fur den LEP-Speicherring aufgetragen, der Radiusbetrug 3000m. Die hohe Energie, die pro Umlauf nachgefuhrt werden musste,erklart die Verwendung von supraleitenden Cavities.

5 Luminositat

5.1 Einzelereignis

Die wichtige Maschinengroße, die dem Experimentalphysiker Auskunft uberdie Teilchenrate N eines Experimentes gibt, ist die Luminositat. Es gilt furdie Teilchenrate folgende Beziehung:

N = σL.

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Abbildung 13: Zur Luminositat

Hierbei ist σ Wirkungsquerschnitt der Reaktion, er hangt von der Reaktionab, und ist durch die Natur vorgegeben, und L ist die Luminositat. Fur dieLuminositat eines Colliders gilt:

L =1

4πbN1N2

σxσy

fu = fubN1N2

4√

εxβ∗xεyβ∗

y

,

die in der Beziehung stehenden Großen sind in Abb. 13 eingezeichnet.σx und σx sind die Querschnitte des Teilchenpaketes im Wechselwirkungs-

punkt, daher fließt die Betafunktion in die Luminositat ein, da wie obenerwahnt,

√εβ die Einhullende des Teilchenpaketes ist. fu ist die Umlauffre-

quenz, und b die Anzahl der Teilchenpakete im Ring. Somit kann die Lumi-nositat erhoht werden, indem man die Anzahl der Teilchen im Paket steigert,oder die Anzahl der Teilchenpakete im Ring. Alternativ kann man den Strahl-querschnitt verringern, so wird im Wechselwirkungspunkt die Betafunktionauf wenige cm verringert, (statt in Meterbreich, wie im Rest des Ringes). Be-grenzende Große bei der Steigerung der Luminositat sind die Raumladungsef-fekte, die bei Verkleinerung des Strahlquerschnittes auftreten. Dadurch wer-den die Teilchen des kollidierenden Teilchenpaketes soweit abgelenkt, dasssie keine stabile Bahn mehr haben, und damit an die Rohrenwand geratenund verloren gehen. Starker ist jedoch der Effekt, dass sich bei steigenderRaumladung der Arbeitspunkt verschiebt (Q-Shift). Dadurch wandert der

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Arbeitspunkt einer Resonanz zu und es kommt durch Feldfehlerverstarkungunweigerlich zu Verlust.

5.2 Integrierte Luminositat

Die Luminositat selbst variiert fur gangige Speicherringe zwischen 1030 −1032 1

cm2s, und gibt nicht direkt daruber Auskunft, wieviele Ereignisse pro Jahr

fur eine bestimmte Reaktion zu erwarten sind. Das jedoch tut die integrierteLuminositat:

LInt =

∫Meßzeit

Ldt.

Die integrierte Luminositat braucht nur noch mit dem Wirkungsquerschnittmultipliziert zu werden, und man erhalt die Anzahl der Ereignisse pro Mes-szeit.

5.2.1 N fur e+e− → µ+µ−

Zur Berechnung der Ereignisanzahl wird zuerst LInt berechnet. Als Beispielseien hier die Daten vom LEP angefuhrt: 1999 war der Strahl 1632 Stundenim Lauf, und die durchschnittliche Luminositat betrug 50, 2 · 1030 1

cm2s. Die

Strahlenergie betrug 100GeV. Damit folgt

LInt = 1632 · 3600 · 50, 2 · 1030 1

cm2= 2, 95 · 1038 1

cm2= 295pb−1.

Der Wirkungsquerschnitt der Reaktion e+e− → µ+µ− betragt σ = 21, 17 nbE2 ,

hier muss E in GeV eingesetzt werden. Damit erhalt man eine Rate von

N =21, 17nb

1002· 295pb−1 = 624

Ereignissen pro Jahr. Daran erkennt man, wie wichtig es ist die Luminositatso groß wie moglich zu machen.

6 Colliderprinzip

Schließlich soll noch an einem kurzen Beispiel der Vorteil des Colliderprinzi-pes verdeutlicht werden. Bei dem Collider treffen zwei Teilchenstrahlen ge-geneinander, anstelle eines Teilchenstrahles, das auf ein festes Target geschos-sen wird. Bei HERA wurde ein Elektronenstrahl mit einem Protonenstrahl

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zur Kollision gebracht. Die Energien der Strahlen betrugen pe = 30GeV/cfur die Elektronen und pp = 820GeV/c fur die Protonen. Mit

ECMSGes =

√(E1 + E2)2 − (p1 + p2)2

erhalt man eine Energie im Schwerpunktsystem von 314GeV. Wenn manstattdessen die Elektronen auf ruhende Protonen geschossen hatte, dann warehierfur ein Elektronenimpuls von pe = 52TeV/c notig gewesen! Den wird manmit Kreisbeschleunigern wegen der Synchrotronstrahlung jedoch nie erzeugenkonnen.

7 Ausblick

Zur Erzeugung von noch hoheren Energien im CMS wird man keine Elek-tronen mehr im Kreisbeschleuniger verwenden konnen, da die abgestrahlteEnergie nicht mehr nachgefuhrt werden kann. Stattdessen konnte man Myo-nen verwenden, hier ist wegen der etwa 200-Mal großeren Masse die Synchro-tronstrahlung um etwa 109 unterdruckt. Problematisch bei Myonen ist diekurze Lebensdauer von 2, 2 · 10−6s.

Konkrete Plane bestehen bei der Verwendung eines Linearbeschleunigers,um Elektronen zu beschleunigen. Beim TESLA, dass in Hamburg beim DESYgebaut werden soll, mussen dabei hohe Energiegradienten erreicht werden,um die Maschine so kurz wie moglich zu halten. Beim CERN wird zur Zeitder LHC aufgebaut, ein Proton-Proton Collider. Hierbei kann die Synchro-tronstrahlung vernachlassigt werden, und die geplante Strahlenergie betragt7TeV pro Strahl. Die Luminositat wird bei L = 1034cm−2s−1 liegen.

8 Literaturverzeichnis

Literatur

[1] Berger: Elementarteilchephysik; Springer Verlag 2001.

[2] Wille: Physik der Teilchenbeschleuniger und Sunchrotronstrahlungsquel-len; Teubner 1992.

[3] Hinterberger: Physik der Teilchenbeschleuniger und Ionenoptik; SpringerVerlag 1997.

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[4] Particle Physics Booklet; Springer Verlag 2000.

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