teknik counting 2
TRANSCRIPT
2
Cakupan Materi dan Capaian Belajar
Materi mencakup fungsi pembangkit dan prinsipInklusi-Eksklusi beserta aplikasinya
Capaian Belajar: 1. Menggunakan fungsipembangkit
2. Memahami prinsipinklusi-eksklusi besertapenerapannya
FUNGSI PEMBANGKIT
Pengantar
Fungsi pembangkit digunakan untukmerepresentasikan barisan secaraefisien dengan mengkodekan suku-suku barisan sebagai koefisien dalamderet pangkat suatu variabel x .
Definisi 1
Fungsi pembangkit (generating function)
untuk barisan bilangan real: a0, a1, …, ak, …
adalah deret tak hingga:
.......)(0
10
k
k
k
k
k xaxaxaaxG
CATATAN: Definsi dari fungsi pembangkit di
atas biasa dikenal sebagai fungsi pembangkit
biasa dari {ak}
Contoh 1
6
a. Fungsi pembangkit dari barisan {an} dengan ak = 5 adalah
0
)3(k
kxk
k
k
k x
0
3
0
5k
kx
b.Fungsi pembangkit dari barisan {an} dengan ak = k+3 adalah
c. Fungsi pembangkit dari barisan {an} dengan ak = 3k
adalah
Deret Kuasa
Deret tak hingga berbentuk
Disebut deret kuasa. Bila terdapatbilangan positif R sedemikian hinggaderet ini konvergen untuk setiap xdengan │x│< R, maka R disebutradius kekonvergenan.
7
.0
k
k
k xa
Deret McLaurin
f(x)
8
...)0('''!3
1
)0(''!2
1)0(')0(
)0(!
1
3
2
)(
0
xf
xfxff
xfk
kk
k
Deret McLaurin
9
...!3
1
!2
11
!
1.1 32
0
xxxxk
e k
k
x
...11
1.2 32
0
xxxxx k
k
...321)1()1(
1.3 2
02
xxxkx k
k
10
11
Contoh 2
Fungsi pembangkit dari barisan
1,1,1,1,1,1,...adalah:
12
)1(
1...1)(
0
32
xxxxxxG
k
k
Contoh 3
Tentukan fungsi pembangkit dari barisan: 1,3,9,27,81,...
13
Solusi
Barisan yang diberikan dapat ditulisulang menjadi
maka,
,...,3,3,3,3,3 43210
0
32
)31(
13...3333)(
k
kk
xxxxxxG
Contoh 4
14
Tentukan fungsi pembangkit daribarisan
1, 1, 1, 1, 1, 1 Solusi
Perhatikan bahwa
adalah fungsi pembangkit dari barisan1,1,1,1,1,1. Dengan menggunakanderet kuasa, dapat kita tuliskansebagai berikut:
54321 xxxxx
...)(...)1( 87665432 xxxxxxxxx
Solusi (lanjutan)
15
)1(
1
)1(
1.
)1(
1
...)1()1(
1
6
6
326
x
x
xx
x
xxxxx
Jadi, G(x) adalah fungsi
pembangkit barisan 1,1,1,1,1,1
)1(
1 6
x
x
.)()(
dan)()()(
:maka,)(dan)(Misal
0 0
0
00
k
kk
j
jkj
k
k
kk
k
k
k
k
k
k
xbaxgxf
xbaxgxf
xbxgxaxf
Definisi 2
Contoh 5
17
Misal f(x) = 1/(1-x)2.
Tentukan koefisien a0, a1, … dalam ekspansi
0
)(k
k
k xaxf
.)1(1)1(
1
)1(
1
)1(
1
00 02
k
k
k
kk
j
xkxxxx
Solusi:
1 kakJadi,
18
Misalkan u bilangan real dan k bilangan
bulat tak-negatif.Maka koefisien binomial
diperluas didefinisikan sebagai:
.0jika,1
,0jika,!
)1)...(1(
k
kk
kuuu
k
u
Definisi: Koefisien Binomial Diperluas
Koefisien Binomial Diperluas
Pada koefisien binomial diperluas , apabila u adalahbilangan negatif, maka bentuk koefisien binomialdiperluas ini dapat dituliskan dalam bentuk yangsederhana sebagai berikut
19
k
u
),1()1(1
)1(
)!1(!
)!1()1(
!
)...2)(1()1(
!
)1)...(1()1(
!
)1)...(1)((
kknCk
kn
nk
kn
k
nkuku
k
kuuu
k
kuuu
k
u
kk
k
k
k
Teorema Binomial Diperluas
Misal x bilangan real dengan |x| < 1dan u bilangan real. Maka,
.)1(0
k
ku xk
ux
Catatan.Jika u merupakan bilangan bulat positif,maka teorema binomial diperluas inimenjadi teorema binomial.
APLIKASI FUNGSI PEMBANGKIT
22
Tentukan banyaknya solusi bulat dari persamaan e1 +e2 + e3 = 17, bila n1, n2 dan n3 bilangan bulattaknegatif dengan 2 e1 5, 3 e2 6 dan 4 e3 7.
Solusi.
Banyaknya solusi dinyatakan oleh koefisien x17 dalam ekspansi:
(x2+x3+x4+x5) (x3+x4+x5+x6) (x4+x5+x6+x7).
Setiap bentuk x17 dalam perkalian ini dapat diperoleh denganmengalikan
xe1 pada faktor pertama dengan
xe2 pd faktor kedua dan
xe3 pada faktor ketiga
yang memenuhi: n1 + n2 + n3 = 17.
Bila dihitung, didapat koefisien x17 adalah 3.
Jadi, ada tepat 3 solusi.
Banyaknya solusi Persamaan Linier
Penerapan Fungsi Pembangkit
23
Tentukan banyaknya solusi bulat dari persamaanberikut:
7,...3,2,1,87654321 ixnnnnnnn
Solusi:
Fungsi pembangkit yang menyatakan persamaan di atas adalah:
Banyaknya solusi dari persamaan ini dinyatakan dengan koefisiendari x8 dari ekspansi fungsi pembangkit di atas, yaitu:
7321 ...)()( xxxxG
7
00
7
7
7
732177321
7321
66
1
1
...)1(...)]1([
...)()(
k
k
k
k
xk
kx
k
kx
xx
xxxxxxxx
xxxxG
Koefisien x8 adalah pada saat k=1, yaitu C(7,1) = 7
Contoh
24
Ada berapa cara untuk membagikan 8 kue yangidentik kepada 3 anak jika setiap anak menerimasedikitnya 2 kue dan tidak lebih dari 4 kue?
Solusi.Misalkan cn: banyaknya cara membagikan n kue.Karena setiap anak menerima sedikitnya 2 kue dantidak lebih dari 4 kue, maka untuk setiap anak adasuatu faktor yang berbentuk (x2 + x3 + x4)dalam fungsi pembangkit barisan {cn}.
Karena ada 3 anak maka fungsi pembangkitnyaadalah (x2 + x3 + x4)3.Cara untuk membagikan 8 kue adalah koefisien darix8, yakni 6. Jadi, ada 6 cara untuk membagikan 8 kue kepada 3 anak tadi.
ContohTentukan banyaknya cara memilih 10 huruf dari hruf-hurufpembentuk kata CANTIK dengan syarat: huruf yang dipilih palingsedikit memuat satu huruf CSolusi:
Pertama, identifikasi terlebih dahulu objek-objek yang terlibatdalam kasus ini,yaitu huruf “C” dan “A,N,T,I,K.
Huruf “C” harus dapat dipilih minimal satu kali dan tidak adasyarat untuk huruf lainnya, maka fungsi pembangkit untuk kasusini adalah:
1
0065
52121
52121
55
)1(
1.
)1(
1
)1(
1
...)1(...)1(
...)1(...)()(
k
k
k
k
xk
kx
k
kx
xx
xxx
xxxxx
xxxxxG
Banyak cara memilih 10 huruf dengan syarat diberikan adalahkoefisien x10, pada saat k = 9, yaitu C (14,9)
PRINSIP INKLUSI-EKSKLUSI
27
Ada berapa anggota dalam gabungan dua
himpunan hingga?
|A1 A2| = |A1| + |A2| - |A1 A2|
Contoh
28
Ada berapa bilangan bulat positif lebih kecil atau
sama dengan 100 yang habis dibagi 6 atau 9?
Solusi:
Misalkan A: himpunan bilangan bulat dari 1 sampai 100
yang habis dibagi 6
B: himpunan bilangan bulat dari 1 sampai 100
yang habis dibagi 9.
Dengan menggunakan prinsip inklusi-eksklusi, banyaknya
bilangan bulat dari 1 sampai 100 yang habis dibagi 6 atau 9
adalah
2251116
18/1009/1006/100
||||||||
BABABA
Misalkan ada 1467 mahasiswa angkatan 2015 di Universitas X.
97 orang di antaranya adalah mahasiswa jurusan Informatika, 68
mahasiswa jurursan Matematika, dan 12 orang mahasiswa
double degree Informatika dan Matematika. Ada berapa orang
yang tidak kuliah di Departemen Matematika atau Informatika?
.Solusi.
Misalkan A: himpunan mahasiswa Universitas X angkatan2015 jurusanI informatika
B: himpunan mahasiswa Universitas X angkatan2015 jurusanI matematika
Maka |A|=97, |B|=68, dan |AB|=12.
Banyaknya mahasiswa angkatan 2004 di DepartemenInformatika atau Matematika adalah
|A B| = |A| + |B| - |A B|= 97 + 68 – 12 = 153
Jadi, terdapat 1467 – 153 = 1314 mahasiswa angkatan 2015yang tidak kuliah di jurusan Matematika atau Informatika.
Perluasan Prinsip Inklusi-Eksklusiuntuk tiga himpunan
Angka 1 merah menunjukkan daerah yang terlibatketika |A| dihitung,
angka 1 hijau menunjukkan daerah yang terlibatketika |B| dihitung,dan
angka 1 biru menunjukkan daerah yang terlibatketika |C| dihitung.
Terlihat bahwa daerah yang beririsan dihitungberulang-ulang.
|A B| dikurangkan (dua 1 merah diambil),
|A C| dikurangkan (dua 1 biru diambil), dan
|B C| dikurangkan (dua 1 hijau diambil)
Terlihat bahwa penghitungan hampir benar,
kecuali pada daerah di mana ketiga himpunan
sama-sama beririsan.
Maka perlu ditambahkan kembali|A B C|.
Perluasan Prinsip Inklusi-Eksklusiuntuk tiga himpunan
Jadi,
|A B C| = |A| + |B| + |C|
- |A B| - |A C| - |B C|
+ |A B C|
Contoh 3
Sebanyak 115 mahasiswa mengambil mata kuliahmatematika diskrit, 71 mengambil mata kuliahkalkulus, dan 56 mengambil geometri. Diantaramahasiswa tersebut, 25 mahasiswa mengambilmatematika diskrit dan kalkulus, 14 mengambilmatematika diskrit dan geometri, serta 9 orangmengambil kalkulus dan geometri. Jika terdapat196 mahasiswa yang mengambil paling sedikit satudari ketiga mata kuliah tersebut, berapa orang yangmengambil ketiga mata kuliah sekaligus?
SolusiMisalkan M : himpunan mahasiswa yang mengambil mata
kuliah matematika diskrit,
K : himpunan mahasiswa yang mengambil matakuliah kalkulus, dan
G : himpunan mahasiswa yang mengambil matakuliah geometri.
Maka |M| = 115, |K| = 71, |G| = 56,
|M K| = 25, |MD G| = 14, |KPB G| = 9, dan
|M K G| = 196
Dengan mempergunakan prinsip inklusi-eksklusi:
|M K G| = |M| + |K| + |G| - |MK| - |MG|- |KG| + |MKG|
196 = 115 + 71 + 56 - 25 - 14 - 9 + |M K G|
Jadi, |M K G| = 2
Teorema
Teorema 1. Prinsip Inklusi-Eksklusi
Misalkan A1, A2, …, An himpunan hingga,
maka
||)1(
||
||||||
21
1
1
11
221
n
n
kj
nkji
i
j
nji
i
ni
i
AAA
AAA
AAAAAA
APLIKASI INKLUSI-EKSKLUSI
Bentuk Alternatif Inklusi-Eksklusi
Misalkan S : himpunan dengan banyak anggota N.
Ai : subhimpunan yang memuat anggota dengan sifat Pi.
banyaknya anggota himpunan dengan semua sifat
maka
banyaknya anggota yang tidak memiliki sifat
maka
Berdasarkan prinsip inklusi-eksklusi, dapat dipandang bahwa:
:21 kiii PPPN
kiii PPP ,,,21
||2121 ikiiikii AAAPPPN
:''' 21 nPPPN nPPP ,,, 21
||''' 2121 nn AAANPPPN
)()1()(
)()('''
21
1
11
21
n
nkji
n
kji
nji
ji
ni
in
PPPNPPPN
PPNPNNPPPN
Menentukan Banyaknya Solusi Persamaan Linier
37
Ada berapa solusi yang dimiliki oleh x1 + x2 + x3 = 11
dengan x1, x2, x3 bilangan bulat tak negatif dan x1 3, x2 4,
dan x3 6.
Solusi.
Misalkan P1: sifat x1 > 3, P2: sifat x2 > 4, dan P3: sifat x3 > 6,
maka banyaknya solusi adalah:
)()()()(
)()()('''
321323121
321321
PPPNPPNPPNPPN
PNPNPNNPPPN
Contoh 1…
N: jumlah solusi total = C(3+11-1,11) = 78
N(P1): jumlah solusi dengan x1 4 = C(3+7-1,7) = 36
N(P2): jumlah solusi dengan x2 5 = C(3+6-1,6) = 28
N(P3): jumlah solusi dengan x3 6 = C(3+5-1,5) = 15
N(P1 P2): jumlah solusi dengan x1 4 dan x2 5 = C(3+2-1,2)
= 6
N(P1 P3): jumlah solusi dengan x1 4 dan x3 7 = C(3+0-1,0)
= 1
N(P2 P3): jumlah solusi dengan x2 5 dan x3 7 = 0
N(P1P2P3): jumlah solusi dengan x1 4, x2 5 dan x3 7 = 0
Jadi, N(P1’P2’P3’) =78 - 36 - 28 - 15 + 6 + 1 + 0 - 0 =6
Banyaknya fungsi pada
Ada berapa banyak fungsi pada dari himpunan dengan 6anggota ke himpunan dengan 3 anggota?
Solusi.
Misalkan anggota-anggota dari kodomain adalah b1, b2, danb3. Misalkan P1, P2, dan P3 adalah sifat bahwa b1, b2, dan b3tidak berada dalam range fungsi.
Karena fungsi akan pada jhj fungsi tersebut tidak memilikisemua sifat P1, P2, atau P3, maka banyaknya fungsi pada darihimpunan dengan 6 anggota ke himpunan dengan 3 anggotaadalah
)()()()(
)()()('''
321323121
321321
PPPNPPNPPNPPN
PNPNPNNPPPN
Banyaknya fungsi pada…
N: banyaknya fungsi dari himpunan dengan 6 anggota kehimpunan dengan 3 anggota = 36.
N(Pi): banyaknya fungsi yang tidak mempunyai bi dalamrange = 26.
N(Pi Pj): banyaknya fungsi yang tidak mempunyai bi dan bjdalam range = 16 = 1.
N(P1 P2 P3): banyaknya fungsi yang tidak mempunyai b1,b2, dan b3 dalam range = 0.
Jadi, banyaknya fungsi pada dari himpunan dengan 6 anggotake himpunan dengan 3 anggota adalah
36 - C(3,1) 26 + C(3,2) 1 – 0 = 540
Banyaknya fungsi pada
Teorema 1
Misalkan m dan n bilangan bulat positif dengan m n. Maka,terdapat
nm - C(n,1) (n-1)m + C(n,2) (n-2)m – … + (-1)n-1 C(n,n-1) 1m
fungsi pada dari himpunan dengan m anggota ke himpunandengan n anggota.
Pengacakan
42
Misal terdapat n elemen yang disusun pada suatu barisan dannotasi 1,2,3,...n. Selanjutnya, n elemen tersebutdipermutasikan pada barisan yang sama sedemikian hinggatidak ada satu elemen yang menempati tempatnya semula.
Misalnya, diberikan barisan 1,2,3,4.
3,1,4,2, dan 4,3,2,1, adalah contoh dari pengacakan barisan1,2,3,4. Sedangkan 3,1,2,4 bukan hasil pengacakan daribarisan 1,2,3,4, karena angka 4 menempati posisi semula.
Banyaknya Pengacakan dari n obyek
Suatu permutasi dikatakan memiliki sifat Pi jika permutasi tersebutmengakibatkan anggota i tetap pada tempatnya.
Jelas derangement dalam himpunan dengan n anggota adalah permutasiyang tidak memiliki sifat Pi, i=1,2,…,n. Jadi,
o N: banyaknya permutasi dengan n anggota = n!
o N(Pi): banyaknya permutasi yang menetapkan satu anggota= (n-1)!
o N(Pi Pj): banyaknya permutasi yang menetapkan dua anggota= (n-2)!
o N(Pi1 Pj2 …Pjm): banyaknya permutasi yang menetapkan manggota = (n-m)!
)()1()(
)()('''
21
1
11
21
n
nkji
n
kji
nji
ji
ni
inn
PPPNPPPN
PPNPNNPPPND
Banyaknya Pengacakan dari n obyek …
Karena terdapat C(n,m) cara untuk memilih m dari n
anggota, maka
o N(Pi) = C(n,1) (n-1)!
o N(Pi Pj) = C(n,2) (n-2)!
o Dan secara umum, N(Pi1 Pj2 …Pjm) = C(n,m) (n-m)!
Sehingga,
Teorema 2.
Banyaknya derangement dalam himpunan dengan n anggota
adalah
!
1)1(
!3
1
!2
1
!1
11!
nnD n
n
Masalah Hatcheck
Seorang pegawai baru di tempat penitipan topi
suatu rumah makan menerima titipan topi dari n
pengunjung, tetapi ia lupa untuk menomori topi-
topi tersebut.
Ketika para pengunjung hendak mengambil
kembali topi mereka, pegawai ini memilih secara
acak dari topi yang tersisa. Berapakah peluangnya
bahwa tidak ada seorang pun yang menerima
topinya kembali.
Solusi.
Peluang bahwa tidak ada seorang pun yang
menerima topinya kembali adalah
Jika n membesar tanpa batas.
368,011
)1(2
1
1
11
en!!!
n!
D nn
368,011
)1(lim1
en!
n!
D
n
nn
n
TERIMAKASIH
47