teleinformática e redes i comunicação de dados e representação de sinais analógicos e digitais...
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Teleinformática e Redes I
Comunicação de Dados e Representação de Sinais
Analógicos e Digitais
Aula 03
Profa. Priscila Solís Barreto
Bits, números e informação Bit: numero com valor 0 ou 1
n bits: representação digital para 0, 1, … , 2n
Byte ou Octeto, n = 8 Palavra, n = 16, 32, ou 64
n bits permitem a numeração de 2n possibilidades Campo n-bit no cabeçalho Representação de n-bits de uma amostra de voz Mensagem consistente de n bits
O número de bits requeridos para representar uma mensagem é a medida do seu conteúdo de informação Mais bits → Mais conteúdo
Bloco vs. Informação de Stream
Bloco Informação que ocorre
em um único bloco Mensagem de texto Arquivo de dados Imagem JPEG Arquivo MPEG
Tamanho = Bits / bloco
ou bytes/bloco 1 kbyte = 210 bytes 1 Mbyte = 220 bytes 1 Gbyte = 230 bytes
Stream Informação que é
produzida e transmitida continuamente Voz tempo real Streaming vídeo
Taxa de bits= bits / seg 1 kbps = 103 bps 1 Mbps = 106 bps 1 Gbps =109 bps
Receptor
Canal de Comunicação
Transmissor
Visão Abstrata da Transmissão de Dados
Propriedades do canal de comunicação:
Largura de banda
Atraso de propagação e transmissão
Jitter
Perdas/erros
Buffering
Atraso de Transmissão
Uso de compressão para reduzir LUso de modem rápido para aumentar R
Colocar servidor mais próximo para reduzir d
L numero de bits na mensagem R bps velocidade do sistema de transmissão digital L/R tempo para transmitir a informação tprop tempo para que ou sinal se propague através do meio d distancia em metros c velocidade da luz (3x108 m/s não vazío)
Delay = tprop + L/R = d/c + L/R segundos
Compressão Informação normalmente não representada de
forma eficiênte Algoritmos de compressão de dados
Representa a informação usando menos bits Sem ruido: informação original recuperada de forma
exata E.g. zip, compress, GIF, fax
Ruidoso: recuperar informação aproximadamente JPEG Balanço entre # bits e qualidade
Relação da compressão #bits (arquivo orginal) / #bits (arquivo comprimido)
Informação de Stream
Um sinal de voz de tempo real deve ser digitalizado e transmitido conforme é produzido
O nível de um sinal analógico varia continuamente não tempo
Exemplo
CD Largura de banda de 22KHz Cada amostra tem 16bits e ou sinal é amostrado
a 44kamostras/seg Em um sistema stereo (com dois canais):
44.000 amostas/seg * 16 bits/amostra x 2 canais=1.4 Mbps
Uma hora de música = 317 Mbytes de informação
Um sistema de transmissão
Transmissor Converte informação em um sinal adequado para transmissão Injeta energia não meio de comunicacação ou canal
O telefone converte voz em corrente elétrica Modem converte bits em tons
Receptor Recebe energia do méio Converte ou sinal recebido de forma adequada para ser
entregue ao usuário Telefone converte corrente em voz Modem converte tons em bits
Receptor
Canal de comunicação
Transmissor
Problemas de Transmissão
Canal de Comunicação Par de fios de cobre Cabo coaxial Radio Luz em fibra óptica Luz não ar Infravermelho
Problemas na Transmissão Atenuação do sinal Distorção do sinal Ruido Interferencia de outros
sinais
Sinal Transmitido
Sinal Recebido Receptor
Canal de Comunicação
Transmissor
Comunicações de Longa Distância Analógicas
Cada repetidor restaura ou sinal analógico à sua forma original A restauração é imperfeita
Distorção não é completamente eliminada Ruido e interferência são parcialmente removidos
A qualidade do sinal diminui com ou número de repetidores As comunicações são limitadas na distancia Ainda utilizado em sistemas analógicos de TV a cabo Analogia: Copiar uma música usando-se um gravador de fita
Fonte DestinatárioRepetidor
Segmento de transmissão
Repetidor. . .
Na transmissão digital todos os detalhes devem ser reproduzidos
Enviado
Enviado
Recebido
Recebido
• Exemplo: telefonia digial, áudio CD
Na transmissão digital somente níveis discretos devem ser reproduzidos
• Exemplos: AM, FM, TV aberta
Transmissão Analógica versus Digital
Canal de comunicação
d metros
0110101... 0110101...
Fonte Repetidor ReceptorRepetidor
Segmento de Transmissão
Em um canal de comunicação
Sinal atenuado e com distorção +ruído
Equalizador
Sinal recuperado+
Ruído residual
Repetidor
Amp.
Analógico vs. Transmissão Digital
Transmissão analógica : todos os detalhes devem ser produzidos de forma precisa
Enviado
Enviado
Recebido
Recebido
DistorçãoAtenuação
Transmissão Digital : somente níveis discretos devem ser reproduzidos
DistorçãoAtenuação
Receptor simples: O pulso original era positivo ou
negativo?
Comunicações Digitais de Longa Distancia
O regenerador recupera a sequencia original de dados e a transmite não segmento seguinte
Projetado para que a probabilidade de erro seja pequena Cada regeneração é como a primeira vez! Comunicação é possível em distâncias muito longas Sistemas digitais vs. sistemas analógicos
Menos potência, maiores distâncias, menor ou custo do sistema Monitoramento, multiplexação, codificação, encriptação,
protocolos …
Fonte DestinoRegenerador
Segmento de transmissão
Regenerador. . .
Repetidor Digital
AmplifierEqualizer
TimingRecovery
Decision Circuit.& SignalRegenerator
Digitalização de um Sinal Analógico
Amostrar ou sinal analógico em tempo e amplitude Encontrar a aproximação mais próxima
Sinal original
valor amostragem
Aproximação
Rs = Taxa de bits= # bits/amostra x # amostras/seg
3 b
its /
sam
ple
Taxa de bits de um sinal digitalizado
Largura de banda Ws Hertz: a velocidade de variação do sinal Largura de banda mais alta → amostrar mais frequentemente Taxa minima de amostragem = 2 x Ws
Precisão da representação : intervalo de aproximaçào de erro Maior precisão
→ menor espaçamento entre valores de aproximação
→ mais bits por amostra
Exemplo: Voz & Audio
Voz no telefone Ws = 4 kHz → 8000
amostras/sec 8 bits/amostra Rs=8 x 8000 = 64 kbps
Telefones celulares usam algoritmos mais poderosos de : 8-12 kbps
CD Audio Ws = 22 kHertz → 44000
amostras/seg 16 bits/amostra Rs=16 x 44000= 704 kbps
por canal de audio MP3 usa algoritmos mais
poderosos de compressão : 50 kbps por canal de audio
Transmissão de Informação de Stream Taxa constante de bits
Sinais tais como a voz digitalizada produzem um stream estável : e.g. 64 kbps
A rede deve suportar a transmissão estável do sinal, e.g. circuito de 64 kbps
Taxa variável de bits Os sinais tais como vídeo digitalizado produzem
stream que variam na taxa de bits, e.g. de acordo com a movimentação e detalhe na cena
A rede deve suportar taxa de transmissão variável do sinal, e.g. comutação de pacotes ou suavização da taxa com circuito de taxa constante de bits
Qualidade de Serviço de Stream
Problemas na transmissão de rede Atraso: A informação é entregue no tempo
certo? Jitter: A informação é entregue
suficientemente ‘suavizada’? Perda: A informação é entregue sem perdas?
Se ocorrem perdas, a qualidade do sinal é aceitável?
Aplicações e protocolos de aplicação são desenvolvidos para lidar com estes problemas
Digitalização de Sinais Analógicos
1. Amostragem: obter amostras de x(t) em intervalos uniformes de tempo
2. Quantização: mapear cada amostra em um valor de aproximação finita
Pulse Code Modulation: conversa de telefone CD audio
3. Compressão: para diminuir a taxa de bits mais adiante, aplicar um método adicional de compressão
Coding diferencial : conversa telefonia celular Codificação Subband : MP3 audio
Taxa de Amostragem e Largura de Banda Um sinal que varia mais rapidamente precisa ser
amostrada mais frequentemente Largura de Banda mede a velocidade de variação do sinal
Que é a largura de banda de um sinal ? Como se relaciona a largura de banda com a taxa
de amostragem?
1 ms
1 1 1 1 0 0 0 0
. . . . . .
t
x2(t)1 0 1 0 1 0 1 0
. . . . . .
t
1 ms
x1(t)
Canalt t
Aincos 2ft Aoutcos (2ft + (f))
Aout
AinA(f) =
Caraterização do Canal – Domínio da Frequência
1 0 0 0 0 0 0 1
. . . . . .
t
1 ms
O pulso
Canal
t0t
h(t)
td
Caraterização do Canal – Domínio do Tempo
Introdução a Séries de FourierIntrodução a Séries de Fourier
A análise de Fourier foi introduzida em 1822 no trabalho “Théorie analyitique du chaleur” para tratar da solução de problemas de valores na fronteira e na condução do calor.
Mais de século e meio depois as aplicações desta teoría são amplas: Sistemas Lineares, Comunicações, Física moderna, Eletrónica, Óptica, Processamento de Sinais, entre muitas outras.
Funções PeriódicasFunções Periódicas
Uma Função Periódica f(t) tem a seguinte propriedade para todo valor de t.
f(t)=f(t+T)
A constante mínima para a qual se cumpre o anterior é chamado do período da função
Aplicando ciclicamente a propriedade pode-se obter:
f(t)=f(t+nT), onde n=0,1, 2, 3,...
Funções PeriódicasFunções PeriódicasExemplo: ¿Cuál é o período da função
Solução.- Se f(t) é periódica então:
Mas cos(x+2k)=cos(x) para qualquer inteiro k, então para manter a igualdade é necessário que
T/3=2k1, T/4=2k2Ou seja ,
T = 6k1= 8k2onde k1 e k2 são inteiros,
O valor mínimo de T se obtém com k1=4, k2=3, ou seja,T=24
€
f(t) = cos( t3) + cos( t
4 )
€
f(t + T) = cos( t +T3 ) + cos( t +T
4 )
€
=f(t) = cos( t3) + cos( t
4 )
Funções PeriódicasFunções Periódicas
Gráfico da função
0 50 100 150 200-3
-2
-1
0
1
2
3
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
t
f(t)
24
T€
f(t) = cos( t3) + cos( t
4 )
Funções PeriódicasFunções PeriódicasPoderíamos pensar que qualquer soma de funções seno e coseno produz uma função periódica.
Isto não é assim, por exemplo, consideremos a função
f(t) = cos(1t)+cos(2t).Para que seja periódica precisamos encontrar dois inteiros m, n tais que
1T= 2m, 2T=2nonde
Ou seja, a relação 1/ 2 deve ser um número racional.
€
1
ω2
=m
n
Series de Fourier. 32
Funções PeriódicasFunções Periódicas
Exemplo: a função cos(3t)+cos(+3)t não é periódica, já que não é um número racional.
€
1
ω2
=3
3 +π
0 5 10 15 20 25 30-2
-1
0
1
2f(t)=cos(3t)+cos((3+pi)t)
t
f(t)
Funções PeriódicasFunções Periódicas
Tarefa 1 : Encontrar o período das seguintes funções, se é que são periódicas:
1) f(t) = sen(nt), onde n é um inteiro.
2) f(t)= sen2(2t)
3) f(t)= sen(t)+sen(t+)
4) f(t)= sen(1t)+cos(2t)
5) f(t)= sen(2 t)
Série Trigonométrica de FourierSérie Trigonométrica de Fourier
Algumas funções periódicas f(t) de período T podem expresar-se pela seguinte série, chamada Série Trigonométrica de Fourier
f(t) = ½ a0 + a1cos(0t)+a2cos(20t)+...
+ b1sen(0t)+b2sen(20t)+...
onde 0=2/T.
e,
])tn(senb)tncos(a[a)t(f1n
0n0n021
Série Trigonométrica de FourierSérie Trigonométrica de Fourier
É possível escrever de uma maneira ligeramente diferente a Série de Fourier, se observamos que o termo ancos(n0t)+bnsen(n0t) se pode escrever como
Podemos encontrar uma maneira mais compacta para expressar estes coeficiêntes pensando em um triângulo rectângulo:
€
an2 +bn
2 anan
2 +bn2
cos(nω0t) +bnan
2 +bn2sen(nω0t)
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
Série Trigonométrica de FourierSérie Trigonométrica de Fourier
Dessa forma, temos que :€
anan
2 +bn2
= cosθ n
bnan
2 +bn2
= senθ nan
bn
2n
2nn baC
n
)tn(sensen)tncos(cosC 0n0nn
)tncos(C n0n
Série Trigonométrica de FourierSérie Trigonométrica de Fourier
Se também definimos C0=a0/2, a série de Fourier pode-se escrever como
Assim,
e
1n
n0n0 )tncos(CC)t(f
2n
2nn baC
n
n1n a
btan
Série Trigonométrica de FourierSérie Trigonométrica de Fourier
Tarefa 2:
Definir adecuadamente os coeficiêntes C0, Cn e n, de maneira que a série de Fourier se possa escrever como
€
f (t) =C0 + Cn sen(nω0t +θ n )[ ]n=1
∞
∑
Componentes e harmônicosComponentes e harmônicos
Assim, uma função periódica f(t) se pode escrever como a soma de componentes sinusoides de diferentes frequências n=n0.
A componente sinusoide de frequência n0: Cncos(n0t+n) é chamada de n-éssimo harmônico de f(t).
O primero harmônico (n=1) é o componente fundamental e seu período é o mesmo que o de f(t)
A frequência 0=2f0=2/T é a frequência angular fundamental.
Componentes e harmônicosComponentes e harmônicos
A componente de frequência zero C0, é ou componente de corrente direta (cd) e corresponde ao valor médio f(t) em cada período.
Os coeficiêntes Cn e os ángulos n são respectivamente as amplitudes e os ángulos de fase dos harmônicos.
Series de Fourier. 41
Componentes e harmônicosComponentes e harmônicos
Exemplo: A função
Como foi mostrado tem um período T=24, sua frequência fundamental é 0=1/12 rad/seg.
Componente fundamental é da forma:
0*cos(t/12).
Terceiro harmônico:
cos(3t/12)=cos(t/4)
Quarto harmônico:
Cos(4t/12)=cos(t/3)
0 50 100 150 200-3
-2
-1
0
1
2
3
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
t
f(t)
24
€
f(t) = cos( t3) + cos( t
4 )
Series de Fourier. 42
Componentes e harmônicosComponentes e harmônicos
Exemplo: Como pode-se ver, a função anterior tem tantas partes positivas como negativas, então seu componente de cd é zero, em vez
0 50 100 150 200-3
-2
-1
0
1
2
3
f(t)=1+cos(t/3)+cos(t/4)
t
f(t)
24
€
f(t) =1+ cos( t3) + cos( t
4 )
Têm tantas partes
acima como abaixo de 1 então, seu
componente de cd é 1.
Componentes e harmônicosComponentes e harmônicos
Tarefa 3
Qual é a componente fundamental, de harmônicos diferentes de zero e o componente DC direta de
a) f(t) = sen2t
b) f(t) = cos2t ?
Mostrar o gráfico das funções e marcar nelas o período fundamental e o componente de cd.
ortogonalidade de senos e cosenosortogonalidade de senos e cosenos
Um conjunto de funções fk(t) são ortogonais no intervalo a<t<b se duas funções fm(t), fn(t) de tal conjunto cumprem
nmparar
nmpara0dt(t)(t)ff
n
b
anm
Series de Fourier. 45
ortogonalidade de senos e cosenosortogonalidade de senos e cosenos
Exemplo: as funções t e t2 são ortogonais no intervalo –1< t <1, pois
Exemplo: As funções sen t e cos t são ortogonais no intervalo –/2< t </2, pois
€
tt 2dt−1
1
∫ = t 3dt−1
1
∫ =t 4
4
1
−1
= 0
€
sentcostdt−π
π
∫ =sen2t
2
π
−π
= 0
Cálculo dos coeficiêntes da sérieCálculo dos coeficiêntes da série
Dada uma função periódica f(t), como se calcula a série de Fourier?
O primeiro passo é calcular os coeficiêntes a0,a1,a2,...,b1,b2,... e considerando a ortogonalidade das funções seno e coseno, o processo pode ficar simplificado.
€
f (t) = 12 a0 + [an cos(nω0t) +bnsen(nω0t)
n=1
∞
∑ ]
Cálculo dos coeficiêntes da SérieCálculo dos coeficiêntes da Série
Multiplicando ambos lados por cos(n0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtemos:
Similarmente, multiplicando por sen(n0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtemos:
Similarmente, integrando de –T/2 a T/2, obtemos:
€
an = 2T f (t)cos(nω0t)dt
−T / 2
T / 2
∫ n = 0,1,2,3,...
€
bn = 2T f (t)sen(nω0t)dt
−T / 2
T / 2
∫ n =1,2,3,...
€
a0 = 2T f (t)dt
−T / 2
T / 2
∫
Cálculo dos coeficiêntes da SérieCálculo dos coeficiêntes da Série
O intervalo de integração não precisa ser simêtrico respeito à origem.
Como a ortogonalidade das funções seno e coseno não só acontece no intervalo de –T/2 a T/2, se não em qualquer intervalo que cobre um período completo:
(de t0 a t0+T, com t0 arbitrário)
as fórmulas anteriores podem calcularse em qualquer intervalo que cumpra este requisito.
Series de Fourier. 49
Cálculo de os coeficiêntes da SérieCálculo de os coeficiêntes da Série
Exemplo: Encontrar a Série de Fourier para a seguinte função de período T:
Solução: A expressão para f(t) em –T/2<t<T/2 é
1f(t)
t. . . -T/2
0
T/2 T . . .
-1
2T
2T
t0para1
0tpara1)t(f
Series de Fourier. 50
Cálculo dos coeficiêntes da SérieCálculo dos coeficiêntes da SérieCoeficiêntes an:
2/T
2/T0T
2n dt)tncos()t(fa
2/T
00
0
2/T0T
2 dt)tncos(dt)tncos(
0
2/T
002/T
0
00
T2 )tn(sen
n
1)tn(sen
n
1
0npara0
Series de Fourier. 51
Cálculo dos coeficiêntes da SérieCálculo dos coeficiêntes da SérieCoeficiênte a0:
€
a0 = 2T f (t)dt
−T / 2
T / 2
∫
€
= 2T −dt
−T / 2
0
∫ + dt0
T / 2
∫ ⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
€
= 2T −t
0
−T / 2
+ tT / 2
0
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
0
Series de Fourier. 52
Cálculo dos coeficiêntes da SérieCálculo dos coeficiêntes da SérieCoeficiêntes bn:
€
bn = 2T f (t)sen(nω0t)dt
−T / 2
T / 2
∫
€
= 2T −sen(nω0t)dt
−T / 2
0
∫ + sen(nω0t)dt0
T / 2
∫ ⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
€
= 2T
1
nω0
cos(nω0t)0
−T / 2
−1
nω0
cos(nω0t)T / 2
0
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
€
1
nπ(1− cos(nπ )) − (cos(nπ ) −1)[ ]
€
=2
nπ1− (−1)n )[ ] para n ≠ 0
Series de Fourier. 53
Cálculo dos coeficiêntes da SérieCálculo dos coeficiêntes da SérieSérie de Fourier: Finalmente a Série de Fourier fica assim:
Na figura seguinte são mostrados o componente fundamental e os harmônicos 3, 5 e 7 assim como a soma parcial destes primeros quatro térmos da série para 0=, ou seja , T=2:
...)t5(sen)t3(sen)t(sen4
)t(f 051
031
0
Cálculo dos coeficiêntes da SérieCálculo dos coeficiêntes da Série
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Componentes da Série de Fourier
t
Co
mp
on
ente
s
Sumafundamentaltercer harmônicoquinto harmônicoseptimo harmônico
Cálculo dos coeficiêntes da SérieCálculo dos coeficiêntes da Série
Tarefa 4 : Encontrar a série de Fourier para o seguinte sinal senoidal retificado de meia onda de período 2.
-6 -4 -2 0 2 4 6-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Senoidal rectificada de media onda
t
f(t)
Funções Pares e ímparesFunções Pares e ímparesUma função (periódica ou não) é função par (ou com simetría par) se seu gráfico é simêtrico respeito ao eixo vertical, i. e. , a função f(t) é par se f(t) = f(-t)
f(t)
t
Funções Pares e ímparesFunções Pares e ímpares
De forma similar, uma função f(t) é função ímpar ou com simetría ímpar, se seu gráfico é simêtrico respeito à origem, ou seja, se cumpre ou seguinte: -f(t) = f(-t)
f(t)
t
Series de Fourier. 58
Funções Pares e ímparesFunções Pares e ímpares
Exemplo: Que funções são pares ou ímpares? f(t) = t+1/tg(t) = 1/(t2+1), Solução:Como f(-t) = -t-1/t = -f(t), então f(t) é função ímpar.Como g(-t)=1/((-t)2+1) = 1/(t2+1)=g(t), então g(t) é função par.
Series de Fourier. 59
Funções Pares e ímparesFunções Pares e ímpares
Exemplo: A função h(t)=f(1+t2) é par ou ímpar?, onde f é uma função arbitraria.Solução:Sea g(t)= 1+t2, então h(t)=f(g(t))Ou seja h(-t) = f(g(-t)),Mas g(-t)=1+(-t)2 = 1+t2=g(t),finalmente h(-t)=f(g(t))=h(t), então h(t) é função par, sem importar como seja f(t).
Series de Fourier. 60
Funções Pares e ímparesFunções Pares e ímpares
Exemplo: De acordo com o exemplo anterior, todas as siguientes funções são pares:h(t) = sen (1+t2)h(t) = exp(1+t2)+5/ (1+t2)h(t) = cos (2+t2)+1h(t) = (10+t2)-(1+t2)1/2etc...Pois todas tem a forma f(1+t2)
Funções Pares e ímparesFunções Pares e ímpares
Como a função sen(n0t) é uma função ímpar para todo n0 e a função cos(n0t) é uma função par para todo n, é de esperar que:
Si f(t) é par, sua série de Fourier não tera termos seno, então bn= 0 para todo n
Si f(t) é ímpar, sua série de Fourier não terá termos coseno, então an= 0 para todo n
Series de Fourier. 62
Funções Pares e ímparesFunções Pares e ímpares
Por exemplo, o sinal quadrado, analisado previamente :
É uma função ímpar, pois sua série de Fourier não contem termos coseno:
1f(t)
t. . . -T/2
0
T/2 T . . .
-1
€
f (t) =4
πsen(ω0t) + 1
3 sen(3ω0t) + 15 sen(5ω0t) + ...[ ]
Simetría de Meia OndaSimetría de Meia Onda
Uma função periódica de período T é simêtrica de meia onda, se cumpre a propriedade
Ou seja, se no seu gráfico as partes negativas são um reflexo das positivas mas deslocadas meio período:
)t(f)Tt(f 21
f(t)
t
Series de Fourier. 64
Simetría de Quarto de OndaSimetría de Quarto de Onda
Se uma função tem simetría de meia onda e também é função par ou ímpar, podemos dizer que tem simetría de quarto de onda par ou ímparExemplo: Função com simetría ímpar de quarto de onda:
f(t)
t
Series de Fourier. 65
Simetría de Quarto de OndaSimetría de Quarto de Onda
Exemplo: Função com simetría par de quarto de onda:
f(t)
t
Simetría de Quarto de OndaSimetría de Quarto de Onda
Tarefa 5:
Que tipo de simetría tem o seguinte sinal de voltagem?
f(t)
t
Simetrías e coeficiêntes de FourierSimetrías e coeficiêntes de Fourier
Simetría coeficiêntesFunções na
série
Nenhuma
Senos e cosenos
Par bn=0
únicamente cosenos
ímpar an=0únicamente
senos
meia onda
Senos e cosenos ímpares
2/
0
04 )cos()(
T
Tn dttntfa
2/
0
04 )()(
T
Tn dttnsentfb
imparndttntf
parn
aT
Tn
2/
0
04 )cos()(
0
imparndttnsentf
parn
bT
Tn
2/
0
04 )()(
0
2/
2/
02 )cos()(
T
TTn dttntfa
2/
2/
02 )()(
T
TTn dttnsentfb
Simetrías e coeficiêntes de FourierSimetrías e coeficiêntes de Fourier
Simetría coeficiêntesFunções na série
NenhumaSenos e cosenos
¼ de onda par
an=0 (n par)
bn=0Só
cosenos ímpares
¼ de onda ímpar
an=0
bn=0 (n par)só
senos ímpares
2/
2/
02 )cos()(
T
TTn dttntfa
2/
2/
02 )()(
T
TTn dttnsentfb
)(
)cos()(4/
0
08
imparn
dttntfaT
Tn
)(
)()(4/
0
08
imparn
dttnsentfbT
Tn
Series de Fourier. 69
Simetrías e coeficiêntes de FourierSimetrías e coeficiêntes de FourierPor exemplo, o sinal quadrado, já analisado em um exemplo prévio:
É uma função com simetría de ¼ de onda ímpar, então a sua série de Fourier só contém termos seno de frequência ímpar:
1f(t)
t. . . -T/2
0
T/2 T . . .
-1
...)t5(sen)t3(sen)t(sen4
)t(f 051
031
0
Fenômeno de GibbsFenômeno de Gibbs
Se a série de Fourier para uma função f(t) se trunca para alcançar uma aproximação em soma finita de senos e cosenos, é natural pensar que a medida que agreguemos mais harmônicos, a somatoria se aproximará mais a f(t).
Fenômeno de GibbsFenômeno de Gibbs
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 1 armónico
1 harmônico
Fenômeno de GibbsFenômeno de Gibbs
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 3 armónicos
3 harmônicos
Fenômeno de GibbsFenômeno de Gibbs
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 5 armónicos
5 harmônicos
Fenômeno de GibbsFenômeno de Gibbs
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 7 armónicos
7 harmônicos
Fenômeno de GibbsFenômeno de Gibbs
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 13 armónicos
15 harmônicos
Fenômeno de GibbsFenômeno de Gibbs
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 50 armónicos
50 harmônicos
Fenômeno de GibbsFenômeno de Gibbs
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 100 armónicos
100 harmônicos
Forma Complexa da Série de Forma Complexa da Série de FourierFourier
Consideremos a série de Fourier para uma função periódica f(t), com período T=2/0.
É possível obter uma forma alternativa usando as fórmulas de Euler:
onde
€
f (t) = 12 a0 + [an cos(nω0t) +bnsen(nω0t)
n=1
∞
∑ ]
€
cos(nω0t) = 12 (e jnω 0t + e− jnω 0t )
sen(nω0t) = 12 j (e
jnω 0t − e− jnω 0t )
1j
Forma Complexa da Série de FourierForma Complexa da Série de Fourier
Fazendo a substituição:
E sabendo que 1/j=-j
definimos:
O que é coerente com a equação para bn, pois b-n=-bn, dado que a função seno é ímpar.
€
f (t) = 12 a0 + [an
12 (e jnω 0t + e− jnω 0t ) +bn
12 j (e
jnω 0t − e− jnω 0t )n=1
∞
∑ ]
€
f (t) = 12 a0 + [ 1
2 (an − jbn )ejnω 0t + 1
2 (an + jbn )e− jnω 0t
n=1
∞
∑ ]
€
c0 = 12 a0, cn = 1
2 (an − jbn ), c−n = 12 (an + jbn )
Forma Complexa da Série de FourierForma Complexa da Série de Fourier
A série pode-se escrever como
Ou,
Então,
€
f (t) = c0 + (cnejnω 0t + c−ne
− jnω 0t
n=1
∞
∑ )
€
f (t) = c0 + cnejnω 0t
n=1
∞
∑ + cnejnω 0t
n=−1
−∞
∑
€
f (t) = cnejnω 0t
n=−∞
∞
∑
Forma Complexa da Série de FourierForma Complexa da Série de FourierA expressão obtida
É a forma Complexa da série de Fourier e seus coeficiêntes cn podem obter-se a partir dos coeficiêntes an, bn, ou:
Para n=0, 1, 2, 3, ...
€
cn = 1T f (t)e− jnω 0tdt
0
T
∫€
f (t) = cnejnω 0t
n=−∞
∞
∑
Forma Complexa da Série de FourierForma Complexa da Série de Fourier
Os coeficiêntes cn são números complexos, e também podem-se escrever em forma polar:
Obviamente,
onde ,
Para tudo n0,
Para n=0, c0 é um número real:
€
cn = cn ejφ n
€
c−n = cn* = cn e
− jφ n
€
cn = 12 an
2 +bn2
€
n = arctan(−bnan
)
€
c0 = 12 a0
Forma Complexa da Série de FourierForma Complexa da Série de Fourier
Exemplo. Encontrar a forma complexa da série de Fourier para a função:
Solução 1. Os coeficiêntes na forma trigonomêtrica (an e bn):
an=0 para tudo ne
1f(t)
t. . . -T/2
0
T/2 T . . .
-1
€
bn = 2nπ [1 − (−1)n ] para tudo n
Forma Complexa de a Série de FourierForma Complexa de a Série de Fourier
Podemos calcular os coeficiêntes cn de:
Então a Série Complexa de Fourier fica€
cn = 12 [an − jbn ] = − j 1
22nπ [1− (−1)n ]
€
cn = − j 1nπ [1− (−1)n ]
€
f (t) = 2π j(...+
15 e
− j5ω 0t + 13 e
− j 3ω 0t + e− jω 0t
− e jω 0t − 13 e
j 3ω 0t − 15 e
j 5ω 0t − ...)
Series de Fourier. 85
Forma Complexa de a Série de FourierForma Complexa de a Série de FourierSolução 2. Também podemos calcular os coeficiêntes cn mediante a integral
€
cn = 1T f (t)e− jnω 0tdt
0
T
∫
€
= 1T ( e− jnω 0tdt
0
T / 2
∫ + −e− jnω 0tdtT / 2
T
∫ )
€
= 1T ( 1
− jnω oe− jnω 0t
T / 2
0
− 1− jnω o
e− jnω 0tT
T / 2
)
€
= 1− jnω oT
[(e− jnω 0T / 2 −1) − (e− jnω 0T − e− jnω 0T / 2)]
Series de Fourier. 86
Forma Complexa de a Série de FourierForma Complexa de a Série de FourierComo 0T=2 e temos
o qual coincide com o resultado já obtido.
€
e± jθ = cosθ ± jsenθ
€
cn = 1− jnω oT
[(−1)n −1) − (1− (−1)n )]
€
=−j 2nω oT
[1− (−1)n ]
€
=−j 1nπ [1− (−1)n ]
Forma Complexa da Série de FourierForma Complexa da Série de FourierTarefa 6: Calcular os coeficiêntes cn para a seguinte função de período 2.l A partir dos coeficiêntes an,bn
l Diretamente da integral
-6 -4 -2 0 2 4 6-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Senoidal retificada de meia onda
t
f(t)
Espectros de Frequência DiscretaEspectros de Frequência Discreta
O gráfico da magnitud dos coeficiêntes cn contra a frequência angular da componente correspondente é o espectro de amplitude de f(t).
O gráfico do ángulo de fase n dos coeficiêntes cn contra , é o espectro de fase de f(t).
Como n só tem valores inteiros, a frequência angular =n0 é uma variable discreta e os espectros mencionados são gráficos discretos.
Espectros de Frequência DiscretaEspectros de Frequência Discreta
Dada uma função periódica f(t), lhe corresponde uma e somente uma série de Fourier, i. e. um conjunto único de coeficiêntes cn.
Por isso, os coeficiêntes cn especifican a f(t) no domínio da frequência da mesma maneira que f(t) especifica a função no domínio do tempo.
Series de Fourier. 90
Espectros de Frequência DiscretaEspectros de Frequência Discreta
Exemplo. Para a função já analisada:
Encontramos
Então,
1f(t)
t. . . -T/2
0
T/2 T . . .
-1
€
cn = − j 1nπ [1− (−1)n ]
€
cn = 1n π [1− (−1)n ]
Espectros de Frequência DiscretaEspectros de Frequência Discreta
O espectro de amplitude:
O eixo horizontal é um eixo de frequência, (n=número de harmônico = múltiplo de 0).
-30 -20 -10 0 10 20 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7Espectro de Amplitude de f(t)
n
Cn
Frequência negativa (?) Frequência
Espectros de Frequência DiscretaEspectros de Frequência Discreta
Tarefa 7 :
Desenhar o espectro de amplitude para a função senoidal retificada de ½ onda.
Potência e Teorema de ParsevalPotência e Teorema de Parseval
O valor médio de um sinal qualquer f(t) em um período (T) pode-se calcular como a altura de um rectângulo que tenha a mesma área que a área abaixo da curva de f(t)
1f(t)
t
h=Alturamédia
T
0
dt)t(fArea
T
Area=Th
Potência e Teorema de ParsevalPotência e Teorema de Parseval
Pelo anterior, se a função periódica f(t) representa um sinal de voltagem ou corrente, a potencia média entregue a uma carga resistiva de 1 ohm em um período está dada por
Se f(t) é periódica, também será [f(t)]2 e o valor médio em um período será o valor médio em qualquer outro período.€
1T [ f (t)]2dt
−T / 2
T / 2
∫
Potência e Teorema de ParsevalPotência e Teorema de Parseval
O teorema de Parseval nos permite calcular a integral de [f(t)]2 mediante os coeficiêntes com-plexos cn de Fourier da função periódica f(t):
Ou também, em termos dos coeficiêntes an, bn:
€
1T [ f (t)]2dt
−T / 2
T / 2
∫ = cn2
n=−∞
∞
∑
€
1T [ f (t)]2dt
−T / 2
T / 2
∫ = 14 a0
2 + 12 (an
2 +bn2)
n=1
∞
∑
Potência e Teorema de ParsevalPotência e Teorema de Parseval
Uma consequência importante do teorema de Parseval é o seguinte resultado:
O valor quadrático médio de uma função periódica f(t) é igual à soma dos valores quadráticos médios de seus harmônicos,
onde Cn é a amplitude do n-ésimo harmônico e C0 é o componente DC.€
1T [ f (t)]2dt
−T / 2
T / 2
∫ =C02 +
Cn2
2
n=1
∞
∑
Potência e Teorema de ParsevalPotência e Teorema de Parseval
No resultado anterior é conveniente encontrar a relação entre os coeficiêntes complexos cn da série
E os coeficiêntes reais Cn da série
onde Cn é a amplitude do n-ésimo harmônico e C0 é o componente DC.
n
tjnn
0ec)t(f
1n
n0n0 )tncos(CC)t(f
Potencia e Teorema de ParsevalPotencia e Teorema de Parseval
Por um lado
E
Então, e,
E para o harmônico Seu valor rms é então seu valor quadrático medio é
Para a componente DC C0, seu valor rms é C0, então seu valor quadrático médio será C02.
,baC 2n
2nn
€
cn = 12 an
2 +bn2
€
cn = 12Cn
€
cn2
= 14 Cn
2
€
fn (t) =Cn cos(nω0t −θ n )[ ]
€
Cn / 2
€
Cn2 /2
Series de Fourier. 99
Potência e Teorema de ParsevalPotência e Teorema de Parseval
Exemplo. Calcular ou valor quadrático médio da função f(t):
Solução. Do teorema de Parseval
e do exemplo anterior
então
1f(t)
t. . . -T/2
0
T/2 T . . .
-1
€
1T [ f (t)]2dt
−T / 2
T / 2
∫ = cn2
n=−∞
∞
∑
€
cn = 1n π [1− (−1)n ]
€
cn2
n=−∞
∞
∑ =8
π 2 1+1
9+
1
25+
1
49+ ...
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
Series de Fourier. 100
Potencia e Teorema de ParsevalPotencia e Teorema de Parseval
A série numérica obtida converge a
então,
Como era de esperarse.Então, que significa essa convergência ?
€
1+1
9+
1
25+
1
49+ ... =1.2337
€
1T [ f (t)]2dt
−T / 2
T / 2
∫ = cn2
n=−∞
∞
∑ =8
π 2 (1.2337) =1
Potencia e Teorema de ParsevalPotencia e Teorema de Parseval
Tarefa 8
Calcular o valor quadrático médio para o sinal senoidal retificado de meia onda de período 2.
Para que serve a relação entre a potência média de um sinal periódico com os seus coeficiêntes de Fourier ?
Exemplo Determinar as linhas espectrais para a função
periódica f(t), dada por um trem de pulsos retangulares de amplitude 1 e de duração d=
0.05 s, cujo período é de T=0,25 s
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Exemplo
Esta função pode ser modelada matematicamente por:
T/2td/2-d/2,tT/2- se 0
d/2td/2- se 1)t(f
ExemploAplicando-se a definição dos coeficientes complexos da
série de Fourier, tem-se que:
xonde
T
dnsinc
T
d
TdnTdn
sin
T
dc
AssimTd
n
dnsin
T
d
dnj
ee
T
dee
jnT
jn
e
Tdte
Tdtetf
Tc
n
djn
djnd
jnd
jn
d
d
d
d
tjntjn
T
T
tjnn
x)sin(sinc(x) ),
.(.
..
)..
(
:,2
mas
2
)2
(
2..2
1.
1
1.1
1).(
1
0
0
0
0
22)2
(2
0
2
2
2
20
2
2
00
00
0
00
Exemplo Aplicando as condições do problema,
onde T=0,25 s e d=0,2 s, tem-se que
.2,0.n
)2,0.n(sin2,0cn
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
As tarefas 1 a 8
Devem ser feitas em grupo para praticar.
Espectro & Largura de Banda
Espectro de um sinal : magnitude das amplitudes como função da frequência
x1(t) varia mais rápido não tempo e tem conteúdo mais alto de frequencia que x2(t)
A largura de banda Ws é definida como ou intervalo de frequencias em que ou sinal tem uma potencia significante, ou seja, ou intervalo da banda que contém 99% da potencia total do sinal
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42
frequency (kHz)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42
frequency (kHz)
Espectro de x1(t)
Espectro de x2(t)