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FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIOacuteNESCUELA PROFESIONAL DE EDUCACIOacuteN SECUNDARIA
MATEMAacuteTICA E INFORMAacuteTICAVI SEMESTRE-2010
PRESENTADO POR
NORY LUPACA QUISPEEMAIL norylqgmailcom
EL TRIANGULOldquoSEMEJANZA DE TRIANGULOSrdquo
HISTORIA DE TRIANGULOCONTENIDO TEOacuteRICO
EJERCICIOS RESUELTOSEJERCICIOS PROPUESTOS
CONCLUSIONES
INTRODUCCIOacuteN
INDICE
BIBLIOGRAFIacuteA
INTRODUCCION
El aprendizaje escolar debe orientar y estimular los procesos internos del desarrollo del estudiante
Los objetivos de semejanza de triangulo son utilizar adecuadamente los criterios en la resolucioacuten de problemas y diferenciar cada criterio asociadas al triangulo
HISTORIA DEL TRIANGULO
TRIANGULO ISOSCELES
Erase una vez un nintildeo llamado Isoacutesceles Se mudoacute a un pueblo llamado Pocomaacutes Estaba emocionado pues asistiriacutea a una nueva escuela este cursaba el quinto grado
En su primer diacutea de clases su maestra llamada Geometriacutea presentoacute a todos sus compantildeeros de clase por sus nombres entre ellos se encontraba un nintildeo llamado Cuadrado otro Rectaacutengulo tambieacuten Trapecio Rombo y Paralelogramo Isoacutesceles miroacute a todos lados y se percatoacute que sus compantildeeros eran muy diferentes a eacutel
SALOacuteN DE CLASES
La maestra asignoacute que escribieran sobre su familia y que construyeran su aacuterbol familiar Isoacutesceles fue a su casa y le narroacute a su mamaacute lo sucedido ldquo Hijo miacuteo te contareacute la historia de nuestra familia y construiraacutes tu aacuterbol familiarrdquo
ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de caraacutecter fuerte y muy recto en sus ideas
Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Teniacutean por nombres Obtusaacutengulo y Acutaacutengulo este uacuteltimo era un nintildeo hermoso por sus facciones perfectas
Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su padre se llamaba Equilaacutetero fue un gran hombre con valores incalculables y muy justo con el proacutejimo
ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama
FAMILIA DE LOS TRIANGULOS
De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias
SEMEJANZA DE
TRIANGULOS
bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip
bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no
INTRODUCCIOacuteN
Semejanza
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
EJERCICIOS RESUELTOS
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
2
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
4
5
6
CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
GRACIAS
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCION
- HISTORIA DEL TRIANGULO
- TRIANGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo (2)
- Slide 31
- III Tercer criterio LADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo (3)
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
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EL TRIANGULOldquoSEMEJANZA DE TRIANGULOSrdquo
HISTORIA DE TRIANGULOCONTENIDO TEOacuteRICO
EJERCICIOS RESUELTOSEJERCICIOS PROPUESTOS
CONCLUSIONES
INTRODUCCIOacuteN
INDICE
BIBLIOGRAFIacuteA
INTRODUCCION
El aprendizaje escolar debe orientar y estimular los procesos internos del desarrollo del estudiante
Los objetivos de semejanza de triangulo son utilizar adecuadamente los criterios en la resolucioacuten de problemas y diferenciar cada criterio asociadas al triangulo
HISTORIA DEL TRIANGULO
TRIANGULO ISOSCELES
Erase una vez un nintildeo llamado Isoacutesceles Se mudoacute a un pueblo llamado Pocomaacutes Estaba emocionado pues asistiriacutea a una nueva escuela este cursaba el quinto grado
En su primer diacutea de clases su maestra llamada Geometriacutea presentoacute a todos sus compantildeeros de clase por sus nombres entre ellos se encontraba un nintildeo llamado Cuadrado otro Rectaacutengulo tambieacuten Trapecio Rombo y Paralelogramo Isoacutesceles miroacute a todos lados y se percatoacute que sus compantildeeros eran muy diferentes a eacutel
SALOacuteN DE CLASES
La maestra asignoacute que escribieran sobre su familia y que construyeran su aacuterbol familiar Isoacutesceles fue a su casa y le narroacute a su mamaacute lo sucedido ldquo Hijo miacuteo te contareacute la historia de nuestra familia y construiraacutes tu aacuterbol familiarrdquo
ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de caraacutecter fuerte y muy recto en sus ideas
Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Teniacutean por nombres Obtusaacutengulo y Acutaacutengulo este uacuteltimo era un nintildeo hermoso por sus facciones perfectas
Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su padre se llamaba Equilaacutetero fue un gran hombre con valores incalculables y muy justo con el proacutejimo
ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama
FAMILIA DE LOS TRIANGULOS
De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias
SEMEJANZA DE
TRIANGULOS
bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip
bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no
INTRODUCCIOacuteN
Semejanza
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
EJERCICIOS RESUELTOS
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
2
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
4
5
6
CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
GRACIAS
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- INTRODUCCION
- HISTORIA DEL TRIANGULO
- TRIANGULO ISOSCELES
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- SALOacuteN DE CLASES
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- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
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- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
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- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
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- Semejanza
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- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo (2)
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- III Tercer criterio LADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo (3)
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- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
-
HISTORIA DE TRIANGULOCONTENIDO TEOacuteRICO
EJERCICIOS RESUELTOSEJERCICIOS PROPUESTOS
CONCLUSIONES
INTRODUCCIOacuteN
INDICE
BIBLIOGRAFIacuteA
INTRODUCCION
El aprendizaje escolar debe orientar y estimular los procesos internos del desarrollo del estudiante
Los objetivos de semejanza de triangulo son utilizar adecuadamente los criterios en la resolucioacuten de problemas y diferenciar cada criterio asociadas al triangulo
HISTORIA DEL TRIANGULO
TRIANGULO ISOSCELES
Erase una vez un nintildeo llamado Isoacutesceles Se mudoacute a un pueblo llamado Pocomaacutes Estaba emocionado pues asistiriacutea a una nueva escuela este cursaba el quinto grado
En su primer diacutea de clases su maestra llamada Geometriacutea presentoacute a todos sus compantildeeros de clase por sus nombres entre ellos se encontraba un nintildeo llamado Cuadrado otro Rectaacutengulo tambieacuten Trapecio Rombo y Paralelogramo Isoacutesceles miroacute a todos lados y se percatoacute que sus compantildeeros eran muy diferentes a eacutel
SALOacuteN DE CLASES
La maestra asignoacute que escribieran sobre su familia y que construyeran su aacuterbol familiar Isoacutesceles fue a su casa y le narroacute a su mamaacute lo sucedido ldquo Hijo miacuteo te contareacute la historia de nuestra familia y construiraacutes tu aacuterbol familiarrdquo
ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de caraacutecter fuerte y muy recto en sus ideas
Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Teniacutean por nombres Obtusaacutengulo y Acutaacutengulo este uacuteltimo era un nintildeo hermoso por sus facciones perfectas
Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su padre se llamaba Equilaacutetero fue un gran hombre con valores incalculables y muy justo con el proacutejimo
ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama
FAMILIA DE LOS TRIANGULOS
De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias
SEMEJANZA DE
TRIANGULOS
bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip
bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no
INTRODUCCIOacuteN
Semejanza
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
EJERCICIOS RESUELTOS
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
2
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
4
5
6
CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
GRACIAS
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCION
- HISTORIA DEL TRIANGULO
- TRIANGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo (2)
- Slide 31
- III Tercer criterio LADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo (3)
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- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
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INTRODUCCION
El aprendizaje escolar debe orientar y estimular los procesos internos del desarrollo del estudiante
Los objetivos de semejanza de triangulo son utilizar adecuadamente los criterios en la resolucioacuten de problemas y diferenciar cada criterio asociadas al triangulo
HISTORIA DEL TRIANGULO
TRIANGULO ISOSCELES
Erase una vez un nintildeo llamado Isoacutesceles Se mudoacute a un pueblo llamado Pocomaacutes Estaba emocionado pues asistiriacutea a una nueva escuela este cursaba el quinto grado
En su primer diacutea de clases su maestra llamada Geometriacutea presentoacute a todos sus compantildeeros de clase por sus nombres entre ellos se encontraba un nintildeo llamado Cuadrado otro Rectaacutengulo tambieacuten Trapecio Rombo y Paralelogramo Isoacutesceles miroacute a todos lados y se percatoacute que sus compantildeeros eran muy diferentes a eacutel
SALOacuteN DE CLASES
La maestra asignoacute que escribieran sobre su familia y que construyeran su aacuterbol familiar Isoacutesceles fue a su casa y le narroacute a su mamaacute lo sucedido ldquo Hijo miacuteo te contareacute la historia de nuestra familia y construiraacutes tu aacuterbol familiarrdquo
ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de caraacutecter fuerte y muy recto en sus ideas
Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Teniacutean por nombres Obtusaacutengulo y Acutaacutengulo este uacuteltimo era un nintildeo hermoso por sus facciones perfectas
Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su padre se llamaba Equilaacutetero fue un gran hombre con valores incalculables y muy justo con el proacutejimo
ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama
FAMILIA DE LOS TRIANGULOS
De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias
SEMEJANZA DE
TRIANGULOS
bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip
bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no
INTRODUCCIOacuteN
Semejanza
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
EJERCICIOS RESUELTOS
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
2
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
4
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CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
GRACIAS
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- TRIANGULO ISOSCELES
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- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
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- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
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- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
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- Semejanza
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- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo (2)
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- III Tercer criterio LADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo (3)
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- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
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HISTORIA DEL TRIANGULO
TRIANGULO ISOSCELES
Erase una vez un nintildeo llamado Isoacutesceles Se mudoacute a un pueblo llamado Pocomaacutes Estaba emocionado pues asistiriacutea a una nueva escuela este cursaba el quinto grado
En su primer diacutea de clases su maestra llamada Geometriacutea presentoacute a todos sus compantildeeros de clase por sus nombres entre ellos se encontraba un nintildeo llamado Cuadrado otro Rectaacutengulo tambieacuten Trapecio Rombo y Paralelogramo Isoacutesceles miroacute a todos lados y se percatoacute que sus compantildeeros eran muy diferentes a eacutel
SALOacuteN DE CLASES
La maestra asignoacute que escribieran sobre su familia y que construyeran su aacuterbol familiar Isoacutesceles fue a su casa y le narroacute a su mamaacute lo sucedido ldquo Hijo miacuteo te contareacute la historia de nuestra familia y construiraacutes tu aacuterbol familiarrdquo
ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de caraacutecter fuerte y muy recto en sus ideas
Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Teniacutean por nombres Obtusaacutengulo y Acutaacutengulo este uacuteltimo era un nintildeo hermoso por sus facciones perfectas
Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su padre se llamaba Equilaacutetero fue un gran hombre con valores incalculables y muy justo con el proacutejimo
ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama
FAMILIA DE LOS TRIANGULOS
De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias
SEMEJANZA DE
TRIANGULOS
bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip
bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no
INTRODUCCIOacuteN
Semejanza
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
EJERCICIOS RESUELTOS
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
2
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
4
5
6
CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
GRACIAS
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCION
- HISTORIA DEL TRIANGULO
- TRIANGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo (2)
- Slide 31
- III Tercer criterio LADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo (3)
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
-
TRIANGULO ISOSCELES
Erase una vez un nintildeo llamado Isoacutesceles Se mudoacute a un pueblo llamado Pocomaacutes Estaba emocionado pues asistiriacutea a una nueva escuela este cursaba el quinto grado
En su primer diacutea de clases su maestra llamada Geometriacutea presentoacute a todos sus compantildeeros de clase por sus nombres entre ellos se encontraba un nintildeo llamado Cuadrado otro Rectaacutengulo tambieacuten Trapecio Rombo y Paralelogramo Isoacutesceles miroacute a todos lados y se percatoacute que sus compantildeeros eran muy diferentes a eacutel
SALOacuteN DE CLASES
La maestra asignoacute que escribieran sobre su familia y que construyeran su aacuterbol familiar Isoacutesceles fue a su casa y le narroacute a su mamaacute lo sucedido ldquo Hijo miacuteo te contareacute la historia de nuestra familia y construiraacutes tu aacuterbol familiarrdquo
ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de caraacutecter fuerte y muy recto en sus ideas
Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Teniacutean por nombres Obtusaacutengulo y Acutaacutengulo este uacuteltimo era un nintildeo hermoso por sus facciones perfectas
Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su padre se llamaba Equilaacutetero fue un gran hombre con valores incalculables y muy justo con el proacutejimo
ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama
FAMILIA DE LOS TRIANGULOS
De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias
SEMEJANZA DE
TRIANGULOS
bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip
bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no
INTRODUCCIOacuteN
Semejanza
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
EJERCICIOS RESUELTOS
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
2
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
4
5
6
CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
GRACIAS
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- INTRODUCCION
- HISTORIA DEL TRIANGULO
- TRIANGULO ISOSCELES
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- SALOacuteN DE CLASES
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- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
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- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
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- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
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- Semejanza
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- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo (2)
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- III Tercer criterio LADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo (3)
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- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
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Erase una vez un nintildeo llamado Isoacutesceles Se mudoacute a un pueblo llamado Pocomaacutes Estaba emocionado pues asistiriacutea a una nueva escuela este cursaba el quinto grado
En su primer diacutea de clases su maestra llamada Geometriacutea presentoacute a todos sus compantildeeros de clase por sus nombres entre ellos se encontraba un nintildeo llamado Cuadrado otro Rectaacutengulo tambieacuten Trapecio Rombo y Paralelogramo Isoacutesceles miroacute a todos lados y se percatoacute que sus compantildeeros eran muy diferentes a eacutel
SALOacuteN DE CLASES
La maestra asignoacute que escribieran sobre su familia y que construyeran su aacuterbol familiar Isoacutesceles fue a su casa y le narroacute a su mamaacute lo sucedido ldquo Hijo miacuteo te contareacute la historia de nuestra familia y construiraacutes tu aacuterbol familiarrdquo
ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de caraacutecter fuerte y muy recto en sus ideas
Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Teniacutean por nombres Obtusaacutengulo y Acutaacutengulo este uacuteltimo era un nintildeo hermoso por sus facciones perfectas
Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su padre se llamaba Equilaacutetero fue un gran hombre con valores incalculables y muy justo con el proacutejimo
ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama
FAMILIA DE LOS TRIANGULOS
De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias
SEMEJANZA DE
TRIANGULOS
bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip
bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no
INTRODUCCIOacuteN
Semejanza
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
EJERCICIOS RESUELTOS
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
2
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
4
5
6
CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
GRACIAS
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCION
- HISTORIA DEL TRIANGULO
- TRIANGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo (2)
- Slide 31
- III Tercer criterio LADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo (3)
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
-
SALOacuteN DE CLASES
La maestra asignoacute que escribieran sobre su familia y que construyeran su aacuterbol familiar Isoacutesceles fue a su casa y le narroacute a su mamaacute lo sucedido ldquo Hijo miacuteo te contareacute la historia de nuestra familia y construiraacutes tu aacuterbol familiarrdquo
ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de caraacutecter fuerte y muy recto en sus ideas
Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Teniacutean por nombres Obtusaacutengulo y Acutaacutengulo este uacuteltimo era un nintildeo hermoso por sus facciones perfectas
Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su padre se llamaba Equilaacutetero fue un gran hombre con valores incalculables y muy justo con el proacutejimo
ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama
FAMILIA DE LOS TRIANGULOS
De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias
SEMEJANZA DE
TRIANGULOS
bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip
bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no
INTRODUCCIOacuteN
Semejanza
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
EJERCICIOS RESUELTOS
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
2
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
4
5
6
CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
GRACIAS
- Slide 1
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- INTRODUCCION
- HISTORIA DEL TRIANGULO
- TRIANGULO ISOSCELES
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- SALOacuteN DE CLASES
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- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
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- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
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- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
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- Semejanza
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- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo (2)
- Slide 31
- III Tercer criterio LADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo (3)
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- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
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La maestra asignoacute que escribieran sobre su familia y que construyeran su aacuterbol familiar Isoacutesceles fue a su casa y le narroacute a su mamaacute lo sucedido ldquo Hijo miacuteo te contareacute la historia de nuestra familia y construiraacutes tu aacuterbol familiarrdquo
ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de caraacutecter fuerte y muy recto en sus ideas
Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Teniacutean por nombres Obtusaacutengulo y Acutaacutengulo este uacuteltimo era un nintildeo hermoso por sus facciones perfectas
Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su padre se llamaba Equilaacutetero fue un gran hombre con valores incalculables y muy justo con el proacutejimo
ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama
FAMILIA DE LOS TRIANGULOS
De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias
SEMEJANZA DE
TRIANGULOS
bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip
bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no
INTRODUCCIOacuteN
Semejanza
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
EJERCICIOS RESUELTOS
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
2
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
4
5
6
CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
GRACIAS
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCION
- HISTORIA DEL TRIANGULO
- TRIANGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo (2)
- Slide 31
- III Tercer criterio LADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo (3)
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
-
ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de caraacutecter fuerte y muy recto en sus ideas
Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Teniacutean por nombres Obtusaacutengulo y Acutaacutengulo este uacuteltimo era un nintildeo hermoso por sus facciones perfectas
Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su padre se llamaba Equilaacutetero fue un gran hombre con valores incalculables y muy justo con el proacutejimo
ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama
FAMILIA DE LOS TRIANGULOS
De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias
SEMEJANZA DE
TRIANGULOS
bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip
bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no
INTRODUCCIOacuteN
Semejanza
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
EJERCICIOS RESUELTOS
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
2
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
4
5
6
CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
GRACIAS
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCION
- HISTORIA DEL TRIANGULO
- TRIANGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo (2)
- Slide 31
- III Tercer criterio LADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo (3)
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
-
Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Teniacutean por nombres Obtusaacutengulo y Acutaacutengulo este uacuteltimo era un nintildeo hermoso por sus facciones perfectas
Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su padre se llamaba Equilaacutetero fue un gran hombre con valores incalculables y muy justo con el proacutejimo
ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama
FAMILIA DE LOS TRIANGULOS
De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias
SEMEJANZA DE
TRIANGULOS
bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip
bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no
INTRODUCCIOacuteN
Semejanza
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
EJERCICIOS RESUELTOS
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
2
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
4
5
6
CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
GRACIAS
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCION
- HISTORIA DEL TRIANGULO
- TRIANGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo (2)
- Slide 31
- III Tercer criterio LADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo (3)
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
-
Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su padre se llamaba Equilaacutetero fue un gran hombre con valores incalculables y muy justo con el proacutejimo
ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama
FAMILIA DE LOS TRIANGULOS
De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias
SEMEJANZA DE
TRIANGULOS
bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip
bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no
INTRODUCCIOacuteN
Semejanza
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
EJERCICIOS RESUELTOS
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
2
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
4
5
6
CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
GRACIAS
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCION
- HISTORIA DEL TRIANGULO
- TRIANGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo (2)
- Slide 31
- III Tercer criterio LADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo (3)
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
-
ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama
FAMILIA DE LOS TRIANGULOS
De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias
SEMEJANZA DE
TRIANGULOS
bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip
bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no
INTRODUCCIOacuteN
Semejanza
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
EJERCICIOS RESUELTOS
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
2
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
4
5
6
CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
GRACIAS
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCION
- HISTORIA DEL TRIANGULO
- TRIANGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo (2)
- Slide 31
- III Tercer criterio LADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo (3)
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
-
FAMILIA DE LOS TRIANGULOS
De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias
SEMEJANZA DE
TRIANGULOS
bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip
bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no
INTRODUCCIOacuteN
Semejanza
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
EJERCICIOS RESUELTOS
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
2
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
4
5
6
CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
GRACIAS
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCION
- HISTORIA DEL TRIANGULO
- TRIANGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo (2)
- Slide 31
- III Tercer criterio LADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo (3)
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
-
De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias
SEMEJANZA DE
TRIANGULOS
bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip
bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no
INTRODUCCIOacuteN
Semejanza
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
EJERCICIOS RESUELTOS
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
2
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
4
5
6
CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
GRACIAS
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- INTRODUCCION
- HISTORIA DEL TRIANGULO
- TRIANGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo (2)
- Slide 31
- III Tercer criterio LADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo (3)
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
-
SEMEJANZA DE
TRIANGULOS
bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip
bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no
INTRODUCCIOacuteN
Semejanza
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
EJERCICIOS RESUELTOS
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
2
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
4
5
6
CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
GRACIAS
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCION
- HISTORIA DEL TRIANGULO
- TRIANGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo (2)
- Slide 31
- III Tercer criterio LADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo (3)
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
-
bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip
bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no
INTRODUCCIOacuteN
Semejanza
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
EJERCICIOS RESUELTOS
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
2
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
4
5
6
CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
GRACIAS
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- INTRODUCCION
- HISTORIA DEL TRIANGULO
- TRIANGULO ISOSCELES
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- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo (2)
- Slide 31
- III Tercer criterio LADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo (3)
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
-
Semejanza
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
EJERCICIOS RESUELTOS
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
2
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
4
5
6
CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
GRACIAS
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCION
- HISTORIA DEL TRIANGULO
- TRIANGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo (2)
- Slide 31
- III Tercer criterio LADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo (3)
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
-
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
EJERCICIOS RESUELTOS
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
2
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
4
5
6
CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
GRACIAS
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCION
- HISTORIA DEL TRIANGULO
- TRIANGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo (2)
- Slide 31
- III Tercer criterio LADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo (3)
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
-
No son figuras semejantes
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
EJERCICIOS RESUELTOS
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
2
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
4
5
6
CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
GRACIAS
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- HISTORIA DEL TRIANGULO
- TRIANGULO ISOSCELES
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- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo (2)
- Slide 31
- III Tercer criterio LADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo (3)
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
-
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
EJERCICIOS RESUELTOS
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
2
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
4
5
6
CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
GRACIAS
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCION
- HISTORIA DEL TRIANGULO
- TRIANGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo (2)
- Slide 31
- III Tercer criterio LADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo (3)
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
-
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo
8
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35
33ordm33ordm
4 = 358 7
EJERCICIOS RESUELTOS
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
2
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
4
5
6
CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
GRACIAS
- Slide 1
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- INTRODUCCION
- HISTORIA DEL TRIANGULO
- TRIANGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
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- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo (2)
- Slide 31
- III Tercer criterio LADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo (3)
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
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Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
EJERCICIOS RESUELTOS
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
2
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
4
5
6
CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
GRACIAS
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCION
- HISTORIA DEL TRIANGULO
- TRIANGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo (2)
- Slide 31
- III Tercer criterio LADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo (3)
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
-
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
EJERCICIOS RESUELTOS
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
2
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
4
5
6
CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
GRACIAS
- Slide 1
- Slide 2
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- INTRODUCCION
- HISTORIA DEL TRIANGULO
- TRIANGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo (2)
- Slide 31
- III Tercer criterio LADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo (3)
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
-
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
EJERCICIOS RESUELTOS
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
2
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
4
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6
CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
GRACIAS
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- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCION
- HISTORIA DEL TRIANGULO
- TRIANGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo (2)
- Slide 31
- III Tercer criterio LADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo (3)
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
-
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
EJERCICIOS RESUELTOS
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
2
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
4
5
6
CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
GRACIAS
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCION
- HISTORIA DEL TRIANGULO
- TRIANGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo (2)
- Slide 31
- III Tercer criterio LADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo (3)
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
-
II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
EJERCICIOS RESUELTOS
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
2
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
4
5
6
CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
GRACIAS
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCION
- HISTORIA DEL TRIANGULO
- TRIANGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo (2)
- Slide 31
- III Tercer criterio LADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo (3)
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
-
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
EJERCICIOS RESUELTOS
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
2
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
4
5
6
CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
GRACIAS
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- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCION
- HISTORIA DEL TRIANGULO
- TRIANGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo (2)
- Slide 31
- III Tercer criterio LADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo (3)
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
-
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
EJERCICIOS RESUELTOS
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
2
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
4
5
6
CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
GRACIAS
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCION
- HISTORIA DEL TRIANGULO
- TRIANGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo (2)
- Slide 31
- III Tercer criterio LADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo (3)
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
-
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
EJERCICIOS RESUELTOS
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
2
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
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CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
GRACIAS
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCION
- HISTORIA DEL TRIANGULO
- TRIANGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo (2)
- Slide 31
- III Tercer criterio LADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo (3)
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
-
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
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D
E
F
9
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Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo
8
7
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35
33ordm33ordm
4 = 358 7
EJERCICIOS RESUELTOS
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
2
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La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
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CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
GRACIAS
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- INTRODUCCION
- HISTORIA DEL TRIANGULO
- TRIANGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
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- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo (2)
- Slide 31
- III Tercer criterio LADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo (3)
- Slide 34
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- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
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- Slide 42
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bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo
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33ordm33ordm
4 = 358 7
EJERCICIOS RESUELTOS
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
2
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La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
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CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
GRACIAS
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- Slide 2
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- INTRODUCCION
- HISTORIA DEL TRIANGULO
- TRIANGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
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- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
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- Semejanza
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- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo (2)
- Slide 31
- III Tercer criterio LADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo (3)
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
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EJERCICIOS RESUELTOS
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
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20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
2
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
4
5
6
CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
GRACIAS
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCION
- HISTORIA DEL TRIANGULO
- TRIANGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo (2)
- Slide 31
- III Tercer criterio LADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo (3)
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
-
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
2
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La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
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CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
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- HISTORIA DEL TRIANGULO
- TRIANGULO ISOSCELES
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- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo (2)
- Slide 31
- III Tercer criterio LADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo (3)
- Slide 34
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- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
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- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
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-
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
2
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La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
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CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
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- HISTORIA DEL TRIANGULO
- TRIANGULO ISOSCELES
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- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
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- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo (2)
- Slide 31
- III Tercer criterio LADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo (3)
- Slide 34
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- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
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- Slide 41
- Slide 42
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-
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
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La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
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semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
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- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
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- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo (2)
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- III Tercer criterio LADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo (3)
- Slide 34
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- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
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- Slide 45
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Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
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La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
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CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
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- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
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- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
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- Triaacutengulos semejantes
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- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
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- Ejemplo (3)
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- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
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EJERCICIOS PROPUESTOS
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
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La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
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- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
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- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
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- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
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Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
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Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
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La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
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CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
GRACIAS
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCION
- HISTORIA DEL TRIANGULO
- TRIANGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
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- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo (2)
- Slide 31
- III Tercer criterio LADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo (3)
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- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
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Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
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- Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo
- II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
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