tema 04 - algebra de boole
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8/18/2019 Tema 04 - Algebra de Boole
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Clase 04:
Algebra de Boole
Ing. Christian Lezama Cuellar
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Introducción
George Boole
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El matemático inglés George Boole nació el 2 denoviembre de 1815 en Lincoln y falleció el 8 dediciembre de 1864 en Ballintemple, Irlanda.
Boole recluyó la lógica a una álgebra simple.También trabajó en ecuaciones diferenciales, elcálculo de diferencias finitas y métodos generales
en probabilidad.
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Algebra de BooleProporciona una notación para describir funciones lógicas y define unnúmero de operaciones que se pueden realizar con el fin desimplificarlas. El álgebra de Boole define variables, constantes y funciones para describir sistemas binarios, y una serie de teoremas quepermiten manipular expresiones lógicas.
• Constantes booleanas: Se definen dos: ‘0’ (estado FALSO) y ‘1’ (VERDADERO).
• Variables booleanas: Son magnitudes que pueden tomardiferentes valores en diferentes momentos. Pueden representarseñales de entrada o de salida y reciben nombres de caracteres
alfabéticos como: A, B, X, Y. Sólo pueden tomar los valores ‘0’ o ‘1’.• Funciones booleanas: Describen el comportamiento del sistema.
Cada operación lógica (suma, multiplicación, negación, ...) posee unanotación en el álgebra booleana, como se muestra en la Tabla 1.
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Funciones lógicas elementales.
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Algebra de BooleEl álgebra booleana es la teoría matemática que se aplica en la lógicacombinatoria.
Las variables booleanas son símbolos utilizados para representarmagnitudes lógicas y pueden tener sólo dos valores posibles: 1 (valoralto) ó 0 (valor bajo).
Operadores:▫ Operador AND “ . ”
▫ Operador OR “ + ”
▫ Operador NOT “ ¯ ”
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Axioma: Propiedad Conmutativa A+B = B+AEl orden en la OR no importa
AB = BA
El orden en la AND no importa
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Axioma: Propiedad asociativa
A + (B + C) = (A + B) + C Agrupar variables en la OR no importa
A.(B.C) = (A.B).C
Agrupar variables en la AND no importa
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Axioma: Propiedad Distributiva
• A+(B.C) = (A+B)(A+C)
• A.(B + C) = (A.B) + (A.C)
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U1 SN7432
U2 SN7432
U3 SN7408
A
B
(A+B)
(A+C)
(A+B).(A+C)
C
U7 SN7408
U8 SN7432 A
B
C (BC)
A+(BC)
=
U4 SN7408
U5 SN7408
U6 SN7432
(AB)
(AC)
(AB)+(AC)
B
C
AU9 SN7408
U10 SN7432
A
B
C (B+C)
A(B+C)
=
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Axioma: Elemento identidad (0 para +)
A+0=AHacer una operación OR con 0 no cambia nada.
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X=A
A
X
U11 SN7432 A
X=A
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Axioma: Elemento identidad (1 para ·) A·1=A
Hacer una operación AND con 1 no cambia nada
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A
X
X=A
U12 SN7408
T P 1
AX=A
V++
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Axioma: Elemento complemento + =
O bien A o serán 1, luego la salida será 1
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A
A
XX=1
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Axioma: Elemento complemento ∗ =
Bien A o A son 0 luego la salida será 0.
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A
A
XX=0
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Teorema: A+1=1 (T. Complementación)
• Hacer una operación OR con 1 da siempre 1.
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A
X
X=1
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Teorema: A•0=0 (T. Complementación)
Hacer una operación AND con 0 siempre da 0
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A
X
X=0
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Teorema: A+A = A (T. Idempotencia)
Hacer una operación OR consigo mismo da elmismo resultado
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A
A
X
A=A
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Teorema: A•A = A (T. Idempotencia)
Hacer una operación AND consigo mismo da elmismo resultado
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A
A
X
A=A
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Teorema: = (T. Involución)
Si negamos algo dos veces volvemos al principio
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A
XX=A
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Teorema: A + AB = A (T. Absorción I)
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A
B
X
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Teorema A + = + (T. Absorción II)
• Si A es 1 la salida es 1 Si A es 0 la salida
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AB
X
YX=Y
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Leyes de De Morgan (2 variables)
De Morgan ayuda a simplificar circuitos digitalesusando NORs y NANDs
∗ = + + = ∗
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Igual para n variables
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Leyes de De Morgan (más de 2 variables)
+ + + = ∗ ∗ ∗
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Análisis Booleano de Funciones Lógicas
• El propósito de este apartado es obtener expresiones booleanas simplificadas a partir de un circuito
• Se examina puerta a puerta a partir de sus entradas
• Se simplifica usando las leyes y propiedades booleanas.
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Un conjunto B dotado con dos operaciones algebraicas, más (+) y por (×), esun álgebra de Boole, sí y sólo sí se verifican los siguientes postulados:
POSTULADOS
SUMA PRODUCTO
A + B = B + A (Conmutativa) A + (B + C) = (A + B) + C (Asociativa) A + (B · C) = (A + B) · (A + C) (Distributiva) A + 0 = A (Elemento neutro) A + A' = 1 (Complementario)
A · B = B · A (Conmutativa) A · (B · C) = (A · B) · C (Asociativa) A · (B + C) = (A · B) + (A · C) (Distributiva) A · 1 = A (Elemento neutro) A · A' = 0 (Complementario)
TEOREMAS
A + A = A (Idempotencia) A + 1 = 1 A + (A · B) = A (Absorción)(A + B)' = A' · B' (T. Morgan)(A')' = A A + (A' · B) = A + B(A · B) + (A · B') = A
A · A = A (Idempotencia) A · 0 = 0 A · (A + B) = A (Absorción)(A · B)' = A' + B' (T. Morgan)(A')' = A A ·(A' + B) = A · B(A + B) · (A + B') = A
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Cálculo de la expresión algebraica desalida (ejemplo 1)
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(A + B) (CD) = (A + B) + (CD) = A + B + CD
X e Y son
iguales
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Cálculo de la expresión algebraica desalida (ejemplo 2)
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X = (A+B) C + CD + B
= (A+B) C · CD + B
= (A+B) C · (CD + B)
= A B C · (C +D +B)
= A B C C + A B C D +A B C B
= A B C D
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Loscircuitos
son iguales
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Ejemplo 3
• Puerta a puerta a partir de sus entradas
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X= AB+(C+D)
X= AB + C+ D
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Ejemplo 4
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X = (AB)(CD)
X = ABCD
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Ejemplo 5
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X = ABCD +A
Simplificando:
X = A + BCD
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Ejemplo 6
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• X = (AB+)BC
• Usando la propiedad distributiva:
• X = ABBC +BC
• X = ABC + BC
• X = ABC + 0•C
• X = ABC + 0
• X = ABC
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Ejemplo 7
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X = ( +AB) +((C+D))
X = (A + B) + ((C + D))
X = (A + B) + (BC + BD)
X = A + B + BC + BD
X = A + B + C + BD
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Ejemplo 7
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Operaciones Lógicas
Ejemplos: F(A, B, C)=• A.B.C = 1, si todas las variables son 1
= 0, si alguna es 0•
A+B+C = 1, si alguna variable es 1= 0, si todas son 0
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Ejemplo 8
Puerta {A}, Ascensor {B}, Bajarse {Z}
Z=A.B’
A B Z
0 0 0
0 1 0
1 0 1
1 1 0
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Ejercicios: simplificar e diseñar las funciones
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))()()(( E D DC B E C C B A f
))(( E E D E CE DC D AC B f
)()()( ED D A E C D A DC D A EDC E C C DC C D E B E C B DC B f
E C DC D E B f
))()(( D E B E C DC f
))(( D E B D E C f
D D E ED E B D E DC CE CB f
BC DC D E EC f
BC D E EC f
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Suma de productos
Y= A·B·C+B·C·D+A·C·D o directamente
Y= ABC+BCD+ACD
Producto de sumas
Y=(A+B+C)·(D+C)·(E+F)
Expresiones booleanas desde tablas de
verdad
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Sumas de Productos (SP)
F= ABCD + ABCD + ABCD+ ABCD F es suma de productos
Sea una función F(ABCD) que sólo es 1 para los casos:0011, 1011, 1110, 1111
Cuando ABCD=0011, únicamente la
expresión producto ABCD es 1.
Cuando ABCD=1011, únicamente la
expresión producto ABCD es 1
…y así sucesivamente… resultando que
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Productos de Sumas (PS)
Cuando ABCD=0010, sólo la
suma A+B+C+D es 0.
Cuando ABCD=0100, sólo la
suma A+B+C+D es 0, …
…y así sucesivamente…
La función F es 0 (o bien F es 1)
cuando ABCD=0010
o cuando ABCD=0100o cuando ABCD=0111
o cuando ABCD=1010
o cuando ABCD=1101
y en ningún otro caso más.
Sea una función F(ABCD) que
sólo es 0 para los casos:0010, 0100, 0111,
1010, 1101
F=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD
F=(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)
F es producto de sumas
De Morgan
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Resumen
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Bibliografía
• Diseño Digital – 3 Edición Morris Mano• http://books.google.com.pe/books?id=8WhBtfnaenkC&
printsec=frontcover&hl=es#v=onepage&q&f=false
• Logic and Boolean Algebra, Kathleen and HilbertLevitz